（计算数学专业论文）非饱和土壤水流问题的特征差分方法及数值模拟.pdf

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b e a r i n gr a t e ，一si sr o o t 8b i b u l o u sr a t e ，k c q ) i sh y d r o - p o w e r c o n d u c t i o nc o e f f i c i e u t ，d ( q ) i ss o i lw a t e rd 近蜮v i 饥a n dq ( o ，p ( ) ，q o ( ：) a r er e s p e c t i v e l y k n o w nw a t e rf l u xi ns u p e r i o rb o u n d a r y , b e l o wb o u n d a r ya n da ti n i t i a lt i m e t h e r ej 8t h e r e l a t i o na m o n gs o i lh y d r o - p o w e rc o n d u c t i o nc o e f f i c i e n tka n ds o i lw a t e r 慨i v i t ydw i t h q a s f o l l o w s 陬 ， ik ( q ) = 虬( 若) 蚺3 ； 雪( q ) = 皿。( 岳) 一6 ； ( 8 ) 【d ( q ) = 一丝裂h ( 若) 2 ；q r q ( z ，) q ， w h e r ega n dga r er e s p e c t i v e l ys o i lw a t e rs a t u r a t e da n du n s a t u r a t e dw a t e r - b e a r i n g r a t e ，0 仉 1 ，s a t u r a t e dw a t e rc o n d u c t i o nr a t e 虬，p a r a m e t e rba n dt h es a t u r a t e ds o i l w a t e rp o t e n t i a l 皿。a r ea l lk n o w nc o n s t a n t s i no r d e rt ob o u n d a r yc o n 出t i o n su n i f o r m ，1 e t 审扛，) ；o ( 2 ，) p ( f ) ( 9 ) b e c a u s e3 ( 0v a r i e t i e sv e r yl i t t l ei nc o n t r a s tt ot , w ea s s u m e 警0 l e t 夕( q ) = 等笋，s o t h ef i r s te q u a t i o ni n ( 1 ) c a nb ep u ti nt h ef o r m 署一差( d ( o + 仂磐) + f ( 国+ 口) 警= s ，o ： ( o ；0 0 ) l e t 妒( ：，审) = 丁；i i i 丽，a n dl e tt h ec h a r a c t e r i s t i cd i r e c t i o na s s o c i a t e dw i t ho p e r - a t e 磐+ 9 ( 亩+ j ) 磐b e d e n o t e db yr ( ：，国) ，w h e r e 导= 丽1 一a o t + 篱晏， m ， 西。 讪( z ，q )。讪0 ，q ) d ： 、 山东大学硕士学位论文 t h e n ，( 1 ) c a nb ew r i t t e ni nt h ee q u i v a l e n tf o r m i 妒o ，亩) 等一麦( d ( o + 口) 磐) = 辞，0 ： ，t ( o ，r ) ； q ( z ，o ) = q 。( z ) 一芦( o ) ，o sz s 厶 ( 1 2 ) i q ( c 。