（光学专业论文）量子信息中隐形传输与逻辑操作的理论研究.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 i 摘 要 摘 要 目前，随着人们对信息的需求日益增加，人们将会逐渐将现有的信息系统功能 开发至最大极限。因此信息科学的进一步发展势必要借助于新的原理和方法，于是 将量子力学与信息科学相结合而产生的一门新兴学科量子信息学便产生了。量子 信息用量子态编码，具有经典信息没有的特殊性质，其特有的量子纠缠特性使得量 子信息理论比经典信息科学在某些方面更具有优势。 本论文的工作主要分为以下五个方面： (1)阐述了原子与光场的相互作用。原子与光场相互作用理论是利用原子腔系 统实现量子信息操作的理论基础。加深对原子光场相互作用系统演化规律 的了解，有利于基于原子腔系统量子纠缠态制备方案的研究。本文将重点 介绍三种制备纠缠态的方法：原子腔系统中原子纠缠态制备，两模光场纠 缠态的制备，参量下转换器光子纠缠态的制备。 (2)介绍了量子通信与量子计算的基本理论。主要阐述了量子比特、量子门、纠 缠态、隐形态传输、量子不可克隆定理、量子稠密编码等基础理论知识。 (3)分析了量子逻辑操作。主要通过线性光学元件，辅助光，路由选择原理，bell 态测量及泡利变换，最终可实现一系列量子逻辑操作。 (4)讨论了基于电荷探测器的电子的隐形态传输与量子逻辑运算方案，有效地提 高了操作的成功概率。该方案主要利用电荷探测器、bell 分析器、hadamard 门变换、辅助电子及电子偏振光束分离器。 关键词： 关键词： 量子通信 纠缠态 电荷探测器 隐形态传输 量子逻辑操作 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 ii abstract abstract with the increasing demand for information technology, people are developing information system to the maximum of its potential. further development of information science entails new principles and methods, and thus a new field which makes use of both quantum mechanics and information science, called quantum information, was born. coded as qubit, quantum information has unique properties, which manifests itself in the so-called entanglement, showing great advantages over classic information in some places. this thesis focuses on quantum teleportation and quantum computation based on charge detector, which consists of the following parts: first, atom-field interaction is introduced. atom-field interaction theory is the basic knowledge of quantum information operation using atom-cavity systems. it is helpful to research how to prepare entangled states based on atom-cavity systems via knowing about deeply the evolution of atom-cavity interaction systems. in this thesis we will introduce methods of preparing entangled states via three main types: atom entangled states generation through atom-cavity interaction, entanglement preparation between two-mode light field, and photonic entanglement preparation via spontaneous parameter down-conversion (spdc). second, fundamental concepts of both quantum communication and quantum computation are described, such as