（理论物理专业论文）复杂系统中的信息传播研究.pdf

摘要复杂系统中的信息传播是非线性科学中的核心问题之一，并已取得了长足进展，如各种同步化现象的解释及在脑癫痫病信号中的应用等。以前的研究主要集中在信号的耦合传递方面，近年来由于复杂网络研究热潮的兴起，复杂系统中的信息传播则转向另外一种瞬间传递模式，如流行病及舆论的传播。本文从混沌动力学及复杂网络两个方面入手，在信息的耦合传递和瞬间传递方面进行了一些探讨，具体结果如下：在流行病传播方面，基于前人的研究成果，我们构建了一个节点可以自由移动的动态社区网。在该动态网中，社区拥有不同的节点密度，而且社区中的节点可以在各个社区之间自由的活动。接着，通过研究两个相连和三个相连的动态社区网中的病毒传播特性，我们发现直接或间接与感染社区的接触，均能使低于传播临界阈值的安全社区保持非零感染率。我们理论解释了为什么即便断开了和感染源的联系，只与感染源的近邻安全社区有联系，也能导致一度认为是安全的区域成为一个新的感染源。这一结论将有利于理解现实网络中的病毒传播，并提出相应的预防措施。在舆论传播方面，我们用s i r 模型对舆论在复杂网络上的传播分别作了理论解析和数值模拟。通过考虑网络的拓扑结构和舆论传播过程中的邻居不平权，我们得到了解析的平均场理论，同时我们发现网络中最终得到消息的人数密度与度k 的关系为p ( 七) = 1 一e 。口，a f 表征网络结构的参数。终态所有得到消息的人数依赖于网络的拓扑结构，而且，当网络的拓扑结构由随机网变化到无标度网时，终态得到消息的人数将减少。在延迟信号耦合传输方面，与前人的工作不同，我们在讨论控制混沌的方法时，不是增大其耦合强度，而是注意到耦合振子之间存在不同的空间距离和传播速度，因此在振子互相耦合时考虑了时间延迟效应。我们发现振子的混沌行为由此得到抑制，出现周期现象，甚至达到同步化。这一研究成果将帮助我们更好的理解神经元的信号传播过程。在耦合系统时空轨道的刻画方面，我们在研究连续系统中的相的问题时引入了一个新的概念一一空间相，从另一个角度，更好的刻画了高维空间曲线的行为。我们的这些研究结果表明复杂系统本身与信息传播互相影响，正如复杂网络的拓扑结构直接影响着网络中的传播动力学；相反地，传播过程也影响着网络本身的性质。而且，即便是非常简单的系统也可能表现出复杂的动力学，而大自由度的系统也可以表现相干、简单的行为。所以，复杂系统的复杂行为不是毫无规律的复杂，简单亦非一般的简单。研究这些复杂系统上信息传播的动力学及规律是非线性科学研究的重要课题。本论文将结合自己的工作着重介绍四个方面的内容：第一、动态社区网中的病毒传播；第二、舆论在均匀网及非均匀网中的传播；第三、引入时间延迟控制混沌；第四、连续系统中空间相这一概念的引入。关键词：动态社区网，舆论传播，时间延迟，混沌控制，空间相i ia b s t r a c ti n f o r m a t i o np r o p a g a t i o no fc o m p l e xs y s t e m si sas i g n i f i c a n t1 s s u ei nn o n 1 i n e a rp h y s i c s ，w h i c hh a sb e e nw e l ls t u d i e ds of a r ，s u c ha st h ee x p l a n a t i o n so fv a r i o u ss y n c h r o n i z e db e h a v i o r sa n dt h ea p p l i c a t i o n si ne p i l e p t i cs i g n a ls p r e a d i n go fh u m a nb r a i n ，e t c p r e v i o u sw o r k sm a i n l yf o c u so nt h et r a n s m i s s i o no fs i g n a l si n d u c e db yc o u p l i n g r e c e n t l y ，t h ei n t e r e s t sh a v eb e e nt u r n e dt oa n o t h e rm o d e lb e c a u s eo ft h ei n c r e a s i n gi n t e r e s t i n gi nc o m p l e xn e t w o r k s ，1 e ，t h ei n s t a n t a n e o u st r a n s m i s s i o nm o d e l ，s u c ha se p i d e m i cs p r e a d i n ga n dr b m o rp r o p a g a t i o n ，e t c i nt h i st h e s i s ，w eh a v es t u d i e dt h ei n f o r m a t i o np r o p a g a t i o nf r o mb o t ht h ec h a o t i cd y n a m i c sa n dt h ec o m p l e xn e t w o r k s ，a n do