（发展与教育心理学专业论文）数感、数学效能感与数学成绩的关系.pdf

t h er e s e a r c ho fr e l a t i o n s h i pa m o n gn u m b e r s e n s e ，m a t h e m a t i c a le f f i c a c ya n dm a t h e m a t i c a l p e r f o r m a n c e b y q i a of u q i a n g u n d e rt h es u p e r v i s i o no f p r o f w a n gb e n f a at h e s i ss u b m i t t e dt ot h eu n i v e r s i t yo fj i n a n i np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t s f o rt h ed e g r e eo fm a s t e ro f d e v e l o p m e n t a l a n de d u c a t i o n a lp s y c h o l o g y u n i v e r s i t yo fj i n a n j i n a n ，s h a n d o n g ，p r c h i n a m a y2 0 ，2 0 1 0 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：耋陋 e l 期：沙必、奎形 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解济南大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借鉴；本人授权济南大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：蠢主壶缝导师签名： 济南大学硕十学位论文 目录 摘要 a b s t r a c t v 弓l言1 第一章文献综述一3 1 1 数感一3 1 1 1 数感的定义3 1 1 2 数感的组成元素5 1 1 3 数感研究的意义6 1 2 数学效能感8 1 2 1 自我效能感理论简介8 1 2 2 数学效能感的含义及相关研究l3 1 3 数感、数学效能感与数学成绩。1 4 第二章问题的提出及研究设计1 5 2 1 已往研究的不足1 5 2 2 问题的提出16 2 2 1 研究的问题1 6 2 2 2 研究的意义1 6 2 3 研究设计17 第三章小学生数感测试量表的修订及小学生数感发展水平和特点研究1 9 3 1 小学生数感测试量表的修订1 9 3 1 1 研究目的。19 3 1 2 待修订量表介绍1 9 3 1 3 的修订1 9 3 1 4 小学生数感测试量表的试测2 0 3 2 小学生数感测试量表的正式施测2 2 3 3 小学生数感的发展水平和特点分析2 4 数感、数学效能感与数学成绩的关系 第四章小学生数学效能感及其与数感和数学成绩的关系研究2 7 4 1 小学生数学效能感的测量及其特点分析2 7 4 1 1 数学效能感量表简介2 7 4 1 2 小学生数学效能感测试量表的试测2 7 4 1 3 小学生数学效能感的特点分析2 9 4 2 数感、数学效能感和数学成绩的关系研究3 0 4 2 1 研究目的3 0 4 2 2 研究对象3 0 4 2 3 研究工具3 0 4 2 4 数据处理3 0 4 2 5 结果分析3 0 第五章综合讨论3 5 5 1 数感测试量表的修订3 5 5 2 小学生数感的特点分析3 5 5 3 小学生数学效能感的特点分析3 6 5 4 小学生数感、数学效能感和数学成绩的关系研究3 7 5 5 研究反思与研究展望一3 7 第六章研究结论。4 1 参考文献4 3 致谢4 7 附录1 小学四年级数感量表4 9 附录2 数学效能感量表5 5 附录3 攻读学位期间发表论文目录5 7 i i 济南大学硕士学位论文 摘要 “数感”是心理学和数学研究领域广泛使用的概念，新一轮小学数学课程改革把 培养学生的数感作为学校数学课程改革的主要目标之一，数感的萌发、形成与发展自 然成为重要的研究课题。美国心理学家b a n d u r a 提出的“自我效能感 概念在教育领 域也得到广泛应用，其中“数学效能感 作为自我效能感的一种对数学学习有重要影 响。进一步了解数感、数学效能感和数学成绩的关系，对学生数学能力的培养和数学 成绩的提高有重要意义。本研究主要分为两分： 研究一：对张慧贞( 台湾) 的 进行修订，形成一个 适用于小学生的数感测试量表，为该领域研究的广泛展开提供一个有效的测量工具； 量表初步形成后，根据试测结果，对各项目进行合理性分析，对量表进行区分度和信 效度检验；正式测试后，根据数据分析我国小学四年级学生数感的发展水平和特点， 为该领域的科研和实践工作提供较为可靠的参考资料。 