（理论物理专业论文）格点量子色动力学对胶球波函数的研究.pdf

论文题目：格点量子色动力学对胶球波函数的研究 专业：理论物理 硕： 生：刘军 指导老师：罗向前博导教授 摘要 格点q c d 理论曾预言了几种新粒子的存在：胶球( g l u e b a l l ) 和混杂态介子 ( h y b r i dm e s o n ) 。胶球是一种不包含价夸克的粒子，它全部是由胶子组成的。但 胶球至今还没有在实验室中被发现。为了更精确地研究胶球的性质，除了计算胶 球质量谱外，还可以研究胶球的波函数的性质。一旦计算出胶球的波函数和半径， 就可用于计算粒子的产生和衰变，为实验寻找胶球提供更多有用的物理信息。 在本研究工作中，我们在本组搭建的并行计算机上首次使用格点量子色动力 学方法测量了s u ( 3 ) 规范理论下的胶球波函数，这对于研究胶球的性质以及验证 q c d 理论的f 确性都有重要意义。 关键词：胶球；波函数；格点q c d t i t i e ： & 呻s ，伪g 协曲n h 艟咖甩c 咖甩加卅工口掰卯q c d m a j o r 珊p 删f j c 口，脚，虹 n 8 m e ：妇肛上胁 s u p e r v i s o r ：。p ，毪，：胁，l 擘_ q 如一工d a b s t r a c t l a t t i c eq c dh a sp r e d i c t e dt h ee x i s t e n c eo fn e wh a d r o n s ：g l u e b a i la n dh y b r i d m e s o n g l u e b a l li sc o m p o s e do fg l u o n s h o w e v e r g l u e b a i l sh a v e n tb e e nf b u n di n t h el a bs of a l1 os 细d yt h eg l u e b a nm o r ed e e p 帆i t sm e a n i n g f u l t oc a k u l a t et h e g i u e b a w a v e f h n c t i o ni na d d i t i o nt o t h ec a l c u l a t j o no fg h l e b a l lm a s s g l u e b a l l w a v e f u n c t i o ni sr e l e v a n tf o rt h ec o m p u t a t i o no fp r o d u c t i o na n dd e c a yo f 掣u e b 8 i l s ，t h e r e f o 腭t h i sc a np r o v j d em o r ei n t e r e s t i n gp h y s i c a li n f o r m 8 “o nf o r e x p e r i m e n t a l i s t h e 代w ec a k u l a t et h eg l u e b a hw a v e f u n c t i o nj ns u ( 3 ) a l ls i m u l a t j o n s8 n p e 啪r m e do nl h ec l h s t e ro fo u rj a b 。w eh a v em e a s u l 雩dt h es c a j a ra n dl e n s o r g l u e b a w a v e f u n c t i o n a tt h es a m et i m e ，w eh a v eb r i e f 垮c a l c u i a t e dt h eg l u e b a i l m a s sa sf b rac o n s i s t e n tc h e c k k e yw o r d s ：l a t t c eq c d ；g l u e b 8 l l ；w a v e 矗n 俄i o n ；m o m ec a r l o 第一章绪论 获得2 0 0 4 年诺贝尔物理奖的是三位美国籍理论物理学者一葛罗斯( d a v i dj g r o s s ) 、波利彻( h d a v i dp o l i t z e r ) 与威尔切克( f r a n kw i l c z e k ) 。葛罗斯 目前是美国加州大学圣塔芭芭拉分校卡夫力( k a v l i ) 理论物理研究所所长，波 利彻与威尔切克则分别是美国加州理工学院与麻省理工学院的物理教授。 他们三人是因为“发现强交互作用中的渐近自由”而获奖。这项工作是他们 在1 9 7 3 年完成的，当时葛罗斯是普林斯顿大学的物理教授，威尔切克是他所指 导的研究生，两人一起在物理评论通讯发表了一篇三页的短文 2 ，宣布他 们合作计算的结果；波利彻当时则是哈佛大学的研究生，独自一人完成了计算， 他的文章也只有三页，也是出现在物理评论通讯 3 ，恰好紧跟在葛、威二 人的文章之后。