（理论物理专业论文）量子纠缠态的量子密集编码.pdf

0 2 a b s t r a c t r e c e n t l y ，q u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y ( q i t ) h a sb e c o m eo n eo ff r o n t i e r a r e a si np h y s i c sa n di n f o r m a t i o ns c i e n c e i tn o to n l ye x h i b i t sq u i t es i g n i f l - c a n c eo nd e e p l y u n d e r s t a n d i n gf o u n d a t i o n s o f c o n t e m p o r a r yp h y s i c s ( e s p e c i a l l y q u a n t u mm e c h a n i c s ) ，b u ta l s oh a sq u i t ef a s c i n a t i n gp o t e n t i a la p p l i c a t i o n st o t r a n s m i s s i o na n dp r o c e s s i n go fi n f o r m a t i o na n dh i g h l yp r e c i s em e a s u r e m e n t i th a sr e v e a l e da nu n p r e e e d e n t l yd e e pl i n kb e t w e e nt h ef o u n d a t i o n so fc o r n p l l t e rs c i e n c ea n dt h ef o u n d a t i o n so fp h y s i c s q u a n t u me n t a n g l e m e n t ( q e ) i s t h eb a s i so fq u a n t u mi n f o r m a t i o n t h e o r y i ti sq e t h a tl e a d st oal o to fl i o n c l a s s i c a le f f e c t sw h i c ha r es o u r c e so fan u m b e ro ff u t u r eh i g ht e c h n o l o g i e s ，s u c h a sq u a n t u mc o m p u t a t i o n ，q u a n t u mc r y p t o g r a p h y , q u a n t u md e n s ec o d i n ga n d q u a n t u mt e l e p o r a t i o n q ei sar e s o u r c ei np h y s i c so fq u a n t u mi n f o r m a t i o n la s i ti sam a i nr e a s o nf o rf u n d a m e n t a ld i f i e r e n c e sw i t hc l a s s i c a li n f o r m a t i o n i n f a c t ，o n eo ft h eg o a l so fq i ti su n d e r s t a n d i n gq e t h i st h e s i si sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t i n gc h a r a c t e r i s t i c so fq ea n do n eo fi t s i m p o r t a n ta p p l i c a t i o n s ：q u a n t u md e n s ec o d i n g w en o to n l yi n v e s t i g a t es o m e q em e a s u r e ss u c ha sp a r t i a le n t r o p ye n t a n g l e m e n t ，e n t a n g l e m e n to ff o r m a - t i o na n dr e l a t i v ee n t r o p ye n t a n g l e m e n tb u ta l s ow o r ko u tt h ee n t a n g l e m e n to f s o m ep a r t i c u l a re n t a n g l e ds t a t e s ，d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u sq u a n t u mv a r i a b l e s q u a n t u md e n s ec o d i n gc a nb er e a l i z e dw i t he n t a n g l e ds t a e s 。