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二元矩阵有理插值函数的构造 摘要 作为非线性逼近类型之一的有理函数逼近，因为其独特的特性，愈来愈受 到人们的关注，它比多项式灵活，能更准确的反映函数本身的一些特性。近几年 来，科技的不断发展，电脑应用的普及，都为有理函数的研究提供了强有力的 工具，人们对有理函数的研究越来越深入，有理逼近在应用方面也彰显出它独 特的优势。 本文第一章介绍了有理逼近的理论背景及本文的主要内容。 第二章首先介绍了连分式的基本理论及性质，因为连分式在构造矩阵值有 理插值中起到的至关重要的作用。然后介绍了一元矩阵值有理插值的定义，基 本概念及性质，最后介绍了构造一元矩阵值有理插值的方法。 第三章主要介绍二元矩阵值有理插值的定义，基本概念及性质，并且介绍 了构造二元矩阵值有理插值的常用方法。 最后一章将多项式方法应用到有理插值中，通过引入多个参数，定义一对 二元多项式：代数多项式和矩阵多项式，利用两多项式相等的充分必要条件通 过求解线性方程组确定参数，并由此给出了二元矩阵值有理插值公式。 关键词：二元矩阵值；有理插值：多项式；参数；方程组。 m e t h o do fc o n s t r u c t i n gb i v a r i a t em a t r i x - v a l u e dr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n s a b s t r a c t r a t i o n a la p p r o x i m a t i o n ，o n et y p eo fn o n l i n e a ra p p r o x i m a t i o n ，i sd r a w i n gm o r e a n dm o r ea t t e n t i o n sr e c e n t l y c o m p a r e dt op o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o n s ，i t sm o r e f l e x i b l ea n dc a nd e s c r i b ep h y s i c a lc h a r a c t e ro ff u n c t i o n sm o r ea c c u r a t e l ya l t h o u g hi t i sc o m p l e x i nt h ep a s tf e wy e a r s ，t h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g ya n dt h e p r e v a l e n c eo fc o m p u t e rb e c o m et h ep o w e r f u lt o o l so ft h er e s e a r c h o fr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n t h er e s e a r c ho fr a t i o n a li n t e r p o l a t i o ni sg o i n gf u r t h e ra n di ts h o w s s o m es p e c i a la d v a n t a g e si na p p l i c a t i o n s i nf i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fr a t i o n a li n t e r p o l a t i o na n dt h e m a i nc o n t e n to ft h i sp a p e r t h es e c o n dc h a p t e ri n t r o d u c e sc o n t i n u e df r a c t i o n sb a s i ct h e o r i e sa n dp r o p e r t i e s ， b e c a u s ec o n t i n u e df r a c t i o ni sv e r yi m p o r t a n ti nc o n s t r u c t i n gm a t r i x - v a l u e dr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n ，a n d t h e ni n t r o d u c e st h e d e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so fu n i v a r i a t e m a t r i x - v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n s t h et h i r d c h a p t e r i n t r o d u c e st h e d e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so fb i v a r i a t e m a t r i x - v a l u e dr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n ，a l s o i n t r o d u c e st h ec o m m o nm e t h o do f c o n s t r u c t i n g b i v a r i a t em a r x - v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n s i nl a s t c h a p t e r ，w ea p p l yp o l y n o m i a l m e t h o di n c o n s t r u c t i n g b i v a r i a t e m a t r i x v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n s f o rt h ec a l c u l a t i o no fb i v a r i a t e m a t r i x v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n s ，m u l t i - p a r a m e t e r sa r ei n t r o d u c e da n dag r o u po f p o l y n o m i a l sw i t ht w oe l e m e n t s ，t h a ti sa na l g e b r a i cp o l y n o m i a la n dm a t r i x v a l u e d p o l y n o m i a l s ，a r ed e f i n e d b yu s i n gt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o r p o l y n o m i a l si d e n t i t y , l i n e a re q u a t i o n sa r es o l v e dt od e t e r m i n et h ep a r a m e t e r sa n d t h e f o r m u l ao ft h em a t r i x v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o ni sg i v e n k e yw o r d s ：b i v a r i a t em a t r i x - v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ；p o l y n o m i a l s y s t e mo fe q u a t i o n s 独创性声明 本人声明所旱交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得金旦巴：e 些盔堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同t 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签字：老嘶签字日期：2 叼7 年年月髫日 il 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金月巴工业太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金 g 垦! ：些厶堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名夺伟伟 签字日期：力7 年牛月f g 日 - - 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 篆) 。 所谓基于广义逆( 2 2 2 ) 的矩阵值有理插值就是求矩阵函数 r 。( x ) = p ( x ) q ( x ) ， ( 2 2 3 ) 使之满足条件：r 。( ) = p ( ) q ( 薯) = a ，i = o ，1 ，n ， ( 2 2 4 ) 其中p ( x ) = ( 乞( x ) ) 西。吨，而弓( x ) 是x 的多项式( 实的或复的) ，q ( x ) 是一元实 系数多项式。 