（理论物理专业论文）环境对介观电路系统动力学特性影响的研究.pdf

摘要 摘要 由于实际的介观电路系统总是具有电阻，并处于一定的环境条件下，所以耗 散和环境的量子态对介观电路的动力学特性具有重要的影响。本文应用量子统计 的方法，探索研究介观耗散电路的量子特性。 我们在压缩初态下，研究了耗散的大小对电荷和电流的量子涨落随时间的演 化的影响。过阻尼情况下，电荷和电流的量子涨落随时间呈双曲线函数演化；由 于耗散大，电荷和电流的量子涨落的时间演化是非周期性的，较快地趋向稳定值。 欠阻尼情况下，电荷和电流的量子涨落随时间呈正弦函数作衰减的振荡变化。由 于电路中存在耗散，因而电路中的电荷和电流的量子涨落在长时间极限下总是趋 于一个确定的值，而不是无穷大。 在研究了电路系统的初始量子态对系统量子态演化的基础上，我们进一步研 究了环境声子库的量子态对介观电路的影响。，氏时间极限下( r - - 。o ) ：当 环境处于热平衡态时，电路系统中的电荷和电流的平均值只与电路所处初始量子 态中的平均值有关，与环境无关；环境初态为粒子数态时，电荷与电流的平均值 随时间的演化特性与环境初始处于热平衡态下时完全一样，表明介观电路中的电 荷与电流的平均氆与环境量子态的某组占有数无关；当环境初态为相干态时，介 观电路中的电荷与电流的平均值随时间演化的特性与环境初始处在热平衡态或 粒子数态时都不一样，说明电荷与电流的平均值取决于具体的相干态系综。一般 撼说，电路中龟荷和电流的量子涨落不仅与系统的初态有关，还与系统所处的环 境密切相关。 最后，本文利用l e w i s - - r i s e s e n f e l d 量子不变算符理论，研究了含时介观耦 合电路系统量子态随时间的演化，给出了相应薛定谔方程的精确解，还得到了在 电路系统中几何相位的表达式。 关键词：介观电路；主方程；密度矩阵；特征函数；声子库；几何相位 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ee f f e c to fd i s s i p a t i o na n dt h eq u a n t u ms t a t eo fe n v i r o n m e n ti s v e r y i m p o r t a n tt oi n v e s t i g a t et h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e so fm e s o s c o p i cc i r c u i t ，b e c a u s et h a t r e s i s t a n c ea l w a y se x i s t si np r a c t i c a lm e s o a c o p i cc i r c u i t ，a n dt h ec i r c u i ti sa l w a y si n c e r t a i nc o n d i t i o n s o ，i nt h i sp a p e r , w ei n v e s t i g a t et h e q u a n t u mp r o p e r t i e so f m e s o s c o p i cd i s s i p a t i o nc i r c u i tb yq u a n t u ms t a t i s t i c s w e i n v e s t i g a t et h ee v o l u t i o no ft h ef l u c t u a t i o n so fc h a r g ea n dc u r r e n tw i t ht i m e u n d e rt h ee f f e c to fd i s s i p a t i o n , w h i l et h es q u e e z e ds t a t ei st h ei n i t i a ls t a t e i nt h ee a s e o fo v e r - d a m p i n gc i r c u i t , t h ef l u c t u a t i o n so fc h a r g ea n dc u r r e n te v o l v ew i t ht i m eb y h y p e r b o l i cf u n c t i o n s b e c a u s eo f t h es t r o n gd i s s i p a t i o n , t h ef l u c t u a t i o n so f c h a r g ea n d c u r r e n te v o l v ew i t ht i m ei sn o n p e r i o d i c ，a n dt h e yw i l lt e n dt oc e r t a i nv a l u e s r e s p e c t i v e l y i nt h ec a s eo fu n d e rd a m p e dc i r c u