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影响高中生组合推理的因素 摘要 基于两个基本计数原理的排列组合是十分重要的计数方法，该知识点的思维 方法新颖、独特，对培养学生的逻辑思维能力、数学建模能力和阅读能力，树立 正确的数学观具有重要意义；同时，它也是概率的基础。因此，排列组合在高中 数学中处于重要地位。然而，排列组合却是高中数学课程中比较难教和难学的内 容。如何有效地改进这个知识点的教学，是摆在中学数学教师面前的一个重要课 题。 改进排列组合教学的重要途径之一是确定导致学生排列组合学习困难的变 量，并探求学生排列组合解题错误的本质。本研究旨在确定影响我国高中生组合 推理的主要因素，探讨学生求解排列组合问题的各种错误及其成因，进而为改进 排列组合教学提供参考依据。 通过对8 6 7 名学过和未学过排列组合知识的高中生的测试发现：教学和组合 运算均显著影响了高中生的组合推理；在排列组合知识的学习上，存在显著的性 别差异；学生的解题错误主要包括与两个基本原理和概念有关的错误、文字或语 义理解上的错误、重复和遗漏错误、关于公式和计算的错误等。通过对1 5 名学 生的访谈，得到错误的四种成因，即概念不清、文字与语意的理解能力的影响、 分类和分步过程中的重复或遗漏、计算错误。同时，本研究还发现，教学前组合 运算从易道难的顺序为全排列斗组合一排列_ 重复全排列_ 重复排列，具有一定 的历史相似性。 最后，基于本研究的结论，就基本计数原理、组合模型、组合运算、元素与 位置等方面提出一些具体的教学建议。 关键词：排列；重复排列；组合；组合模型；组合运算；组合推理 f a c t o r s a f c t i n gc o m b i n a t o r i a lr e a s o n i n g i ns e n i o rm i d d l es c h o o ls t u d e n t s a b s t r a c t p e m l u t a t i o na n dc o m b i l l a t i o l l 、h i c ha r eb a s e do nt h et w o如d a 加剖甜a l p r i n c i p k so f c o u n t i n g ，a r et w oi m p o r t a n tm e n l o d so f c o u m i n g a st b ew a yo f t l l i l l 虹n g i n v 0 1 v e di np e 咖u t a t i o na n dc o m b i n a t i o ni sd i s t i 王1 c t i v e ，t l l ei n s t m c t i o no fn l i st o p i c c a ne n l l a n c es t u d e n t s c 印a b i l i t i e so fl o g i c 恤i i l l ( i n g ，m a m e m a t i c a lm o d e l i n ga n d r e a d i n ga n de s t a b l i s l l i gp r o p e rc o n c e 州o n so fm a t h e m a t i c s m o r e o v e r ，p e n n u t a t i o n a n dc o m b i n a t i o na r et h eb a s i so f p r o b a b i l i 够1 1 1 e r e f o r e ，t 1 1 e yp l a ya ni m p o r t 如tr o l ei n s e n j o rm i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c s h o w e v e r ，i ti sd i f f i c u nf o rt l l es t u d e n t st 0g r a s p a 1 1 df o r t h et e a c h e rt ol e a c hp e n n u t a t i o na 1 1 dc o m b i n a t i o n ，a 1 1 dm i d d l es c h o o ls t u d e n t s o f t e nm d k em i s t a k e si nc o m b i n a t o r i a lr e a s o n i l l g ，w m c hh a sa l s ob e e nr e v e a l e db y s e v e r a lr e s e a r c h e sf i n i s h e db yf b r e i g ns c h o l a r s h o wt oe 行b c t i 、1 yi m p r o v eo n t e a c h i n go f 1 i st o p i ci sa ni m p o r t a n tt a s kf a c