（应用数学专业论文）脉冲半动力系统的扩展及进一步研究.pdf

t h ee x p a n s i o na n df u r t h e rs t u d yo fi m p u l s i v e s e m i d y n a m i c a ls y s t e m s a 孤e s i s s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t s 1 0 rt h em s d e g r e ei nm a t h e m a t i c s b y z h a oh u a n p o s t g r a d u a t ep r o g r a m s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s c e n t r a lc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r ：z h a n gx i n g a n a c a d e m i ct i t l e ：p r o f e s s o rs i g n a t u r e ： 食n a p p r o v e d m a y , 2 0 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：走囝灸 日期：加年乡月如日 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学。学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和借 阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复 制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名：赵扶 日期：加j 1 年多月罗。日 导师签名：跃告密 日期：砂，年岁肜de l 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本 人的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章 程中的规定享受相关权益。圃童诠壅逞窒厦进厦! 旦圭生! 旦二生i 鱼二生蕉查! 作者签名：志妯灸 日期：加i | 年岁月知日 导师签名： 欢普妥 日期：加f 年占月劢日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文中，主要针对e m b o n o t t o 和m f e d e r s o n 等人所研究的脉冲半动力系 统的不足( 即初始点不做脉冲点、且系统在脉冲点只脉冲一次) ，对e m b o n o t t o 和m f e d e r s o n 等人所研究的脉冲半动力系统进行改进，得到了一个新系统，文中 定义为可连续跳跃的脉冲半动力系统( 即当初始点可以做脉冲点、系统在脉冲点可 以发生连续脉冲的脉冲系统) 具体分四个方面对此新系统进行研究首先，给出 了可连续跳跃的脉冲半动力系统的定义；其次，给出了可连续跳跃的脉冲半动力系 统的脉冲轨线的描述及分类；再次，讨论了它的极限集与亓一不变性；最后，研究 了可连续跳跃的脉冲半动力系统的周期解并且给出有关周期解的两个例子 关键词：脉冲半动力系统；可连续跳跃的脉冲半动力系统；脉冲轨线 i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei m p r o v e di m p u l s i v es e m i d y n a m i c a ls y s t e mw h i c hs t u d i e db y e m b o n o t t oa n dm f e d e r s o na n do t h e r s w ed e f t n e dam o r eg e n e r a li m p u l s e s y s t e mi nt h ep r e m i s eo ft h ei n i t i a lp o i n tt h a t c a nb et h ei m p u l s i v ep o i n ta n d t h e r ea r ei n t e r s e c t i o n sb e t w e e nt h ei m p u l s i v es e ta n dt h ei m a g es e t ，w h i c hi sc a l l e d i m