（应用数学专业论文）整群环之增广理想及其增广商群结构的研究.pdf

摘要 对于任意有限群g 的整群环z g ，记z g 的行一次增广理想( g ) 为由 ( g 。一1 ) ( 岛一1 ) ，蜀，岛g 、 1 ) ，所生成的自由a b e i 群。在整群环理论中 ( g ) 及由( g ) 所确定的增广商群q ( g ) = ( g ) ”1 ( g ) 的结构问题是一 个非常重要的研究课题，但是这方面已有的研究成果多是针对g 为有限a b e i 群所做出的，而对于非a b e i 群情形相关的结论还不多见，故本文着重对几类非 a b e i 群情形进行了讨论。 本文首先在第一章中简要介绍了整群环之增广理想及其增广商群的研究意 义及现状，给出了论文将要用到的基本知识和本文研究的主要内容。 由于本文着重研究非a b e i 群情形，而二面体群又在非a b e i 群类中占有重 要的地位，因此对二面体群之增广理想及其增广商群结构的讨论贯穿本文始末。 在第二章中我们首先对二面体群按照其阶被2 的最大方幂整除进行了分类，将 其表示为d 2 ，。( f o ，_ j 奇) 。接下来分别给出了当，= o 和f = l 时，( d ；i ) 及 q ( d j 。) 作为自由a b e l 群的基底，并且还给出了当，2 1 时( d 2 ，。) 和”1 ( d 2 ，。) 之间的一个递推关系，在此基础上我们最后还证明了增广商群q ( 岛。) 作为基 本2 一群的秩不超过2 f + l 。 p a r m e n t e r 在【4 6 】中归纳地给出了当g 为基本p 一群时( g ) 的一组基底， 我们在第三章中将这一结论推广到了g 是若干个基本只一群( 只互不相同) 的 直和时的情形，得到了此时( g ) 的一组基底，并且在本章中我们还确定了朋 阶( p ，g 素) a b e l 或非a b e l 群之增广理想及其增广商群的结构。 在第四章的4 2 中我们首先讨论了一类具有完全j 下规子群日的有限群g 之增广理想及其增广商群的结构问题，分别给出了当商群g 为循环群和基本 p 一群时( g ) 的一组基底。接下来对商群g 为任意群的情形我们还证明了 ； q ( g ) 兰q n ( g ) ，这一结果的重要性在于今后可将对任意非a b e i 群之增广商 群结构问题的讨论转化为可解群的相关问题束讨论，作为该结论的应用我们还 完全解决了另外一类重要的非a b e i 群一对称群之增广理想( 晶) 及其增广 商群q ( & ) 的结构问题，证明了q ( 晶) 兰z ：。在4 3 中对于任意的有限非 a b e l 群g ，我们找到了q ( g ) 的一组与g 的s y i o w 只一子群s 。相关的生成元 将q ( g ) 分解为q ( g ) = 亩q 。( ) ，这里q 。( ) = ( ) ( ( & ) n “( g ) ) 并且s = l 只1 只为l g i 的素因子 l 。由于有限幂零群是它的s y i o w p 一子群的直和， 这时其增广商群等于各s y l o wp 一子群之增广商群的直和，因此上述结果可作 为我们将有限可解群的情形进一步向幂零群情形归结的努力。最后我们还得到 了q 。( s 。) = o 的一个充要条件，并且应用这一条件进一步对二面体群岛。证明 了q ( 2 ，。) 兰q ( d 2 。) ，这一结论表明我们不但对q ( 岛。) 的结构按照二面体群 d ，。的阶进行了等价分类，并且还可以将一般二面体群之增广商群的结构问题 转化为阶为2 的某一个方幂的二面体群的问题来解决。 对于一类具有。一序列的有限p 一群g ，g l o s e y 和n l o s e y 在【6 5 】中从 理论上给出了一种计算q ( g ) 做为基本p 一群的秩的方法。我们在第五章中应 用这一方法进一步对二面体群确定了当，= 2 时q ( d 2 ，。) 的结构，并且还重新证 明了p a s s i 在【6 7 1 中给出的一个关于有限a b e i 基本p 一群之增广商群的著名结 论，本文的证明大大简化了p a s s i 对这一结果的证明。接着我们对文献【6 5 1 中一 个作者未给出证明的定理进行了详细的证明，在本章的最后还计算了一类下中 心列为。序列的非a b e i 有限p 一群之增广商群的秩。 关键词：整群环；增广理想；增广商群；二面体群；完全群；对称群；s y l o w p 一子群；p 一群；。