i n gt h em a m e m a t i c st e a c h e r si ns e n j o r m i d d l es c h o o l s t h e 抑om n d 啪e n t a ls t 印so fd o m gt h i sa r ei d e n t i 母i n gm ev a r i a b l e s c o n t r i b u t i n g t o也e d i 伍c i d t y i n l e a m i n gp e 玎n u t a t i o na n d c o m b i n a t i o na n d l u l d e r s t a n d m gt l l ei l a c u r eo fm i s t a k e sm a d eb ys t u d e n t sw h e ns o l v i n gc o m b i l l a t o r i a l p r o b l e m s t h i st 1 1 e s i si sar c p o r to fa 1 1e m p i r i cr e s e 础lo nf a c t o r sa 丘e c t i n g c o m b i n a t o r i a 工r e a s o n i n go fs e n i o rm i d d l es c h o o ls t u d e n t sa n d v a r i o u se f r o r sm a d eb y t h e m ，p u r p o n i r 培t oo he m p i r i c a l e v i d e n c e sf o ri m p m v i l l go nt l l ei n s t r l l c t i o no f p e m u t a t i o na 1 1 dc o m b i n a t i o n a t e s t ，w h i c hi n c l u d e s1 3p r o b l e m so np e l l i l u t a t i o na i l dc o m b i n a t i o ne a c ho f w h i c hb e l o n g st oac e r t a i nc o m b i i l a t o r i a lm o d e la i l di n v o l v e sac e n a i nc o m b i n a t o r i a l o p e r a t i o n ，w e r e 酉v e nt o 8 6 7s e n i o rm i d d l es c h o o ls t u d e n t s ，o fw h o m5 0 7h a v e i e a n l e dp e n n u t a t i o na n dc o m b i n a t i o na n d3 6 0h a v en o ti nf e b m a i y 2 0 0 6 i ti s r e v e a l e dm a ti n s t m c t i o na n dc o m b i n a t o r i a l o p e r a t i o n s s i g n j 6 c a n t l y a f r e c t c o m b i n a t o r i a lr e a s o l l i n g ，b u tc o m b i n a t o r i a lm o d e l sa dt h en a t u r eo fe l e m e n t st ob e c o m b i n e da r en o ts i g n m c a n tf 她t o r sa sf o r e i g ns c h 0 1 a r s r e s e a r c h e ss h o w ，a i l dt h a t s 远i l i f i c a n ts e xd i f i b r e n c ee ) 【i s t 锄o n gt h es t u d c n t si nm e i rc o m b i n a t o r i a lr e a s o n i n g m o r e o v e r ，s i xt y p e so fe r r o r sa r ci d e n t i f i e d 筋ma na n a l y s i so fa n s w e r sg i v e nb yt l l e s t u d e m s ，w h i c ha r ee r r o r sr e l e v a n tt ot l l ef 血d a n l e n t a lp r i n c i p l e so fc o 眦t i n g ，t i l o s ei i l s e m a n t i c a l l yu n d e r s t a n d i n go ft h ep m b l e m s ，t h o s eo fr e p e t i t i