b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ：f i r s t l y , w es t u d yt h ee p i d e m i cs p r e a d i n gi nd y n a m i c a lc o m m u n i t yn e t w o r k s w ep r o p o s eam o d e lo fm o b i l ea g e n t st os t u d yt h ee p i d e m i cs p r e a d i n gi nd y n a m i c a lc o m m u n i t yn e t w o r k s ，w h i c hi sf o r m e db yc o m m u n i t i e sw i t hd i f f e r e n td e n s i t i e so fa g e n t sa n da l l o w st h et r a v e l i n ga m o n gt h e m t h em o d e la d d r e s s e st h ee p i d e m i cp r o c e s sf r o ma ni n f e c t e dc o m m u n i t yt oas a f ec o m m u n i t yt h r o u g hb o t hd i r e c ta n di n d i r e c tc o n t a c t s b yb o t ht h e o r e t i ca n a l y s i sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n sw ef i n dt h a ti ti sp o s s i b l et os u s t a i nt h ee p i d e m i cs p r e a d i n gi nas a f ec o m m u n i t yt h r o u g hc o n t a c t i n gw i t ha n o t h e rs a f ec o m m u n i t y ，p r o v i d e dt h a tt h el a t t e ri sc o n n e c t e dw i t ha ni n f e c t e dc o m m u n i t y s e c o n d l y ，w es t u d ya n a l y t i c a l l ya n dn u m e r i c a l l yt h er u m o rp r o p a g a t i o ni nc o m p l e xn e t w o r k sb yu s i n gt h es i rm o d e l a n a l y t i c a l l y ，am e a n 。f i e l dt h e o r yi sw o r k e do u tb yc o n s i d e r i n gt h ei n f l u e n c eo fn e t w o r kt o p o l o g i c a ls t r u c t u r ea n dt h eu n e q u a lf o o t i n g so fn e i g h b o r so fa ni n f e c t e dn o d ei np r o p a g a t i n gt h er u m o r a n di ti sf o u n dt h a tt h ef i n a li n f e c t e dd e n s i t yo fp o p u l a t i o nw i t hd e g r e eki sp ( k ) = 1 一e 一吖，w h e r e 口i sap a r a m e t e rr e l a t e dt on e t w o r ks t r u c t u r e t h en u m b e ro ft h et o t a l f i n a li n f e c t e dn o d e ss t r u c t u r ea n dw i l ld e c r e a s ew h e nt h ed e p e n d so nt h en e t w o r kt o p o l o g i c a ls t r u c t u r ec h a n g e sf r o mr a n d o mt os c a l e f r e en e t w o r k t h i r d l y , w es t u d yt h es i g n a lp r o p a g a t i o ni nc o u p l e ds y s t e m s c o n s i d e r i n gt h ef a c tt h a tt h ed i s t a n c e sb e t w e e nc o u p l e do s c i l l a t o r sm a yd e l a yt h er e c e i v i n go fs i g n a l s ，w eh e r