（概率论与数理统计专业论文）随机过程的相依比较.pdf

中文摘要 x3 专8 i 6 s 本篇论文是由两部分组成在第一部分中，我们给出了能够刻画一个齐次平稳马尔可夫过程的相依 结构随时间滞后具有递减性和能够比较两个齐次平稳马尔可夫过程相依结构的充分( 或) 必要条件， 所使用的相依序是基于一类超可加函数定义的超可加相依序和一致相依序我们不仅考虑了离散时间 马尔可夫过程，也考虑了连续时间马尔可夫过程，同时也给出了文中主要结果在排队系统中的应用 这些应用加强了文献中已有的结果并大大简化了他们的证明这一部分是f a n g ，h u & j o e ( 1 9 9 4 ) 和h u & j o e ( 1 9 9 5 ) 工作的继续j 在第二部分中，我们考虑了w o n g ( 1 9 9 7 ) 提出的多维理赔模 型，其中的理赔发生规律是用非齐次的纯生过程来描述，证明了模型的相依结构在超可加相依序意义 下具有传递性质 关键词 随机序 相依序 ( 单调) 马尔可夫过程 马尔可夫调节过程 多维理赔模型 排队系统 英文摘要 t h i st h e s i s c o n s i s t so ft w op a r t s i np a r t1 ，r e s u l t sa n dc o n d i t i o n sw h i c hq u a n t i f y t h ed e c r e a s ei nd e p e n d e n c ew i t hl a gf o ras t a t i o n a r ym a r k o vp r o c e s sa n de n a b l eo n et o c o m p a r et h ed e p e n d e n c ef o rt w os t a t i o n a r ym a r k o vp r o c e s s e sa r eo b t a i n e d t h e n o t i o n so f d e p e n d e n c eu s e da r et h es u p e r m o d u l a ro r d e r i n gd e f i n e db a s e do na c l a s so fs u p e r m o d u l a r f u n c t i o n sa n dt h ec o n c o r d a n c eo r d e r i n g b o t hd i s c r e t e t i m ea n dc o n t i n u o u s t i m em a r k o v p r o c e s s e sa r ec o n s i d e r e d ，s o m ea p p l i c a t i o n so ft h em a i nr e s u l t si nq u e u e i n gt h e o r ya r e g i v e n s t r e n g t h e n i n gp r e v i o u sr e s u l t sw h i l es i m p l i f y i n gt h e i rd e r i v a t i o n t h i sp a r ti s a c o n t i n u a t i o no ff a n g ，h ua n dj o e ( 1 9 9 4 ) a n dh ua n dj o e ( 1 9 9 5 ) i np a r t2 ，w ec o n s i d e r s t h em u l t i v a r i a t ec l a i mm o d e l si nr i s ka n a l y s i s ，i n t r o d u c e db yw o n g ( 1 9 9 7 ) i ti ss h o w n t h a tt h es u p e r m o d u l a rd e p e n d e n c eo r d e r i n ga r ep r e s e r v e db yt h e s em o d e l su n d e rs o m e c o n d i t i o n so nn o n h o m o g e n e o u sp u r eb i r t hp r o c e s s e sw h i c hg o v e r nt h ea r r i v a lo fc l a i m s k e y w o r d s s t o c h a s t i co r d e r d e p e n d e n c eo r d e r ( m o n o t o