（光学专业论文）泵浦光与信号光的光强重叠因子和掺铒波导放大器的增益特性.pdf

上海交通大学上海交通大学 学位论文原创性声明学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：戴亚军 日期： 2008年1月25日 上海交通大学上海交通大学 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。 本人授权上海交通大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密保密，在 年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名：戴亚军 指导教师签名：金国良 日期： 2008 年 1 月 25 日 日期： 2008 年 1 月 25 日 2 摘要 摘要 摘要： 在掺铒玻璃波导放大器 （edwa） 的三能级速率传输方程中， 考虑二次离子交换工艺中波导掩膜窗口宽度不同所导致的泵浦光、 信 号光模场、 光强分布的不同， 讨论不同波导掩膜窗口宽度对掺铒玻璃 波导放大器增益特性的影响， 得到精确数值解。 引入描述波导中泵浦 光和信号光的归一化光强重叠因子， 对掺铒玻璃波导放大器的传统近 似解提出修正，得到修正解，使其更加接近精确数值解。模拟结果表 明，在条波导长度为 4cm，泵浦光、信号光分别为 80mw、-10dbm 的 条件下， 不同波导掩膜窗口宽度所导致的掺铒玻璃波导放大器增益差 别可达 2.97db。修正解的结果比传统近似解更加接近精确解。修正 解对于 edwa 的研究、设计具有指导作用。 关键词： 集成光学，掺铒玻璃波导放大器，重叠积分因子，增益 3 an overlap factor between light intensity profiles of signal and pump and gain characteristic analysis in er-doped waveguide amplifier abstract the model used for analyzing the gain characteristics of er-doped waveguide amplifier (edwa) is based on the rate -propagation equations with light intensity profiles of pump and signal. the light intensity of pump and signal in different channel opening width (dcow) of er-doped waveguide is discussed. and the precise numerical method (pnm), which considers the difference between signal and pump light intensity profiles in channel waveguide with different channel opening widths, is used to solve the gain characteristics of signal light in edwa. an overlap factor sp between light intensity profiles of signal and pump is introduced to revise the conventional simplified method (csm) in edwa, which is the revised conventional simplified method (rcsm). results show that a gain change of 2.97db due to dcow of waveguides is obtained for a 4-cm long waveguide amplifier pumped by 80 mw at 980 nm. and in comparison with csm, the gain of signal light from rcsm is more approach to the result from pnm. therefore, the rcsm can be effective in the research and design of edwa. keywords: integrated optics, er-doped glass waveguide amplifier, overlap factor, gain 6 第一章 引言 第一章 引言 it 行业现今已经成为了推动社会发展，经济增长的第一产业。