（应用数学专业论文）两类非线性抛物型方程和波动型方程整体解的一些研究.pdf

中文摘要 本文首先利用试验函数方法研究了无界区域上两类非局部抛物型方程的初( 边) 值问题 解的不存在性；另外，我们利用能量方法，研究了一类四阶波动方程的整体解的存在性和不 存在性，以及整体解的唯一性和能量估计问题。本文安排如下： 和 在第二章中，我 f t i ；r t ：究r 上带有局部和非局部项的退化抛物不等式 的整体非负解不存在性问题，其中以，m ，p ，q 0 ，n 2 ，f l ( y ) 是r v 中的非负可测函数。 在第三章中，我们考虑如下具有非局部项的退化抛物方程的非负非平凡解的不存在性： “，= ixi 。a u ”+ ixl p i | “i l ：“9 ( x ，f ) q ( o ，o o ) ( 3 ) u ( x ，o ) = u o ( x ) ，x q ；u ( x ，f ) = 0 ，( x ，f ) a q ( o ，o o ) ( 4 ) 其中q 是r 中的无界锥区域。 在第四章中，我们考虑如下具有非线性衰减项的四阶波动方程问题的整体解的存在和不 存在性，唯一性和能量估计： “+ 优2 “一6 “+ ”，l 甜，1 7 + g ( “) = 0 i nd x ( o ，o o ) ( 5 ) u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，u f ( x ，o ) = u l ( x ，0 ) o nq( 6 ) ：罢o h 孢【o ，o o ) u xo o ( 7 ) = 仉2 l u ， l ，j o+ d d 其中q 是尺上的有界区域，n 1 ，具有光滑的边界讹；u 是边界施的外法向量； 口，b 0 ；，0 。通过g 口彪枷逼近方法得到了解的存在性；运用乘子方法得到( 5 ) ( 7 ) 的解的能量衰减估计；运用势井理论得到解的有限爆破。 关键词：退化抛物方程和不等式试验函数法局部和非局部非线性波动方程势井定理 爆破 仉0“眨猷 ) ： x q 一d d e 似“ 矿 n ， d r 眠 雕 + 0 p p 一0 “ 叫 = 血 一 1 0 笙甜甜 ，j、【 眈 r o 一 b d 眈 l v 妙 乃 x 圹 风卜u 删 笙钟 a b s t r a c t b vt h et e s tf u n c t i o nm e t h o d ，i nt h i sp a p e lw ed e a lw i t hak i n do fd e g e n e r a t ep a r a b o l i c p r o b l e m s t h eg l o b a ln o n e x i s t e n c eo f n o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o rs o m ed e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n a n di n e q u a l i t i e s ，w i t hn o n l o c a l t e r ma r ec o n t a i n e d t o g e t h e rw i t h t h ee x i s t e n c ea n dt h e n o n e x i s t e n c e ，t h eu n i q u e n e s sa n dt h ee n e r g yd e c a yo fs o l u t i o nf o rt h ef o u r t h - o r d e rn o n l i n e a rw a v e e q u a t i o na r ec o n s i d e r e di nt h i sp a p e r t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，w ec o n c e m e dw i t ht h en o n e x i s t e n c eq u e s t i o n sf o rt h eg l o b a ln o n t r i v i a l s o l u t i o n st ot h ed e g e n e r a t ep a r a b o l i ci n e q u a l i t i e sw h i c hi n v o l v i n gl o c a