es t u d yt h ei n f l u e n c eo ft h er a n g eo fd i s t r i b u t e dd e l a y si na l la r r a yo fc o u p l e dp e n d u l a ，i n s t e a do fs t u d y i n gt h ei n f l u e n c eo fc o u p l i n gs t r e n g t h i i iw ef i n dt h a tw i t ht h ei n c r e a s eo ft h er a n g eo fd i s t r i b u t e dd e l a y s ，t h ec h a o t i cb e h a v i o r so ft h ec o u p l e da r r a ym a yb ec o n t r o l l e da n dd i f f e r e n ts y n c h r o n i z e dp a t t e m sc a nb ei n d u c e d a na n a l y t i cs o l u t i o ni sg i v e nt oc o n f i r mt h en u m e r i c a lr e s u l t s t h i sf i n d i n gm a yp r o v i d en e wi n s i g h tt ot h ei n f o r m a t i o np r o c e s s i n gi nn e u r o n s f i n a l l y ，w es t u d yt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fh i g h - d i m e n s i o n a lc u r v e s w eh a v ei n t r o d u c e dan e wc o n c e p t ，s p a t i a lp h a s e ，t od i r e c t l yc h a r a c t e r i z et h er o t a t i o no fas p a t i a lc u r v ew i t h o u tu s i n gt h ep r o j e c t i o n si n2 ds u b s p a c e s c o m p a r e dw i t ht h ep l a n ep h a s ed e f i n e df o ra2 dp r o j e c t e dt r a j e c t o r y ，t h es p a t i a lp h a s eu n i q u e l yd e f i n e df o ra no r i g i n a ln dt r a j e c t o r yr e f l e c t st h ea c c u m u l a t i o no fs p a t i a la n g l e sc o n n e c t e dt os m a l la r c so ft r a je c t o r ya n dt u r n so u tt ob eu s e f u lt oa n a l y z es y n c h r o n i z a t i o no fc o u p l e ds y s t e m s a l lt h er e s u l t ss h o wt h a tt o p o l o g i c a ls t r u c t u r ea n dt h ed y n a m i c a lp r o c e s sc a ni n t e r a c te a c ho t h e r ，i e ，t h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fc o m p l e xn e t w o r k sm a yi n f l u e n c et h ed y n a m i c so ni t ；a n dt h ei n f o r m a t i o np r o p a g a t i o nm a y , i nc o n t r a s t ，a l s oi n f l u e n c et h ef o r m a t i o n g r o w i n go fc o m p l e xn e t w o r k s b e s i d e s ，e v e nt h ev e r ys i m p l es y s t e m sc a ns h o wc o m p l i c a t e db e h a v i o r s ，w h i l et h es y s t e m sw i t hl a r g ed e g r e eo ff r e e d o mm a ya l s os h o wc o h e r e n ta n ds i m p l eb e h a v i o r h e n c e ，c o m p l e xs y s t e m sm a yh a v