光纤通讯网络 的发展逐渐地从主干网转移到城域网和局域网以及入户光纤网络。 随着数字通信 业务量的持续增长，市场急需一种结构更紧凑，功能更强大而造价更低廉的光通 信器件， 基于波导技术的集成光学有源器件： 掺铒波导放大器 （edwa） 生逢其时， 不仅满足了市场对有源波导器件的新要求， 同时也开创了一个有源波导器件技术 的新台阶。 1.1 edwa 简介 1.1 edwa 简介 掺铒光波导放大器（edwa）是通过适当的方法使掺铒玻璃基片的局部折射率 发生增加而形成光波导，它是以掺铒波导为增益介质，利用 980 nm 和 1480 nm 泵浦作为泵浦光源，使铒离子 er 3+基态和亚稳态能级之间实现粒子数反转，信号 光入射使亚稳态铒离子 er 3+发生受激辐射，在 1550nm 窗口波段提供信号光放大 增益的光学器件1（图 1-1） 。 图 1.1 edwa 结构示意图 figure 1.1 the structure of edwa 在 edwa 之前，市场上已经成熟的产品有掺铒光纤放大器（edfa） ，半导体激 光放大器（soa） ，光纤拉曼放大器等。其中 edfa 具有高增益、高输出功率、宽 带宽，噪声接近量子极限，与偏振无关等一系列优点。它极大地扩大了放大器的 传输带宽。 使超高速超大容量超长距高的波分复用 （wdm） 、 密集波分复用 （dwdm） 、 全光传输、光孤子传输等成为现实。而掺铒波导放大器（edwa） ，正是在掺铒光 纤放大器的基础上将多种光器件集成在一起。 它不仅具有光纤放大器的大多数优 点，并且有体积小，集成程度高，性能可靠，成本低的众多优点。相比 edfa， 7 掺铒玻璃衬底波导放大器固有的特点是结构紧凑。它不需要像 edfa 一样要数以 米计的掺铒光纤来实现光的放大，并且能够集成多种功能，其小巧的尺寸很适合 于有限的空间。另外，在城域网和局域网应用中，edwa 可以提供比 edfa 更好的 性能价格比。虽然对性能要求较高的主干网传输而言，edfa 仍有一定优势，但 edwa 的持续发展将逐步缩小二者的差距。edwa 的性能参数如下：峰值波长可获 得 22db 增益，噪声系数为 6db，输出功率为 15dbm（teem 公司掺铒波导放大器 dwdm 系列） 。相对于半导体光放大器等，edwa 的优点还在于它继承了 edfa 的一 些基本特性，如：低噪声系数、较小的偏振相关性以及不存在通道间的串扰等。 edwa 能够很容易与损耗器件集成在一起，构成无损耗器件，如：无损耗分路 器（splitter） 、无损耗相位阵列波导、无损耗分插复用器、调制器、光开关或 者光交叉连接器等。它还有一些其他功能，如在 wdm 分插传输系统中用作可变衰 减器或可变放大器来调整信号电平，也可以代替光开关用作路由器件。它已经完 全做好准备满足用户对光器件的飞速增长的需求。不过，波导技术的真正突破还 在于 edwa 的最新发展，以及它看来较为独特的能力，能够满足城域网市场对高 集成度、高性能和低价格器件的需求。 到目前为止，制备掺铒玻璃波导的方法有：pecvd、加热水解沉积法、溅射 沉积法、离子交换法以及离子注入法等，其中广泛使用的最先进的两种方法是离 子交换法和溅射法。在这两种方法中，只有离子交换法2-3已经成熟，可以应 用于波导产品的制造，也是本文在研制 edwa 时所采用的工艺方法。我们选择掺 铒钠磷酸盐玻璃作为制作离子交换光波导的衬底材料， 该玻璃是由磷氧化物形成 的网格结构，网格的间隙中有金属或非金属离子，其中 na+的含量较大，当玻璃 处于一定的高温状态时，na+可以在网格中自由移动，此时，将玻璃置入一种含 其他一价阳离子（如 ag+、k+、cs+等）的熔融盐中，熔盐中的一价阳离子会由 于扩散作用从玻璃表面进入网格，而同时网格中的 na+会有一部分扩散到熔盐 中，这就是离子交换过程。由于整个过程网格结构要保持电中性，所以外面的一 价阳离子和 na+是一对一的交换。扩散进入玻璃的离子按一定的规律分布于玻璃 网格中，ag+、k+、cs+等离子的引入会导致玻璃局部的折射率增加，形成高折射 率光波导区。采用离子交换法制作的波导可以获得与发光材料相同的光谱特性， 可以应用于许多有源和无源波导器件的制造。 掺铒光波导放大器的研究水平和实 8 际应用 edwa 不仅可以提供单波长而且可以提供多波长的光放大， 并且可采用双源双 向泵浦的方式以提高各信道的增益；可在同一个基片上集成多个 edwa，形成阵 列型的光放大器，大大缩小体积，并可方便地实现 dwdm 系统中多波长增益的动 态调节； 在掺铒波导中掺杂镱离子或铕离子可提高增益性能并提高增益谱的平坦 性；可将 awg 与 edwa 阵列集成在一起，以实现光信道的动态增益均衡；可与波 导型分路器集成在一起应用于接入网。 