la n dn o n l o c a lt e r m s 幽+ ( l ，f l ( y ) u p ( y ，t ) d y ) 州| 口“9 ( x ，) ( x ，) r ( o ，o o ) ( 2 ) u ( x ，o ) = ”o ( x ) ，x r n ；u ( x ，f ) 0 ，x r ，t 0 w h e r en ，m ，p ，q 0 ，n 2 ，f l ( y )i san o n n e g a t i v em e a s u r a b l ef u n c t i o n si nr i nc h a p t e r3 ，w ea r ec o n c e r n e dw i t hn o n e x i s t e n c eo fn o n n e g a t i v en o n t r i v i a ls o l u t i o nt ot h e d e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hn o n l o c a lt e r m ，爿x1 4a u ”+ l xm “略h 9 ( x ，f ) f 2 x ( o ，o o ) u ( x ，0 ) = t l o ( x ) ，x q ；u ( x ，t ) = 0 ，( x ，t ) a q ( 0 ，0 0 ) ( 3 ) ( 4 ) w h e r eqi su n b o u n d e dc o n ed o m a i ni nr 州s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o nt h eg l o b a l n o n e x i s t e n c er e s u l t sa r eo b t a i n e d i nc h a p t e r4 ，t h ee x i s t e n c ea n dt h en o n e x i s t e n c e ，t h eu n i q u e n e s sa n dt h ee n e r g yd e c a y e s t i m a t eo fs o l u t i o nf o rt h ef o u r t h - o r d e rn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n l 甜r f + a ? “一b a u + “f l u l l 7 + g ( “) = 0 i nq ( o ，o o ) 甜：罢d 胛锄 o ，) i 甜( x ，0 ) = n o ( x ) ，甜，( x ，0 ) = “l ( x ，0 ) i nq r 川，n 1 l a r es t u d i e d t h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o ni sg o t t e nb yt h eg a l e k i na p p r o x i m a t i o nm e t h o d t h e e n e r g yd e c a yr a t eo f t h eg l o b a ls o l u t i o ni se s t i m a t e db yt h em u l t i p l i e rm e t h o d t h eb l o w - u pr e s u l t o ft h es o l u t i o ni nf i n i t et i m ei se s t a b l i s h e db yt h ei d e a lo fap o t e n t i a lw e l lt h e o r y k e yw o r d s ：d e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o na n di n e q u a l i t y , t e s tf u n c t i o nm e t h o d ，l o c a l a n dn o n l o c a l ，n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n ，p o t e n t i a lw e l lt h e o r y , b l o w u p 叫 啦o“忿眦刨 x 哦 一d d “ 矿n ， d r k 似吣 p ， 一啪吣 叫 = 缸 埘 l 笙西” 堑西 r，1，l 第一章绪论 1 1 背景知识 第一章绪论 在近代科学技术的发展历程中，各科学的精确化起到了重要的作用，而学科的精确化往 往是通过数学模型来实现的。