2 2 2 一元矩阵值有理插值函数的构造方法 对给定的点集u ：及矩阵集鸭，定义 b o ( 一) = a f ，i = 0 ，1 ，z ， b 1 ( x o ，_ ) = ( 五一x o ) b o ( x , ) 一b o ( x o ) 。( 2 2 5 ) b , ( x o 妒荆2 瓦雨五轰卷丽万而扎 如果利用递推式( 2 2 5 ) 算出的b , ( x o ，五，而) 0 ，( 零矩阵) ，= 1 ，( b o ( ) 除外) ，则形式上有 彳( x ) = b o ( x o ) + l i x 丽- x o + l i 石x i - - 雨x i + ， 它的第n 阶渐进分式 r ( x ) = b o ( x o ) + l 丽x - x o + l i 石x i - - 雨x i + + l i 赢， ( 2 2 6 ) 就是满足插值条件( 2 2 4 ) 的矩阵值有理插值。 事实上，由( 2 2 5 ) 式可推得 r ( ) = s o ( x o ) + 而x - - 丽x o + 面x 磊, - x 习1 + + 轰 = b o ( x o ) + l 而x - x o + + l i ；：了舌 1 2 = b o ( ) + + ! 苎= 墨= 1 2 【堡= ! 亟：墨= 2 ：墨= 1 2 二星= ! ! 叠! 兰! ! ：兰= 1 2 1 ( 一x j 1 ) x x ox i x i 一2 b l ( x o ，五) + + e l ( x o ，一2 ，薯) = = b o ( x o ) 2b o ( t ) = 4 ， i = o ，1 ，n 舭2 则斗加m m = 艄郴三1 0 1 1 这里= 一- ，五= 。，而= ，凡= o o o ，4 = ： ，4 由式( 2 2 5 ) 可算出 2雠，巾=xi-xobo(xo) b 。( x o b o ( x o - b o ( x o ) =2 l oooi ，而) _ 2 b , ( x o ，_ ，x z ) 2 币i 万x 2 - - 酉x ii 而 于是 1 - 一31 0 - 3 2 西【_ 3 7 7 j 尺：( x ) = o o o + x + 1 x 骊+ 幕习 i3 3 x1 0 x 3 3 x i3 3 x3 + 7 x3 + 7 x = j ：- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 1 5 x 2 + 2 x + 3 易验证r ：( 薯) = 4 ， i = 0 ，1 ，2 。 1f 10l l = 一l i ， 5l 11 l j 由例2 2 容易看出用递推关系式( 2 2 5 ) 得出的矩阵值有理插值函数与例 2 1 是相同的。 这里递推关系式( 2 2 5 ) 就是计算矩阵连分式( 2 2 6 ) 系数的公式。我们 也可以按如下反差商表进行计算： 1 3 1j o 1 o o o 1lij广。1 下土 = 反差商表 一b o ( )b l ( x o ，薯)岛( x o ，而，薯)b ( x o ，x 1 ，镌，薯) x o 岛( 而) 尽( x o ，) 而 岛( 而) b i ( x o ，x 2 )垦( x o ，x 2 ) x 2鼠( x 2 ) b l ( x o ，屯)岛( x o ，而，x 3 )岛( x o ，x l ，x 2 ，x 3 ) 而鼠( j c 3 ) 注：画“一”的反差商就是r ( x ) 的系数。 将连分式( 2 2 2 ) 从末项起利用矩阵广义逆( 2 2 2 ) 逐次向前有理化便得到 矩阵值有理函数 驰) 2 舞吲咖而x - 而x o 一热。 ( 2 2 7 ) 2 2 3 一兀矩阵值有理插值函数的性质 定义2 2 1 由式( 2 2 7 ) 定义的民( x ) = p ( x ) q ( x ) ，如果满足 ( i ) 烈弓) ，1 f 4 ，l 盔，且必有某个( o ，j o ) 使a ( 气，如) = ，1 o 4 ， ls d 2 ； ( i i ) a q ( x ) = 肌， 则称兄( x ) 具有 1 m 型。如果a 只，_ ，) = ，1 f 4 ，15j 畋，则称为是严格【m 】 型。 设矩阵值有理函数r ( x ) = p ( x ) q ( x ) 是 ，m 型的，当乞( x ) 与q ( x ) 没有非常 数公因子，而q ( x ) 与i lp ( x ) 1 1 2 最大公因子为( x ) ，其中0 a = ，sm ，若 o m ，且l = ( n + t + 1 ) 2 。 例2 1 中尺( x ) 是既约形式，o n ) = 2 ，a d ) = 2 ，1 5 x 2 + 2 x + 3 是d ( x ) 与ln ( x ) 1 2 的最大公因式a 形) = ，= 2 ，n = 2 是偶数，所以m = ( 2 + 2 ) 2 = 2 。 我们给出的定义，取消了整除条件，这表明这里给出的结果具有一般性。 我们还可以得出如下的惟一性定理。 