i t , t h ef l u c t u a t i o n so fc h a r g ea n d c u r r e n td a m p l yo s c i l l a t ew i t ht i m eb ys i n n s o i d a lf u n c t i o n s b e c a u s eo ft h ed i s s i p a t i o n e x i s t si nt h ec i r c u i t ，t h ef l u c t u a t i o n so f c h a r g ea n dc u r r e n tw i l ln o tt e n dt oi n f i n i t eb u t t oc e r t a i nv a l u e sr e s p e c t i v e l yi nt h el i m i to f i n f i n i t e l yl o n gt i m e s b a s e do nt h ei n v e s t i g a t i o no ft h ee v o l u t i o no ft h eq u a n t u ms y s t e mu n d e rt h e e f f e c to ft h ei n i t i a ls t a t eo ft h e c i r c u i t ，w ei n v e s t i g a t et h ee f f e c to ft h e e n v i r o n m e n t - p h o n o nb a t ht ot h em e s o s c o p i cc i r c u i tf u r t h e r i nt h el i m i to fi n f m i t e l y l o n gt i m e s ( ，_ o o ) ：w h e nt h ee n v i r o n m e n ti si nt h e r m a le q u i l i b r i u ms t a t e ，t h e a v e r a g ev a l u e so fc u r r e n ta n dc h a r g ed e p e n do n l yo nt h e i ri n i t i a la v e r a g ev a l u e s ，a n d h a v en o t i n gt od ow i t ht h ee n v i r o n m e n t w h e nt h ee n v i r o n m e n ti si nn u m b e rs t a t e , t h e e v o l u t i o no ft h ea v e r a g ev a l u e so fc l m e n ta n dc h a r g ei st h es a m ea si nt h e r m a l e q u i l i b r i u ms t a t e i ti n d i c a t e st h a tt h ea v e r a g ev a l u e so fc u r r e n ta n dc h a r g eh a v e n o t h i n gt od ow i t ht h eo c c u p a t i o nn u m b e r so ft h eq u a n t u ms t a t eo ft h ee n v i r o n m e n t w h e nt h ee n v i r o n m e n ti si nt h ec o h e r e n ts t a t e ，t h ee v o l u t i o no f t h ea v e r a g ev a l u e so f c u r r e n ta n dc h a r g ea r ed i f f e r e n tf r o mt h ev a l u e si nt h ea b o v es t a t e s ，i ts h o w st h a tt h e a v e r a g ev a l u e so fc u r r e n ta n dc h a r g ed e p e n do n l yo nt h ec e r t a i ne n s e m b l eo ft h e c o h e r e n ts t a t e i ng e n e r a l ，t h ef l u c t u a t i o n so fc h a r g ea n dc u r r e n ta r ed e p e n do nt h e i n i t i a ls t a t eo f t h es y s t e ma n dt h ee n v i r o n m e n tt h a tt h es y s t e me x i s t si n h a b s t r a e t f i n a l l y , w ei n