对于威尔切克、波利彻二人来说，这两篇得奖文章是他们生平的 第一篇文章。 这三位科学家发现的夸克渐近自由现象，为一个全新的理论量子色动力 学的诞生奠定了基础。七十年代初提出的量子色动力学( q c d ) 是关于强相互 作用的可重整化的规范理论，它认为强子是由夸克组成。与电子带有电荷类似， 夸克和胶予( 一种传递强作用力的基本粒子) 带有色荷，基于色荷的色力或者强作 用力，具有比电磁力更为复杂的作用方式和更为奇特的现象，“渐近自由”就是 一个明显例子。强子间的强作用通过胶子传递，它的主要特征是渐近自由，即相 互作用在近距离处变弱。另外，还假设夸克禁闭在强子内部，不能以自出状态存 在，该理论成功地解释了轻子对强子的深度非弹性散射实验，并预言了胶子的喷 注。现在，人们普遍认为q c d 是强相互作用理论的最佳候选者。 由于q c d 具有高能渐近自由和低能禁闭的性质，使得低能强相互作用过程， 如色禁闭、真空结构、强子结构和强子谱、夸克胶子等离子体等，不能用微扰方 法处理，必须发展非微扰方法。为此w i l s o n ( 获1 9 8 2 年n 0 b e l 物理奖) 在1 9 7 4 年建立了格点规范理论( l ，g t ) ，提供了一种研究q c d 非微扰的有效途径。格点规 范理论是从第一原理出发处理强作用非微扰问题最有力的工具。它的基本思想是 把q c d 理论建立在离散的欧几里德时空间格点上。这样的好处是使离散的时一空 间格点可以作为一种非微扰的重整化方案。这个过程实质上是一种重整化过程中 必须经历的正规方案。在l g t 中，不管耦合常数是什么值，所有的物理量的期 待值在数学上都有很好的定义。当相邻格点的格距趋于零时，l g t 回到连续理论， 在这一过程中，所有的物理量得到了重整化。 q c d 理论的非a b e l 规范理论的特性，使得理论中包含的八种带色规范玻色 子一胶子之间存在自相互作用，由于这种自相互作用，两个或两个以上的胶子可 以构成束缚态一一胶球。胶球的发现将是验证q c d 理论正确性的直接证据，因此 从实验上发现胶球具有重要物理意义。q c d 的最根本特征是由胶子传播色力 ( c o l o rf o r c e ) ，而人们普遍认为颜色是禁闭的，因而不可能在实验上观察到单 个胶子。如果能在实验上发现胶球，将是胶子存在的最直接证明，反之，如果实 验上始终不能发现胶球，q c d 理论将面临严峻挑战。此外，胶球的确认是一种全 新类型强子的发现。对胶球性质的进一步研究将使我们对强作用规律的认识更加 深刻。 自从w i l s o n 建立格点q c d 理论以来，在实验上的寻找胶球和使用数值模拟 等方法来计算胶球的质量，一直是一个热门的研究课题。 4 1 5 2 1 为了更精确地研究胶球的性质，除了计算胶球质量谱外，还可以研究胶球的 波函数的性质。一旦计算出胶球的波函数，就可用于计算粒子的产生和衰变，为 实验寻找胶球提供更多有用的物理信息。例如：格点q c d 计算结果表明t ，“1 = o ” 的胶球的质量为1 6 5 0 1 0 0 m e v ，但实验上至少有两种胶球的候选者： 矗( 1 5 0 0 ) ，乃( 1 7 1 0 ) 。 本论文的主要工作为使用格点q c d 理论在本组搭建的并行机群上进行大规模 的数值模拟，研究和测量s u ( 3 ) 规范理论下的胶球波函数的性质，为进一步研究 胶球衰变和混合，在各向异性格点及改进作用量下研究作准备。 本论文将按如下结构和顺利阐述本人工作。首先从粒子物理及格点q c d 基础 理论和计算技巧出发，再进而叙述我们的前期工作一胶球质量的计算，最后重点 介绍我们的主要工作一胶球波函数的测量。第二、三章介绍和总结本人在研究生 三年中所学到的基础理论知识和计算技巧。其中第二章主要介绍量子色动力学及 格点规范理论。第三章则是介绍各种格点q c d 的数值模拟算法。第四章巾将介绍 2 本人的前期工作，主要是采用各向异性格点和改进作用量来测量胶球的质量，但 这部分工作m o r n i n g s t a r 和p e a r d o n 已经做得很好 1 5 2 4 ，我们只是作为验证 以及为以后的工作，如研究胶球衰变和混合等做铺挚。最后一部分则是本文的重 点及创新所在，我们研究和测量了s u ( 3 ) 规范理论下的下的标量和张量胶球波 函数。我们在此章分别阐述用计算机模拟测量s u ( 3 ) 规范理论下的标量和张量 胶球波函数所根据的原理、算符的构造、关联函数的测量以及对测量数据的分析 的结果，最后还给出了我们当前工作的不足之处以及对未来工作的展望及改进之 处。 第二章量子色动力学及格点规范理论 2 1 标准模型 从1 0 0 多年前发现电子的存在的开始，在接下来的几十年里，不断有新的粒 子被发现，这些发现大部分来自于宇宙线实验，因为宇宙线是当时高能粒子的唯 一来源。1 9 5 0 年以后宇宙线中新的粒子的发现激发了高能对撞机的建造，提供了 高强度可控的来源，最终提示了物质的夸克结构。 已知微观世界里的力有强力、电磁力、弱力和引力等四种，已发现的微观粒 子可以分成强予与轻子二类。