一序列；秩 a b s t r a c t l e tgb ea g r o u p ，z g i t s i n t e r g f a l 黟o u p m g 粕d ( g ) m ea u g i l l e 删i 蛳 i d e a io fz g ，d e n o t e ( g ) t h c 门mp o w e ro f ( g ) w h i c hi sg e m t e d 邪a i l 舭l i a i lg r o u pb ya l l p r o d u c t s ( g i 一1 ) ( 岛一1 ) ，w h e r c 蜀，g 玎g 螂t h e p r o b l e m o f d e t e 加i n i n g m e咖c t u r co f ( g ) 觚d q u o t i e n tg r o u p s q ( g ) = ( g ) ( g ) i smi n t c r e s t i n gt o p i cmg r o u pr i n gm e o f o ra b e l i 龇 g r o u p sm a n y 、v o r k sh a v eb e e nd o n e ，鹤f o rn o n a b e l i a ng r o u p sm u c hl e s si sl m o w ns o f h r ，i nt 1 1 i sp a p e rw em a i n l yc o n s i d e rn o n a b e l i a ng r o u pc a s c h lc h 印t c rl ，w er c v i e wb r i e n yt h ed e v c l o p m e n t so fg 姗j pr i n gt h c o m 锄d i m r o d l l c et l l ec o n t e n t so ft l l i sd i s s e r t a t i o nt o g e t h e r 、i t l l m ee l e m e n t a r yk n o w l e d g e w 1 1 i c ha r en e c e s s a d ，i n1 1 1 j sp a p e l d i h e d r a lg r o u p sa r e0 n ek 抽do fi m p o r t a 呲c l a s si nn o i l a b e i i a i l g r o u p s ，m c h 叩t e r 2w cc l 舔s i f i e d t h e m i n t o 岛 ( f o ，后o d d ) b y m e i r so r d e r sd i v i d e d b y 也e l a r g e s tp o w e ro f2 mm ef o l l o w i n gas e to fz 山勰i sf o r ( ) i s 西v 钮f o r ，= oo rf = lr c s p e c t i v e l y ，s ot h es t n 坞t u r e “q ( d 2 ，i ) c a i l b ed e t e 肋i n e de a s i l y a s 内iw e 缅do mar c i a t i o nb c t w e e n ( d 2 ，i ) a n d “( d 2 ai l s i n g t h i s 糟l a t i o n 们g i v ea l iu p p e r b o l l i l d 力+ 1f o r t h e 融o fq ( 幺i ) 部锄e l e m e n t a r y 2 一g r o l i p f o ra l le l e m e n t a r y p g r o u pg ，as e to fz b 嬲i sf o r 鲈( g ) i sg i v e i l i n d l l c t i v e l yb yp a n n e n t c ri n 【4 6 】w eg e n e r a l i z ep 舢e n t e r sr e s u l t 证c h a p e r3t oa f - m t ed i r e c ts u mo fe l e m e n t a r y 只一g r o u p ( 只d i s t i n c d w 色a l s od e t e 肋i n em e s 衄l c t i l r e o f ( g ) a n dq ( g ) f o r 舭yg r o u p ( a b e l i a i l o rn o t ) g 州t ho r d e rp g 西北t 业夫学博i 学位论立 ( p ，gp r i m e ) w ei n v e s t i g a t et h es 虮l c t u r eo f ( g ) a i l dq ( g ) f o rn o n a b e i i a ng r o u pg w i t hap e 喻c tn o 邶a ls u b g r o u p 日i n 4 2 ，a n dg i v eas c t o fz 山a s i s f o r ( g ) w h e ng 日i sc y c l i cg r o u po re l e m e n t a f yp g r o u p ，t h i se m b l e su st 0d e t e m l i n e t h es t n l c t u r eo f ( 配) 舭dq ( 瓯) ，w h e r e 瓯i s 龇m t l ls y f n t r i cg r o u p e v e