o na n do m i s s i o na 1 1 d t h o s er e l e v a n tt of o 舯u l a sa n dc a l c l l l a t i o n t 1 1 r o u 曲t h ef o l l o 晰n gi n t e n ，i e w s 丽m1 5 s t l l d e m s ，w h ow e r cc h o o s e da c c o r d m gt o t h e i rt y p i c a le r f o r s ，f o l 】rm a i nt y p e so f c a u s e so ft h ea b o v ee r r o r sa r ei d e n 廿f i e d ，i n c l u d i n gc o n c e p t u a lc o 晌s i o n s ，s e m a n t i c i n i s u n d e r s t a l l d i l l g s ，r e p e t i t i o no ro m i s s i o ni nu s i n ga d d i t i o na n dm l l l t i p l i c a t i o nr u l e s a n de r r o n e o u sc a l c u l a t i o n ni sa l s or e v e a l c dm a t 廿l eo r d e ri n 也ed i 瓶c u l t yo fm ef o l l rc o 埘【b i n a t o r i a l o p e r a t i o n sb e f o r ei n s t m c t i o ni sp a r a l l e lt ot h eo r d e ro f t h c i rl l i s t o r i c a ld e v e l o p m e n t ：a l l p e n l l u t a t i o n s ，c o m b i n a t i o n s ，p e m u t a t i o n s 埘m o u tr 印e t i t i o n ，a l lp e m t a t i o n s 诵m o u t r e p e t 试o na n dp e m m a t i o n sw i t hr e p e t i t i o n b a s e du p o nt h ef i n d i n g so fm i sr e s e a r c h ，s o m es u g g e s t i o n sf o rt e a c h i n go f p e m l u t a t i o na n dc o m b i n a t i o na r eg i v e n a tm ee n do f t l l i s 也e s i s k e yw o r d s ：p e r i n u t a t i o n s ，p e m l u t a t i o n sw i t l lr e p e t i t i o 如c o m b i n a t i o n s ；c o m b i n a t o r i a lm o d e l s ；c o m b i n a t o r i a lo p e r a t i o n s ；c o m b i n a t o r i a lr e a s o n j n g 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 学位论文授权使用声明 龇 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：铷汤霞导师签名： 日期：递! ：重：日期：山山t 二b 牛 娩 应 1 课题概述 1 1问题的提出 我国数学课程标准( 实验) 指出：计数是人与生俱来的一种能力，也是 了解客观世界的一种最基本的方法。计数问题是数学中的重要研究对象之一，分 类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法， 也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。这部分内容 的学习，最重要的是培养学生解决实际问题的能力。1 1 2 7 】 基于两个基本计数原理加法原理和乘法原理的排列组合是十分重要的 数学计数方法。人教社全r 制普通高级中学数学教材( 试验修订本必修) 的第 十章即为“排列、组合与概率”，它是由现行高中数学必修本代数下册的第9 章 “排列、组合、二项式定理”和第l o 章“概率”合并而成的。作为高中数学必 修内容的最后一个部分，这一章在整个高中数学中占有重要地位1 。 组合学是离散数学的一个重要领域，而离散数学是“广泛应用于工商业的现 代数学的一个活跃的分支”。组合学是人们处理日常经历以及职业实践的工具， 并与数学的各个分支以及其他学科( 如计算机科学、通讯、统计学) 相联系。从 教育功能的角度来讲，组合问题有助于培养学生的逻辑思维能力。