qubit, quantum gates, entanglement, teleportation, quantum no-cloning theorem, quantum dense coding, etc. third, quantum logic operation is discussed in detail. quantum logic operation can be implemented by devices using linear optics elements, ancilla photons, post selection, bell state measurement and pauli transformation. finally, we propose a scheme about electronic teleportation and quantum logic operation based on charge detector, which effectively improves the success probability of quantum operations. to realize the scheme we made use bell analyzer, hadamard gate transformation, ancilla electron and electronic polarizing beam splitters. 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 iii keywords: quantum communication entanglement charge detector teleportation quantum logic operation 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 1 绪 论 1 绪 论 1.1 量子信息的概述 1.1 量子信息的概述 量子信息是以量子力学基本原理为基础的，它以微观体系的量子态作为信息载 体，通过量子系统的各种相干特性如量子并行、量子纠缠以及量子不可克隆等性质 进行计算、编码和信息传输的新信息传输方式。 量子计算机的概念起源于可逆计算机的研究。在计算机的发展中，小型化和高 度集成化是一个重要的目标，但是随着芯片体积的缩小和集成度的提高，计算机的 能耗对芯片的影响越来越大。能耗制约着集成度，也限制着计算机的运行速度。能 耗产生于计算过程中的不可逆，从物理学原理上讲，如果将不可逆操作改造为可逆 操作，就可以实现无能耗的计算。在量子力学中，可逆操作可以使用一个幺正矩阵 来表示。量子计算机本质上是利用了量子相干性1，量子态的可叠加性，量子计算机 对每一个叠加分量实现的变换相当于一种经典计算，所有这些经典计算同时完成并 按一定的概率叠加起来， 最终给出输出结果， 这种信息处理的方式叫量子并行处理2。 量子并行处理提高了量子计算机的效率3,从而能完成经典计算机很难完成的工作。 但是，在实际系统操作中量子相干性很难保持。在量子计算机中，量子比特不是一 个孤立的系统，而是与外界环境在不断地相互作用，从而引起消相干。相干性的丢 失就会导致运算出错，除了消相干引起的量子错误外，量子操作中的误差也会导致 量子错误。对于核心的消相干问题，迄今有效的克服方法就是量子编码。主要的量 子编码方案之一：量子纠错码4。 量子通信是借助量子态作为载体进行信息传递的。 1993 年 bennet 等人在物理评 论快报杂志上提出了量子隐形态传输的方案5： 将某个粒子的未知量子态传送到另一 个地方，把另一个粒子制备到这个量子态上，而原来的粒子仍留在原处。其基本思 想是，将原物的信息分成经典信息和量子信息两部分，将它们分别由经典通道和量 子通道传送给接收者。经典信息是发送者对原物进行某种测量而获得，量子信息是 发送者在测量中未提取的剩余信息。接收者在获得这两种信息之后，就可以制造出 原物量子态的完全复制品。这个过程中传送的仅仅是原物的量子态，而不是原物本 身。发送者可以对这个量子态一无所知，而接收者是将别的粒子处于原物的量子态 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 上。原物的量子态在此过程中已经破坏。1997 年年底奥地利研究组在实验上演示了 量子隐形传态，论文发表在自然杂志上，引起了学术界的关注6。 近年来，在量子信息科学硬件研究中，量子隐形态传输和量子计算机中的量子 逻辑门操作已成为量子信息处理的基础。目前虽然分别利用光子偏振态、光场的正 交位相分量实现了量子隐形态传输；利用腔量子电动力学，离子井以及核磁共振 （nmr） 等方法7-9实现了不同位数的量子逻辑门操作， 一定程度上推进了量子信息的 研究与实际应用。但制约量子信息发展的因素还很多，在此我们不作进一步阐述。 1.2 量子信息与经典信息的区别1.2 量子信息与经典信息的区别 量子信息与经典信息有诸多不同的地方。