t ) = 0 ，t ( 0 ，丁) ； l( 囝+ 卢) 一d ( 审+ 卢) 磐= g ( ) ，；= o ，( o ，丁) t h i sp a p e rh a st w op a r t s t h ef i r s tp a r t ，n a m e l yt h ef i r s tc h a p t e r t h ef i n i t ed i f f e r e n c ep r o c e d u r eu s i n gl i n e a r i n t e r p d a t i o ni s 鞠tu pa n da n a l y z e d a n dt h em e t h o du s i n gq u a d r a t i ci n t e r p o l a t i o ni s t r e a t e di st h es e c o n dc h a p t e r t h ee r r o re s t i m a t e ss h o wt h a t ，f o rc o n v e c t i o n - d o m i n a t e d p r o b l e m s t h e s es c h e m e sw i l lp e r m i tt h ei 娣o fl a r g e rt i m es t e p s k e yw o r d s ：u n s a t u r a t e ds o i lw a t e rf l o w , c h u r a c t c r i s t i c sf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s ， i n t e r p o l a t i o nm e t h o d s ，e r e o re s t i m a t e s ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n 5 山东大学硕士学位论文 第一章基于线性插值的非饱和土壤水流问题 的特征差分方法及数值模拟 1 1 预备知识与记号 设g = ( o ，) ，l 2 ( g ) 表示在g 上平方可积的l e b e s g u e 空问，h 1 ( g ) 表示在g 内 直到一阶导数平方可积的s o b o l e v 空间令 h ；( g ) = u 日1 ( g ) ； ( l ) = o ) ， ( ，) 表示g 上的l 2 内积，即 ( u ，u ) = u v d z ，v u ，”l 2 ( g ) ； ( 1 3 ) 记 w 晒( 呱t ”邯) ) = 圳等：【o ，t - - w ”一( g ) ， 0 ”h ( o ，b 懈一( g ) ) + c o ，5 = 0 ，1 ，一，七 其中 叭唧；帆悯) = 蹬哪。茹8 筹一( 1 4 ) 简记x ( o ，r ；z ( g ) ) 兰x ( z ) 用5 表示小的正常数，府= ，( s l ，5 2 ，$ ，) 表示与量 s ，s 2 ，冉有关的正常数在不同估计式中，同一符号取不同数值 引理1 ( g r o n w a l l 引理) 设g ( o 在【0 ，t i 上为正的可积函数，c 0 ，若妒( f ) 伊( 1 0 ，7 1 ) ， 且满足 0s9 ( ) c + 9 ( s ) 妒( s ) d s ，v f 【0 ，刀， 则，( ，) 也满足 。) o ； l ；o 6 山东大学硕士学位论文 = 皇皇= = = = 篁= = = 鲁= = 皇= = = = = = = = = = = = = = = ：= = = d o + 6 0 勺， 则 4 ，i + k e m 一 苎 ：? 空问步长一嘻l “p0 诘1 2 ，蛐= l 蜓m 加a 蜓x h ? ；a t = t n 为时间步长。p = n ，n = 0 ，n 记0 【o ，7 3 的网格区域为瓯呢对定义于0 上的任意罔格函数k z 。定义 ( y z ) = 玑磊 ? ， i i y l i 2 = ( y y ) ； z ) = 弘五 ? ， i y i l 2 ；【y y ) ； f y z 】= 蜘心l y 1 2 = y 1 ； ( i y i ，i z j ) = i f f i l i 玑i i 五i “? ，i l y i i * 2 o s m ，a s x jl 玑i 1 2 基于线性插值的特征一差分格式 设( ，t “) g 珏在( 4 ，p ) 处对妒( ：，亩) 筹采用差商逼近 妒( 盈，田) ( 筹) 。亟等笋型= 生乒； 其中 国= 国( 盈，t n ) ，而? = 亩( 露，t n 一1 ) ，刁；磊一9 ( o ? + 伊) t 记 疋嵋= 紫埘= 牮 为逼近空问导数叠( d ( 亩+ j ) 磐) ，定义 即? = 志嗡警哏华】 其中 d o = i d ( ( 亩+ j ) ? ) + d ( ( 亩+ j ) n + 1 ) ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 山东大学硕士学位论文 为使( 1 8 ) 与以，以的定义一致，应理解( d 以国) 中d 为d = ：卜 ，m n 为巴1 设t 嵋) 是问题( 6 ) 的数值解，加”1 ( ：) 尾由( t 口1 ) 岛在0t - x t ：进行分段线性插 值得到的函数令 童：l = 一9 ( 嵋。