因此，把组合 学作为从小学到高中数学课程中必不可少的一部分是有必要的。1 8 j k a p u r 认为，中学初等组合学教学有以下意义【l j ： 因为它并不依赖于微积分，对不同年级都有合适的问题；通常可以和学 生讨论很有挑战性的问题； 可以用来训练学生在计数、猜想、一般化和系统思维等方面的能力，有 助于发展诸如等价和顺序关系、函数、样本等许多概念。 可展示它在不同领域的许多应用。 接受笔者调查的一线中学数学教师也持有类似的看法： 排列组合涉及计数问题，学生需要正确分类、分步解决，同时还要构建 h n p ：，、州p e p c o mc n 2 0 0 4 0 6 c a 4 7 3 6 3 8 h t m 正确的数学模型，因此，这部分对培养学生严谨的思维及数学建模能力是很有帮 助的。而且计数问题在生活中随处可见，通过排列组合的学习可以让学生进一步 体会数学与生活的联系，培养正确的数学观。 排列、组合是一种基本的计数方法，在近代科学研究中有其重要地位， 从中学现行的课程来看，它是概率部分的基础，在安排调配等日常生活和工作中 有大量应用。另外，从学生的能力培养的角度来讲，排列组合这部分内容对学生 的逻辑分析能力、阅读能力、数学建模等诸方面都有很好的训练。 另外，根据p i a g e t 和h l h e l d e r 的研究，如果学生不具备组合能力，那么除 了十分初等的随机试验外，他她很难运用概率思想。他们还认为，概率概念的 出现与对排列思想的理解、概率的计算与组合概念的发展是相互联系的。事实 上，在我们现行中学课程中，排列组合知识是概率部分的入门阶梯。 然而，排列组合被普遍认为比较难教、难学，多数问题的解法并不易想到， 而且具有许多不确定性。它的内容独特，思维新颖、方法灵活，学生普遍感到难 以把握，不知如何思考，解出以后又不知是否正确。国外的一些研究印证了这一 点，发现学生在解决组合问题时的确遇到了许多困难。 8 l 接受笔者调查的的中学 数学教师对这部分知识的看法或许更有说服力： 从高中学生解排列组合问题时的表现来看，即使是非常优秀的学生，也 经常会出现错误，其困难性可见一斑。有一部分学生在高一学得不错，但在学习 排列组合这部分内容时却显得有点吃力，但也有一部分学生在此却茅塞顿开，进 步神速。这是因为排列组合的学习更着重分析、理解和思考能力的训练，此外， 课本也比较偏向教学目标纵向的研究，而忽略了横向的比较( 如组合与排列的关 系) ，所以高中生在处理问题时多流于方法的记忆，无法正确地将问题分类与比 较，因此造成学生不易发现的错误。从这个意义上来说，排列组合这部分内容的 学习，对于培养学生逻辑思考能力、分析整合所学知识形成知识系统的能力等诸 方面都有很重要的意义。 学生在学习这部分内容时，和其他部分有明显差异，尤其是文字理解能 力差的同学显得非常突出，另外，以往以记忆各种解题方法为主要学习方式的学 生会连连碰壁，从教学的角度来看，解题训练肯定是一种非常必要的手段，但要 真正有效，必须提高解题训练的层次，即注重学生对问题的分析，了解学生内心 的想法，找出学生常犯的错误类型，及时进行比较与辨析，不要流于题海战术。 这部分内容表现形式虽然是一些数值，但是方法上是构造性的，是人类 通过简单的数一数进行计数方法的超越，因此方法上较抽象，不利于学生掌握， 同时教师也难以采用直观教学法。有时教师在教学时用较少的计数方法来推广较 大数目的计数方法，如树图、列表格等，但是解排列组合题往往需要从实际问题 中抽象出计数的本质并构造出计数模型，甚至要求用变换对应的方法解决，这对 教师与学生的建模能力与创新能力要求皆较高。我发现教学的结局往往导致学生 机械套用教材中的排列组合公式解决问题，错误很多。 学生往往解决组合问题的思路不清，对象不清，特别是在有多个对象的 情况下，难以分折出主要对象。对于两个基本原理难以灵活应用，只会机械套用 教材中的排列组合公式，对多变的计数问题建模困难。造成这些困难的原因是： 计数问题本身就是较难学习的内容，有些内容我们教师也常出错；学生的分类能 力、建模能力差；我认为排列组合与学生思维的逻辑性、集合运算知识的使用有 关，但是现在的教材对简易逻辑、集合内容编写较少。 排列组合是概率论的基础，尤其是组合，很多概率题目中都包含着组合。 目前，从高考命题的趋势来看，概率论越来越成为考查的重点和难点，因而，排 列组合就越发显得重要。这一块内容在高考中得分率极低，有人统计，0 3 年此 题得分率仅有百分之十几。虽然高考中这部分内容分值不太大，但在中学里也不 敢轻视，因每年必考，并且除了单独出一道小题之外，也会把这部分内容与其他 内容结合起来出题，所以这部分内容还需要让学生做许多训练题目。 因此，对组合学的教学进行深入研究并作出改进是很有意义的。b a t a n e r o 等 认为，要把组合学教得容易一些。有两个基本步骤：一是理解学生解决组合问题 时所犯错误的本质，正如弗赖登塔尔所指出的那样，“注意错误与注意生理的和 心理的疾病一样是必不可少的，假定一方面其指导思想是出于希望纠正错误或防 止它，另一方面是弄清它的来龙去脉，以便使我们这个希望有机会取得满意的结 果”【1 2 5 】；二是确定导致学生组合学学习困难的变量。