w es t u d yq u a n r u md e n s ec o d i n gb e t w e e nt w oa r b i t r a r i l yf i x e dp a r t i c l e si na ( n + 2 ) p a r t i c l e m a x i m a l l y e n t a n g l e ds t a t e st h r o u g hi n t r o d u c i n ga na u x i l i a r yq u b i ta n dc a r - r y i n go u tl o c a lm e a s u r e m e n t s i ti ss h o w nt h a tt h et r a n s m i t t e dc l a s s i c a li n f o r m a t i o na m o u n t t h r o u g hs u c ha ne n t a n g l e dq u a n t u mc h a n n e li su s u a l l yl e s s t h a nt w oc l a s s i c a lb i t s h o w e v e r ，w i t hc e r t a i nc o n d i t i o n a lm e a s u r e m e n tc o i l - t r o lp a r a m e n t e r st h ei n f o r m a t i o na m o u n tm a yr e a c hi t sm a x i m a lv a l u et w o c l a s s i c a lb i t si n f o r m a t i o n i nt h i sc a s e ，t h et r a n s i m t t e di n f o r m a t i o na m o u n ti s i n d e p e n d e n to ft h en u m b e ro ft h ee n t a n g l e dp a r t i c l e si nt h ei n i t i a le n t a n g l e d s t a t e a c t u a l l y , t h i si n d e p e n d e n c eo ft h en u m b e ro ft h ee n t a n g l e dp a r t i c l e s i nt h ei n i t i a le n t a n g l e ds t a t er e v e a l sak i n do fl o c a l i z a t i o np h e n o m e n o n o ft h e c l a s s i c a li n f o r m a t i o n c a p a c i t y i nt h e m u l t i - p a r t i c l ee n t a n g l e dq u a n t u mc h a n n e l ； i i t h i sl o c a l i z a t i o nc a n n o tb ei n v o l v e di na n y t h r e e - p a r t i c l ee n t a n g l e dq u a n t u m c h a n n e l t h er e s u l t so f f e rd e e p e ri n s i g h t si n t oq u a n t u md e n s ec o d i n gv i a q u a n t u mc h a n n e l so fm u l t i p a r t i c le n t a n g l e ds t a t e s w ea l s og e n e r a l i z ec o n t r o l l e d d e n s ec o d i n gt h r o u g ht h r e e p a r t i c l e sg h zs t a t e st oc o n t r o l l e dd e n s ec o d i n g t h r o u g h ( n + 2 ) 一p a r t i c l e sg h z s t a t e s k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ；q u a n t u md e n s ec o d i n g ；q u a n t u m c a p a c i t y i i i 第一章绪论 近年来随着量子力学的发展，量子信息学的建立，人们对量子纠 缠现象越来越关注。