（应用数学专业论文）求解变系数kortewegde+vrieskdv方程的两种方法的研究.pdf

求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 摘要 近年来，作为非线性科学重要分支的孤子理论获得了快速发展， 并广泛应用于流体力学、等离子体物理、非线性光学、凝聚态物理、 生物学等领域。其中很多模型可以用非线性偏微分方程来很好地描 述。所以对非线性偏微分方程的求解析解( 精确解) 成为孤子理论的 一个重要组成部分对非线性偏微分方程的求解，常用的方法有逆散 射法、b i c k l u n d 变换、齐次平衡法、h i r o t a 直接法、w r o n s k i a n 方法和 e x p 函数法等。本文在介绍几种方法的基础上，主要运用h i r o t a 直接 法署i e x p 函数法，研究了两类变系数k d v 方程。 本文章节安排如下： 第一章绪论介绍孤子研究的发展历程以及当前几种各种研究方 法。并通过求解一些经典的波方程和非线性偏微分方程说明孤子解的 传统求解方法，如行波法、齐次平衡法、p a i n l e v 6 分析法、b i c k l u n d 变换法。 第二章关于h i r o t a 直接法。它的基本思想是运用合适的变换将非 线性方程转变成齐次形式。对于其中的可积系统，往往是双线性形式。 本章以k d v 方程和修正k d v 方程( m k d v ) 等为例，作简单介绍非线 性方程的双线性化、求解、b i c k l u n d 变换、w r o n s k i a n 技术。最后，本 人运用h i r o t a 直接法，在给出b i c k l u n d 变换和一类变系数k d v 方程的类 孤子解后，用w r o n s k i a n 行列式给予证明。 1 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 第三章关- 于e x p 一函数法。该法以多数非线性发展方程的孤立波解 都具有e 指数函数为基础，对解作先验假设，利用强大的计算机符号 计算，这样就将求解问题转换到超定方程组的求解问题。然后我们通 过对e x p 一函数法的改进，求得另一类变系数k d v 方程的类孤子解、周 期波解，并结合图形进行分析。 关键词： 非线性偏微分方程变系数k d v 方程孤立波解h i r o t a 直接法 e x p 函数法 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 r e s e a r c ha b o u tt w om e t h o d st oo b t a i ns o l u t i o n so f v a r i a b l e - - c o e f f i c i e n tk o r t e w e g d ev r i e se q u a t i o n s ( v c k d v ) a bs t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，a sa l li m p o r t a n tb r a n c ho ft h en o n l i n e a rs c i e n c e s o l i t o nt h e o r yw a sd e v e l o p e dr a p i d l ya n dw i d e l yu s e di nf l u i dd y n a m i c s ， p l a s m ap h y s i c s ，n o n l i n e a ro p t i c s ，c o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c s ，b i o l o g ya n d o t h e rf i e l d s m a n yo ft h e s em o d e l sc a l lb ed e s c r i b e dp r o p e r l yb y n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e r e f o r e ，i t sw o r t hs t u d y i n g a b o u th o wt o g e tt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n ( e x a c ts o l u t i o n s ) o ft h e s e e q u a t i o n s t h ee x i s t i n gm e t h o d si n c l u d e i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d , b i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n m e t h o d ，h o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d ， h i r o t am e t h o d ，w r o n s k i a nm e t h o da n de x p f u n c t i o nm e t h o d o nt h e b a s i so fi n t r o d u c i n gs e v e r a lo ft h e m ，t w ok i n d so fv a r i a b l e c o e f f c i e n tk d v e q u a t i o n sw e r es t u d i e db yu s i n gh i r o t am e t h o da n de x p f u n c t i o nm e t h o d t h e p a p e r i so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n ew ef i r s ti n t r o d u c et h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to ft h e s o l i t o nt h e o r ya n ds e v e r a lc o r r e s p o n d i n gr e s e a r c hm e t h o d s b ys o l v i n g s o m eo ft h ec l a s s i c a lw a v ee q u a t i o n sa n dn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，w ei l l u s t r a t es o m ek i n d so ft r a d i t i o n a lm e t h o d ss u c h a s 3 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 t r a v e l l i n g w a v em e t h o d , h o m o g e n e o u sb a l a n c em e t h o d ，p a i n l e v 6 a n a l y s i sm e t h o da n db i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d c h a p t e rt w oi sa b o u th i r o t am e t h o d i t sb a s i ci d e ai st oc h a n g ea n o n l i n e a r e q u a t i o n i n t o h o m o g e n e o u s f o r m t h r o u g h as u i t a b l e t r a n s f o r m a t i o n i ti so f t e nb i l i n e a rf o r mf o rt h o s ei n t e g r a b l es y s t e m s w e 1 1t a k et h ek d ve q u a t i o na n dm k d ve q u a t i o na s e x a m p l e s t o i n t r o d u c e t h eh i r o t am e t h o d ，b i l i n e a rf o r m ，s e e ks o l i t o ns o l u t i o n , b l i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e i nt h ee n dt h r o u g h t h eh i r o t am e t h o dw eo b t a i nt h es o l i t o n - t y p es o l u t i o n sa n db i c k l u n d t r a n s f o r m a t i o no fak i n do fv a r i a b l e c o e f f c i e n tk d ve q u a t i o nt h e nv e r i f y t h e mw i t hw r o n s k i a nt e c h n i q u e c h a p t e rt h r e ei sa b o u te x p f u n c t i o nm e t h o d b e c a u s em o s ts o l i t o n s o l u t i o n so ft h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sh a v et h ee x p f u n c t i o nf o r m ， w ec a na s s u m et h es o l u t i o ni n i t i a l l yt h