n i f i g f l o r i n gm es t n l c t u r co fg 日w es t i l l h a v eq ( g ) 兰q ( g ) ，觚m t h i s r e s u l t 、wc a nc o n v e r t h ep r o b l e mo fd e t e 姗i n i n gt h es t r u c t u r eo fq u o t l e n tg r o u p st f o ra n y g r 0 1 单s t o t h o s es o l v a b l eg r 0 1 j p s i n 4 3 ，f o ra n yn o n a b e l i a ng r o u pg ，w e f i n d as c t o f g e n c r a t o r s f o rq ( g ) r e l a t e d t o g ss y l o wp ，一s u b g m u p s ，b a s e do n t l l i s g e n e r a t i n gs e tq ( g ) c a nb ed e c o m p o s e d i n t oa d i r e c ts 嘶a sq ( g ) = 亩q 。( 瓯) ， w h 哪。( & ) = 公( ) ( ( ) n ( g ) ) 觚ds = 忙g 吣w e a l s 0h a v e q j ( 懿) = o i f a l l do n l yi f s n g ，g 】，b yu s i n gt h i s a n dt h o s ep r e v i o u sr e s u l t s w es h o wq ( q ，。) 兰q ( 也) ，s o t h es t n l c t i l r eo fq ( 岛。) i sc l o s e l yr c i a t e d t o f f o fak i n do fp g r o u p 惭t h 。一s e r i e s ，am e t h o df o rc o m p u t i n gm em k o f q ( g ) a se l e m e n t a r yp f o u pi sp r o v i d e db yg l o s e ya n dn l o s e yi n 【6 5 】rb y l l s i n gt h i sm e t h o di nc h a p t e r5w eh a v eq ( d 4 ) 兰z 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2a n d a l s op r o v eaw e l l k n o w nr e s u l to nt h es t f u c t u r eo fq ( g )f o re l 锄e n t a r y p g r o u pgw h i c h w 嬲o b t a i n c db yp a s s i i n 【6 7 】a t l a s tw ec o m p u t e t h e r 龇k o f q ( g ) f o rs o m en o n a b e l i a l lp g r o u p sw i t h p s e r i e s k e y w o r d s ：i m e g r a lg r 0 1 j pr i n g ；a u g m e m a t i o ni d e a i ；a u g m e n t a t i o nq u o t i e mg r o l 巾； d i h c d f a lg f 0 1 叩；p e 疵c t 掣o u p ；s y m m e t r i cg r o u p ；s y l o wp s u b g r o u o p ；p g r o u p ； 虬一s e r i e s ；r a f l k i v 西北工业大学 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属于西j e 工业大学。学校有权保留并 向国冢有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查 阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作 者单位为西北工业大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名；赵包撂 指导教师签名： ) 一。6 年0 6 月a 占曰。翔口年 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的 学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所 知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外。