（应用数学专业论文）极值分布下无失效数据的可靠性参数估计.pdf

西北大学硕i 学位论文 摘要 随着科学技术的r 新月异，产品的质量越来越高，因此在进行定时截尾试验 时经常出现无失效情形，特别是在高可靠性、小子样问题中经常出现“无失效数 据”。因此无失效数据问题是可靠性领域的一个新的研究方向。 可靠性估计和可靠性验证试验在可靠性工程中占有重要的位置。其中，可靠 性估计是已知产品的寿命分布，如何去估计产品的可靠性的问题。而可靠性验证 是已知产品的寿命分布，要求产品的某个可靠性指标达到预定的值，如何确定试 验时间的问题。本文用贝叶斯方法对极值分布场合下的可靠性评估和验证问题进 行了深入地研究。 首先，讨论了极值分布型产品的可靠性估计问题。分别从失效概率和可靠度 两个重要指标出发，利用多层贝叶斯方法得到了失效概率和可靠度的贝叶斯估 计，从而再利用最小二乘法给出未知参数及可靠性重要指标的贝叶斯估计，并在 引进失效信息后给出了贝叶斯综合估计。 其次，分析了在尺度参数已知、位置参数未知和尺度参数、位黄参数均未知 的两种情形下利用贝叶斯方法求出了参数及可靠性指标的双侧和单侧区间估计。 最后，讨论了极值分布型产品的可靠性验证问题。同区间估计分两种情况给 出了无失效可靠性验证方案。方案不仅考虑了使用方的利益，而且通过无条件概 率保证了生产方的利益。 关键词：极值分布；无失效数据；贝叶斯估计；多层先验分布；可靠性验证 寿北太晕顾i 学位论文 e s t i m a t i o no f p a r a m e t e ri nt h ec a s eo f z e r o - f a i l u r ed a t ai nt h ee x t r e m e v a l u e d i s t r i b u t i o n a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , t h eq u a l i t yo fp r o d u c t i o ni s b e t t e ra n db e t t e r s oi nt h et y p e il i f et e s t i n g , t h es i t u a t i o no fz e r o f a i l u r ed a t ao f t e n ( w c u r s ，e s p e c i a l l yi nh i g l lr e l i a b i l i t y a n ds m a l ls a m p l i n gt e s t s t h e r e f o r et h ep r o b l e m o fz e r o f a i l u r ed a t ab e c o m e san e wr e s e a r c ha s p e c ti nt h er e l i a b i l i t ye n g i n e e r i n g t h er e l i a b i l i t ye s t i m a t ea n dt h er e l i a b i l i t yd e m o n s t r a t i o nt e s ta r ei m p o r t a n ti nt h e r e l i a b i l i t ye n g i n e e r i n g t h er e l i a b i l i t ye s t i m a t ei st h ep r o b l e mh o wt oe s t i m a t et h e p r o d u c t s r e l i a b i l i t yb a s e do nt h ek n o w nd i s t r i b u t i o na n dd a t aa n dt h er e l i a b i l i t y d e m o n s t r a t i o ni st h ep r o b l e mh o w l o n gt h et e s ti sb a s e do nt h ek n o w n d i s t r i b u t i o na n d s o m er e l i a b i l i t yi n d e xm e e t i n gt h ee x p e c t a t i o n i nt h ep a p e r , b