研究二：同样以上述小学生为施测对象，研究数感、数学效能感和数学成绩的关 系，并将数感和数学效能感对数学成绩、数感和数学成绩对数学效能感的影响进行比 较。 通过对所得材料的分析，得到以下结论： l 、经过修订的小学四年级数感量表具有良好的效度和信度，量表各向度的同质 信度和折半信度除了向度三外，其他各向度均在0 6 以上，整个量表的同质信度和折 半信度在0 8 以上。 2 、小学四年级学生在数感五个向度上的表现优劣依次为：了解整数的意义、比 较整数的大小、了解整数运算的结果、合成与分解整数、发展不同的计算策略。 3 、通过分析小学四年级学生的数感发展特点得知，在性别上男生数感测验得分 的平均数均优于女生的，但差异不显著；在城乡居住地上为城市优于农村，且差异在 多个向度上显著。 4 、对小学四年级学生的数学效能感进行分析得知，学生的数学效能感在性别上 的差异不明显，但是在城乡居住地上差异十分明显。 5 、数感与数学效能感之间的相关系数为0 3 2 3 ( p o 0 1 ) ；数感与数学成绩的相 关系数为0 6 0 2 ( p 0 0 1 ) ；数学效能感与数学成绩之间的相关系数为0 3 7 2 ( p o 0 1 ) 。 数感和数学效能感之间，数感与数学成绩之间的相关以及数学效能感与数学成绩之间 i l i 数感、数学效能感与数学成绩的关系 的相关均达到显著水平，且数感与数学成绩的关系较之数学效能感与数学成绩的关系 更紧密。 6 、数感与数学效能感对数学成绩的回归系数都显著，分别为o 5 3 8 和0 2 0 1 ；数 感、数学效能感与数学成绩的二元回归模型中的值为0 3 9 9 ，即两个变量可以联合 预测数学成绩的3 9 9 ；数感对数学成绩的预测力较强，其解释量为2 6 o ，数学效 能感的预测力弱一些，为1 3 6 。 7 、数学效能感是数感和数学成绩的中介变量，中介效应为0 0 6 4 ，达到了显著水 平；数感对数学成绩直接作用的路径系数是0 4 7 4 ，路径系数显著，说明数感对数学 成绩仍有明显的直接作用，因此数学效能感起的是部分中介作用，即数感对数学成绩 的影响，一部分是对数学成绩的直接作用，另一部分作用是以数学效能感为中介进行 的。 关键词：数感；数学效能感；数学教学；小学生 i v 济南大学硕士学位论文 a b s t r a c t n u m b e rs e n s ei st h ec o n c e p tw h i c hi sr e f e r e dw i d e l yi nt h ef i e l do fp s y c h o l o g ya n d m a t h e m a t i c a le d u c a t i o n ，b r i n g i n gu pn u m b e rs e n s eo fs t u d e n t si so n eo ft h em a i na i m so f n e wm a t h e m a t i c a lc u r r i c u l u mr e f o r m a t i o n ，t h eb o u r g e o n i n g ，f o r m i n ga n dd e v e l o p i n go f n u m b e rs e n s eb e c o m et h ei m p o r t a n ti s s u en a t u r a l l y t h ec o n c e p to f s e l f - e f f i c a c yw h i c hi s d e v e l o p e db ya m e r i c a np s y c h o l o g i s tb a n d u r aw a sa p p l i e di nt h ef i e l do f e d u c a t i o na b o a r d ， a n dm a t h e m a t i c a le f f i c a c ya so n eo fc o n c r e t ef o r mo fs e l f - e f f i c a c ya f f e c t sm a t h e m a t i c a l s t u d yd e e p l y u n d e r s t a n dt h er e l a t i o n s h i pa m o n gn u m b e rs e n s e ，m a t h e m a t i c a le f f i c a c ya n d m a t h e m a t i c a lp e r f o r m a n c eb e t t e ri s n e c e s s a r yt om a t h e m a t i c a la b i l i