概率论第四章课后习题解答.doc

概率论第四章习题解答1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X的分布律并求数学期望。“THEGIRLPUTONHERBEAUTIFULREDHAT”（2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y的分布律并求（3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X的分布律。解（1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X的取值为：2,3,4，9，其分布律为2349所以。（2）因为Y的取值为2,3，4，9当时，包含的字母为“O”，“N”，故；当时，包含的3个字母的单词共有5个，故当时，包含的4个字母的单词只有1个，故当时，包含的9个字母的单词只有1个，故2349。（3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X7,8，9,10，11,12；若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X的取值为：1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。X12345789101112 2某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以表示一天中调整设备的次数，试求。（设诸产品是否为次品是相互独立的。）解（1）求每次检验时产品出现次品的概率因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为0.1，设出现次品的件数为Y，则，于是有（2）一次检验中不需要调整设备的概率则需要调整设备的概率（3）求一天中调整设备的次数的分布律由于取值为0，1，2，3，4。，则于是012340.29360.42110.22630.0540.0049（4）求数学期望。3有3只球4个盒子的编号为1，2，3，4。将球逐个独立地随机地放入4个盒子中去，以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X3，表示第1号、第2号盒子是空的，第3个盒子至少有一只球。）试求。解（1）求的分布律由于每只球都有4种方法，由乘法定理共有 种放法。其中3只球都放到第4号盒子中的放法仅有1种，从而；又“”表示事件：“第1号、第2号盒子是空的，第3号盒子不空”，从而3只球只能放在第3、4号两个盒子中，共有种放法，但其中有一种是3只坏都放在第4号盒子中，即3号盒子是空的，这不符合这一要求，需要除去，故有“”表示事件：“第1号是空的，第2号盒子不空”，从而3只球只能放在第2、3、4号三个盒子中，共有种放法，但其中有一种是3只球都放在第3、或4号盒子中，共有种放法，即2号盒子是空的，这不符合这一要求，需要除去，故有即1234（2）求。4（1）设随机变量的分布律为，（），说明的数学期望不存在。（2）一个盒中装有1只黑球，一只白球，作摸球游戏，规则如下：一次随机地从盒中摸出一只球，若摸到白球，则游戏结束；若摸到黑球，放回再放入一只黑球，然后再从盒中随机地摸取一只球。试说明要游戏结束的摸球次数的数学期望不存在。解（1）因为级数，这是一个莱布尼茨交错级数，收敛而非绝对收敛。所以其数学期望不存在。（2）以记事件“第次摸到黑球”，以记事件“第次摸到白球”，以表示事件“游戏在次摸球时结束”，。按题意，由乘法公式得而，一般地，若当时，盒中共有只球，其中只有一只白球，故若存在，则根据数学期望的定义，就有，而调和级数却是发散的，此即表明数学期望不存在。5设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间（以min计）是一个随机变量，其概率密度为求解按连续型随机变量的数学期望的定义有6设随机变量的分布律为2020.40.30.3求，（2）设，求解；或因为040.30.7所以。（2）因为，所以（注在公式中现在的，）7（1）设随机变量的概率密度为求（），（）的数学期望；（2）设随机变量，相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布（）求的数学期望，（）求的数学期望。解（1）。（2）因为（）因为随机变量，相互独立，且都服从（0，1）上的均匀分布，其概率密度为其分布函数为 而的分布函数为即，于是。（）（令）。8设随机变量的分布律为1231010.20.10.00.10.00.30.10.10.1（1）求，；（2）设，求；（3）设，求。解（1）由已知分布律知其边缘分布为1231010.20.10.00.10.00.30.10.10.10.30.40.30.40.20.41；。（2）由已知的分布律有。（3）。或先求出的分布律，再求对应的数学期望,即01490.10.20.30.4所以。9（1）随机变量的概率密度为求，；（2）随机变量的概率密度为求，解（1）。（2）。注：可以利用10（1）设随机变量，且和相互独立。求；（2）一飞机进行空投作业，设目标点为原点，物资着陆点为，和相互独立，且设，求原点到点间的距离的数学期望。解（1）根据对称性，而和相互独立且所以，即。或因为和相互独立，。（2）设原点到的距离为，则，则的概率密度为，。11一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，概率密度为工厂规定：出售的设备若在一年之内损坏可予调换，若工厂售出的一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。解因为设备的寿命为随机变量，则一台设备在一年内调换的概率设工厂售出一台设备的净赢利值为：则的分布律为100100300故有（元）12、某车间生产的圆盘直径在区间内服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。