【1 1 那么，我国的中学生在 解决排列和组合问题时易犯哪些错误? 错误的成因是什么? 哪些因素导致了他 们学习排列组合知识的困难? 本文的研究就是针对这些问题进行的。 1 2 文献综述 1 2 1 国外研究状况 鉴于学生学习排列组合的困难，国外研究者已做过相当多的教育研究。一类 研究以排列组合问题为工具，研究图式结构与直觉的关系、元认知对问题解决的 影响、合作对监控的影响等。f i s c h b e i n 和g m s s m a n 就组合推理中的图式结构和 直觉对7 年级、9 、1 1 年级学生、师范生以及成人作了调查和实验研究，发现图 式结构对直觉具有重要影响【9 】；b i 珂u k o v 对4 8 个职前小学教师和初中数学教师 进行了解组合问题元认知方面的研究。现让他们解两个组合问题，在学生完成解 答后，立刻让他们完成一份旨在了解解题过程中的元认知行为的问卷，研究得到 了成功解题的学生的元认知行为，证实了元认知在数学问题解决中的重要性； e i 蹦出e r g 和z a s l a v s k y 用l o 道组合题目测试了1 4 个本科生，其中8 个独立完成， 6 个分三组，两人一组合作完成，发现合作导致高水平的监控，而高水平的监控 导致更多正确的答案。【4 】e i z e n b e r g 和z a s l a v s k y 还用同样的题目测试了一些本科 生，发现学生解题时所使用的若干验证策略。1 5 1 另一类是研究儿童的组合策略。h l h e l d e r 和p i a g e t 通过液体染料实验和彩色 计算器任务发现前运算阶段的儿童仅仅根据经验，通过每次随机联系两个元素形 成组合，并未使用系统的方法；直到具体运算阶段，他们才尝试用一些系统的步 骤来形成组合。进入形式运算阶段以后，他们开始用一种系统的方法形成珂n 组 合。但一些批评者指出，p i a g e t 低估了儿童的组合能力，他的实验太抽象，并且 对实验材料的不熟悉对儿童的表现也有不利的影响。有几项研究通过用适合于儿 童的材料和有趣的任务情境发现，一些认知能力更早就出现了。 基于此，l d e n g l i s h 作了一项关于4 9 岁儿童组合策略的研究6 】1 7 1 。研究 发现了六种逐渐复杂的解答策略，策略a 是随意选择项目而不拒绝不正确的项， 策略b 是由随机项目选择且拒绝不正确的项而形成的试误步骤，被认为是组合 运算发展的第一阶段。策略c 是在项目选择上出现了规律并拒绝了不正确的项， 这个策略被认为是试误和算法步骤之间的一步过渡。策略d 是在项目选择上有 一种一致的、完全的方式并拒绝了不正确的项。策略e 是在项目选择上出现了 一种“里程计”的方式并拒绝了可能的项。策略f 是在项目选择上采用完全的里 程计方式并没有拒绝任何项。研究发现7 9 岁儿章在问题解决过程中能独立获得 比较复杂的程序。研究证实年龄和解题策略之间存在显著关系。 l d e n g l i s h 还做了一项关于7 1 2 岁孩子解决二维和三维组合问题的策略的 研究。测试结果表明，孩子在独立解决三个关于用所有可能的上衣和裤子的组合 给小玩具熊穿衣服的二维问题和三个关于用所有可能的上衣、裤子和网球鞋的组 合给小玩具熊穿衣服的三维问题的过程中，出现了两组从简单的试误法逐渐到最 复杂的“里程计”法的各五种策略，此研究追踪了孩子在解决二维和三维可操作 的组合问题时所使用的组合策略的发展情况，并包含了孩子在整个问题解决过程 中改变他们的策略的方式，以及解决二维问题的经历使得他们能采用并有效的把 二维“里程计”策略( 指保持一项不变) 转变成更复杂的三维“里程计”策略( 指 保持两项不变) 。 第三类是研究学生的组合能力或组合问题难度的影响因素以及学生解排列 组合题的错误类型。f i s c h b e i n 等研究发现，如果不经过特定的教学，解决组合 问题的能力并不总是可以达到的，甚至在形式运算阶段也达不到。另一方面， f i s c h b e i n 等对特定教学对组合能力的影响进行了研究，发现即使是1 0 岁的小学 生也能在树状图的帮助下学会一些组合思想。f i s c h b e i n 和g a z i t 从元素的性质和 数量上分析了组合问题的相关困难，确定了在解决用一种运算可解答的组合问题 时的一些典型错误。他们发现，在教学前，组合运算的难度按组合、无重复排列、 有重复排列、全排列这一顺序由小到大排列；而在教学后，这个顺序发生了变化， 组合的难度最大，而排列在学生学会使用树状图后难度降低了。f i s c h b e i n 和 g a z i t 认为，排列公式和排列的树状图比组合公式和组合的树状图更简单，他们 指出，组合公式的教学似乎干扰了这类问题直观的经验性策略。 f i s c h b e i n 和g a z i t 还发现，学生解答元素为数字的问题的正确率高于元素为 委员会、彩旗之类的问题，因为学生更习惯于用数字进行心算。他们所确定的学 生的解题错误有： 误用对应于另一类组合运算的公式： 将作为己知条件的数字相乘； 误将问题中所含的数据的其中一个作为答案； 给出一个与已知条件无关的数。 