量子信息的基体是经典信息和量子纠 缠，经典信息可以克隆，而量子纠缠不可克隆。量子运算能有效地加快某些计算， 并能辅助经典数据或完整量子态从发送者到接收者的传输。 比特(bit)是经典信息量的单位。消息中所含的信息量i和消息出现的概率p(x) 间的关系为： 1 loglog( ) ( ) aa ip x p x = ，若对数的底 a=2，则信息量的单位为比特 （bit ） 。通常用二进制符号 0 和 1 序列的电波形来表示消息代码。n-bit 存储器存 在 2 n 种逻辑状态，记为 0000 到 1111。经典计算机除了存储二进制数据外，也 用一系列运算处理它们(如 and 和 not)。 量子比特的物理载体可以是任何二维的量子系统，如光子、电子、原子、原子 核、声子等等。一旦用量子态来表示信息，便实现了信息的“量子化” ，于是信息的 过程必须遵从量子物理原理。例如信息传输是指量子态在通道中的传送，信息处理 便是指对量子态实行相应的玄正变换，而信息提取是指对量子信息系统实施量子测 量。 量子比特(qubit)为微观系统，如一个原子或核自旋或极化光子。态0和1由 可区分的状态代表(如水平垂直极化: 0= ，1= )。量子比特也可处于叠加态。 对于光子，这些叠加态对应于其他极化，例如: 1 1 ( 01 ) 2 + 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 1 ( 01 ) 2 2 对于状态0和1的任何测量，在叠加态01=+中，态0出现的概率为 2 ，态1出现的以概率为 2 。一般的，两个量子态当且仅当正交时能可靠辨别如 和?， 1 和 2 是可辨别的，而和 1 不可区别。状态矢量乘以任意相因 子 i e不改变其物理意义。 1.3 本文研究的目的、内容、方法和结论 1.3 本文研究的目的、内容、方法和结论 前面已回顾了量子计算与量子通信的部分历史。尽管量子计算与量子通信理论 已取得一定进展，但仍面临很多困难。在此不再累述。 本文在第二章介绍了原子光场相互作用的半经典理论和全量子理论。 第三章阐述了量子计算与量子通信的基本理论包括量子比特、复合系统纯态定 理、纠缠态、单个量子位的密度算子、hadamard 变换矩阵、量子位、量子门、量子 非克隆定理、量子隐形传态、量子稠密编码等。 第四章重点讨论基于线性光学元件的量子逻辑操作。 第五章详细讨论了基于电荷探测器的电子的隐形态传输和量子逻辑运算。这包 括对电荷探测器和 bell 分析器的原理介绍，以及对采用电荷探测器进行的电子的隐 形传输和量子逻辑运算方案的讨论。 第六章总结了本论文的工作。 综上所述，本文将较系统的论述量子通信中隐形态传输和基于线性光学元件的 量子逻辑操作的有关理论。这为我们以后研究相关问题提供了一个较好的参考依据。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 4 2 原子与光场的相互作用2 原子与光场的相互作用 2.1 原子光场相互作用的哈密顿量 2.1 原子光场相互作用的哈密顿量 在本章我们结合偶极近似和旋波近似利用哈密顿量讨论了量子化辐射场与二能 级原子系统的相互作用。对于一个单模场哈密顿量可以简化为一个相当简单的形式。 在量子光学里哈密顿量之所以很有意义有以下几个原因。首先，对于任意耦合常数 它能够被精确求解并且它能够显示一些量子动力学效应，例如原子坍塌。其次，它 提供了自发辐射的最简单解释及在各种各样复杂系统诸如微波激射和激光中场的量 子统计效应的解释。另外，也许最重要的是在高品质的微波腔中通过实验来实现它。 相对于原子与光场相互作用半经典理论而言，原子与光场相互作用量子理论 有着更为广泛的应用，因为随着科学技术的发展，特别是腔qed技术的发展，需要 在研究原子与光场相互作用时对腔中光场进行量子化处理。1995年至1997年，吴颖 教授等人做了一系列工作证明了位型的三能级系统,在任意失谐量情况下都可以精 确变成两能级问题10-11。 一个单电子的原子和光场e ? 相互作用，该系统的哈密顿量在偶极近似下可以表 示为： af hhher e=+ ? ? （2-1） 其中 a h和 f h分别代表原子和光场的能量，er ? 是原子的电偶极矩矢量。光场的能量 可以用产生和湮灭算符表示为： 1 2 fk kk k ha a =+ ? ? ? （2-2） 原子的跃迁算符可以写为： ij ij= （2-3） 其中 i表示原子所有的能量本征态，并且有1 i ii= ， ai hii= ?。于是原子 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 5 的哈密顿量和电偶极矩可以表示为： aiiii ii hii= ? （2-4） , ijij i ji j ere ii r jj= ? （2-5） * ijij e i r j = = ? 是电偶极矩矩阵元，在偶极近似下，场算符可以表示为： () kkkk k eeaa=+ ? ? （2-6） 其中 k e?