t yb r o u g h tu pa n d m a t h e m a t i c a lp e r f o r m a n c ei m p r o v e d t h e r ea r et w op a r t si nt h i sr e s e a r c h ： s t u d yi ：r e v i s e “t h es c a l eo fn u m b e rs e n s eo fe l e m e n t a r yf o u r t h - g r a d e r s t og e ta s c a l eo fn u m b e rs e n s ew h i c hi sa d a p tf o rt h ef o u r t h - g r e a d e r so f e l e m e n t a r ys c h o o ls t u d e n t s ， a n da l s ot os u p p l yae f f e c t i v et o o lo fm e a s u r e m e n tf o rr e s e a r c ha b o a r di nt h i sf i e l d ；w h e n w eg e tt h es c a l e ，a c c o r d i n gt h er e s u l to fm e a s u r e m e n t ，w et a k eaa n a l y s i sa b o u ti t s r a t i o n a l i t y , v e r i f yi t sd i s c r i m i n a t i o n ，r e l i a b i l i t ya n dv a l i d i t y ；i ft h es c a l ei se l i g i b l e ，w et a k e af o r m a lt e s t ，a n dt h ee x p l o r et h ed e v e l o p m e n t a ll e v e la n dc h a r a c t e r i s t i co fe l e m e n t a r y s t u d e n t si no u rc o u n t r y , w h i c ha r ea b l et os u p p l yc r e d i b l er e f e r e n c ed a t af o rt h er e s e a r c h e a n d p r a c t i c ew o r k s t u d yi i ：r e s e a r c ht h er e l a t i o n s h i pa m o n gn u m b e rs e n s e ，m a t h e m a t i c a le f f i c a c ya n d m a t h e m a t i c a lp e r f o r m a n c ew i t ht h es a m es u b j e c t s ，a n dc o m p a r et h ei m p a c t i o nn u m b e r s e n s e ，m a t h e m a t i c a le f f i c a c yt om a t h e m a t i c a lp e r f o r m a n c e ，t h ei m p a c t i o nn u m b e rs e n s e ， m a t h e m a t i c a lp e r f o r m a n c et om a t h e m a t i c a le f f i c a c y w eh a v eg o ts u c hc o n c l u s i o n sb ya n a l y z i n gt h es t u f f ： 1t h es c a l eo fn u m b e rs e n s eo f e l e m e n t a r yf o u r - g r a d e r sw h i c hw er e v i s e dh a sw e l l r e l i a b i l i t ya n dv a l i d i t y , t h ea l p h aa n ds p l i t - h a l fc o e f f i c i e n to fe a c hd i m e n s i o no ft h es c a l e a r eb o t hm o r et h a n0 6e x c e p tt h ed i m e n s i o no fc o m b i n i n ga n dd i v i d i n gn u m b e r s ，a