总之， edwa 单位增益较大以及采用集成技术的特性， 使光放大器件向小型化、 多通道、多功能方向发展，为它在通讯技术的发展拓宽了道路。相信在几年内必 将在城域网、接入网及 catv 等领域得到大规模的推广应用。 12 edwa 目前理论研究进展以及存在的问题 12 edwa 目前理论研究进展以及存在的问题 到目前为止，edwa 由于在原理上和 edfa 具有一定的相似性，所以，在其 理论研究中，无论是三能级4还是四、六能级5模型，都是基于传统 edfa 的 理论模型。 其中，泵浦光和信号光光强分布 , ( , ) p s x y 与第 n 能级的铒离子数密 度 ( , , ) i n x y z 之间的重叠积分表述为 , ( , )( , )( , , ) ip si a n zx y n x y z dxdy= 6-7. a 为波导横向截面面积，z是泵浦光和信号光的传输方向。 求解 ( , ) i n z 是一个 计算量很大的过程。在传统 edfa 中，掺铒光纤中的折射率分布使信号、泵浦光 都以单模传输，两者光强分布重叠性好8。为简化数值计算， ( , , ) i n x y z 通过变 量分离为 ( , , )( , )( ) iii n x y zn x y n z= ， ( ) i n z 是传输方向上 z 处第 i 能级离子数密 度，并以材料衬底中横向铒离子掺杂浓度 ( , )f x y 代替 ( , ) i n x y ，引入泵浦光、信 号光与铒掺杂离子数浓度分布间重叠因子 ,p s ，定义为 , ( , )( ) ip si n zn z= ， , ( , ) p sp s a f x y dxdy= 9-11。一般情况下， ( , )f x y 是一个常量，可将 ,p s 同 时定义为两个常数，用其计算信号光增益、自发辐射 ase、以及噪声等12。 在 edfa 中，这个近似解能够简化计算过程，提高计算效率。 9 但是，在具有双包层结构的 edfa 更主要是在 edwa 中，泵浦光模式数以及 泵浦光、信号光光场分布却不尽相同。对于通过二次离子交换工艺制作的 edwa， 一、二次交换时间、融盐离子浓度、波导掩膜窗口宽度等工艺参数都会对条波导 的折射率分布、泵浦光和信号光的光强分布产生影响13-14。同时掺铒波导中 种种缺陷会激发短波长泵浦光的所有可能模式， 包括基模， 一阶模， 二阶模等等。 此外，在具有双包层结构的 edfa 中，其纤芯半径以及折射率分布使得泵浦光 （980nm）也会出现多模，并且泵浦光、信号光分布也一般不同。泵浦光光强决 定铒离子的亚稳态能级粒子数， 即截面上的反转粒子数分布由泵浦光光强分布制 约；而信号光增益则直接与粒子数反转情况以及信号光光强分布相关。所以，泵 浦光与信号光的光强重叠性质将直接影响泵浦效率与放大增益， 对其研究也成为 必要。因此, 在传统 edfa 中将 ,p s 简化为两个常数的近似处理方式，在现行 edfa、edwa 理论研究中必须对其进行必要的修正。 1.3 本文概述 1.3 本文概述 本 7 文主要通过掺铒波导放大器（edwa）三能级理论模型的光强分布数值解 研究截面上的信号光与泵浦光光强分布对放大器增益的影响， 提出了信号光与泵 浦光光强分布之间的重叠因子，并用其对 edwa 传统近似解提出修正，得到修正 解，使其更加接近于光强分布数值解。在第二章中介绍了 edwa 的放大原理、三 能级模型以及三能级模型下的光强分布数值解15， 并提出波导截面上信号光与 泵浦光光强分布间重叠积分因子对放大器增益的影响， 利用该重叠因子对传统近 似解提出修正，得到理论模型的修正解；第三章采用有限差分法求解扩散方程 16，数值模拟得到实用性较强的二次离子交换工艺制作的 edwa 的二维折射率 分布，并分析例举了不同工艺参数对最终折射率分布的影响；对第三章所求得的 10 波导结构， 在第四章中采用半矢量有限差分法17进一步模拟出波导截面上的信 号光及泵浦光的二维光模场分布；第五章中介绍了模式正交展开理论，用其来处 理光从光纤中向波导传输过程中的光强分配问题。 第六章利用前几章的数值模拟 结果，计算了光强分布数值解中 edwa 条波导截面上信号光与泵浦光光强分布对 信号光增益的影响， 系统讨论了工艺参数设置对光场重叠因子的影响以及对最终 放大器增益的影响，并对光强分布数值解、传统近似解、修正解中的信号光增益 进行了比较，其结果表明了本文对传统近似解进行的修正是正确可行的。这为指 导 edwa 的实验制作工作提供了帮助。第七章对本文的工作进行了总结并对今后 的工作以及研究重点进行了展望。 11 第二章 edwa 的基本理论模型 21 自发跃迁和受激跃迁 自发跃迁和受激跃迁 为解决黑体辐射问题中无法完全用经典理论导出光谱能量密度( , )t 函数 表示的问题（黑体是指完全吸收投射与其上的电磁波辐射的物体；( , )t 定义 为温度t下，单位体积内，在频率附近的单位频率间隔中的辐射能量） ，普朗 克于二十世纪初提出了量子论，其主要内容如下： （1）原子的特征是有一系列特定状态，在这些状态中，原子中的带电部分 作圆周运动，不发生能量的辐射，这种状态为稳定态。 （2）所有的辐射发射和吸收都是由于原子从一个稳定态到另一个稳定态的 跃迁，辐射的频率 21 ()/eeh=，其中 2 e和 1 e分别为稳定态的能量，h为普朗 克常数。 普朗克为得到与实验结果相符得公式，摒弃了经典物理学中得能量均分原 理，提出能量量子化得假设，如果振子得频率为，这些状态的能量只能是最小 能量（称为能量子）h的整数倍，即 m em h=。 普朗克提出辐射量子化的假设并成功地解释了黑体辐射分布规律。 玻尔又提 出原子中电子运动状态量子化假设。在此基础上，爱因斯坦从光量子概念出发， 重新推导了黑体辐射的普朗克公式，并且唯象地把能级之间地跃迁分为两类：受 激跃迁与自发跃迁，其中受激跃迁包括受激辐射与吸收，而自发跃迁只有自发辐 射。尽管爱因斯坦当时的理论很大程度上带有假设性质，但在近代量子电动力学 中得到了较深刻的阐明， 并且在今后发展的微波量子放大器和激光器件中的得到 了最为重要得应用。 为简化问题，从粒子系统得大量能级中取出两个能级 2 和 1，它们能量分别 为 2 e 和 1 e 21 ()ee 。上述三种过程可描述如下： 2.1.1 自发跃迁 12 自发辐射 3：处于高能级 2 的粒子，由于 21 ee，将会自发地衰变到能级 1， 跃迁过程中释放的能量必定是两个能级的能量差 21 ee。 如果这部分能量以电磁 波形式释放出来，这种过程称为自发辐射（spontaneous emission） ，辐射波的 频率 21 ()/eeh=（图 2-1） 。大量原子自发跃迁产生的辐射称为荧光，自发辐 射过程亦称荧光过程。其特点是每个原子的跃迁都是自发地独立进行，每个发射 辐射的原子都可以看作一个独立的发光单元，它们之间彼此毫无联系。因而发射 的光子是杂乱无章的（方向不一致，初始位相不一致） ，即非相干的。 图 2-1 能级 2 和能级 1 之间的自发辐射示意图 自发辐射过程的强弱可用自发辐射几率描述。设时刻t时，单位体积内处于 能级 2 e的粒子数为 2 n，则单位时间由于自发辐射而减少的粒子数 2 sp dn dt 将正比 于 2 n，因而可得， 2 212 sp dn a n dt = (2.1) 式中 21 a称为能级 2 e跃迁到能级 1 e的自发辐射几率，或称爱因斯坦a系数。不难 看出， 21 a表示单位时间单位体积媒质内处于能级 2 e的原子，在没有任何外界影 响的情况下，自发地衰变到能级 1 e的比例数。也可以理解为处在能级 2 e的一个 原子单位时间内自发地衰变到能级 1 e的几率。因此，称 21 a为自发发射几率，其 量纲为时间的倒数，如果时间以秒为单位，则 21 a的单位为 1 s。 自发辐射寿命 s 定义如下： 13 21 1/ s a= (2.2) 显然 s 是用来表征处于能级 2 e的原子在自发跃迁之前停留在该能级的时间的， 故称 s 为能级跃迁 21 ee的自发辐射寿命，即原子处于能级 2 e的平均时间。由 自发辐射引起的 2 n的减少服从如下规律： / 22 ( )(0) s t n tne = (2.3) 式中 2(0) n是0t =时刻处能级 2 e上的集居数。 21 a的数值只与跃迁所涉及的特定 能级有关。即使对于同一粒子系统，不同能级间的自发辐射几率仍有可能有很大 差异。 如果 21 0a =，即 s ，则辐射跃迁不能在这两能级间发生，称这个跃 迁为禁戒跃迁。 对于基态， 自发辐射寿命显然趋于无穷大。 若自发跃迁几率 21 a很 小，能级寿命 s 就很长，譬如可达 1 10 s 或更长，称这种能级为亚稳能级。亚稳 能级在光放大器及激光器理论中占有十分重要的地位，它能够集聚大量能量。一 般说来，激光跃迁的高能级均为亚稳能级。 另外自发辐射功率为： 21222121 () s pa n hn aee= (2.4) 2.1.2 受激跃迁 （1）受激辐射：仍考虑处于 2 e的粒子，设一频率为 21 ()/eeh=的电磁波 从外部射入原子。由于入射波频率与原子跃迁频率相同，这个入射波将驱使原子 以一定的几率产生 21 ee的跃迁。这是能量差 21 ee将以电磁波的形式释放出 来，于是除了原来的入射波列外，还产生了频率相同的另一波列。上述过程称为 受激辐射（stimulated emission） 。其特点是每个光子的发射不是自发的，必须 有外来光子的“刺激”或“感生” ，受激发射的光子与外来光子的频率、传播方 向、位相以及偏振方向都完全相同（图 2-2） 14 图 2-2 能级 2 和能级 1 之间的受激辐射示意图 受激辐射与自发辐射虽然都是发射同样的频率的电磁波，但这两种过程有本 质的区别。