（概率论与数理统计专业论文）多元t分布线性模型的统计推断问题.pdf

摘要 摘要 本文首先提出了一类指数混合分布族，讨论了该分布族的数学及统计性质， 将多参数指数族中单边假设检验的结论推广到该类指数混合族中由此结论得 到了一类多元t 净布族中一样本的均值检验和两样本的均值及方差相等性检验 的一致最优无偏( u m p u ) 检验从而将一个或两个正态总体下独立同分布样本 的u m p u 检验的有关结论推广到了相应的联合多元t 分布族下 接下来，本文又讨论了一类多元t 分布线性模型中回归系数的可容许估计问 题 最后本文研究了由多元正态分布和w i s h a r t 分布产生的一类新的多元t 分 布族中参数的一致最小风险无偏( u m r u ) 估计和一致最小风险同变( u m r e ) 估计 证明了误差服从该类多元分布的普通多元回归模型中网归系数和协方差矩阵的 最小二乘估计仍然是u m r u 估计，并得到了一类误差服从第二类t 分布的多元回 归模型中回归系数的u m r e 估计存在的充分必要条件并求出了相应的统计量 关键词：多元t 分布，多元正态分布，指数分布族，指数混合分布族，一致最优无偏 检验，可容许估计，w i s h a r t 分布，一致最小风险无偏估计，一致最小风险同变估计 i a b s t r a c t a b s t r a c t f i r s t l y ，t h i st h e s i si n t r o d u c e sac l a s so fd i s t r i b u t i o n f a m i l i e sc a l l e dm i x e d e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n i t sm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c sp r o p e r t i e sa r es t u d i e d t h er e l a t i v er e s u l ta b o u tt h eo n e - s i d eu m p uh y p o t h e s i st e s t i n gi ne x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o nf a m i l i e sa r ee x t e n d e dt ot h ec o r r e s p o n d i n gm i x e de x p o n e n t i a lf a m i l i e s ， f r o mw h i c ht h eu m p ut e s t i n gr e s u l t so ft h em e a n sa n dv a r i a n c e si no n eo rt w o s a m p l e sf r o mt h ei n d e p e n d e n t l yi d e n t i c a ln o r m a lp o p u l a t i o n sa r ee x t e n d e dt oa c l a s so fm u l t i v a r i a t etd i s t r i b u t i o n s s e c o n d l y , t h ea d m i s s i b i l i t yi nac l a s so fm u l t i v a r i a t etd i s t r i b u t i o ni si n v e s t i - g a t e d f i n a l l y , t h i st h e s i ss t u d i e sa n o t h e rc l a s so fm u l t i v a r i a t etd i s t r i b u t i o n sg e n e r - a t e db ym u l t i v a r i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o n sa n dw i s h a r td i s t r i b u t i o n s t h eu m r u a n du m r ee s t i m a t i o ni nt h i sc l a s so ftd i s t r i b u t i o n si sd i s c u s s e d i ti sp r o v e d t h a tt h el e a s ts q u a r ee s t i m a t o r so fr e g r e s s i o nc o e f f i c i e n ta n dc o v a r i a n c ei nt h e m u r