量子纠缠成为理论物理的一个新的研究热点而 量子纠缠现象作为量子力学所特有的现象，最早为e i n s t e i n p o d o l s k y - r o s e nf 1 1 所注意到，也成为了b o h r 与e i n s t e i n 两位巨人关于量子力 学的论战的题目之一随后b o h m 等人也对此作了论述，但直到b e l l 在1 9 6 4 年提出了著名的b e l l 不等式之后，才使得人们对此可以用实 验来判定两位巨人的论断。b e l l 不等式提出之后的几十年里实验物 理学家们设计了许多不同的精巧的实验来验证b e l l 不等式，这些结 果都证实了b e l l 不等式的被破坏，证实了量子力学的非局域性量 子信息理论已经成为物理学和信息科学中最前沿的学科之一而量 子纠缠在量子信息理论中发挥着重要的作用量子力学最引人注目 的特征就是量子纠缠【2 ，这一特征直接导致了e p r ( e i n s t e i n p o d o l s k y r o s e n ) 佯谬【1 】e p r 佯谬在推动近六十年的量子力学的发展中起着 非常重要的作用，它是e i n s t e i n 用来与b o h r 做最重要一次争论的假 象实验，这个实验所预示的结果完全遵从量子力学原理，然而却又 令人难以接受六十多年以来，人们一直在不断的从理论上和实验 上来研究这个著名的假象实验正是对该假象实验的研究奠定了量 子信息学的研究基础在e p r 佯谬中的粒子间观察到很强的关联作 用这种非局域关联只有当整个系统的量子态处于纠缠态时才会出 现，而处于直积态时看不到这种效应b o h m 对e p r 态提出了一种 比较直观的描述 3 】他考虑处在自旋单态上的双电子体系，其波函 数是 e p r ) = 历1 ( i + z ，- - z ) 一| _ z ，+ z ) ) ( u ) 其中z 代表自旋的轴，土代表z 轴的方向，如果测量第一个电子的 z 方向自旋，我们可以5 0 的几率得到沿+ z 方向的电子和5 0 沿一z 方向的电子当第一个电子被发现沿+ z 方向，整个波函数被塌缩到 态l + 。，一z ) 上，这时再测量第二个电子，必得到确定的结果，自旋沿 z 轴向下即使是两个粒子分开得很远，这种关联仍然是存在的可 见量子关联或量子纠缠是波包塌缩的一个直接的结果与经典情况 类比，这种情况看上去并不很特殊。假设一个黑盒子里放了一只白 球和一只黑球。伸手到盒子里随便摸一只，得到黑和白球的几率各 为1 2 。但是一旦你拿到了一只黑球，然后把盒子拿开，不管多远， 你仍然可以判定盒子里一定是白球。这种经典关联是人们事先制备 好的，然而，量子情况并非如此简单，上述e p r 态除了描述二电子 系统沿z 方向自旋的关联，他同样可以描述沿x 方向自旋的关联， 或沿任意方向n 自旋的关联。这种可以用一个态，描述不同方向自 旋关联的奇妙特性，是量子纠缠的典型特性。这是因为通过足的本 征态 士z ) = ；( 1 + z ) 士i - z ) ) ， 可以把上述e p r 态表述为 e p r ) = 砺1 ( i - - x , + 2 ；) 一l + 矿。) ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 但描述经典关联的混合系综在基矢变换后会导致非对角元的产生， 它不再描写其他方向自旋的关联。可见经典纠缠与e p r 量子态描述 的关联是有本质差异的 通过对量子纠缠和经典纠缠物理上差别的讨论，我们对e p r 关 联精神实质已有了较好的了解在此基础上，完全可以按着b e l l 的原 来的讨论，证明b e l l 不等式b e l l 的证明是基于下列两个假定t 一 个是存在人们尚未知晓的隐变量l ( 下面假定1 连续变化) ；另一个就 是要求理论是定域性的设在“空间点”a 测量粒子1 的自旋沿空 间方向a 投影a ，a p 是p a u l i 矩阵) 所得结果记为a ( a ，1 ) ，仅依赖于方 向a 和隐变量1 ，而a ( n ，f ) = = e l ，隐变量l 的取值决定了测量的结果 设另一个粒子2 的自旋沿b 方向的投影o b 的取值记为b ( b ，a ) ，依赖 于方向b 和a ，b ( b ，a ) = 士1 理论的定域性意味着a ( a ，1 ) 不依赖于 b ，b ( b ，1 ) 不依赖于a ；关联性要求，对于a = b ，a ( a ，1 ) _ 一b ( b ，c ) ，由于隐 变量l 有一个分布p ( f ) ，rp ( 1 ) d l = 1 在实验中观测到的关联是对隐 变量进行了平均后的结果，即 厂 p ( 1 ) a ( a ，t ) b ( b ，1 ) d l ! ( a ( n ) b ( 6 ) ) ，( 1 4 ) 2 它相当于量子力学的期望值( e p r l a aoa ，b e p r ) 下面考虑粒子1 自旋沿a ( 或o ) 方向的投影与粒子2 自旋b ( 或) 的投影的联系 p = i ( a ( a ) b ( b ) 一a ( n ) b ( ) ) i = i ( a ( n ) b ( 6 ) 1 土a ( a 7 ) b ( 6 ) 】) 一( a ( o ) b ( 6 ，) 【l - 4 - a ( a ) b ( 6 ) 】) i ，( 1 5 ) 考虑到 l a ( o ) b ( 6 ) i 1 ，i a ( 口) b ( 6 ，) i 1 ，( 1 6 ) 不难得到 p 引1 士a ( a ) b ( 6 ) ) + ( 1 土a ( 一) b ( 6 ) ) ，( 1 7 ) 于是，我们有了广义的b e l l 不等式 i ( a ( n ) b ( 6 ) 一a ( n ) b ( 矿) ) i 2 士( ( a ( o ) b ( 矿) ) + ( a ( a ) b ( ) ) ，( 1 8 ) 先讨论两个粒子处于自旋单态的情况取a = 矿；c ( 两个电子沿同一 方向的投影) 对于自旋单态，我们有( a ( c ) b ( c ) ) = 一1 而( a ( 6 ) 日( c ) ) = 似( c ) 口( 6 ) ) 。( 1 8 ) 式化为 ( a ( a ) b ( b ) 一a ( n ) b ( c ) ) l 1 + ( a ( 6 ) b ( c ) ) ( 1 9 ) 这是b e l l 不等式的标准形式，适用于自旋为1 2 的二粒子体系处于 自旋单态的情况可以证明，上列b e l l 不等式与量子力学理论是矛 盾的例如，假设a , b ，c 三个方向依次相差6 0 。的情况，按量子力学， 在自旋单态下，我们可以计算o - - a o a b 在e p r 态上的平均值( 它代 表了对第一个粒子和第二个粒子测量不同方向的自旋时的关联) 由 直接计算可以证明： p o i + i o a ) i e p r ) = 0 ， ( 盯n ) ( 盯b ) = a b + i 盯- ( n 6 ) ， 因此 ( e p r i a n o 口b l e p r ) = 一( e p r l a n 口b l e p r ) = 一a b i e p r i c r o i i e p r ) = 一n - b = c o s o a 6 3 ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 目使大家为之鼓舞的是m a t t l e 等 1 6 】已经利用纠缠光子对在实验 上实现了离散变量量子密集编码而山西大学的彭昆墀等【4 3 ，4 5 ，4 6 已经在实验上利用e p r 纠缠束实现了连续变量量子密集编码及连续 变量受控密集编码 在本论文中第二章介绍量子纠缠及某些特殊量子态的纠缠度； 第三章着重介绍量子密集编码的一些基本知识及离散变量量子密集 编码和连续变量量子密集编码；第四章章介绍了受控密集编码、通 过局域测量进行多粒子纠缠态的量子密集编码、非最大纠缠态量子 密集编码；最后一章为总结和展望。本文的创新之处包含在第四章。 5 第二章量子纠缠 2 1 量子纠缠及度量方式 随着量子信息学的诞生，量子纠缠不仅仅用来证实量子力学的 完备性，它又有了新的应用领域，它是许多量子信息过程的基础， 例如量子密集编码 1 2 】、量子隐形传态【1 9 】、量子密码 2 1 】等等本 质上都是利用了量子纠缠这一基本资源量子纠缠在量子信息论中 的重要地位使得对量子纠缠的定性和定量描述显得尤为重要但是 到目前为止，对量子纠缠程度的描述仍是一个十分棘手的问题现 在只有两体纯态已研究清楚，而对于多体的纯态和混态，怎样描述 量子纠缠的程度仍是待解决的关键性问题量子纠缠存在予由多个 子量子系统构成的量子系统之中，它不同于经典的决定论性质的关 联，也不是同一个粒子的不同自由度间的纠缠，它是不同粒子之间 的一种特殊的量子关联，并且这种关联与表象无关那么到底什么 是量子纠缠呢? 怎样量度纠缠? 在本章中我们对这些问题作一简单 论述，具体讨论一下纯态及混合态的纠缠，纠缠度量方式并计算出 某些纠缠态的纠缠度【2 4 】 对于一个好的纠缠度量方式b 而言，它必须满足四个条件( 1 ) 对 纠缠态要求e ( p ) 0 ，非纠缠态e ( 力= 0 ，最大纠缠态e ( p ) = 1 ；( 2 ) 局 域幺正变换不改变e ( p ) ；( 3 ) 在局域操作或经典通信下e ( p ) 不增加； ( 4 ) 纠缠是凸的，即在丢弃信息的情况下要求。