解设圆盘的直径为，则的概率密度为记圆盘的面积为，则，于是圆盘面积的数学期望为13设电压（以V计），将电压施加于一检波器，其输出的电压为，求输出电压的平均值。解因为，所以，由得又故（V）或因为（V）15、将只球（）号随机地放进个盒子（）中去，一个例子中装一只球。若一只球装入与球同号的例子中，称为一个配对，记为总的配对数，求解设，则服从（01）分布，故，又，所以。16、若有把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把打开门上的锁，用它们去试开门上的锁，设取到每只钥匙是等可能的。若每把钥匙试开一次后除去，试用下面两种方法求开锁的次数的数学期望。（1）写出的分布律，（2）不写出的分布律。解（1）写出分布律开锁的次数的取值为1,2，n。则，一般地，（备注：这实质上是一个抽签问题，由条件概率知每把钥匙把门打开的概率是相等的，均为）123所以（2）不写出分布律不妨设第抒钥匙能打开门上的锁，把第一次抽取看作是第一轮，则第一次抽取后，剩下的有把钥匙，依此类推。则（）故17、设为随机变量，C为常数，证明，对于。（由于，上式表明当时取到最小值。）证明因为当时，。即当时，即18、设随机变量服从瑞利分布，其概率密度为其中是常数，求和。解又（概率密度的性质）所以19、设随机变量X服从分布，其概率密度为其中，是常数，求和解又故20、设随机变量服从几何分布，其分布律为，。其中是常数，求和解 又因为所以21、设长方形的高（以m计），已知长方形的周长（以m计）为20，求长方形的面积A的数学期望和方差。解因为，所以，而又而所以。22、（1）设随机变量相互独立，且有，。设求和；（2）设随机变量，相互独立，且，求，的分布，并求概率，。解（1）（2）因为，所以即故同样，因为，所以又又因为，所以23、五家商店联营，它们每两周的出售的农产品的数量（以kg计）分别为已知，且相互独立。（1）求五家商店的总销售量的均值和方差。（2）商店每隔两周进一次货，为了使新的供货到达商店前不会脱销的概率达到0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克产品。解（1）设五家商店每两周的总销量为，则 则五家商店的总销量（2）设商店仓库需要储存该产品的数量为m(kg)，则在新货到达之前不会脱销的概率达到0.99，即。而查表得令解得即仓库需要储存至少1282kg该产品，才能保证其不脱销的概率达到0.99。24卡车装运水泥，设每袋水泥重量（以kg计）服从，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率大于0.05解设卡车所装的水泥袋数为，则水泥的总问题为因为，所以而所求概率为即即，查表得，令，取，取整得，。25、随机变量，相互独立，且都服从上的均匀分布。（1）求，（2）以，为边长，作一长方形，以，分别表示长方形的面积和周长，求和的相差系数。解因为，相互独立，且都服从上的均匀分布因为在，所以不存在。（注因为，所以 )(2) 因为，所以由（1）知；， 所以。26、（1）设随机变量相互独立，且有，求，（2）设，是随机变量，且有，令，分别在下列三种情况下求和：（）与相互独立；（），不相关；（）与的相关系数为0.25。解（1）因为，所以又因为相互独立，且，所以。（2）当（）与相互独立当（），不相关因为，不相关，即协方差，当（）与的相关系数为0.25。因为。27、下列各对随机变量和，问哪几对是相互独立的？哪几对是不相关的。（1），；（2），；（3），。若（，）的概率密度为（4）（5）解(1) 因为，其概率密度为，当时因为，所以和是相关的，即不是不相关的。事实上，和有明显的线性关系：即和不是不相关的，既然有线性关系，当然也就不独立了。用反证可得到这一结论：若和相互独立，则，从而。进而，即和是不相关的，矛盾。所以和不相互独立，也不是不相关的。（2），；因为（奇函数在关于原点对称的区间上的积分为0）（奇函数在关于原点对称的区间上的积分为0）所以故和是不相关的。虽然和是不相关的，即它们之间没有线性关系，但它们之间有平方关系：所以和不是相互独立的。也可以通过计算来说明这一点：对任何都有事件从而故和不是相互独立的。（3），。（或移项得）所以故和是不相关的，但，因而和不相互独立的。（4）当时，（由对称性可直接得到）（由对称性可直接得到）所以和不是是相关的，因而和不相互独立的。（5）（）求边缘概率密度当时，当时，（）由边缘概率密度与联合概率密度的关系知由此可知，故，相互独立，从而，不相关。解法二关于（5）的计算：已经求得所以知，不相关。又所以，相互独立。（一般可以先证明相互独立，当然也就有了不相关的结论。）28、设二维随机变量的概率密度为试验证和是不相关的，但和不是相互独立的。证明显然，所以和不是相互独立的但，（奇函数在对称区间的积分为0）所以，故和是不相关的。29、设随机变量的分布律为试验证和是不相关的，但和不是相互独立的。解求边缘分布律所以，可见，故和是不相关的。但，又可知和不相互独立。或边缘分布律和乘积不等于联合分布，故和不相互独立。30、设和是试验E的两个事件，且，并定义随机变量，如下：证明若，则和必定相互独立。证明，的分布律为由，的定义知，取值0与1，且于是得的分布律为，又由知，从而， ，所以和相互独立，进而知与，与，与也是相互独立的。所以和相互独立。31、设随机变量具有概率密度求，解因为（奇函数的积分）（奇函数的积分）所以。32、设随机变量具有概率密度求，。解因为又所以。33、设随机变量，且和相互独立，试求，的相关系数（其中，是不为零的常数）。解.。34、（1）设随机变量，求常数，使最小，并求的最小值。（2）设随机变量服从二维正态分布，且，证明当时，随机变量与相互独立。解（1）因为，所以，由得故所以当时最小，其最小值为（2）我们知道二维随机变量相互独立的充分必要条件是已知，而正态分布的线性组合也服从正态分布故因为当，即时，所以时，随机变量与相互独立。35、