定理2 2 1 1 1如果r ( x ) ，r ( x ) 是满足插值条件 r ( 一) = 厂( 薯) = 杉， f = 0 ，1 ，疗 的两个矩阵值有理函数，且它们同型，则 尺( x ) 兰r ( x ) 。 类似于向量值情形，也有矩阵值切触有理插值，这里就不再一一介绍。 2 3 一种类似于多项式形式的一元矩阵值有理插值 给定n + 1 个互异节点x o 而 0 ，g ( x ) p ( x ) i i2 及p ( x ) 是方阵的条件下，讨论了矩阵值有 理插值问题，得到了一些结果，但没有涉及存在性。为了构造有理插值函数还 加了一些限制。本文在无任何限制的条件下，给出构造矩阵值有理插值函数的 方法。 2 3 i 相关定义 定义2 3 1若矩阵值有理函数( 2 3 1 ) 中p ( x ) = ( q ，( x ) ) r 4 。吨满足 ( 1 ) 钆( x ) ，1 i 碣，1 j 噍； ( 2 ) 必有某个( f 0 ，五) ，使a 气，如( x ) = ，； ( 3 ) 幻( x ) = m ( “a ”表示多项式次数) 。 则称r 。( x ) 具有【q m l 型，或r 。( x ) r ( t ，肌) 。 记 w ( x ) = ( x x o ) ( x 一一) ( x 一) ， 令 w ( x ) ：塑：( x 一) ( x 一薯一。) ( x 一而+ 。) ( x 一) ， ( 2 3 3 ) 显然( 2 3 3 ) 式右端是门次多项式，且可以表示成 q ( x ) = x ”+ 一i ，j 工”一+ 一2 ，x “一2 + + 口i ，f x + a o ， ( 2 3 4 ) 其中a j ，( = o ，l ，玎一1 ) 表示( 2 3 3 ) 式展开后的系数。为清楚起见，写出w o ( x ) 展丌后的系数公式 ( 一1 ) 一l 。o = x i + x 2 + + 矗 一2 , 02 葺而+ + x 1 x n + 而为- i - + 一i x ( 一1 ) 。o = 也l x k 2 ( 2 3 5 ) ( 所有可能的j 个不同的乘积之和) ( 一1 y a o o = x l x 2 x n 对于w ( x ) 乘开后的系数公式完全类似，如( x ) 只需将( 2 3 5 ) 式右端而换成而 即可。换句话说，( 2 3 5 ) 式右边的n 个元素，不含葺( f = o ，1 ，门) ，即得w ( x ) 乘开后的公式。 定义2 3 2 对给定的x o 一 及相应的矩阵a ，= a ( 薯) ( f = 0 ，l ，刀) 。 记 d ( x ) = m ( x ) ， f t = o n ( x ) = a ，w j ( x ) i = o 1 6 ( 2 3 6 ) 显然d ( x ) 是刀次代数多项式，n ( x ) 是栉次矩阵多项式。 令 形( x ) = 【( x ) ，( x ) 】7 x = k ，矗- i ，l 】 b = 1 a n l ，oa n 一2 ，o q ，oa o ，o 1 a n l ，1 一2 1 a l ja o ，l 1 一i 。n 一2 a i ，月g o 月 ( 2 3 7 ) 其中口川表示w ( x ) 展开后的系数( = 珂一1 ，刀一2 ，0 ；i = o ，l ，以) ，于是 w ( x 1 = b x 。 ( 2 3 8 ) 定理2 3 1方程组( 2 3 8 ) 的系数矩阵b 的行列式d e t b = 万0 。 下面仅就行= 3 时来证明，一般情形完全类似可以证明。 d e tb = 1 一( x l + x 2 + 而) 1 一( x o + x 2 + 玛) 1 一( x o + x i + x 3 ) 1 一( x o + x i + x 2 ) 第2 、3 、4 行减第1 行，整理得 而恐+ 一墨+ 邑屯 x o x 2 + x o x 3 + x 2 x 3 而而+ 而+ 而而 五+ 而砭+ 五x 2 d e t b = ( 五一) ( 一x o ) ( x 3 一x o ) l o x 2 一x j l ( x 2 l 一 + 而) 1 0 x 3 一 一西x 2 屯 x o x 2 x 3 一而而屯 一x 2 0 1 2 3 ( 而- x o ) ( x 2 - x o ) ( x 3 - x o ) ( 屯一而) ( 屯- x 。) ( x 3 - - x 2 ) = 兀( _ 一讳) 。 p q 由于x o x i 0 。 记 孵) = 器 1 7 ( 2 3 9 ) j1jq 而而 黾一：一，即亿沁黾而 直接验证可知 鹏，= l ，嚣 2 3 2 矩阵值有理插值公式 ( 2 3 1 0 ) 定理2 3 2 对于给定的互异节点及相应的矩阵值a ，= a ( 一) ， i = 0 ，l ，以，由( 2 3 6 ) 、( 2 3 9 ) 式定义的d ( x ) 和n ( x ) 构成的矩阵值有理函数 脚) = 器= 窆i f f i o 瓣) a ( 誓) 满足插值条件r ( ) = a ( _ ) ，_ ，= o ，1 ，2 且r ( x ) g ( n ，刀) 。 