只_ e 慨) e ( 。只胁) 纠缠的度量有部分熵纠缠度、形成纠缠度 2 6 ，2 7 】、相对熵纠缠( r e l a t i v e e n t r o p ye n t a n g l e m e n t ) 2 8 - 3 0 、可提纯纠缠度几种基本方式 a 部分熵纠缠度 当两体量子系统处于纯态1 妒) 舳时，a ，b 之间的部分熵纠缠度定义 为： 埠( 1 妒) ) 兰s ( 舶) 其中，s ( r a ) 为p a 的v o nn e u m a n n 熵： s ( p a ) i - - t r a ( p al 0 9 2p a ) 7 ( 2 1 ) ( 22 ) 其中p a 为纯态1 妒) n b 中的a 体系的约化密度矩阵：p n = t r 。( 1 砂) a 。( 毋1 ) 因为a 和b 总体系处于纯态，有s ( p a ) = s ( 船) ，所以蜀可定义为a 和b 中任何一个的v o nn e u m a n n 熵 b 形成纠缠度( e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n ) 对两体量子态p e ，形成纠缠度毋( 肌。) 的定义为： e f ( p a 口) = r a i n a b ( 1 讥) ) ， ( 2 3 ) ( p i ，i p o i 其中，协，i 魄) 是p n 。的任意一种分解形式，即 p a b = a | 识) ( 甜 ( 2 4 ) l 而日“毗) ) 为1 也) 的部分熵纠缠度，( 2 3 ) 式中求极小值是对p a 。的 所有可能的分解方式求的，l ) 为任意的两体归一纯态，不一定互 相正交形成纠缠度有以下性质： ( 1 ) 当且仅当p 邶为可分离态时，有e r ( 肌。) = 0 ( 2 ) 对于纯态p a e = l 币) 一e ( 吼形成纠缠度与部分熵纠缠度相等 对于两能级体系，即a 体系和b 体系态空间都是二维时，可以将形 成纠缠度直接算出。定义另一个态p p = ( q 0 ) p 。( qo q ) ， ( 2 5 ) 。， z ，b ，h 萋l 夔讳婚喃囊磊豢薹猫篓蕊篓蓉篱一。囊型p a ；紊雾 巍油i ；| i 矗嚣x 。i 霾 o l p a b ；u r 赁j 一! 1 】一s 9 ，i 2 6 1 誊鎏p 2 7 ) 其中 ( z )= 一z f o 现z 一( 1 一z ) f 0 9 2 ( 1 一z ) ， c 相对熵纠缠( 】e l a t i v ee n t r o p ye t a n 舀e m e n t ) 对两体量子态p a b ) ，相对熵纠缠度日( 舶。) 的定义为f 1 1 】： b ( 仃) = 卿删j p ) 8 ( 2 8 ) x 其中舻为非纠缠态集s ( a l l p ) 为相对熵： s ( a t l p ) 三t r ( 口l 0 9 2 口一口l 0 9 2 p ) ； ( 2 9 ) 相对熵及其纠缠度的一些性质： ( 1 ) s ( o l l p ) 0 ，等号成立当且仅当a = p 所以有b ( 0 ，等号成 立当且仅当口是可分离态 ( 2 ) 局域幺正变换不改变相对熵纠缠度 ( 3 ) 局域操作与经典通讯不增加相对熵纠缠度 ( 4 ) 对于纯态， a = 1 皿) ( 皿i = 、面蕊。) ( 。：i ， ( 2 1 0 ) i 1 1 n 2 ( ) 和l 妒。) 分别为体系a 和b 的正交归一基矢) ，相对熵纠缠度等于 部分熵纠缠度，即： e ，( p a s ) = b ( 1 皿) ) = 一p , l 0 9 2 p 。 ( 2 1 1 ) ( 5 ) 如果矿是与p a b 最“接近”的可分离态( 即p 。是使b 取最 小值时的可分离态) ，则矿也是与态 p z = ( 1 一x ) r a b + x p ， 最”接近”的可分离态( 0 z 一，i 卢) 口= i 卢j l j e 例如态i o ) - ol o ) e 和态 击( i o a i o b 1 0 ) ao1 1 ) b ) 都是可分离二体纯态 2 两体纠缠纯态 若描述此联合系统的量子纯态不可以写成两个子系统的量子纯态的 直积形式，则描述此联合系统的量子纯态为纠缠纯态：即二体纠缠 纯态满足如下条件 皿) 口i a ) o i 卢) b( 2 2 3 ) 例如，态击( 1 0 1 ) 彻一i i o ) a b ) 就是一个两体纠缠纯态应当指出，由 子系统a 和b 组成的量子系统的绝大部分纯态都是纠缠的，准确的 说，纠缠态h = h aoh e 态空间是稠密的最简单常用的两体最大 纠缠纯态为b e l l 基分别如下， 旷) = ( i o ) a l l 日+ 1 1 ) a 1 0 ) b ， v 1 旷) 口= 去( i o ) 1 1 口一1 1 ) a 1 0 ) n ， v 1 i 皿+ ) a 且= ( 1 0 a 1 0 ) b + 1 1 ) a 1 1 ) b ， vz 1 皿一) b = 去( 1 0 ) b o b l i ) a t l ) b ， ( 2 2 4 ) 在这里，a 与b 的关联是纯态之间的关联，不同于可分离态下a 和 b 的关联，那是混态之间的关联子体系之间有量子纠缠的最重要 特征是( 由测量造成的塌缩可以知道) ：子系统a 和b 的状态均依赖 于对方而各自都处于一种不确定的状态这样一来，对一个进行测 量必将使另一个产生关联的塌缩在纠缠态中，粒子a 和b 的空间 波包可以彼此相距遥远而并不重叠! 