自发辐射属于随机过程，不受外来电磁场的影响，各个原子发射的电 磁波并无确定的位相关系而且具有各种可能的偏振方向和传播方向（4立体角 内） ，各原子自发辐射的波列是彼此不相干的。但受激辐射是入射电磁波“诱发” 的，类似“受迫”过程，因而与入射电磁波有同样的频率、位相以及传播方向。 由于受激辐射这一特性使它与入射电磁波相干叠加，才得以产生光放大作用。所 以 edwa 系统中光放大主要依靠受激辐射过程。 类似于自发辐射，也可用如下方程描述受激辐射： 2 212 st dn w n dt = (2.5) 式中比例系数 21 w称为受激辐射几率。表示单位体积媒质中在单位时间内处在能 级 2 e的原子，在频率 21 ()/eeh=的入射电磁波的感应下，跃迁到能级 1 e的原 子数与跃迁前的原子数之比。或者说在上述条件下，处在能级 2 e的一个原子跃 迁到能级 1 e的几率，故称 21 w为受激跃迁几率，其量纲与 a21同。但与 21 a不同的 是 21 w不仅取决于这一特定能级跃迁的性质， 而且于引起跃迁的外部电磁场有关。 设电磁场的光谱能量密度为( ) ，则可唯象得写为： 2121 ( )wb = (2.6) 式中 21 b称为爱因斯坦受激辐射系数，与 21 w不同，它只与原子性质有关。如果黑 体物质原子与辐射场的相互作用只包含自发辐射过程， 是不能维持辐射场稳定发 15 射的 因此爱因斯坦指出， 原子在辐射场的作用下， 必然存在一种受激辐射过程， 从而第一次在理论上指出了受激发射过程的存在。 （2）吸收：现在我们假定原子最初处于低能级 1 e。如果这个能级是基态， 则只要原子不受外界激励， 他将长期留在这个能级上。 如果有频率 21 ()/eeh= 的外部电磁场作用于原子，这种情况下，原子将有一定的几率吸收外部电磁场的 能量，而上升到能级 2 e，称为吸收过程（absorption） （图 2-3） 。 图 2-3 能级 2 和能级 1 之间的受激吸收示意图 显然吸收也是一种受激过程，它不可能自发的进行，因为违反自然界的最基 本规律能量守恒定律。吸收过程引起能级 1 e集居数 1 n的减少可用如下方程描 述： 1 121 st dn w n dt = (2.7) 以及 1212 ( )wb = (2.8) 式中 21 w 是受激吸收几率。 2.2 光放大的基本原理 2.2 光放大的基本原理 edwa 三能级理论模型中，设有电磁波入射介质，它的频率与原子系统的 两个能级 1 e和 2 e共振，即 21 ()/eeh=。由于两个能级上都存在有粒子，在外 电磁场的作用下，将同时产生受激发射和吸收两种过程。光是否能放大，取决于 这两种过程那一种占优势，考察薄层dz，由于受激辐射和吸收引起的光通量变 16 化为： 21 ()dff nn dz= (2.9) 其中为原子的有效截面。上式表明，如果 21 nn，则电磁波通过波导介 质后能够得到增强，产生增益。而在热平衡状态下，能级的粒子数服从波尔兹曼 统计分布。令 1 n和 2 n分别表示热平衡状态下两个能级的粒子数，则有 2 21 1 exp ()/ b n eek t n = (2.10) 这里我们考虑的是简并情况。上式表明，处于热平衡态的介质， 21 nn， 因而总是吸收入射电磁波，不会产生放大作用。如果用一种方法使得 21 nn, 则原子系统成为增益介质通常说介质中出现了集居数反转， 称介质处于 “负温度” 状态。在这样的情况下，有一束光通过系统，而且能量恰好等于这两个能级的能 量差，就会发生受激辐射，把光放大。 由于上下能级（ 2 e及 1 e）的集居数反转必须通过更高能级 3 e帮助实现，所 以在不考虑上转换影响的情况下，edwa 工作在三能级系统下（图 2-4） 。 图 2-4 三能级系统示意图 其中参与光放大的三个能级分别为： （1）用作粒子库的基态能级 1 e; （2）作为亚稳态能级 2 e； （3）为抽运能级 3 e。 1 n、 2 n和 3 n分别为三个能级上的铒离子浓度，在热平衡的状态下 123 nnn,当 17 有信号和泵浦光输入时，由于存在受激和自发跃迁（主要是受激跃迁） ，各能级 的粒子数产生变化，此外还伴随着光子的发射和吸收。光子的频率是由它跃迁的 能级差决定的，每一种跃迁对应的波长由量子方程 /hce= 决定。edwa 系统中 泵浦光的作用就是把 1 e 能级的粒子泵浦到 3 e 能级，在极短时间内这些粒子通过 自发辐射到达 2 e 能级，基态的粒子数减少而绝大部分的在 2 e 态积累起来，从而 产生粒子数反转。 2 e 能级上的粒子在信号光的作用下发生受激辐射，产生与信 号光频率、传播方向、位相以及偏振方向都完全相同的光子，从而达到放大信号 光的目的。由此泵浦光的波长要与 3 e 与 1 e 的能级差相匹配，信号光的波长要与 2 e 与 1 e 的能级差相匹配。在 edwa 系统中，泵浦光常取 980 nm，信号光通常取 c 波段范围。