本论文不包含任何其 他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果，不包禽本人或他人已 申请学位或其它用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均己在文中以明确方式标明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名： a d ，6 年6 月故日 第一章绪论与预备知识 二十世纪初发展起来的抽象代数学( a b s t 旧c la i g e b 怕) 或近世代数学 ( m o d e ma i g e b 阳) 是现代数学的重要组成部分，它与拓扑学( t o p l o g y ) 共同 构成了现代数学的基础与核心。近一个世纪以来，经过几代数学家的不懈努力 这一学科已经得到了不断的完善与发展。抽象代数学在研究对象及研究目标上 都与经典代数学( c l a s s i c a la l g e b r a ) ( 即初等代数、高等代数及线性代数) 有 着本质的不同，前者的目标是研究具有代数结构的集合( 即代数系统) ，刻划它 们并加以分类，群、环、域即是抽象代数学中最基本且最重要的几类代数系统； 而后者的主要目标则是求解代数方程和线性方程组。前人在这些领域里已经取 得了丰硕的成果。 对于群环r g 这类代数系统而言，由于r g 被定义为以群g 中元素为基 ( b a s i s ) 的玻一代数，因此严格来讲群环是一类环，所以对于群环理论的研究应 该属于环论的范畴；然而人们在研究群环过程中所涉及到的一些方法以及得到 的一些结论却带有很明显的群论特征，因此群环理论将群论与环论有机地结合 了起来，所以人们研究群环这一类代数系统是十分有意义的。自上世纪三十年 代以来，一些数学家逐步开始了对群环理论的研究工作并且在这一领域取得了 许多令人瞩目的成就。【1 ，2 】 人们对群环理论的研究大致可以被分为三大类： ( 1 ) 确定由整群环的增广理想( a u g m e n t a t i o ni d e a i ) 所决定的维数子群 ( d i m e n s i o ns u b g r o u p ) 的结构问题。群环理论中这一最古老且最具挑战性的 问题是由m a g u n s 【3 】于1 9 3 7 年所提出的，而对任意系数环上的维数予群及l i e 维数予群的研究工作则是由s a n d i i n g 最早开始进行的f 4 ，5 1 。有关这方面的研究 成果可参阅【6 1 3 】； ( 2 ) 确定群环特别是有限群的整群环z g 中的单位群2 l ( z g ) 的结构及相关 的j o r d o n 分解等问题。在我们已查阅的文献中这一问题最早是由h i g m a n 【1 4 1 于1 9 4 0 年在他的博士论文t h eu n 晦o fg r o u pr - n g s 中开始进行研究的，有关 这方面的研究还可参阅s k s e h g a i 的专著【1 5 】及综述性文章【1 6 】。由于这一研 究领域涉及到环论、数论、表示论、g a i o i s 理论甚至k 一理论等许多领域，因 此近几十年以来一直是群环理论研究中的热点之一，有关文献可参阅【1 7 3 7 】； ( 3 ) 确定整群环的任意次增广理想及其增广商群( a u g m e n t a t l o nq u o “e n t g r o u p ) 的结构问题。本文着重对这一问题进行了一些研究，关于这方面的研究 意义及现状将在本章1 2 和1 3 中给出详细的介绍。 本章的1 1 主要是介绍群环理论中的有关概念、定义及符号表示，而在 l - 4 中简要介绍了本文所做的主要工作。 1 1 预备知识 令z 是整数环，g 是任蒽有限群，整群坏z g 被定义为以g 中元为基底z 中 元为系数的z 一代数，即z g = 吒g k z ，g g 。记g 与z g 中的单位元 均为1 ，如下定义整群环z g 中的加法、乘法等运算： ( 1 ) a 。g = g 对任意的g g ，有口。= 6 。； ( 2 ) g + g = ( + 以活； ( 3 ) r ( 口g g ) = ( 鸭) g ，r z ； 、 ( 4 ) ( g ) ( 6 9 9 ) = 呐k 。 j 聃g， 由于z g 本质上是一个环，因此可以定义如下的环同态， 叩：z g z ，g h ， j 7 通常被称为增广同态( a u g m e n t a t i o nm a p ) ，这是整群环理论中一个非常重要 的同态。任取g ek e r 玎，则由，7 的定义可知7 7 ( 咚g ) = = o ，于是 g = g 一唿= 口g ( g 一1 ) ， 因此 k e r 玎= ( g 一1 ) k z ，g g 、 1 ， 并且记k 盯，7 = ( g ) ，由以上的讨论不难看出( g ) 是由集合 g l k g 1 ) 生 成的秩为l g l - 1 的自由交换群。