1 + 矿一1 ) ( 2 0 ) 从而对于某些i 1 ，存在三：i 0 的情况，故存在 ，且0 砰 a t ，成立 角一9 ( w 。n 一1 + 矿一1 ) 圩；0 ( 2 1 ) 定义【l 】 = ( 1 - 豫爿，：姜菩 ， 不失般性，不妨仅对i = 1 的情况考虑假设 n 与 ；使得 l 0 ，三2 0 从而问 题( 6 ) 的特征差分格式可表述为 ) = ( s ) i ， d ( 蝣“+ 矿一1 ) 警= q ( t “) i = 1 ，- ，一1 ；7 i = 1 ，； t = 0 ，1 ，以 竹= 1 ，一l ； t l = 1 ，- ( 2 3 ) 其中0 7 q 由( 2 2 ) 式定义类似于( 1 9 ) 式，定义 翼l = ： d ( u f l + 矿一1 ) + d ( 叫爿+ 矿一1 ) ) ( 2 4 ) 1 3 基于线性插值的特征一差分格式的误差估计 设q 是问题( 6 ) 的解，则 fg 专要l 二一以( d 以口) ? ；( s h + f ? ， t = 1 ，一，一l ；n = 1 ，； l 囝? = ( q o ) t 一口( o ) ， i = 0 ，1 ，； l 亩= 0 ， n = 1 ，n 一1 ； 【( 囝3 + 矿) 一m - n + ，) 牮= q ( t ”) + e g ， n = 1 ，n 8 咖 卜 叫一 尹 一a + = 心仉q 警啦俨晰 山东大学硕士学位论文 其中露，皤是局部截断误差，且类似( 2 2 ) 修正( 1 6 ) 中面? _ 1 的定义， 万1 = ( 1 - 羡豫搿，嚣i 主。 ， 其中印满足0 卸 0 ，使得 i g o ，国) i + i 豪g ( 毛q ) ls k 。 ( 2 8 ) 令f = 0 一，由( 2 5 ) ( 2 3 ) 得误差方程t 翌 霎二三一以( a 疋f ) = e ? + 以( ( d 一月) 以国) ? + 鱼：二二芸兰盟， ；2 ，一l ；n = 1 ， 翌丢p 一以( a 以) z = s z + 以( ( d 一 ) 以国) 2 + 鱼= 二号掣，竹：l ，以 g = 0 ，i = 0 ，1 ，以 ? = 0 ，n = 1 ，n 一1 ； - ( o a ) 以亩0 一a 以嚣= e 8 一( 耳( 铂+ 矿) + 耳( 瞄一1 + 矿一1 ) ) ，n = 1 ，n ( 2 9 ) 其中台一- 按( 2 2 ) 式定义。面? “由( 2 6 ) 式定义，p 一1 ( ：) 是由 0 1 ，盘。在。上对z 进 行分段线性插值得到的 用嚣”乘( 2 9 ) 两端并对i 求和得 笺与# 管”一j - i 以( a 6 ： ) ? ”o + 型，、 芷t b l t n l =j葛-1串*-11 滩+ 著刚9 - 4 ) 鳓w ”箬啦w + 鲣碰渤 ( 3 0 ) 9 山东大学硬士学位论文 先估计( 3 0 ) 右端各项一 r ，；釜萱挚n 。ns 。釜( ：嵋+ 釜( 篓挚) ：嵋 恒2 一 扭2 ；2 一。 其中 i 嚣一国一t ( 习) i m ( 1 i 国n 一- i i 。，。) l 习一刁l = m ( i i q n 一1 i l l 。) 1 9 ( 囝? 4 - 矿) 一9 ( t 嵋一1 + 矿一1 ) i a t k m ( i i c 2 n 一10 。，。) ( i 国? 一国? 一1 i + i 百? 一1 一t i ? 一1 i + l 矿一矿一1 i ) a t k m ( i i ( 2 n 一1 1 1 1 。 l i 国0 w i , - ( l - ) ) ( f + i 嚣一1 i ) a t ( 3 1 ) 记庸= m ( 1 1 0 ”1 h 。，l i 国1 1 - * ( p ) ) ，从而 r l 5j - 1 ( 嚣) 2 + - ，j - i ( + l f p 一1 i ) 2 ( 3 2 ) 其中 - 1 r 2 = 疋( ( d 一 ) 以国) ? 等_ f l ? = 一【( d a ) 以国”，以f i ) 一( ( d a ，- n t i = 1 s l 匝p i l 2 + l 【( d a ) 以亩“0 2 一( ( d a a - n 。