（应用数学专业论文）离散随机lotkavolterra竞争系统的参数估计及其渐近性.pdf

摘要 2 l 世纪是生命科学的世纪，生物数学的发展突飞猛进，百花争妍，其中对确定性 系统的研究已经较为完善，而实际上的种群系统常受到一些不确定性因素的干扰，即白 噪声的干扰，研究白噪声的存在是否影响种群生态系统以及是否使原有的结果发生变 化已受到广泛的关注，这就使对随机系统的研究显得尤为重要近些年来，随着随机微 分方程的快速发展，它已经渗入到自然科学、工程技术等许多领域中，利用统计学方法 来研究随机微分方程中的参数估计问题也成为一个重要的课题 本论文主要讨论离散随机l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统 l o g 茁l ，七一l + ( 6 l 一8 1 1 z i ，t l 1 0 9 2 2 ，一l + ( 6 2 一0 2 l 。l ， 一l 。1 2 2 2 ，k 1 ) t + 盯l 伍吣 n 2 2 石2 ，女一1 ) t + 盯2 、面钇七 ( 其中1 k 是i i dn ( o ，1 ) ，2 ，女也是i i dn ( o ，1 ) ，p 是e 1 ，女与2 ，k 的相关系数) 参数的极大似 然估计及估计模拟和系统的渐近性 关键词：随机微分方程；离散随机l o t l ( a v o l t e r r a 竞争系统；参数的极大似然估计 估计的模拟；渐近性 a b s t r a c t t h e2 l s tc e n t u r yi sac e n t u r yo f l i f es c i e n c e ，t h em a t h e m a t i c a lb i 0 1 0 盱a d v a n c e d r 印i d l y ia n dt h e8 t u d yi nd e t e n i n a t es y s t e mi sp e r f e c t i nf a c e ，t h es p e c i e 8e c o l o g y s y s t e m sa r eo f t e ns u b j e c tt o ，s o m eu n c e r t a i nf a c t o r s ，w h i t en o i s e ，w h e t h e rt h ep r e s e n c eo f s u c hn o i s ea 任b c t st h e s er e s u l t st h a tw eh a v eo b t a i n e dh a sr e c e i v e de x t e ns i v ea t t e n t i o n ，w h i c hm a k e st h es t u d ya b o u ts t o c h a s t i cs y s t e mm o r ea n dm o r ei m p o r t a n t i nr e c e n t y e a r 8 ，w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fs t o 出a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i th a sp e r m e a t e d m a y6 e i d 8 ，s u c ha 8s c i e n c e ，e n g i n e e r i n ge c t m o r eo v e rt h ee s t i m a t i n go ft h ep a r a m e t e r s o ft h es t o c h a s t i cd i n 色r e n t i a le q u a t i o nb ya p p i y i n gs t a t i s t i cm e t h o d sw i l lb e c o m ea n i m p o r t a 】1 七d i s c u s s i o n t h i sp a p e rd i s c u s s e sad i s c r e t es t o c h a s t i cl o t k a v b l t e r r ac o m p e t i t i o ns y s t e m =l o g z l ，一l + ( 6 l 一凸i i 。