可以证明( g ) 是z g 的一个理想，特别地，在 整群环理论中( g ) 被称为增广理想( a u g m e n t a t i o ni d e a i ) 。自然人们可以归纳 地定义z g 的任意次增广理想( g ) 如下： ( g ) ：扩一( g ) ( g ) ： 晶( g 。一1 ) ( 岛一1 ) l 磐鼋z ，& g l ， 因此对任意的行n ，( g ) 是由集合 ( 蜀一1 ) ( 晶一1 ) i 蜀g 1 生成的自由 交换群，并且我们将会看到( g ) 的秩也为i g i - l 。 由于在z g 中存在如下的链包含关系 z g 2 ( g ) 2 a 2 ( g ) 2 2 4 ( g ) ， 因此可以自然地定义连续商群q ( g ) = ( g ) ”1 ( g ) ，这是整群环理论中另一 个非常重要的研究对象，被称为增广商群( a u g m e n t a t o nq u o t i e n tg r o u p ) 。假 设g 是一个阶为r 的有限群，则对任意的g g ，由g r = l 及二项式定理可知 ，( g 1 ) = 一q ( g 一1 ) 。2 ( g ) ， 因此q ( g ) 是r 一挠群。有关群环的代数结构可参看s e h g a i 的专著【3 8 】及 p a s s m a n 的专著【3 9 】。 在有限群整群环理论的研究中人们最感兴趣的其中三个问题是： ( 1 ) 寻找( g ) 作为自由交换群的生成元中的所有关系，从而人们可以通过 这些生成元及它们所满足的关系将( g ) 表现出来； ( 2 ) 寻找( g ) 作为自由交换群的基底，从而可以完全确定( g ) 的结构； ( 3 ) 确定增广商群q ( g ) 的结构。 本文主要是针对上述问题中的( 2 ) 、( 3 ) 而进行研究的。接下来我们将分 别在1 2 和1 3 中给出整群环之增广理想及其增广商群的研究意义及现状， 两北t 业人学搏 学位论义 并且在1 4 中简要介绍本文研究的主要内容。 1 2 整群环之增广理想的研究意义及现状 在整群环理论中，一个待解决的经典问题就是寻找( g ) 生成元中的所有 关系，即( g ) 的表现问题。然而令人遗憾的是即使对于g 为有限a b e i 群的情 形，这些生成元中的关系也是非常复杂的。本节分两部分来介绍这方面已有的 研究成果，有关生成元与关系的研究可参阅c o x e t e r 和m o s e r 的专著【4 0 】。 1 2 1m i i n o r 猜想及呻s t e r 类 令f 是一个特征不为2 的域，记w 呲环( f ) 为域f 上二次空间( q u a d r a t i c s p a c e s ) ，”( f ) 是( f ) 的基本理想( f u n d a m e n t a li d e a i ) ，毛( f ) 是f 上的 第珂一次m n o r k 一群。j m i n o r 在他的文章【4 1 】中猜想到 ，”( f ) ，”1 ( f ) 兰髟( f ) 2 瓦( f ) ， 这就是著名的m i h l o r 猜想，该猜想已经被v v b e v o d s k y 于1 9 9 6 年证哪4 2 】。 如果用群环理论的语言来描述m i n o r 猜想，则m n o r 猜想可被描述为： w 瞅环( ，) 是由一维二次空间( ，吼) 中的同构类口生成的e 一代数，其中吼 是二次型吼：f _ f ，x 卜饿2 ，( f ) 的基本理想，”( ，) 是由以一层叩s t e r 类 ( 月一f o i d 叩s t e rc i a s s ) ( 瓦一i ) ( i i ) 生成的( 关于二次型的基本代数理论 可参阅【4 3 ，4 4 】) 。如果能够证明满射 ，( f ) 一髟( f ) 2 民( f ) ，何一i ) ( i i ) 卜q 固。巧( f ) 2 e ( f ) 的核是，”( 尸) ，则m 1 n o r 猜想可以被证明。因此用群环理论来证明m 1 n o r 猜 想的关键问题是寻找，”( f ) 生成元中的所有关系，这一问题也等价于：当g 是 基本2 一群时，寻找整群环z g 的雄一次增广理想( g ) 生成元中的所有关系。 在b a k 和、，a v o v 的文章【4 5 i 中，这些问题被得到了很好的解决。 1 2 2 关于( g ) 表现问题的进一步研究 继b a k 和、，a v i i o v 在对g 是基本2 一群的情形时，其增广理想”( g ) 表现问 题的研究之后，p a n n e n t e r 在【4 6 1 ( ab a s i sf o rp o w e r so ft h ea u g m e n t a “o n i d e a l ) 中进一步考虑了g 是基本3 一群的情形，找到了( g 1 生成元中的所有 关系，从而解决了这一情形下( g ) 的表现问题。p a r m e n l e r 还考虑了g 是基 本p 一群的情形，并且找到了当1 s 珂3 时( g ) 生成元中的所有关系。