n j l ( d - a ) a , q ”1 1 2 = ( 【( d 一 ) 以审】? ) 2 ? 曼l t - - 0 ( d - ) ：i = l ； d ( ( o + 卢) ? ) + d ( ( 国+ 卢) 。1 ) ) 一； d ( ( m + 卢) ? 一1 ) + | d ( ( w + 卢) n 。+ - - i ) ) k 2 m ( i c 2 ? 一句? 一1 i + i 国? 一1 一t c ，? 一1 i + l 囝x l q - n + - 1 1 i + l 国：才一t ，牟 i + i 矿一矿一1 i ) k 2 m ( i i 亩1 1 w i , m ( l * ) ) ( + 嚣一1 i + l g 曩i ) ， 从而 【( d a ) 以囝“1 1 2s 盯( f 2 + i k ”1 】1 2 ) r 2 e i 【以“1 1 2 + f t ( a t 2 + l k “一1 】1 2 ) 一( ( d a ) a 。q - ，o n o n 1 0 n i 2 n 件 a d 汹 2 lq 山东大学硕士学位论文 = = = = = 皇皇= = 兰= = = = = = = = = = = = 皇= = = =：= =：= ：= = 假设a t = d ( ，1 ) ，从面 $ - 1 j - i j - 1 飓= 圣n i ，n n ts ；e 。c f f ) 2 姆+ ；( ? ) ： s ；j 豁- 1m 州茹晤峭赢二m 。拙) 似 s ；圣( 嚣) 2 ? + ；】l ，( i i 亩“瞻，i l 髻l | 刍r 。，m ) ( _ 1 1 2 + ) 、 这里，定义当l * ( g ) 时。i i n 峪= $ 三- i m 舣 l a ( ? ) 1 2 ：z 。，k 一缸i k * a t 凡：型掣 ： 面：一一面? 一1 一( 1 一鐾) 国3 + 鐾囝；一 ( 1 一基) 嵋+ 瓮蝴一- ) = 嚣一壶( ? 奶一女l n r t ) + 矾1n n l v - o n 一一钾嵋一1 ) s2 曰+ 品一1 r 4 盎 ( 嚣) 2 + 化7 1 ) 2 + 4 ( 曰) 2 + ( 留一1 ) 2 ) 叼 ( 3 5 ) j-i$-i - 2 ，e 函i 1刍-白n)2”一(毒一1)2蟹)+忐(嚣)2一(目一1)2)砰一-i以(以f)?等留i= 2= 2 j 1 j - i j - i j - i 2 去 ( o ) 2 ”一( 孝一1 ) 2 碍一( 铲1 ) 2 叼) 一以( 月以f ) ，n i ，n n ；1 1 + ，2 ( 3 6 ) 其中 易= 一以( 月以) 。n 。n ，l n = 一( 以( a 疋f ) n ，p ) 。陋以p ：疋p ) + a 疋晶n 知n2 ，l l 【以p l i 2 + a 以品露 ( 3 7 ) 当筹适当小时，步长”，a t 成立 厂7 ：e e 卅m a x 玑2 卅g ( 。y ) 面a t s1 ( 3 8 ) 山东大学硬士学位论文 此时。由( 2 0 ) 知，t = t ”1 上的点童：i z i 一1 ，】，i = 2 ，j 一1 用l 器_ 1 ( z ) 表示由 管1 ) 岛做出的按k t ，】的分段线性插值函数令 嵋一i = g ( z , w 一篙；鲸而a t ( 3 9 ) 一l 则0 o ? - 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妒, l ( m m )k ( m m 3 - 1 ) b q r q 1o 3 3 3 00 2 0 0 03 50 0 8 8 20 3 33 0o 0 8 0 04 o0 1 l g 3o 3 9 3 00 0 0 3 2 4 50 1 5 1 4o 4 2 2 0 0 0 0 1 3 05 0o 2 50 4 52 0 08 9 e - 35 50 3 0 0 60 4 82 0 06 3 e - 36 o0 3 3 2 70 5 12 0 04 5 e 36 80 3 7 8 8 0 5 4 2 0 0 3 2 e - 37 60 4 1 9 90 5 72 0 0 2 2 e - 38 4 0 4 5 5 1 0 0 6 02 0 01 6 e - 3 9 2 0 4 8 7 1 l0 6 32 0 01 1 e - 31 0 00 5 1 6 1 20 6 6 2 0 0 0 8 e - 31 0 80 5 4 2 下面以第8 种土壤参数为例给出入渗蒸发问题特征差分解模拟结果空间步长取 叼= l c m ，时蚵步长分别取i = 0 5 小时和2 小时。