n e ) m a r k o vp r o c e s s m a r k o v m o d u l a t e dp r o c e s s m u l t i v a r i a t ec l a i mm o d e l q u e u es y s t e m c h a p t e r1 引言 1 1 综述 有许多相依序可以用来比较两个随机向量的相依程度，其中有多维c 序( m u l t i v a r i a t ec o n c o r d a n c eo r d e r i n g ，见j o e ( 1 9 9 0 ) ) 、多维2 s m 序( s u p e r m o d u l a rd e p e n d e n c eo r d e r i n g ，见 s h a k e d s h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 7 ) ) ，多维p f d 序( p o s i t i v ef u n c t i o nd e p e n d e n c eo r d e r i n g ， 见r i n o t t & p o l l a k ( 1 9 8 0 ) ) ，和二维m ，序( m o r er e g r e s s i o nd e p e n d e n c eo r d e r i n g ，见 y a n a g i m o t o o k a m o t o ( 1 9 6 9 ) 或f a n g j o e ( 1 9 9 2 ) ) 多维2 。序在应用概率的研究中越来越引起人们的注意和兴趣，如，m e e s t e r & s h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 3 ) ，s z e k l ie ta 1 ( 1 9 9 4 ) ，s z e k l i ( 1 9 9 5 ) ，b i u e r l e ( 1 9 9 7 a ，b ) ，b i i u e r l e & r i e d e r ( 1 9 9 7 ) ， m i i l l e r ( 1 9 9 7 ) ，s h a k e d & s h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 7 ) ，b i i u e r l e & m i i l l e r ( 1 9 9 8 ) ，b i u e r l e r o l s k i ( 1 9 9 8 ) ，m i i l l e r & s c a r s i n i ( 1 9 9 8 ) ，g o o v a e r t s & d h a e n e ( 1 9 9 9 ) 等本篇论文主要考虑多维 。序和。序主要内容和特色如下： 第二章本章的内容可以看作是f a n ge ta 1 ( 1 9 9 4 ) 和h u & j o e ( 1 9 9 5 ) 工作的继续，寻找充 分( 或必要) 条件使我们( 1 ) 能够刻画一个s h m p 的相依结构随时间滞后具有递减性； ( 2 ) 能够比较两个s h m p 的相依结构我们所使用的相依序是三。和。这方面的研 究是有意义的，因为当我们在应用s h m p 建型时了解模型相依结构的变化有利于我们更 好地把握模型，有助于识别模型中的相依参数，同时有利于我们研究某些系统( 如随机网 络) 的输入参数( 这种参数往往是输入过程的相依参数) 的变动对系统其它特征的影响 在早期的排队论中，人们总是假设系统的输入变量是独立同分布的( 如顾客到达间隔时变 量) 但是实际中这种假设并不合理，因为有时输入变量( 或输入过程) 具有某种相依结构 人们已经在如何减弱这种独立同分布的假设方面作出了很多的努力自从r o s s ( 1 9 7 8 ) 1 2 第一章引言 猜测顾客的到达流过程的特定相依结构可能如何影响系统中某些特征的先驱性工作发表 以来，很多学者在这方面做了大量的工作所有的研究可以划分为两类：一类是处理连续 时间的，如r o l s k i ( 1 9 8 6 ，1 9 8 9 ) ，c h a n ge ta l ( 1 9 9 1 ) ，m e e s t e r & s h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 3 ) ，b i u e r l e & r o l s k i ( 1 9 9 8 ) 等；另一类是处理离散时间的，如， m e e s t e r & s h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 