n dt h e r e l i a b i l i t ya n dv a l i d i t yo fw h o l es c a l ei sm o r et h a n0 8 2t h ee l e m e n t a r yf o u r - g r a d e r si nn u m b e rs e n s er a n g i n gf o r mb e s tt ow o r s ti s u n d e r s t a n d i n g t h e m e a n i n go fn u m b e r , c o m p a r i n gn u m b e r s ，c a l c u l a t i n gn u m b e r s ， v 数感、数学效能感与数学成绩的关系 c o m b i n i n ga n dd i v i d i n gn u m b e r s ，d e v e l o p i n gd i f f e r e n tc o m p u t a t i o n 3t h ec h a r a c t e r i s t i co fn u m b e rs e n s eo fe l e m e n t a r yf o u r - g r a d e r si st h a t ：b o y sa r e b e t t e rt h a ng i r l s ，b u tt h ed i f f e r e n c ei sn o ts i g n i f i c a n c e ；s t u d e n t sl i v i n gi nu r b a na r eb e t t e r t h a nw h oa r el i v i n gi nr u r a l ，a n dt h ed i f f e r e n c ei ss i g n i f i c a n c ei nm a n yd i m e n s i o n 4t h ec h a r a c t e r i s t i co fm a t h e m a t i c a le f f i c a c yo fe l e m e n t a r yf o u r - g r a d e r si st h a t ：t h e r e i sn ov a s td i f f e r e n c eb e t w e e nd i f f e r e n tg e n d e r so fs t u d e n t s ，b u tt h e r ei sv a s td i f f e r e n c e b e t w e e nc i t ya n dc o u n t r y 5t h ec o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n to fn u m b e rs e n s ea n d m a t h e m a t i c a le f f i c a c yi s 0 3 2 3 ( p o 0 1 ) ；t h ec o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n to fn u m b e rs e n s ea n dm a t h e m a t i c a lp e r f o r m a n c e i so 6 0 2 ( p 0 0 1 ) ；t h ec o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n to fm a t h e m a t i c a le f f i c a c ya n dm a t h e m a t i c a l p e r f o r m a n c ei s0 3 7 2 ( p o 01 ) 6t h er e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t so fn u m b e rs e n s ea n d m a t h e m a t i c a le f f i c a c yt o m a t h e m a t i c a lp e r f o r m a n c ea r e0 5 38a n d0 2 01w h i c ha c h i e v e ds i g n i f i c a n tl e v e lb o t h ；t h e r 2i nt h eb i v a r i a t er e g r e s s i o nm o d e li s0 3 9 9 ，t h a ti st os a y , n u m b e rs e n s ea n dm a t h e m a t i c a l e f f i c a