此外泵浦光也可以取 1480 nm，在这个过程中离子被直接提升到 2 e 能 带。又根据图 3-4 所描述的简化三能级图，各能级都是一个窄带，因此发生跃迁 对应的是一个波段而不是一个单一波长，所以以上所说的波长一般是指中心波 长。 2.3 三能级系统的速率传输方程 三能级系统的速率传输方程 从图 3-4 上来看，三能级系统的速率方程为： 1 21221212113 dn a nw nw nrnr n dt =+ (2.11) 2 323212212121 dn a na nw nw n dt =+ (2.12) 3 32313 dn a nrnr n dt = + (2.13) 式中 21 w和 12 w分别是信号光辐射及吸收的传输速率，r和r分别是泵浦光的辐 射及吸收传输速率， 12 w、 21 w、r和r定义分别为： 12 1212 12 1 () ( , , , )( , , , ,) () ( , , , ,)( , , , ,) s ss s m j asejasej j j wwx y z tix y z t h ix y z tix y z t h + = = + (2.14) 18 21 2121 21 21 1 () ( , , , )( , , , .) ( , , , ,)( , , , ,) () ( , , , ,)( , , , ,) s ss s pppp p m j asejasej j j wwx y z tix y z t h ix y z tix y z t h ix y z tix y z t h + + = = + + (2.15) 13 ( , , , )( , , , ,)( , , , ,) pppp p rr x y z tix y z tix y z t h + =+ (2.16) 31 ( , , , )( , , , ,)( , , , ,) pppp p rr x y z tix y z tix y z t h + =+ (2.17) 式中( , , ) p ix y z ，( , , ) s ix y z 和( , , ) ase ix y z 分别是泵浦，信号和自发辐射放大光 的强度。 12 、 13 是吸收截面， 31 ， 21 和 21 是发射截面，m是波导中的模式 数。 由总粒子数守恒定律可知： 123 ( , , )( , , )( , , )( , , ) t n x y zn x y znx y znx y z=+ (2.18) 式2.112.13 中，在稳态条件下，左边等于零并利用第 2.18 式，同时假定 3213 aw? ，可以得到18 21 1 132112 1( , , ) ( , , ) 1( , , )( , , )( , , ) wx y z n x y z wx y zwx y zwx y z + = + （2.19） 1312 2 132112 ( , , )( , , ) ( , , ) 1( , , )( , , )( , , ) wx y zwx y z nx y z wx y zwx y zwx y z + = + （2.20） 3( , , ) 0nx y z= 引入变量分离 , ( , , )( )( , ) s ps ps p ix y zpzx y= , 其中， ( ) s p z、( ) p p z分别代表信 号光、泵浦光的光强， , ( , ) s p x y是归一化信号光、泵浦光横向光强分布。条波导 中泵浦、信号光的传输方程可以表示为18 ( ) ( )( ) p pp dp z zp z dz = （2.21） 19 2112 ( ) ( )( )( ) s s dp z zzp z dz = （2.22） p 、 21 、 12 分别表示为： 131 ( )( , , )( , ) pp a zn x y zx ydxdy= （2.23） 21212 ( )( , , )( , ) s a znx y zx ydxdy= （2.24） 12121 ( )( , , )( , ) s a zn x y zx ydxdy= （2.25） 从上面三个式子可以看出，粒子数分布受信号光、泵浦光光强影响很大，研究 其影响也成为必要。 2.4 三种三种 edwa 速率传输方程解方法速率传输方程解方法 在传输速率方程里，如前所述，有关求解 2112p 、的过程是一个计算量 很 大 的 复 杂 过 程 ， 为 简 化 计 算 ， 在 2112p 、中 通 过 变 量 分 离 ( , , )( , )( ) iii n x y zn x y n z=，并以材料衬底中横向铒离子掺杂浓度代替( , ) i n x y， 引入泵浦、信号光与铒掺杂离子浓度分布间重叠因子 ,p s 并把它们设为常数，从 而得到传统近似解方法。