例2 3 设x o = - l ，五= 0 ，屯= l ，x 3 = 2 ， ( 2 3 11 ) a 。= i 三三三i ，a = i l o ：) i ，a ：= l 吕三：i ，a ，= f 兰：) _ 1 i ， 由( 2 3 5 ) 式知 w o ( x ) = x ( x 1 ) ( z 一2 ) = x 3 3 x 2 + 2 x h ( x ) = ( x + 1 ) ( x 一1 ) ( x 一2 ) = x 3 2 x 2 一x + 2 w 2 ( x ) = ( x + 1 ) x ( x - 2 ) = x 3 一x 2 2 x w 3 ( x ) = ( x + 1 ) x ( x - 1 ) = x 3 一x 由( 2 3 6 ) 式得 d ( x ) = 4 x 3 6 x 2 2 x + 2 ， 一言吣干3 毒j 2r - - x - - x 2 - 2 x 2 - - 朋x | ， 直接验证可知，r ( 班器- a ( n 圳，l ，2 ，3 0 显然由( 2 3 1 1 ) 式构造的矩阵值有理插值函数次数较高。为了降低次数，引 入参数哆( f = 0 ，1 ，力) ，重新定义并仍记为d ( x ) 、n ( x ) 和仍( x ) 1 8 打 d ( x ) = q w ( x ) i = 0 n ( x ) = 口，w ( x ) a ( ) t = o 舭) = 等 r = 器= 喜北) 下面给出降低多项式d ( x ) 次数的方法： 由( 2 3 1 2 ) 式知 d ( x ) = o t o w o ( x ) + a , w t ( x ) + + 吒( x ) 利用w ( x ) 展开式可知： r 的系数为+ q + + o t n ， x 川的系数为一l 。o + q 一l ，l + + 一i 一， x 的系数为口l 。o + 口1 a l ，i + + 口。a l ，n ， 常数项为n o a o 。o + o r l a o ，l + + o t n q o ，h 。 ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) ( 2 3 1 5 ) 如果要降低2 次，由多项式相等的充分必要条件，可令矿，矿- 1 系数为o ， 便得齐次线性方程组 ( 视q 为未知量) f + q + + = 0 【_ 1 o + - l ，i + + 一l 一= 0 ( 2 3 1 6 ) 方程组( 2 3 1 6 ) 一定存在非平凡解，求出一个解向量，记为( ，q + ，口。) ，将 它代入( 2 3 1 2 ) 式，便求出。( x ) 和n ( x ) 。从而得到满足插值条件的r ( x ) = 罢暑。 1 9 由此便得定理( 2 3 3 ) ： 定理2 3 3 对给定的互异点及相应矩阵a ( 薯) ( f = o ，1 ，玎) ，则 一黑：攀， 3 胛， 一d ( x ) 窆q 彬( x ) 一。“川 满足插值条件r ( ) = a ( 五) ，i = o ，1 ，疗，且d ( x ) 的次数和类型可根据需要确 对于例2 3 ，希望d ( 石) = x 2 + 2 ，由分析知，q 要a o ，q ，t 2 2 ，a 3 是方程组 i 三篡：笫。 i2 口。一喁一2 c t 2 一钙= 0 【2 a l = 2 的解即可。方程组( 2 3 1 8 ) 的系数矩阵为 b = 一320 l 一2 12i 一1 2oi 。 1 0- 10l - i 由定理2 3 1 知d e t b 0 ，故方程组( 2 3 1 8 ) 有惟一解。 解之可得口o = 一三，喁= 1 , c t 2 = - 吾，= l 。 代入公式( 2 3 1 2 ) ，得 d ( x ) = x 2 + 2 ， n c x ，：l 石3 毫三二：+ 2 脚) = 器， 2 0 ( 2 3 1 8 ) x 卜3 矿、 + 噶 一i 2 毛2 2 一2 ， 吖乙2 ，一 就是满足插值条件r ( 薯) = a ( 葺) ，( i = 0 , 1 ，2 ，3 ) 的矩阵值有理函数。 进一步还可以降低分母多项式次数。如取d ( x ) = x + 4 ，此时考虑方程组 + q + 口2 + = 0 3 a o 一2 a , 一= 0 2 a o 一口l 一2 a 2 一口3 = 1 2 1 一口l 一2 一口3 = 2 a i = 4 解之得= 一三，q = 2 , a 2 = - - 主，= 1 代入公式( 2 3 1 2 ) ，可得 d ( x ) = x + 4 ， n ( x ) = ( 2 3 1 9 ) = 3x 一一一5z 2 3 x + 4 一兰x 3 + 1 3 x 2 + 7 x - 47 x 3 + 三x 2 + 6 x 222 22 一2 2 1 3 - - 2 x x 3 - - x一三x 3 一三z 2 + 3 x + 4 22 直接验证，满足 r ( 一) = a ( 薯) ，( f = o ，1 ，2 ，3 ) 。 