v e s t i g a t et h ee v o l u t i o no ft h eq u a n t u ms t a t eo ft h et i m e d e p e n d e n t m e s o s c o p i cc o u p l e dc i r c u i tb yt h et h e o r yo fl e w i s - - - r i s e s e n f e l dq u a n t u mi n v a r i a n t o p e r a t o r w eh a v eo b t a i n e dn o to n l yt h ee x a c ts o l u t i o no fr e l e v a n ts c h r o d i n g e r e q u a t i o n , b u ta l s ot h eg e o m e t r i cp h a s ei nt h es y s t e mo f t h ec i r c u i t k e y w o r d s ：m e s o s e o p i cc i r c u i t ；m a s t e re q u a t i o n ；d e n s i t ym a t r i x ；q u a n t u m c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n ；p h o n o nb a t h ；g e o m e t r i cp h a s e i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：铆寸签字日期：毋厂月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生学院有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生学院可以将学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：却寸 签字日期：a 年j - 月万日 导师签名 签字日期 日 第一章综述 第一章综述 1 1量子理论与量子信息技术 纳米科技是8 0 年代末逐步发展起来的前沿交叉学科领域。纳米科技在信息、 材料、能源、环境、化学、生物、医学、微电子、微制造和国防等方面具有广泛 的应用前景，己成为全世界关注的重要科技前沿，显示出巨大的潜在应用前景。 纳米科技将大大拓展和深化人们对客观世界的认识，使人们能够从原子、分子水 平上制造材料及器件，并将带来信息、材料、能源、环境、医疗与卫生、生物与 农业等领域的技术革命。纳米科技的研究和发展既依赖于众多学科的理论、实验 研究的现有基础和进步，也为这些领域的发展提供了新的机遇。 纳米技术中最重要的一个分支领域是纳米电子学( n a n o e l e c t r o n i c s ) 。在 信息社会中，电子学的应用显得越来越重要。信息的获取、放大、存储、处理、 传输、转换和显示，每一样都离不开电子学。电子学技术未来的发展，将以“更 小，更快，更冷”为目标。“更小”是进一步提高芯片的集成度，“更快”是实 现更高的信息运算和处理速度，而“更冷”则是进一步降低芯片的功耗。只有在 这三方面都得到同步的发展，电子学技术才能取得新的重大突破。美国国防高等 技术研究厅( d a r p ) ，不久前提出的超电子学( u l b ee b o t m l l l c s ) 研发计划， 就是根据“更小，更快，更冷”的发展目标，要求未来的电子器件要比现有的微 电子器件的存储密度高5 一l o o 倍，速度快l o 1 0 0 倍，而功耗则要小于现在器 件功耗的2 倍。最终希望达到“双十二”，即1 0 1 2 位的存储器容量( it e r a b i t ) 和每秒1 0 1 2 次的运算器速度( 1 0 0 0 亿次s ) ，且廉价而节能。要实现这一目标， 电子器件的尺寸将必然进入纳米技术的尺度范围，即要小于l o o n m 。这表明，随 着人类对芯片的要求越来越高，在不久的将来，微电子器件和电子电路必将过渡 到纳米电子器件和量子电子线路，使其成为2 l 世纪信息时代的核心。 在现今自然科学的发展当中，以量子力学为代表的基本物理学理论不仅在认 识客观事物世界方面发挥了根本性作用，而且导致了一系列重大高新技术的变 革。量子力学的诞生还深刻影响并改变了人类社会：在2 0 世纪推动了社会发展的 核能，激光，半导体等高科技，都是源于量子力学。 在宏观经典领域中，人们可以根据自己的意愿来设计各种经典系统，用以 实现期望的功能。在量子世界中，描述量子系统的是态函数，它具有几率幅的意义， 态函数的演化遵从薛定谔方程。著名物理学家f e y n m a n 曲经说过：量子力学的精 第一章综述 妙之处在于引入几率幅( 量子态) 的概念。量子力学的这些特征在经典物理上没 有对应的概念，因此我们不能完全运用宏观经典的方法来制备一个特定的量子 态。对各种量子态的操控不仅在验证量子力学基本原理方面具有重要的意义，而 且在其他相关的领域，尤其是在量子信息论领域更起着举足轻重的作用。