er u l e s ，w h i l es i m p l es y s t e mm a yn o tb ee a s yt os o l v e t h i st h e s i sm a i n l yc o n s i s t so ff o u rp a r t s f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h ee p i d e m i cs p r e a d i n gi nd y n a m i c a lc o m m u n i t yn e t w o r k s s e c o n d l y , w ed i s c u s st h ei n f l u e n c eo fn e t w o r ks t r u c t u r eo nr b m o rp r o p a g a t i o n t h i r d l y ，w es t u d yt h es y n c h r o n i z e dp a t t e r n si n d u c e db yd i s t r i b u t e dt i m e 。d e l a y s a tl a s t ，w ei n t r o d u c ean e wc o n c e p t ，s p a t i a lp h a s e k e yw o r d s ：d y n a m i c a lc o m m u n i t yn e t w o r k s ，r u m o rp r o p a g a t i o n ，t i m e - d e l a y s ，c h a o sc o n t r o l ，s p a t i a lp h a s e i v学位论文独创性声明本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。作者签名：i 丑生日期：兰! 坐：!学位论文授权使用声明本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。学位论文作者签名：日期：兰! ! 墨苎：旦撇名：酬蒙罕日期：塑墨：垒：!华东师范人学博上学位论文1 1 复杂系统简介第一章绪论萤火虫是如何一起发光，又一起熄灭的? 飞鸟是如何聚集成群的? 蚂蚁如何形成王国? 晚会结束时错落的掌声是如何变成一致的? 生命是如何起源的? 计算机病毒具有生命么? 癫痫病是如何发作的? 可以预言癫痫的发作时间吗? 大脑是什么? 感情、思想、目的和意识这样不可言喻的特征是如何产生的? 难道大脑仅仅是简单的随机进化的结果么? 为什么冷战结束，世界反而硝烟四起? 为什么苏联以及东欧等一系列社会主义国家会在1 9 8 9 年的几个月内轰然坍塌? 为什么在19 9 8 年爆发了亚洲经济风暴，进而导致全球的经济危机?这些问题看似不是什么科学的问题，然而它们都有一个共同点，就是属于同种系统，即复杂系统。复杂系统理论是系统科学中的一个前沿方向，它是系统科学的延续和发展。复杂性科学被称为2 1 世纪的科学，它的主要目的就是要揭示复杂系统的一些难以用现有科学方法解释的动力学行为。复杂系统的研究历史并不长，最早将其作为一门独立的学科来研究大概是在上个世纪八十年代。那个时代，美国有几位在物理学和经济学不同领域的诺贝尔奖金的获得者，盖尔曼( m a r r a yg e l l m a n n ) ，安德森( p h i l i pa n d e r s o n ) 、阿诺( k e n n e t ha r r o w ) ，认识到复杂系统的重要意义，聚集了一批物理、经济、生物、计算机等方面的研究人员，在s a n t af e 成立了一个研究所，这就是著名的桑塔费研究所( s a n t af ei n s t i t u t e ，简称s f i ) ，并将研究复杂系统的这一学科称为复杂性科学( c o m p l e x i t ys c i e n c e ) 。在我国，钱学森教授于8 0 年代即组织领导了复杂系统的研讨班。钱学森教授是战略科学家，以其深刻的洞察力，预见到复杂系统的意义及发展。他提出了“开放的复杂巨系统 的概念，并于1 9 9 2 年，对于复杂系统的研究方法，提出“从定性到定量的综合集成研讨厅体系的设想。戴汝为、于景元教授，是研讨班的主要成员，并在以后继承和领导了此一研究方向。成思危教授也领导了在管理科学方面复杂系统的研究。复杂性科学是一门崭新的科学，在二十世纪从未对复杂性进行过系统深入的研究。而且在这门科学的方法论上，与二十世纪的科学研究相对比，也是有很大差异的。复杂系统之所以称之为“复杂 ，是相对牛顿时代以来构成科学事业焦点的“简单系统”相比而言的，两者具有根本性的不同。简单系统通常具第一章绪论有少量个体对象，它们之间的相互作用比较弱，或者具有大量相近行为的个体，比如封闭的气体或遥远的星系，以至于我们能够应用简单的统计平均的方法来研究它们的行为。而复杂并不一定与系统的规模成正比，复杂系统要有一定的规模，但也不是越大越复杂，经常一个简单的系统会表现出极其复杂的动力学行为。另外复杂系统中的个体一般来讲具有一定的智能性，例如组织中的细胞、股市中的股民、城市交通系统中的司机、生态系统中的动植物这些个体都可以根据自身所处的部分环境通过自己的规则进行智能的判断或决策。