a y e s i a nm e t h o di su s e d t os t u d yt h ep r o b l e m so ft h er e l i a b i l i t ye s t i m a t ea n dt h er e l i a b i l i t yd e m o n s t r a t i o nt e s t f o re x t r e m e 吖a l u ed i s t r i b u t i o n f i r s t ，t h er e l i a b i l i t ye s t i m a t ef o re x f f e m e v a l u ed i s t r i b u t i o ni sd i s c u s s e d o nt h e b a s i so ft h ef a i l u r ep r o b a b i l i t ya n dr e l i a b i l i t y , t h ep a p e rg e t st h eb a y e s i a ne s t i m a t eb y m e a n so ft h eh i e r a r c h i c a l p r i o rd i s t r i b u t i o n t h e n , b yal e a s ts q u a r em e t h o d p a r a m e t e r sa n dt h ei m p o r t a n tr e l i a b i l i t yi n d e x e sb a y e s i a ne s t i m a t ea r eg i v e no u t b e s i d e s ，a f t e ri n t r o d u c i n gf a i l u r ei n f o r m a t i o n ，b a y e s i a ns y n t h e s i se s t i m a t e sa l eg i v e n o u t s e c o n d l y ,b a y e s i a nc o n f i d e n c eb o u n d sa r es t u d i e df o rt h et w oc a s e s o n ei s t h a tt h es c a l ep a r a m e t e ri sk n o w na n dt h el o c a t i o np a r a m e t e ri su n k n o w n , t h eo t h e ri s t h a tb o t ha r eu n k n o w n t h ep a p e rg i v e so u tt h et w o s i d e dc o n f i d e n c ei n t e r v a la n d o n e s i d e dc o n f i d e n c ei n t e r v a lo ft h ep a r a m e t e ra n dt h er e l i a b i l i t yi n d e x e st h r o u g ht h e b a y e s i a nm e t h o d a tl a s t , t h e r e l i a b i l i t yd e m o n s t r a t i o n t e s tf o re x t r e m e v a l u ed i s t r b u t i o ni s i i 西北大学硕t 学位论文 d i s c u s s e d t h er e l i a b i l i t yd e m o n s t r a t i o nt e s t i n gp r o c e d u r ei sg i v e nf o re a c ho ft h et w o c a s e sw h i c hi st h es a m ea st h ec o n f i d e n c ei n t e r v a le s t i m a t e t h ep r o c e d u r en o to n l y t h i n k so v e rt h ee m p l o y e r s i n t e r e s t sb u