在f i s c h b e m 和g a z i t 之前，h a d a r 和h a d a s s 曾通过著名的伯努利一欧拉问题 “错置信件”问题2 的测试，证实了学生在解组合问题时的一些易犯的错误。【1 0 】 但f i s c h b e i n 和g a 出的研究中并未涉及组合模型这个变量。组合模型是 d u b o i s 提出来的，他将简单的组合结构归为选择模型、分配模型和分割模型【3 】。 三类模型的定义如表1 所示。 表1 三种组合模型及题例 组合模型定义b a t a l l e 阳等人的问题 从”个元素的集合中从5 名学生中选出3 名帮老师擦黑板，共 选择 取出m 个元素有几种不同的选法? 将聊个元素分配给胛 将3 张相同的卡片装入黄、蓝、红、绿4 分配个不同信封，每个信封里最多只能装一 个单元 张。问共有多少种不同的装法? 将m 个元素的集合将标有1 、2 、3 、4 的四张邮票分给甲、 分割 分割成h 个子集乙二人，每人2 张。共有几种不同分法? 基于上述研究，c b a t a n e r o 等以教学( 2 个水平) 、性别( 2 个水平) 、元素 性质( 3 个水平) 、组合运算( 5 个水平) 、组合模型( 3 个水平) 等作为可能的 变量，对9 所不同中学2 4 个班级共7 2 0 名1 4 1 5 岁学生( 3 5 2 名学过组合学；3 4 8 名没有学过) 作了测试，并对1 7 名学生作了诊断性访谈，发现组合模型、组合 运算和元素性质都对学生的解题产生了显著的影响。他们重新确定了学生的错误 类型，包括对问题陈述的错误解释、顺序错误、重复错误、对象类型的混淆、不 系统的罗列、运算错误、公式错误、树状图的错误解释、组合数性质错误等。最 后，统计分析得到影响排列组合问题难度的四个因素：问题陈述的复杂性、组合 模型、排列问题的特征、重复组合与重复排列之间的相似性和差异性。【l j 1 2 2 国内研究状况 笔者在中国期刊网以及各种数学教育期刊上，搜索到了三百多篇有关排列组 2 某人写_ ，n 封信，并在h 个信封上写下了相应的地址。若把所有的信都不放在相应的信封里，有多少种 放法? 6 合的文章，发现有关排列组合内容的实证教学研究很少。杨光伟以8 个本科生为 研究对象，分成两组，一个讨论组，一个独立组，通过测试分析得出结论：不同 的作业方式之间在成功解决问题方面存在显著差异，不同的作业方式之间在元认 知监控程度方面也存在显著差异，但元认知监控程度在错误类型上并不存在显著 差异。于是，他认为，在解决排列组合问题的过程中，合作讨论对成功解决问题 的主要贡献，就在于通过有效的合作讨论( 有效的合作讨论会导致高水平的元认 知监控) 将会减少概念性错误，而概念性错误的减少反过来就有助于提高元认知 的监控程度，从而，高水平的元认知监控导致了更大的解决问题的成功率。 绝大多数文章【1 6 _ 1 2 4 】的内容都是解排列组合问题策略的总结或介绍，归纳起 来，这些策略大致有以下几种：1 、特殊元素优先安排；2 、合理分类与准确分步； 3 、排列组合问题先选后排；4 、正难则反，等价转化；5 、相邻问题“捆绑”处 理；6 、不相邻问题插空处理；7 、定序问题除法处理；8 、分排问题直排处理；9 、 “小团体”排列问题中先整体后局部；1 0 、构造隔板模型：1 1 、枚举法；1 2 、韦 恩图法( 或集合法) ；1 3 、对等法( 正反概率相等) ；1 4 、均匀分组问题均除法。 其中，有些文章也介绍了学生常犯的错误，主要有：l 、未看清题意或误解题意： 2 、误用原理：3 、排列与组合问题相混淆：4 、对于分组分堆的概念不清晰；5 、 对均匀分配( 有序) 与分割( 无序) 问题经常会产生错误；6 、对“插空、捆绑、 隔板”等常见的策略不清楚；7 、自行加入其他条件去解题；8 、计算错误；9 、 对公式不够理解而错误的使用公式。还有一篇文章专门总结了近十年高考中考察 到的排列组合问题的六种类型：数字问题、排队问题、几何问题、比赛问题、次 品问题、小球问题。 1 3 本文研究问题 纵观国内外研究者在此领域所作的工作，有的详细探索了孩子组合策略随年 龄增长的发展过程，有的揭示了元认知因素在组合推理中的作用，更重要的是， 有不少研究者注意并尝试研究了影响学生组合推理的某些因素，并找出学生在测 试中所犯的错误，这些都为本研究奠定了坚实的基础。由于国内相关研究较少， 中外数学教育差异巨大，我们还不了解，f i s c h b e i n 、g a z i t 、b a t a n e r o 等人的研究 结果在我国是否同样会出现。我们需要对自己的学生进行研究，方可得到适合我 们教学实际的启示。另一方面，在排列组合教学研究上，国外学者迄今尚未从 h p m ( 数学史与数学教育) 的视角进行尝试。鉴于此，本文研究以下问题： 1 、组合模型、组合运算、元素性质、教学等因素对我国中学生解排列组合 问题是否会产生影响? 2 、在排列组合问题解决上，是否存在性别差异? 3 、中学生对排列组合的理解是否具有历史相似性? 4 、在组合推理过程中，学生常犯哪些类型的错误? 为什么会出现这些错误? 2 研究方法与设计 本文采用以下研究方法： 文献法：查阅国内外文献，了解国内外有关排列组合教学的研究现状， 从中提炼自己的研究问题、确定自己的研究工具和研究方法，并与自己的调查结 果作比较。 