复杂系统涵盖很多的研究领域，本文只涉及其中的信息传播方面，主要介绍本人所研究的两个主要方向一一混沌动力学和复杂网络中的信息传播。在研究过程中，我们发现无论是混沌动力学，还是复杂网络，都会出现一个共同的现象一一同步化。信息在混沌系统中传递的共同点是：信息均通过耦合途径进行传播，并最终达到一致。而信息在复杂网络中的传播则通过另一种途径一一瞬时传播，如流行病传播与舆论传播模型，我们在第3 章和第4 章中将做具体讨论。信息在复杂系统中的传播与物资的传输过程不同，它可以增加或减少信息量，不需要满足守恒律。下面我们将简要介绍一下混沌动力学和复杂网络这两个新兴学科的发展过程。1 2混沌动力学简介相对于传统的物理学，混沌动力学是一门较新的学科，它的兴起引起了物理学界的广泛关注。所谓混沌是指某种对初始条件十分敏感的动力学行为，是发生在确定论系统中的貌似随机的不规则运动 1 】。一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的大多数为线性系统，而线性系统其实大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。混沌是系统处于非平衡过程中所呈现的随机行为，因此非线性是产生混沌的必要条件，但并非任何非线性系统都会产生混沌，一般认为当系统具有如下三条数值特征时就会发生混沌 2 】：( 1 ) 系统的运动轨迹为奇怪吸引子现象。( 2 ) 系统运动的功率谱具有连续谱上叠加有尖峰的特点。( 3 ) 系统中至少有一个李雅普诺夫指数名 0 。混沌的类型大体可分为四大类：第一类为时间混沌，第二类为空间混沌，第三类为时空混沌，第四类为功能混沌。2华东师范人学博上学位论文混沌的特征【l 】：( 1 ) 系统的动力学特性对初态的敏感依赖性；( 2 ) 确定论系统中的内在随机性：有序与无序的统一；( 3 ) 局部不稳定而整体稳定；( 4 ) 奇怪吸引子；( 5 ) 分形结构与无限自相似；( 6 ) 连续能量谱；( 7 ) 系统的混沌运动来自于非线性。混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。正因为如此，我们所讨论的对象必然是非线性系统，或者确切地说是非线性动力系统，而不再是以前的牛顿线性体系。“线性系统 是我们熟知的。如函数就是一个最简单的线性函数，此函数在( 五) ，) 平面中的图像是一条直线，函数y = f ( x ) 对自变量x 的依赖关系是“一次”多项式。但如果函数y = f ( x ) 对工的依赖关系高于一次，就像抛物线函数，那么这个函数所描述的系统就是“非线性系统”。可见，从函数构造的角度来说，非线性系统要比“线性系统”更多、更普遍。“线性系统”与“非线性系统”的不同之处至少有两个方面。第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则绝对不能。第二：非线性系统对初值极敏感( 也就是最本质的) ，而线性系统则不然。可以用一个不太准确的例子来说明这种现象一一非线性系统局部看来好比是放在篮球顶端的一只乒乓球，起初是静止的，而后在受到一个极奇微小的初始速度( 可以是各个方向的) 的作用下，乒乓球会飞快地向一个方向滚落下去；而线性系统则好比是放在碗底的乒乓球，只要初始速度不很大，乒乓球最终会停在碗底。在物理学中称在这两点的平衡状态为不稳定平衡和稳定平衡；在混沌学中，我们通常将这两点命名为双曲不动点( 鞍点) 和椭圆不动点。正是非线性系统的这种特有的对初值的敏感性，使得我们在处理非线性方程时，不能得心应手地使用一些已经非常成熟的数学方法：如线性迭加、微扰、摄动、无穷小分析等等。非线性系统往往错综复杂，对它的进一步研究呼唤着新的方法和思维方式。适时应运而生的系统论、信息论、耗散结构、协同学等理论，成为研究非线性系统的有力武器。混沌理论作为其中的一种，可谓一枝独秀，已渐渐成为非线性科学的主要研究对象。1 1 1 混沌发展史简介回顾物理科学的发展历史，我们知道现代科学始于牛顿于1 6 8 6 年提出的三大定律以及之后的万有引力定律。牛顿便可以推导开普勒总结的行星运动的经验定律及解释诸多的自然现象，如月亮的椭圆运动，海水的潮起潮落，自由落体等。牛顿定律的个直接推论就是：若给定初始条件及相第一章绪论互作用力，物体以后的运动就完全确定下来了。即使初始条件有一定的误差，只要误差足够小，我们也可以基本准确的给出未来的所有发展情况。对天体轨道的预言是牛顿力学成功的典范，然而牛顿定律只能精确的描述单体和二体问题。然而我们知道，天体的运动其实是属于复杂系统的范畴，既然是复杂系统，必然不是简单的线性系统，如何能用简单的线性方法处理复杂的天体运动呢? 于是在1 9 世纪末2 0 世纪初，庞加莱在研究稍微复杂的限制性三体问题( 指所讨论的三个天体中，有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比，小到可以忽略，即不考虑它对另外两个天体的吸引) 时，发现三体引力互相作用能产生出惊人的复杂性，不仅无法求得精确解，而且遇到了混沌问题。其实庞加莱遇到的问题只不过是在牛顿体系中的两体问题上又加了一个物体，但却无法求出精确解。庞加莱把动力系统和拓扑学有机的结合起来，指出三体问题中，在一定范围内，其解是随机的。