例2 4 设给定相异点x o = 一1 ，五= o , x 2 = 1 及相应矩阵 a c ，= 三三 ，a c _ ，= ： ，a c ，= 吕： ， 求矩阵值有理插值函数r ( x ) = 。n ( ( x x _ 2 ) ，是之满足 r ( 班器“( 州，1 ，2 ) 。 解： w o ( x ) = ( x x 1 ) ( 石一x 2 ) = x 2 一z ， ( x ) = ( x x o ) ( x x 2 ) = x 2 1 ， ( x ) = ( x x o ) ( x 一西) = x 2 + 工， 用矩阵广义逆和t h i e l e 连分式方法求得 2 l r c z ，= j i l 1 - x 22 x 3 ：x + 2 + 3 x 3 x + 。 。 用本文方法，由( 2 3 1 5 ) 式得 ( 2 3 2 0 ) d ( x ) = a o w o ( x ) + a i m ( x ) + ( x ) = ( + + ) x 2 + ( 一a o + h q ( 2 3 2 1 ) 设d ( x ) = 5 x 2 + l ，利用多项式相等的充分必要条件得如下方程组 ( 2 3 2 2 ) 由定理2 3 1 知，方程组系数行列式不为零，故存在惟一解，解之得 = 3 ，q = 一1 ，a 2 = 3 。将代入公式( 2 3 1 7 ) ，得到r ( x ) 与( 2 3 2 0 ) 式一样。 如果取d ( x ) = x + 2 ，则由( 2 3 2 1 ) 式得方程组 醪薯0 解之得口。= i i ，q = 一2 ，口：= 吾 于是 d ( x ) = x + 2 ， n c x ，= i 1 。工2 一x ， 3 - 2 ( x 2 - 1 ) ：? + 兰 3 2 2 x 2三z 2 + 三x 22 2 2 x 2 一三x 2 + 一3x + 2 22 i 户仉 坞“ 喝q 直接验证可知r ( 薯) = a ( ) ，( f _ 0 ，1 ，2 ) 。 2 3 3 小结 这旱只给出降低有理插值函数分母多项式次数的方法。由于分子是矩阵多 项式，为了降低多项式次数，方程组中方程个数较大，构成矛盾方程组。需用 最d , - 乘法求解。在理论上还需证明矛盾方程组有解。这是值得进一步探讨的 问题。 这种方法其目的是对有理插值问题利用一元多项式插值的方法，即对给定 的刀+ 1 个互异节点，总可以惟一地构造出九次插值多项式。对有理插值问题， 也像多项式插值那样，插值函数的构造只考虑节点，不必关心所给的函数值( 包 括向量值、矩阵值等) 。由于所给方法的灵活性，所以插值函数的惟一性没有一 般定理。因此建立一般的惟一性定理是值得探讨的问题。 第三章二元矩阵值有理插值 二元矩阵值有理插值是一元情形的自然推广。本章首先介绍二元矩阵值有 理插值的概念，然后介绍二元t h i e l e 型矩阵值有理插值的方法，最后叙述了二 元矩阵值有理插值的性质。 3 1 二元矩阵值有理插值的概念 对给定的半向点集所组成的集合 乙，。= ，y j ) l f = 1 = o ，1 ，n ；j = 0 ，l ，m ，巧) r 2 及相应的矩阵值的集合 鸠删= 4 ，ji i = o ，1 ，n ；j = 0 ，1 ，m ，4 ，= 彳( 一，y j ) c 而。如) ， 所谓二元矩阵值有理插值，就是寻求矩阵值有理函数 u ) = 渊 ( 3 1 1 ) 使赫足徘( ) = 粼= 4 ，叭心。 ( 3 1 2 ) 其中n ( x ，y ) 是个实的( 或复的) 多项式矩阵，( 例如只j ( x ，y ) 是一个二元多项 式) ，d ( x ，y ) 是一个实系数二元多项式，4 = 彳( 一，y j ) 。 3 2 二元t h i e l e 型矩阵值有理插值 用矩阵的行向量列展开方法和文献【2 7 】中的向量值有理插值的构造方法，我 们可以构造出如下的二元t h i e l e 型连分式： r 训) = g o ( 小而x - - x 0 + + 锗， ( 3 2 1 ) 对于，= 0 ，1 ，刀， g ，( y ) = 昂。o ( x o ，葺；) + y y oy y m 并且矩阵忍，( x o ，x , ；y o ，乃) 可由如下的递推过程得出 2 4 )2 ) 蜘卫，1 j ( ，l 脚日 + 、， m西h，l 目 b ，o ( ，y ) = a , j ，i = o ，l ，n ；j = 0 ，l ，聊， ( 3 2 3 ) 岛j ( ；，乃) 2 i ：i i 5 i _ 了：j 历y j = - - 瓦y j i - i 忑i i 了了了丽， ( 3 2 4 ) e 。( 驴。