毕业设计（论文）-一维等间距d势垒中的波函数及其物理性质.doc

目录目录 一、一、 引言引言.2 二、二、 一个一个势垒中粒子非束缚态的讨论势垒中粒子非束缚态的讨论.3d 1. 透射矩阵( )M k的定义.3 2.( )M k的性质.5 3. 反射系数和透射系数.6 三、三、 一维周期分布一维周期分布势垒中粒子的物理性质势垒中粒子的物理性质.7d 1. 理论模型的建立.7 2. 周期分布的势垒下波函数波幅的过渡关系.9d 3. 一维等间距非对称分布势垒中的物理性质.10d 四、四、 结果与讨论结果与讨论.11 1. 单势垒情形.11d 2. 两个势垒情形.12d 3. 三个势垒以上情形.14d 4. 非对称等间距分布的势垒对透射系数的影响.16d 参考文献参考文献.16 第1页（共16页） 一维等间距 势垒中的波函数及其物理性质d 重庆工商大学 应用物理学 08 级 男 王赫 指导教师 韩亦文 中文摘要：中文摘要：量子隧穿现象不仅是量子力学中最神奇的现象之一，而且也是自然界 中最基本、最重要的过程之一。势垒的量子隧穿现象在微电子学、半导体器件、 新型材料和介观物理等中都有重要的应用。本文则是利用透射矩阵方法，通过求 解定态薛定谔方程，得出了一维等间距分布 势垒中的波函数及其物理性质；通d 过数值分析，得出了几种等间距分布的 势垒中电子的透射系数和几率流密度随d 能量变化的特点。 本文共分四个部分。第一部分主要介绍了量子隧穿效应的概念以及近年来 的发展前景，并且分析了电子隧穿问题求解中各方法的利弊特点，确定了用透射 矩阵方法来研究势垒隧穿问题。第二部分则通过理论分析一个 势垒中粒子的非d 束缚态情况，得出了粒子穿过一维 势垒的非束缚态波函数的波幅变化可通过一d 个透射矩阵来描述，并且进一步分析了该透射矩阵的性质和特点，并表示( )M k 出了其相应的反射系数和透射系数。第三部分运用透射矩阵得到了计算等( )M k 间距分布 势垒中的波函数方法，并且进一步推广到等间距非对称分布 势垒的dd 波函数计算思路。第四部分通过数值分析，模拟了电子穿过一个 势垒、两个 势dd 垒，三个 势垒以上以及非对称分布 势垒时，总的透射系数和相应的电子几率dd 流密度与电子能量的变化关系。 关关键词键词： ：量子隧穿效应； 势垒；透射矩阵；透射系数；几率流密度；d Abstract：The phenomenon of quantum tunneling is not only one of the most amazing phenomena in the quantum mechanics, but also one of the basic and important process. Barrier quantum tunneling phenomena has very important applications in microelectronics, semiconductor devices, new materials and mesoscopic physics. This article by using the transmission matrix method and solving the Schrdinger equation, obtain the wave function and its physical properties of one- dimensional equidistant distribution of the potential barrier; With the numerical calculation, several characteristics of the electronic transmission coefficient and the 第2页（共16页） probability current density changed with in the series of the delta potential barrier energy is obtained. This paper is divided into four parts. The first part introduces the concept of quantum tunneling effect and the prospect in recent years, and by analyzes the pros and cons of the characteristics of solutions in the electron tunneling problem, determines the transmission matrix method to research the tunneling barrier. In the second part through theoretical analysis of the non-bound state of a particle in the delta barrier, we draw the particle through one-dimensional barrier of the volatility of the bound state wave function changes described by a transmission matrix, and ( )M k further analysis of the nature and characteristics of the transmission matrix, and expressed its corresponding reflection and transmission coefficients. In third part, a method about