l ， 一l 一1 2 2 2 ，一1 ) t + 盯l 、2 汀e l ，女 = l o g z 2 ，七一l + ( 6 2 一0 2 l z l 女一1 一n 2 2 2 2 ，七一t ) + 盯2 、五ie 2 ，血 w h e r e 占l ，ta r ei i dn ( o ，1 ) ，占2 女a r ei i dn ( o ，1 ) ，pi si sr e v e l a n tc o e f 矗c i e n to f 9 1 ，七a n de 2 ，i m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o n ( m l e ) o fp a r a m e t e r sa n da s y m p t o t i cc h a r a c t e r i s t i co f t h es y s t e ma r es t u d i e d k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cd i f r e r e n t i a le q u a t i o n ；d i s c r e t es t o c h a s t i cl o t k a _ v o l t e r r a c o m p e t i t i o ns y s t e m ；m l eo fp a r a m e t e r s ；a s y m p t o t i cc h a r a c t e r i s t i c 奇 k l 2 o z g g 0 o ，、l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书面 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意 学位论文作者签名 ! 级么 日期：2 显! 堕：! ! 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：垒：l ! 熟叁指导教师签名：鳖兰! 重 日期：上2 q61 s ：! y 日期：2 i26 ：q 兰r 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 电话 邮编 引言 多种群生态系统具有重要的理论意义和应用价值但是对与寿命短，世代不重叠的 种群或种群数目较小，在某时间间隔内形成一代，那么离散数学模型( 差分方程模型) 比连续数学模型( 微分方程模型) 更符合实际，因此研究差分方程所描述的多物种生态 系统，不仅有着重要的理论意义，而且有着重要的应用价值众所周知，与连续模型相 比。离散模型研究起来难度更大，同时考虑到种群生态系统经常会遇到环境白噪声的干 扰( 参见文献 1 3 ) ，那么研究白噪声的存在对种群生态系统会产生怎样的影响是非常 有意义的而在实际应用中，随机l o t k a - 、b i t e r r a 系统中的增长率、死亡率及白噪声的 强度等参数一般是未知的而我们观测到的又是一些离散的数据，怎么用这些数据给出 参数的估计，及估计的好坏就是一个关键的问题利用统计学方法( 文献 4 】) 研究有限 离散观测数据，对随机生物数学模型中的参数进行估计并讨论参数的渐近性是一个重 要的问题利用离散观测数据研究随机生物数学模型的参数估计，当用极大似然方法估 汁参数时，一种方法就是首先通过离散化方法从连续随机过程中得到离散数据个由 随机微分方程确定的连续随机过程很容易通过传统的离散化方法得到离散随机过程 而且，一旦一个连续随机过程离散化，利用离散随机过程的正态性及m a r k w 性，很容 易得到似然函数从而可以利用统计学中的极大似然对参数进行估计 在自然界中许多种群竞争同一有限食物，从而抑制了相互间种群的增长，这是 一个有趣而普遍的现象，于是研究与实际相符的多种群竞争模型的性质是很重要的 l c ，t k a - v 0 l t e r r a 竞争系统是著名的种群模型之一，有关这方面的研究参见文献f 5 1 1 这 篇文章主要研究两种群的l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统；引入两个相互关联的元素o 。，z 。， z 。0 = 1 ，2 ) 分别表示第i 个种群的密度，那么两种群的l 酣玩一v d f t e r r n 竞争系统可 由如下的方程描述 ：竺蒜慧黝： ( 0 - ) = 6 2 一z 1 ( t ) 一蛔z 2 ( ) j 。 其中常数乱和。“都是正的( f ，j = 1 ，2 ) 设t o ，在相等的时间段o ，t ，2 t ，n z 上取点，将方程( o1 ) 离散化得 如下形式： fl o g z l ，女 ll o g r 系统( 02 ) 在文献 1 4 一1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 2 7 ，2 8 】中被广泛研究( 此时t = 1 ) 篡矧蓉 c o 。