是单位极化算符，() 1 2 0 2 k k v= ? ?。于是，原子光场相互作用的哈密顿量 可以表示为： () , ij kiiiij kkkkk ii jkk ha agaa=+ ? ? ? （2-7） 其中有： ijij kk k e g = ? ? ? （2-8） 并且设定为实数。在此以两能级原子为例进行说明，对于两能级原子有 egge =， 就有： egge kkk ggg= ? （2-9） 于是可以得到： () ()() keeegggegge kkkkk kk ha aeegaa=+ ? ? ? （2-10） 其中式（2-10）的第二项可以变形为： ()() 0 11 22 eeegggeggeeg +=+? （2-11） 之所以可以这样表达是因为 0eg =?和1 eegg +=，恒量() 1 2 eg ee+可以忽 略。引入原子算符： zeegg eegg= （2-12） eg eg + = （2-13） 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 6 ge ge = （2-14） 式（2-10）中的哈密顿量就可以表示为： () 0 1 () 2 kz kkkkk kk ha agaa + =+ ? ? ? （2-15） 利用关系式： , ijklijjkkjil = （2-16） 有 , z + = （2-17） ,2 z = （2-18） 它们的矩阵形式为： 000110 , 100001 z + = （2-19） 算符作用在原子上，可以使得原子从高能态跃迁到低能态，而+作用在原子上则 可以使原子从低能态跃迁到高能态。在旋波近似下，单个原子多模场相互作用的 哈密顿量为： 0 1 () 2 kz kkkkk kk ha agaa + =+ ? ? ? （2-20） 2.2 单个原子单模光场相互作用 2.2 单个原子单模光场相互作用 由式（2-20）可以得到单个原子与单模光场相互作用的哈密顿量（在偶极近似和 旋波近似条件下） ： 01 hhh=+ （2-21） 0 1 2 z ha a=+? （2-22） () 1 hg aa + =+? （2-23） 在相互作用绘景下，相互作用的哈密顿量可以表示为： 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 7 00 1 ih tih t i heh e= ? （2-24） 利用 2 , 2! aa ebeba ba a b =+ ? （2-25） 可以得到： i a ati a ati t eaeae = （2-26） 000 22 zz ititit eee + = （2-27） 由式（2-21）（2-27）可以得到： () ( ) i ti t i h tgaeae + =+? （2-28） 其中 0 =。 为了求解的方便，两能级原子和单模光场相互作用系统（原子光场系统）的态 函数可以表示为： , ( )( ),( ), e ng n n tct e nctg n=+ （2-29） 其中,e n表示的是原子处于激发态e而光场的光子数为n的状态， 而,g n表示的是 原子处于基态g而光场的光子数为n的状态。 , ( ) e n ct和 , ( ) g n ct则分别表示原子光场 系统处于态,e n和,g n随时间变换的概率幅。在相互作用绘景下，态函数应该满足 薛定谔方程，有： ( )( )( ) i i th tt t = ? （2-30） 显然，根据相互作用部分的哈密顿量( )v t 的具体形式可以知道其作用的结果是使得 态,e n和,1g n+之间会发生跃迁。而态,e n和,1g n+分别对应的概率幅为 , ( ) e n ct 和 ,1( )g n ct + ，于是根据原子光场相互作用的哈密顿量和系统的态函数可以得到： , ,1 ( ) 1( ) e ni t g n ct ig ne ct t + = + （2-31） 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 8 ,1 , ( ) 1( ) g ni t e n ct ig nect t + = + （2-32） 经过演算可得解： 2 ,1 21 ( )(0) cossin(0)sin 222 i t nnn e ne ng n nn tttiig n ctcce + + = （2-33） 2 ,1,1, 21 ( )(0) cossin(0)sin 222 i t nnn g ng ne n nn tttiig n ctcce + + =+ （2-34） 在这里有 222 4(1) n gn = +。 如果初始状态原子是处于激发态e，于是就有 , (0)(0) e nn cc=， ,1(0) 0 g n c + =其中 (0) n c是表示光场的初态含有n个光子的概率幅。