ta l s og u a r a n t e e st h ep r o d u c e r s b ym e a n so f t h eu n c o n d i t i o n a lp r o b a b i l i t y k e y w o r d s ：e x t r e m e - v a l u ed i s t r i b u t i o n ；z e r o f a i l u r ed a t a ；b a y e s i a ne s t i m a t e ； h i e r a r c h i c a lp r i o rd i s t r i b u t i o n ；r d i a b i l i t yd e m o n s t r a t i o nt e s t i n gp r o c e d u r e 1 1 1 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：目垄指导教师签名： 言、 前岁7i 2 唧年月日力。7 年月。岁日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究：【 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：阅萄 哪年，月日 西北大学硕i 学位论文 1 1 问题的提出 第一章绪论 可靠性是产品寿命指标的总称，它反映了一个产品在规定时间和规定条件 下，完成规定功能的能力。随着科学技术的发展，产品的可靠性越来越受到人们 的重视。现在从一个电子元件、一台电视机到一台设备、一个系统都在研究可靠 性指标。为了弄清被试产品的寿命，求出各项可靠性指标，研究产品的失效机理 以便为提高产品的可靠性提出建议，常常需要进行寿命试验，因为只有暴露故障 才能了解产品的寿命和失效原因。寿命试验常常具有一定的破坏性，因而寿命试 验只能从产品中抽取部分样品进行。 在可靠性寿命试验中，由于受试时间、费用等各种因素的制约，获得的试验 数据常常是各类截尾数据，其中定时截尾试验是一种常用的方法。在规定的时间 内，如果失效数大于零，利用获得的数据进行统计分析现已有比较成熟的方法， 如最大似然估计。但若出现无失效情况，即在规定的试验时间内没有样品失效。 这时，常用的估计方法，如最大似然估计和最佳线性无偏估计均无效。无失效数 据问题就是己知产品的寿命分布和一组无失效数据，如何去估计产品的可靠性， 这属于可靠性评估问题。实际上，随着科学技术的水平的不断提高，产品的质量 越来越高，特别是在高可靠性、小子样问题中常出现“无失效数据”。 反之，已知产品的寿命分布，要求产品的某个可靠性指标达到预定的值，那 么产品的试验时间应多长，这属于可靠性验证问题。可靠性验证试验综合考虑了 生产方和使用方的利益，为减少受试时间，常采用无失效试验，即在受试时间内 没有样品失效。如果试验通过，则表明达到双方的预期期望值，而且又减少了实 验费用，具有很大的经济效益。 1 2 国内外无失效数据的研究现状 在无失效数据情形下，如何对产品进行可靠性统计分析，对于建立在无失效 西北大幸硕 。学位论文 数据分析基础上的现有可靠性理论来讲，是一个有着一定难度的问题。寻找在无 失效数据条件下进行科学、有效的可靠性分析方法现己成为可靠性研究中一个新 的而又十分重要的领域。 在国外，研究无失效问题最早的文献，要算b a r t h o l o m e v 1 1 。他提出的用总 的试验时问为其平均寿命的估计值，相当于在规定的时间内有一产品失效的平均 寿命估计，显然这一估计偏小，一直以来很少被使用。m a r t z 和w a l l e r 2 1 用贝叶 斯方法比较好的解决了关于单参数指数寿命型分布的无失效数据可靠性评估问 题和可靠性验证问题。随后几十年，大部分工作限于单参数指数分布定数截尾和 有失效数据的定时截尾，见文献【3 】- i 刀。近年来，也有很多文献研究了威布尔分布 无失效数据的可靠性评估问题，见文献1 8 h 1 5 1 。 在国内，研究无失效数据问题最早要算茆诗松、罗朝斌1 1 6 1 、张忠占、杨振 海【1 刀。1 9 8 5 年国家标准g b 5 0 8 0 4 8 5 【1 8 】规定：在指数分布场合，若到定点还没 有观测到无失效数据，则用总的试验时间的三倍作为平均寿命的估计。这只是一 个经验估计，至今尚未得到充分的理论说明。