即在确定论系统中，相空间轨道有可能呈现高度不稳定性，初始条件的任何微小扰动都会在未来的发展中引起完全不同结果 1 】。这个例子及随后的研究表明，牛顿力学不仅对研究宏观天体与微观粒子不能适用，而且对研究由多个要素构成的复杂系统也存在困难。即使对于宏观的保守系统，牛顿力学也仅能解决少数可积系统问题，而且大量的实际问题仍无法用牛顿力学来解决。过去，随机性只是和不可逆性联系到一起。而现在，在确定性的，可逆的牛顿力学内部出现了内在的随机性 1 】。然而非常遗憾的是庞加莱没有沿着这条路继续走下去，在双曲点附近无限复杂精细的栅栏结构面前却步了。尽管如此，这是科学家第一次指出确定论系统中的内在的随机性一一混沌，混沌确定系统是庞加莱在研究三体问题时第一次发现的。此后，1 9 5 4 年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫及其学生阿诺德和瑞士数学家莫西共同给出k a m 定理。定理的内容可以粗略的叙述如下：对个自由度的哈密顿系统，若哈密顿函数可以表示为h = - o + v ，其中风表示一个可积系统的哈密顿量，矿表示一个小扰动( 弱非线性) ，则在足够阶数的可微及非退化条件下，日的绝大多数的解，仍然停留在一个维环面上，此环面与可积系统的风环面同胚。可积系统指存在运动积分的系统，此时系统的解位于维环面上并可以用这个运动积分表示出来。不可积系统指不存在个运动积分的系统，其系统的解将不再限制在维环面上。k a m 定理表明，在小扰动下，近可积系统的绝大多数解仍限制在稍有变形的维环面上。这些环面称为k a m 环面 1 】。因此，k a m 定理为揭示哈密顿系统中k a m 环面的破坏以及混沌运动奠定了基础。k a m 定理表征了小扰4华东师范人学博上学位论文动不能导致复杂运动，规则运动具有稳定性，贯穿相空间的无理环面将混沌区与规则区完全隔开。稳定的小行星轨道的存在可以被看作是对c 4 m 定理的一个证明。此后，近哈密顿系统的k a m 环面也作为通向混沌的一种途径。1 9 6 4 年，法国天文学家埃农从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发，得到了一个二维不可积哈密顿系统中的确定性随机行为，即埃农映象一个简单的二维平方映象。1 9 7 1 年，法国物理学家茹厄勒和荷兰数学家塔肯斯证明朗道的湍流理论是不正确的，认为根本不需要出现无穷多个频率的耦合现象，甚至只要出现3 个不可公约的频率，系统就会出现混沌( 湍流) 【l 】，同时为耗散系统引入“奇怪吸引子”概念，提出用混沌来说明湍流的形成。1 9 7 2 年1 2 月2 9 日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一洛伦兹在美国科学发展学会第1 3 9 次会议上发表了题为蝴蝶效应的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。时至今日，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。( 我国苏轼也曾经写过“竹中一滴曹溪水，涨起西江十八滩”) 。洛伦兹系统作为第一个混沌的物理和数学模型，成为后人研究混沌理论的出发点和基石，洛伦兹因而被誉为“混沌之父”。1 9 7 5 年，美国数学家约克和李天岩在美国数学月刊发表了题为周期3 意味着混沌的著名文章，被认为是混沌的第一次j 下式表述，混沌一词从此被正式使用。在这篇文章中，如果一个连续映象厂有一个周期3 点，则它必定有任意周期k 的点。此后不久人们发现令人惊奇的李一约克定理并不是一个新发现，他只是1 9 6 4 年苏联数学家萨可夫斯基定理的子定理或特例 3 】。由于此定理的重新发现，使得萨可夫斯基定理也广为人知。1 9 7 6 年，美国生物学家梅在美国( n a t u r e ) ) 杂志上发表题为具有极复杂的动力学的简单数学模型的文章。文中指出，逻辑斯蒂映象中存在着丰富的内容。在此基础上，美国物理学家费根鲍姆于1 9 7 8 年发现了倍周期分岔通向混沌的两个普适常数，后人称之为费根鲍姆常数，并引入了重整化群的思想 1 】。2 0 世纪7 0 年代中期，实验物理学家也加入混沌学的研究行列。1 9 7 4年，美国物理学家斯温尼和格鲁布用实验间接地证实了茹厄勒一塔肯斯理论；1 9 8 4 年，美国物理学家肖和他的同事用水龙头进行混沌实验，并由实验数据重建了奇怪吸引子【4 】。肖德实验如下：一只自来水龙头如果在将闭未闭之际，即漏水口很小，而水压恒定的时候，水滴积累重力超过了表面第一章绪论张力，水滴就下落，新的一滴水又开始积累。则每次形成一滴水而落下的时间是一个常数，即一滴水的时间是一个周期，且此时为单倍周期。试将漏水口放大一点点，周期将缩短，反之将延长。加大到一个临界值，周期就发生忽长忽短倍周期的不规则性态了。再加大漏水口，可见四周期。继续加大，可出现完全不恒定周期，即混沌。自此以后，混沌学进入了蓬勃发展的阶段。近2 0 多年来，非线性科学成为科学研究的热点之一。尤其是在7 0 年代末，8 0 年代初，非线性科学的研究热潮就像当年量子力学，相对论刚问世一样，导致了整个科学界的震撼。非线性科学宣布了几百年来主导科学界的经典决定论的局限性。