不作近似，将条波导中解得的信号光、泵浦光光强分布 带入速率传输方程中，并利用 12 nn、的关系，可以得到光强数值解。在传统近 似解方程中，其虽简化了计算，但忽略了条波导中泵浦、信号光具有一定的量子 态模式分布，泵浦、信号光光强分布重叠情况对edwa增益有影响。因此，我 们通过引入泵浦光与信号光光强分布的归一化重叠因子 sp ，对传统近似解中的 s 进行修正，从而得到修正解方法，并且与光强数值解方法相比较。本文在计 算过程中为突出信号光、 泵浦光光强分布对信号光增益的影响， 简化计算忽略了 自发辐射放大（ase） 。三种方法分别介绍如下： 2.4.1. 传统近似解方法传统近似解方法 如前所述，传统近似解为简化计算通过变量分离( , , )( , )( ) iii n x y zn x y n z=, 20 引入泵浦、信号光与铒掺杂离子浓度分布间重叠因子 ,p s 并把它们设为常数，表 示为 , ( , ) p sp s a f x y dxdy= (2.26) 代入（2.21） 、 （2.22）式中可以得到， 131 ( ) ( )( ) p pp dp z p zn z dz = (2.27) 212121 ( ) ( )( )( ) s ss dp z nzn z p z dz = (2.28) 传统近似解一般用上述两式讨论放大器增益特性。 2.4.2.光强数值解方法光强数值解方法： 把（2.19） 、 （2.20）式带入（2.21） 、 （2.22）式，可得条波导中信号、泵浦 光的传输方程为： 13 2112 131221 ( , )( ) ( ) ( , )( ) 1( , )( )( , )( ) pp p s ss a ppss ps x y p z hv dp z x y p z dxdy dz x y p zx y p z hvhv = + + (2.29) 21 13 131221 1( , )( ) ( ) ()( , )( ) 1( , )( )( , )( ) ss p s ppp a ppss ps x y p z dp z hv x y p z dxdy dz x y p zx y p z hvhv + = + + （2.30） 在一定的初始、边界条件下，采用龙格库塔（runge-kutta）对上面两式进 行迭代计算，可以得到edwa增益光强分布数值解。 2.4.3.修正解方法修正解方法 考虑信号光、 泵浦光光强分布对信号光增益的影响， 引入泵浦光与信号光光 强分布的归一化重叠因子 sp ，对传统近似解中的 s 作修正，其定义为 21 ()() ()() 22 , , ps a sp ps aa x yx y dxdy x y dxdyx y dxdy = （2.31） （2.28）式可以修改为 212121 ( ) ( )( )( ) s ss dp z nzn z p z dz = （2.32） 其中， () ()() ()() 22 , ,( , ) , ps a ssspsi ps aa x yx y dxdy x y f x y dxdy x y dxdyx y dxdy = = （2.33） 重解（2.27） 、 （2.32）式，构成修正解，期待得到与光强分布数值解相近的 结果。 在下面的章节中， 将采用数值模拟的方法得到不同工艺参数所制作的波导折 射率以及在波导截面上的信号光及泵浦光的光强分布，讨论不同制作工艺参数 （掩模窗口宽度）条件下信号光增益变化情况，并详细计算讨论波导信号光和泵 浦光的归一化重叠因子 sp 对放大器增益的影响。 2.5 本章小结 2.5 本章小结 本章从光放大的基本原理开始， 逐步深入地说明了掺铒光波导放大器 （edwa） 的工作原理，并在三能级系统模型基础上通过光强分布数值解、传统近似解、修 正解来分析研究信号光、泵浦光光强分布对增益带来的影响。通过分析，我们注 意到信号光与泵浦光在波导截面上的光强分布能够影响放大器的增益。 在此基础 上，重点分析了如何在传统的近似简化方程中加入信号光、泵浦光光强分布对增 益的影响，并将在之后的章节中进行深入的计算和讨论。 22 第三章第三章 离子交换法制作波导及数值模拟离子交换法制作波导及数值模拟 由第二章中对 edwa 放大理论模型的分析可以得知，信号光和泵浦光在波导 截面上的光模场分布对 edwa 的增益性能有很大影响，而光模场分布由波导的折 射率分布决定。 因此本章将对实际采用的离子交换法制作波导的过程进行数值模 拟及分析，首先介绍了离子交换过程的理论模型，得到了离子交换过程的扩散方 程。 随后通过求解二维情况下扩散方程得到了掩埋式条波导中杂质离子 （银离子） 的浓度分布，进而得到波导的折射率分布。最后讨论分析各工艺参数对波导折射 率分布的影响。 3.1 离子交换玻璃波导3.1 离子交换玻璃波导 33 离子交换过程是用一种体积较大、 极化率较高的离子 （如： 银离子、 钾离子、 铯离子、铊离子等）来代替玻璃中原有的某种离子（如钠离子） 。