c yc a np r e d i c t3 3 9 o fm a t h e m a t i c a lp e r f o r m a n c e ；t h ep r e d i c t i n gp o w e r o fn u m b e r s e n s ea n dm a t h e m a t i c a la r e2 6 0 a n d13 6 n u m b e rs e n s ei sb e t t e rt h a nm a t h e m a t i c a l e f f i c a c yi np r e d i c t i n gm a t h e m a t i c a lp e r f o r m a n c e 7m a t h e m a t i c a le f f i c a c yi st h em e d i a t i n gv a r i a b l eo fn u m b e rs e n s ea n dm a t h e m a t i c a l p e r f o r m a n c e ，t h ec o e f f i c i e n to fm e d i a t i n ge f f e c ti s0 0 6 4w h i c ha c h i e v e ds i g n i f i c a n tl e v e l ； t h ep a t hc o e f f i c i e n to fd i r e c te f f e c ti s0 4 7 4w h i c ha c h i e v e ds i g n i f i c a n tl e v e lt o o s ot h e s t y l eo fm e d i a t i n ge f f e c to fm a t h e m a t i c a le f f i c a c yb e t w e e nn u m b e r s e n s ea n dm a t h e m a t i c a l p e r f o r m a n c ei sp a r tm e d i a t i n ge f f e c t k e yw o r d s ：n u m b e rs e n s e ；m a t h e m a t i c a le f f i c a c y ；m a t h e m a t i c a le d u c a t i o n ；e l e m e n t a r y s c h o o ls t u d e n t s 济南大学硕士学位论文 引言 在科学技术日新月异的今天，数学已成为科技进步的有力武器，学生数学素质的 提高亦成为时代的要求。学生数学素质和数学能力的提高一方面依赖于数学教育领域 相关课题研究的广泛开展，另一方面依赖于数学教学方式的改革与进步。在数学教育 研究和教学实践领域备受关注的两个概念“数感 和“数学效能感”自然而然地成为 研究热点。 新一轮小学数学课程改革把数感的形成和发展作为学校数学课程改革的主要目 标之一。现阶段，小学低年级数学教材中估算和心算的内容有所增加，这与对当前数 学教学缺陷的反思和人们对数感重要性认识的加深有关。数感是一种情景化的认知方 式，是对数( 量) 和运算在其产生的现实情境中灵活甚至创造性应用的心理倾向。数 感是一种在新的数学背景中创造性地解决问题的能力或潜力，有效地培养这种认知方 式能更好地为学生的学习和生活服务。相比与传统的数学教学方式，以数感为主的教 学方式，不再把学生看成是知识的“被动”接受者，而是“主动 的发现者；也把对 计算程序的“机械性理解 转变为“关系性理解 ，即运算与实际情景相结合，使学 生不仅“知其然 ，而且知其“所以然”。在传统数学教学方式的基础上进一步培养 学生的数感，使学生对数和量有更真实、更深刻的理解，使数学运算的准确性和速度 都得到有效的提高，从而激发学生学习数学的信心和兴趣，全面提高学生的数学能力。 随着数学教学领域研究的不断深入，一些研究也逐渐被提上日程，如学生数学学 习的内部动机和心理素质问题。2 1 世纪教育改革强调在教学过程中注重学习的主体 性，提倡自我调控学习，若想在数学学习方面达到这一目的，就离不开学生数学效能 感的培养。在著名心理学家b a n d u r a 提出“自我效能感 这一概念三十多年后的今天， 自我效能感向着具体的效能感和集体效能感的研究方向发展。数学效能感是指个体数 学学习的能力信念，是指学生对自己能否利用所拥有的能力或技能去完成数学学习任 务的自信程度的评价，是个体对控制自己数学学习行为和学习成绩能力的一种主观判 断。数学效能感作为自我效能感的一种对数学的教与学有重要价值，数学效能感作为 数学学习过程中一个重要变量会影响学习任务的选择和学习目标的设定、学习的努力 程度和持续时间、学习的思维定向和归因方式、学习的情绪和效率以及个体自我监控 能力的发展。