将区域0 ；f o 2 0 0 分成2 0 0 个相 等的单元假设在土壤表面( ：= 0 ) 保持段时间的定常入渗通量q = o 1 c m h ，3 ( t ) = 1 4 山东大学硕士学位论文 o 5 4 0 4 1 9 ，q o d ) = 0 5 4x0 4 1 9 , 则土壤水分入渗和蒸发过程的初始和边界条件为 n 2 0 0 1 ； 0 4 5 叽； ( 5 1 ) 4 5 0 h s t s9 0 0 h 当s r ；0 时，将这些效据输入格式( 4 8 ) ，我们可以分别得到时问步长取f = 0 5 h 和 t = 2 h 时从0 到4 5 0 小时中每隔3 0 小时土壤中的含水量分布图从图1 和图2 可以看 出，与一般差分方法相比，解的精度相差不大 图l ：特征差分方法( c f d m ) 与差分方法( f d m ) 每隔3 0 小时入渗的含水量分布比较图 图2 ：特征差分方法( c f d m ) 与差分方法( f d m ) 每隔3 0 小时入渗的含水量分布比较图 1 5 a ，4肌啪吨 n 所 ，_二篙 | 枷训一卜 小h 摊姚， 山东大学硕士学位论文 但由表2 可以看出，在计算时问上特征差分方法占有明显的优势，充分体现了特征 差分方法可以在不减小精度的前提下减少计算量的特点 表2 + 特征差分方法( c f d m ) 与一般差分方法( f d m ) 运行时问的比较表 入渗时闻( h )t = 0 5 h 时运行时问( s )t = 2 h 时运行时间( s ) i c f d i q f d m c f d m f d m 3 00 1 2 0 00 2 4 0 0 0 0 5 0 cd 0 8 0 0 6 00 1 9 0 00 4 8 1 00 0 5 0 0d 1 3 0 0 9 00 2 8 0 0d 6 6 1 00 0 7 0 0d 1 铷o 1 2 003 7 0 0d 9 6 1 00 0 9 0 00 2 2 1 0 1 5 00 4 6 1 31 1 8 2 00 1 2 0 00 2 9 0 0 1 8 00 5 6 1 01 5 9 2 00 1 5 1 0 0 3 7 1 0 2 1 00 6 5 1 c1 8 4 3 0o 1 7 0 0d 3 8 1 0 2 4 00 7 4 1 02 1 0 3 00 1 9 1 0d 4 5 0 0 2 7 00 ，8 4 2 02 3 6 3 00 2 1 1 0d 5 1 0 0 3 0 00 9 2 1 c2 5 1 4 00 2 3 0 3d 5 5 1 0 3 3 01 0 2 2 32 9 3 4 00 2 5 1 0) 6 0 1 0 3 6 01 1 1 2 03 1 4 4 00 2 8 1 0d 6 7 1 0 3 9 0 1 2 0 2 33 4 6 5 0 0 3 1 0 3) 7 0 1 0 4 2 01 2 9 2 03 6 7 5 00 3 3 0 3) 7 7 2 0 1 6 山东大学硕士学位论文 第二章基于二次插值的非饱和土壤水流问题 的特征差分方法及数值模拟 2 1 基于二次插值的特征一差分格式及误差估计 在本章中应用了【1 】结果，在放弃步长比要求a t = o ( h 2 ) 的情况下。对非饱和土 壤水流问题( 1 ) 的基于二次插值的特征一差分格式，建立了二次收敛阶估计设h 为 空闻步长，h = l n , 毛= i h ，岛= k i ，】，i = 1 ， a t = 吖n 为时问步长， p = n a t ，n = 0 ，1 ，n 记0 i o ，7 1 的网格区域为瓯丁第一章格式( 2 3 ) 中的 由n - 1 ( ：) 基于 ”? - 1 ) 盘o ，我们按区间k - l ，：i + l 】作二次插值情况下的误差估计问题 与1 2 的差别仅在于( 2 3 ) 中钟- 1 = u ，n 1 ( 磊) 的计算方法不同，误差方程仍为1 3 中的( 3 0 ) 式且1 3 的( 3 2 ) ，( 3 3 ) 估计仍然有效 为了导出p 的收敛阶估计，做归纳性假设( h 1 ) ： m s n 一1 ，o m ( 1 a x j w 。! n i s 2 k l 当m = 0 时。由1 2 中( 2 3 ) 及引理3 知。假设( h 1 ) 自然成立后面将证明，对m = n 时。假设( h 1 ) 成立 由【1 l 知 r 3 = e 器 孵) 2 h + e ( e ? ) 2 h i f f i lbl“l 752)j-i ；堇( g ) 2 h + ；打( o 伊| i j i i 嚣o ：。