3 ) ，s z e k l ie ta 1 ( 1 9 9 4 ) ，b i i u e r l e ( 1 9 9 7 b ) 等所有这些工作都从 正面回答了r o s s 的猜测，但他们所考虑的离散时间m a r k o v 转移概率矩阵以及连续时 间m a r k o v 过程的转移强度矩阵都要求具有特殊的结构，而且证明方法不具有普遍性 本篇论文彻底回答了r o s s 的猜想，而且大大地简化了他们的证明 第三章考虑两个保险公司，公司1 和公司2 ，每个公司有m 个子公司，这些子公司可能设立于 不同的地理区域内假设公司k 的第i 个子公司的理赔发生时刻是随机的，其规律可以 用记数过程 r ：( t ) ，t 0 来描述定义m k = ( m k ，l ，m k ，。) ，其中m k ，。是公司 k 的第i 个子公司所能承受的理赔数( 而不至于破产) ，且假设m k 与过程r ，r 。独 立再定义z = ( 五，磊，。) ，其中磊，i 是公司的第i 个子公司破产发生的时 刻这种模型称为多维理赔模型本章的目的是证明当理赔过程i 、。是非齐次纯生过程且 满足某种条件时，m l 与m 2 之间的2 。序能够传递到z 1 与z 2 之间，同时我们还 会给出一个结果说明理赔过程之间的2 。序也能够传递到z 1 与z 2 之间 我们有以下的约定与记号：“单调增”和“单调减”分别表示“单调非减”和“单调非增”；所 出现的数学期望皆假设存在有限对 1 ，2 ，m ) 的任意一个子集b 和任意一个实( 随机) 向量 q = ( q l ，”。) ，l b 表示b 中元素的个数，q 日表示( 聃，i b ) w l a 表示任意一个随机向 量( 变量) ，其分布与给定事件a ，随机向量( 变量) w 的条件分布相同 1 2 若干定义 在本节中，我们将给出两个随机向量之间的相依序，两个随机向量或变量之间的随机序，马尔可夫过 程的随机单调性定义，以便于后面的章节引用 一个实值函数g ：跪”- - + 蛇称为超可加的，如果 g ( x v y ) + g ( x a y ) 9 ( x ) + 9 ( y ) ， v x ，y 虢“ 其中v 和a 分别表示向量的各分量分别取最大值和最小值运算，即 x v y = ( m a x ( x 1 ，y 1 ) ，m a x ( x 。，口。) ) ，x a y = ( m i n ( x l ，y 1 ) ，m i n ( x 。，) ) 第一章引言 3 一个函数g ( z ，z 。) 是超可加的充要条件是g ( ，。，q ，) 关于变量( 盈，x j ) 是超可加 的，其中i j 且其它变量任意固定( 见k e m p e r m a n ( 1 9 7 7 ) ) 在本文中，我们用c m 表示所有 的m 维b o r e l 一可测超可加函数 由于本篇论文主要研究随机过程以及多维理赔模型的。序的比较，而。序是基于超可加函 数来定义的因此，我们有必要了解超可加函数的基本性质，熟悉一些常见的超可加函数这就是下 面的命题1 2 1 ，其中的结论都是文献中已有的，直接证明之也并非难事在引理3 21 中，我们将 给出超可加函数的另外一个非常有用的性质积分变换的传递性 命题1 2 1 ，纠如果f ：孵“o 蛇二阶偏导数存在，则，是超可加的充要条件为 掣0 ，v i j ，v x o x i o x j r 纠设，：跪“- - 4 跄为超可加函数，g ：蹰斗蹰，i = 1 ， ，n a 如果f 单调增，则对任意c ，m a x ( f ( x ) ，c ) 是关于x 超可加的 b 如果，单调增，曲：跪_ 跣是单调增凸函数，则咖o ，是单调增超可加函数 c 如果仇，i = 1 ，- ，n ，同向单调，则，( g l l 易8 扛n ) ) 关于x 是超可加的 r 纠常见的超可加函数： a 所有的多元分布函数和多元生存函数 b f ( x ) = 妒( m a x l g nx j ) ，其中咖单调减 c f ( x ) = 一m a x l _ z 1 ， x 。) 2p r ( x l x l ，x 。 z 。) 和 p r ( hsz h ，s 。m ) 2p r ( x , sz l ，x msz m ) 对任意z 。，i = 1 ，m ，成立但j o e 一9 9 纠， 4 第一章引言 俾jy 称为在超可加意义下相依强于x ，记为y 。x ，如果e 渺( y ) 】e 渺( x ) 1 对任意 西c 。r 见s h a k e dds h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 7 ) ) 例设随机过程( x ( f ) ，t 0 和 y ( ) ，t 芝0 满足：对任意0 t 1 t 2sst 。 _ ( x ( t 1 ) ，x ( t 2 ) ，x ( t 。) ) 则记为 y ( ) ，t o 卜 x 0 ) ，t20 其中 - 为上r 和俐中定义的相依序。和芝。之一 只要取特殊的超可加函数，容易验证y 。x 可以推出y 。x 当m = 2 时，序兰。和 序。是等价的( 见t c h e n ( 1 9 8 0 ) ) 当m 3 ，序。严格强于序。j o e ( 1 9 9 0 ) 给出了当 m = 4 时的反例，m f i l l e r s c a r s i n i ( 1 9 9 8 ) 给出当m = 3 时的反例 定义1 2 2 ( s h a k e dds h a n t h i k u m a r ( s 0 9 4 ，设x = ( x i ，k ) 和y = ( y l ，m ) 是两个随机向量，u 和v 是两个随机变量、 r 川x 称为在通常随机序意义下小于y ，记为x 。ty ，如果e 陋( x ) j e 陋( y ) j 对任意单 调增函数h ：盼”_ 验成立 r 剀u 称为在单调增凸序意义下小于v ，记为u i 。v ，如果e ( u ) 】sem ( y ) 对任意单 调增凸函数h ：驼- 驼成立 r 圳x 称为关于y 随机单调增，记为x 气tv ，如果对任意单调增函数h ：瓣- - 9 瓣， e h ( x ) i v = u 1 关于u 单凋增 定义1 2 3 佃a l e y ( 1 9 6 8 ) ，k e i l s o na n dk e s t e r ( 1 9 7 7 ) ) r j ，一个离散时间齐次的马尔可夫过程 ，n 1 ) 称为随机单调的，如果尥下8 tx 1 r 剀一个连续时间齐次的马尔可夫过程 x ( t ) ，t o ) 称为随机单调的，如果对任意t 0 ， x ( t ) t 。tx ( o ) r 彰如果在p ，f 纠中的马尔可夫过程的状态是可数的，则相应的转移概率矩阵滕移概率函数， 称为随机单调的 第一章引言 5 d a l e y ( 1 9 6 8 ) 首次引进了一个离散时间齐次的马尔可夫链的随机单调性概念 k e i l s o n & k e s t e r ( 1 9 7 7 ) 系统地考虑了离散时间和连续时间齐次的马尔可夫链( 含可数状态空间) 的随机单调 性，研究了单调转移矩阵的许多代数性质，并给出了许多常见的单调马尔可夫过程，如生灭过程有 关马尔可夫过程的随机单调性的一般讨论，见s t o y a n ( 1 9 8 3 ) c h a p t e r2 平稳马氏过程的相依比较 2 1 引言 直观上，一个给定的平稳齐次马尔可夫过程( 简写为s h m p ) 的相依结构随时间滞后具有递减性质 如何从精确的数学语言来表述这种思想并不是一件简单的事情，这首先要涉及随机向量的相依性和 相依序 f a n ge ta 1 ( 1 9 9 4 ) 和h u & j o e ( 1 9 9 5 ) 分别给出了一些充分( 或必要) 条件使得离散 时间s h m p 的相依结构在多维。序意义下随时间滞后具有递减性质，离散时间和连续时间可逆的 s h m p 的相依结构在二维2 。i d 序意义下随时间滞后具有递减性质 j o e ( 1 9 9 7 ) 中定理8 7 和定 理88 对离散时间s h m p 考虑二维。，序，同时给出了一个结果( 定理8 9 ) 在二维。序意义 下比较两个s h m p 的相依结构b i i u e r l e ( 1 9 9 7 a ，b ) 和b i i u e r l e & r o l s k i ( 1 9 9 8 ) 在多维s m 序意义下比较两个( 离散时间或连续时间) s h m p 的相依结构，但这些s h m p 具有特殊的转移概 率函数或转移强度矩阵，不具有一般性 本章的内容可以看作是f a n ge ta 1 ( 1 9 9 4 ) 和h u & j o e ( 1 9 9 5 ) 工作的继续，寻找充分( 或必 要) 条件使我们( 1 ) 能够刻画一个s h m p 的相依结构随时问滞后具有递减性；( 2 ) 能够比较两个 s h m p 的相依结构我们所使用的相依序是。和2 。