近年来，无失效数据引起了统计学 家的兴趣，他们用经典方法【1 6 1 1 1 7 1 1 9 1 、修正似然函数方法【捌、b a y e s 方法【2 2 l 【1 等 加以探讨研究。 对于无失效数据问题，虽已取得一定的成果，但尚存在不足： 1 在可靠性理论中，指数分布是最基本的一种分布，失效率为常数，但在 实际中，不少产品的失效率可能递增，也可能递减。这使得指数分布的应用受到 限制。而威布尔分布和极值分布可表现为各种不同的形状，能够较好的适用各种 试验数据，而且两者之间还能够较好的转化。 2 在工程设计中。经常需要预测某些量的最大值。如使用寿命期内作用在 建筑物上的最大风速影响，环境工程，空气污染，海洋工程建筑中波高推算研究， 结构工程和材料强度设计，也考虑极值风速载荷对建筑结构的影响。当设计载荷 较小时，可能造成结构塌陷，损坏；反之，载荷较大时，导致财力、物力、入力 资源的浪费，利用极值理论可以很好推算最大载荷分布特性。其次，对于高可靠 性软件，由于其测试失效数据较少且离散性强，这些模型对该类软件的可靠性评 估就存在着一定的局限性，这类稀有事件的发生也可利用极值理论来予以解决。 3 利用b a y e s 方法的关键是先验分布的选取，以往的许多文献对为什么要 西北太学颂l 学位论文 取那种分布没有做出合理的解释或理论证明，并且为了满足参数估计值的保序 性，对参数的取值范围加以限制。 4 在无失效场合寻找参数和可靠性指标的点估计已是一件不易之事，而要 寻求置信限就更为困难，特别是对于极值分布两个参数均未知时，目前对于这一 问题，利用贝叶斯方法还未有成熟的结论。 5 文献【2 】1 2 3 j 1 1 5 1 分别讨论了单参数指数分布、对数正态分布、两参数威布尔 分布的可靠性验证问题。但对于极值分布的寿命可靠性验证问题目前尚未有系统 的研究。 1 3 本文的主要结构 鉴于国内外发展的现状和存在的问题，本文主要包括以下内容： 第二章系统的介绍有关b a y c s 统计的起源、发展以及进行推断的理论方法 等。 第三章主要讨论极值分布在无失效场合下的点估计。本文分别从失效概率和 可靠度两个重要的可靠性指标出发，利用b a y c s 方法进行参数和可靠性指标的 点估计，并在引进失效信息后，给出了它们的加权综合估计。 第四章主要讨论了极值分布在无失效场合下的区间估计。本文从简单到复 杂，分两种情况进行讨论，给出了未知参数和重要的可靠性指标的区间估计 第五章设计了极值分布型产品的可靠性验证试验方案，分两种情况讨论，为 生产方和使用方达成一致的协议提供了依据。 西北大学硕i 。学位论文 第二章贝叶斯统计 2 1 b a y e s 统计的起源、发展和应用 2 1 1 b a y e s 统计的起源和发展 国际数理统计主要有两大学派：b a y e s 学派和经典学派。他们之间既有共同 点，又有不同点。经典统计学是基于总体信息( 即总体分布或总体所属分布族的 信息) 和样本信息( 即从总体抽取的样本的信息) 进行统计的推断，而b a y e s 统计是基于总体信息、样本信息和先验信息( 即在抽样之前有关统计问题的一些 信息，主要来源于经验或历史资料) 进行的统计推断，与经典统计的本质区别在 于是否利用先验信息。 b a y e s 统计起源于英国学者托马斯贝叶斯( 1 7 0 2 - 1 7 6 1 ) 死后发表的一篇论 文“论有关机遇问题的求解”。在此论文中，他提出了著名的贝叶斯公式和一种 归纳推理方法。随后拉普拉斯不仅重新发现了贝叶斯定理，还用它解决了天体力 学、医学统计以及法学问题。之后虽有一些研究和应用，但由于其理论尚不完善， 应用中出现一些问题，致使贝叶斯方法长期未被接受。直n - 战后，瓦尔德 ( 1 9 0 2 1 9 5 0 ) 提出的统计决策函数论后又引起很多人对贝叶斯方法研究的兴趣， 因为在这个理论问题中贝叶斯解被认为是一种最优决策函数。在s a v a g e ， l i ( 1 9 5 4 ) 、j e f f r e y s ，h ( 1 9 6 1 ) 、g o o d ，l j ( 1 9 5 0 ) 、l i n d l e y , d v ( 1 9 6 1 ) 、b o x ，g e e & t i a o ，g c ( 1 9 7 3 ) 、b e r g e r , j o ( 1 9 8 5 ) 等贝叶斯学者的努力下，贝叶斯方法在观点、 方法和理论上得到了不断的完善。另外在这段时间贝叶斯统计在工业、经济、管 理等领域获得一批无可非议的成功应用。