在这样的初始条件下，可以得到： 2 , ( )(0) cossin 22 i t nn e nn n tti ctce = （2-35） 2 ,1 21 ( )(0)sin 2 i t n g nn n tig n ctce + + = （2-36） 通过求解态, e n和,1g n+随时间变化的概率幅 , ( ) e n ct和 ,1( )g n ct + ， 实际上就可以了解 原子光场相互作用过程中原子和光场所含有的物理信息。 2 , ( ) e n ct和 2 , ( ) g n ct分别可以表示在t时刻，光场中的光子个数为n，原子分别处 于态e和g的概率。用( )p n来表示t时刻，光场中的光子个数为n的概率，则有： 22 , 2 22 2 2 1 1,1 2 1 ( )( )( ) (0) cossin 22 4 (0)sin 2 e ng n nn nn n n nn n p nctct tt tg n =+ =+ + （2-37） 在这里 2 (0)(0) nnn c=是表示在0t =的时刻，光场中有n个光子的概率。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 9 另外重要的物理参数是原子的布居差函数( )w t， 而原子的布居差函数可以由其 两个态的概率幅 , ( ) e n ct和 , ( ) e n ct表示为： 22 , ( )( )( ) e ng n n w tctct = （2-38） 根据式（2-35） 、 （2-36）可以得到： () 22 22 0 4(1) ( )(0)cos nnn n nn gn w tt = + =+ （2-39） 而当光场的初态处于真空态，即光子个数为零时，可以得到： () 1 2 2222 22 1 ( )4cos4 4 w tggt g = + + + （2-40） 2.3 小结 2.3 小结 在本章我们详细地介绍原子光场的相互作用同，并且以单个原子单模光场 的相互作用为例进行了详细地分析。原子光场相互作用理论是利用原子腔系统 实现量子信息操作的理论基础，因此通过对原子光场相互系统态函数的求解过程 及结果的介绍，可以加深对原子光场相互作用系统演化规律的了解，有利于基于 原子腔系统量子纠缠态制备方案的研究。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 10 3 量子通信与量子计算的基本理论3 量子通信与量子计算的基本理论 在研究量子通信有关问题之前，有必要了解量子通信中的一些基本理论12。在 本章我们将重点叙述以下几个问题：量子比特、量子门、复合系综纯态定理、量子 不可克隆定理、纠缠态、量子隐形态和量子稠密编码。下面我们将分别对这些问题 进行讨论。 3.1 量子比特3.1 量子比特 比特（bit）是经典计算和经典信息的基本概念，它是指传送两个相等概率的二 进制波形之一的信息量为1, 单位为“比特” 。数学表达式为： 2 1 i1() 1 2 bit=log。 量 子计算与量子通信也建立了类似的概念量子比特（qubit） 。就像经典比特有一个 状态或 0 或 1量子比特也有一个状态，量子比特的两个可能状态是0和1。经 典比特与量子比特的区别在于，量子比特可以是0和1状态的线性组合，即叠加态 （superposition） ，例如，01=+，其中和是复数。量子比特的状态是 复空间中的向量。一般地，n 个量子比特张起一个2n维 hilbert 空间，存在2n个互相 正交的态，通常取2n个基底为i，i是一个 n 位二进制数，n 个量子位的态一般可以 表示成这2n个基底的线性叠加，例如，3 个量子比特有 3 2 个互相正交的态，即000， 001，010，100，110，101，011，111，它的一般态可以表示为： 8 1 j j c i = =。 3.2 量子门 3.2 量子门 对量子位的最基本的幺正操作称为逻辑门（logic gate） 12。按逻辑门作用到量子 位的数目可分为一位门、二位门、三位门等等。下面我们重点介绍一位门、二位门 和三位门。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 11 3.2.1 一位门 3.2.1 一位门 一位门中有比较重要的几种逻辑操作，具体内容如下表述： （1） 单位矩阵作为幺正操作， 10 0 01 1 01 i =+= 。 （2） 非门pauli-x。 01 0 11 0 10 x =+= ，对应着经典逻辑门not 操作。 pauli-x 作用到0和1之后的表达式为：01 ,10xx=。可以看出 x 门适合于翻转操作。 （3） pauli-z 门。 10 ( )0 01 1 01 i zpe =+= ，z 对基态0和1的作用 之后的表达式为：00 ,11zz= ，这种作用使得基态0和1的相对 位相为。故 z 门适合于位相操作。 （4） pauli-y 门。 100101 011010 y yzxi = ，y 对基态0和1作 用之后的表达式为：01 ,10yy= =，这种操作既有翻转又有位相变 化。 （5） hadamard 门。