在量子 通信、量子密码术和量子计算机中，我们知道量子态是信息的载体，所以量子信息 的加工处理归根到底是一种量子态的操纵过程。 量子力学与量子信息学的关系已被广泛研究。1 9 8 1 年，f e y n m a n 最先提e p r 关联是一种像质量，能量那样的资源，我们在原则上可以利用量子力学系统态的 纠缠实现比经典信息量传输大得多的量子信息的传输，这一假说确定了量子信息 论的开端。量子信息学主要是利用微观粒子作为载体，凭借着量子力学所特有的 一些性质：不确定性、相干性、纠缠等，可以完成一些经典的通讯、计算、密码 学无法实现的任务。 近十多年来，随着s h o r 量子因子分解和g r o v e r 量子搜索算法的发现，量 子计算和量子信息的研究已取得不少令人鼓舞的成绩。与其相应的物理实现 量子双态体系的理论与实验研究也取得巨大的成就。目前，已有多种量子位的实 现方案：核磁共振( 用磁场中的原子核自旋作为量子位) 、离子阱( 用被俘获在 线性量子阱中的离子作为量子位) 、光子的正交偏振态等等。这些方法在拥有各 自优点的同时，却都由于自身不可克服的原因而不能镶嵌到规模化的电路中去。 要想将量子比特集成为相当大的规模，不得不采用固态量子比特体系纳米电 子器件及其集成电子电路。能够镶嵌到规模化的电路中去的g a a s 量子点方法、 硅基核自旋方法、超导j o s e p h s o n 结等固体量子位的研究得到较快的发展。如日 立剑桥实验室采用d 膜夹在厚3 5 r a n 硅薄膜上下两侧的s o i ( 绝缘体上的硅) 结构研制成由2 个硅量子点连接而成的“双重量子点”量子比特。通过控制 量子点中的电位，生成0 和1 的迭加状态，在2 5 m l t z 工作频率下实现了2 0 0 n s 的相干时间。这种量子比特具有“以二维方式排列后使之相互发生电容耦合的简 单手法”进行集成的优点。 需要指出的是，各种固态量子比特体系的实现都要应用到量子电子线路。 要实现纳米电子器件和纳米电子线路，有两种可能的方式；一种是将现有 的集成电路进一步向微型化延伸，研究开发更小的最小线宽的加工技术来加工尺 寸更小的电子器件。这种方法只是尺度上的缩小，电子器件的构造并不发生根本 的改变。现行的微电子器件( 如场效应晶体管，f i e l d - e f f e c tt r a n s i s t o r , f e t ) 功耗 第一章综述 较大，它无法满足对器件“更冷”的要求。著名的莫尔定律( m o o r e s l a w ) 预言； 每隔1 8 个月新芯片的晶体管容量要比先前的增加一倍，同时性能也会提升一 倍”，事实已经证明，在过去的3 0 多年里，莫尔定律准确地代表着芯片技术的发 展趋势。但是，随着集成电路的集成度越来越高，晶体管的尺寸和集成电路的最 小线宽越来越小，莫尔定律受到了极大的挑战。因为按照莫尔定律的发展趋势， 1 0 年后的2 0 1 0 年微电子器件的尺寸和集成电路的最小线宽都将小于l o o n m ，而 目前的光刻技术能够加工的最小线宽为1 3 0 h m ，达到现代微电子学光刻加工技术 的极限( 物理限s j l ) 。另一种方式是研制与当代集成电路完全不同的，利用纳米 结构的量子效应而构成的全新量予结构体系，它包括新型的量子器件，如单电子 晶体管，单电子存储器，单原子开关等，以及可能用于量子系统的零维的量子点 ( q u a n t u m d o t ) ，一维的量子线( q u a n t u m w i r e ) 和二维量子阱( q u a n t u m w e l l ) 等。 1 2 介观电路研究现状 l o u i s e l l ”是第一个讨论l c 电路量子效应的物理学家，他把l c 回路的动力 学行为等效为一个量子谐振子，讨论了在真空态下l c 回路的量子效应并给出了 这一回路的电荷与电流的量子涨落。在此基础上，人们从不同的角度研究了介观 电路的量子动力学行为【2 “。若不考虑介观电容器极板间电子波函数的耦合效 应，人们研究了介观电路的电荷及电流在真空态，压缩真空态等量子态下的量子 特性，研究比较了不同的量子态对电路动力学特性的影响。 通常在宏观情况下，电子穿过金属绝缘体一金属结时，由于常温下热涨落 的影响，掩盖了电子隧穿过程引起的静电能的变化。但是在介观尺度下，由于介 观尺度实际上和载流子保持相位记忆的相干长度相当，因而电子穿过金属一绝缘 体金属结时，静电能的变化会引起奇异的量子效应。同样地，介观电容器作为 一个隧道结，其两极板中的电子波函数会形成一定强度的耦合；而当极板中电子 波函数的耦合不可忽略时，介观l c 电路的动力学行为就应等效为一个非线性量 子谐振子。为此计入介观电容器极板间电子波函数的耦合效应，人们又进一步研 究了非线性的介观l c 电路系统量子态的演化【4 】。结果表明：如果初始时刻系统 处于真空态，则由于外加冲激函数信号的作用，系统由初始的真空态演化到相干 态，再由相干态演化到相干态的迭加态一薛定谔猫态，并呈现出压缩效应。 在介观尺度下，我们不仅要考虑电子相位的相干性，而且必须考虑电荷的量 第一章综述 子化效应。