各类非线性方程在这类模型中占据了相当大的比例。比如杆梁 的振动在数学上表现为四阶波动方程；带有非局部项的退化抛物方程可以很好的描述人口的 动态分布 2 8 】。 过去几十年中，有许多研究抛物方程的文章。然而，大多数文章都是关于具有或不具有 局部反应项的抛物方程的，很少有关于带有非局部反应项的内容。近 来，g a l a k t i o n o w ，l e v i n e 和s o u p l e t 1 0 一1 2 】研究了一些带有非局部半线性的抛物问题，得到 了整体解不存在的一些充分条件。稍后，许多作者得到了带有非局部项的半线性方程的类似 结果。这些文章中广泛应用了比较原t 里 1 0 - 1 5 。比如对于如下问题： 利用比较原理，g a l a k t i o n o w 和l e v i n e 在 1 0 】中研究了上述不等式的整体解的存在和不存在 性。但是对于问题： 等a u + i i 酬伊吣以圳( 堋r u x ( 吣) 的整体解的不存在性的研究很少有人涉及。本文将首先考虑上述问题的整体非平凡解的不存 在性。 而对于具有如下具有非局部项的退化抛物方程问题： 甜，= ixi 。a u ”+ ixm “旧“9 ( x ，f ) q ( o ，o 。) 三f 和x e 在 1 3 1 4 ，p a o 在【1 6 】中利用比较原理研究了上述问题的解的存在和不存在问题。 本文也在前人工作的基础上考虑上述问题在锥型区域中非负非平凡解的不存在性。 另外文章的最后考虑一类四阶波动方程的解的存在性问题。 洳淼 以 训 力 风 墨l “ 笙西 第一章绪论 1 2 预备知识和主要方法 本文中，我们解决解的不存在性的过程中运用了试验函数法，这一方法是由 e m i t i d i e r i 和s i p o h o z a e v 【5 ，1 7 ，1 8 】在研究椭圆方程的时候提出来的。首先求出所考虑方 程的解的带参数的先验估计，然后得到解的渐近形态( 与某个趋于无穷的参数有关) ，最后 令此参数趋向无穷就可以得到解的不存在性。这种方法推理简单明了，不需要适应比较原理 的一些假设，所以可以考虑类型广泛的非线性方程。 另外在解决一类四阶波动方程的解的存在性时，运用了g a l e k i n 方法。它的关键是构造 一个适当的基本空间和其中一个标准正交基，构造逼近解并对其做估计和取极限，然后通过 逼近得到弱解的存在性。 下面介绍几个后面的证明中要用到的重要的不等式： h e l d e r 不等式：设q 是r 中得开集，1 a ，p 。s ，1 p i + l p 2 + + l p 。= 1 。 如果甜 l m ( q ) ，k = 1 ，m ，那么 lu l , d 2 , g m ld - x m k = l q ， 场“略不等式：设a o ，b 0 ，p 1 ，q l ，且土+ 一1 ：1 ，则对v s 0 ，成立 pq 动型+ 占- q b q pq 特别地，当p = q = 2 时，上述不等式也称为c a u c h y 不等式。 s o b o l e v 不等式：设“喇p ( q ) ，则存在c = c ( n ，p ) ，使得 其中q 是r v 中的开集。 i u in p 0 ，q 1 ，p m a x 1 ，研，g ) ( 2 3 ) 定义1 ：“称为( 2 1 ) ( 2 2 ) 的一个弱解，若是“满足： u ( x ，f ) o ；”，甜”，扰9 三l ( 尺? “) ；l l “( ，) i | ：l ( r + ) 且对任意的非负函数矽( x ，f ) c 3 1 ( r ? r + ) ，成立： 肼“( 州加( x ，t ) d x d t 1 以及 l ：1 一旦一土：! 旦二垡! ! 翌兰! 二翌! o ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 第二章一类退化抛物不等式的解的不存在性 利用常参数7 7 的h 6 l d e r 不等式和y o u n g等式，得： 胁9 出( l 。“pa x ) 咖( l 。产a x ) ( 丘。产 a x ) 7 如 叩( l 。“p 出) ( l ，痧 qd x ) p 7 蚋+ 7 7 9 g p ( l 。