在数学学习上，虽然数学知识和技能是学生完成学业任务的重要影响因 素，但数学效能感也在其中产生不可忽视的影响。数学效能感高的学生不但乐于学习， 1 数感、数学效能感与数学成绩的关系 而且善于学习，从而能取得优良的学习成绩。 小学阶段是学生接受数学知识和发展数学能力的关键时期，数感和数学效能感则 是影响学生数学能力水平的核心变量。数感的重要性在世界范围内课程改革的背景下 日益凸显，数感的发展可以使学生更灵活地辨认数字模式和数字关系，从而更有效的 进行运算，还可以提高学生学习数学的积极性和创造性；数学效能感是一种情景性和 问题特殊性的评估，是个体对自己是否有能力顺利完成特定的数学任务、解决数学问 题的自信程度的评估，对学生数学学习的态度和兴趣有重要影响。数学成绩是当前教 学成果和学生学习情况的集中体现，也是数学研究的重要变量。数感和数学效能感是 影响学生数学成绩的两个重要变量，深入了解数感、数学效能感与数学成绩的关系， 一方面可以为实施有效的数学教学提供可靠的依据，另一方面可以为进一步研究数感 和数学效能感积累资料。 2 济南大学硕士学位论文 1 1 数感 第一章文献综述 近年来，许多国家的数学课程改革均将数感( n u m b e rs e n s e ) 列为重要的议题。 美国数学教师协会( n c 刑) 在1 9 8 9 年发表的数学课程与评量标准( t h ec u r r i c u l u m a n de v a l u a t i o ns t a n d a r df o rs c h o o lm a t h e m a t i c s ) 以及澳洲国家学校数学报告书 ( a e c ，1 9 9 1 ) 中皆强调数感的重要性；而n c t m ( 2 0 0 0 ) 发表的学校数学课程的 原则与标准( t h ep r i n c i p l e sa n ds t a n d a r d sf o rm a t h e m a t i c s ) 再次强调发展数感是数学 课程标准的核心【l 】。在我国新颁布的数学课程标准( 实验稿) 中，也首次提到要 “发展学生的数感 ，“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数 感和符号感，发展抽象思维【2 1 。 数感在数学教育上的重要地位，国外和我国台湾地区已有不少学者对以培养数感 为核心的数学教学方式进行研究并发表文章，相比之下，国内对数感的研究并不多， 且相对集中于理论探讨，实证研究则少之又少。 1 1 1 数感的定义 何谓数感? 1 9 7 4 年b o bw i r t z 进行“数”的教学时，教导学生从自己日常生活的 经验去了解“数，也教导学生藉由这些经验拓展更多“数”的概念；从他所教导的 学生发现，学生都对“数 具有一种特别的感觉，他们能够直观地觉察数与数之间的 关系，也能觉察这些数在现实世界中所代表的意义，学生的数感便发展起来了【3 】。 虽然许多学者和数学教育工作者就数感的重要性达成共识，但目前仍无一个定义 可以被广为接受。g e r s t e n 等指出：没有任何两个研究者以完全相同的方式定义数感， 而认知科学家和数学教育工作者以不同的方式定义数感，使得问题变得更加复杂【4 】。 虽然数感的定义很难界定清楚，但我们从下列学者专家对数感的诠释中，仍可一窥其 脉络【5 - 1 1 1 。 ( 1 ) s o w d e r ( 1 9 8 8 ) 认为，数感是一个能够使人连接数字与运算的组织化良好的 概念网，可用于辨别数字相对和绝对大小、对数字作质和量的判断、识别计 算不合理的结果、以及用非算则形式进行心算。 ( 2 ) h o w d e n ( 1 9 8 9 ) 认为，数感是一种对数字的特殊感觉，是人们对数与数 或数与现实世界的直觉。 3 数愿、数学效能感与数学成须的关系 ( 3 ) t r a f t o n ( 1 9 8 9 ) 认为，数感比较像是把数当做量来处理，而不是把数当做 抽象的、正式的东西来觉察。 ( 4 ) h o p e ( 1 9 8 9 ) 认为，数感可以是一种对数字及其多样化使用与解释的“感 觉 、计算时对正确程度的“了解 及使用数字支持和论证“常识 ，也可 以是产生合理估计、侦测算数错误、选择有效的计算程序及辨识数字组型 的“能力 。 ( 5 ) k a s t n e r ( 1 9 8 9 ) 认为，有数感的人会有能力和信心来决定答案的合理性， 且一个人越能将数学与感官经验的世界联络起来，就越能做出决策。当一 个人可以将抽象视为是由具体的、有意义的经验类化而来时，就能顺利地 掌握数学的抽象特征。 ( 6 ) c a r p e n t e r ( 1 9 8 9 ) 认为，数感最重要的是能弹性地操作数字。 ( 7 ) r e y s ( 1 9 9 4 ) 认为，数感可以解释为个人对数字、运算、以及数字和运算 产生情境的一般性理解和认知，且当个体有需要时可以从长时记忆中搜取 并加以运用。 ( 8 ) y a n g ( 1 9 9 5 ) 在研究中指出，数感是指对数与运算过程的了解( 包括复杂 的数学判断) 及发展有用的策略来处理数和运算。 ( 9 ) 杨德清( 1 9 9 7 ) 对数感的解释是，个人对数字和运算一般性的了解，它包 括有能力以弹性的数学方法做判断以及发展策略来处理数字和运算的关 系。 0 0 ) 徐文彬( 2 0 0 7 ) 认为，数感是对数字关系和数字模式的意识，以及运用这 种意识灵活地解决数字问题的能力。 综上所述，可以发现数感的定义相当多元且存在分歧，但也可以看出界定主要围 绕数感是“感觉 、“直觉 、“认知策略”还是“能力进行的。分歧存在的主要原因， 除了研究者们从认知和数学教育两个不同方向对数感进行研究外，还以数感的“低层 次特征 和“高层次特征”为不同的切入点展开研究。数感的低层次特征是具有生物 学意义的知觉和较为初级的直觉，包括对少量数快速准确的知觉、比较数大小的能力、 计算和理解简单代数运算的能力；虽然数感的这些基础组成部分也包含在数感的高层 次特征中，但随着研究的深入，研究者们逐渐认识到数感的复杂性和多面性，它还包 括更深层次地理解数学规则和关系、更灵活和更熟练地进行数学运算、识别和评价数 学的连续性和规则性，以及在数学教学活动中产生的灵活的数学表达机制1 1 2 耶】。 4 研两大学坝十学位论文 由已有的研究可以得出研究者们对数感进行定义的三个主轴方向：数感是一种直 觉，这种直觉出现在对数的解释或运用时；数感是一种连接，能迅速组织数和数、数 和情景，构成一个概念网；数感是一种策略，能灵活弹性且多方式地处理数的问题。 因此，数感是对数( 量) 和运算在其产生的现实情境中灵活甚至创造性应用的心理倾 向。 1 1 2 数感的组成元素 m c i n t o s h ，r e y s & r e y s ( 1 9 9 2 ) 从数、运算及两者产生和作用的情境来探讨数感， 并从这三个范畴分别给出数感的组成成分，在将各成分做了细致的分类后，形成一个 有组织的构架图i l l 。 数字运算 数感 士 情境 图1 1 数感主要元素关系图 ( m c i n t o s h 等人，1 9 9 2 ) 其中，数字方面是指有关数的知识和能力，运算方面是指用运算的知识和能力， 情境方面是指把数与运算的知识和能力应用于计算情境之中。 另外，b e r e h ( 2 0 0 5 ) 对数感的相关研究做了较为全面的总结，得出了一些更具 概括性的结论( 详见表1 ) 。b e r c h 对数学认知、认知发展和数学教学领域的研究成果 进行了分析和研究，编辑了一份详细的有关数感构成的清单。b e r c h 发现，数感通常 被认为由意识、感觉、认知、知识、技能、能力、直觉、要求、期望、心理数字表征、 概念结构和心理力n - r _ 过程构成。拥有数感从表面上看，可以使一个人完成从理解数值 的含义到形成解决复杂数学问题的策略、从比较简单数值之间的大小到形成数学运算 的步骤、从识别明显的数值错误到可以用数学的方法进行交流、处理和加工信息；关 于数感的产生，一些研究者认为数感是天生才能的一部分，也有一些研究者认为数感 是通过经验习得的一系列技能【1 6 j 。 5 数感、数学效能感与数学成绩的关系 表1 1 数感主要组成部分及其特征 1 非算则式的数字感； 2 能够理解数字的含义； 3 比较数字大小的能力； 4 灵活分解数字的能力； 5 能流畅灵活地运用数字； 6 能够识别明显的数字错误； 7 能够理解数字之间的多重关系； 8 能够识别参照性数字和数字模式； 9 能够理解和使用数字的等效表达形式和表征； 1 0 拥有心理数字结构并可以对数量的心理表征进行操作； 1 1 在没有特别说明的情况下，能够对整体中添加和删除的部分进行识别。 1 2 能构想出数字运算的步骤； 1 3 关于数字和代数运算的能力和直觉； 1 4 形成对数字用途和数学规则的预期； 1 5 运用代数运算关系理解十进制数的能力； 1 6 拥有先天的、非言语性处理近似数据的能力； 1 7 拥有可以超越数字固有运算形式的知识和技能； 18 拥有关于合理计算存在不同水平精确性和敏感性的意识； 1 9 拥有能够把数字和运算联系起来且组织良好的概念网络； 2 0 拥有在经验和知识基础上发展起来的灵活的数字加工机制； 2 l 拥有以数学关系、规则和运算步骤之间联系为基础的概念结构； 2 2 在未精确计算的情况下，能够对数字问题的大致情况做明智思考和陈述。 2 3 近似值计算或数值估计的能力； 2 4 拥有理解数字运算结果的知识； 2 5 逐步发展起来的解决复杂问题策略； 2 6 能够理解现实生活中具有指代意义的数字； 2 7 运用数字和数量进行交流、加t 和解释信息的能力； 2 8 能够根据目的和情境对同一个数量进行不同形式的表征； 2 9 通过搜寻新信息与已有知识的联系来理解数字情境的意愿； 3 0 能够把现实生活中的数量与抽象的数字和数学表达进行灵活的转换。 