，棚) 2 瓦丙巧j 丽x i 两- - x i _ j i 万i 忑丽，( 3 2 5 ) 量而，；，乃) 2 虿j i i _ i i 5 i _ j i i 考芋i 篆三石i _ 了i 了i 而 ( 3 2 6 ) 由矩阵的展开定义和文献 2 7 】中采用的向量值有理插值的方法，我们可以 证明出如下的结论： 定理3 2 1 如果所有的矩阵岛，( x o ；y o ，y j ) ，e ，。( x o ，薯；) 和 置，( x o ，x , ；y o ，乃) ( 待o ，1 ，n ；j = o ，1 ，所) 都存在，并且都不为零( 除了 b 。( ，y o ) ) ，那么形如( 3 2 1 ) 式的矩阵值有理插值函数r 。( x ，少) 满足： r ，。( _ ，y j ) = 4 ，j ，i = o ，l ，聆；j = o ，l ，朋。 例3 1 已知插值数据如下表1 求函数恐。( x ，y ) ，使它满足 恐，l ( 薯，y j ) = 4 ，i = o ，1 ，2 ；j = o ，1 。 表1 4 。x o = 一1 x l = 0 x 2 = 0 删雠 州 解：利用矩阵的s a m e l s o n 逆的形式和( 3 2 2 ) ( 3 2 6 ) 式中的递推公 式，我们得到 g o c y ，= f ：吕三 + l -j g ic 少，= r 善三三1 + y 1f o0 一1 2 1 1 0 o j li 1f o 1 一i 2l01 g ：c j ，= 三 言：呈 + 厂00 1 一y 2 l y 0 o j = 暖 1 一y 少 翔2 i o朱一：三 一 代入公式( 3 2 1 ) 中，我们得到 尺2 j = ； 暑 1 一丢 + x + 1 r o1 一y 【0y摊习。 易证明出：r 2 , 1 ( ，y j ) = 4 ，i = o ，1 ，2 ；= 0 , 1 3 3 插值的性质 由矩阵的行向量列展开定义和文献【2 8 】中相应的结论，我们可以证明出如 下的矩阵值有理插值的性质。 定理3 3 1 如果r 。( x ，y ) 中形如( 2 2 2 ) 的矩阵的逆的形式是显式的， 那么必存在一个多项式矩阵m ( x ，y ) 和一个实多项式d ( x ，y ) ，使得 ( a ) b 。( x ，y ) = m ( x ，y ) d ( x ，y ) ，其中d ( x ，少) 0 ： ( b ) d ( x ，y ) i i im ( x ，y ) 1 1 2 。 定义3 3 1 定义b m r i , , 为所有的具有如下形式的二元矩阵值有理插 值函数的集合： m 川= e o ( y ) + 而x - x o + 蒜锗， 其中， 驰心 + 等+ 等+ + 寄一叫，刀 且 f ( d ) f ( 1 ) ，f ( 肌) ) = i = o ，1 ，m ) 。 定义3 3 2 羞矩阵值有理插值函数雕川= 筹( 其中 n ( x ，y ) = ( ( x ，y ) ) 珥。也是一个珥吐矩阵多项式( a u ( x ，y ) 是多项式) ，d ( x ，y ) 是 一个实多项式) 如果满足： ( i ) o a , j ，i = 1 ，d l ；j = l ，攻，且存在某个( f 0 ，j o ) ( 1 o 西，1 五吐) 使 得电如= ，； ( i i ) o d ( x ，y ) = 脚( ”矿表示多项式次数) ， 则称r ( x ，y ) 具有【，m 】型。 定理3 3 2 ( 唯一性定理) 如果b m r i x 中的两个矩阵值有理插值函数 r 。( x ，y ) 和。( x ，j ，) 满足： 兄。( ，乃) = ，：，。( 薯，y j ) ， i = o ，l ，r l ， = 9 1 ，研， 贝0 色。( x ，y ) - r 。( x ，y ) 。 证明：由r ，。( _ ，y j ) b m r i ， ，：，珊( x ，y ) b m r i ，矢口 u ) = 啪) + 丽x - - x 0 + 赫诸， 心= 啪) + 蒜+ 蒜而x - - x n _ ! ， 其中 轴嘲+ 等+ 等+ + 寄一叫，胛 3 3 ) 且，( 0 ) ，( 1 ) ，( 朋) 是0 ，1 ，m 的一个排列。 日渺m + 等+ 等+ + 警小叫，川 3 且庀( o ) ，忌( 1 ) ，k ( m ) 是0 ，1 ，n 的一个排列。 由r ，。( x o ，乃) = ，；l ，。( x o ，y j ) ，= 0 ，1 ，m 知 g o ( y ，) = 风( y ) ，歹= 0 ，1 ，m ， 、，、， 1 2 3 2 j3 j ( ( 由文献【9 】中的唯一性定理，我们有 g o ( y ) 兰h o ( y ) 。 假设 g ，( 少) = 只( y ) ，i = 0 ，1 ，k 一1 ， 由( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 式可以得出 轴) - _ 祷赫+ 丽丽x k - - x 0 ， 仇( 少) = 一瓦x k - - 丽x k _ i + + 由已知 xkx、xkxo 一一o h l ( j ，) + 风( y ) 一。