强子是有着这四种力的粒子，轻子是有着除强力之 外的三种力的粒子。迄今我们对粒子物理的认识可以由“标准模型”所归纳。 标准模型理论包括两部分：一是有关电磁力和弱力统一理论，即格拉肖一温 伯格一萨拉姆电弱统一理论：二是揭示夸克性质及其相互作用规律的量子色动力 学q c d 理论。 在这个模型里，轻子是基本的，而强子是由更 基本的组元夸克构成的，夸克和轻子都是自旋 为1 2 的费米子。组成微观世界的组元是三代轻 子和三代夸克。夸克有带( 十2 3 ) 电荷的上夸克( u ) 、 粲夸克( c ) 和项夸克( t ) ，以及带( 一l 3 ) 电荷 的下夸克( d ) 、奇夸克( s ) 和底夸克( b ) ；轻子 带有( 一1 ) 电荷的电子( e ) 、u 子( u ) 和t 子( t ) 以及不带电的三个相应的中微子( ”e ) 、( 。u ) 和 图2 1 基本粒子 vf 。按照它们的质量和性质可以将它们分为三代， 每一代都有一个电荷为( + 2 3 e ) 的夸克和个电荷为( 一l 3 e ) 的夸克，以及一个 中微子和一个带电轻子，每一代总电荷相等。右图为基本粒子的分类示意图。 夸克是m g e l l m a n n 在1 9 6 0 年代初期所提出的概念 3 9 卜一它们是自旋1 2 的费米子，带有分数电荷( 例如1 3 电子电荷) 。g e l l 一m a n n 认为所有参与强相 4 互作用的重子( 例如质子) 与介子( 例如n 介予) 都是由夸克所组成的。由于夸 克带有前所未见的分数电荷，是相当奇怪的东西，所以不少人对于夸克这个假设 半信半疑。直到s l a c 的深度非弹性散射实验结果出现，夸克才从“假设”变成 “事实”。 任何一种夸克和轻子都存在反粒予，它们具有相同的自旋和质量，但其它相 加性量子数( 如电荷等) 具有相反的符号。另外，每一种味道的夸克分为三色( 红、 绿、黄) ，反夸克具有反色。传递强相互作用的胶予带有色和反色自由度，一共有 八种胶子一个夸克通过发射或吸收一个胶子来改变颜色 夸克模型提出以来，成功地解释了介子和重子的结构，对粒子相互作用和粒 子分类的研究做出了巨大贡献。其中重子是由三个夸克组成的，这些夸克可以是 同味的，也可以是不同味的，由s u ( 3 ) 理论知道，三个夸克可以构成重子的单态、 八重态和十重态。介子是由一个夸克和一个反夸克组成的，i ，”= o 一，0 + 。，l ，2 ”。 这些量子态对介子态是禁戒的。如果实现上发现了这些量子数的粒子，称为奇异 粒子。q c d 预言：胶子和胶子之间，胶子与夸克之间存在自相互作用，由于这种 自相互作用，两个或两个以上的胶子可以构成束缚态一一胶球：由胶子和两个夸 克组成的q q g 态一混杂态，还有可能是四个夸克构成的q q q q 态一一四夸克态。 f c 8 0 n q q l 王矗r y t ，l l | q q g l u e b a i ll 鐾g ) 1 1 v hr i d q 司g l 图2 2 扶左确毛分翻为会子重子，睃球，混杂态 “标准模型”并不完美，目前大部分人相信它是一个有效的唯象理论，仍存 在很多基本问题有待解决。例如，在理论中的参数达2 0 个之多，其中1 1 个来自 希格斯机制。这样的模型显然不能成为高能物理的基本理论。因此，深入检验标 准模型，探索这些参数的来源并找寻向基本理论的发展，是今后重要的研究领域。 2 2 量子色动力学 夸克具有颜色自由度的理论得到了不少实验的支持，在7 0 年代发展成为强 相互作用的重要理论量子色动力学。量子色动力学( q c d ) 是一种具有严格色 s u ( 3 ) 定域规范对称性的非阿贝尔理论。在该理论中，每种味道的夸克都具有三 种颜色，而它们形成的粒子( 介子或重子) 必须是无色( 色单态) 。其中量子色动力 学中的“色荷”相当于量子电动力学中的“电荷”，色荷之间能发生相互作用， 这就是作为传递强相互作用的胶子与传递电磁相互作用的光子之间的不同之处， 光予之间不发生相互作用，而胶子间由于带色荷，所以会发生相互作用。 胶子是色场的量子，就像光子是电磁场的量子一样。胶子和光子都是质量为 0 、自旋为1 、传递相互作用的媒介粒子。两个电子发生相互作用是靠传递一个 虚光子而发生的，自然，两个夸克发生相互作用是靠传递一个虚胶子而发生的。 虚胶子携带着一个夸克的部分能量和动量，交给另一个夸克，于是两个夸克就以 胶子为纽带发生了相互作用。然而电磁场是u ( 1 ) 规范场，是一种阿贝尔规范 场，群元可以交换，而胶子场是s u ( 3 ) 规范场，是种非阿贝尔规范场，群元不 可以交换。因此电荷只有一种，而色荷却有三种( 红、黄、蓝) ；u ( 1 ) 群的生成 元只有一个，就是l ，所以光子只有一种，而s u ( 3 ) 群有八个生成元，一个生成 元对应一种胶子，所以胶子共有八种；光子不带电荷，而胶子场由于是非阿贝尔 规范场，场方程具有非线性项，体现了胶子的自相互作用，因而胶子也带色荷， 夸克发射带色的胶子，自身改变颜色。