这时它们的自旋波函数仍会产 生关联的塌缩 如何判别一个态是纠缠态? 对一任意两体纯态进行s c h m i d t 分 解，然后依据s c h m i d t 数来进行判断该态是否为纠缠态若一个纯态 的s c h m i d t 数2 ，它必定为纠缠态。所谓的s c h m i d t 分解是指，通过 选取适当的表象，使两体纯态达到如下标准形式的过程 m 1 皿) a 日= ，、，俩1 i ) a 1 ，) b ，( 2 2 5 ) 其中a ( i l j ) = 6 讲b ( i l j ) 。= s c h m i d t 数就是指( 2 2 5 ) 式中不等于 零鼽的个数具体过程可见如下粒子：两体纯态l 西) - ：= 去( 1 0 0 ) z + 西1 0 1 ) 。+ v 信1 1 0 ) l ：+ i t l ) 。：，其部分约化密度算符 如 l 咖) ，：( 曲b ；( 4 1 0 ) ) 3 ， l 皿1 0 ) = ( i o o ) + e 2 ”i 3j 1 1 ) + e 4 1 r i ，怕1 2 2 ) ) 、厅， i 娅2 0 ) = ( 1 0 0 ) + e 4 r i , j l t t ) + e 2 “娟1 2 2 ) ) v 3 ， j 皿0 1 ) = “0 1 ) + 1 1 2 ) + 1 2 0 ) ) 撕， l 皿1 1 ) = ( i o a ) + e 2 + l 撕1 1 2 ) + e 4 ”? d 3 1 2 0 ) ) l v r 3 ， j 皿2 1 ) = ( 1 0 1 ) + e 4 ”i l 瓶1 1 2 ) + e 2 ”1 、3 1 2 0 ) ) 、巧， 2 0 m 0 2 ) 皿1 2 ) m 2 2 ) = ( 1 0 2 ) + 1 1 0 ) + 1 2 1 ) 娟， = ( 1 0 2 + e “以1 1 0 ) + e “瓶1 2 1 ) ) 、，石， = ( 1 0 2 ) + e 4 ”i 瓶1 1 0 ) + e 2 刑以1 2 1 ) ) 怕 ( 3 8 ) 假设a l i c e 和b o b 处于最大纠缠态l 皿0 0 ) 为了实现a l i c e 和b o b 之 间的密集编码需要下列9 个幺正操作( 单体算符) ： 。= ( j ；) ，u 。= ( ie 2 毫瓶。耋以) ， - = ( ；i ) ，巩。= ( ie 4 毫怕。i 娟) ， 砜。= ( ；i ；) ，矾- = ( ；。耋撕e 4 1 r ；娟) ， 巩- = ( ；。曼再e 2 焉撕) ，“。= ( ；铲焉瓶e t 亡而) ， 吣撕计 这9 个幺正操作。作用到i 皿。o ) 后必定落在态空间 i 皿。) ) ，并3 且9 ( ) o 口* z ， 。i o ) = l 皿。) ( 3 1 0 ) a l i c e 对她的粒子实施上述幺正操作中的任一个后再把她的粒子发送 给b o b b o b 再在基矢 i 霍o o ) ，l 量。o ) ，l 。) 下进行测量，那么他就 知道了a l i c e 所做的操作即a l i c e 编码在量子态中的信息，结果b o b 3 4连续变量量子密集编码 现代量子信息理论的一个重要部分是对连续量子噪音通讯通道 的经典信息容量的研究量子密集编码自从首先被提出，在理论上和实验上都取得了很大的进展，但一般都是在离散量子变量中来考 虑量子密集编码，对于连续变量纠缠态来说，它首先被用来实现量子 隐形传态【4 4 ，4 5 】，其实实现高效率的量子密集编码也是可能的 1 5 ，3 5 发送者a l i c e 通过在量子系综当中选定的某个特定量子态来编码经典 的信息被编码的经典信息要通过量子通道传输到接收者b o b 处 如果被蠢耋蔓鄞巳一菊鬟晷爹 要蚤骜墼蚕坠疑撂翼醐薹韵蠢萋 雾酣皲羹雾鋈耩萎击薹曼篓羹篓錾。篓蠹羹壅一l 霎耋鬟篓i 姜 黧鍪一稼塑霞嘶妥誉蠹谗；醉一羹霎毒强喾萋器锄簿攀h o l v e o 墨羹 雨誓雾蓄雩萎a l i c e 器萎銎裂b o b 娄摹藿个相干局域谐振子场来实现a 1 i c e 在编码信息之后， 把模a 发送给b 0 b ，b o b 得到一个双模态i 亩苗) ， 西凳) = 【疗4 ( q ，p ，) oj 。】