i v a r i a t etl i n e a rm o d e la r eu m r ue s t i m a t o r s o b t a i n e da l s oi nt h i st h e s i si s t h eu m r ee s t i m a t o ro ft h er e g r e s s i o nc o e f f i c i e n ti nak i n do fl i n e a rm o d e l sw i t h e r r o rm a t r i xh a v i n gt h i sk i n do fm u l t i v a r i a t etd i s t r i b u t i o n s k e yw o r d s ：m u l t i v a r i a t etd i s t r i b u t i o n ，m u l t i v a r i a t en o r m a ld i s t r i b u t i o n ，e x - p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nf a m i l y , m i x e de x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nf a m i l y , u m p ut e s t ， a d m i s s i b l ee s t i m a t i o n ，w i s h a r td i s t r i b u t i o n ，u m r ue s t i m a t i o n ，u m r ee s t i m a - t i o n i i 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 垄尘j 厶，孑年2 月2j 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：等大 - - 7 ， a 名年2 月神e t 第一章：引言 1 1 概论 第一章引言弟一早 j li 本文中常用符号规定如下： aqj e i ：矩阵a 和b 的k r o n e c k e r 积 a b ( a b ) ：a b 是正定矩阵( 非负定矩阵) t r ( b ) ：方阵b 的迹 b ：b 的转置 r a n k ( b ) ：b 的秩 b 一：b 的广义逆，即满足：b b b = b v e t ( b ) ：mx 佗阶矩阵b = ( b 1 ，b 2 ，玩) 按列向量拉直所成的m n 歹l j 向 量( b i ，呸，联) 7 k ：m 阶单位矩阵 l m ：元素都是1 的仇维向量，在不引起混淆时简记成1 r m ：m 维欧氏空间 础x m o 全体k m 阶矩阵所构成的集合 u m r u ：一致最小风险无偏 u m p u ：一致最优无偏 u m r e ：一致最小风险同变 m l e ：极大似然估计 s u r e ：似乎不相关回归方程组 r p ( ) ：多元g a m m a 函数，l ( o ) = 7 r 越学l - l p = l1 1 ( n ( 一1 ) ) ，r e ( a ) 一1 ) 9 ( z ；g ) ：g a m m a 分布r ( ，；) 的密度函数 2 墨r ( ；) 】- 1 名墨一1e - 墨 z 0 ，g o ) y 一( p ，k 口) ：m 维向量y 服从均值为p ，协方差阵为v ，自由度为g 的 多元亡分布 t i n ( y ；p ，k 口) ：均值为p ，协方差阵为v ，自由度为q 的多元亡分布的密度函 数( k 口) 【国一2 ) + ( y p ) 7 v 一1 一p ) 】一牮，其中 c ，l ( v 口) = 【丌詈r ( ) i y i 】一1 ( g 一2 ) 墨r ( 笔) 1 第一章：引言 y 一靠n ( p ，k 口) ：p 礼矩阵y 服从第二类多元t 分布 弓x n ( y ；p ，k 口) ：第二类多元t 分布的密度函数【丌等l y 闻悸】一1 ( 口一2 ) 地孥型 错i ( q 一2 ) 易+ 一1 ( y p ) y 一1 ( y p ) ，i - 学 厶( 可；p ，y ) ：正态分布_ ( p ，y ) 的密度函数( 2 7 r ) 一专i v l 一e x p - - ；( y p ) 7 v 一1 ( y - p ) 】 一眠( n ，) ：m 维向量彤服从自由度为n ，协方差矩阵为的w i s h a r t 分布 在统计分析中，统计模型的选择与建立是极其重要的近年来，为了适应一 些比较复杂数据的统计分析，大量的学者们作出不懈地努力，提出了许多的统计 模型但是经典的线性模型在统计分析中仍然扮演着极其重要的角色线性模型 是一类统计模型的总称，它包括了线性回归模型、方差分析模型、协方差分析模 