e ns o l v et h eo v e r d e t e r m i n e d e q u a t i o n s w i t hp o w e r f u ls y m b o l i c c o m p u t a t i o n n e x tb ym o d i f y i n g e x p - f u n c t i o nm e t h o dw ed e r i v ea n o t h e rk i n do fv a r i a b l e c o e f f c i e n tk d v e q u a t i o n ss o l i t o n t y p es o l u t i o na n dp e r i o d i cs o l u t i o na n da n a l y s i st h e s o l u t i o n sw i t hf i g u r e s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；v a r i a b l ec o e f f i c i e n t k d v e q u a t i o n ；s o l i t o ns o l u t i o n ；h i r o t am e t h o d ；e x p f u n c t i o nm e t h o d 4 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处， 本人躲烨 本人承担一切相关责任。 日期：一呈驾一二曼：! 至一 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借 阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。非保密论 文注释：本学 本人签名 导师签名 适用本授权书。 日期：塑2 ：主：! 圣 日期：丝122 ：丝 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 第一章绪论 人类的发展史表明科学的理论总是从简单到复杂，从特殊到一般，从粗糙到 精确，一步步逐渐深化的。因此，以数学为工具，以物理学开路的严密自然科学 在初期阶段总是力图把描述对象简单化、近似化，在数学方面采取的一个重要办 法就是线性化。但是，随着科学的发展和人类向更完美的目标的持续追求，复杂 的自然界不断促使我们逐渐地把一个个线性理论发展为非线性理论。如：理想流 体力学发展为非线性的纳维尔一斯托克斯( n a v i e r - - s t o k e s ) 理论；牛顿引力定 理发展为非线性的爱因斯坦引力场方程；光学、热力学、统计力学等都从线性理 论发展为非线性理论。还有，玻恩等试图发展非线性的电磁理论；海森堡、德布 罗意、玻姆等都努力发展过非线性量子力学等【1 1 ，所有的线性理论似乎都在趋于 非线性化。因此，我们相信非线性化是科学发展的必由之路。 而孤子是最早在自然界观察到并可以在实验室产生的非线性现象之一，它作 为非线性科学的一个重要分支，在2 0 世纪6 0 年代之后得到了快速发展。在短短 的二十年中，从天文学到“基本 粒子，从浅水波传播、流体力学到晶格理论、 非线性光学、等离子体物理、固体物理、凝聚态物理、超导物理、弹性力学、统 计力学、声子、位错、工程学、材料科学、气象学、海洋学、高分子理论、分子 生物学，甚至气功、经络等等，孤子这一新的概念得到了极其广泛地应用。 1 1 孤立子历史及其发展现状 孤立波最早是由r u s s e l l 于18 3 4 年在自然界偶尔观察到一种“不寻常 的水 波【2 1 ，当时他骑着马追踪观察一个孤立的水波，在浅水窄河道中的持续前进，这 个水波长久地保持着自己的形状和波速。但从当时己知的流体运动方程并不能得 到这种波的解，因而有关孤立波的问题在当时的许多物理学家中引起广泛的争 论。直到18 9 5 年，瑞典a m s t e r d a m 大学数学教授k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 研 究了浅水波的运动，他们在小振幅与长波的假定下，从流体动力学导出了单向运 动的浅水波的方程( 后人称它为k d v 方程u t + 6 u u ，+ “，。= 0 ) 【3 】。这一方程的行 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 波解，在波长趋于无限的情况下，正是r u s s e l l 所发现的具有形状不变的脉冲状的 孤立波，从而在理论上证实了孤立波的存在，为后来分析孤立波提供了基础。但 由于k d v 方程式非线性的，人们认为两个孤立波碰撞后，波形会受到破坏而不稳 定，并没有引起人们的注意。 又过半个多世纪，1 9 5 5 年美国阿尔莫斯国家实验室，著名物理学家费米 ( e f e r m i ) 、帕斯塔( j p a s t a ) 和乌莱姆( u l a m ) 设计了一个数值计算实验“非线性弹 簧联结的6 4 个质点组成弦的振动 发现初始对少数质点激发，长时间后能量几 乎全部回到了初始集中在少数质点上的状态 4 1 。