陈斌等人门首先提出了电荷离散的介观电路量子理论并给出电荷电 流测不准关系和最小测不准波包。推出l c 回路的m a t h i o u 方程，用纯l 回路 观点导出介观环上持续电流的公式，用纯c 回路解释了库仑阻塞，发现耦合介 观电路中有非对易几何结构。在考虑电荷量子化效应的基础上，研究了介观耗散 电路中的库仑阻塞现象，电子的隧道贯穿，电荷与电流的量子涨落等等。基于电 荷是量子化的基本事实，人们还研究着重研究了外加磁场和耦合因素对金属环中持 续电流的影响m ”，结果表明：在磁场作用下，金属环中的持续电流总是存在由耦 合效应引起的直流分量，当外加磁场随时间作正弦规律变化时，持续电流中出现多 频率的交变分量，此时介观耦合金属环中出现倍频，分频效应。范洪义等人考虑电 荷量子化效应的基础上，提出了另一种量子化方案，即在双模f o c k 空间构造电 荷算符和平移算符，在纠缠态表象中得到了电荷的本征态，进一步研究了电荷的 量子化效应。 。 范洪义【8 】等人还应用热场动力学理论( t f d ) ，研究了温度对介观电路系统 的非经典量子特性。在该理论中，为了考虑有限温度下的情况，t f d 除了希尔 伯空间外，还引入了一个对偶空间，称为t i l d e 空间。在由这两个空间构成的直 积空间中，自由度增加了一倍。对于每一个算符j ，在t i l d e 空间中也存在一个 相应的t i l d e 算符彳。对于场态中的每个真实模，也存在一个相应的”虚拟”模， 即t i l d e 模，因此在这样的直积空间中的态相当于一个双模态，一个真实模和一 个t i l d e 模。例如，在这样直积空间中的真空态是热真空态f 筛) ，相干态是热相 干态i 硪) 。从而将有限温度下的热直积空间与零温度下的直积空间可由一个热 化算符联系起来，有利于探索有限温度下系统的量子特性。 制备各种量子态及探索量子态的特性是量子光学的重要研究课题。对各种量 子态的操纵不仅在验证量子力学基本原理方面有重要的意义，而且在其他相关的 领域也发挥着巨大的作用，尤其在量子信息领域更起着举足轻重的作用。在量子 通信、量子计算机和量子隐形传态中，量子态是信息的载体，量子信息加工处理 归根到底是对量子态的操纵过程。因而，人们提出了许多制备量子态的方法。例 如，在数态上作用压缩算子得到压缩数态、在相干态上作用得到压缩相干态，还 可以得到压缩热态、压缩克尔态等等。近几年来，随着对介观电子器件和介观电 子线路研究的深入，人们对用电子学方法制备量子态也产生了浓厚的兴趣”， 因为相比于光学方法【i ”，用电子学方法制备量子态无需太苛刻的宏观条件。现 有的初步研究结果业已表明：若不考虑介观电容器极板间电子波函数的耦合效 第一章综述 应，则无耗散介观l c 电路的动力学行为可等效为一个量子谐振子；且在时变外 源作用下，电路参数不变的非耗散介观l c 电路将由初始的真空态演化到相干态； 通过保持非耗散介观l c 电路的固有频率不变，而使电路参数作阶跃函数变化， 就可将介观l c 电路由初始的真空态经相干态而演化到压缩相干态，并由此进一 步分别制备出电荷与电流的压缩最小测不准态。进而人们还进一步研究了利用介 观l c 电路制备压缩偶相干态的方案。最近，研究人员又提出了将介观l c 电路 与超导j o s e p h s o n 量子比特相结合探测介观量子系统的量子态的实验方案f l “”。 1 3 本文的研究工作 实际的量子电路系统总是或多或少有电阻( 耗散) ，耗散会对系统量子态的 产生和演化产生不可逆的影响，破坏量子相干性，介观电路系统或量子比特会从 具有相干性的量子态变成不具有相干性或相干性大量减少的经典、半经典状态， 大大降低以后量子信息处理的效率。 。 研究人员从集中电路参数和分布电路参数的角度研究了介观耗散r l c 电路 的量子效应 1 6 , 1 7 1 ：也基于电子声子的相互作用，探讨了环境处于热平衡态下 介观耗散电路的量子态的动力学演化【1 ”“。我们的研究工作是基于电子声 子的相互作用，应用量子统计的方法进一步探讨介观耗散电路的量子特性。我们 的主要工作是： 1 通过量子特征函数，我们研究了当环境声子库处于热平衡态下，介 观电路系统的初始压缩态对量子电路的动力学演化及量子特性的影响，以及耗散 的大小对电路中电荷与电流量子涨落的影响。 2 为了深入探讨介观电路系统的量子动力学特性，我们研究了环境的量子 态对量子电路系统动力学特性的影响。在旋波近似下，比较分析了声子库在三种 不同的初始态下电荷与电流的量子涨落。 3 考虑到量子相位在量子调控中的重要作用，我们对电路参数与时间有关 的介观耦合电路的量子几何相位作了初步的探讨。 第二章理论基础 第二章理论基础 量子系统的量子特性可以采用不同的描述方法，在描述量子系统的状态时， 还常用到相干态等概念。在本章中，我们简要介绍后面所要用到的密度算符、相 干态等相关的基础理论。 2 1 密度算符 在量子理论中，当量子系统所处的状态，由于统计物理的原因或量子力学 本身的原因无法用一个态矢量来描写时，常采用密度算符来对它进行描述。 冯诺伊曼首先提出用密度算符代替态矢量来描写微观状态，引入密度算符 可以统一描述“纯态”和“混合态”。 