矽如口2d r ) 4 ( 2 1 6 ) 其中口l = q p ，口2 = 1 一口l = ( p q ) p ，盯l = p ( p g ) 如。因为 口l = 1 + s p 1 ， 则有： ( l 、矿。1d x ) 加 = 鲇( p 一2 f ) ( l 。九柏( p 一i xi ) 出) p “胛 其中 类似的有： l 。砝( p 以t ) q k o ( p 叫i x i ) 出( l ，鲇( p p xi p ) 出) 舻 = c 3 铲q k ( x , t ) d x p c ，= ( k 嘲”) 西) 1 协j 0 ( 2 1 7 ) f ( r 。矽如口2d x ) 饥衍r 鲇( p _ t ) d t ( l s ：砧( 1 孝i ) 蝣) q p 。c 4 p “ 常数c 。 0 且与p 无关。则由( 2 1 6 ) 得： - s n r r 。“9 矽拗c 3 1 p 面 设，= q p 一训仲+ ”，则： ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) f r 。“。拗c ，肌酬l ；l ，矽d x a t + c 。，南p 洲叩而s q 丽n ( 2 2 。) 令( 2 2 0 ) 中的，足够小，则由( 2 1 3 ) 得： 其中 由于 r l lu ( t ) l l ；l ，蚍t ) d x d t 0 使得： f i iu ( t ) l l ；菇( p 。t ) d t _ c 6 p + c 6 p + c 矽州 ( 2 2 2 ) 选择0 允 m i n q n ( p g ) ，2 q ( q 一1 ) ) ，则y l n 0 ，7 2 一n 0 ，y 3 一n 0 。设 pj 0 0 ，则： r i iu ( t ) l i pd t m a x 1 ，”) ，n ( p 一1 ) p ( 1 一g ) ，n ( n ( p 一，竹) + ，竹盯) 0 ) 得 一l ，“a 矽c u d t l , 秒= - ，丑口= g ，巩= - ，如= 丛等巫 ，去2 一去一石1 c 3 射 所以有 其中： 仃，： 尘 ：1 1 一 ! 仃，= j 一= 一一 2 五( 一1 ) p ( n + q 1 ) 类似于( 2 2 2 ) 的证明，我们可以得到如下估计： r ( l 。( 矿矿矽) 如d x ) “d t c ，p h 其中c ，与p 无关， 类似的有： 厂n = 兄+ 堕垒二二三塾三言苫至 全产 8 r ( f r 。( 尸矽) 南d x ) d t ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) l _ r +衍 p 、， 出 口 p m 丘 ，l 出 缈 叮 “ n l皂一兄 r 0 ，且： ( f l 。矽一昂谚) 胁出) ( 3 1 0 ) f ( 丘，( f 1 1 矿扩d x ) 乃d t 0 使得7 4 0 ，y 5 0 ，则由( 3 4 ) 可以得到 o ，2 一2 。 设s - 1 是r ( 3 ) 中的单位球面，( ，c o ) 是r 中的极坐标系。设k 。是s 一1 中的 区域，具有光滑边界o k 。定义k 如下： k = x = ( ，c o ) r 10 1 ) 。 拉普拉斯算子在极坐标系( ，缈) 下为： = 击昙c ，- 1 导，+ 7 1 。 5 ， 其中m 是单位球s 一1cr k f l o l a p l a c e b p ，棚m f 算子。 为建立试验函数，我们对k m 上具有a m 算子的d i r i c h l e t 问题应用第一h e l m h o l t z 特 征值九= _ ( 缈) 0 和相应的特征函数( ) 0 ： 1 0 第三章一类退化抛物方程的解的不存在性 a 。+ 肺= 0 在k 。 = 0 在0 k c o 假设在k 。上0 ( 缈) 1 1 5 ，1 8 ，1 9 1 。 3 2 ：锥型区域上解的不存在性 ( 1 6 ) 这一部分中我们考虑在锥型区域k l 上( 1 1 ) - ( 1 2 ) 的非平凡解的不存在性。证明的 方法是由先验估计推出矛盾。首先得到( 1 1 ) ( 1 2 ) 的解的先验估计，然后得到关于先验 估计的一个渐近性，渐近性与趋于的p 有关，最后极限为0 的先验估计保证了问题的非 平凡整体弱解的不存在性。