， 考虑到种群系统还受环境白噪声的影响，参见文献 1 2 ，1 3 在系统( o2 ) 中，设第 e 个种群的增长率6 。( i = l ，2 ) 受随机扰动 e 个种群的增长率6 。( i = l ，2 ) 受随机扰动 6 z 6 + 吼tk h 如 + + 一 k 1 2 z g g o 0 一 = 其中s 1 女是i i dn ( o ，1 ) 。s 2 ，i 也是i i dn ( o ，1 ) ，砰是噪声强度，p 是e l 与e 2 的 相关系数得方程( 0 2 ) 的受到白噪声扰动所产生的系统。 麓芝三麓= 箍二：嚣：= 篆：篙：涩竺 n 。， il o g 现，k = 1 0 9 $ 2 ，k l + ( 6 2 a 2 1 z l ，知一l 一奶2 2 2 ，括_ 1 ) t + 盯2 、亡2 ，知， r 7 其中初始值( o ) 0 注o 1 由似彩可见，盯l l ，i 与观e 2 ， 可以看成离散系统汜矽的自噪声扰动；另 一方面，当to o 时，系统p 印趋近于连续系统徊n 因此盯l l ，k 与观2 女又可以 看作连续系统f o 1 ) 离散后的误差项 这篇论文首先给出了离散随机l o t k a - v b l t e r r a 竞争系统( o ，3 ) 中的参数仉，o “，以， i ，j = 1 ，2 ，的极大似然估计；接着运用s - p l u s 模拟估计的结果，显示了极大似然估计的 结果非常好j 最后研究了离散随机l o t k a - v o l t e r r a 竞争系统的渐近性假设 ( a ) ( b ) ( c ) 若令 圾 o ，啦t o 以及o ，0 j ，i ，j = 1 ，2 ) 6 l 丝6 2 ，6 2 塑6 l ： 0 2 20 1 l l l 口2 l ， 0 2 2 n 1 2 和熹塞讯 则南。几乎处处收敛于箱于点z = ( z i ，z ；) ，其中 z k 丝坠二_ 丝生，z 扛二丝! 堕竺些兰 o l i n 2 2 一n 1 2 0 2 l l l n 2 2 一n 1 2 n 2 l 是方程 的唯一正解 f8 i i 童i + 。1 2 圣2 = 6 i 【口2 l i 1 + n 2 2 圣2 = 6 2 2 第一章预备知识 定义1 1 ( 白噪声) 设 矗) 是一个平稳序列如果对任何s ，t 如邓啡“扣? 嚣 就称 毛) 是一个白噪声，记做w ( “，盯2 ) 设 矗) 是w ( p ，口2 ) ， 当 s ； 是独立序列时，称 矗) 是独立白噪声； 当肛= o 时，称忙。 为零均值白噪声； 当肛= o ，盯2 = l 时，称 毛 为标准白噪声 对独立白噪声，当 q ) 服从正态分布时，称 岛 是正态白噪声 有 定理1 1 ( b r o w n i a n 运动的重对数定律) 设b ( t ) ，( o ) 是标准布朗运动，则 ，i m 器淼= h s1 i “器曼疆丽叫m 8 定理1 。2 ( 重对数定律) 设置，i = l ，2 ，是同分布独立随机变量，记s n = 冬lx i ，n 1 _ 若目l x l | 】 o 以及。玎o ，0 j ，i ，j = l ，2 ) ( b )6 1 堕6 2 ，6 2 塑“； 0 2 2口l i ( c )。1 1 0 2 1 ，0 2 2 。1 2 ， o f “ 卉荟孙 则奶。几乎处处收敛于趋于点z + = ( z j ，z ；) ，其中 z 扛坐二兰堂l ，z ：二丝堕当! 垒 n 1 1 0 2 2 一1 2 0 2 l n 1 1 n 2 2 0 1 2 0 2 1 是方程 的唯一正解 证明：要证明定理成立，我们只需证明 和 其中 塾斗0 o s n i 轰t 1 5 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 加 撕 1 j 1 1 啦 啦 + 吼 筑 吣 吻 n n 自 昆 6 观 + + 一n n o z 吼 一 一 n z z 吼 啦 一 巩 如 + + 业礼坐。 | f 1 1 坠n 坠。 ，i11，、，、 往证( 3 4 ) ，首先我们证明 l i m s l 】p 兰韭兰0 ，o s nn 注意函数。一0 1 l 矿在z = 一l n n l l 有它的最大值u + = 一l l n n 这样 乱1 ，k “+ + 6 1 + e 1 女 这样证得当j = l 时( 3 6 ) 成立同样可以证得当j ：2 时成立 ( 3 6 ) 的证明是容易的，它仅需要误差的一阶矩存在但下式就不易证得 l i m i n f 兰缝2o ，s n n f 3 6 1 ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 8 ) 可以从下面的事实得到：如果士。