( ，y ) r ，。( 兹，乃) - r 。( ，乃) ， 歹= o ，l ，掰 得到 g ( 乃) = 乩( y j ) ，j = o ，l ，m ， 从而得出g ( 夕) 暑峨( y ) ， 再由归纳法便可得出 g f ( y ) = e ( y ) ，扛o ，1 ，刀， 因而得出定理的结论b 。( x ，y ) 毫。( x ，y ) 。 对给定的节点( ，y j ) r 2 , ( f = o ，1 ，n ；j = o ，l ，m ) ，排成如下形式的插值 结点矩阵兀仉埘： ( x o ，x o ) ( x o ，一) ( x o ，) ( 五，x o ) ( x j ，x 1 ) ( ，x m ) ， ：。： ( 吒，而) ( 矗，五) ( 吒，) 那么定理( 3 3 2 ) 告诉我们：如果兀玑”中每行的朋+ 1 个点的顺序是固定的， 那么b m r i , , 中的矩阵值有理插值函数是唯一的。但是，如果兀几”中的不同的行 彼此互换，将会产生不同的矩阵值有理插值函数，下面的例子可以证明这个结 论。 例3 2 若碣= 吐= 2 ，r i - 1 1 1 和4 ，= o ，1 ；j = o ，1 ) 如下表。 表2 4 x o = 0 而= 1 删嘲嘲 州明m 出( 3 3 3 ) 一( 3 3 6 ) 式，我们得到 i1 9 少3 2 0 y 2 + 6 y + 6 x 一6 砂 5 x y 。i w ) = l 立l 可若羔竽竺剑o ( 3 3 5 ) 如果我们将表2 中x o 列和而列进行互换，也就是将兀1 1 的第一行与第二行互换， 表3 4 。 五= 1 x o = 0 删煳醐 州m 嘲 利用同样的方法，我们可以得到 1 i o ，y ) = 1 9 y 3 1 4 y 2 + 6 x 一6 x y1 9 y 3 2 0 y 2 + y + 5 砂 一1 9 y 3 + 2 0 y 2 一y 一5 x y - 3 8 y 3 + 7 8 y 2 + 3 0 y + 1 2 x 一2 2 x y 1 9 y 2 2 0 y + 6 容易看出尽管r ，l ( 薯，y j ) = ，l ( 薯，y j ) = 4 f = 0 , 1 ；j = o ，1 ，但是蜀。l ( x ，y ) ，l ( x ，y ) 。 然而，如果互换表2 中行和m 行，也就是将兀1 1 的第一列与第二列互换，即 得到如下表4 ， 2 9 表4 4 。x o = 0 x i = 1 州 闷m r o o i - 1o 胪o lo oiio 2i 不难证明出由表4 得出的新的矩阵值有理插值函数与羁。( x ，y ) 是一样的。 设 其中 d r w ) j t o ( 卅锗锗， ( 3 3 6 ) 瓦( x ) = c 0 k ( x o ；y o ，兑) + x x ox x n i c 1 女( ，五；虬，儿) + + e 。t ( x o ，x 。；y o ，y k ) 且c j ，( x o ，一，x , ；y o ，乃) 由下面的递推公式算出 c o ，o ( ，y j ) = 4 ，i = 0 ，l ，刀；j = 0 ，l ，肌， c oj ( ；， ) 2 石：j i 五i _ j i i 巧y j f - 乏y i j _ 1 ：五i 瓦- _ 巧丽 c j ，。( j f 0 ，；儿) 2 虿：i i _ i i ：i 5 五x = - - 石x _ ：! i i _ i 乏：而 ( 3 3 7 ) ( 3 3 8 ) c , j ( 射一州埘一，y j ) 2 瓦忑了i i 瓦i 毒专曩i i j 而 定义3 3 3 b m r i y 是由所有的具有如下形式的二元矩阵值有理插值 函数的集合： 其中 d r ( w ) 一u o ( 卅黹镣 rr ，、t ，。x 一誓( o ) x 一( 月一1 ) 叭对叫( o ) + 带+ + 1 3 0 k ( 护k = 0 , 1 ，刀，是4 破矩阵，且 f ( o ) ，f ( 1 ) ，f ( 刀) ) = o ，l ，n ) 。 在表2 中，由( 3 3 6 ) 一( 3 3 1 1 ) ，我们可以得出 i1 9 x 3 2 0 x 2 + 6 x + 6 y 一6 砂 5 矽 。尺(x，y)=上二兰茎竺-i弓：f二主吾妻三旦兰二!三剑 易证明出d r i l ( 薯，乃) = 4 i ，j = o ，1 显而易见，r l ，l ( x ，y ) d r l ，l ( x ，少) ，但是l e , ，l ( x ，y ) 兰d r l ，l ( y ，x ) ，或者 d r l ，i ( x ，y ) 兰r i 1 ( y ，x ) 。 定义3 3 4 称兄。( x ，y ) g a 观。( 石，y ) 互为对偶的矩阵值有理插值函 数，如果r ，。( x ，y ) b m r i , , ，d r ，。( x ，y ) b m r i y 并hr ，。( 薯，y j ) = d b 。( 薯，y j ) = 4 j ，i =