所以胶予场比电磁场复杂，因而出现了许 多不同寻常的现象和性质，其中最重要的恐怕要数“渐近自由”和“夸克禁闭” 现象。 “渐近自由”说的是两个夸克之间距离很小时，耦合常数也会变得很小，以 致夸克可以看成是近自由的。耦合常数变小是由于真空的反色屏蔽效应引起的。 真空中的夸克会使真空极化( 即它使真空带上颜色) ，夸克与周围真空的相瓦作 用导致由真空极化产生的虚胶子和f 反虚夸克的极化分布，最终效果使夸克色荷 变大，这称为色的反屏蔽效应。由于这一效应，在离夸克较小距离，卜看来，大距 离的夸克比它带的色荷多，所以小距离上强作用相对而言变弱了，这就是所谓“渐 近自由”。渐近自由是量子色动力学的项重要成果，它使得高能色动力学可以 用微扰理论计算。但是在低能情形或者况大距离情形，由于耦合常数变强及存在 6 禁闭力，计算变得困难。 量子色动力学可以预言小距离的“渐近自由”，但是对大距离的“夸克禁闭”， 量子色动力学就无法预言了，这是量子色动力学的困难。“夸克禁闭”说的是夸 克无法从质子中逃逸出去。红黄蓝三色夸克组成无色态，强子都是无色的。关于 夸克禁闭的理论有许多。正好晚明了我们对强力的了解还不够充分。 2 3 格点规范理论和w i l s o n 作用量 对于低能强作用过程，例如夸克和胶予禁闭、真空结构、胶球和强子谱、强 子弱衰变、高温高密度下新的物质形态等，微扰方法变得无能为力，只能用非微 扰方法处理 4 。w i l s o n 在1 9 7 4 年所提出的格点规范理论( l g t ) 3 6 是从第一原 理出发处理强作用非微扰问题最有力的工具。 l g t 的基本思想是把q c d 理论建立在离散 的欧几里德时空间格点上。如图2 3 所示。其 中的格点模型是对真实的物理时空即连续的 时间的一种似乎方案。建立格点模型的好处主牛m 瓤 要有： 1 提供了一套非微扰的处理方案， 它能解决诸如夸克禁闭的现象： 图2 3 格点规范理论的基本元 素：夸克场( 格点) 、规范场( 链) 2 在离散的时空上能建立起q c d 的方程能解决很多难题，如发散。 3 在格点上建立起q c d 理论允许用类似统计力学的方法在计算机 来进行数值模拟。 这个过程实质上是一种重整化过程中必须经历的正规方案。在l g t 中，不管 耦合常数是什么值，所有的物理量的期待值在数学上都有很好的定义。当相邻格 点的格距趋于零时，l g t 回到连续理论，在这一过程中，所有的物理量得到了重 整化。 时空离散化的方案其实是将格点q c d 从连续时空转换到四维超立方格点体 系，将连续时空中的无限自出度转变成有限自出度，将连续极限中的泛函积分转 7 _ “ o 。 ， r 。 i 。 。 = 1 ， 、 一 变成格点下的多重积分( 类似统计系统) ，把求格林函数变成求关联函数( 即系 综平均) ；连续极限下的重正化方案在格点下的可以通过边续极限外推完成。 夸克坐落在格点上，它们之间出规范场链联系起来。w i l s o n 提出把 y a n g m i l l s 作用量的胶子场和规范场部分分别格点化。即将传统的y a n g m i l l s 作用量： s 。“= s 盅盟+ 2 ； ( 2 1 ) 其中的胶子作用量和夸克作用量为( 闵可夫斯基空间下) ： = 一去jd 4 晖吆 ( 2 2 ) 西= = 一fd 4 缈( q + 聊) ( 2 3 ) 分别格点化为欧氏空间下的方块作用量和差分形式： = 一吉乃( + u ；一2 ) ( 2 4 ) 2 去互矿( x ) ( ，+ 以) ( x ) p ( z ) + m 莓旷( x ) | ；f ，( z ) ( 2 吲 上式中a 是格距，而 ( x ) = p e x “辔r 以吒) ( 2 6 ) = u ( 工) u ( 工+ 胛) u ：( 工+ 幽) ( 工) ( 2 7 ) 分别代表规范场链和方块变量。当日一o 和g o 时，w i l s o n 作用量又回复到连 续弹论。 2 4 规范场改进作用量 对w i l s o n 规范场作用量( 2 4 ) 来说易证其离散误差是d ( ) 。为了减少数值 模拟的误差以及提高结果的信噪比，往往采用各种改进作用量方案。 2 4 1s y 啊n z i k 改进规格作用量 在经典的微扰论下，只有耦合常数很大( 或格距a 很小) 时才成立，因此在 数值模拟时需要较细的格点，这将需要计算能力很强的高性能计算机。s y m a n z i k 提出改进的作用量的思想 3 7 ，即在w i l s o n 作用量中加入定域、近邻或次近邻 项，使格距误差变成a 的高次幂。如可以加上其他w i l s o n 圈来消除w i l s o n 作用 量中口2 误差。 我们加入长方形算符来改进w i l s o n 规范场作用量，长方形算符为： 心户磊袁r e n 1 一( x ) ( 石+ p ) u ( 茸+ 2 p ) 叱( x + p + 6 ) 叱( x + 6 ) w ( x ) ( 2 - 8 ) 通过展开，可得 = l 一：口4 a ( 鹤，。) 2 一丢口6 狰( g 。( 4 或+ 瑶) 鳊) 一 ( 2 哪 如果组合起方形和长方形算符，那么可使作用量的精确度达到d ( 口4 ) 。