p u l s i v es e m i d y n a m i e a ls y s t e m s o fc o n t i n u o u sj u m p i n g w es t u d i e dt h en e ws y s t e m i nf o u ra s p e c t s f i r s t l y ，w ep r e s e n t e di t sd e f i n i t i o ms e c o n d l y ，w ep r e s e n t e dt h e c l a s s i f i c a t i o n sa n dt h ed e s c r i p t i o n so fi t si m p u l s i v et r a j e c t o r y ；t h d l y ，w ed i s c u s s e d i t sl i m i ts e ta n d 亓- i n v a r i a n t ；f i n a l l y ，w es t u d i e di t sp e r i o d i cs o l u t i o na n dw eg a v e t w oe x a m p l e sa b o u tp e r i o d i cs o l u t i o n k e yw o r d s ：i m p u l s i v es e m i d y n a m i c a ls y s t e m ；i m p u l s i v es e m i d y n a m i c a ls y s - t e r no fc o n t i n u o u sj u m p i n g ；i m p u l s i v et r a j e c t o r y i i 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 目录 摘要 a b s t r a c t 第一章引言、 第二章预备知识：脉冲半动力系统 2 1 基本概念和记号 2 1 1脉冲半动力系统的定义 2 1 2 给出一个时间函数西 2 2 脉冲半动力系统的脉冲轨线的描述及分类 2 2 1 脉冲轨线的描述 2 2 2 脉冲轨线的分类 2 2 3 关于亓的一个简单性质 2 3 极限集与茅一不变性 2 3 1 附加概念 2 3 2 极限集与茅一不变性 第三章主要结果：可连续跳跃的脉冲半动力系统 3 1 基本概念和记号 3 1 1 可连续跳跃的脉冲半动力系统的定义 3 1 2 给出一个时间函数西 3 2 可连续跳跃的脉冲半动力系统的脉冲轨线的描述及分类 3 2 1 脉冲轨线的描述 3 2 2 脉冲轨线的分类 3 2 3 关于亓的一个简单性质 3 3 极限集与亓一不变性 3 3 1附加概念 3 3 2 极限集与牙一不变性 i l 3 3 3 4 5 5 7 7 7 7 8 加 加 m u 地 他 竭 m m m 玎 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 3 4 可连续跳跃的脉冲半动力系统的周期解1 8 3 4 1 周期解的定义1 8 3 4 2 关于周期解的两个例子1 8 第四章结论2 l 参考文献2 2 学术论文2 4 致谢2 5 硕士学位论文 m a $ t e r st h e s i $ 第一章引言 目前有很多讲解动力系统的相关书籍，如文献【1 】一【3 】但是，现实世界中存在 着很多不能用动力系统来研究的问题例如，很多物种的出生、候鸟的迁徙、种子 的漂移等往往是季节性的、短时间内完成的；渔业资源的开发和管理中，育苗的放 养和成鱼的收获是周期性的、短时间内完成的；农业生产中，通过喷洒农药或者投 放人工养殖的天敌来杀灭害虫是瞬时的、不连续的以上列举的这些实际问题的发 展都有一个共性，即都经历了一个短时间的外部作用，并且这个短暂的干扰时间与 整个发展过程相比可以忽略不计这些问题往往不能用动力系统及常微分方程的 理论来研究 为了研究以上列举的这些实际问题，在动力系统的基础之上建立起了脉冲半 动力系统和脉冲微分方程等理论，它是拓扑动力系统中的一个比较现代的、并且 是非常重要的领域脉冲微分方程能够充分考虑到瞬时变化对状态的影响，能够更 合理、更精确的反应某些事物的发展变化规律因此，它有很重要的现实意义，对 解决某些实际问题有很大帮助，也成为近年来人们非常感兴趣的领域文献f 5 】一 f 1 0 1 ，与动力系统相对照，给出了脉冲半动力系统的定义及相关概念，并且得到脉 冲半动力系统方面的一些结果但对于脉冲半动力系统的研究仍不够完善，还需要 做进一步的研究，从而更好的解决实际问题 文献f 5 1 