1 9 8 4 年史密斯教授曾预言：“到本世纪 末，理论加上计算机的图示，将成为现代统计实践中最受欢迎的形式”。不论这 预言是否有偏颇，但如今贝叶斯统计日趋成熟，有关贝叶斯统计方面的研究与 著作也越来越多，贝叶斯学派已发展成为一个有影响的统计学派，打破了经典统 计学一统天下的局面。 西北太幸硕f + 学位论文 2 1 2 b a y e s 学派的观点 b a y e s 学派最基本的观点是：总体分布中的未知参数口是一随机变量，用一 个概率分布去描述对一的未知状况，这个概率分布是在抽样前就有的关于一先验 信息的概率陈述，被称为先验分布。因为一个未知量有不确定性，而在表述不确 定性时，概率和概率分布是最好的语言。例如产品的不合格率一是未知量，但每 天都有一些变化，把它看作一个随机变量是合理的，用一个概率分布去描述它也 是恰当的。贝叶斯统计就是基于所具有的知识用概率来度量对一个不确定事件的 真实度的相信程度。 贝叶斯统计存在的主要问题是先验分布问题。例如如何在具体的问题中定出 合适的先验分布? 先验分布是一个纯主观的随意性的东西，那还有什么科学意 义? 到目前为止，b a y e s 统计未能提出一个放之四海而皆准的确定先验分布的方 法，因而，这确实是b a y e s 统计的一个重大弱点。但在承认这一点的同时应清晰 的看到，b a y e s 学赞成主观概率，并不等于说可以用主观随意的方法去选取先验 分布，而是要求研究者对所考察的事件有较透彻的的了解和丰富的经验。事实上， 对如何确定先验分布b a y e s 学者作了不少的探讨，并且在实用范围内，对一些常 见的分布都已得到了较好的回答。 2 1 3 b a y e s 统计的应用 随着b a y e s 统计的兴起和发展，b a y c s 统计得到了广泛的应用。 2 1 3 1 经济方面 国外已出版了b a y e s 统计在经济学的某一领域的应用专著。其中，芝加哥大 学的z e l l n e r , a 教授是b a y e s 学派在经济方面的主要领导人，东京大学的两位知 名学者铃木雪夫和国有直人是日本b a y c s 统计在经济学中应用的领导人。而在国 内，经济界的学者结合我国实际研究“三角债”的博弈理论分析时，把b a y e s 方法、博弈论和经济学的均衡理论结合起来，提出了“b a y e s 博弈均衡理论”j 西北上肇碗i + 学位论盘 2 1 3 2 计算机科学方面 b a y c s 统计在计算机科学中的“统计识别模式”中用得最多，已经使用“修 正的b a y e s 公式”作为开发p r o s p e c t o r 地质矿藏勘探专家系统的概率推理方法， 软件可靠中的l v 模型就是一个b a y c s 随机模型，从这一模型出发，可以确定 软件投放市场的晟佳时自j ，有利于软件生产的质量管理，提高软件产业的经济效 益。 2 1 3 3 可靠性方面 1 9 8 2 年，美国出版了m a n z 和w a l l e r 的专著( b a y e s i a n r e l i a b i l i t y a n a l y s i s ) ， 该书系统地介绍了b a y e s 方法在可靠性中的应用。国内的许多刊物也经常可看到 b a y e s 方法在可靠性应用方面的文章。另外，b a y e s 方法在可靠性中的一个有代 表性的例子是，美国研制m z 导弹时，应用b a y e s 方法把发射试验从原来的3 6 次减少为2 5 次，可靠性却从0 7 2 提高到0 9 3 ，节省费用二亿五千万美元。 另外，b a y e s 统计在医学、法律以及体育运动等方面都有广泛的应用，它已 逐步渗透到现实中的各个领域。 2 2 贝叶斯公式 在初等概率中，讲述了贝叶斯公式的事件形式。这里用对随机变量的密度函 数形式来叙述贝叶斯公式。 考虑一统计模型( p ，卢，伽，：a e o ) ，x 一( x 。，x ：，x 。) 为来自总体的一样 本。假定随机变量x 的抽样分布密度为p o l 8 ) ，表示在随机变量8 给定时，总 体指标x 的条件分布，又根据参数0 的先验信息确定的先验分布口( 日) ，在给定 样本x 之后的条件分布 柙一盟m 铲l x l 其中m o ) 是x 的边缘密度函数，与0 无关。即 西北大幸硕i 。学位论文 r e ( x ) 。f t , ( x ia 归( a ) a a 则( 2 1 ) 式就是贝叶斯公式的密度函数形式，或者称为0 的后验分布。 