这方面的研究是有意义的，因为当我们在 应用s h m p 建型时了解模型相依结构的变化有利于我们更好地把握模型，有助于识别模型中的相依 参数，同时有利于我们研究某些系统( 如随机网络) 的输入参数( 这种参数往往是输入过程的相依参 数) 的变动对系统其它特征的影响 本章结构如下安排；节2 2 和节2 3 分别讨论离散时间s h m p 的相依比较和连续时间s h m p 相依比较这两节中的主要结果的应用放于节24 中，主要应用包括生灭过程的相依结构研究，离散 时间m a r k o v 一调节递推模型和连续时间m a r k o v 调节模型中底过程的相依结构对系统某些感兴趣 的特征的影响，如m r g i 1 服务系统中顾客的平稳等待时或第n 个顾客的等待时；顾客到达流服 从双p o i s s o n 过程的排队系统的平稳负荷量 7 8第二章平稳马氏过程的相依比较 本章中将用到如下的一些记号：对任意整数m 1 和r = ( r l ，r 2 ，r 。) ”e 0 1 2 ，) “或瞬罕! 【0 ，。) “，记r = ( r 1 ，r 2 ，r 。) ，其中r j = ；：1r i ，j = 1 ，m 如果r j = 0 ，则r 3 = r 3 1 对任意两个向量r ，s ”或睨? ，r s 表示r 。2 8 i ， v i = 1 ，m 我们用1 表示”中的单位向量 2 2 离散时间平稳马尔可夫过程的相依比较 一个离散时间s h m p x 。，t 21 ) 可以利用( x l ，x 2 ) 的一个具有相同边际分布的二维分布函 数来构造我们将用到s h m p 的一条重要性质如下：对任意的佗2 和m 1 ，如果给定 玛，j = y r t + 1 ，n + m 一1 ) 的一个非空子集，则 墨，i 冬m ，与 砀，j m + n ) 条件 独立 2 2 1单个离散时间平稳马尔可夫过程的相依随时间滞后递减性 在本子节中，我们将给出能够刻画一个离散时间s h m p 的相依程度在序。意义下随时间滞后递 减的充分条件 定理2 2 1 设 x 。，n21 ) 是一个s h m p ，其状态空间是跣的一个子集，m 是大于的 正整数如果x 1 下s tx 2 和x 2t 。tx 1 ，则 ( x s 。，x s 。，x s 。) 2 。( x n ，x r 。，x r 。) ， ( 2 21 ) 其中r ，s “满足r s 1 证明首先考虑m = 2 因为二维序。与二维序。是等价的，所以此时结论由f a n ge ta l ( 1 9 9 4 ) 中定理3 1 立得 现在用归纳法加以证明设女3 且( 2 2 1 ) 对任意m 七成立由归纳法，仅要证明( 2 21 ) 对m = 成立因为。序具有传递性，所以只要证明( 2 2 1 ) 对这样的r ，s 成立：r ，s 2 ， 7 l = 8 1 = 1 ，且r 和s 只有一个分量对应不同且相差为1 不妨设第p 个分量不同，则r p = s p + 1 设曲c 如果p k ，则定义 妒l ( z ”，x p ) = e 妒( z ，z p ，魄，) f 礴= 茁p j 容易验证对任意1 i j p ，函数妒1 ( x l ，z p ) 关于变量( x i ，) 是超可加的引进记号： x ( t j 是由向量x 去除第i 和第j 个分量得到的向量；西( z ：，；x ( 4 j ) 是函数在第i 和第j 个分量 第二章平稳马氏过程的相依比较 9 分别为z ：和的向量x 处的值另一方面，西的超可加性质蕴涵西( z ：，x j ；x ( j ) 一妒( z 。x j ；x ) 是关于z j 单调增，其中i j 且x ( i , j 和x i z ：是固定的由f a n ge ta 1 ( 1 9 9 4 ) 中的定理 3 2 ( a ) 得：对任意t 2 ，l22 ，( x t l ，强，x 丑) t 。tx i 因此，当x i z ：，唧 z ：和 i p 时， 即 e 西( e 【西( e ( ，墨+ 1 x p ，耳+ l z ：，耳+ 1 x ) 一( ，x i ，z ：，玛+ 1 尥) j x 昂= z p 】 凰) i x 昂= z ；l x k ) l x s ，= z ；l 妒1 ( ，z ：，z ：) + 妒l (，乩，x p ) 2 妒l ( ，z ：，x p ) + 妒l ( ，x i ，z ；) 于是妒l ( z h，) 关于变量( x i ，唧) 是超可加的，其中i e e m ( x s ，x s 。 e 陋1 ( x s l ，x s 2 ， e 眇1 ( x r l ，x 冗2 ， e ( x 趴x 鼢 ，x s 。) i x s ，x s p l x s 。) ，x 凰) x r 。) ) ( 2 2 2 ) 如果p = k ，类似于上述讨论，利用条件x lt 。tx 2 可以证明 妒2 ( x 2 ，x k ) = e 【t j 5 ( x l ，x 2 ，。k ) l x s 2 = x 2 】女一1 所以利用归纳假设得 e 曲( x s 。，x s 。，x s 。) = e 【妒2 ( x s 。，x s 。) e 【妒2 ( x r 。，x n 。) = e 【咖( x r 。，x n 。