一f 1 0 1 中对脉冲半动力系统的研究均是在假设初始点不做脉冲点( 即 初始点不发生脉冲) 的前提下进行的文献【5 1 与文献【6 】一【1 0 】中关于脉冲半动 力系统及脉冲轨线的定义稍有区别，但它们的本质是一致的文献【5 】中的脉冲 半动力系统记为( k7 r ；q ，m ，j ) ，其中( x ，7 r ，r 斗) 是半动力系统，q 为x 中的开 集，m = a q 为x 中的非空闭子集，i ：m _ q 连续，且对vz m ，| 0 ， 使得f ( x ，( 0 ，) ) nm = 圣，7 r ( z ，( 0 ，岛) ) nm = 垂，称m 为脉冲集、称，为脉冲 函数，可知脉冲集m 与相集i ( m ) 不相交，从而系统在脉冲点只能发生一次脉冲 文献f 6 】一【1 0 】中的脉冲半动力系统均记为( x ， r ；m ，j ) ，其中( x ，7 r ，耻) 是半动力系 统，m 为x 上的一个非空子集，函数i ：m x 连续，且对vz m ，j 0 ， 使得f ( z ，( 0 ，岛) ) nm = 西，7 r ( z ，( 0 ，岛) ) nm = 西，称m 为脉冲集、称，为脉冲函 数，但由文献5 1 一f 1 0 1 中脉冲轨线的定义知系统的初始点不做脉冲点、在脉冲点 只能发生次脉冲从而知道，文献f 5 1 一f 1 0 】中的脉冲半动力系统及脉冲轨线的 定义是一致的，即初始点都不做脉冲点、在脉冲点都是只能发生一次脉冲( 即只跳 跃一次) 由此自然让人们想到，若初始点可以做脉冲点、脉冲集m 与相集i ( m ) 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 相交，即修改脉冲轨线的定义使系统在脉冲点可以发生多次脉冲的情况下如何来 描述这个新系统，又此新系统有何性质、有何现实意义呢? 本文中，我们便给出了这个新概念一可连续跳跃的脉冲半动力系统，即当初 始点可以做脉冲点、脉冲集m 与相集i ( m ) 可以有交点( 即在脉冲点可以发生连 续跳跃) 的脉冲系统 本文分为两个部分脉冲半动力系统的研究部分： 2 1 基本概念和记号其中，2 1 1 给出脉冲半动力系统的定义，2 1 2 给出一个 时间函数西 2 2 脉冲半动力系统的脉冲轨线的描述及分类其中，2 2 1 描述了脉冲半动力 系统的脉冲轨线；2 2 2 对脉冲半动力系统的脉冲轨线进行了分类；2 2 3 给出亓的 一个简单性质： 2 3 极限集与牙一不变性2 3 1 给出极限集等的一些附加概念；2 3 2 通过一个 例子研究脉冲集可以破坏极限集的亓一不变性 可连续跳跃的脉冲半动力系统的研究部分： 3 1 基本概念和记号其中，3 1 1 给出可连续跳跃的脉冲半动力系统的定 义，3 1 2 给出一个时间函数西 3 2 可连续跳跃的脉冲半动力系统的脉冲轨线的描述及分类其中，3 2 1 描述 可连续跳跃的脉冲半动力系统的脉冲轨线；3 2 2 对脉冲半动力系统的脉冲轨线进 行分类；3 2 3 给出亓的一个简单性质： 3 3 极限集与并一不变性3 3 1 给出极限集等的一些附加概念；3 3 2 按3 2 可 连续跳跃的脉冲半动力系统的定义研究例1 中的极限集与茅一不变性 3 4 可连续跳跃的脉冲半动力系统的周期解3 4 1 定义可连续跳跃的脉冲半动 力系统的周期解；3 4 2 给出有关周期解的两个例子 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章预备知识：脉冲半动力系统 2 1基本概念和记号 2 1 1脉冲半动力系统的定义 本文中，我们记西为空集、n 为正整数集、r + 为非负实数集、r 为实数集 首先，给出半动力系统、动力系统的定义及相关概念 定义2 1 ( 半动力系统、动力系统) 设x 是一个距离空间，r + 是非负实数集， 函数7 r ：x xr + _ x ，7 r 连续，且7 r 满足如下两条基本性质： ( 1 ) 7 r ( z ，0 ) = z 对v z x 成立； ( 2 ) 7 r ( 丌( z ，t ) ，s ) = 7 r ( z ，+ s ) 对vz x ，v t ，se r + 成立 则称( x ，7 r ，耻) 为半动力系统 若将半动力系统定义中的r + 换成r 即设x 是一个距离空间，r 是实数集， 函数丌：x r _ x ，7 r 连续，且7 r 满足如下两条基本性质： ( 1 ) 7 r ( z ，0 ) = z 对vz x 成立； ( 2 ) 7 r ( 7 r ( z ，t ) ，s ) = 7 r ( z ，t + s ) 对vz x ，vt ，s r 成立 则称( x ，7 r ，r ) 为动力系统 可见，半动力系统中的时间变量t 