在文献 【4 7 l 中对任意的素数p 及自然数h ，唐国平给出了当g 是任意基本p 一群时 ( g ) 生成元中的所有关系，因此唐国平的工作大大推广和完善了b a k 和 、，a v l i o v 以及p a r n l e n t e r 的结果。最近b a k 和唐国平在【4 8 】中又解决了交换挠群 之任意次增广理想的表现问题，这是目前有关( g ) 表现问题的最新结果。 1 3 整群环之增广商群的研究意义及现状 在1 1 中已经了解到增广商群q ( g ) = ( g ) ”1 ( g ) 是由整群环z g 中 的滤链 z g 2 ( g ) 2 2 ( g ) 2 ”( g ) 2 ， 所确定的，因此q ( g ) 的结构与( g ) 的结构是密切相关的。通过上面的链包 含关系我们还可以将q ( g ) 看作是对模z g ( g ) 的1 一次左导出函子( 1 e f t d e r i v e df u n c t o r ) 丁巩”( z g ( g ) ，z g ( g ) ) ，并且显然有 乃f ( z g ( g ) ，z g ( g ) ) 兰砌f ( z ，z g ”( g ) ) ， 因此确定增广商群q ( g ) 的结构就相当于确定了乃却( z ，z 6 ( g ) ) 的结构， 而左导出函子在同调代数的研究中占有重要的地位和意义。 对于g 是有限群的情形在1 1 中我们已经知道q ( g ) 是i g i - 挠群，并且 ( g ) 是秩为l g 卜l 的自由交换群，因此由递推及自由交换群的基本定理可知， 对任意的自然数疗都有( g ) 也是秩为| g | 一l 的自由交换群。对于足够大的自然 数疗，b a c h m a n n 和g m n e n f e i d e r 在他们的文章【4 9 】中已经证明对任意的有限 群g 总存在自然数c 使得q ( g ) 兰q + 。( g ) ，即当刀足够大时增广商群的结构是 稳定的，这是整群环理论中的一个著名结论。而对于较小的行，如何确定q ( g ) 的结构这一问题到目前为止还是一个公开问题，即k a r p i i o v s k y 公开问题，是由 k a r p o v s k y 【5 0 1 于1 9 8 3 年所提出的。关于k a r p i i o v s k y 公开问题，l o s e y 在他 的文章【5 1 ，5 2 】中分别给出了g i ( g ) 的结构及当g 为有限生成群时q 2 ( g ) 的结 构。最近唐国平【5 3 ，5 4 1 又解决了当g 为有限基本p 一群或有限个阶循环群 的直和时的k a r p i l o v s k y 公开问题。 对于g 是任意有限a b e i 群的情形，p a s s i 【5 5 】已经证明为了确定q ( g ) 的 结构只需考虑g 是p 一群即可。p a s s i 的这一著名结论为人们研究q ( g ) 的结构 问题指明了道路和方向因此具有重要意义，相关的一系列结果可参阅【5 5 6 4 1 。 由前面的介绍可以看出人们对增广理想以及增广商群结构问题的研究主要 是针对有限a b e i 群开展的，而有关非a b e i 群情形的研究工作却相对较少。在 我们已查阅的文献中，只有【6 5 ，6 6 】对两类性质极为特殊的非a b e i 群做出了一 些结果，该部分内容将会在本文的第五章中给出详细的介绍和讨论。 1 4 本文研究的主要内容 本文主要是通过寻找增广理想( g ) 作为自由交换群的基底这一途径来 第一草绪论。j 唢并以 研究了几类特殊的非a b e i 群之增广理想及其增广商群的结构问题，我们之所以 选择这样的研究方法及研究对象主要是出于下面两方面的考虑： ( 1 ) 在1 3 中已知r ( g ) 是秩为i g i _ l 的自由交换群，并且己知( g ) 的一 组生成元集合为 气。( 蜀一1 ) ( 岛一1 ) i 鲁参z ，蜀g ，因此如果 能够找到( g ) 作为自由交换群的基底，那么我们就可以非常直观地来 描述( g ) 及2 ( g ) 的结构。 ( 2 ) 在前面几节中我们已经看到，人们对整群环之增广理想及其增广商群结 构问题的研究基本上都是针对有限a b e i 群开展的，而对于非a b e i 群情 形相关的研究结果还很少见，这是因为非a b e l 群情形往往要比a b e i 群 情形复杂得多。于是本文着重对几类非a b e i 群特别是二面体群情形进行 了初步的讨论，这即是本文的创新点之一也是难点之一。 事实上对于上述的第一点而言，即使在g 为有限a b e i 群的情形下，寻找 ( g ) 作为自由交换群的基底这一工作也是非常困难的，这是因为对于有限秩 的自由交换群g 而言其生成元集合中并不一定包含基底，同时群g 中的一组线 性无关元也未必能够被扩充成为基底( 这性质与域上的向量空间有着本质的 区别) 。例如：整数环z 对于普通加法做成一个秩为1 的自由交换群， 2 ，3 是z 的一组生成元，但是 2 或者 3 单独均不构成z 的基；同时 2 与 3 均是z 的 无关元集，但是它们都不能被扩充成为z 的基。这也是本文工作的难点之一。 第二章主要研究阶为2 ”。七( r o ，t 奇) 的二面体群d 2 。