问卷法：通过问卷来了解中学数学教师对排列组合这个知识点的看法； 通过测试来确定影响高中生组合推理的因素以及他们在解排列组合问题时所犯 的错误类型。 访谈法：实施了两组访谈。一、对学生的访谈，对于被试无法在测试卷 中显示的想法，采用访谈的方法，揭示其思维过程，发现其思维障碍；二、对教 师的访谈，了解教师对这部分内容教学的观念和想法，以及他们在教学中发现的 学生学习的困难和常犯的错误。 2 1 问卷的设计 2 1 1 学生问卷的设计 本研究所采用的学生测试卷( 见附录1 ) ，是根据b a t a n e m 等人的题目改编 而成，选择问题时考虑了以下因素： ( 1 ) 组合模型_ j 发择、分配和分割； ( 2 ) 组合运算全排列、排列、组合、重复排列： ( 3 ) 元素的性质字母、数字、人和物； ( 4 ) 已知参数聆和m 的值。 题序的安排确保不同的组合模型和组合运算交替出现。 问题2 、5 、8 、1 1 、1 3 所隐含的组合结构属于选择模型， 合中选择珊个元素。各题中的具体信息见表2 。 问题1 、3 、6 、9 、1 2 所隐含的组合结构属于分配模型， 即从聆个元素的集 即将一个集合的m 个元素分配给以个单元。各题的具体信息见表3 。 问题4 、7 、l o 所隐含的组合结构属于分割模型，即将以个元素的集合分成 9 m 个子集。各题的具体信息见表4 。 表2 问卷中的选择模型问题 序号基本类型题次运算 l无重复有序样本5 ，1 3 只；爿： i i无重复无序样本 8 c ： i i i 可重复有序样本 2 ，1 1 彳r ： 表3 问卷中的分配模型问题 序基本类型题次运算 i ”个不同元素在m 个不同单元中的有序分配 1 9 ；爿： i i 个不同元素在卅个不同单元中的无序分配 6 爿r ： i i i 个相同元素在埘个不同单元中的分配3 1 2 c ：；c ：只一。 袁4 问卷中的分割模型问题 序基本类型题次算法 玎元集合所分成的m 个子集中可 i 4 ，7_ f ，2 ” 以有空集 ”元集合所分成的m 个子集均非 空集，各含个元素( o 聆， i i1 0 c ：( 掰= 2 ) 且= 胛) i = l 我们把所有1 3 道测试题的组合模型、组合运算、元素性质和参数埘、拧进 行汇总，得表5 。本文中，组合运算中的有重复全排列和有重复选排列分别界定 如下：从玎个元素中每次取出膈个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从押 个元素里每次取出m 个元素的个排列，如果取出的m 个元素中有相同的，则 这种排列为有重复排列，如果m 聆，则称之为有重复选排列；如果m = n ，则 称之为有重复全排列。【1 2 6 】 表51 3 道测试题的详细信息 组合模型 组合运算选择模型分配模型分割模型 题次元素运算公式题次元素运算公式题次 元素运算公式 组合 8 人q 3 物a 1 0数字 凹 有重复的 2 物 瑚4 ，1 ，l ，2 1 2字母p r5 ，l ，l ，37 人 p r 4 2 2 全排列 有重复的 1 1 数字 r ：6人 彳r ： 4物 一r ： 选排列 全排列 5数字 只 1 人只 排列1 3人 爿j 9物 4 ； 2 1 2 教师问卷的设计 本论文所采用的教师问卷本来是作为教师访谈提纲用的，后来访谈了几位教 师后，觉得如果给出充分的时间，把这些问题做成笔答题，得到的信息或许更有 深度一些，并且由于各种限制，不可能访谈很多教师，而做成问卷会更便捷些。 因此，依据本论文所考察的问题和打算从教师中获得的信息，设计了6 道题，见 附录2 。设计第1 题是为了得到本研究在实际教学中的意义，而第2 和第3 题是 为了了解教师的教法，并了解学生初学这部分内容时的困难。为了了解学生在平 时学习过程中易犯的错误，设计了第4 题。第5 题是把d u b o i s 的三种组合模型 【3 j 引入，了解中学教师对这种模型划分的熟悉和利用的程度。有不少人认为排列 组合这部分内容跟其他内容的关联性不大，为了了解它的教学是否具有这种特殊 性，设计出第6 道题。因为笔者缺乏教学经验，所以开始设计出的问卷难免有不 切实际之处，于是先测试了部分教师，听取了他们的一些建议，最后形成这份问 卷。 2 2 测试与实施 2 2 1 样本的选取 l 、学生样本 因为教学是本论文要考虑的一个因素，所以被试学生分成了教学组和非教学 组两部分。教学组选择了五所学校八个班级，即浙江诸暨中学的两个高二普通班、 安徽淮南一中的一个高三理科重点班、浙江温州第十九中学的一个高三普通班、 河南洛阳拖一高中的一个高三重点班、山东烟台栖霞一中的三个高三重点班( 包 括一个奥数班、一个理科重点班和一个文科重点班) ，共5 0 7 位学生：非教学组 选择了四所学校六个班级，即浙江诸暨中学的两个高二普通班、浙江温州第十九 中学的一个高二普通班、河南洛阳拖一高中的一个高一重点班、山东烟台栖霞一 中的两个高一重点班( 未分文理) ，共3 6 0 位学生。所以，本研究的学生样本是 8 6 7 位高中生，其中女生4 0 3 人，男生4 6 4 人。具体如表6 。 