型和线性混合效应模型( 或称方差分量模型) 等许多生物、医学、经济、管理、地 理、气象、农业、工业、工程技术等领域的现象都可以用线性模型来近似描述因 此线性模型成为现代统计学中应用最为广泛的模型之一同时也因其模型相对简 单，易于处理，并已经存在相关的系统的结果，所以线性模型仍然具有巨大的应用 价值 考虑一类线性模型 1 = p 伟x 1 + e m x l ( 1 1 1 ) 其中是x 已知矩阵，y 是观测向量，p r p 是参数向量，e 是误差向量，它的均值 是o ，协方差矩阵是y ，v y ，v 是依赖于某些未知参数的正定矩阵组成的集合 许多常用的线性模型都可以转化为上述简单的形式如增长曲线模型： n 一七风口乙n + 勺n( 1 1 2 ) 其中u 和z 为已知矩阵，b 是参数矩阵；w 是观测矩阵；k p ，q 佗；的列向 量不相关，均值为0 且具有相同的协方差矩阵d 记 y = w c ( w ) ，p = v b c ( b ) ，e = w e ( e ) ，x = z 7 圆u 则增长曲线模型就转化为( 1 1 1 ) 的形式： y = x p + e ，e ( e ) = 0 ，o o v ( e ) = 厶 d 2 第一章：引言 另外，扩充增长曲线模型，似乎不相关回归方程组( s u r e ) 模型，方差分量模型等 都可以按上述方法转化为模r 2 d ( 1 1 1 1 的形式 统计分析的经典理论主要是基于误差向量服从正态分布的假设然而，近年 来，随着在金融等领域研究的不断进行，人们逐渐发现了正态分布假设的不足之 处 在投资实践中，人们发现证券收益的经验分布往往偏离正态分布，而呈现出 高峰厚尾的特征这时。多元正态分布可能不能很好地刻画资产收益的峰度同 时，许多作者研究了在样本偏离正态分布的情况下会对已有的结论造成的影响 许多经济和金融上的数据，例如股票回报都呈现出一种厚尾分布的形式 b l a t t b e r g 和g o n e d e s ( 1 9 7 4 ) 评估了独立的t 分布模型对于股票回报数据刻画的效果 z e l l n e r ( 1 9 7 6 ) 考虑了用误差服从联合多元t 分布的简单回归模型来分析股票回报 数据，在此模型中误差是不相关而并非是独立p r u c h 卿k e l e j i a n ( 1 9 8 4 ) 讨论了 正态分布的不足并建议针对很多现实问题，相关的亡分布模型将会是一个可供选择 的更好的分布模型通过彻底地研究，k e l e j i a n 和p r u c h a ( 1 9 8 5 ) i 正明了不相关t 分 布模型相对于独立t 分布模型能更好地刻画厚尾现象 可以看出，多元t 分布对于经典的多元正态分布而言是一个更加可行的选择 近年来已受到广泛的关注，许多作者已对该分布及其相应的线性模型中参数的估 计及假设检验问题进行了研究，并出版了专著【k o t z 和n a d a r a j a h ( 2 0 0 4 ) 下面我 们将简要介绍一下多元t 分布 1 2 多元t 分布定义与有关模型 如同多元正态分布是一元正态分布的推广一样，多元亡分布是一元s t u d e n tt 分布的自然推广，由c o r n i s h ( 1 9 5 4 ) 首次在他的文献中推导得到事实上，多元亡分 布存在着多种表达形式，本节将涉及其中的一些最为常见的形式 定义1 2 1 若m 维的随机向量y = ( m ，k ) 7 具有下述形式的联合密度 函数 t m ( 可；p ，v 口) = c m ( 口，y ) 【( g 一2 ) + ( 一p ) 7 v 一1 ( 秒一肛) 】一! 哇里( 1 2 1 ) 其中，c m ( kq ) = 【7 r 罟r ( ；) i y i 专】一1 ( 口一2 ) 纾( 里= 笋) ，p r m ，v o 是m m i e 定矩阵，r ( ) 为g a m m a 函数则称随机向量y 服从m 维自由度为口，均值为p ，且 3 第一章：引言 协方差矩阵为y 的t 分布，记为y k ( p ，vg ) ，同时用( 秒；p ，kg ) 表示所 对应的密度函数 无论g 已知或未知，本文规定q 2 自由度口也称为形状参数( s h a p ep a - r a m e t e r ) ，因为通过改变g 的具体取值可以减小，保持，或者增加( 1 2 1 ) 式的峰度 当p = o 时，( 1 2 1 ) 式所表示的分布被称为中心化的；否则，则称之为非中心化的 注意到当仇= 1 ，p = 0 ，v = 南时，( 1 2 1 ) 式所定义的即为一元s t u d e n t 亡分布( 自由度为g ) 当m = 2 ，p = 0 ，v = 尚厶时，( 1 2 1 ) 式是p e a r s o n ( 1 9 2 3 ) ： 元面的变形 当口_ + 时，( 1 2 1 ) 式的极限形式即均值为p ，协方差矩阵为y 的m 维 正态分布因此，( 1 2 1 ) 式可以看作是多元正态分布的近似同时，与多元正态分 布一样，多元t 分布( 在假设自由度g 已知时) 同属于椭球等高分布族( e l l i p t i c a l l y c o n t o u r e dd i s t r i b u t i o n s ) 【f a n g ，k o t z 和n g ( 1 9 9 0 ) 多元亡分布可以按以下两种方式得到： ( 1 ) 由多元正态分布和g a m m a 分布产生 舶；p ，kq ) 。