其中 s y m a i l z i k 作用量的形式为： 一一磊降一警 ， = j 如寺峨+ o ( 口4 ) 2 4 2 蝌蚪( t a d p 0 1 e ) 改进 当规范场链( x ) 展开为l + 鹕( x ) 一 删，( x ) 2 2 + 时，由于量子效应( 称为 t a d p o l e ) ，规范势a ，( x ) 之间有w i c k 收缩：以以* 1 口2 ，使格点与连续理论之差 为o ( 9 2 ) 。到9 0 年代早期，由于6 p l e p a g e 和p b ，m a c k e n z i e “蝌蚪改进” ( t a d p 0 1 ei m p r o v e m e n t ) ，使得微扰理论能在大的耦合常数下也有收敛的结果。 “蝌蚪改进”即为将格点场分为两部分紫外和红外部分，而紫外部分应该被 积分出去，即将： e x p ( 垤以( x ) ) = e x p 诹( 笮( x ) + 形”( x ) ) = 即喇弛= “。e ( x ) ( 2 1 1 ) 用以下的形式代替： 9 u ，俐斗型u 。俐呻型 m “， 9 2 斗墓2 = 孚 o 寸 ：坠 o ；村f ， “j ， k e ke = u t k tk tjk t = h | k | ， c j 畸琶? ：。：c 。c t 畸琶t 鸭n ：警 孝是空间和时间方向格距的比率q q 。使用蝌蚪改进的好处是它更趋近于连 续极限，能有效提高结果的误差。 2 4 3 各向异性的格点上改进作用量 各向异性格点即在时间方向上采用精细格点，而在空间方向采用粗格点。在 用蒙特卡罗方法模拟计算强子、胶球等质量谱中，使用各向异性的格点能有效改 进信噪比。 在各向异性的格点上，我们由方块和长方形算符构成改进的作用量为： 一卢；互s 等一击等一壶等 掰等b 等一击等 c z m ， 大量的结果表明，各向异性格点上蝌蚪改进作用量使得格距误差和有限体积 效应大大减少 1 5 2 4 。 在本组的前期工作中，我们成功地实现了各项异性格点作用量，并采用了 s y m a n z i k 和t a d p 0 1 e 的改进作用量。具体工作及结果将在第四、第五章讲述。 2 5 费米子改进作用量 原始形式夸克场作用量的格点形式( 2 3 ) ，在格点下可以写成： 鹾“= 旷( x ) 肘。 f ，( y ) ( 21 3 ) j ， o 其中犯，代表费主子矩阵。对w s o n 费米子，有 m ，= 哦、，一f ( 1 一以) q 。( z ) ，j + ( 1 + 以) 0 一夕) ，p l ( 2 一1 4 ) 对k o g u t s u s s k i n d 费米子，有 丝广珊峨，+ 圭著协，( 石) ( x ) 瓯一一一b 一丘) 垃。i ( 2 1 5 ) 其中仉( x ) = ( 一1 ) “”“”，y = a 3 ( 2 r ) q ，d = 1 ( 2 茁) 一4 ，w i l s o n 夸克作 用量的误差是o ( 口) 。 1 9 8 5 年，s h e i k h o l e s l a i 7 和h l e r t 为了减少w i l s o nf e 瑚i o n 作用量的 计算误差，进一步改了作用量，称为c l o v e r 夸克改进作用量： s ，= 痧( z ) m ，妒( _ y ) = 旷( x ) ( 凡一k 岛) ( j ，) 4 ，= 正，11 一等。( x ) i ( 2 一1 6 ) l。，” j 且，= ( 1 以) ，。+ ( 1 + 以) ( c ( 石一) 正， 其中a 是局域的厄米量，8 只与最近邻的点相连。场张量被定义为： c 。( x ) = g 。( x ) 一g 。( x ) 1 胁， ( 2 一1 7 ) 其中g 。是在u 平面上，以x 为中心的周围四个方块的平均值。 ( 茸) 2 专既( x ) 虬o + ) ( 工+ v ) + ( x ) + + ( 工) ( x 一+ v ) + 扛一) + o 一) + 【，( x 一) + u ( z 一一v ) + ( x 一卢一y ) u ，( x v ) + ( x v ) + ( x 一，) 虬o + 一一v ) u ( x ) + 】 ( 2 1 8 ) 采用c l o v e r 费米子作用量的好处是能消除o ( a ) 的误差，而且它是定域的作 用量，易于作数值计算。使用c l 。v e r 作用量，在计算量上大约只增加】5 ，但 却能大大减少格距误差，从3 0 、4 0 到3 5 。 第三章格点q c d 的数值模拟算法 格点q c d 的计算是一种非微扰理论，它采用的是费曼路径积分的方法。所有 物理量都可以由路径积分计算得出。例如我们要在格点中计算一个可观察量 o ( 炽，u ) ，此观察量由定义在格点上的链u ( s u ( 0 ) ) 和g r a s s m a n n 夸克场妒 和驴决定，它可由公式计算出： ( d ( 叫，u ) ) = 号纂裂箬 。