纯系统是由同一种纯态i 甲o ) ) 组成的体系的集合。纯态l 、壬，( f ) ) 可由系统任一 物理量的本征态矢l 、王0 ) 的叠加来表示： f 甲p ) ) = c ：( f ) i 、匕) ( 2 1 ) 其中，j c 。( 0 1 2 表征系统处在本征态l 咒) 的概率。 混合系统是由许多不同的态矢量i o ) ) ( j = 1 ，2 ，3 ，n ) 描写的子系统所组 成的，由态矢量l o ) ) 描写的子系统在整个系统中以一定的概率弓出现。 由上可见，纯态是某些组分态的相干叠加态，而混合态则是各组分态的非相 干叠加。纯态的概率i q ( f ) 1 2 是量子力学对系统固有量子属性的反映，而弓不是 系统的固有属性，它们完全由每次测量的结果确定。 2 1 1 密度算符的定义 对于任意系统而言，力学量五的平均值为 ( j ) = 老弓( 一旧_ ) ( z 1 2 ) 式中 f 弓1 ：， lj ( 2 3 ) 第二章理论基础 ( 2 2 ) 式表示求一个力学量的期望值，先进行量子力学平均_ 由态矢量的几 率性质引进；而后进行统计平均由系统所处的可能态的统计性质引进。 取一组基矢 n ) ，利用其完备性关系l ”) ( f - 1 有： o ) = 粪善c ( _ l 埘) ( m 阔珂) ( 一l 一) 定义密度算符p ： p = i 皿( i ( 2 4 ) 则有 ( 五) 2 善莩弓( n l _ ) ( _ l 辨) ( 掰旧拧)( 。5 ) = t r ( a p ) 显然，只要知道密度算符p ，就可得出( 五) ，从而了解量子系统的性质。 2 1 2 密度算符的基本性质 密度算符p 具有下面几个基本性质 i 密度算符的迹等于l ：t r p = 1 h 密度算符平方的迹为： 打刍2 藿粒 7 记忆删时这种近似采样能够成功。 量子理论中研究开放系统，也就是量子体系子系统时有种常用的方法一主 方程方法。将环境和量子系统看成一个封闭体系，这时可以用薛定谔方程或v o n n e u m a n n i ”1 方程来求整体态或密度算符，再对求出的态将环境的效应平均掉，即 做求迹运算。但是，往往求解总的态或密度算符非常困难，而且很可能不能给出 解析表达式，原因是考虑环境因素则引入了一些参数，使问题复杂化。所以通常 的做法是先对幺正演化方程的环境态求迹，得到关于量子体系的约化密度算符满 足的微分方程，即主方程，再对主方程求解。 第二章理论基础 下面来看混态的演化化方程主方程的推导，在推导主方程时，应保证满 足制约条件7 靖化 7 租牲 。f 记忆。 给定初条件的混态演化基本方程主方程是决定量子体系子系统( 有时也 称该予系统为开放系统) 的约化密度算符在环境或热库影响下随时间演化规律的 方程。一般应当是一个不等时( 按因果规律应当具有各种程度的时问延迟) 的微 分方程，仅在完全忽略累积效应的最低阶m a r k o v 近似下才简化为一个( 等时的) 微分方程。 主方程的导出主要有以下几种基本方法：p a u l i z w 8 n z i g 方法闭，l o u i s e l l 方法”，超算符方法删。其实l o u i s e l l 方法可以看作z w a n z i g 方法的一种特殊 的情况，即投影算符为对热库的求迹运算，并加上m a r k o v 近似。下面选择最简单 的超算符的方法一从k r a u s 表示出发来导出它。 如果体系a 为孤立系，幺正演化下其密度矩阵的时间演化为 掣= e x p h 警k ( 0 ) e x p 【7 i h t 】 将它推广到m a r k o v 近似下开放系统的非幺正演化过程。这时假定 趔, i t = 护( 1 ) 移。o ) i ( o ) 。危( o 妙矗( f ) ；( f 屯( o 为 ( 2 9 ) 这里，线性超算符球) 被称作l i u d b l a d 算符。它将初始时刻的p 。( 0 ) 映射为t 时 刻风o ) 的导数。如果要求它不仅是线性的，而且是完全正的、保迹的和强连续 的，就可以从体系a 和环境e 相耦合的k r a u s 方程出发，来揭示它的作用。考虑 0 专d t 的演化，得 令 伽。 ) ；s 。( o ) ) - - e m ，( n ( o m ：( d r ) m ，劬产。( i u 。如】o ) 。 p ( 2 1 0 ) 第二章理论基础 u a e ( 出) = k - l 壳h d t m 。 。( o 协概文+ ( 一言h a + k a l d t c ”， m ，( 出净。伍l u 。( 魂】o ) 。= - 5 ，瓶 这里，u 似) 中含出部分的h = h 。+ h e + h e 是耦合系统的h a m i l t o n 量，h 项 是a 体系的哈密顿量。第二个方程的小实部k 表示相互作用h 。在经受环境e 基态平均后，环境对体系a 状态的耗散。就是说，实部 r e m 。似) = 鼬 e ( o i u e 毋l o ) 。j i 。表示，当环境由l o ) 。- , i o ) 。的同时，体系a 并不仍然全部留在原来状态上，而是以一定概率( 因相互作用纠缠而产生) 向a 其它状态的跃迁。