( g ，嘲g 一2 ) + ( 可一p ) v 一1 ( 秒一计字( 1 2 2 ) = 廿厶( 可；肛，譬v ) g ( z ，q ) d z 、7 其中，( g ，y ) 如( 1 2 2 ) 式， 厶( 可；p ，y ) = ( 2 7 r ) 一- 71 v i 一e x p 【一去( 可一p ) 7 v 一1 ( 妙一p ) 】( 1 2 3 ) 表示正态分布m ( p ，y ) 的密度函数， 9 ( z ，g ) = 【2 墨r ( 昙) 】一1 z 墨- - 1 e - 羞，( z o ) ( 1 2 4 ) 是参数为( ， ) 的g a m m a 分布密度函数 因此( p ，kq ) 可表示为多元正态分布m ( p ，孚y ) 和2 服从参数为( ，j ) 的 g a m m a 分布的混合即对于给定的z ，随机向量y 的条件分布为正态分布 y i z ：名。m ( p ，譬y ) ( 1 2 - 5 ) 4 笙二童! 呈! 宣 ( 2 ) 由多元正态分布与w i s h a r t 分布产生 设u 言是u 的对称平方根( s y m m e t r i cs q u a r er o o t ) ，且 u u = u w m ( q4 - m 一1 ，一1 )( 1 2 6 ) 其中，( n ，) 表示m 阶自由度为扎，且协方差矩阵为e 的w i s h a r t 分布 如果x 服从m 维均值为0 ，且协方差矩阵为口k 的正态分布n m ( 0 ，g 厶) ，并 且x 与u 相互独立，则 y = ( u 壶) 。x + p( 1 2 7 ) 服从多元亡分布【a n d o 和k a u f m a n ( 1 9 6 5 ) 这里，得到的多元t t # 布与定 义1 2 1 式中的形式略有不同，作变换v = 南，即可得到定义1 2 1 中的形 式 此时对于给定的厂，随机向量y 的条件分布为正态分布，即 y i v 一( p ，q u 。)( 1 2 8 ) 若个独立同分布于m 维分布( p ，kq ) 的样本( m ，r n ) 的联合分 布有下述形式 蛐1 ，鲫) ( 1 2 9 ) = t m ( 矽l ；p ，kq ) t m ( 沈；p ，kq ) t , n ( 鲋；p ，eq ) 则称其为独立t , y 布模型( i n d e p e n d e n tt - m o d e l ) 然而，近年来更多关注的对象是不相关亡分布模型个不相关的多元t y y 布 的联合分布为 t 2 ( y 1 ，射) = 瓯m ( vg ) 【( g 一2 ) + q 】- 学( 1 2 1 0 ) 其中 一v 萨【丌挚r ( 抄i 譬】一1 ( g _ 2 ) 墨r ( 竿) q = ( 一p ) 7 y ( u j p ) 并且约( j = 1 ，2 ，) 是服从m 维t 分布( p ，kg ) 的随机向量b 的观测值 此时称( 1 2 1 1 ) 式为不相关亡分布模型( u n c o r r e l a t e dt - d i s t r i b u t i o n ) 5 第一章：引言 k e l e j i a n 和p r u c h a ( 1 9 8 5 ) 证明了不相关t 分布模型相对于独立t 分布模型拥有 较厚的尾部我们注意到( 1 2 1 0 ) 式中观测值独立的充分必要条件是q _ + ，在 此情形下，( 1 2 1 0 ) 式密度即是个独立同分布于m 维正态总体m n ( p ，y ) 的密度 函数的乘积 一种更普通的形式假设有七个样本组，每个样本组 ( 匕l ，巧2 ，k ) ，j = 1 ，2 ，k 服从总体为k ( 心，k 口) ，j = 1 ，2 ，k ，且样本大小为则其联合分布为 t 3 ( y 1 1 ，弧帆) = c n m ( k 口) f ( g 一2 ) + q 】一学 ( 1 2 1 1 ) 其中m ( kg ) 定义同上，而 七 q = q 1 + q 2 + + q 七= q j = z 七 = 1 + 2 + + 帆= 也 3 = z 1 3 多元t 分布的性质简介 多元t 分布有着许多良好的性质，其中一些与多元正态分布有着极其相似之 处下面给出一些主要的性质 ( 1 ) 矩利用( 1 2 5 ) 式，可以非常容易地得到 e ( y ) = e ( e ( yj z ) ) = p c o v ( y ) = e c o v ( y i z ) ) + c o v e ( yj z ) 】= e ( v ) = v ( 2 ) 边际分布设m 维随机向量y 服从分布k ( p ，kg ) ，将y ，p ，y 剖分为 y = ， p ：r p - 、， p 2 6 y = 慨 ( 1 3 1 ) 蜥 一 班 。 