这就是著名的f p u 实验，结果表 明其他领域也可能存在孤立波。1 9 6 5 年两位美国数学家，采布斯基( z a b u s k y ) 与 克鲁思卡尔( k r u s k a l ) ，用计算机数值模拟方法深入研究了等离子体中孤立波碰撞 的非线性相互过程，得到了孤立波在碰撞后保持其波形和速度不变这一重要结 果，于是彻底解除了从前对孤立波稳定性的怀疑。根据孤立波具有类似粒子碰撞 后不变的性质，他们将其称为“孤立子 ( s o l i t o n ) 【5 】。 此后，科学家对孤立子的研究兴趣和热情便高涨起来。迄今为止，在许多科 学领域发现了孤立子运动形态。 2 0 世纪6 0 年代以来，除了在流体，还在固体物理、激光、电气工程、等离 子体、生物学等领域相继发现了孤立子的存在。在激光打靶实验中，人们也观察 到由于出现的涡旋性孤立波的传播，以及激光光束在非线性介质中自聚焦时产生 的孤立子。在超导研究方面，约瑟夫逊( b r i a nd j o s e p h s o n ) 效应中的磁通量 子实际上就是孤立子，于是将孤立子的研究方法引入进来，现已促进在研发耗能 特别小、速度特别快的新型计算机器件上有新进展。在生物学方面，发现了达维 多夫( d a v y d o v a s ) 孤立子，探讨了生物体蛋白质中孤立子的传播问题，为弄 清肌肉收缩的机制提供了有力的途径。孤立子在高科技方面最具代表性的成功应 用，是光纤中的光孤立子( 亦称光孤子) 【6 】【7 】。它具有长距离传输损耗小、无需 中继站、比特率( 单位时间传输的信息量) 高等优点。现普遍认为，光纤孤立子 通信有希望成为超高速率和超长距离通信的重要手段。 在形态上，孤立波是存在于自然界里的相干结构( c o h e r e n ts t r u c t u r e ，或称拟 序结构) 。从美丽的木星上的巨型红斑到固体中的电荷密度波都属于这样的有序 结构。从运动形式上相干结构与混沌运动既是相互对立的。混沌运动是非线性中 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 奇妙的无序状态，相干结构反映了非线性系统中的惊人有序性。在尺度上：大到 天文范围( 木星上巨型红斑达4 1 0 8 米，约地球与月亮之间的距离；泰国安达曼 海面出现的孤立波约1 5 0 公里宽；水面上孤立水波的尺寸在l 米量级) ，小到纳 米( 二硫化钽晶体中的电菏密度孤立波) 。 在数学上，孤立子理论的进展体现在发现了一大批具有孤立子解的非线性发 展方程如k d v 方程、正弦一高登( s i n e - g o r d o n ) 方程、户m ( m t o d a ) t ；线性晶格方 程、非线性薛定谔方程( n l s e ) 等等。为了求解这些非线性偏微分方程，发展了 逆散射方法( i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ) 、b a c k l t m d 变换、数值方法、符号运算 等数学物理方法。深入研究非线性发展方程的代数几何性质时，用到了较高深的 对称方法和代数工具。在高维孤立子理论中，将会用到很多微分几何的理论和方 法。 总的说来，孤子具有如下性质：能量集中在比较狭小的区域中，具有一切 粒子所具有的特性，如能量、动量、质量、电荷、自旋等等，也遵循一般的自然 规律，如能量、动量、质量守恒定律。它又有波动性，存在于一切可以出现波动 的介质里。波的形状不随时间演变而发生变化；孤子之间相互作用后，各自 保持波形和波速不变，类似粒子的弹性碰撞。但是从物理学应用角度看，一般认 为，具有性质且寿命足够长的波就可以称为孤子，也有把孤子定义为经典场方 程的一个稳定的有限能量的不弥散的解。对于很多非线性发展方程和方程组来 说，比较典型的孤子解一般有钟型孤子、反钟型孤子、涡旋型孤子、呼吸型孤子、 扭结型孤子、反扭结型孤子、包络型孤子等【8 】。 我国从事孤子理论和实验研究开始于2 0 世纪7 0 年代。随后在中国科学院 和国内部分高等学校相继开展了这方面的研究工作。用检索词“孤子”从1 9 8 9 年 到2 0 0 7 年在重庆维普中文科技期刊全文数据库中可以检查到2 0 0 0 多篇相关的文 章，而其中半数以上与光纤孤子通信有关。 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 一以。 l 1 ， 8 人二 - 4 ll h - 8 八 - 4 弋 搿j 弧 l 两个孤立波的碰撞 一l 斌磅 k - 钟型孤子 j 掰 厂。 j ，7 x 扭结型孤子 一9 m ji 、尹| | - 4 o4 x - 域砷 o 、 厂 主 反钟型孤子 诹) l f i 反扭结型孤子 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 1 2 研究非线性发展方程的常用方法 孤子作为非线性发展方程的一类特殊解，那么对孤子理论的研究又是离不开 非线性发展方程的。因此对孤子理论的研究离不开非线性发展方程。孤子理论的 兴起也给非线性发展方程的研究注入了新鲜活力，大大推动了对非线性发展方程 求解方法的研究。 