存在极限，则我们可以得到岔j ，。= o ( 几) ，这 意味着，。= d ( 1 n n ) 由( 3 1 ) 和( 3 2 ) ，我们需要证明5 j ，女= d ( 1 n ) ，这与对v d o 有 e e j “ o ， 我们首先证明 茁l ，= o 。s ( ) o 骢：m n 小，。 令叫 0 是一个常数接下来证明 1 黜f ；m n z ( “，。，“。，。) 1 如果上式不对，则存在序列礼女，且 札 o 。) 使得 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 当m 足够大时，由m 血z ( “i “2 ，。) 6 l 2 由( 3 5 ) 和( 3 9 ) ，我们知道 等一等= 一蔫+ 等( 札。咄川 n 礼一1札f n 1 1 n 、b 工 + ： ( 圣2 m 一：一。2 m1 ) + 口l 1 ，n 盯1 1 ，n l 礼、 = 。( 一1 ) 因此，只要n 足够大使得m z ( “，2 ，。) 一m 7 2 ，那么对所有的m 胁，挖+ k 如 有， m o 。( l m ，钍2 ，。) 6 l 2 1 6 如果m n z ( u l 。“。) l o g 扎k 用v 0 表示n 而这是不可能的：即对任意n 0 有m o 石( u - 。钉2 ，。) 去( 7 栅1 ) ) 对所有足够大的南成立这就证明了对所有足够大的女2 h 有， 等一警 学( 川6 1 ) ， 。肌。7 1 0 “ 令七l 固定，再令也_ 这与假设n o 时m n z ( l 。2 ，。) 一礼7 2 矛盾这就 证明了 l i ms u p 三m 凹( u l ，n ，u 2 一) = o 所以，存在一个序列 m t 使得 m 口z ( u l ，n ，u 2 ，n ) 一n 7 2 ， m 2 女曼n m 2 + 1 ， 和 m n z ( 叭，n ，u 2 、n ) 一兰吖 n m 2 k 一1 + 1 4 。 这与( 31 1 ) 矛盾因此( 3 1 0 ) 成立 1 7 接下来我们证 l i m 三m 饥( u l ，。 n - o on 如果( 31 3 ) 不成立，则存在常数7 o 和序列 礼 ) 使得 不失一般性，我们假设 用z l o ，z 2 0 表示下面方程的解 则由( 3 1 2 ) ，我们得到 “l ，”k 一礼k 7 ， 2 ，n k 一n k 7 5 o j 2 2 2 = o 口2 2 2 2 = 0 等一等= 一岛磐+ 刍出- 。 n m 札 m = ：。 由( 3 2 ) 和茁l o ，。2 0 的定义，我们有， 蚴一：，一薏( 加一d + 忐川。，) 。 o ， 。 0 2 2 。 所以， u 1 ，m “1 一 m礼 f 31 3 ) ( 3 1 4 ) 由( 3 1 5 ) ，( 3 1 3 ) 可以由证( 3 1 0 ) 的方法同样证得( 即往证1 i ms u pu 1 ，。n 一，y 是不 可能的，那么l i m i n f u l ，。礼 一7 也是不可能的) 定理3 1 证毕 1 8 口 z 1 2 n 口 一 一 h 屯 ，i，、l 力坫 恤慨 b 1 m 堕蚴 忙 旷 罢 一 1 一m 坠 噤 参考文献 1 g a r dtci n t r o d u c t 王o nt os t o c h a s t i cd 胡 e r e i i l i 柚eq l l a t j o n s ，d e k k e r ，n c wy o r k m 】1 9 8 8 【2 g a r ( itc s t a b t l n yf c 口埘m l t i s p e c i e 3p 叩u l a t i o um o d e l si nr a n d o me n v j r o n m e n t sn o n l i n e a r a n a l 瞰卜1 0 ( 1 9 8 6 ) ，1 4 1 1 一1 4 1 9 - f 3 】g a r dtc p e r s j s t c n c e n8 t o c h a s t i cf 0 。