1 1 3 数感研究的意义 相关研究指出，学生的计算能力高于数感能力。y a n g ( 1 9 9 5 ) 的研究发现，当要 求学生找出5 3 4 6 x o 5 4 5 = 2 9 1 3 5 7 的小数点的位置时，只有大约1 1 的六年级学童可 以找出小数点的正确位置，然而超过6 0 的学童可以使用纸笔计算找出这一题的正确 答案。杨德清( 2 0 0 0 ) 对2 1 位六年级学童做进一步的访谈，结果发现没有一个学童 可以使用数感来正确解释答案。他们多解释为：第一个数有一位小数，第二个数有三 位小数，相乘的结果是四位小数，因此答案是2 9 1 3 5 7 。洪瑞镁( 2 0 0 1 ) 发现，学生 对于数学知识和运算技巧大致可以了解和使用，但是对于非教材内常见的问题，或生 6 济南大学硕士学位论文 活中实际需要的数感和量感问题，以及需要自行推理的问题和对解题过程进行解释 时，学生的表现则较为不佳f 1 。7 1 。 课程改革在世界范围内已全面展开，其中以美国学校数学课程与评估标准 ( n c t m ，1 9 8 9 ) 和全澳学校声明( a e c ，1 9 9 1 ) 最为典型，它们都把培养学生形成 数感作为学校课程教学的主要目标。当前，数感这一名词在课程改革文件中尤为醒目， 它注重计算策略的“灵活性和“创造性 ，反对过分强调没有思维的直式的计算程 序。培养学生的数感不仅要培养他们的数学理解力，也要培养他们积极的学习态度和 信心，而这也正是现有数学教学模式欠缺的【1 8 】。 在过去的三十年里，数学教学的内容已经发生了很多变革，特别在如今这个计算 机技术日新月异的年代，可以说，数感成为人与计算机相区别的一个重要特征 1 4 1 。 数感的作用主要体现在下列几个方面： ( 1 ) 引发学生学习数学的兴趣 兴趣原则是教学原理中的一项重要法则。诚如有些学者所说的，我们不应该使学 生认为数学学习是很机械式的，由于传统数学教学较为偏重于基本事实的记忆与计算 程序的精熟，而较少引导学生去发现数字间的关系，结果使学生无法享受数学学习的 乐趣。以数感为核心的数学教学方式则有助于学生自觉地去探索数字的关系，从而引 发学生学习数学的兴趣，避免枯燥的记忆和演练【1 9 1 。 ( 2 ) 协助发展学生心算和估算技巧 心算是一种策略性的知识和技术，估算是近似地猜测事物数量的行为，学生的心 算和估算反映了他们对数的内部表征，是高层次数学能力发展的基础【2 0 1 。培养学生的 数感，促进心算和估算能力的发展对学生数学能力的提高有重要作用。 ( 3 ) 增进学生解题过程中的预设认知能力 一个具有良好数感的解题者在解题过程中，一开始就会根据题意预测合理答案的 可能类型与可能数目，并能以此拒绝不合理的答案。由于这是一种设定目标、检验目 标符合情况，并修正答案的预设认知历程，数感的发展有利于预设认知能力的提高【1 9 1 。 ( 4 ) 有助于学生“符号感 的发展和“数学观的形成 在解决“数字推理 问题时，如果学生能够意识到算数运算的“代数性质【2 ， 并自觉地将这种意识用于数感的形成中，他们就由此迈出了“数感 向“符号感”发 展的步伐，并在这个发展过程中体会到众多的数学思想，譬如，推广的思想、转化的 思想、抽象化的思想和概括的思想等【2 2 1 ，因此培养学生的数感有助于“符号感”的发 7 数感、数学效能感与数学成绩的关系 展。同时，数感不仅强调要培养学生的数学理解力，也重视培养学生积极的态度和坚 定的信心。因为数感是一种主动自觉地理解和运用数的态度和意识；“数感是人的一 种基本数学素养，它是建立明确的数量概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是 将数学与现实问题建立联系的桥梁”，“建立数感可以进行数学地思考”，所以， 数感的培养在更广泛的意义上有助于“数学观”形成【2 3 1 。 数感是高度个性化的产物，它不仅和学生已有的数字概念相联系，也和这些概念 的形成过程相联系【2 4 1 。当老师把数学学习看作是一种过程和结果相互联系的逻辑结 构，而不仅仅是标准程序的讲授时，学生就会认识到解题过程的灵活性和选择性特征。 因此，他们就会自主地选择合适的解题方法并在计算过程中推断问题的实际意义。解 题过程中的这种自主意识，将有助于培养学生的数学思维，激发他们解决数学问题的 兴趣。如果通过培养学生的数感能让他们认识并掌握数字间的奥妙和联系，那么，将 会涌现出着迷于数字世界、独立自主的新一代数学学习者和数学思想裂2 5 1 。 1 2 数学效能感 “自我效能感 ( s e l f - e f f i c a c y ) 这一概念，最早出现在b a n d u r a 的自我效能感： 关于行为变化的综合理论( 1 9 7 7 ) 一文中【2 6 1 。他所言的自我效能感概念是个体以自 身为对象的一种思维形式，是个体