求解非线性微分方程比求解线性微分方程要困难的多，线性微分方程的一些 基本性质在非线性微分方程中不在成立，很难用一个统一的方法来处理后者。在 大多数情况下，非线性微分方程的求解只能依赖于数值解法。然而经过4 0 年的 研究和探索，对某一类非线性偏微分方程，人们已经找到了一些构造解析解( 精 确界) 的方法。例如：行波解法【9 】、逆散射方法【l o 】、b i i c k l u n d 变换【1 1 1 、d a r b o u x 变换【1 2 1 、h i r o t a 方法【1 3 】【1 4 1 、p a i n l e v 6 分析【1 5 1 【1 6 1 、齐次平衡法【1 7 1 1 明、e x p 函数展开 法【19 】【2 0 】等等。下面我们简单介绍其中几种方法。 1 2 1 行波解法 求发展方程的行波解，一般先将偏微分方程化成常微分方程来求解。这种方 法已广为应用，许多简单但非常重要的非线性发展方程的行波解，特别是孤立波 解都可以通过直接积分获得。下面我们给出b u r g e r s 方程的孤立波解。 在非线性发展方程种，b u r g e r s 方程是一个很有代表性的耗散波方程。它是 最简单的非线性扩散波动的模型，起源于湍流理论的研究。b u r g e r s 方程可描述 许多物理现象，如黏性介质中的声波，具有有限电导的磁波流，充满流体的黏性 管中的波等【9 】，其一般形式为 吩+ “一t 2 u x x = 0( 1 2 1 ) 其中口为耗散系数。 求非线性发展方程的行波解可将方程的解写成下列形式： u = ( 善) ，孝= x c t + 彘，( 1 2 2 ) 其中c 为常数，表示波速，彘为任意常数。 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 将( 1 2 2 ) 代入方程( 1 2 1 ) ，两边关于孝积分，得 一耐+ 口一i 1 2 = a ( 1 2 3 ) a 为积分常数。由( 1 2 3 ) 有 弘去( 产2 c 一2 彳) ( l 2 4 ) 考虑方程( 1 2 4 ) 右端，设 矽2 2 c 一2 么= 0 ( 1 2 5 ) 有两个实根魂和唬，其中 破：c 一拓c 2 + 2 a ，唬= c + c 2 + 2 a 为保证方程( 1 2 5 ) 有两个实根，要求c 2 + 2 a o 这样方程( 1 2 4 ) 可以改写成 = 五1 ( 一旃) ( 矽一欢) ( 1 2 6 ) 对方程( 1 - 2 6 ) 积分，求得 = 世2 一垃2 鼬l 垃4 a 鼢彘) l j 一+ 2 a 厂l 匦2 , z 鼢钔 其中磊为任意常数。 返回原来的变量，可得方程( 1 2 1 ) 的- - 个精确解 毗垆c 一一t 址 譬” n 2 刀 特别地，若取a = o ，解( 1 2 7 ) 化为 出力一c 鼬 寺( x - - c t + 引 ， 2 固 其中c ，彘均为任意常数。 需要注意的是，当孝一砌时，“( x ，f ) j 2 c ；当善一佃时，“( x ，f ) 寸o 由此 可见，b u r g e r s 方程的解具有这样的性质：用一个连续变化的曲线把当fj 咖时 解的渐近态2 c 与孝j 佃时的另一渐近态0 光滑的连接起来，这样的孤立波称为 冲击波( s h o c kw a v e ) 。 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 u i 1 一2112 x 一般来说，利用直接积分和一些变换技巧的方法讨论经典方程的行波解，所 获结果多为具有重要物理意义的的钟状孤立波解和纽状孤立波解。然而，许多重 要的发展方程无法用该方法转化为可解的常微分方程，有必要再来看看其他的方 法。 1 2 2p a i n l e v 6 分析 目前，已经有许多方法可以用来研究非线性偏微分方程的可积性。其中， w e i s s 、t a b o r 和c a r n e v a l e ( w t c ) 发展的p a i n l e v 6 分析法是最有效的方法之一，通 常被称为w t c 方法。把w t c 方法应用到非线性偏微分方程不仅可以得到诸如 p a i n l e v 6 性质、l a x 对、双线性、b i i c k l u n d 变换，还可以得到可积和不可积模型的 严格斛1 5 】【2 1 1 。 我们以b u r g e r s 方程为例：u f = u u ，+ “。 ( 1 2 9 ) u ( x ，f ) = 矽一口( 石，t ) e “，( x ，f 拗7 ( x ，f ) ( 口 o ) 形式的解。 ( 1 2 1 0 ) = 0 主项分析 取u ( x ，t ) u o ( x ，f ) 矽一口，贝i j 甜，( x ，f ) 一口 o ( x ，f ) 矽- 。t - i 苁， “。( x ，f ) - - t z ( - - t 2 一1 ) 甜o ( x ，f ) 矽一口一2 丸2 ， 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 代入到( 1 2 9 ) 的右端，得 一2 u 0 2 丸。