dw e br n o d e l s 【j b u 】1m a b 1 0 l ，4 6 ( 1 9 8 4 ) ，3 5 3 7 0 f 4 b r o c k w e l lpj a n dd a v i sr a 著，出铮译时间序列的理论与方法( 第二版) m 】 北京，高等教育出版社，2 0 0 3 【5 】s h o j l ia i l do z a k ot c o m p 缸a t i v es t u d yo fe s t l m a t b nm c t h o d sf o rc o n t i n u o u st i m e s t o c h a s i cp r o c e s s c e 嘲j o 肿n a lo ft l i n es e r b ea i l a l y s i s ，n o 5 ，1 8 ( 1 9 9 7 ) ，4 8 5 一6 6 11 钏只u c | 1 ita l m o s ts u r ee x p o n e n t i a ls t a b i h y “8 t o c h a s t i cp a n n l n c t i o n a 】d i 舶t i l e n - t i a le q u a t j o n 8 j j s t o c h a s t i ca n a i ，a p p i ，1 6 ( 5 ) ( 1 9 9 8 ) ，9 6 5 - 9 了5 f 7 】h a l lpa n dh e y d ec cm 舡t i n g a l el i m i tt h e o r ya di t sa p p l i c a t i 0 ，a c a d e 1 i cp r e s s m n e wy o r k l o n d o n ，1 9 8 0 1 8 】p a 皿j a n dy q n o n a r m es e r 记s ，n o n p 牡唧e t r i ca dp a r a 呲t n cm e t h o d s ， s 面n g e r m n y 0 r k ，2 0 0 3 【9 f i s h e rme ，g o hbs ，s t a b i i i t yi n ac 1 粕so fd i s c r e t et i m em o d e l so fi t 北e r m t i o “p o p u i a - t i o n s j j m a t hb i 。l ，1 9 9 7 ，4 ：2 6 5 2 7 4 f l o f j s h e rm ba n d y s j 8o fd i 舶r e n c eo q u a t i o nh 1 0 d e i sj np o p 血t j o nd y a i l l j c 8 吲p h d t h e s i s u n l v o f k s t e r na u s t r a l i a ，1 9 8 2 f l l l 陆懋祖著高等时间序列经济计量学 m 】- 上海人民出版社，上海，1 9 9 9 年8 月 1 2 1n i e d m a nhi d e t e r m i n i s t i cm 舭h e m 址i c a lm o d e l si np o p u l a t i o ne c o l o g y m d e k k e r 、 n e w1 y o r k 1 9 9 8 f l o j a n dz h a n g ca r e 旺锄抽3 “o no f d i 勋s j 0 丑船t i 瑚a o f sw n ba p p 】j t j o n st on 岫眦蜘 n l o d e lv a l j d a t i o n 【j j o u r n “o ft h ea m e r i c a ns t a t i s r a la s s o c i a t i o n ，0 8 ( 2 3 ) ，n o4 6 l 、 1 1 8 1 3 4 1 4 f i 曲e rme ，g o hbs ，s t a b i u 七yi nac l a 8 su fd l s c r e 沁t i m em o d e l so fi n t e r a c t i o “p o p u l a _ t i o n s 【j ，j m a t hb i o l ，1 9 9 7 ，4 ：2 6 5 2 7 4 15 f i s h e rme a i l 甜y s j so fd i 舶r e n c ee q u a t i o nm o d e l si np o p u l a t i o nd y n a m i c 【d p hd t h 部i 8 ，u n i vo fw e 8 t c r na 1 l s t r a l i a ，1 9 8 2 1 6 】f i s h e rme ，g o hbss t a b i l i t yr e s u i t sf o rd e l a v e d - 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