这种现象，单从对a 的观察而言，相当于是a 原来状态的一种 耗散。式( 2 1 1 ) 中第三个方程是针对 0 的，这是( 不像m 。的情况) 环境状态 有跃迁的一种中介过程。这里、出表示是考虑到k r a u s 表示关于m 。为双线性的， 这从下面推导中可以看得清楚。将式( 2 1 1 ) 代入式( 2 1 0 ) ，得 风协) = m o ( e o p 一( o 灿；忙) + 萎m 一( d 0 r a 0 ) m ：( d ) = 1 + ( 一i ih + 等。 以国) t + ( 寺h 。+ k 。) + ( _ 以，五k ( o 她，删 兰 ( o ) + ( 一寺h + k 。) ( 0 + 办( o ( 丢h 。+ k 。 出 ，+ l a ，风( o 磁，d t “加， 即 垒刊。= ( 一丢h + k 一 以( o ) + ( o ( 云h 。+ k + 嘉厶，风( o 以。 将此方程的时间原点改变为t ，得 叠掣：一委【h 。，风o ) 】+ k 既( f ) + 风( f 泳+ 风( f 獗， 讲刀 面 ( 2 1 2 ) 第二章理论基础 为了求出k 与上枷的关系，注意到 i = m ：陋砷， ) = i 。+ ( 寺h + k 。) 班 i 。+ ( 一h a + k a ) 出 + 萎t ，k ，毋 = i + 2 k 击+ t ，三d t 于是有 k = 一去疋，l 却 ( 2 1 3 ) 这里，算符扛。 称为l i n d b l a d 算符或量子跳变算符。它们体现前面所说的，体 系a 与环境e 相互作用导致的对a 状态的耗散部分。将式( 2 1 3 ) 代入( 2 1 2 ) ，略 去脚标a ，即得l i n d b l a d 方程 掣= 一云 h ，p o ) j + 萎p ，p ( r ) e 一三e e p o ) 一三ip ( f ) e 厶) ( z a ) 上式就是开放系统的密度矩阵演化主方程的最常见的形式。事实上，主方程中 巧p 出是厄米的，并且是保迹驴a t ) = 0 ，这意味着计入耗散后概率守恒。 方程( 2 1 4 ) 在混态演化中的地位与薛定谔方程在纯态演化中的地位几乎一 致。其中第一项是通常的薛定谔方程项，它生成幺正演化。其余项描述了体系和 环境相互作用使体系经受的可能的跃迁、耗散和遐相干。含有量子跳变算符戡 的求和项共有三个：第一个求和中的每一项工。加减诱导一种量子跃迁；后两项 是为了在无跃迁情况下归一化所需要的，也就是方程保迹所需要的。 2 5 特征函数 在量子理论中有一类重要的函数称为特征函数，利用它可以方便地计算某个 物理量的各阶矩，因而又称为该物理量的矩生成函数。 在对量子问题的分析时，很多时候不仅要求物理量算符的期望值，还要求其 幂次的期望值。例如在计算物理量五的方差时，就要知道j z 的期望值。我们称j 的n 次幂的期望值( 五4 ) 为该算符的”次矩。 第二章理论基础 为了计算物理量j 的各次矩，定义一个c 数函数： 托g ) = f ) = 扩够e 蝤) ( 2 1 4 ) 掌为一个实参量a 彳的任意次幂的期望值都可以通过上式对孝的微商来得到： ( 呤- 卜矽参以例鲫 眨1 5 ) 舭皓) 称为算符量的特征函数。反过来，知道了各级0 ”) ，也就确定了相应的特 征函数 肌伊；翕( 五“) 手” ( 2 1 6 ) 显然，可以很方便地把单个算符的特征函数推广到一个系统的特征函数，这时j 用系统的一组动力学算符来代替。 2 6 量子几何相位 2 6 1 绝热近似 对于含时哈密顿量的体系，s c h r 6 d i n g e r 方程 旃昙叭) ) = 删o ) ) ( 2 1 7 ) 的求解，一般比较困难，往往需要用近似方法，绝热近似适用于疗o ) 随时问变化极 为缓慢的情况。设疗( ，) 的瞬时本征方程为 肌l ( f ) ) = e ( f l n ( f ) ) ( 2 1 8 ) 卜o ) ) 是包含膏o ) 在内的一组力学量完全集的共同本征态，力是一组完备的量子 数，e ( f ) 为瞬间能量本征值，一般要随时间变化。作为本征态，i 胆( ，) ) 具有相位 ( 可以含时) 不定性。设体系初态处于疗( o ) 的某一瞬时本征态i5 f ，( o ) ) = i 研( o 。在 f 0 时刻含时哈密顿量的体系，能量不守恒，不存在严格的定态，体系会发生量 子跃迁。l y ( ，) ) 应该表示为所有l n ( f 的相干叠加 l 妒e ) ) = 军( o o x p 一寺j e o l 押( f ( z ，。) 第二章理论基础 上式中k 纠2 表示在，时刻测得体系处于i 聆o ) ) 态的概率。一般情况下，l y o ) ) 很 难求解，需要用近似方法来处理，但如果疗( r ) 随时间变化足够缓慢，则可以用量子 绝热定理来处理。 量子绝热定理：设体系哈密顿量青( f ) 随时问变化足够缓慢，初态为 i ( o ) ) = i 聊( o ) ) ，则f o 时刻体系将保持在雷( f ) 的相应的瞬间本征态l m o ) ) 上 从绝热定理的物理内容来讲，就是要求( 2 1 9 ) 式中所有珂m 项的k ( f 1 2 非常小， k 2 “l ，即从i 所( o ) ) 态到所有i h ( f ( 以m ) 态的跃迁可以忽略，因而体系才 可能保持在i 卅g ) ) 态。