旷 v ，脚 一 协 ：i i | q 、li， 2 2 第一章：引言 其中m 和p 1 为m l 维向量，l 是m 1 仇1 阶正定矩阵则m 服从m l 维t 分 布，。( p 1 ，k l ，口) ，其密度函数为 亡m 。( 可l ；p 1 ，v n ，g ) = c m ，( v i i ，g ) 【( 口一2 ) + ( y l p 1 ) 7 1 ( 可1 一p 1 ) 】_ 盟产 且k 服从( m m 1 ) 维t 分布，t m - m l ( p 2 ，口) ，其密度函数为 k m ，( 垅；舰，k 2 ，g ) = c ，l m 。( ，口) ( g 一2 ) + ( 耽一2 ) 1 ( 钝一心) r 学 ( 3 ) 条件分布设m 维随机变量y 服从分布t m ( p ，kq ) ，按( 1 3 1 ) 式将y ，弘，y 进 行剖分在给定k = 耽的条件下，m 的条件分布服从m l 维分布。2 2 q + m m 1 ) 其中 p 1 2 = 肛1 + h 2 v 妄1 ( 抛一p 2 ) 1 2 。再i 紊【( g 一2 ) + ( 沈一p 2 ) 1 ( y 2 一p 2 ) 眦2 v 1 1 2 = v 1 1 一2 嵫1 1 在给定y 1 = y l 的条件下，k 的条件分布也有类似的结果 ( 4 ) 线性变换的封闭性假设随机向量y 服从自由度为q ，均值为“并且协方 差矩阵为y 的m 维亡分布a 是m m 非奇异矩阵，6 是m 维常数列向量 则a y + 6 服从自由度为g ，均值为a p + b ，且协方差矩阵为a v a 的m 维t 分 布 注意到多元亡分布线性组合分布的自由度仍然保持，并且这一结果同正态分 布下的情形相似 ( 5 ) 二次型的分布假设随机向量y 服从自由度为q ，均值为p ，并且协方差矩阵 为y 的m 维t 分布则丽禹y v 一1 y 服从参数为q 和m 的f 分布，其非中心 参数为而b y 一1 p 7 第一章：引言 1 4 近年来的主要结果 许多作者对一元及多元t 分布的特征函数作了大量的研究j o a r d e r 和a l i ( 1 9 9 6 ：) 得到了多元t 分布的特征函数为方便起见用亡：n ( 可；p ，矿) 表示多元t 分布的另 一种形式，即 t ：，l ( 可；p ，矿) = 茄【1 + 言( 剪一p ) 一1 ( 可一p ) 】一q + m ) 2 ( 1 4 1 ) i t r m ，是m 阶的正定矩阵，q 2 已知或未知，且q + = q ( q - - 2 ) ，c ( q ，m ) 可 由下式得到 f ( ( g + m ) 2 ) c ( q ，m ) = g m 2 r ( q 2 ) ( 1 4 2 ) 记作y t ，仇( p ，矿) ，同时用t ：，l ( 可；p ，矿) 表示所对应的密度函数易证y 的协 方差矩阵+ 即为矿已 p f y 准i f f b , , , e ( 1 4 1 ) 式和( 1 2 1 ) 式所代表的实质上是同一分布族，( 1 4 1 ) 式中的+ 即( 1 2 1 ) 式中的v ( 1 4 1 ) 式中的密度函数形式所对应的多元t 分布的特征函数 为 批1 p 踹驯| ( q e ) 1 2 t i i ) ( 1 4 3 ) 这里k ；2 ( i i ( g e ) 1 2 圳) 是阶数为q 2 ，自变量为i i ( g ) 1 2 t l l 的m a c d o n a l d 函数 a 阶自变量为t 的m a c d o n a l d i 獭玩( t ) 有以下的积分表达形式【w a t s o n ( 1 9 5 8 ) ， p 1 7 2 ： 瑚) - ( 争鼍笋z ( 1 + u 2 ) _ ( 州) c o s ( t 州州 帅 。2 ( 1 4 4 ) m a c d o n a l d 函数j 厶( r ) ( r 0 ，a 非负整数) 的级数表达方式参见j o a r d e r 和a l i ( 1 9 9 6 ) m ( 1 4 1 ) 式不难得到密度函数为 t ( 可；g ) = 赤( 1 + 萼) 一( 口+ 1 ) 2 ，g 。 