t t ；聊) ( 是+ ) 、。 这里，定义当o l ”( g ) 时，i i 口i $ = e m x i 口( z ) 1 2 ：z 0 ，k 一i k 。a t h 对于修正点落在区域0 内的情况，假设步长h 。的选取满足条件 ( 2 ) ：；e 蚱m 卜a x 2 k ，2 k 】f ( ：，s ，) 竺h l ；e 蚱卜，k 】 r 4 ；监乌芷f 弘 叠五h f n i ，c 一一击i ( 露 一七l n ，￥ o n + 七r 嚣】+ 五1 【 - n l 知n 一1 + ( 忌 一七r ) t 嵋一1 】一? 一1 ) = 刍器 ( 1 一基) 曰一壶( 砰一k n - ，。n t 四一1 ) + 基器一f ? 一1 ) 五h l h ( 1 一基) 留一里坚 【业( 研一女? ) ( 亩g t 嵋一1 ) + 鐾f ：一1 一f ? 一t ) 1 7 山东大学硕士学位论文 旧一k r l = l 页丽h 一页南f s ，( | 嚣。1 i + 庸班 从而 l 风ls 知器1 2 + 旧1 2 + q ( h t 2 + i f 舢i ) + l 嚣枷i 】( 5 3 ) + 再考虑1 3 中的( 3 0 ) 左端。 | - 1j - i j - 1 l e f t 之去 ( 嚣) 2 一( 毋一1 ) 2 一( f 一1 ) 2 ) _ i 一三6 ( a 6 , o n ： h = ，l + ，2 ( 5 4 ) ill扭略互i ，2 = 一以( a 以) ? 嚣 = 一( 以( a 以) “，p ) = 以p ，以”) + 以嚣嚣 ，。 i 工jl u u ， g l i 【以f ”0 2 + a 以船嚣 用l - 1 ( ：) 表示由 嚣1 ) 岛做出的按q = k l ，五+ - l 的二次插值函数在区问q 上， 从烈军) = 净1 1 ) 2 嘣一掣+ 删卜芦11 蝌一科】+ 一( 5 6 ) 其中口? - 1 = g ( 磊，t 口- 1 ) 警由p e a n o 核定理知 l 国一1 ( 童：i ) 一l 口z 一1 ( 智) is ，国一1 i l 伊( n ) h l t ( 5 7 ) 为了下面估计的书写方便，暂时略去上标n 一1 注意到 6 = f ( 翟) = q - - n ) 一l 国( i ? ) + z 矗( ? ) ， j 一一 ，一 及( 5 7 ) 式得【露- 1 】2 h = 【l 缸( 三：i ) 】2 h + o ( 1 1 f t l 2 a t4 - l i o i l ；h 4 a t ) l = 2i = 2 注意到口 o ? ，0 = 0 ，经计算得 1 8 + 3 e+ 2 + + 怛，f 础 一 军 女f l 御 山东大学硕士学位论文 其中 e - = 笺( 毕嘲小= 嘻魁。 + ；j 善- 2 触。 一蔓躺 = j - i ( 竺i ：i ；血一口i 2 ，2 _ i i + j 1 j 2 u 2 ，一l h i 1 2 2 u 2 l ，l + i 1 1 2 u 2 2 _ i l 一互1 j 2 一l 口；_ i l ， e ：誉( 毕) 田j i ：i 1 三jg 。i 。h 一；j - 2 辞口各，h i = 2目i f f i l 鼻筻! ：；堡h g ，l + i 1 j 2 l 1 3 ，_ l h 一互1 铀2 。3 l j l i 1 1 2 n 弘+ ；一l 。；，l ， ”弓一l j j - 1 砀= 一：( 矗+ - 一6 一t ) 矗n ? _ i l = 一6 矗一l 吐。h + f 一t o ，i j i = 一2 l 瑚讧2 = 一( n 1 1 一霹) 6 6 一l h + f - 已口2 一0 妇一- 口；1 h ， 立产2jj - l & = ( f + l 一6 一1 ) f , a i h = 6 一l a 扣l h 一6 6 一l a i h j i m 一2 l 汹i 5 2 ；( m 一1 一n i ) 6 6 1 h 一6 f 2 a l h + b 白一i q j l h ， 注意到0 = 0 ，得 壹蜀；j l - 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x ( a t 2 + h 4 ) 即 n l k “】i + ( j n 1 1 6 , “0 2 a t ) t 厨( f + h 2 ) ， ( 6 0 ) i 荨。 其中庸与儿a t ，h 无关 为了证明收敛性，尚需用归纳法证明( h 1 ) 当m = n 时成立事实上，由( 6 0 ) 式有 m