，x r 。) ( 223 ) 现在，由( 22 2 ) 和( 2 2 3 ) 可得( 2 2 1 ) _ 2 2 2 两个离散时间平稳马尔可夫过程的相依比较 本小节中，我们将比较两个离散时间平稳马尔可夫过程的相依程度因为一个s h m p x 。，n 1 ) 的性质由( x l ，x 2 ) 的联合分布唯一确定，所以为比较两个s h m p ，n 1 ) 和 k ，n 1 ) 的相依程度，我们自然期望条件是加在( x 1 ，x 2 ) 和( m ，k ) 的联合分布上 + + k k p p z 茁 z z 烈烈 一 一 x x 1 0 第二章平稳马氏过程的相依比较 定理2 2 2 设 x 。，n 1 ) 和 ，n 1 是两个具有相同一维边际分布的s 日m p 假设 x lt 。c 。琶和 jt 。c jf 或扔t 。tx l 和kt 。tk ，如果 ( m ，k ) 。( x 1 ，x 2 ) ，( 2 ，2 4 ) 则 ( m ，蚝，k ) 。( x i ，施，) ，v n 2 ，( 2 ，25 ) 进而有 ( m ，硷，k ) 。( x i ，x 2 ，x 。) ， v n 2 ( 2 26 ) 证明因为序。蕴涵序。，所以为证明( 2 2 6 ) 我们仅需要证明( 2 2 5 ) 首先假设x l 化tx 2 和kt 。tk 当n = 2 时，( 2 2 5 ) 是显然的我们现在用归纳法加以证明设m23 且( 2 2 5 ) 对任意n m 成立如果有关的概率质量函数( 概率密度) 存在，则以f ( x ) 记x 1 的概率质量函数 ( 概率密度) ，以办i 。( 小) 【g j l l l ( i ) 记在给定x 。的条件下砀 在给定m 条件下巧】的概率质量函 数( 概率密度) 我们构造m 个“桥”随机向量z = ( z ，z j ，2 ，z ，。) ，j = 0 ，1 ，m 一1 ， 使得z u ，具有联合概率质量函数( 概率密度) f ( z 1 ) f 2 1 1 ( z 2 1 2 1 ) f 2 1 1 ( 一j l 一j 一1 ) 9 2 1 1 ( z mj 十l i z r a j ) 9 2 1 1 ( z 。r z 。1 ) ( 2 2 7 ) 如果所有的概率质量函数( 概率密度) 不存在，我们仍可以通过考虑条件分布函数( 而不是概率质量 函数或概率密度) 来构造m 个“桥”随机向量显然， z o ) = s t ( x 1 ，x 2 ，x 。) 和z ( m - 1 ) = s t ( m ，均，y m ) ， 其中= s t 表示同分布由归纳法，为证( 2 25 ) ，我们仅证( 2 2 5 ) 当n = m 时成立，因此亦仅要证明 z ( p + 1 ) s mz ( ，v p = 0 ，m 一2 ( 因为序之s m 具有传递性) 设西c 。对p = 0 ，1 ，m 一2 ，定义 妒l ( z l ，x m p ) = e 咖( z l ，z 。一p ，z ；，。一p + l ，z ；，。) i z ；，。p = x m - - p 则 e f ( z ) = e e f 妒( z ( 一) f 名，名，。一p 】) = e f 妒1 ( 彩，1 ，名，。，) j = e e 旧，( 乃，”，乙，。一，) 1 名。一，扎乙，。一， ) = e 妒2 ( 磊，。一p 一1 ，乙，。一p ) 】，( 2 2 8 ) 第二章平稳马氏过程的相依比较 1 1 其中 妒2 ( z 。一p l ，z 。一p ) = e 【妒1 ( 乙，l ，乙，m p 一2 ，x m - p - 1 ，x m - , ) l 磊，m p l = x m - p - 1 类似地， e 西( z ( “) 】_ e 妒2 ( 乙+ l 。一p - 1 乙扎。一p ) ( 2 29 ) 利用条件kt 。m ，类似于定理22l 的证明可以验证妒1 c 。一，再由条件x 1 个s tx 2 得 妒2 c 2 由( 2 2 7 ) 知 ( 乙，。一p _ ，乙，。一p ) = s t ( x t ，x 2 ) 和( z p 扎。一p _ l 匆扎。一p ) = s t ( h ，蚝) 根据( 224 ) ，( 2 2 8 ) 和( 229 ) ，我们得到 e ( z ( 9 ) = e 妒2 ( 乙，。一p 一1 ，磊，。一p ) e 妒2 ( 乙+ 1 ，m p l ，乙+ ，m p ) 】= e 眵( z ( + 1 ) 这就是，z ( p + 1 ) 。z ( 其次，假设x 2t 。tx 1 和mt 。