由于交换离子 的极化率、体积不同导致点阵坍塌、挤压，使衬底材料的局部折射率改变而形成 波导。离子交换可以在热扩散的方式下进行，也可以在电场的辅助下进行。在有 电场的情况下制作波导的过程中，电场的作用不仅仅是加快交换的速度，还可以 调整波导中折射率分布的形状。通常的离子交换都是在熔融盐中进行的，当然也 有在电场的作用下在玻璃衬底上镀金属膜如银膜的方法进行离子交换的， 这种方 法称为干法离子交换。 离子交换的方法制作玻璃波导有以下几个方面的优点： 一、制作过程的工艺参数可以灵活变化，这样，可以为不同的应用设计不同 的制作工艺，制作出有特殊性能的波导。 二、制作工艺简单，适合大规模批量生产，所得的波导损耗低、性能可重复 性好。不需要在线控制制作过程的工艺参数也可以实现较好的可重复性。 三、可以制作与单模、多模光纤或其他器件的模场相匹配的波导，减小了耦 合损耗。edwa 能够非常简便地与其他光学器件集成在一起，如：分离器 （splitter） 、相位阵列波导、分插复用器、调制器、光开关或者光交叉连接器 等。 23 波导折射率的大小以及分布与制作过程的工艺参数有复杂的联系。玻璃衬底 的组份，交换离子的属性，以及熔盐中交换离子的浓度，扩散温度、交换时间和 辅助电场的大小等都会影响折射率的大小及其分布。 波导折射率的大小以及分布 直接影响波导的光学性质， 可以通过理论建模和实验数据总结出工艺参数和折射 率分布曲线的关系， 然后选择和控制制作过程的工艺参数来制作具有所需要的性 质的波导。对于一种特定的玻璃衬底材料，研究这些关系需要做以下几个步骤工 作： 1、研究离子交换化学平衡以决定熔盐组份和交换后衬底内交换离子的浓度 以及其分布的关系； 2、分析求解扩散方程以预测扩散离子的分布情况； 3、在适当的工艺条件制作离子交换玻璃波导； 4、测量折射率分布曲线，与理论预测值比较分析。 通常假设扩散形成的交换离子浓度分布曲线与波导折射率分布的曲线是一 致的。实验证明这个假设在交换进入衬底中的离子浓度不大时比较适用。 3.2 离子交换过程理论建模 3.2 离子交换过程理论建模 3.2.13.2.1离子交换的机理 4 离子交换的机理 4 在制作离子交换波导时,用不同工艺参数的交换条件（如：交换温度、熔盐 组分、扩散时间，辅助电场的大小等）可以得到不同特性的波导。交换的条件影 响离子交换的过程和结果，在衬底里形成不同的交换离子分布。而交换进入衬底 的离子则直接改变衬底局部的折射率形成波导。 因此要认识离子交换的微观过程 需要一些关于扩散的理论知识。 在玻璃衬底中钠离子和玻璃分子网络结构结合得不紧密，它们只是被束缚在 氧原子的周围，有一个与温度有关的迁移率( )t，具有阿列纽斯型的函数形式： 0 ( )exp(/)tq rt= （3.1） 其中 q 是活化能（j/mol） ，r 为气体常数。在一定的温度下（特别是在几百 摄氏度的高温下） ，离子在不同区域有浓度梯度就会发生热扩散运动。熔盐中离 子（如银离子）由于扩散进入玻璃，要满足玻璃衬底的电中性要求，玻璃衬底中 24 必须有相应的电荷的离子（如钠离子）扩散出来，这样就形成了 ag +-na+离子交 换。有两种机制促使发生离子交换，一是在足够高的温度下热扰动造成的迁移， 二是在玻璃上加电场引起的离子对流。在加电场较大的情况下，热运动的贡献仍 然存在，但是与电场的作用相比却很小，以至于可以忽略不计。总的来说，电场 辅助适合于制作多模波导和埋入式波导， 因为多模波导和埋入式波导都需要有较 大的扩散深度，在制作单模平面波导时一般可以不加电场辅助。 没有外加电场的情况下，把一种含有 b +离子的玻璃衬底样品置入熔盐里，而 在熔盐中含有与 b +离子性质相近的另一种离子 a+，在玻璃衬底与熔盐的分界面 处，这两种离子都会有浓度梯度。由于离子热运动，a +离子会进入玻璃衬底表面 薄层（515 微米）范围内，而相应的有 b +离子从玻璃衬底中扩散到熔盐中。这 个过程的化学反应式写为： abab + +=+ （3.2） 其中带横杠的符号表示玻璃衬底内的离子。 反应的平衡常数 / baab ka aa a= （3.3） 其中 a a， b a和 a a， b a分别表示离子在熔盐中和衬底中的热力学活性系数， 在玻璃衬底里： /(/) abab aacc = （3.4） 给出了活性比与浓度比的关系， 其中, ab cc分别为衬底中 a +、 b+离子的摩尔浓度。 ()ln/ (ln) aa ac= （3.5） 在熔盐里，活性比可用正规溶液理论表达为 ln(/)ln(/)(/)(1 2) ababb aannw rtn= （3.6） 上式中 a n和 b n分别是 a 离子和 b 离子在熔盐里的摩尔百分含量， r 是气体常数， t 扩散时熔盐的绝对温度,w 是离子相互作用能。由（3.3）到（3.6）式，可