它指出，即使对于通常的宏观尺度和一般物体的运动速度，经典决定论也不符合对非线性系统中混沌轨道行为分析得出的客观结论。非线性科学涵盖各种各样尺度系统，可包括从非常基本到最先进及从非常数学化到最定向应用。涉及以任意速率运动的对象，具有广泛的应用性 1 】。对作为非线性科学的一个主要分支的混沌的研究不仅推动了其他科学的发展，而且其他科学的发展又促进了混沌的深入研究。因此，混沌学的应用已经涉及了几乎所有的学科 4 ，5 】。混沌学使人们原来限于简单系统的观念发生了革命性的转变，使人们更清楚地认识了简单与复杂、确定与随机的内在联系，难怪有的学者将混沌学誉为本世纪继相对论与量子论之后的第三次科学革命。说到这里就要涉及到混沌是什么的问题，也就是混沌的定义。正像给“生命下定义一样，究竟什么是混沌，这个定义是很难确切地下出来的，之所以这样是因为：至少到目前为止，还没有一个统一的、有足够数学定理支持的、普遍适用和完美的混沌理论，科学家们只能通过混沌系统所表现出的一些普遍现象总结归纳出其所谓的本质。对此，专家们的观点是哈肯：“混沌性为来源于决定性方程的无规运动。”费根包姆：“确定系统的内在随机运动。 洛伦兹：“确定性非周期流。”赫柏林：“没有周期性的有序。”钱学森：“混沌是宏观无序、微观有序的现象。 综上所述，我们可以做出如下的理解：混沌是指确定的宏观的非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随机现象；是确定性与不确定性或规则性与非规则性或有序性与无序性融为一体的现象；其不可确定性或无序随机性不是来源于外部干扰，而是来源于内部的“非线性交叉耦合作用机制，这种“非线性交叉耦合作用”的数学表式是动力学方程中的非线性项，正是由于这种“交叉 作用，非线性系统在一定的临界性条件下才表现出混沌现象，才导致其对初值的敏感性，才导致内在的不稳定性的综合效果。在这里我们谈到了确定性，所谓确定性系统是指我们考虑的物理系统，它的物理量随时间的变化是一个确定性质的常微分方程组或差6华东师范大学博一i ：学位论义分方程组所决定的。只要给定了初始条件，它的解( 或称为运动轨道) 就是唯一确定的。在某些情况和给定的控制参数下，解会呈现出无序的混乱状态，也就是上面所说的混沌状态。这种确定性系统的混沌现象本质上不同于不受确定性方程约束的所谓完全随机的混乱状态。混沌现象是“确定性系统 的一种“内在的随机性 ，它是有别于可能由系统外部引入的不确定的随机影响( 如噪声) 而产生的外部随机性。“确定性”是因为它有内在的原因而不是外来的噪声或干扰所产生；而“随机性”指的是不规则的不能预测的行为。为了与类似于大量分子热运动的这种随机性和无序性加以区别，称我们所研究的混沌为非平衡混沌，而把系统处于平衡态时所呈现的杂乱无章的热运动混乱状态称为平衡态混沌。平衡态混沌与非平衡混沌的另一个差别在于：平衡态混沌所表现出的随机现象是系统演化的短期行为无法确定。比如掷骰子，第一次掷的结果就无法确定：非平衡混沌则不然，系统的短期演化结果是确定的，可以预知的。只有经过长期演化，结果才是不确定的，不可预知的。在分析力学问题时，我们通常是在相空间内研究它的运动轨道。所谓相空间就是由所要研究的物理量本身( 位移、速度、压力和温度等) 作为坐标分量所构成的广义空间，最常见的相空间是由位移和速度分量构成的相空间。在每一个确定时刻，所有这些物理量的取值在广义相空间内代表一个点，这些物理量随时间的演变就是在相空间内从一个给定的初始点开始的一条动力学轨道，而混沌状态就是相空间运动轨道所表现出来的无序和不规则性。就我们考虑的物理系统而言，根据它在相空间内随着时间的演变相体积是否收缩可以把系统区分为两大类一一保守系统和耗散系统。这两个系统中出现的混沌现象有着非常明显的本质差别，它们所遵循的物理规律也完全不同，我们必须分别加以讨论。所谓保守系统是指在相空间内其相体积随时间的变化始终保持不变的动力学系统。与此相反，耗散系统是指在它的相空间内其体积随时间的变化不断减小的动力学系统。人类认识混沌现象的过程也渐渐由保守系统混沌走向耗散系统混沌。正像现实生活中非线性现象远远多于线性现象一样，耗散系统的混沌现象比起保守系统的混沌更加普遍，对耗散系统混沌的更深一步研究将使物理学真正走进人们的日常生活中，在更大的范围内得到统一与和谐。混沌研究能有如此迅速的发展，除了物理上思想的更新外，主要得力于计算机技术的长足进展。计算机是研究混沌科学的必备工具，没有计算机技术就没有混沌学的今天，正如没有显微镜就看不见细菌，没有望远镜就分不清遥远的星星，没有高能加速器就看不见微观粒子。今天，伴随计算机等技术的飞速进步，混沌学已发展成为一门影响深远、发展迅速的前沿7第一章绪论科学。1 1 2 混沌动力学的研究现状及应用混沌动力学中最热门的研究就是同步化行为。回顾同步化的研究历史，我们自然会想到一个人物一一惠更斯( h u y g e n s ) 。惠更斯无意中发现一类非线性振动现象，即将两个挂在墙上并略不同步的钟摆固定在同一薄木板上，经过一段时间后会变得同步，于是他怀疑这两个摆钟必定互相影响着。为确定此影响是否来自于同一支持物，他将它们分别挂在相对的墙上，然后他发现摆钟之间的同步逐渐失去，一天之间时差5 秒。就现在而言，惠更斯的这一发现属于两个系统的同步。现已发现，对两个耦合混沌系统，随着耦合强度的变化，其耦合行为可以表现出不同的形式。