首先，我们给出弱解的定义： 定义l ：q = k i ，问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的一个弱解是指满足如下条件的“： u = u ( x ，f ) ：k l r + jr + ，u 瓦( r + ，p ( k ) ) ，对试验函数 矽= ，f ) 吲2 ( k l ( 0 ，) ) ，= 0 在粼l ( 0 ，o o ) 且具有紧支集，成立 肌m 州一4 脚) 拗+ b ( ) c 洲一 ( 2 1 ) = 一rl ixr “( x ，) 办( f ) 出以一rl 。“”矿( x ，f ) 出出 关于( 1 1 ) 一( 1 2 ) 的第一个结果如下： 定理1 ：设在k l 中甜o 0 ，参数玎，p ，q ，盯，m 满足 n 0 ；p ，q 0 ；n + s l 盯；p = n n + p ( p + 2 一仃) 0 ( 2 2 ) 1 m q + n m + 尸s，p p ( n + s i 一盯) ，竹p ( q + n 一，”) ：l 1 ，定义 叩( j ，) = ( f ( j ，) ) 2 y 0 其中的定义见后文。易证存在依赖s ，s o 的常数c l 0 ，使得： ( 2 5 ) r ( y ) 1 5 c l 刁5 1 17 2 ( y ) ，l7 7 ”( 少) l c l 印5 1 - 1 7 知( y ) ，vy r + ( 2 6 ) 进一步，设 y ( x ) = ( ，一，一5 2 ) ( 缈) ，x = ( ，c o ) k l ( 2 7 ) 其中r - dx i ，缈k 。r ( c o ) 是特征值问题( 1 6 ) 的第一特征函数。由( 1 6 ) 得在k l 中 a m ：0 ，在认l 中k ：0 。更进一步有在觚l 上竽o ，其中y 是k 的外法向量。则： 0 v _ o c s ：( ，m 一，吨) 竺o ，掣r = l = m ( j ，+ s ：) ( ) o ( 2 8 ) o v ovdr 其中y 。是k 。的外法向量。取如下形式的试验函数： = 矽( x ，f ) = 7 7 ( p p f ) 九( x ) ，九( x ) = 7 7 ( p - 1ix1 ) y ( x ) ，p 1 ，x k l ，f 0 ( 2 9 ) 其中0 0 。显然矽 ，r ) jy ( x ) ( pjo o ) 。 设c 和c 是与p 无关的常数，由h 6 l d e r 不等式和y o u n g等式( s 0 ) ，得： 胁1 1 “i 以i d x _ s l 。f ( x , t ) d x + c ( l 。g ( x , t ) d x ) 岛 ( 2 1 0 ) 其中k l l = x k llc k , ( x ，f ) 0 ) 和 = q + n ；如= 类似的有： p ( q + n ) p ( q + n 一1 、旷等n ；屈如= 羔n 1 口+口+ 一 k 。i “”a 矽ld x sl 。：f ( x , t ) d x + c z ( l 。：h ( x ，t ) d x ) 以 其中k 。：= t x k 。f 矽c x ，r ，。，h c x ，= l l x i 一吒矽一击c x ，c x ，r ，i 2 1 2 ( 2 1 1 ) 第三章一类退化抛物方程的解的不存在性 。：坐；：_ 墨生；盯：i m ( f l - 盯) ；：殷：兰 m p ( q + 以一，卵j 一小玎q + 甩 q + n m 取0 占1 4 ，贝从( 2 1 ) ，( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 中得： rl 。f ( x , t ) d x d t + l 。( 堋( 舻，o ) 1 xi d x 0 使得 c 4p 5 1 ，“一，一5 2 c 3 p “，p ，2 p 进一步，对于任意的s o s 1 ，由( 2 6 ) 有以下估计： 1 3 第三章一类退化抛物方程的解的不存在性 和 俐鲫旷l v + 。vc 砂r s - 一。5 k ，p 吣缈， c r5 5 l 一1 1 s ( h z s o ) ( 1 + ，- 5 p 一5 + ，2 5 p - 2 5 ) 5 ( 国) ，p ，2 p 俐俨l 埘矿1 。1 似) ( 1 + r s p s + r2 矿( 砒陋嘶 由s = 2 和p r 2 p 得： 蜥= r 0 2 0 0 + 等挚+ 扣。h 兽+ 竽等一纠2 c r ：5 - 一2 ( 1 + ( r p 一1 ) z + ( r p 一1 ) 2 p z ) z ( 国) c r 一：5 。