i 皿嚣) 其中1 皿苗) 是由( 2 3 4 ) 式给出的双模压缩真空态为了提取出a 1 i c e 所 编码的信息，b o b 对处于量子态i 亩2 ) 中的两个正交分量作一个同时 测量。这样一个测量由下面的投影算子组成 贾a 丑= 1 圣a b ( z ，p ) ) ( 圣 暑( z ，p ) l 8 ( z ，p ) ) 是一一岔。和矿+ 护的本征态 矿= 一i ( 6 5 + ) 以，其中 ( 3 2 2 ) 其中圣8 = ( 5 + 甜) 以和 护p 扑去e 蚓m ) 剧蜘e w = 去唧 一抄一；枷埘+ 一肼咿】 l o a ，0 日) ( 3 2 3 ) x 个模作同时测量就能解码出信息来，得到的测量结果是( x , p ) 。如果 a l i c e 和b o b 拥有的双模压缩囊空态有很强的压缩，那么x = ，p = p j 的概率就会很高具体过程如下： a l i c e 有经典信息( 用x ，和功来 表示) 想发送给b o b ，通过对她的模a 实施一个幺正操作扩( 册) 把 x j 和p j 编码到模a 的诱个正交分量中， 驴4 ( z ，功) = e x p 一i x j 筘4 e x p i 缸0 “ = 一印，勺e 【p _ ( 聊童 一。，多a ) 】 其中 妒= ( a + a + ) 讵 矿i ( aa + ) 以， 这个幺正算符也可以写成下面的形式： d 4 ( z ，珊) = e - 哪。j b “( ) ， ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 其中伊( ) = e x p ( # i h + 一心a ) 是模a 的平移算符，心= ( z j + 锄) 讵， 由幺正算符驴( 巧，p j ) 所描述的对模a 的幺正操作可以通过分柬器 ( 简称b s ) 和一个相干局域谐振子场来实现a l i c e 在编码信息之后， 把模a 发送给b o b ，b o b 得到一个双模态i 亩苗) ， - 。a 。b ) = 【疗4 ( z ，p ，) o * b j i ，。a 。b ) 其中1 皿苗) 是由( 2 3 4 ) 式给出的双模压缩真空态为了提取出a l i c e 所 编码的信息，b o b 对处于量子态i “a ，。b ) 中的两个正交分量作一个同时 测量。这样一个测量由下面的投影算子组成 贾a 丑= 1 圣a b ( z ，p ) ) ( 圣 暑( z ，p ) l 8 ( z ，p ) ) 是一一岔。和矿+ 护的本征态 矿= 一i ( 6 一b ) l 以，其中 ( 3 2 2 ) 其中圣8 = ( 5 + 甜) 以和 矿8 ( z ，p ) ) = 忑1 + o o 帅+ 可) 。i 妇 = 去e x p 一j 1 2 一百1 枷+ p a + - t * b + + “+ 】 1 0 a ，0 日) ( 3 2 3 ) 这里l 。) 和l z ) e 是一和岔。的本征态，其中p = 扛+ i p ) l 以。投影 算符满足下面的关系 贾a 8 扛，p ) 2 “8 ( ，) = 6 ( x z 7 ) 6 ( p 一) 戈4 8 扛，p ) r + ，十 d z d p 一8 ( 叩) = p o 严 j - - 0 0j 一。 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 那么a l i c e 发送的信息为，p j 而b o b 的测量结果为x ，p ) 的条件概率 为p ( z ，刮，p j ) ，经过计算为 p 、( z ，p l x j ，p j ) = ( - a 。，b ( 。j ，p j ) 1 2 “。( z ，p ) i - 。a ，b ( 。j ，珊) = ( 西a 。b ( ，p j ) l 中4 8 ( z ，p ) ) ( 西“8 i x ，p ) 面，a 。b ( q ，聊) ) ( 3 2 6 ) = p 、( 。i 。，) p x ( p i 肼) ( 3 2 7 ) 其中 晰= 去( 鲁恻一i 1 ( 菩一嘞2 】 ：= - 亲翥8 x p 一。1 ( 、x - - v 臣y ，) 2 】 ( 3 2 8 ) 。：i i ；i ：；三云8 。p | _ 2 、 e r ，j ( 3 2 8 ) 当a _ 1 时r ( z i ) = 6 ( x 一) 把a = t a n h r ，o = x j + i p j ，卢= z + i p 代 入( 3 2 4 ) 式中得到 p ( 卢l n ) = 兰；e x p ( 一2 e ”1 8 一口、压1 2 ) ( 32 9 ) 假设信号态仅的分布为 p n = 嘉e x p ( - 川2 a 2 ) ( 3 3 0 ) 如果压缩因子r 足够大的话，我们可以提取出信号o l 其中矿是信 号态的平均光子数0 2 = rd a i a l 。