， = 圭fd 币d 、王，d u d f 币，甲，u 1 p “( 9 m 7 ) 7j 、 。 ， 其中，作用量剐u ，矿，妒】是含有链变量的函数。在格点中求出此积分是很难 的，即使对g r a s s m a n n 夸克场部分能用解析的方法求出，其它部分的积分，用 般的积分方法也是很难实现的。如用一个1 0 4 时空格点，链变量的总数大约为 4 x 1 0 4 ，对s u ( 3 ) 情况下，每个链变量是一个含有8 个实参数的函数，因此，将有 3 2 0 0 0 0 个积分要完成。事实上，只有少部分组态对这个积分有较大的贡献。而 如果我们采用m o n t ec a r l o 积分方法、重点抽样法、m o n t ec a r l o 路径积分等方 法来计算，就能大大减少计算量。 3 1蒙特卡罗方法方法 蒙特卡罗方法( m o n t e c a r l o ) 是一种基本随机过程的方法。它的目标是产生 一系列的组态( q ”，q ”) ，其中的组态q ，= 甲，甲。，u 是包含了胶子场和夸克 场的。然后就可把求和代替积分求得一算符的期望值： ( 。( 币一u ) ) = 牌专善。( q 一u ) ) m z ， 但不是所有组态都对积分有很大贡献，因此采用重点抽样法来产生对积分有 最大贡献的一系列组态就非常重要。重要抽样法是根据的是以下的几率分稚： 1 尸( q ) = 寺e x p ( 一s ( q ) ) ( 3 3 ) 其中s 和z 代表式( 3 2 ) 的作用量和配分函数。 m 。n t ec a r l o 方法的误差为l ，n 为组态数。在格点计算中，组态的数目 是由汁算的物理量所决定的。对一些诸如介子质量的物理量，使用d f l o o ) 统计 量的组态已经足够。但对热动力学量，如压力或能量密度、胶球的计算来说，就 需要数千个统计独立的组态。 3 2m e t r o p o l i s 算法 一种用于重点抽样的方法为m e t r o p 0 1 i s 算法，它使用了马尔可夫链。一个 马尔可夫过程定义了产生新的组态的算法。从旧的组态产生以一定的机率产生一 个新的组态的过程叫做“更新”。 重点抽样法的思想是按照一定的概率密度分布来产生随机数，丽不是均匀地 产生随机数。m e t r o p o l i s 等人提出了下述想法：不要彼此独立无关地选取相继 诸状态 墨 ，由前一个状态通过一个适当的跃迁概率矿( 蜀一+ ，) 得到，他 们指出，有可能这样选取跃迁概率以使得在m 叶m 的极限下，m a r k o v 过程产 生的状态的分布函数p ( x ，) 趋于所要的平衡分布。 拟，2 嵩尝卷 a ， i e x p l 一爿【而j j ( 擅 达到这一点的充分条件是加上细致平衡条件 匕( x ，) 矿( x 厂 x ，。) 2 巳( x ，t ) 渺( x 厂 x f ) ( 3 5 ) 上式意味着，变迁五_ 玛的跃迁概率和反方向的变迁一，一的跃迁概率 之比，只依赖于能量变化占h = h ( 玛，) 一h ( ) ， 等哥卧矿( 而一 而)1 、女b 丁 ( 3 6 ) 由此可见，原来平衡分布时的概率密度函数的分母被消去，现在我们只需要 计算系统组态的前后变化。上述马尔可夫过程通常称为马尔可夫链。 上式显然并不唯一地规定( 置斗五+ ，) ，w 的显式形式的选择仍然有某些任 意性。两种经常使用的选择是： 啉叫= 甜( 易 卜舞篇器， 或 ( 一一 t ) = 其中t 是一个任意因子，暂时可以取它为1 ( 后面讨论m c 过程的动力学解释时， 我们将取- 为“蒙特卡罗时间”的单位，并把w 叫做“单位时间的跃迁概率”。 凼此上式h j 与为： 啉叫乒p 巧渤蠹舳 u 。， 公式表示能量增加的状态跃迁几率小于l ，能量减少的状态跃迁几率为1 。 因此用上式可以确定马尔可夫链进行的方向，当占h o 时，状态由一埘， 若j h o 时，则进一步用下述进行判断， = ：笳篷磊嚣 伊圳 【e x p ( 一膨日) 善，允许一斗五， 其中值是一个0 与1 之间的随机数值。上式说明能量增加较少的状念是 允许的，能量增加较多的状态不允许，判断标准是用随机数，物理上原因是 体系存在涨落或测不准关系。 在马尔可夫链经过n 步( n 很大) 以后，可以认为体系从随机的初始状念出 发最后达到了平衡念的附近，对以后的马尔可夫链上的微观状态我们继续按马尔 1 4 8 oh占 ， 他 他 其 跗 。一，t 一 “ 弘 一t 可夫链抽样计算平均值 _ 吉爿( 墨) ( 3 1 1 ) m ，氧l 、” 相应的偏差计算公式为 ( 埘而鼍【峭) _ 】2 = 而鬟 以陟 纠 ( 3 1 2 ) 数学上可以证明，只要n 足够大，马尔可夫链出现的状态与初态无关。最后 总是到达平衡态的附近。 在产生组态的过程中，如果一个测试的新的组态是随机产生的，那么它被接 受的几率就低，这就需要很多时间来产生新的组念。这可以通过不随机产生，取 之以从原有的组态的基础上产生，这样两个组态相关不远，测试组态很容易就能 被接受。这样更新组态的效率就高。但带来了一个新问题，组态间的有关联。