tk ( 2 25 ) 可以用类似于上述的方法得到证明：首先构造m 个“桥随机向量w ( j j ，j = 0 ，m 一1 ，其中w ( j ) 的联合概率质量函数( 概率密度) 为 ，( 训1 ) 夕2 1 1 ( w 2 l 叫1 ) - 9 2 i l ( w m j 【叫j1 ) ，2 l l ( w 仇一，+ l i 叫m j ) 厶1 1 ( 叫m l w m 1 ) ， 然后证明 w ( p ) s m w ( p + ，v p = 0 ，m 一2 证毕 - ( ；主22 1 当n = 2 时，j o e ( 1 9 9 7 ) 中定理8 9 证明了( 22 6 ) ，但我们这儿的证明方法完全 不同，结论更强因为超可加函数类很大， ( 2 2 5 ) 比( 2 2 6 ) 更为有用，它可以用来推导许多有趣 且重要的概率不等式，如，我们可以取命题1 2 1 中的一些特殊超可加函数来导出概率不等式 b ；i u e r l e r o l s k i ( 1 9 9 8 ) 中的引理1 是定理2 2 2 的直接推论( 见下面推论2 21 ) 考虑两 个s h m p x 。，n 兰1 ) 和 k ，n21 ) ，具有相同的状态空间三 o ，1 ，f ) 和平稳分布 = ( o ，7 r l ，7 r ，) ，一步转移概率矩阵分别为p 和p ，其中f 是正整数或+ o o 引进记号： 表示对角阵d i a g ( r o ，7 1 - 1 ，7 r ，) ，i 表示单位矩阵 推论2 2 1 如果x 1 亿t 配和x 2t 8 tx 1 ，且p = ( 1 一c ) i + c p ，0 墨c 1 ，则 ( m ，k ，k ) s 。( x l ，磁，) ， vn 2 1 2 证明首先注意到( 2 24 ) 等价于 第二章平稳马氏过程的相依比较 rftt ( p ) “芝( i i p ) k j ，vi ，j ， ( 2 21 0 ) 其中( y i p ) k j 是矩阵i i p 的第( 女，j ) 元容易验证，当i j 时 ( n p ) k l k il c ” r f + ( 1 一c ) ” k = if = ， f _ j tttrt = c 7 r k r f c 7 r k r l + 7 r l = jk = it = jk = 0j - j = l 一7 f k 一丌i + ( n p ) 削 k = 0 f = 0 k = 0 1 = 0 卜12 一l ，一1j 一1 = 1 一7 1 - k + c 7 r 女r f c 7 r 因此( 2 21 0 ) 是正确的另一方面，假设条件x 1 个。t 局和局1 、s tx i 可以推出m 化t 蚝和 kt 。m 所以，定理2 2 2 的条件满足，结论成立 2 3 连续时间平稳马尔可夫过程的相依比较 考虑一个状态空间为c o ，1 ，2 ，) 的连续时间s h m p x ( 0 ，t o ) ，具有转移概率矩阵 函数为p ( t ) = ( 局( t ) ) ( 其中岛( ) = p r ( x ( t ) = j l x ( 0 ) = i ) ) 和转移强度矩阵q = l i m o ( ( p ( t ) 一i ) t ) ，其中约定当t _ 0 时p ( t ) _ i 矩阵q 的元记为本篇论文中 出现的所有s h m p x ( t ) ，t o 都假定是一致化的( u n i f o r m i z a b l e ) ，即 + ：= s u p l q i l l 2 u + ，存在一个离散时间的s h m p k ，k o ) ，其一步转移概率矩阵 为 1 p 。= i + 二q ，( 2 3 2 ) 初始分布与过程 x ( ) ，t o ) 的初始分布相同皆为丌，使得 x ( t ) = 帆，vt 0 ，( 2 3 3 ) 其中 k 。( t ) 是一个参数为王，的齐次p o i s s o n 过程，该过程与 ) v ；，k o ) 独立于是 x ( ) ，t 0 的转移概率矩阵可由下式给出 p ( t ) ：萎e - u t 骅p ：e 。p 刊 i p 。】 ，vt 0 ( 23 4 ) k = 0 为证明下面的结论，我们需要两个引理来给出一个转移概率矩阵和强度矩阵是随机单调的充分和 f 或) 必要条件为此，先定义无穷维矩阵 容易验证t 的逆矩阵为 t t = 000 10 0 11o 1ll 引理2 3 1 ( k e i l s o ndk e s t e rr p 7 列，l i n d q v i s t ( 1 9 8 7 ) ) 似jp 。是随机单调的充分必要条件是( t p ，t ) t j 芝0 ，v i ，j r 6 ，q 是随机单调的充分必要条件是( t - 1 q t ) i j 0 ，v i j ，或等价于 和 q i k 茎劬k ， vi j f k = fk ：f fl 饥g j 女， vf o ( b ) 的证明类似，略去 - 2 3 1 单个连续时间平稳马尔可夫过程的相依随时间滞后递减性 定理2 3 1 设 x ( t ) ，t o ) 是一个转移强度矩阵为q 的s h m p 如果q 是随机单调的，则 ( x ( s ) ，x ( ) ，x ( s i n ) ) 。