的s t u d e n tt 分布的特征函数为 醐) = 篇( 删，口 2 在此基础上r a h m a n 和s a l e h ( 1 9 7 5 ) 推导出了b e h r e n s - f i s h e r 统计量的精确的分布 形式 8 第一章：引言 如果m 维随机向量z 有下述概率密度函数 i ( z ) = g ( z 乞) ( 1 4 5 ) 则称随机向量z n 从球分布m u i r h e a d ( 1 9 8 2 ) 在一本关于多兀分析的教科书中首 次讨论了椭球分布和球分布f a n g 和a n d e r s o n ( 1 9 9 0 ) ，f a n g ，k o t z 乘l n g ( 1 9 9 0 ) 对 其分布理论进行了进一步研究其应用参见l a n g e ，l i t t l e 和t a y l o r ( 1 9 8 9 ) ，k i b - r i a 和h a q ( 1 9 9 9 a ) ，k i b r i a 和s a l e h ( 2 0 0 3 ) ，k o t z 和n a d a r a j a h ( 2 0 0 4 ) 以及这些文献 所引用的部分文献 设z n 从多元t 分布有下述形式的密度函数 他) = 北= 瓦杀渺( 1 + 了z t z ) 一升帕2 ( 1 4 6 ) 这里c ( q ，m ) 见( 1 4 2 ) 式令r = ( z 7 z ) m ，f a n g ，k o t z 和n g ( 1 9 9 0 ) 中推导得到 一r 2 。f ( m ，g ) 并且 e ( 舻) = q k 2 ：r ( ( m 1 + 同k ) 面2 ) r 旷( ( q - k ) 2 ) ，口 后 特别地， e ( r 2 ) = 墨，口 2 v a r ( 冗2 ) = 百2 m ( j m + 丽q - 2 ) q 2 ，g 4 由密度函数( 1 4 1 ) 式可得到另一种不相关t 分布模型的联合分布形式 州= d 弼嘉c 1 + 轳叶川归 阻4 其中 q 7 = ( 协一p ) 7 一1 ( 协一p ) j = l 并且协( j = 1 ，2 ，) 是同服从于多元t y y n 厶( 肛，矿) 的随机向量b 的观 测值设 a = ( 巧一9 ) ( y j 一矿) = ( o 确) ，矿= y j n 9 第一章：引言 类似于1 2 节中的结果，不难得出 a i m = u w ，m ( 一1 ，u 2 )( 1 4 8 ) 其中u 0 服从i n v e r t e dg a m m a 分布，密度函数如下 九( u ) = 可2 ( q 2 万) q 2u 吨+ 1 ) e x p ( 罢) 其中g 是i n v e r t e dg a m m a 分布的自由度显然，掣2 服从自由度为口的x 2 分布 s u t r a d h a r 和a l i ( 1 9 8 9 ) 得到了a 的密度函数有下述形式 z 虿丽= 西鬲笔； 2 若；：二1 丙丽l a l c 一仇一2 v 2 e x p 一互1 t r ( u 2 ) 一1 a ) ( u ) d u 积分后得到 而矿高筹羔而胪删2(lgtrv-1ac(q n n - 1 ) , 。 1 ) 2 ) 一学 ，(一1 ) m ) 2 (2 r m ( ( 一) p 叫 、。g 7 其中a 0 ，n - 1 m ，多元g a m m a i 撇r 、m ( n ) 定义为，r m ( a ) = 7 r m ( m 一1 ) 4l - i 墨l r ( ( 2 q i + 1 ) 2 ) 利用( 1 4 8 ) 式中的表达，不难推导出i a l 膏，l a i 七a ，t r ( a ) 2 ，t r ( a 2 ) 等的期望【 j o a r d e 和a l i ( 1 9 9 2 a ) ，j o a r d e r ( 1 9 9 5 a ，1 9 9 5 b ) 对于( 1 4 7 ) 式中的不相关亡分布模型中的参数p 和的极大似然估计( m l e ) 有 丘= 矿和竞= a n 【f a n g 和a n d e r s o n ( 1 9 9 0 ) ，p 2 0 1 2 0 6 但是这里所得到的极大 似然估计并没有重要的价值，这是因为在这个模型中，当形状参数口有限时，各个 观测向量k 之间并非是独立的显然样本均值p 足参数p 的无偏且相合估计参 数的无偏估计是a ( q + ( 一1 ) ) ，这里g = q ( q 一2 ) 【f a n g 和a n d e r s o n ( 1 9 9 0 ) ， p 2 0 8 j o a r d e ( 1 9 9 5 a ) 考虑t ( i 4 7 ) 式中的不相关t 分布模型中刻度矩阵( s o m em e t - t r i x ) 在平方误差损失函数( s q u a r e de r r o rl o s sf u n c t i o n ) 下的估计需要注意到 的是，当q 为已知常数时，由刻度矩阵即可以得到协方差矩阵+ j o a r d e r 和 a h m e d ( 1 9 9 6 ) 发展了( 1 4 7 ) 式中的不相关亡分布模型中矩阵的特征值的估计理 论j o a r d e r 和b e g ( 1 9 9 8 ) 考虑了此模型中t r ( ) 在平方误差损失函数下的估计 j o a r d e r 和a l i ( 1 