组 态间的关联可以通过测量组态间的“自关联时间r 。”测得。 但是用马尔可夫链方法来产生组态的缺点是，组态之间的关联时间是关联长 度的幂级数，即k f 2 ，这就是c r i t i c a ls l o w i n gd o w n i n g 问题。其中善一般与格 点大小成正比，对于m e t r o p o l i s 算法，乙“2 。所以随着格点的增大，组态间的 关联长度越长，因此关联时间也越长，产生一个新组态的时间也随幂级数增长， 算法的效率不高。 所以在格点计算中，一般使用其它更有效的算法产生组态。目前在格点计算 中有几种常用的产生组态的方法，如热浴法( h c a tb a t h ) 和杂化蒙特卡罗( h m c ) 等几种方法。 3 3 热浴法 如果作用量s ( q ) 是定域( 1 0 c a l ) 的话，计算作用量时只需要涉及计算少量 的近邻格点，那么计算作用量的变化占s 就很快，这就称为m “t i h il m e t r o p o l i s e 算法。当h i t 的次数足够大时，组态分布就趋于平衡。当一斗m 时， 这种方法就称为热浴化。它由 l i c h a e lc r e u t z 在1 9 8 0 年首选应用于s u ( 2 ) 格点 规范场理论中 1 0 ，然后由n c a b i b b o 和e m a r i n a r i 推广到s u ( n ) 的情况 1 1 ， 最后由a k e n n e d y 和b p e n d l e t o n 改进 4 3 。 热浴法的基本思想是把每个变量放到“热浴池”中，使它很快达到热平衡， 因为这个理由，这种算法被称之为“热浴法”。其特点是翻转接受率高，但每条 链抽样的时间长。对一些简单的作用量，如w i l s o n 作用量，热浴法比m e t r o d o l i s 方法有效得多，尽管它的临界指数z 也约等于2 。 3 4 超松驰算法 另一种有效的更新组态的算法是超松驰算法( o v e r r e l a x a t i o n ) ，它首先由 m c r e u t z 4 2 应用于s u ( 3 ) 规范作用量上。这种算法的接受率为1 0 0 的，所以 非常高效。但是它会破坏遍历性( e r g o d i c ) ，所以它要和h e a tb a t h 或m e t r o p 0 1 i s 更新算法相结合。超松弛算法的临界指数z d 。ml 。对于定域作用量来说，这 种组合的算法似乎是现今为止最高效的组态更新算法。 3 5g r a s s m a n n 积分 上面提到的两种方法对定域作用量很有效，但对一些场，如g r a s s m a n n 夸克 场，如果不采取一些辅助方法是不能直接应用上述方法的。对g r a s s m a n n 夸克场 必须遵守等时反对易关系，并因此产生许多重要的特性，如p a u l i 不相容原理以 及反对称。既然反对易特性在场中是一个全局限量，因此仅仅更新一个场变量是 不可能的。场中一个点处变量的改变将影响整个格点中的场。 为了避开g r a s s m a n n 场的这种明显变化，我们可以使用他们特殊的积分法 则。给定一个积分( 3 1 3 ) 式，具有双线形的g r a s s m a n n 变量且在指数位置有一个 1 6 矩阵m ”，该矩阵可从g r a s s m a n n 场中积分掉。 f 。妒。啄肌e x p ( 一等啄鸠m = a e t ( m ) 磊e 坊m 辛一峨 ( 3 1 3 ) 其中s 表示完全反对称张量，n 为在所考虑可观察量中夸克一反夸克对的个 数。由此可得到矩阵m 的行列式乘以由矩阵m 的逆得到的一个表达式。对”= o ， 配分函数可得到，由( 3 3 ) 式可得到几率分布函数： p ( q = ( u ) ) = 三d e t ( m ( u ) ) “p ( 一邑( u ) ) = 三e x p ( 一& ( u ) + 抑l n m ( u ) ) ( 3 1 4 ) 2 壶e x p ( 一( u ) ) 用这种方法产生组态就是f u l lq c d 的情况。由于这个作用量是非定域的， 因此热浴法和超松弛法都不适用。 3 6淬火近似 由于计算( 3 1 3 ) 中的费米子矩阵非常费机时，所以在早期的格点计算中往 往采用淬火( q u e n c h e d ) 近似。即仅仅忽略掉费米子行列式，即让其等于常数，这 时有效作用量再次变为定域的。用这种方法产生组态将不考虑费米场作用量，将 大大提高计算的速度。 这种方法的局限性在于它是一种不精确的近似，只有在夸克质量比较重时， 才可以忽略夸克场的作用。而对其它情况( 如手征凝聚的计算) ，采用这种方法 将会引起很大误差。 1 7 3 7 杂化蒙特卡罗方法 用热浴法和超松驰法只能产生淬火近似下的组态，如果要想产生f u uo c d 下的组态，就要用杂化蒙特卡罗方法。 处理非定域作用量的方法是使得所有的变量在同一时削里更新，如采用 l a n g e v i n 方法或分子动力学方法。这将把量子场看作一个用哈密顿量描述的经 典统计力学体系。