wave functions in the delta potential barrier that is periodic in space with the matrix. Furthermore, it is pointed out that this idea can be extended to ( )M k describe the wave functions in a series of delta potential barriers which are periodic and asymmetric in space. With the numerical calculation in the fourth part, we simulate the situation of the electrons pass through a delta barrier、two delta barriers、three above the barriers and the asymmetric distribution of the barrier, and sum up the total transmission coefficient and the corresponding electronic probability current density relationship changed by the electron energy. Keyword：Quantum tunneling effect；Delta potential barrier；Transmission matrix；Transmission coefficient；Probability current density； 一、一、引言引言 微观粒子的量子隧穿效应（Quantum tunneling effect）是量子力学中的一个 重要问题，是粒子具有波动性的表现。因为按照经典力学的观点，如果粒子的 能量小于势垒的高度，则粒子不能穿过势垒，而是将全部被弹回去；只有当粒 子的能量高于势垒的高度时，粒子才能完全穿过势垒。但是，从量子力学观点 来看，考虑到粒子的波动性之后，该问题便与波透过一层一定厚度的介质层相 似：在这个过程中，有一部分波会穿过势垒，一部分波会被反射回去。因此， 按照波恩的波函数统计诠释，粒子是有一定的几率穿过势垒的，也有一定的几 率会被反射回去。这就是量子力学中粒子的量子隧穿问题或称散射问题。 第3页（共16页） 关于势垒的量子隧穿现象在微电子学、半导体器件、新型材料和介观物理 等中都有重要的应用。由文献1得知，早在 1992 年，Lilienfeld 就观测到了电 子从金属到真空的隧穿现象；1970 年 Esaki 和 Tsu 在寻找负微分电阻的新器件 的时候，从理论上给出了超晶格的概念，之后又于 1973 年首次在理论上研究了 超晶格量子肼的隧穿问题；1974 年由 Chang 和 Esaki 等人通过实验验证了这一 结论。在此之后，广大的理论和实验工作者就半导体超晶格和量子肼的共振隧 穿现象在理论以及实验上都进行了广泛深入的研究。 在电子隧穿问题中，如何计算电子穿过势垒的透射系数和势垒之间的电子 几率流密度等问题是计算隧道电流、研究隧道器件伏安特性、分析加速器中电 子流强度的关键，而该问题的关键就在于求解一维定态薛定谔方程。由此，正 确求解一维定态薛定谔方程成为人们关注的热点。众所周知，可以用解析方法 精确求解的一维定态薛定谔方程是非常有限的。于是，人们提出和发展了许多 方法2，如变分法、有限元法、蒙特卡罗法、WKB 近似法、Ariv 函数近似法 和透射矩阵（传递矩阵）方法等等。这些方法各有各的优缺点，其中变分法的 适用范围较窄，有限元法和蒙特卡罗法应用起来较为复杂，WKB 近似法和 Airv 函数近似法得出的结果不够精确。在所提到的方法中，只有透射矩阵方法 适用范围较广，使用起来较为简单，易于编程，并能够非常准确、快速地求解 一维定态薛定谔方程。同时，在大部分的初等量子力学教材和文献中都有标准 的处理方法，给出了粒子隧穿单势垒几率的计算，但是对双势垒以及更多势垒 情况隧穿现象没有给出讨论，本文正是运用 C.Cohen-Tannoudji，B.Diu 和 F.Lalo 合著的量子力学3（Mecanique Quantique）中提到的一种处理在任 意形状的势垒中粒子的非束缚态以及一维周期势场中运用透射矩阵讨论量子性 质的方法，得到了一维等间距分布 势垒中的波函数及其物理性质，并且在原d 理论基础上进行了扩展，推广到可以处理一维等间距非对称分布 势垒中的情d 形。最后，通过 Wolfram Mathematica软件数值分析和模拟，得出了几种不同 R 势垒分布情形下，电子的透射几率和几率流密度与电子能量的变化特点。d 二、二、一个一个 势垒中粒子非束缚态势垒中粒子非束缚态的讨论的讨论d 1. 透射矩阵的定义( )M k 在一维情况下，假定势函数仅在范围内作用，即在长度为 的( )V x/ 2v0E( )jx 方程为3 （2.1.1）( )( ) 2 22 2 0j +-= h dm EV xx dx 令（2.1.2） 2 2mE k = h 在的区域中，函数满足方程（2.1.1） ，此处的一个解记作。/ 2xl ikx e - ikx e 是有 （2.1.3a）( ), 2 = + ikxikx k l vxF k eG k ex 式中系数和不仅依赖于势的形状而且依赖于的取值。( )F k( )G k( )V xk 根据这个势场的特殊性，则解在与、与( ) k vx/ 2x( ) k vx0=x 得出和( )F k( )G k （2.1.3c）1=-=、 ii FG kLkL 其中是反映 势垒性质的一个特征长度，依赖于势垒的高度。 