2 口一一口( 一口一1 ) u o 丸2 口一2 = 0 。 由指数平衡 一2 a 一1 = 一口一2j 口= 1 ，u o = 丸- 兼容性分析 将“= “o 一1 + “l + ”2 + + “j - 2 矿7 - 3 + “产l 矽，一2 + “，7 一 代入( 1 2 9 ) 比较最低项系数一的系数，得到： u + 1 ) ( 歹_ 2 ) 丸2 u j 2 2 u l u j _ 2 = + 2 坼，j 叶- 2 + 2 吃吩一2 吮， ( 1 2 1 1 ) - - 4 u 2 u j 一2 纯+ 2 荔一2 。， 当j f = 一1 ，j = 2 时，u j 无法确定，将= 2 叫共振，j = 一1 对应矽的任意性，也可 以将( 1 2 1 1 ) 写成 ( 歹+ 1 ) ( j 一2 ) 丸2 “j = p i u ，_ l ，甜，一2 ，“2 ，“l ，丸，】 j = 2 时，左端为零，若右端为零，则称方程是相容的，对应u ：的任意性，因为 ( 1 2 9 ) 为二阶方程，它的解在奇异流形矽= 0 的领域里有罗朗展开式( 1 2 1 0 ) ，则 方程具有p a i n l e v e 性质，( 1 2 1 1 ) o q 相容条件。若右端不为零，则u 2 取任意函数 时( 1 2 1 1 ) 为矛盾等式，我们不得不引入名矽7l n c j 之类的项，会导致多值的矽级数， 方程不具有p a i n l e v e 性质。 将( 1 2 1 0 ) 代入b u r g e r s 方程，比较矽的各次幂系数： j = 0 ，矽- 3 的系数：一2 u 0 2 丸+ 2 u o 丸2 = 0j “o = 丸； j = 1 ，矽。2 的系数： 一”。口i t = 2 u o u o x - 2 u t u o 丸一2 。丸一“。丸j 织= 丸+ 2 “。丸“t = 警： j = 2 ，矽。1 的系数： u o ，= 2 u o u l j + 2 u l u o ，+ “o 。j 丸= 红+ 2 ( “l “o ) ， ( 就是，= 1 时的式子对x 的微 分) ： 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 由此可见，在破，m 满足式讧= 丸+ 2 u 丸时，相容条件满足，b “，g 邯方程具有 p a i n l e v e 性质。 j = 3 ，o 的系数： l l i ，+ 2 鳞= “2 谚。+ 2 “2 “l x + 2 u o “3 妒x + 2 u 2 ，丸+ 2 “3 ? + 2 u a u i 善+ 2 u 2 “o ，+ 2 u o “2 j + 暑f l 工j j 4 u 3 丸2 = u t t 一“2 谚- - 2 u o u 2 工+ “l ( z l i ，+ “2 丸) + “2 u o ，一2 u 2 ，丸一u 2 丸一u l x x ， 当 ：为任意函数时，u 3 也为任意函数。 解( 1 2 1 0 ) 可以写成： 毗d 刮。1 + 锗+ 私彬弋彬) 若取“2 = o ，则”，= o ，( 2 ) ，此时，得到b “僻糟方程的鼠融觑，l d 变换： ”：冬q 矽 其中“及甜。满足曰“僻昭方程。若取“，= 0 ，即谚一丸= 0 ，即 “：盘 称为c o l e h o p e 变换，将曰“僻瑙方程变成线性热传导方程：办= 丸 由此可见，利用截断到常数项的p a i n l e v d 展开法可直接推导原方程的自b a c k l u n d 变换。 1 2 3b j i c k i u n d 变换 大致的讲，从一个偏微分方程的一个已知解出发，经过一个变换，得到( 同 一个方程或另一个方程的) 的另一个解，这个变换就称为b t i c k l u n d 变换。 例如s i n e g o r d a n 方程 宴：s i n u ( 1 2 1 2 )= s 1i z z j a 矽7 7 、 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 设“( 孝，7 7 ) 和，( 善，r ) 都是s i n e - g o r d o n 方程( 1 3 1 ) 的解，即u 和v 分别满足 a 2 u 二_ = = 一2 s i n u ， 8 孕n 1 a 2 1 ， = s m ， a 多刀 那么将这两个解联系在一起的两个一阶偏微分方程 ( 1 2 1 3 ) i 锄0 v4 u 一1 ， l = 一一十一s m 一 o 。r 却c 2 ( 1 2 1 4 ) i 锄 a vu + y 、 【a fa 善 2 称为b a c k l u n d 变换，其中c 为任意常数。对于一个给定的非线性发展方程，如果 已知它的解和b a c k l u n d 变换，就可以通过b i c k l u n d 变换求得另一个未知解。这 一点从b l i c k l u n d 变换的定义看来似乎是自然的事，但有趣的是可以从平庸解得 到非平庸解。 