积分运动方程可在一个不变的能量平面产生一个经典的轨迹。 由于数值积分中有限步长的影响，这些方法有较大的系统误差。而这一问题可通 过将上述方法与一个m e t r o p o l i s 接收拒绝步骤结合而解决掉。而杂化蒙特卡罗 方法既有分子动力学方法中将变量同时更新组态的优点，又采用m e t r o p o l i s 方 法修正了较大的系统误差。 3 8 j a c k k n i f e 误差分析方法 所谓“j a c k k n i f e ”是一种有柄的并能放入口袋内的大折刀，这里用来形容 其适用性强，意指用途广泛。作为一种抽样后推算总体参数的特殊技术，它适用 于各种不同的常规抽样方法( 如单纯随机抽样、分层随机抽样、系统抽样、整群 抽样等) 。一般用于对各种抽样后推算出的估计量( 如不偏估计量、比率估计量等) 作进一步的处理。 在格点计算中，由于组态之间有关联，用一般的误差分析方法往往没有考虑 到这种关联，计算出来的误差不太准确。用j a c k k n i f e 方法能避免这种缺陷。它 在使用上可分以下几个步骤。 1 按常规抽样方法抽好样本。 2 用常规抽样推算方法得出总体参数的估计量，并称之为 下标a l l 指使用全部样本数据得出的估计量以区别于后面步骤中用部分子样本数掘所得 出的估计量y ( j ) 。 3 把样本数据划分为几个互不重叠的组。 4 由( k 一1 ) 组样本数掘形成k 个互相重叠的但又不完全相同的子样本。 5 分别根据这k 个子样本用第2 步中用过的常规抽样推算方法得出k 个总 体参数的估计量，称为y ( i ) ，j = 1 ，2 ，k 6 ，按下式计算出k 个虚拟的估计量 = 一( 一1 ) 以j ) ( ，= 1 ，2 ，”， ) ( 3 1 5 ) 7 按下式计算出总体参数的大折刀估计量( j a c k k n i f ee s t i m a t o r ) 弘= 弘， ( 3 1 6 ) 弘2 i 喜弘j 。一1 。 8 按下式求出总体参数大折刀估计量的方差。 = 高除一研 伊川 。丽l 备蚂一彬j 。1 3 9 格点计算中的误差来源 格点q c d 的数值模拟会引入一系列的统计和系统误差，以下是一些最常见 的误差f 7 1 4 】。 3 9 1格点离散误差和有限体积效应 在格点中，由于离散化，所以会带来离散误差，当a 斗0 时即是真实的物 理情况。理论上可以使用任意小的格距口来减小误差。 我们在模拟时必须使用有限的空间和边界条件，而这与真实的物理情况有一 些出入，因此会有一定影响。在任何情况下，有限体积效应会对关联函数指数衰 减产生一定贡献。 这时如果格距越小，它所需要的格点大小就越大，这样才能减少有限体积效 应( 保持n l 不变，其中a 为格距，l 为格点大小) 。但格点大小越大，所需的计 算机时就越大。 9 3 9 2 统计误差 所有m o n t ec a r l o 模拟都是基于统计抽样理论，因此会引用统计误差，f 比 于1 ，n 是独立的测量数目。因为产生组态的算法的缺陷，不同组态之间可 能会有一些关联，所以会对计算结果有一定影响。但考虑到现代计算机的足够强 大，这个误差已经不是主要的问题。 3 9 3 淬火( q u e n c h e d ) 近似 在格点计算中，由于淬火近似引起的误差是主要和常见的，这源于对计算机 时的考虑，在更新组态时一般忽略夸克圈的影响而取d e t m 等于常数来大大减少 计算时间。但是人们发现在质量谱的计算中，夸克圈的贡献很小，由淬火近似引 起的误差大约有1 0 一2 0 。 3 9 4 手征极限外推 对于u 和d 夸克来说，它们的质量相对很小。我们在计算夸克传播子时要计 算费米予矩阵的逆，如果质量很小( 趋于0 ) ，由于算法的缺陷，求逆过程将是一 个发散的过程，很难收敛。因此，我们常常在进行模拟时采用更大的质量= 来进行模拟( 通常是5 0 m e v ) ，然后外推到= = o 的情况。这个外推就叫做 手征外推，它对应着r 斗。 第四章格点q c d 对胶球质量的研究 4 1 引言 q c d 理论曾预言了几种新粒子的存在：胶球( 9 1 u e b a l l ) 和混杂态介子 ( h y b r i dm e s o n ) 。混杂态介子是由夸克、反夸克和胶子组成的束缚态；胶球是一 种不包含价夸克的粒子，它全部是由胶子组成的。这样的状态之所以可能存在， 是因为胶子带色力及胶子能传递强相互作用力。 理论上胶球可以通过现有的粒子碰撞技术在实验室上获得，但胶球至今还没 有在实验室中被发现，是因为胶球通过与其它的具有相同量子数的介子态混合在 一起，因此很难区分。 自w i l s o n 建立格点q c d 以来，大量的数据显示，格点q c d 计算是现今为 此最可靠的计算胶球的理论。 在胶球质量的数值计算中有很多困难，是因为胶球的质量很大 ( 1 6 g e 矿) ，导致胶予基态关联函数的信号会衰减得很快并湮没在噪声中。 1 5 】 4 2 胶球的分类 描述胶球本征态的量子数有角动量j ，宇称p 和电荷共轭宇称c ，可