显然，后验分布石p i 石) 是用总体信息和样本信息对先验分布万p ) 作调整的 结果，它集中总体、样本和先验等三种信息中有关0 的一切信息，可用如下图示 表示： 先验信息0 样本信息一后验信息 我们可看到，在给定样本分布p ( x 1 8 ) 和先验分布石) 后，可运用贝叶斯公 式( 2 - 1 ) 计算0 的后验分布。其中胁0 ) 与参数0 无关，仅起到一个i f 则化因子的作 用。若把m o ) 省略，则贝叶斯公式的等价形式为： 石( p l 功* p ( x 1 日沙( 口) 2 - 2 ) 其中符号z 表示两边相差一个不依赖于参数的常数因子，并且把公式( 2 2 ) 式的右端称为后验分布万pi x ) 的核，利用分布密度的性质就可确定相应的常数 因子册0 ) 。特别是当看出石p i j ) 的核是常数分布的核时，不用计算繁杂的积分 就可很快恢复所缺的常数因子m ( x ) 。从而简化计算。 常用分布的核如表2 - 1 ： 表2 1 常用分布的核 分布类型核 二项分布b ( n ，0 ) 一( 1 - o ) “” 泊松分布p 似) a x e 一1 正态分布0 ，62 )e x p _ ( x 6 - ：u ) 2 ，i 伽玛分布g a ( a ， ) 工。- 1 e h 贝塔分布b e ( a ，b )x a - i ( 1 一工) 6 4 西北大晕硕 学位论文 2 3 贝叶斯估计 2 3 1 点估计 2 3 1 1点估计 设0 是总体分布p ( x i 一) 中的参数，从总体中随机抽取一样本 x - 僻。，x ：，x 。) ，根据一的先验信息取一先验分布石p ) ，用贝叶斯公式算得 后验分布石pi z ) 。作为0 的估计可选用后验分布石pl 工) 的某个位置特征量，如 众数、中位数或期望值等。 定义2 1 使后验分布_ ，r p i 石) 达到最大的值屯称为0 的最大后验估计；后 验分布石p i 工) 的中位数乱称为口的后验中位数估计：后验分布的期望旌称为疗 的后验期望估计，这三个估计都称为口的贝叶斯估计，记为百。可依据实际情况 选用其中的一估计。 2 3 1 2贝叶斯估计的误差 设占是口的一个贝叶斯估计，评定贝叶斯估计否的精度常用后验均方差，具 体定义如下： 定义2 2 设参数一的后验分布为石p i 工) ，贝叶斯估计为占，则( 占一一) 2 的后 验期望 m s e ( g i 工) = e , h ( 占一一) 2 称为每的后验均方差，而其平方根【m s e p i 硝7 2 称为各的后验标准差。当每为口 的后验期望屯= e ( o i x ) ，则 m s e ( 髭l x ) - e v 。( 色一毋) 2 一附( 8 i 石) 西北太擘坝f 掌位论文 称为后验方差，其平方根【砌r i 工) 1 “2 称为后验标准差。而且 m s e ( g l x ) 。岛k ( 占一口) 2 - e e k l ( o 一幺) + ( 睡一p ) 】2 。肠，( p l x ) + ( 砬一百) 2 可见，当占。色时，后验均方差达到最小。本文就在后验均方差达到最小的准则 下，取后验均值作为参数的贝叶斯估计值。 2 3 1 3 贝叶斯估计的稳健性 定义2 3 设f 一仁p ) ：石p ) 是啪先验分布，若行动a 。满足 粤l p 协，圳。) 一篡p p ，枷1 ；s 则称关于石( p ) 是一后验稳健的。其中a 为行动空间，而p p ，x ，4 ) 是相应于先 验分布万p ) 与观测值工对于行动a 的后验期望损失，即： p 伽，础) 2 p ( p ，咖p f 工矽p 实际上，在估计问题上稳健性的主要来源是看先验分布尾部的扁平程度。 2 3 2 区间估计 定义2 - 4设参数的后验分布为石p i 工) ，对于给定的样本 x 一僻，x ：，z 。) 和口( o t 口c 1 ) ，若存在统计量反- 反0 ) 和屯- 毛o ) 满足： p ( 幺s o s 屯i 工) 己1 一口 则称区间【反，屯1 为参数口置信水平为1 一口的贝叶斯双侧区间估计。满足： e ( o 苫允i x ) - i 一口 的反称为一的置信水平为1 一a 的单侧置信下限。而满足： e ( o s 岛l 力之1 - 口 的屯称为毋的置信水平为1 一口的单侧置信上限。 对于区间估计，经典统计和贝叶斯统计存在本质的区别。在经典统计中，把 o 西北太学硕f 。