定义在r + 上、动力系统中的时间变量定 义在r 上，这是两者之间的主要区别 定义2 2 ( 半动力系统中的轨线、正轨道、初始点) 对于半动力系统( x ，7 r ，r + ) ， 给定z x ，通过死( z ) = 7 r ( x ，t ) 定义函数7 r z ：r 斗_ x ，则我们称死为z 的轨线 又记7 r + ( x ) = 0 ，v z x ，记f ( x ，t ) = y ：7 r ( 可，z ) = z ) ，又对c 【0 ，+ o 。) ，oc x ， 记f c o ，) = f ( z ，t ) ：z d ，t 如果对vt 0 ，均有f ( x ，t ) = 圣，则我们 称z 为初始点 定义2 3 ( 脉冲半动力系统) 若( x ，7 r ，r + ) 是半动力系统即x 是一个距离空 间，耻是非负实数集，函数丌：x x 耻一x ，7 r 连续，且7 r 满足如下两条基本性 质： ( 1 ) 7 r ( z ，0 ) = z 对vz x 成立； 3 ( 2 ) 7 r ( 7 r ( z ，) ，s ) = 7 r ( z ，t4 - 8 ) 对vx x ，v t ，s i 成立 又q 为x 中的开集，m = 鼬为x 中的非空闭子集，i ：m _ q 连续，且对 vz m ，j 0 ，使得 f ( z ，( 0 ，e 善) ) nm = 西，7 r ( z ，( o ，z ) ) nm = 圣 则称( 五7 r ；q ，m ，j ) 为脉冲半动力系统 在脉冲半动力系统( x ，7 r ；q ，m ，j ) 中，称m 为脉冲集，称z ( m ) 为相集，称j 为脉冲函数 在脉冲半动力系统( x ，7 r ；q ，m ，j ) 中，m = a q ，x ( m ) cq ，从而m f i i ( m ) = 西，即脉冲集m 与相集i ( m ) 不相交，不可能发生连续脉冲 结论2 1 对于脉冲半动力系统( x ，7 r ；q ，m ，j ) ，半动力系统( x ，r ，风) 的每条 轨线上属于脉冲集m 中的点是孤立的( 即是说半动力系统( x ，7 r ，皿) 的轨线与脉 冲集m 相交是一系列孤立的点) f 证明】假设不孤立对于脉冲半动力系统的脉冲轨线上的任意一个给定的属 于m 的点z ，不妨设z = l r ( y = ，t 1 ) ，其中t 1 耻 当t 1 【0 ，+ o 。) 时，j 0 ，对v t ( t 1 ，t l + ) ，有7 r ( 如，t ) m 令r = t t 1 ， 则( 0 ，e z ) 对vt ，( 0 ，e ) ，有7 r ( z ，r ) m ，即，r ( 。，( 0 ，e 王) ) i 1m 圣，这与脉 冲半动力系统的定义相矛盾 当t 1 ：+ o 。时，| 岛 0 ，对vt ( t l 一岛，t 1 ) ，有7 r ( 啦，) m 因为 亡1 一点王2 ( l 一岛，t 1 ) ，所以万( 如，l 一譬) m ，即f ( z ，红2 ) = 3 ，：7 r ( y ，等) = z = 7 r ( 虮，t 1 一至1 2 ) m ，即f ，( 0 ，) nm 西，这也与脉冲半动力系统的定义相矛盾 综合以上讨论，结论2 1 成立 2 1 2 给出一个时间函数 记m + ( z ) = ( 1 r + ( x ) i 1m ) z ) ，则我们有如下结论 结论2 2 给定脉冲半动力系统( k7 r ；q ，m ，) 对vz x ，若m + 扛) 圣， 则| s 0 ，使得7 r ( z ，s ) m ，且对vt ：0 t s ，丌( z ，t ) 芒m f 证明】由m + ( z ) 的表达式知，当m + ) = 西时，表示以z 为初始点的 正轨道l r + ( x ) 与脉冲集m 不相交或只交于初始点z 而当m + 扛) 西时， 表示以z 为初始点的正轨道7 r + ( x ) 与脉冲集m 相交于一列点7 r ( z ，s ) ，其中 4 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 0 鼠+ ，i = 1 ，2 ，3 ，且s s j ( 当i 0 ，使得7 r ( z ，8 1 ) m ， 且对v t ：0 亡 0 ，使得7 r ( z ，s ) m ，且对vt ：0 t s ，7 r ( z ，t ) m 此时记( z ) = s 即定义函数西为 ，、f s ，7 r ( z ，s ) m ，且对vt ：0 亡 0 ，使得7 r ( z ，8 1 ) = z l m 且 7 r ( x ，t ) 岳m ( vt ：0 t s 1 ) ，则定义区间【0 ，8 1 ) 上的瓦为： 瓦( t ) = 7 r ( z ，t ) ( vt ：0 t 0 ，使得7 r ( z ，s 2 ) = z 2 m 且7 r ( z ，t s 1 ) 簪m ( vt ：8 1 t 8 1 + s 2 ) ，则定义区间【s 1 ，s 1 + 8 2 ) 上的 冠为： 瓦( t ) = 7 r ( z ，芒一s 1 ) ( v ：s 1 t 0 ，使得7 r ( z 孝，s 3 ) = z 3 m 且7 r ( z 孝，t s l s 2 ) 簪m ( vt ：s l + , 9 2 t s 1 + s 2 + 8 3 ) l p 则定义区间 【s 1 + s 2 ，s 1 + s 2 + s 3 ) 上的瓦为： 瓦 ) = 7 r ( z ，亡一8 1 8 2 ) ( vt ：s 1 + s 2 t 8 1 + s 2 + 8 3 ) ， 此时( z 孝) = s 3 定义 瓦( s 1 + s 2 + s 3 ) = i ( x 3 ) = z 亨 在m + ( z ) 圣( t = 0 ，1 ，礼一1 ，记z 吉= z ) 的情况下若m + ( z 者) = 西， 则定义 住 瓦( t ) = 7 r ( z ：，t 一s j ) ( re ：勺t + c o ) ， j = lj = 1 则定义区间【；。勺，葛勺) 上的瓦为： 冠( t ) = 7 r ( z ：，t 一s j ) j = l 此时( z ：) = s n + - 定义 n ( vt ： j = l n + 1 勺t ) ， j = l 住+ 1 瓦( s j ) = n + ，) = z + + j i = 1 6 硕士学位论文 m a $ t e r st h e $ i s 重复以上过程，最终得到所有情况下无的完整的定义 从而给出了脉冲半动力系统的脉冲轨线的定义 2 2 2脉冲轨线的分类 结论2 3 对任意给定的z x ，我们可以将瓦按连续性分为以下三种类型： ( 1 ) 当m + ( z ) = 圣时，不发生脉冲，脉冲轨线瓦( t ) 在r + 上没有不连续点 ( 2 ) 当存在某个n 1 ，使得m + ( z ：) = 西，而m + ( z ) 西( i = 0 ，1 ，n l ， 记z 吉= z ) 时，发生有限次( n 次) 脉冲，脉冲轨线瓦( t ) 在r + 上有有限个( n 个) 不连续点( 事实上，在t = 笔1 勺，k = l ，2 ，扎处不连续) ( 3 ) 当对所有的n ，均有m + ( z ：) 圣时，发生无限次脉冲，脉冲轨线瓦( t ) 在 【0 ，罢l 勺) 上有无限个不连续点( 事实上，在t = 名ls j ，k = 1 ，2 ，处均不连 续) 2 2 3关于亓的一个简单性质 对于任意给定的z x ，记牙+ ( z ) = 亓( z ，t ) ：t r + ) ，我们称矿 ) 为z 的 脉冲正轨道 由上述脉冲轨线的定义，易得如下结论 结论2 4 给定脉冲半动力系统( x ，7 r ；q ，m ，j ) ，比x 则有以下两个性质： ( 1 ) 亓( z ，0 ) = z ； ( 2 ) 对于v s ，t 【o ，j o o ：1 勺) ，t + s 【o ，嚣ls j ) ，有亓( 牙( z ，) ，s ) = 亓( z ，t + s ) 2 3极限集与牙一不变性 2 3 1附加概念 考虑距离空间x ，其中的距离记为p 定义p a ( x ) = i n f p ( z ，y ) ：y a ，b ( a ，6 ) = ( z x ：p a ( x ) 0 ，v z a ，j6 0 ，使得元( b ( z ，6 ) ，【0 ，+ o o ) ) c b ( a ，e ) ；( 即z 的6 邻域出发的脉冲轨线包含在a 的邻域中) 称a 是轨道齐一稳定的，若对vu ：acu ，jv ：acvcu ，且牙+ ( y ) c v ；( 即从y 出发的脉冲轨线包含在y 中) 称a 是依照b h a t i a - h a j e k 符一稳定的，若对v 茁a ，vy 隹a ，jv ：z y ，jw ：w ，使得n 亓( v 【0 ，+ o o ) ) = 圣( 即w 与从y 出发的脉冲轨线不 相交) 2 3 2 极限集与并一不变性 在动力系统中，极限集是不变集但下面的例子说明，脉冲半动力系统 ( x ，7 r ；q ，m ，) 中，脉冲集m 可以破坏极限集z + ) 的茅一不变性 例2 1 考虑辟上的脉冲微分系统 8 ( 2 2 ) 三一 妨圣mr i ，-l-_l-，、_i-一， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中，m = 1 ，x 2 ) r 2 ：z ；+ z ；= 9 ) ，n = ( z 1 ，x 2 ) r 2 ：砰+ z ；= 1 ，：m _ ，对v x = ( x l ，z 2 ) m ，j ( z ) = ( 詈，警) 对于动力系统 ( 2 3 ) 其解，r ( z ，t ) = ( z t ( ) ，z 2 ( t ) ) = ( q e t ，q ) ，其中初值条件( z 1 ( o ) ，x 2 ( o ) ) = ( q ，q ) ，a ，岛为任意实数 即在脉冲半动力系统( r 2 ，妒；q ，m ，j ) 中，q = 扛1 ，z 2 ) r , 2 ：z ；+ z ； 0 ，使得f ( x ，( 0 ，) ) nm = 西，7 r ( z ，( 0 ，岛) ) nm = 西，称m 为脉 冲集、称，为脉冲函数，可知脉冲集m 与相集i ( m ) 不相交，从而系统在脉冲点 只能发生一次脉冲，即初始点都不做脉冲点、在脉冲点都是只能发生一次脉冲( 即 只跳跃一次) 我们由此容易想到，若初始点可以做脉冲点、脉冲集m 与相集i ( m ) 可以相 交，即修改脉冲轨线的定义使系统在脉冲点可以发生多次脉冲的情况下如何来描 述这个新系统，又此新系统有何性质、有何现实意义呢? 因此，我们接下来要讨论的便是这个新概念一可连续跳跃的脉冲半动力系统， 即当初始点可以做脉冲点、脉冲集m 与相集j ( m ) 可以有交点( 即在脉冲点可以 发生连续跳跃) 的脉冲系统 定义3 1 ( n - i 连续跳跃的脉冲半动力系统) 若( x ，7 r ，r + ) 是半动力系统即x 是一个距离空间，r + 是非负实数集，函数丌：x xl ：t + 一x ，7 r 连续，且7 r 满足如 下两条基本性质： ( 1 ) 7 r ( o ，0 ) = z 对vz x 成立i ( 2 ) r ( 7 r ( z ，t ) ，s ) = 7 r ( o ，t + s ) 对vz x ，vt ，s f o 成立 又m 为x 上的一个非空子集，函数i ：m _ x 连续，且对v x m ，j 霉 0 ， 使得 f ( x ，( 0 ，e 。) ) nm = 西，7 r ( z ，( 0 ，g 霉) ) nm = 西 则称( x ，7 r ；m ，j ) 为可连续跳跃的脉冲半动力系统 在可连续跳跃的脉冲半动力系统( x ，7 r ；m ，) 中，称m 为脉冲集，称i ( m ) 为 相集，称j 为脉冲函数 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 对于可连续跳跃的脉冲半动力系统( k7 r ；m ，) ，若将条件“m 为x 上的一 个非空子集，函数i ：m _ x 连续 加强为“q 为x 中的开集，m = 锄为x 中 的非空闭子集，i ：m 叶q 连续 ，则( 五7 r ；q ，m ，j ) 为文献【5 】中脉冲半动力系统 的定义 在脉冲半动力系统( x ，7 r ；q ，m ，j ) 中，m = a q ，j ( m ) cq ，从而mn i ( m ) = 圣，即脉冲集m 与相集，( m ) 不相交，不可能发生连续脉冲所以，按照本节定义， 脉冲半动力系统( x ，7 r ；q ，m ，) 亦可称为不可连续跳跃的脉冲半动力系统 可知，当初始点z 不属于脉冲集m 时，文献f 5 】中研究的脉冲半动力系统是 本文中定义的可连续跳跃的脉冲半动力系统的一个特殊情况本节所研究的对象 是对文献f 5 】中研究的脉冲半动力系统的扩展 结论3 1 对于可连续跳跃的脉冲半动力系统( x ，7 r ；m ，j ) ，半动力系统 ( x ，7 r ，凰) 的每条轨线上属于脉冲集m 中的点是孤立的( 即是说半动力系统 ( k ，r ，风) 的轨线与脉冲集m 相交是一系列孤立的点) 【证明】假设不孤立对于可连续跳跃的脉冲半动力系统的脉冲轨线上的任意 一个给定的属于m 的点z ，不妨设z = 7 r ( 如，i t ) ，其中z 1 r + 当t l 【0 ，+ o o ) 时，j 0 ，对v t ( t l ，t l + e ) ，有7 r ( 如，) m 令= t - h ， 则( 0 ，岛) 对vt 7 ( 0 ，) ，有7 r ( z ，) m ，即7 r ( z ，( 0 ，毛) ) nm 西，这与可 连续跳跃的脉冲半动力系统的定义相矛盾 当t 1 = + o o 时，j 茹 0 ，对vt ( t l 一屯，t 1 ) ，有7 r ( 啦，) m 因为 t l 一譬( t l 一岛，t 1 ) ，所以7 r ( 阮，t l 一点五2 ) m ，即f ( z ，譬) = 可：7 r ( y ，兰王2 ) = z ，= 7 r ( 如，t 1 一譬) m ，即f ( x ，( 0 ，e 王) nm 垂，这也与可连续跳跃的脉冲半动力系统 的定义相矛盾 