一2 z ( 国) 因为p ，2 p ，所以： 毒祟m 以1 _ 去) ( 彩) c ，s i p 2 ( i - 扣2 ( ，“一，- 5 2 ) 2 似1 、7 当” 0 时1 1 s o 一1 l 1 p 2 或者s o m a x 2 ，p ( q + 甩) 2 m n ，当”= 0 时s o 2 。因此： a 2 ( p ) 0 使得n ，厂2 0 ，在( 2 1 7 ) 中令po 0 0 得： f 丘r ( 彬) y ( x ) c & d t 0 ( 3 1 ) u ( x ，0 ) = “o ( x ) ，x r 0 ) ；u ( x ，) 0 x r ，f 0 ( 3 2 ) 类似于定义1 ，有： 定义2 ：函数u 称为( 3 1 ) 一( 3 2 ) 的非平凡整体勇弓解，若u = u ( x ，f ) ：r r + 兮r + ，使 得“圪。( r + ，l p ( r ) ) 和对于任意非负函数矽= 矽( x ，f ) w 。i 2 ( r + r n ) ，成立 fl v i iu ( 邮m f 凇i 即胁) 抛+ l - v 删蚍。m ( 3 3 ) = 一fl 。ix ( 州) 以( x ，t ) d x d t rl 。班地t ) d x d t 定理2 ：设在r l - _ u o ( x ) 0 ，参数刀，p ，q ，仃，m 满足： n 0 ，p ，q 0 ，n 盯，p = n n + p ( f l + 2 一仃) 0 ( 3 4 ) 1 ， 1 ，k 1 。显然，当pj 时( x ，t ) 专1 。 对于每一个p 1 ，我们设： q p = x r ip 2 马x1 2 2 p 2 ) ( 3 7 ) 由h 6 l d e r 不等式和y o u n g 不等式，有： j r 扰”i x ld x sl 。r ( x ，f ) 出+ c 。6 xp 痧一岛矽l 出尸( 3 8 ) 其中 伍l2 m ( f l 一盯、 q + n ， ：旦望 ，幺： ，五屈： ， 2 一，矾2 ， p 1 1 p ( q + n 一朋1 一m n 。1q + n 。”。 1 6 g + ，z g + n m 第三章一类退化抛物方程的解的不存在性 类似的有： l 。i x 1 1 i “以l 出占l ，r ( x ，) 出+ c 。( l 。i x 1 9 z 一吼珐i 如出) 风 ( 3 9 ) 其中 岛= 而1 = 盯十而f l - c r ，如= 揣，如屈= 羔n 1 口+ m口+ ，zp i 口+ ，z l 一口+一 令0 0 使得： 其中： e ( p ) c 3 p 托，b 2 ( p ) c 4 p ，4 由( 3 4 ) 可得存在0 0 使得y 3 o ，y 4 o 。类似定理1 的证明，有： rl ，i tu ( t ) 1 1 ：“9 ( x ，t ) l 扩i 。d x d t 0 u ( r ，o ) = e 2 9 ( ，) ，u t ( ，0 ) = e 2 v ( r ) ，( o ，1 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) “，( o ，) = 0 ，u ( 1 ，f ) = a u ( 1 ，f ) = 0 t 0( 1 3 ) 因为初值是径向对称的，所以解仅仅依赖于，和f 。由f o u r i e r b e s s e l 级数定理， 作者得到了问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 的解的存在性，唯一性和长时间的渐近状态。 本文我们考虑如下具有非线性衰减项的四阶波动方程问题的整体解的存在和不存在 性，唯一性和能量估计： “，+ 倪a 2 u - - b a u 一届甜+ “fu f l ，+ g ( “) = 0 i nf 2x ( o ，o o )( 1 4 ) u ( x ，0 ) = n o ( x ) ，u f ( x ，0 ) = u l ( x ，0 ) i nq ：当0 t ax0u o h ，o 。) 2 = 一 ，o 。j d u ( 1 5 ) ( 1 6 ) 其中q 是r 上的有界区域，n l ，具有光滑的边界孢；u 是边界m 的外法向量； 口，b 0 ；r 0 。 如果我们考虑衰减和源的效果，则( 1 4 ) 可以看做是用u t i u ，l + g ( u ) 代替, s a u 2 的 ( 1 1 ) 。方程( 1 4 ) 也是一种广义的p e t r o v s k y 方程。