p ( a ) 那么平移后的模1 的平均光 子数为冗= a 2 十s i n h 2r 为了计算出通过密集编码通道所发送的信息 量，我们注意到同时测量统计学的非条件概率由下式给出 即) = ；( ，+ e - 2 r ) e x p ( 差磐) ( 3 3 1 ) 描述通过密集编码通道所传输的有效信息的互信息为 h a e n s e ( 枷) = fd 胖n p ( 8 1 啦l n ( 掣) = l n ( 1 + o 2 e ”) ( 3 3 2 1 2 5 如果元是固定的，则当元= e rs i n h r 也就是盯2 = s i n hr c o s h r 时信息是 最大的，因此产生的密集编码的容量为 c “”。= i n ( 1 + 开+ 舻) ， ( 3 3 3 ) 如果r 很大即为强压缩时一”一4 r 下面我们把密集编码的信道容量与单通道编码的容量作一个比 较对于单波色子通道 4 0 ，4 1 l 利用h o l v e o 限可得出：在这种情况下 信道容量( 最大互信息) 可以达到最大值 c = s ( 砧= ( 1 + 磊) l n ( t + 露) 一5 1 n ( 毳) ( 3 ，3 4 ) 把宄= 矿s i n h r 代入上式我们可以发现c 一2 r ，当r 很大即为强压缩 时，密集编码方案所编码的信息至少是单量子通道所编码的信息的 两倍但是密集编码要求通讯的双方拥有纠缠必须注意的是密集 编码并不是总比最好的单量子通道的信道容量要强，如果压缩很小 的话，传输的信息还要少，当r = 0 7 8 0 9 时密集编码与最优单量子通 道通讯所传输的信息相等 我们还可以把双模压缩真空态密集编码与单模相干态通讯相比 较单模相干态信道容量是已知的 4 2 c 。“= l n ( 1 + 而1 ( 3 3 5 ) 可以看出单模相干态的信道容量总是会小于( 3 3 3 ) 式中密集编码的 信道容量比单模相干真空态要改进的是单模压缩真空态通讯单 模压缩真空态的信道容量经计算为 ( 3 3 6 ) 当面 1 时，单模压缩真空态与双模压缩真空态相等要求压缩因子 r 恶。= o 5 4 9 3 ，我们已经说明了怎么用压缩态纠缠来实施连续量 子变量的密集编码如果平均光子数可以调节到厅，则密集编码的信 遭容量计算出为l n 0 + 佩+ 磊2 ) 这个方案总是比单模相干态通讯要 好当甄 1 时密集编码比单模压缩真空态通讯也要好。连续变量量 子密集编码在实验上已经得到了证实 4 3 1 连续变量受控密集编码也 在实验上得到了证实 4 5 ，4 6 】_ 第四章通过局域测量进行多粒子纠缠态的密集编码 两粒子之间的量子密集编码已经推广到多粒子之间和混合态的 密集编码多粒子密集编码方案可以这么理解。有n + 1 个使用者拥 有一个n + i 一粒子的最大纠缠态每一个使用者拥有一个粒子假设 粒子1 可以从其他n 个使用者处接收信息。n 个发送者首先决定 好一个方案：每个人对自己的粒子只能实施某个幺正操作。在实施 完操作后，这n 个使用者把他们的粒子发送给第一个使用者第一 个使用者对他所拥有的n + 1 个粒子作一个联合测量，他就能确定这 个态。因此他就能了解到其他n 个人所编码的信息本章所研究的 是通过引进一个辅助量子比特和实施局域测量研究了( n + 2 ) 一粒子最 大纠缠态中两个任意的固定粒子之间的量子密集编码结果显示通 过这样一个纠缠的量子通道所传输的经典信息通常小于两个经典比 特但是，所传输的信息量有可能达到两个经典比特的信息在研 究通过局域测量进行多粒子密集编码过程中，( n + 2 ) 一粒子最大纠缠 态量子通道所传输的信息量达到最大值为2 比特在这种情况下， 所传输的信息量不依赖于初始纠缠态中纠缠粒子的数目 4 1 受控密集编码 下面讨论受控密集编码【1 4 】。首先考虑利用三粒子g r e e n b e r g n e r - h o m e z e i l i n g e r ( g h z ) 态来实现受控密集编码( c o n t r o l l e dd e n s ec o d i n g ) 三粒子g h z 态为： 吣3 ) = 击( 阳o ) l t 2 3 + m 1 ) 1 2 ，s ) ( 4 1 ) 在这个方案中，g h z 态中的三个粒子分别为a 1 吣b o b ，c l 册所拥有 a l i c e 可发送信息给b 0 b 而第三个粒子的拥有者c l i f f 的局域测量可 充当量子擦的作用a i i c e 和b o b 之间的量子通道由c l i f r 通过测量 来控制而实现a l i c e 和b 0 b 间的受控密集编码假设c l i f r 在下面的基 则量子比特1 和2 将塌缩到最大纠缠态击( i o o ) 。o + 1 1 1 ) 。，。) 前面提到 过用这个态进行密集编码时，发送一个量子比特可以传输两个比特 的信息测量结果为l o ) 的几率是2 s i n pi s , 这也是密