主要的耦合方式有单向耦合和双向耦合两种，此外还有扩散耦合、脉冲耦合以及负反馈等。对于单向耦合，耦合系统由两个子系统组成，它们构成驱动一一响应方式。驱动系统自由运动，而响应系统受驱动系统支配并追踪驱动系统的行为，即响应系统受到了外部驱动的混沌力的作用，从而达到与外部混沌信号一致的状态，比如混沌通讯；对于双向耦合，两个子系统相互耦合并各自调节其节律到共同的同步化流型，从而诱导出相互同步化的行为，比如心脏与呼吸系统、具有反馈的耦合激光系统等【l 】。除了两个混沌系统的耦合外，自然界中存在更广泛的是大量混沌系统的耦合，比如大量萤火虫间的同步化点火。类似的现象还有大量听众间的同步化鼓掌、激光簇间的锁相等。这样的自然系统可看成具有某种空间结构。最简单的模型是将它们放在一维链上。每个振子与其最近邻发生作用。当第一个与最后一个振子间也有耦合时，就形成一个闭合的链。更一般的是将它们考虑成具有最近邻相互作用的二维格子。这种大量耦合振子系统通常又称为时空系统，而时空混沌系统的动力学行为通常由偏微分方程描述。数值上可将偏微分方程离散化常微分方程来研究其动力学演化，即时空系统的动力学行为等价于大量耦合振子的集体行为。混沌系统在耦合作用下，必然会发生各种不同的行为，其中混沌同步化是耦合混沌系统中研究的最多的集体行为。1 6 8 0 年，荷兰物理学家肯木佛( k a e m p f e r ) 在对塞姆( s i a m ) 探险时，发现在东南亚地区，一些停在红杉树上的萤火虫会同时发光并同时熄灭。发光时照耀数里，而熄灭时则漆黑一片，表现出非常高的同步化效应。当时并不知道为什么会发生这种行为，现在有了混沌同步化理论就可以很系统的理解这个现象了。如果把华东师范人学博上学位论文这些萤火虫单独的隔开，就不会发生如此一致的行为。但现实是这些物体并不孤立于环境，而是与其他物体相互作用。我们称这种相互作用为耦合，其实就是一种信号在复杂系统中的传递，这些信号可能非常微弱，有些甚至难以察觉，然而它却能使整个系统产生定性的转变，各个系统会调节自己的节律来适应其他物体。于是就发生了开始描述的惠更斯看到的摆钟步调一致的摆动，以及萤火虫同时发光的现象等。这些行为就是同步化。众多的研究表明，随着耦合强度的变化，耦合的混沌系统的耦合行为可表现出不同形式及不同程度的同步化，如完全同步化、相同步化、延迟同步化及广义同步化等。另一方面，随着对混沌动力学研究的逐步深入，人们逐渐注意到混沌的一些实际应用，其中混沌的控制是应用的关键环节。很多情况下，混沌是一种有害的运动，采取一定的手段成功对混沌进行抑制，使之运行到我们所需要的目标态，而控制强度不会太大( 利用系统自身的动力学特点) 。当人们发现混沌可以得以控制的时候，混沌便被应用于一些领域中。混沌在通信上的应用主要就是将同步化混沌电路应用到保密通信中。我们可以成功的利用混沌掩盖信号，避免信号被泄露。对于一个混沌系统，如果能保证其长期稳定同步，则可以把信息隐蔽在混沌信号中，使窃听者无法发现和识别，而接收端由于恢复了与发射端同步的混沌信号，则可以解调出信号，这样便实现了对信息的加密传输。由于混沌系统具有内禀的不可预言性及宽带谱特征，混沌系统同步化的实现就使得人们相信混沌系统可提供比加密途径更好的保密通信。自从这种可能性第一次在电路上变为现实后，混沌保密通信得到了广泛的研究并提出了各种加密信息的方法。这里信息信号是被加到混沌信号上来进行传输的，即混沌信号为宽带载体，同步化在接收端恢复信息的必要条件 1 】。在第5 章我们将逐一介绍混沌的控制和同步化。1 2复杂网络简介我们生活在一个充满网络的世界里，比如，万维网，电力网，新陈代谢网，交通网络，社会网络等等。网络是复杂系统建模的一种比较常用的形式，因而复杂网络是复杂系统研究的一个重要分支。网络同步是复杂系统的一种群集行为，它关心的问题是系统的拓扑结构特性与系统的同步之间的关系。1 9 9 8 年w a t t s 和s t r o g a t z 在( ( n a t u r e ) ) 杂志上发表文章，引入了小世界( s m a l l w o r l d ) 网络模型，用以描述从完全规则网络到完全随机网络的转9第一章绪论变。小世界网络既具有与规则网络类似的高集团系数的特性，又具有与随机网络类似的较小的平均路径长度。“小世界”的概念，它以简单的措辞描述了大多数网络尽管规模很大但是任意两个节( 顶) 点间却有一条相当短的路径的事实。以日常语言看，它反映的是相互关系的数目可以很小但却能够连接世界的事实，例如，在社会网络中，人与人相互认识的关系很少，但是却可以找到很远的无关系的其他人。正如麦克卢汉所说，地球变得越来越小，变成一个地球村，也就是说，变成一个“小世界 。1 9 9 9 年b a r a b f i s i和a l b e r t 通过在互联网的随机行走发现其实互联网的度分布是一个“胖尾”幂律分布，而后在s c i e n c e ) ) 中指出许多实际的复杂网络的连接度分布具有幂律形式。由于幂律分布没有明显的特征长度，该类网络又被称为无标度( s c a l e f r e e ) 网络，同时他们给出了生成无标度网络的一种简单方法。由此发展起来一门新兴的交叉学科一一复杂网络，而在复杂网络的诸多统计特征中最重要的是“小世界效应”和“无标度特性”。这里出现的一系列概念，本文将在后面的章节中进行详细的介绍。而后科学家们又研究了复杂网络的各种特性【6 】。国内