【2 1 ，2 2 1 i j 究了具有( 1 5 ) 和( 1 6 ) 的初始边值条件的p e t r o v s k y 方程的解的存在性，唯一性和能量衰减估计。 如果u ( t ) 是问题( 1 4 ) 一( 1 6 ) 的解，我们定义能量函数e ( t ) 如下： 即) = 吉l ( “2f ) + m 砸) ) 2 + p l v u ( f ) 1 2 d x + l g ( ) ) 出f 。 ( 1 7 ) ，h， 其中g ) = i 。g ( s ) d s ，u r 1 = ( 咖，+ o o ) 。主要结果如下： 定理l ：假设： ( h 1 ) g ( u ) 是满足g ( u ) u 0 的连续函数，且存在常数七，p 0 ，使得 1 8 第四章 一类四阶非线性波动方程的弱解问题 k ( “) l 七川p , g ( “) i 尼h 川：其中p 满足：如果1 刀4 ，p l ：如果以 4 ， 1 4 ，0 r 2 n ( n 一4 ) 。 则，对于给定的u o h 4 ( q ) n i - t 0 2 ( q ) ，“l - i 0 2 ( q ) ，初边值问题( 1 4 ) 一( 1 6 ) 有满 足如下条件的唯一解： “o ) 互乙( r + ；h 4ni 啄) n c ( r + ；日；) ，“，三；乙( r + ；h ；) ，甜“e 乙( r + ；l 2 ) ( 1 8 ) 其中r + = 【0 ，) 。进一步，能量函数e ( t ) 是非负非增的，且具有如下衰减估计： 当r 0 时 e ( t ) c ( 1 + t ) - 2 rv t ( 1 9 ) 其中c 0 ，依赖于e ( 0 ) ； 当，= 0 时 e ( t ) c e ，v t ( 1 1 0 ) 其中兄 0 ，依赖于初值。 定理2 ：假设g ) = 一“h p ，且( h 2 ) 成立，其中1 行4 时p 1 ，门 4 时 1 0 ，使得如果甜o h 4 ( q ) nh ；( q ) ，“1 日；( q ) 且 k ( u o ) 0 ，d ( u o ) d ，e ) 0 ，使得如果x ( u o ) o ，j ( u o ) d ，e ( 0 ) d ，则问题( 1 4 ) - ( 1 6 ) 没有满足 如下条件的整体解： “( f ) r ( r + ；h ；) ，u ，r ( r + ；h ；) 为了证明以上结果，我们需要以下引理。 1 9 第四章一类四阶非线性波动方程的弱解问题 引理1 ：设j ，( f ) 是r + 上面的非负非增的函数，满足： fy l + r 2 ( ，) 出砂( s ) 对所有的0 s 0 且与y ( 0 ) 无关。证明见 2 3 】。 由嵌入定理，有： 引理2 2 2 ，2 6 】：设q 是具有光滑边界讹的j r ”中的有界集，则存在仅依赖于q 的正 常数c l ，c 2 使得： i l u l l ：( q ) c 。i a u l l ：v “h ；( q ) ：( q ) c 20 v “0 ：v “h ：( q ) 4 2 定理1 的证明 设定理1 中的条件都满足，”( f ) 是问题( 1 4 ) - ( 1 6 ) 的弱解。仿照 2 6 】，利用g a l e k i n 逼近方法可以得到满足( 1 8 ) 的解u ( t ) 的存在性。这里不再详述。下面给出解的唯一性和 能量函数e ( t 1 的衰减估计。 首先考虑唯一性。设“( f ) 和v ( f ) 是问题( 1 4 ) - ( 1 6 ) 的满足( 1 8 ) 的解。令 w ( f ) = u ( t ) 一v ( r ) ，则w ( f ) 满足： w f f + 口：2 w 一6 一届a w + 材，i n ，1 7 一，i v ，i7 + g ( ”) 一g ( v ) = 0 i n f 2 x ( o ，o o ) ( 2 1 ) 其中 w ( x ，0 ) ：w ( x ，o ) i nq ；w ：_ a w ：0d 甩a q 【0 ，o o ) ( 2 2 ) 钟 以w t ( 2 1 ) 并在q 上积分，得： y7 ( f ) = 一| l l ( r ) 一h o ) 一b l l v w , 畦f o 2 0 ( 2 3 ) 第四章一类四阶非线性波动方程的弱解问题 y ( f ) - 丢n 【| w f ( ，) 1 2 + 口w + | v w ( ，) 胁 办( f ) = l ( ”，( f ) k ( f ) i7 一v ，( ，) i v ，( f ) l r 1 w ，( t ) a x ，h ( f ) = n (