学位论文 参数0 看成是一常数，在寻求置信区自j 时要构造一个分布不含未知参数的枢轴 量，这一点比较困难，而且在解释置信水平和置信区问时也产生困难。而在贝叶 斯统计中，把参数0 看成是一随机变量，在寻求置信区问时直接从后验分布推导 即可，而且很自然的可把置信水平为1 一口的置信区间【反，屯】解释为参数落入这 一区间的概率为1 - 口。因此，在区间估计问题上，贝叶斯方法具有处理简单和 含义清晰的优点。 2 4 先验分布 先验分布是进行贝叶斯统计推断的关键，其确定方法主要有： 2 4 1 无信息先验分布 所谓参数0 的无信息先验分布是指除参数护的取值范围和在总体分布中的 地位之外，再也没有关于0 的任何信息的分布。在此情况下，一般使用贝叶斯假 设：把0 的取值范围上的“均匀分布”看作是0 的先验分布，即： 卅管 ：主三 其中0 是口的取值范围，c 是一常数。 2 4 2 共轭先验分布 定义2 5 设口是总体分布中的参数，石( 伊) 是p 的先验分布密度，若有抽样 信息算得的后验分布密度石p l 工) 与石p ) 是同一类型的，则称石p ) 是口的共轭先 验分布。 例如n 次独立试验中，事件a 发生的次数k 的分布是二项分布 雌叫小咿”吖4 其中0 是每次试验中a 发生的概率。若取贝塔分布b e t a ( a ，b ) 作为先验分布 西北太季硕 掌位论文 石( 口) ，则由公式( 2 2 ) 式得后验分布密度： ，r ( p 1 工) “石( 口) p o i 一) 8 a 4 - k - i ( 1 一日) 4 + 6 。1 易见，后验分布石够l x ) 也是贝塔分布，因此，贝塔分布是二项分布的共轭 分布。在实际中，常用的共轭先验分布如表2 2 所示： 表2 - 3 常用共轭先验分布表 2 4 3 多层先验分布 当所给的先验分布中含的超参数难于确定时。可对超参数再给定一个先验分 布，这时第二个先验就称为超先验。由先验和超先验决定的一个新先验就称为多 层先验。 使用多层先验确定先验分布主要目的是避免犯“冒进”错误，减少不确定性， 其一般的确定步骤为： 第一步：选取参数0 的先验分布石，pi 3 ) ，其中a 是超参数； 第二步：对超参数a 再给定一分布曩：( d ； 则可得多层先验分布的形式 石p ) tf - 。p i a 如：似) 以 气 注意：在理论上并没有限制多层先验只限于二步，可以是三步或更多步，但 西北太晕硕f + 学位论文 在实际应用中二步是常用的。而且对第二步先验用主观概率或用历史数据给出是 有困难的，因为超参数常是不可观察的，甚至连间接观察都是难于进行的，因此 用无信息先验分布为第二步的先验是一种好的策略。因为相对来说，第一步的先 验比较重要，即使第二步的先验决定错了，而导致错误结果的危险性更小一些。 此外，先验分布还可根据杰佛莱原则、最大原则和不变测度等确定。 西北太擘硕二卜学位论文 第三章极值分布的点估计 3 1 极值分布 3 1 1 极值分布 极小值分布的分布函数为， g ”1 - e x p - e x p ( 孚) ，舯- - o o t l i ，则第f 个产品在厶后失去观察。 对极值分布参数作点估计，常用的方法有极大似然估计，但在定时截尾试验 中，考虑到贝叶斯方法在可靠性研究方面的重要应用，下面用贝叶斯方法着重讨 论极值分布在无失效情况下的参数估计。 3 2 极值分布的点估计( i ) 无失效数据问题的数学模型( i ) 假定产品的寿命r 服从极小值分布g ，6 ) ，分布函数见式( 3 1 ) ，其 e u ，6 均 未知。随机地抽取n 个样品，分成七组，各组样品数分别为1 1 1 ，? 1 ：，且 n 。+ 雄：+ + = n ，分别对各组样品做定时截尾试验，截尾时间分别为 t l , t 2 c 1 i ，且f 1s t 2 ，试验结果无一失效，则获得一组无失效数据 纯，n f ) i 一1 2 ，| i 从模型( i ) 中可得到的信息有： 西北太晕硕十学位论文 1 产品的寿命服从极小值分布g 0 ，6 ) ，其中h ，6 均未知； 2 若记墨一n f + 雄m + 4 - 1 1 i ，则表示在时刻t i 前未失效的样品总数； 3 若记p ；= f ( t i ) 一e ( r t i ) ，则表示在f j 时的失效概率。易见当 t l s f 2s s 气时，有o ( p l p 2 墨p t l ； 4 t - o 时，产品的失效概率p o 一0 。 问题是如何利用上述信息求参数，6 的估计? 