()() 1 010011 2 h=+ ，hadamard 门对基态 0 和1作用之后的表达式为： () 1 001 2 h=+ （3-1） () 1 101 2 h= （3-2） 用矩阵表示： 11 1 112 h = 。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 12 3.2.2 二位门 3.2.2 二位门 对于幺正操作001 1iu +，i 是一个量子位的恒等操作，u是另一个一 位门，这样的两位门称为受控u门（controlled-u gate）12。它是作用到两个量子 位上的所有可能的幺正操作中一个比较有意义的子集。例如 ( ) ( )12 0 1，第一量子位称 为控制位，即 ( )1 0，第二量子位称为靶位，即 ( )2 1。受控u门对靶位作用 i 还是 u，决定于第一量子位是 0态还是 1态。 当u用非门表示时，则受控u 门就转化成 c-not（controlled-not） 。c-not 门 作用到两个量子位时， 当且仅当第一量子位处于 1态时才对第二量子位逻辑非， 即： 0000cnot （3-3） 0101cnot （3-4） 1011cnot （3-5） 1110cnot （3-6） 由此可见， 1000 0100 001 1 0001 0010 cnotix = += 。当然也可构造出 cy 门， cz 门，对应的操作如下： 0000cy，0101cy，1011cy 1110cy。0000cz，0101cz，1010cz，1111cz 。 3.2.3 三位门3.2.3 三位门 三位量子门中重要的一个就是 3 位控控u 门，即当且仅当第一、二位量子位 都处于态 1时，才对第 3 位量子位执行 u 变换。特别当 u 为非门，就转化为经典 的 toffoli 门，例如000000t，001001t，111110t等。toffoli 门可 用矩阵表示为： 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 13 10000000 01000000 00100000 00010000 00001000 00000100 00000001 00000010 t = 3.3 复合系统纯态定理 3.3 复合系统纯态定理 当两个或多个子系构成的复合系统处于纯态（密度算子=）时，这 个复合系统可以以任意方式划分为二个子系。这两子系的密度算子可表示为 ( )( )( )( )1221 ,trtr =，其具有相同的本征值谱 m ，从而可以按一般形式展开 为： ( )( )12 m i mmm m e =，其中 ( )( )12 , mm 分别是两子系中 ( )( )12 ,属于同一本 征值 m 的本征态， m 是个实数。例如，密度算子 ( )2 可表示为： ( )( )( )( )( )( )211111 mmmm mm tr = （3-7） 将的表达式代入上式得： ( )( )( )( )( )( )211122 mmmmm mm tr = （3-8） 上式表明 ( )2 m 是子系 ( )2 的本征态，本征值为 m 。于是可写为标准化形式： ( )( )12 mmm m = （3-9） 则（3-9）式称为复合系统纯态的 schmidt 分解。 混合态的密度算符 iii i p=， i p 表示 i 出现的概率， 混合系综内力学量 a 的平均值可表示为()atra=。对于混合态的相关性质我们在此不累述，其不 是本文的重点。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 14 3.4 量子不可克隆定理 3.4 量子不可克隆定理 1982年, wootters和zurek在nature杂志上发表的一篇论文中提出这样一个问 题:是否存在一种物理过程，实现对一个未知的量子态的精确复制，使得每个复制态 与初始量子态完全相同?该文证明，量子力学的线性特性禁止这样的复制，这就是所 谓的量子不可克隆定理的最初表述13。 下面给出量子不可克隆定理的证明。 以两态量子系统为例，其基矢选择为 0和 1，设s定义为此二维hilbert空间 的任意量子态，量子克隆过程可以表示如下： s s qs s q ? （3-10） 式中右边s s表示初始模与复制模均处于s态，q与 s q ? 分别表示装置处于复制 前后的量子态，假如存在（3-10）式变化，那么基矢 0和 1应该存在如下变换： 00 0 s qq ? （3-11） 11 1 s qq ? （3-12） 现假设s是一个任意的叠加态，即： 01s=+， 22 1+= （3-13） 由式（3-11），（3-12）及量子操作的线性特征，不难得到在操作后，s将演变为： () 01 010 01 1s qqqq=+ ? （3-14） 如果复制基的态 0 q ? 和 1 q ? 不恒等，那么上式给出的初始模和复制模均处于 0和 1的混合态，如果态 0 q ? 和 1 q ? 恒等，则初始模和复制模将处于纠缠态： 0011+。无论哪种情况，初始模与复制模都不可能处于直积态s s。不难证 明，量子复制机能精确复制态0和1，但它不可能复制两态的叠加态s，此即量 子不可克隆定理的内容。