( x ( r - ) ，x ( r 。) ，x ( ) )( 2 3 5 ) 其中r ，s 鸵2 满足r s ，m 2 证明对给定的r ，s 蹰? 满足r2s ，定义一个独立随机变量序列 w ；，巩，i = 1 ，m ) 该序列同时独立于过程 ；，k 芝o ) ，其中随机变量w ；，以的分布定义如下： 容易验证 姒一p o i s s o n ( s i v ) ，以一p o i s s o n ( ( r l c s i ) ) ，i = 1 ，m ( k ，( s 1 ) ，“) ) 坠( m ，m + ，1w 0 磐( w l * ，瞩) 第二章平稳马氏过程的相依比较 和 ( k 。( r 1 )一，( ) ) = s tf 啊+ u - 根据( 2 3 3 ) ，我们有对任意茁1 ，x p r ( x ( 兄) x i ，i = 1 ， = p r ( n w ： x 。，i m、 ( + 仉) 惮d e f ( 阱+ ，崂) k = 1， m ) = p r ( 帆，( 皿) x i ，i = 1 1 ，m ) = e p r ( + 2 c i ，i = l ，叫w + ，崂) 】 = e i e 【p r ( n w , i2l ，m l w ? ，崂 哪，瞩) f w t + ，崂 ) se e 【p r ( n w ： x i ，i = 1 ，圳哪+ ，崂； w ：，瞩) l 町+ ，崂】) = e f p r ( n w 以，i = 1 ，mj w f + ，i 争= ) 】 = p r ( 盯 x i ，i = 1 ， ，m ) = p r ( x ( & ) x i ，i = 1 ，m ) ， m 1 其中的不等式是由f a n ge ta 1 ( 1 9 9 4 ) 中定理3 2 ( b ) 和上面的引理2 3 2 ( a ) 得到类似地 证毕 _ p r ( x ( r i ) x i ，i = 1 ，m ) p r ( x ( s | f ) x i ，i = 1 ，m ) 在定理23l 中，如果 x ( t ) ，t20 的逆向时间s h m p 也是随机单调的，则我们可以得到更 强的结论这就是下面的定理 定理2 3 2 设 x ( # ) ，t o ) 是一个转移强度矩阵为q 的s h m p 如果q 和q r 皆是随机单 调的，则 ( x ( s 1 ) ，x ( 岛) ，x ( ) ) 。( x ( r 1 ) ，x ( r 2 ) ，x ( r 。) ) ，( 2 36 ) 其中r ，s 泥2 满足r s 和m 2 证明由引理2 3 2 知q 和q r 的随机单调性蕴涵p 。和p 孑是随机单调的，其中 2 u + 设毋c m 且r ，s 孵? 满足r s 利用定理2 3 1 中的记号，我们有 e o ( x ( n t ) ，x ( ) ) 1 6 = e 2 m a x s u p i 蚓，s u p i ) 由引理2 3 2 ，q 和q r 溅q r 和q 】的随机单调性蕴涵p 。和p 孑溅p f 和p ，】也是随机单 调的 必要性假设( 2 3 7 ) 成立注意到( 2 3 7 ) 等价于 ( o ，1 ) 芝。( o ，1 ) 第二章平稳马氏过程的相依比较 对s h m p 帆，k 0 ) 和( 觑，k 0 ) 应用定理2 2 2 得 因此 ( 风，厩，成) 。( n o ，1 ，) ，v n 1 ( 觑。，觑。，觑。) 。( n o 。，n k 。，帆。) ，v0 。茎茎k m o o 1 7 于是由( 2 3 3 ) 和( 2 39 ) 得，对每个毋c 。和所有的0 冬t 1 t 2 t 。 0 ，这等价于 o 。0 0 。 张乓f ( ) z r k p k l ( ) ，vi ，j ， k = i t = j k = i k ， 因此 妻妻p k l ( t ；- i k l 量曼矶_ p 埘( t ) - i k t ，v 幻 k = i l = jk = i f = f 6 令to 0 得( 2 3 7 ) 这就完成本定理的证明 i 注2 3 1 从随机表示( 2 3 3 ) 和( 2 3 9 ) 我们知道过程 x ( ) ，t o ) 和 y ( t ) ，t o ) 的性 质由底过程 七，女o ) 和 觑，七o ) 分别确定为了比较过程 x ( ) ，t o ) 和 l ，( t ) ，t o 之间的相依结构，自然要对( n o ，n x ) 和( 觑，1 ) 施加条件( 2 3 7 ) 条件( 2 3