9 9 7 ) 考虑了此模型中在熵损失函数( e n t r o p yl o s sf u n c t i o n ) - ：的 估计 1 0 第一章：引言 一些作者还考虑了两样本多元t 分布中均值向量的假设检验问题 s u t r a d - h a r ( 1 9 8 8 a ，1 9 9 0 ) ，k h a n ( 1 9 9 7 ，2 0 0 4 ) 类似于( 1 2 1 2 ) 式，基于( 1 4 1 ) 式中的密度 函数表达，得到 纵蛐一小d 焉( 1 + 爷时州卢 ( 1 4 9 ) 其中 七 n = 1 + 2 + + 肌= j = l 在( 1 4 9 ) 式中设k = 2 ，均值向量p 1 和舰相等性的检验统计量为 其中 qq 严= ( r 一硗) 7 ( 爱+ 爱) 。( r 一玩) ( n l + n 2 ) 品= n l s l + n 2 n l 。1 1 ，n 2 = 川2 1 屿 岛。去若( 铲彰肥t 一髟) ，歹“，2 上述结果可见s u t r a d h a r ( 1 9 8 8 a ) 类似于1 2 节中的多元t 分布的条件表达式，符号定义同( 1 4 8 ) 式，在给定u 的 条件下，有 n - 1 t 2 。以，一l ( 瓦)( 1 4 1 0 ) 其中, n - 1 ( 屯) 表示参数为m ，一1 且非中心参数为屯= 1 一舰) 0 2 ) - 1 ( 肛1 一 比) 的非中心f 一分布等铲的非条件分布可以通过积分得到由( 1 4 1 0 ) 式可以 得到在原假设h o ：p 1 = p 2 成立时 严一晶f m - ， 1 1 喏 七：l = 阢 + ，2q + 饼 = 叮 如 一 班 以 v ，坳 一 协 坼：l = 研 第一章：引言 s u t r a d h a r ( 1 9 8 8 a ) 和s u t r a d h a r ( 1 9 9 0 )讨论了假设检验h o ：p l = 抛hh 1 ： p l p 2 的势函数 杨国庆和吴启光( 2 0 0 4 ) 研究了误差向量服从多元正态分布或多元t 分布的一 类线性模型中参数的一致最小风险无偏( u m r u ) 估计的存在性问题，这里模型包 括了( 扩充) 增长曲线模型，似乎不相关回归方程组( s u r e ) 模型，方差分量模型 等【吴启光和杨国庆( 2 0 0 1 ) 1 并分别给出了在凸损失( c o n v e xl o s s e s ) 和矩阵损失( m a t r i xl o s s e s ) 下，存在回归系数的可估线性函数的一致最小风险无偏估计的充分 必要条件这些结果进一步说明了多元正态分布和多元分布之间存在着一些极 其相似的性质，例如假设满足一定参数空间结构，则在多元正态分布和多元亡分布 下的两类线性模型中回归系数线性可估函数具有相同的一致最小风险无偏估计 杨国庆和吴启光( 2 0 0 7 ) 在前文的基础上，进一步研究了多元t 分布线性模型 中参数的一致最小风险无偏估计问题证明了：在多个因变量线性模型，( 扩充) 增 长曲线模型，似乎不相关回归组，方差分量模型等常用模型下，当误差向量服从 多元亡分布时与误差向量服从多元正态分布时，具有相同的完全统计量和无偏估 计，且在后一种情况下的充分统计量必为前一种情况下的充分统计量对于带有 多种协方差结构的前述几种模型，把在误差服从多元正态分布下，相应的协方差 阵及有关参数的一致最小风险无偏估计存在性的结论推广到了相应的误差服从多 元t 分布情形此外，对于误差服从多元亡分布的这类统一的线性模型，给出了回 归系数的线性可估函数的无偏估计的协方差阵的g r 下界 n a d a r a j a h 和k o t z ( 2 0 0 8 ) 回顾了已知的多元t 分布的估计和模拟方法同时 也提供了一些的应用上的指导 1 2 第二章：一类指数混合分布族及多元t 分布族中参数的估计及假没检验 第二章一类指数混合分布族及多元亡分布族中参数的估计 及假设检验 2 1 指数混合分布族的概念 设t m ( x p ，v 口) 表示密度函数为 t m ( 可；x f l ，vq ) 全c 。( k 口) 【( 口一2 ) + ( 一x f l ) 7 v 一1 ( 可一x p ) 】一牮，p r p ，v y ( 2 1 1 ) 的多元亡分布，其中( k 口) = 【丌予r ( ) i y 向一1 ( g 一2 ) 墨r ( 警) 则显然多元亡分 布t m ( x f l ，k 口) 是正态分布n , 。