之增广理想及其增广 商群的结构问题，分别找到了当f = o 和f = l 时( b ，。) 的一组基底，因此可以 确定相应的增广商群q ( 珥。) 的结构。当f 1 时本文还给出了( q ，。) 与 ”1 ( d 2 ，。) 之自j 的一个递推关系，并且证明了增广商群q ( 岛，) 作为基本2 一群 的秩不超过2 f + l 。 第三章对p g ( p ，g 素) 阶群( a b e i 或非a b e i ) 进行了研究，确定了其增 广理想及增广商群的结构。另外在p a r m e n t e 咿6 】对基本p 一群所做结果的基础 两北丁业人学博i 学位论_ ! ： = 上得到了当g 是若干个基本p ，一群( 只互不相同) 的直和时( g ) 的一组基底， 因此我们对p a r m e n f e r 的结果进行了推广。 第四章研究了一类具有完全正规子群h 的有限非a b e l 群g 之增广商群 q ( g ) 的结构问题，证明了q ( g ) 冬q ( g h ) ，因此在同构意义下研究q ( 6 ) 的 结构只需考虑g 是可解群的情形即可，并且我们还分别找到了当g i 为循环群 和基本p 一群时( g ) 的一组基底。应用以上结论我们还完全解决了另外一类 重要的非a b e i 群一所次对称群晶之任意次增广理想( 最) 及其增广商群 q ( ) 的结构问题。在4 3 中我们对任意非a b e i 群之增广商群的结构问题 进行了初步的讨论，找到了q ( g ) 的一组与g 的s y l o w e 一子群s 。相关的基 底。证明了q ( g ) = 卸。( & ) ，这罩q 。( ) = ( ) ( ( ) n “( g ) ) 并 且s = 圳只为f g l 的素因子沁接着我们还给出了q + ( 墨) = o 的一个充要条件。 最后应用以上这些结论进一步对二面体群d 2 ，( f o ，奇) 之增广商群 q ( 吃。) 的结构进行了讨论，证明了q ( d 2 ，。) 兰q ( 岛) ，因此我们不但对二面 体群之增广商群幺( d 2 ，。) 的结构按照二面体群d 2 ，。的阶进行了等价分类，并且 还可以将一般二面体群之增广商群的结构问题转化为阶为2 的某个方幂的二面 体群来处理。 第五章主要是参照g l o s e y 和n l o s e y 在他们的文觏6 5 】中所提供的方法， 研究了几类满足下中心列为。一序列的非a b e i 群之增广商群的结构问题，计 算出了当以充分大时它们的增广商群q ( g ) 作为基本p 一群的秩。特别地，我们 还确定了f = 2 时q ( d j 。) 的结构，并且证明了p a s s l 在【5 5 】中的一个著名结论， 即当g 是秩为豇的a b e i 基本p 一群且h 2 以一1 ) ( p 1 ) + l 时，q ( g ) 是秩为 ( p 一1 ) ( p 一1 ) 的基本p 一群。在本章中我们还计算了两类满足下中心列为k 一 序列这一条件的非a b e i 群之增广商群的秩。 第一奄关于_ 二面体群之增广理想及其增广商群的结构 第二章关于二面体群之增广理想及其增广 商群的结构 在非a b e i 群中二面体群占有十分重要的地位。通常用_ 来表示，它是由 两个阶分别为研和2 的元素r 及s 生成的，并且满足关系卵= ，。s ，因此可将见 表示为 玩= ( i ，m = ，= l ，盯= ，。s ) 。 虽然二面体群是一类结构比较简单的非a b e i 群，但是对于一般的二面体群 而言，寻找( 玩) 的基底这项工作依然不是一件十分容易的事情。在研究的过 程中我们发现，如果对i 卅按照其阶被2 的最大方幂整除的方式进行分类，那么 将会有助于我们对( 玩) 结构的研究，因此本文用d 2 ，t ( f o ，后奇) 来表示 阶为2 “1 七的二面体群，这里的七在本文中始终表示奇数。 2 1 当f = o 时，( d 2 ，。) 及q ( 。) 的结构 当f = o 时，二面体群岛。( 后奇) 即为b ，于是b 的生成元，的阶为奇数 后，下面我们将会看到在这一情形下( q ) 具有很好的性质 曼i 垄2 ：! ：! 设见= ( r ，s p = s 2 = 1 ，盯。，一s ) 为二面体群，则对任意的珂n 有 ，一l ( q ) 。 证明：任取f n ，由卵= r 一j 可知= ，“s ，因此 j ，一l = ，叫j l ， ( 2 1 1 ) 所以由( 2 1 1 ) 式及七1 为偶数我们有下面的关系式 ，一= ( s t ) ( r 孚一t 一( r 竿一- ( s t ) 一( r 譬一 ( r 一) 2 ( b ) 。 ( 2 1 2 ) 又由二项式定理可知 一一l = q ( ，一1 ) ， ( 2 1 3 ) 因此循环使用上面的( 2 1 2 ) 及( 2 1 3 ) 式不难推出对任意的”n 有 r 一1 ( q ) 。 ( 证毕) 宣墨2 ：! ：! 设晚为二面体群，则对任意的n n ，( b ) 有如下的一组基底 色= ( 卜1 ) ，( ) ”，( 一) ( ) 1 1 f 七一1 。 