综合以上讨论，结论3 1 成立 3 1 2 给出一个时间函数莎 记m + 0 ) = z r + ( x ) f lm ，则我们有如下结论 结论3 2 给定可连续跳跃的脉冲半动力系统( x ，妒；m ，) 对vz x ，若 m + ( z ) 西，则有z m ，或者z 甓m 但j8 0 ，使得7 r ( z ，s ) m ，且对 v t ：0 t 0 ，使得7 r ( z ，8 ) m ， 且对vt ：0 t 0 ，使得7 r ( z ，s ) m ，且对 v t ：0 t 8 ，7 r ( z ，t ) 簪m 此时记( z ) = 8 f ，0 ，z m ， 咖( z ) = s ， 7 r ( z ，s ) m ，且对vt ：0 t 0 ，使得7 r ( z 亭，s 1 ) = z 1 m 且7 r ( 对，) 譬m ( vt ：0 t s 1 ) ，则定义区间【o ，s 1 ) 上的瓦为： 瓦( ) = 7 r ( z 吉，t )( vt ：0 t 0 ，使得7 r ( z ，s 2 ) = z 2 m 且7 r ( z ，t s 1 ) 聋m ( vt ：s 1 t 8 1 + s 2 ) ，则定义区间 8 1 ，8 1 + s 2 ) 上的 瓦为： 瓦( t ) = 7 r ( z ，t 一8 1 ) ( v t ：8 1 t 0 ，使得丌( z 妻，s 3 ) = z 3 m 且7 r ( z 孝，t s l s 2 ) 簪m ( vt ：8 1 + 8 2 t 8 1 + 8 2 + s 3 ) ，则定义区间 【s 1 + 8 2 ，s 1 + 8 2 + 8 3 ) 上的瓦为： 瓦( )= 7 r ( z 刍，t s l 一8 2 ) ( v t ：s 1 + s 2 t s l + 8 2 + 8 3 ) ， 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 此时咖( z 孝) = 8 3 在m + ( z 砉) 西的情况下，若j 乜 一a ( z 3 ) m ( i s = 1 ，2 ，一1 ) ，则定义 n ，使得k s ( x 3 ) 垡m ，而 瓦( s 1 + s 2 + s 3 ) = ，b ( z 3 ) = z ； 否则，则规定r 斗【o ，s 1 + s 2 + s 3 ) 上的脉冲轨线瓦不存在 在m + ( z ) 西( i = 0 ，1 ，n 一1 ) ，且瓦( 。岛) 有定义的情况下若 m + ( z ：) = 西，贝i j 定义 瓦( t ) = 7 r ( 砖，一 n j = t 则定义区间【l 勺，蒿彤) 上的瓦为： n 瓦( ) = ，r ( z ：，t 一勺) ( vt ：勺t j = lj = l l r g + 1 j = l 勺) ， 此时( z ：) = 8 n + 1 在m + ( z ：) 西的情况下，若jk + t n ，使得p 时1 ( + t ) 簪 m ，而j ，( z n + 1 ) m ( k + 1 = 1 ，2 ，k + 1 1 ) ，则定义 n + 1 瓦( 彤) = j 七冲1 ( z n + t ) = z + + ，； j = l 否则，则规定r 斗【o ，搿勺) 上的脉冲轨线瓦不存在 重复以上过程，最终得到所有情况下瓦的完整的定义 从而给出了可连续跳跃的脉冲半动力系统的脉冲轨线的定义 1 4 + 一 一 n 纠 亡v 勺 3 2 2脉冲轨线的分类 结合以上讨论，我们有如下结论 结论3 3 冠按表达式可以分为以下五种类型： ( 1 ) 瓦在整个区间r 斗上不存在 ( 2 ) 瓦( t ) = 7 r ( z 吉，t ) ( vt 耳) i i 相应地，有咖( 对) = + o o ( 3 ) 瓦( t ) 定义在【o ，蒿) 上，n n 且 瓦( 亡) = 7 r ( z 吉，t ) ( vt ：0 t s 1 ) ， 瓦( t ) = 7 r ( z i - ，t 一8 1 ) 瓦( ) = 7 r ( z ：，t 一 ( vt ：8 1 t 8 1 + s 2 ) ， 勺) cv t ：s j t j = l 相应地，有咖( z 吉) = 8 1 ，( z i _ ) = 9 2 ，( z ：) = s n + 1 ( 4 ) 冠( t ) 定义在r 十上且 瓦( t ) = 7 r ( z 吉，t ) ( vt ：o t s 1 ) ， n + 1 岛) j - - t 瓦( t ) = 7 r ( z ，一s 1 ) cv t ：8 1s s 1 + s 2 ) ， 瓦( ) = 7 r ( z + - l ，t n 一1 fs i t 一j 一 j = l j = l 1 7 , ) ， 瓦( 