( x 3 ，y ) 与参数为( g ， ) 的g 锄m a 分布的混合， 即 t m ( 秒；x f l ，kg ) = 口厶 ；x f l ，譬y ) 夕( z ；q ) d z = 口( 2 丌譬) 一等i y l 一号e x p ( 一丽z ，：y x z ) 7 y 一1 ( y x p ) ) 9 ( 名；q ) d z 由于一般情况下，多元正态分布都属于指数分布族因此，本节将上述从多元 正态分布得出多元t i c 布的过程推广到一般指数分布族中，定义了一类新的分布 族，称为指数混合族本章第三节研究了该类分布族的数学及统计性质，并将多参 数指数族中单边假设检验的一致最优无偏( u m p u ) 检验的结果推广到该类分布族 中利用这些结果，第四节证明了通常的利用独立同分布于正态总体的样本( 一个 或两个1 得到的单边u m p u 检验在样本服从联合多元t 分布时仍然是u m p u 设随机变量x 的样本空间为( 彤，留影) ，p 为( 彤，留彤) 上一个伊有限测度 马，秒e ) 是一个概率族，秽为参数，e 为参数空间，它关于p ( z ) 的密度函数族 为 ，( z ，0 ) ：口e ) ，其中，( z ；p ) = 虬d p ( z o ) 本文用编表示下述指数族 乡= ( ，( z ；口) d p ( z ) = c ( 8 ) e x p ( e 巩正( z ) ) d p ( z ) ：口e ) ( 2 1 2 ) 其中p = ( 9 1 ，如，以) 是未知参数，p e 1 3 第二章：一类指数混合分布族及多元t 分布族中参数的估计及假设检验 本章假定上述指数族的自然参数空间o 。满足条件：对任意的0 o 。，及任 意c 0 ，c o e + 例如在下面例2 1 2 中，对正态分布。( b 互厶qd ) ， 当d 0 为任意正定矩阵，b 为任意p m 矩阵时，该分布族的自然参数空间 为( ( 0 i ( j 1 ) p 啪( 赡) p m ) ，其中( 口g ) p p 为任意j 下定矩阵，( p 2 ) p m 为任意px m j e 阵则该指数族即满足上述条件 记 9 ( z ；g ) 全【2 墨r ( 昙) 】一1 z 墨- 1 e - 舌，( z o ) ( 2 1 3 ) 它是参数为( ，) 的g a m m a 分布密度函数，其中参数口 o 已知或未知，且当口未 知时，设q q ，qcr 对一切0 o ，由下述积分 ：翟c ( 8 巧) e x 盎p 豢兰) 9 ( 名；q ) d z 铡一0 g ) ，0 o ( 2 ) = 时南怎1 以互( z ) ) 9 ( 名； 全 ( z ；，g ) ， 可以得到一个新的分布族，记作或，即 ：多= = ( z ；0 ，g ) d p ( z ) ：0 e ) ( 2 1 5 ) 或是指数族丘与g a m m a 分布的混合，本章称之为指数混合族 为下文叙述方便，我们称( 2 1 4 ) 式中，将指数分布族转化为指数混合族的过 程为指数混合 记口( 2 = ( 0 2 ，以) ，则0 = ( 0 1 ，口( 2 ) ) 当0 1 = 口1 0 为常数时，记e ( 0 ) = ( 如，o k ) ：( 0 1 0 ，p ( 2 ) ) e ) 当0 1 = p l o 时，相应的指数族及指数混合族分别 记作绲及 在多元正态分布m ( x p ，y ) 或多元t 分布t m ( x z ，k 口) 中，所考虑的协方 差矩阵的全体记为y ，对于许多常见的协方差结构y ，多元t 分布族都是指数混合 族 例2 1 1设m 维向量y 一m ( x 卢，y ) ，其中v = 仃2 v o ，v o o 是已 知正定矩阵，盯2 o 未知及p r 尸则y 的密度函数厶( 秒；x p ，盯2 ) = ( 2 t 0 2 ) 一号l y o l 一唧| 【一万1 。y r 刀y 盯1 x p e x p - 萨1 可7 盯1 可+ 1 可7 盯1 x z 如果记o l = 一由，口( 2 ) = ( 如，1 ) = 击p ，死 ) = y v o - 1 y ，( 死( ! ，) ，1 ( 可) ) = 1 4 第二章：一类指数混合分布族及多元t 分布族中参数的估计及假没检验 x v 矿1 y 则厶( y ；x f l ，仃2 v o ) 就表示为指数族分布因此，多元分布族t m ( x p ，t 7 2 v o ，q ) 是指数混合族特别地，多元z 分布亡n ( 可；p l ，0 - 2 厶，g ) = 【丌鲁r ( ) 仃】- 1 ( 口一 2 ) 墨r ( 字) 【( g 一2 ) + 1 ：1 慨一p ) 2 】- 警是正态分布m ( p l ，仃2 厶) 的指数混合 其中1 = ( 1 ，1 ，1 ) ，因为如果设口1 = 参，如= 一由，7 i = ：1 犰， t 2 = ：l 费，则从( p 1 ，仃2 厶) 的密度函数厶( 秒；p ，盯2 ) 就表示为指数族的形式 厶( ! ，；p ，口2 ) = ( 2 7 r 盯2 ) 一号既p ( 一篆) e x p ( o l 死( 秒) + 如疋( 秒) ) 因此，多元t 分布族k ( 可；p 1 ，盯2 厶，口) 是指数混合族 例2 1 2 设随机矩阵k 。服从p 钆维正态分布n ( b 互i n & d ) ，其 中z 是m n 已知矩阵，b 是p m 阶未知参数矩阵，d 0 是p 阶正定参数矩阵， 则多元正态分