令1 ，= 0 是s i n e g o r d o n 方程的平庸解，由( 1 2 1 4 ) 式，得 i 锄4 u l = 一s l n io r c 2 l0 u u l = c s i n 一 【管 2 分离变量并积分，得 求得 其中厂( 孝) 和g ( 7 7 ) 是任意函数比较( 1 2 1 5 ) 中的两式有 彤) 一三c 心( 小詈刁竺万 ( 1 2 1 6 ) 这样( 4 1 3 5 ) 式化为 因而 ( 孝) = 三善地 g ( 7 7 ) ：一27 7 + 万 c l i l t a i l 署= 旦2 善+ 三c7 7 + 万4 。 刁1 ，、上， 的 增 托 7 争 件 d 刁 丢言 吾 t t 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 切n 竺：e ：2 玎坩 4 这就是s i n e g o r d o n 方程的一个孤子解。理论上，我们还可以从这个解出发，利 用( 1 2 1 4 ) 得到s i n e g o r d o n 方程的另外的解。不过，具体方程的b a e k l u n d 变换并 不容易求，所以研究各种求解的方法还是必须的。 1 2 4 齐次平衡法 近年来，王明亮提出了齐次平衡法，为求解偏微分方程的精确解提供了一种 有效的方法，并且迅速得到了广泛的应用。齐次平衡法可以看作是传统c o l e - h o p e 变换的扩展和一般化。其主要特点是：首先从非线性数学物理方程( 组) 的结构 出发，分析其的非线性特点、色散和耗散因素的阶数，按照他们之间最高阶数可 部分平衡的原则，确定非线性方程解( 含有待定函数) 应具有的一般形式或非线 性变换的一般形式；其次将这种形式的解代回原方程，合并待定函数及其偏导数 的各次齐次部分，并使其平衡从而得到易于求解的待定函数的齐次偏微分方程 组。 齐次平衡法的主要步骤如下： 首先，对给定的非线性偏微分方程： u ( u ，u x ，u ，u x ，一) = 0( 1 2 1 7 ) 其中x t 是自变量。 令u 为由如下函数 乱a j x f ( 孽o )i ，j = 1 ，2 ，( 1 2 1 8 ) 组成的有限线性组合，记作 u = ，( 缈( 缈) ) 。 ( 1 。2 1 9 ) 其中伊 ) ，彩( x ，t ) 为待定函数，并且某些系数也可能为待定常数。 然后将( 1 2 1 9 ) 式代入( 1 2 1 7 ) 式，经求导整理后，将国相同导数及最高次幂放在 一起并令其系数为零，可得到关于妒 ) 的常微分方程，并解之： 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 妒( 彩) = g ( c o ) ( 1 2 2 0 ) 根据( 1 2 2 0 ) 式，将缈的各阶导数的非线性项换成缈的高阶导数线性项，然后把伊 对缈相同导数项放在一起，并令各系数为零，得到关于国一组齐次超定微分方程 组 h p ) = 0( 1 2 2 1 ) 设( 1 2 2 1 ) 具有如下形式的解 国= 1 + + 廖 ( 1 2 2 2 ) 其中口，为待定常数。 将( 1 2 2 2 ) 代入( 1 2 2 1 ) ，可得关于口，及式中的待定系数为未知量的代数方程， 求解之，对于复杂的代数方程组可利数学软件处理解决。最后将( 1 2 2 0 ) ，( 1 2 2 2 ) 式及必要的待定常数代入( 1 2 1 9 ) ，即得方程( 1 2 1 3 ) 的孤波解。 齐次平衡法主要将微分方程求解转化为代数方程求解，是求解微分方程的行 之有效方法。 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 第二章h i r o t a 方法 相对于反散射方法而言，h i r o t 极线性方法是h i r o t a 宅e 7 0 年代发展起来的一种 重要而直接的方法，被称为直接方法f 1 3 】【1 4 】瞄】【2 3 】。这种方法的优点在于它是一种 代数而不是解析的方法。这种方法已从求k d v 方程、m k d v 方程、s i n e g o r d o n 方程、非线性s c h 6 r d i n g e r 方程等的多孤立子解而发展成一种求解一大批非线性偏 微分方程孤子解的相当普遍的方法。 这种方法的关键是寻求相关变量变换，例如用对数变换、有理变换、双对数 变换等将非线性方程化为双线性方程，借助于d 算子的性质，通过摄动方法找到 双线性方程的精确解，最后通过变量变换可以得到非线性演化方程的单孤子解、 双孤子解，用归纳法就可以得出方程的n 一孤立子解形式。 双线性方法在非线性可积系统的研究中扮演着很重要的角色。它不仅能用来 求解一大批非线性偏微分方程的孤子解，也可以求几种类型的特殊解，例如：周 期波解、有理解、d r o m i o n 解等。也可以获得b a c k l u n d 变换、l a x 对、非线性叠加 公式。 2 1 关于双线性算子及其主要性质 为了研究孤子方程，h i r o t a 弓l 进如下形式的微分，称之为双线性微分算子 【1 3 】【2 3 】。设厂( x ，f ) 和g ( x ，f ) 是变量x ，t 的可微函数， d f 脚q 一厂g = ( a ，一a t ) 所( a z a x ) 订厂( f ，x ) g ( f ，x ) i f t = f f ：工 ( 2 1 1 ) 其中m ，刀为非负整数。 