证明：由引理2 1 1 可知玩( 轨) ，并且有i e i _ 2 一1 = l 谚卜1 ，即峨 中元素个数等于( b ) 的秩，因此下面只需证明”( 见) 可由集合峨中的元素 线性表示即可。当 = 1 时，由下面的关系式 ，s 一1 = ( 一一1 ) ( s 1 ) + ( ，一1 ) + ( j 一1 ) ( 2 1 4 ) 及( 2 1 1 ) ，( 2 1 3 ) 式可将( q ) 的任意一个生成元x l ，x b ，表示为县中 元素的线性组合。下面假设“：( 皿) 可由色一中的元素线性表示。由于 ( q ) = ”。( q ) ( q ) ， 所以由归纳假设可知( q ) 中的任意一元素可被表示为 砂，其中z ，工”( d 。) ，y ( 见) ， 并且x ，y 可分别由e 一。和置中的元素线性表示。进一步由下面的关系式 ( s 1 ) ( r 1 ) = ( r 一1 ) ( j 1 ) + ( ，一一1 ) + ( s i ) ， ( 2 1 ，5 ) 及( 2 1 3 ) 式可逐步地将砂表示为最中元素的线性组合，即( q ) 可由或中 的元素线性表示。所以由以上的讨论可知对任意的 n ，鼠是( q ) 的一组 第1 二孝关十_ 二面仆肝之增广理想殷j e 增广商群的结构 基底o ( 证毕) 由于q ( 见) = ( 珥) ”1 ( b ) ，并且2 ( s 一1 ) = 一0 一1 ) 2 2 ( 4 ) ，所以 由定理2 1 1 可以很自然地得到下面的结论。 宣里三墨对于二面体群q ， q ，( q ) 为数域b 上由 ( s 一1 ) ”+ “( 砬) 生 成的一维向量空间，即 q ( 4 ) 兰z ：。 证明：略。 定理2 1 2 中的结论与b a c h m a n n 和g r 0 舱n f e l d e r 在【4 9 】中得出的 q ( 见) 是循环群这一结论是一致的。 2 2 当f l 时，( 如。) 与斛1 ( 哆。) 之间的递推关系 本节对二面体群d 2 ，。讨论，1 时( b 。) 的结构问题，对于这些情形我们 发现( d 2 ，。) 的基底十分复杂，几乎没有什么规律可言。但是通过大量的计算 和归纳之后我们找到了( d 2 ，。) 与( d ，。) 之间的一个递推关系，并且可以看 到这一递推关系对于我们今后研究( d ，。) 及q ( 哆。) 的结构问题将会是十分 有用的。由于在本节中，1 ，因此为了表示及讨论的方便起见，记2 七= 2 历。 2 2 1 定义及预备定理 对于由二面体群d 2 。的生成元r 所生成的2 肌阶循环群( ，l ，“= 1 ) ，我们将 在本小节中引入”( ( ，) ) 的一系列子加群瓦( ，) 的概念，并且研究瓦( ，) 的有关性 质以及乙( r ) 与”( d 2 。) 之问的密切关系。我们将会看到在这里引入的瓦( ，) 这 - l l 一概念及其性质对于研究( d 2 。，) 和q j ，( d 2 ，。) 的结构是非常有用的a 定塞! ：；：! ：! 设d 2 。，= ( ，s l ，“= s 2 = 1 ，耵= r 。s ) 为4 所阶二面体群，( r i ，“= 1 ) 是由r 生成的2 m 阶循环群，则归纳定义( ( r ) ) 的一系列子加群瓦p ) 如下： 瓦( r ) = 正( r ) = ( ( ，) ) ， 瓦( ，) = 2 “。( r 一1 ) z + ( ，一1 ) l 一( ，) 。 接下来我们讨论瓦( ，) 的有关性质，关于循环群之任意次增广理想的基底， p a r m e n t e r 在【4 6 】给出了如下结论。 庭型! ：2 ：! ：! ( 参看【4 6 1 ) 设g = ( g k ”= 1 ) 为由g 生成的肌阶循环群，则( g ) 有如下的一组基底 ( g 1 ) ”，( g 一1 ) ”“，( g 1 ) ”2 ) 。 定型! ：! ：! ：2 设d 2 。为二面体群，则对任意的”n ，有 瓦( r ) 量”( 岛。) ， 其中瓦( r ) 如定义2 2 ll 所示。 证明：当厅= 1 时，由定义2 2 1 1 及定理2 2 1 1 显然有 五p ) = ( ( ，) ) ( d 2 。，) 。 假设 瓦一。( ，) 矿1 ( d 2 。) 。 ( 2 2 1 1 ) 由，一l ( d 2 。) 及( 2 2 1 1 ) 式可知( r 1 ) 一。( r ) ( b 。) ，因此欲证 瓦( ，) = 2 ”。( r 1 ) z + ( ，1 ) 瓦，( ，) ”( d 2 。) ， 只镨证明 2 ”1 ( r 一1 ) ( d 2 。) ， ( 2 2 1 2 ) 即可。因为 2 加1 ( 厂一1 ) = 2 ”- 7 2 ( r 1 ) 第一章关于_ 二面体群之增广理想及儿增广商群的结构 = 2 ”- 2 ( r 2 一) 一( ，一1 ) 2 = _ 2 “( r 1 ) 2 + 2 ”2 ( ，2 1 ) = 2 ”3 ( ，一1 ) 3 2 ”_ 3 ( ，一1 ) ( ，2 一1 ) + 2 ”- 2 ( r 2 一1 ) _ ：( 一1 y 一1 ( ，一i ) ”+