亡) = 7 r ( z ：，一岛) ( v t ：勺t + o o ) j = lj = l 相应地，有( z 吉) = 8 1 ，( z ) = 8 2 ，( z + _ ) = ，咖( z 者) = + o o ( 5 ) 砭( t ) 定义在【o ，蒿勺) 上且 瓦( t )= 7 r ( z 吉，) ( vt ：o s 1 ) ， 瓦( t ) = 7 r ( z ，t s 1 ) ( vt ：s l t 8 1 + s 2 ) ， 1 , 5 弹 v 勺 l 、 l “芦n 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 相应地，有咖( z 手) = 8 1 ，咖( z j - ) = s 2 ，( z ：) = 8 n + l ， 进而，又可以得到如下结论 结论3 4 对任意给定的z x ，我们可以将死按连续性分为以下五种类型： ( 1 ) 瓦在整个区间r + 上不存在 ( 2 ) 瓦( ) 定义在r + 上，且瓦( ) 在耻上连续 ( 3 ) 瓦( t ) 定义在【o ，n 卢+ 1 ls j ) 上，n n 且无( t ) 在【o ，搿岛) 上有有限个 ( n 个) 间断点( 事实上，在t = 名1s j ，k = l ，2 ，n 处间断) ( 4 ) 瓦( ) 定义在r 斗上且瓦( ) 在r 斗上有有限个( n 个) 间断点( 事实上， 在t = 名l 岛，k = 1 ，2 ，礼处间断) ( 5 ) 瓦( t ) 定义在【o ，箸勺) 上且瓦( t ) 在【0 ，箸s j ) 上有无限个间断点 ( 事实上，在t = 警ls j ，k = 1 ，2 ，处均i e 断) 3 2 3关于亓的一个简单性质 对于任意给定的z x ，记牙+ ( z ) = 并 ，t ) ：t 耻) ，我们称衬 ) 为z 的 脉冲正轨道 由上述脉冲轨线的定义，易得如下结论 结论3 5 给定脉冲半动力系统( x ，7 r ；q ，m ，d ，比x 则有以下两个性质： ( 1 ) 亓( z ，0 ) = z ； ( 2 ) 对于v s ，t 【o ，墨ls j ) ，t + s 【0 ，嚣1s j ) ，有亓( 齐( z ，) ，s ) = 亓( z ，t + s ) 3 3 极限集与牙一不变性 3 3 1 附加概念 考虑距离空间x ，其中的距离记为p 定义p a ( x ) = i n f p ( x ，y ) ：y a ) ，b ( a ，6 ) = z x ：p a ( x ) 且记 o a 为a 的边界，才为a 的闭包 1 6 勺 州触 0 ，v x a ，j 占 0 ，使得亓( j e 7 ( z ，6 ) ，【0 ，+ ) ) c b ( a ，e ) ；( 即z 的6 邻域出发的脉冲轨线包含在a 的e 邻域中) 称a 是轨道亓一稳定的，若对vu ：acu ，| v ：4cvcu ，且矿( y ) c y ；( 即从y 出发的脉冲轨线包含在y 中) 称a 是依照b h a t i a - h a j e k 茅一稳定的，若对vz a ，vy a ，jv ：z y ，jw ：y w ，使得n 亓( k 【0 ，+ d o ) ) = c i , ( 即w 与从y 出发的脉冲轨线不 相交) 3 3 2 极限集与牙一不变性 对于例2 1 ，也可以按照本文中所定义的可连续跳跃的脉冲半动力系统 ( x ，惦m ，j ) 来研究，有 矿( 3 ，0 ) = ( 1 ，0 ) l + ( r ) ， 牙+ ( 【1 ，3 ) o ) ) = ( 【1 ，3 ) _ 【o ) ) l + ( 昂) ， 1 7 所以 + ( 【1 ，3 】 o ) ) = ( 【l ，3 】 o ) ) 矿( r ) ，即矿( l + ( r ) ) cp ( 晶) 即在例2 1 中，若按照文脉冲半动力系统( x ，l r ；q ，m ，i ) 来研究，得到极限集 z + ( z ) 不是牙一不变的而按照本文中所定义的可连续跳跃的脉冲半动力系统 ( x ，饵m ，j ) 来研究，得到极限集艺+ ( z ) 是并一不变的 3 4可连续跳跃的脉冲半动力系统的周期解 3 4 1 周期解的定义 定义3 5 ( 周期解) 在可连续跳跃的脉冲半动力系统的脉冲轨线中，若存在 k n ，使得z 毒= z 手，而对z 吉( i = l ，2 ，k 一1 ) ，则称从z 出发的解为可连 续跳跃的脉冲半动力系统的阶k 周期解 特别的，当k = 1 时，称其为阶1 周期解；当= 2 时，称其为阶2 周期解 3 4 2关于周期解的两个例子 悟i q 5 ， 其中，m = ( o ，z 2 ) r 。2 ：z 2 o ) ，n = ( o ，z 2 )