2 0 /n= hLmd 0 v 同理，我们引入另一个解，它在时等于 ( ) k vx/ 2 n 第11页（共16页） （3.1.1） ，依然可以由式（3.1.3）（3.1.7）给出，并且其波函数波幅的过渡关 系依旧可以通过式（3.2.2）（3.2.6）导出，只需要对通过对应的第个势垒的n 透射矩阵加上下标即可，亦即n （3.3.2） （34）( )( ) 1 1 + + = nn n nn AA D k Mk AA （3.3.3） （35）( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 00 11 00 - = L 1 44444444444444444 4244444444444444444 4 3 NN N M k CA Mk D k Mk D kD k Mk CA 四、四、结果与讨论结果与讨论 考虑的入射粒子为电子，势垒之间宽度单位为，处的势垒高度5= o lA0=x 为，即特征长度为，其 0 20=veV() 2220 000 /103.815nn - = = o hh ee Lmm eA 中的常量为，。接下来 19 1.6 10-=eC 31 9.1 10-= e mkg 34 1.054 10-=hJ s 将分四种情况分别数值分析并绘图，讨论电子通过势垒时波函数及其物理性质。 1. 单 势垒情形d 图 1 电子能量分别为时，一个势垒两侧的波函数（实部）图102030=、EeVeVeVd 我们先从单个的电子从左侧入射一个 势垒的情形来讨论。借助 Wolfram d Mathematica软件67，可由式（3.1.3）（3.1.7）和其间的衔接条件和边界条 R 件可得出对应的电子能量为定态波函数实部图（见图 1）102030=、EeVeVeV 和电子通过势垒的透射系数和反射系数分别与电子的能量和势垒的高度SRE 的关系（见图 2 和图 3） 。 0 v 第12页（共16页） 图 2 电子能量为时，透射系数和反射系数与势垒的高度的变化关系20=EeVSRd 0 v 图 3 势垒高度为时，透射系数和反射系数与电子能量的变化关系d 0 20=veVSRE 由以上图像可以看出，电子通过 势垒时的波函数实部部分是以势垒所在d 处为对称轴，呈偶函数对称分布；随着电子能量的不断增加、势垒高度的E 0 v 不断降低，透射系数逐渐增大，相应的反射系数逐渐减小，换句话说，电SR 子的能量与势垒的高度相比越大，电子的势垒贯穿效应就会越明显，即越会毫 无障碍的通过势垒。 2. 两个 势垒情形d 现在讨论当电子从左侧遇到两个 势垒时的情况，以从左向右的方向为正d 方向。根据式（3.1.3）（3.1.7）可得知，与定态波函数相联系的几率流密度为 （4.2.1）( )( )( ) 22 22 2 jj jj * * =-=-=- hhh % ddkk J xxxAAAA midxdxmm 上式，表征了两个 势垒中的波函数对应于两个平面波的代数和，它们的d 动量方向相反。其中第一项对应于正方向几率流密度，第二项对应于负方向几 率流密度。接下来，我们先取两个势垒的高度相同、势垒间距 01 20=vveV 保持不变，并且假定总的正方向入射波波幅，总的负方向入5= o lA 0 ikx A e 0 1=A 射波波幅。 2 - % ikx A e 2 0 = % A 由此，我们就可以得到电子在两个 势垒中总的透射几率、反射几率dS 与电子能量的关系（如图 4） ，以及在两个势垒之间正负方向上的几率流密RE 度与总的正向入射几率流密度之比随电子能量的变化情况（如图 5） 。() 0 / JJE 第13页（共16页） 图 4 总的反射系数（a）和透射系数（b）与电子能量的变化关系RSE 由图 4 可以看到明显的共振透射现象。正方向入射的电子透过势垒后，碰 到两侧的势垒壁发生反射与透射。在电子能量满足一定条件的情况下，经过E 多次反射而透射出去的波的相位相同，因而彼此相干叠加，使总的双势垒透射 波波幅大增，从而出现共振透射。在电子能量不断增大之后总的透射系数趋E 近于 1，即也意味着反射系数趋近于 0，电子会更加毫无障碍的透过势垒。 图 5 两势垒之间（a）和（b）与电子能量的变化关系 0 / + JJ 0 / - JJE 根据图 5 可以发现，当电子能量与势垒高度 相比较小的时候，两个势Ev 垒之间的正负方向的几率流密度会在总正向入射几率流密度的基础上剧烈摆动， 甚至是入射几率流密度的数十倍以上，可见共振现象的剧烈程度。随着能量 的不断增加，势垒间正向的几率流密度会趋近于入射前的几率流密度的大小，E 负向几率流密度趋近于 0，这也说明了在势垒之间，高能量的电子会更加毫无 障碍的通过每一个势垒。 3. 三个 势垒以上情形d （a）（b） （a）（b） 第14页（共16页） 仿照两个 势垒的假设和讨论方法，针对三个 势垒的势场情况进行数值模dd 拟，最后总结出一般的结论以适用于更多势垒的情形。 同样，我们假定三个 势垒之间的间距固定，势垒的高度d5= o lA 保持不变。由此就可以得到电子从正方向入射时，总的透射 012 20=vvveV 系数和反射系数以及势垒之间正方向上的几率流密度与电子能量SR 0 / + JJ 的变化关系（见图 6 和图 7） 。 E 图 6 总的反射系数（a）和透射系数（b）与电子能量的变化关系RSE 图 7 第一个势垒之间（a）和第二个势垒（b）之间与电子能量的变化关系 0 / + JJE 从图中可以看出，除了出现总透射系数为 1 的共振能级外，还出现了“次 共振能级” 。可见，在三势垒系统中，影响其总透射系数的是一个比较复杂的能 级之间的耦合，或者说是在各势垒之间正负方向上电子波动的复杂叠加。通过 数值分析四个 势垒中的总透射系数与电子能量的关系变化（见图 8） ，可以发d 现该“次共振能级”仍只形成一组，并且随着势垒个数的增加，该能级分布N 变得更加密集；在个 势垒中，相邻两个共振能级之间会存在个“次共N d 2-N 振能级” 。最后，随着电子能量的不断增加，总透射系数趋