根据上述定义，双线性算子有许多重要的性质【2 3 1 ，在孤子研究工作中起着很大 的作用。 、d x f g = f x g 一f gxd ：f g = f 找g 一2 f ，g x + 爬伐 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 磁心= 窆k = o ( 一1 ) 七挈睾 l 仉l ，d 挣、= 专 2 d f ”皿4 f o g = ( - d 肿”p ”d x “g 厂若m + 以为奇数时，口膈皿”f o f = 0 d 工f sg = o 的充要条件是f - - k g ( 后是常数) 3 设f 是包含双线性算子皿，p 的多项式，则有下列成立： f ( d ) f 1 = f ( a ) 厂f ( d ) e 磊p 磊= f ( c o l 一吐，毛- k 2 ) e 磊+ 磊 其中乞= c o , t + k j x + 孝j o ( j = l ，2 ) 由此推得相同的线性指数函数的双线性导数为零d f 坍q e 磊e 螽= o 4 e x p ( 以) 口( x ) 6 ( 功= a ( x + s ) 6 ( x 一占) e x p ( c d x + s d t ) a ( x ，f ) 呶x ，f ) = 口 + 占，f + d 弘一s ，t 一万)( 函数的t a y l o r 展 开) 这里只列出了一部分性质，更多的公式可以参照，用双线性方法研究非线性发 展方程的特点很大程度上依赖于对所需公式的熟悉和推导，例如：( 1 ) 由变换将 非线性方程化为双线性方程，( 2 ) 由双线性方程求解时需用双线性算子的一些等 式，( 3 ) 求双线性形式b ；i c k l u n d 变换所用的交换公式，( 4 ) 由b i i c k l u n d 变换求l a x 对等等。 由双线性算子的定义式和若干性质出发，再利用适当的相关变量变换，一般 的可积方程就可化到非线性方程的双线性形式。寻找相关变量变换，一般可以由 以下几种途径得到：第一种途径是做p a i n l e v e 钡l j 试；第二种途径是通过b i c k l u n d 变换或d a r b o u x 变换给出；第三种途径是通过寻找某一特解进行分解的方法。 2 2几种常见的双线性变换 应用双线性方法研究非线性发展方程的首要任务是引入适当的新变量使得 方程能够化为双线性形式，这种过程称为双线性化。但变换并无通法，有各种形 式的变量变换，常见的有有理型、对数型以及双对数型变换等，以下结合具体例 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 子讨论。 2 2 1有理变换 将手的偏导数直接化为双线性算子形式需要用到以下性质： 昙多= 学 昙多= 孚号学 去多= 半一手等膨 例：非线性s c h 5 r d i n g e r ( n l s ) 方程： i u f + 掰材+ g i “j 2 甜= o ，占：l 作变换铭。手( 厂为实函数) 代入( 2 1 2 ) ，则方程化为 z 学+ 学一7 9 丁d z 2 f f + 料多一o ，即 ( 2 1 2 ) q d , g + 破2 9 f ) f 2 一g f ( d , 2 f 厂一g 昭) = o 。 ( 2 1 3 ) 引入参数a ，可导出以下双线性方程： i d , g f + d ：g f = 九西 d ：f f s g 毒= 九产 2 2 2对数变换 ( 2 1 4 ) 对数变换的形式为“= 2 ( i n f ) 。，将昙( 1 n ) 的偏导数直接化为双线性算子形 式，需要用到以下性质： 昙h 厂= 手 a x， 半 厂一 坠尸 堡 0 笋 堡 g 一厂 竺甜 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 2 昙h 厂= 等# = 竽， 础 ，。 2 磊h 厂= 学= 等掣， 2 导h = 孚叫孚) 2 0 以b o u s s i n e s q 方程为例： - - u x x - - 3 ( u 2 ) 曩一= o ( 2 1 5 ) 令“= 2 ( 1 n f ) 。，将之代入方程( 2 1 5 ) 中，再对x 积分两次，取积分常数为零， 得： 2 ( i n f ) 甜- 2 ( i nf ) 。一1 2 ( 1 n f ) 。】2 2 ( 1 l l 厂) 一= o ，即 丁d f f 一学吨( 等) 2 _ 孚+ 3 ( 学) 2 _ 。亿， 整理得： ( 研一磁一磁) 厂f = o ( 2 1 7 ) 2 2 3双对数变换 双对数变换的形式为“= h l ( 多) ，这是有理变换的对数形式。而且同对数变 换一样，对不同的方程，形式可能有所改变。双对数变换是利用下面的双线性算 子性质将若( h 1 多) 转化为双线性形式的。 昙m c 争警， 昙h ( n ) = 半一( 警) 2 ， o x 1 2f 2 昙m 争等一等， 求解变系数k d v 方程的两种方法的研究 开a 3g ，= 警一3 半等埘等，3 例：s i n e - - g o r d o n 方程 一= s i