把式( 2 1 9 ) 代入& 柏蛔方程( 2 1 7 ) ，利用式( 2 1 8 ) ， 得 访渺) 斗批m + 历车( f ) e x p 一云f 瓦o 净l 卉o ) ) = ol 。 j 用( m 0 ) f 左乘上式( 取标积) ，得 、 驴母叶渺紫侧( m 、 ( 2 ：。， m m l 廊) 一窑c x 吐一云f 奴”e 咐】j ( 聊i 麻) 上式即妒( r ) 的展开系数o ) 所满足的联立方程组，一般求解是很困难的。绝热定 理成立的条件是式( 2 1 9 ) 中只需保留n = 脚项，即式( 2 2 0 ) 右边所有栉m 的项可以略去。式( 2 2 0 ) 对f 积分后，即可求出展开系数4 。( r ) ( 无量纲) 。在绝 热一级近似下，”m 项可以略去的条件为下列无量纲量 剖“州对胁圳 ( 2 2 1 ) 上式左边既绝热参量。上式的物理意义是：体系的瞬时本征态随时间变化的频率， 比体系的内禀特征频率i 。一e 】壳要小的多。瞬时能量本征态方程( 2 1 8 ) 难j t 微分，得 警+ 百8 i - 1 = 警+ e i 疗( f ) ) 第二章理论基础 用仞o ) f 左乘，得 所以， 驯妒篙胁肼) 眨z z ， 综合式( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) ，量子绝热定理适用的条件是：下列无量纲绝热参量远小 于1 ，、 l 剁e - e 。= “一觯聊， z s ， 当此条件满足时，体系从瞬时能量本征态l 肌( o ) ) 跃迁到所有刀朋的瞬时能量本 征态j 胛o ) ) 的概率就可以忽略，因而能保证体系保持在与i 矾( o ) ) 相应的瞬时能量 本征态j 脚o ) ) 。 设体系膏( f ) 随时间变化足够缓慢， ( 2 2 0 ) 就化为 a 。= 一m 廊净。 能保证绝热近似条件( 2 2 3 ) 满足，则式 警 积分后得 舻叫一肭廊) 廊”) 因此，如体系初态i ( o ) ) - - i r a ( o ) ) ，即a n ( 0 ) = 酝，则在绝热近似下， o ) 中所有玎埘项都忽略，因而 妒( ，) ) = e x p 【f q 。( f ) + ( f ) ) 】挪( f ) ) 式中 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 式( 2 1 7 ) 解 ( 2 2 6 ) o ) = 一云f 既m ( 2 2 7 ) 虼o ) = f j ( m f 历冲 ( 2 2 8 ) 口。( f ) 即大家熟悉的动力学相，它只依赖于瞬时本征能量暑，( ) 随时闻的变化。在 h 不含时情况下，e ，不随f 变化，口。( f ) = 二；等。与此不同，) ，。( f ) 依赖于 第二章理论基础 似l 廊) = 端，依赖于能量本征态i m ( r ) ) 随时问的变化。利用瞬时本征态的归 一化条件，可以证明( 廊i 肌) 为虚数，所以( f ) 为实数ay 。o ) 是在绝热近似下出 现的，所以y 。( f ) 称为绝热相。 2 6 3b e r r y 相位与l w e i s 相位的关系 一含时不变量，o ) 的本征态般不满足薛定谔方程，但考虑到含时不变量，o ) 的本征态有一个含时相位不定性，当添上一个合适的含时相因子后，就可以满足 薛定谔方程，这就是l w c i s 相因子。m o r a l e s l 4 1 1 计算了广义谐振子的l w c i s 相因 子，发现l w d s 相因子在渐近近似下的表达式与b e r r y 相因子相同。这表明l w e i s 相因子和b e r r y 相因子之间存在一定的联系。文献( 4 2 ) 证明了一类含时哈密顿 量，存在一个不变量， 卜q 气，i 磐阮即助；+ 一 ( 2 2 9 ) = 足o 归+ e w ( t ) + o o ) 一7 其中e 为渐近参量，满足导：e 导 珊dr 此不变量在渐近近似下：有着特殊的形式，在渐近极限e 斗o t ，有 删= l 。i 。m a # = 觐j ( 州珈( r ) ) g 删 其中以( c ) 为b e r r y 相因子，为l w e i s 相因子 2 7 相干态 光场的量子特性采用不同态函数描述可以更加清晰。描述光场的态函数常用 的有f o c k , 态、相干态、压缩态、热场等，下面我们主要介绍下相干态。 相干态的波函数具有最小不确定度，在量子力学所允许的范围内，最接近于 经典场。数态场具有确定的幅度，但相位完全不确定，而处在相干态的光场的相 位、幅度的不确定度完全相等。 谐振子系统的哈密顿量为 疗：尘三- + ! m ：量： 2 m2 、 ( 2 3 1 ) 第二章理论基础 疗；而文a + a + 丢) c z s z ， 定义产生算符和湮灭算符 五：p - z m o y ：五+ ：_ p + i m 0 2 2( 2 3 3 ) 4 2 m c o 蠹2 聊