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 15 3.5 纠缠态 3.5 纠缠态 本节我们将分三个部分分别介绍量子纠缠的定义， 量子纠缠的度量以及量子纠缠 的制备。 3.5.1 量子纠缠的定义3.5.1 量子纠缠的定义 在3.3节我们介绍了复合系统的纯态定理，本小节由于需要用到该定理，所以将 该定理部分内容重新写一遍。复合系统可表示为 ( )( )12 mmm m =，该表达式 中若包含两项或两项以上。按照量子力学的测量理论，对处在态复合系统子系之 一的测量将使态坍缩，而对该子系的测量结果将瞬间决定了另一子系的态，这就 是所谓的量子纠缠现象。于是我们可以定义纠缠态如下：当两个子系构成的复合系 统处于纯态，若的对偶基的展开项中含有二项或二项以上（即描述子系的密 度算子有2个或2个以上的非零本征值） ，则称为一个纠缠态12。若展开式项数为 一项，即： ( )( )12 12 mm =，就称为非纠缠态，非纠缠态是两个子系的纯直积 态，所以反过来也可以定义纠缠态为：复合系统的一个纯态，如果不能写成两个子 系纯态的直积态，这个态就是一个纠缠态。 若系统处于混合态，则纠缠的定义要复杂一些。两个子系构成的复合系统的混 合态是纠缠态，当且仅当不能表示成： ( , )( , ) ( , ) iii i a ba bpa b= (0,1) ii i pp= （3-15） 的形式，其中每个成分态(), i a b都是非纠缠态（可分离态） ，否则就说它是一个 混合非纠缠态。 本小节我们将给出常见的四种纠缠态：epr态、bell态、ghz态和w态。分别如 下： （1）epr态 () 1 2 ababab = + （3-16） 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 16 式中, aa 分别代表粒子a自旋向上、下的本征态，而, bb 分别代表粒子b 自旋向上、下的本征态。这是一种量子纠缠态，又称为epr（einstein、podolsky、 resen）态14。不管a、b两个粒子相距多远它们都处于这种相互关联状态，这就是 量子力学的非局域效应（non-local effect） 。 （2）bell态 bell15态是2粒子的纠缠态，它有四种纠缠形式，即： () 1 0110 2 = （3-17） () 1 0011 2 = （3-18） （3）ghz态 对于三比特量子体系为例，最常用的纠缠态是greenberger-horne-zeilinger (ghz) 态16，即： () 1 000111 2 ghz=+ （3-19） （4）w态 三粒子纠缠中还有一种常见的纠缠形式，称为w态，具体形式为： () 1 001010100 2 w=+ （3-20） 在（3-17）（3-20）式中 1 0 0 = ， 0 1 1 = 。 3.5.2 量子纠缠的度量3.5.2 量子纠缠的度量 量子纠缠是强调不同粒子的量子态之间的纠缠， 而不是指单个粒子不同自由度的 波函数之间的耦合。在量子信息中，纠缠经常被看作是一个非局域的源。当两地分 享了一定量的纠缠态的时候，纠缠的所有者可以通过对纠缠态做局域操作并辅以经 典通信的手段来行使量子通信、量子计算的功能，如量子隐形传态、量子密匙分配、 量子浓缩编码、量子远程计算17等等。对纠缠的度量是一个非常重要的研究课题。 对于两子系系统，人们通常使用四个bell态作为度量系统纠缠的标准，每个bell态的 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 17 纠缠度定义为1。所谓纠缠度16，指所研究的纠缠态携带纠缠的量的多少。纠缠度的 提出为不同的纠缠态之间建立了可比关系。 如果我们有纠缠态的n份拷贝，通过对其进行局域操作，一般情况下，能够 产生的bell态单重态的数目与n的比不是一个常数，但随着n的增加，这个比值越来越 逼近某个确定的数值e，当n时可达到这个确定的比值18-19。 对于任意一两子系纯态的纠缠度，可用任一子系统的约化密度矩阵的von neuman熵描述20，即定义两体纯态纠缠度（部分熵纠缠度）为 ()() ab ess = （3-21） 其中 () ab ab ab tr=， () ba ab ab tr=，而()s的定义为 ()()ln(ln) abaabb strtr= = （3-22） 对于一般形式的混合态，其纠缠度可定义为 ()()min ii epe= （3-23） 这里，在所有可能的构造方式, ii p中求最小，() i e由（3-23）式得出。显然， 求混合态的纠缠度比求纯态的纠缠度困难的多。 3.5.3 量子纠缠的制备 3.5.3 量子纠缠的制备 量子纠缠的制备的方案比较多，在本小节我们只介绍其中一部分。我们将选择性 的介绍几种量子纠缠态的制备方案： 原子腔系统制备原子epr纠缠态、 两模光场纠 缠态的制备和自发参量下转换器制备bell纠缠态。 首先，我们介绍原子腔系统制备原子epr纠缠