茆诗松【1 6 l 提出如下的思路来 解决这个问题： 1 首先在诸处获得失效概率a 的估计a ； 2 通过诸点 ，a ) ，i - 1 2 , - - , k 进行曲线拟合； 3 由此分布再做出各个参数及可靠性指标的估计。 在这三步中关键是第一步。在【1 q 中提出三种方法：经典方法、贝叶斯方法、 多层贝叶斯方法。本文认为【1 6 l 的工作是非常有意义的，但作者在选取先验分布 时并没有给出合理的解释，韩明在中提出了先验分布的减函数构造法，这样 较好地逼近了参数的先验分布。 3 2 1 参数的贝叶斯估计 3 2 1 1 只的贝叶斯估计 1 先验分布的确定 从模型( i ) 反映的信息看，关于参数的极少，在贝叶斯统计中，对于无信 息的参数常选取均匀分布作其先验分布，但对于无失效数据问题，产品的失效概 率只不是常数。实际上，a 大的可能性小，而小的可能性大，取均匀分布作为 先验分布是不合适的，所以根据只的特性，应选取关于见的减函数作为其先验 分布。 西北大晕硕i - 学位论史 以下首先确定a 的变化范围，当寿命r 的分布函数f ( f ) 是f 的凹函数时，张 志华 2 5 l 给出的n 的变化范围是o n ，其中 p t i t ( f 一1 ，2 ，州) ，p ：是 以的一个保守上界( 可由专家经验确定) 。当寿命r 的分柿函数j f o ) 是f 的凸函 数时，韩明 2 6 1 出的变化范围是磊一，t n ( 五，其中磊。为n 。的估计， 五- a 一五i t i l ( f 2 一，m ) 。 2 p ；的单层贝叶斯估计 若a 的先验分布密度函数的核为( 1 - p 。) ，根据先验分布的构造方法一减 函数法，应选择文献i 驯中的结论，由取七= 1 ，2 ，3 时的n 的贝叶斯估计都是稳健的， 居中取值得七- 2 ，老：ip i 的先验分布的核为( 1 一p i ) 2 ，则先验密度函数为 石( n ) - 4 0 一只) 2 ( 3 - 5 ) 其中a 。c ac 忑，磊。为p l 。的估计，疋一a 一 。o - 2 ，肌) 4 。而瓦丁3 而( 1 一a 一。) 一( 1 一 ) 根据文献【1 6 1 ，在无失效情况下，p ；的似然函数为 l ( o i 见) 一o - p , ) ( 3 - 6 ) 其中毛一挥，根据贝叶斯定理，则见的后验密度函数为 。嚣。面( 1 - p 忑i f 2 d p , = 揣)p 弘( o i a ) 觑r ( 1 一a 户“ 、“ 则在平方损失下，a 的贝叶斯估计为 磊- 扣岛。鬻端黼如轧埘胭 西北太晕颂i 学位论史 当f ，1 时，a ，0 _ 5 文献【硐 鼠+ l 这种贝叶斯先验分布的构造方法，虽然也采用了减函数，但是却有 磊一。 p i t 正的限制。 3 a 的多层贝叶斯估计 l i n d l e y & s m i t h ( 1 9 7 2 ) 提出了多层先验分布的想法，即在先验分布中含有超参 数时，可对超参数再给出一个先验分布。这样用二步或多步完成先验分布的确定 要比一次完成先验分布的确定更稳妥些。根据贝叶斯定理，由多层先验分布得到 多层后验分布进行推断。 引理3 1 若随机变量x 的分布函数f ( x ) ，并且f ( x ) 是严格单调的连 续函数，则f ( x ) 服从x e f j o ，1 1 上的均匀分布。 引理3 2 p 8 】设随机变量j 。，x ：，j 。相互独立同分布，是来自【o 1 】上的均 匀分布的样本，则第，个次序统计量x ，0 ，s n ) 的概率密度为： p 。南矿” 0 s x rs 1 其他 定理3 1 若随机变量服从极小值分布，p i = ，( f 1 ) 一p 口c ( f - l 2 ，n ) ， 且o f l f 2 t n ，贝l j p t 服从参数为f 川一i + 1 的贝塔分布。 证明： 因为丁一a ( u ，6 ) ，则分布函数( 3 1 ) 两边对t 求导得 g ”c x p 学一c x 辞”争。 所以g ( f ) 关于l 是严格单调递增的，由引理3 1 可得o q ) 一研o , l l 3 乙o t l f 2 ，得p l s p 2s s p ，故根据引理3 2 可得 a b e t a ( i ，栉一f + 1 ) 证毕。 根据定理3 1 ，选用b e t a 分布作为p i 的第一层先验分布密度，即 西北大学硕l 学位论叟 e ! e _ | - _ l e l ! e 目_ ! 自# g 目! l ! ! ! ! l 自_ l l _ _