表6 学生样本分布情况 教学组未学组 学校 男女男女 浙江省诸暨中学 7 34 27 3 4 4 安徽省淮南第一中学 4 31 9 河南省洛阳拖一高中 3 21 72 6 2 7 浙江省温州第十九中学 2 52 41 43 6 山东省烟台栖霞一中 1 1 31 1 96 57 5 总计 2 8 62 2 l1 7 8 1 8 2 2 、教师样本 教师样本的选取如下：其中1 0 位教师是在读教育硕士，其他4 0 位教师分别 来自浙江诸暨中学、安徽淮南一中、河南洛阳拖一高中、山东烟台栖霞一中，所 有被测教师都教过或正在教排列组合这个知识点。具体如表7 。 表7 教师样本分布情况 j 学校 诸暨中学淮南一中洛阳拖一高栖霞一中在读教育硕士 1 人数 61 371 41 0 2 2 2 实施测试 l 、学生测试 因为原测试题是b a t a i l e m 等用以测试1 4 1 5 岁中学生的，而我国的中学数学 课程把排列组合这个知识点安排在高二或高三，学生大多在1 6 1 9 岁之间，一开 始笔者担心题目对我国的中学生来讲会过于简单，而使测试失去意义，故首先作 了预研究。实施预测在2 0 0 5 年2 月份，选取了浙江省富阳中学的8 7 位学过排列 组合的高三学生，得出1 3 道题的正确率分别为1 0 0 、4 3 7 、2 5 3 、5 7 5 、 9 3 1 、4 8 3 、2 1 8 、9 4 3 、8 8 5 、4 2 5 、8 3 9 、5 1 7 、8 5 1 ，而且 出现了多种类型的错误，这个结果消除了笔者的担心，认为研究是可行的。 正式测试安排在2 0 0 6 年2 月份到3 月中旬之间，在正式课堂上进行，时间 控制在4 5 分钟左右，各学校可根据具体情况适当缩短或延长时间。测试时，邀 请所在班级的任课教师监考，要求各监考教师对如何解题不作任何提示，尽量避 免抄袭现象发生。被测学生共8 6 7 人，回收有效问卷8 6 7 份。 2 、教师测试 笔者委托来自浙江诸暨中学、安徽淮南第一中学、河南洛阳拖一高中、山东 烟台栖霞一中的4 位教师向他们各自教学组教过或正在教排列组合的数学教师 发放了教师问卷，并委托来自安徽广德中学的一位在读教育硕士向和他一起读书 的各位教师发放了教师问卷，时间要求宽松而且随意，要求各位教师在比较空闲 的时候写下自己真实的想法。此次测试发放了6 5 份问卷，共回收有效问卷5 0 份，因为其中有一些初中教师没有教过排列组合，所以没有对问卷作出回答。 2 - 3 访谈与实施 2 3 1 访谈对象的确定 l 、被访谈学生 因为时间和空间等条件的限制，笔者把被访谈学生确定在浙江诸暨中学，一 是因为此中学离笔者所在地较近，二是被访谈学生的任课教师有数学教育研究经 验，可以给予很好的安排与配合。笔者仔细分析了浙江诸暨中学所有被试学生的 调查问卷，然后选出包含典型错误的答卷，共计1 5 份，以此来确定被访谈对象， 学过排列组合的3 人，没学过的1 2 人。 2 、被访谈教师 适逢几位教师来华东师大参加教育硕士学位论文答辩，一等他们答辩完，笔 者即对其中3 位作了访谈。又选择了还在这里学习的1 位进行访谈，所以总共访 谈了4 位教师。4 位都是他们所在地区的优秀教师。 2 3 2 实施访谈 l 、学生访谈 笔者首先把问卷返还给被访谈学生，给他们半天时间回忆当时的思维过程， 然后把1 5 位学生集中在一个空教室里，在很随意的气氛中进行访谈，访谈过程 被录音。访谈只针对他们做错的题目，让他们讲出当时的思路和想法即可，并要 求尽量真实。 2 、教师访谈 对4 位教师的访谈时间安排的比较分散，比较随意，在办公室里以聊天的方 式进行。因为4 位教师都对数学教育研究有一定的了解，所以配合较好。笔者首 先给每位教师介绍自己的毕业论文所研究的问题、访谈的意义，然后依据访谈提 纲的问题提问。在每次访谈后，笔者作了笔录，以再现访谈内容的精华。 2 4 数据处理 本文基本数据是通过把正确答案赋值1 ，而把任何错误答案赋值0 得到的。 横向计算出每位学生所完成的1 3 道题的正确率，众向计算出所有学生在每道题 上的正确率。然后，用s p s s 统计软件，对每个因素不同水平间实施了均值分析 即独立性t - 检验或单因素方差分析，以此来判断每个因素是否对组合推理有显著 影响。 j 4 3 测试结果与分析 3 1 测试结果 为了更清晰而简洁的展现五种因素及其不同水平的情况，我们在表8 中列出 了五种因素各自不同水平上的平均百分比和标准差。之后，我们再分别具体介绍 每种因素。 表8 不同因素水平的平均百分比和标准差 因素水平平均百分比标准差样本大小 女 o 。6 50 2 74 0 3 性别 男 o 7 3o 2 44 6 4 未学 0 5 3o 2 63 6 0 教学 己学o 8 1o 1 85 0 7 分配 o 6 9o 1 64 2 4 0 组合模型选择 0 7 7o 1 24 2 5 0 分割 o 6 4o “2 5 3 5 组合 0 7 1o 1 22 5 6 6 重复全排列 o 6 1o 0 42 5 3 6 组合运算重复选排列0 6 0o 0 72 5 0 0 全排列 0 9 5o 1 11 7 3 0 选排列 0 7 6o 0 11 6 9 6 物 0 6