（应用数学专业论文）一类图构形的os代数与φn不变量.pdf

摘要 一类图构形的o s 代数与丸不变量 摘要 有关超平面构形的研究是较新的课题，但发展很快，因它在代数、 组合、拓扑等多个领域具有应用性。本文讨论了一类图构形的o s 代 数和吮不变量，这里的九不变量是m f a l k 的织不变量的一个推广。 文章由三部分组成，第一章介绍相关背景知识以及文章的主要研 究内容和结构。 在第二章先介绍本论文以后章节中要用到的基本概念。首先介绍 超平面和超平面构形的定义，然后介绍了偏序集、几何格、 o r l i k s o l o m o n 代数，以及一些特殊的构形，包括超可解构形、自由 构形、图构形等概念。然后讨论关于超平面构形的么不变量的相关问 题以及已有的相关重要结论，并将珐不变量推广至丸不变量。 第三章研究一类图构形的丸不变量，这里所指的一类图构形是” 边梯子对应的图构形。首先介绍船边梯子的定义，这一类图构形有一 定的共性，接着讨论这类图构形的分次o s 代数的k - a d i c 闭包。然后 分析这一类图对应的图构形的丸不变量，计算出丸= ( n - 1 ) 1 。最后计 算了一些例子作为应用。 关键词：超平面构形，图构形，o s 代数，边梯子，丸不变量 北京化t 人学硕十学位论文 o s a l g e b r aa n d i n v a r i a n t 丸o fac l a s so f g r a p ca r r a n g e m e n t s a b s t r a c t i ti san e wr e s e a r c hd o m a i r d e v e l o p sr a p i d l y s i n c ei tc a nb e o nh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t ，h o w e v e ri t a p p l i e dt om a n yf i e l d ss u c ha sa l g e b r a , c o m b i n a t i o n ，t o p o l o g ya n ds oo n o sa l g e b r aa n da ni n v a r i a n t4 o fac l a s s o f g r a p h i ca r r a n g e m e n t s a r es t u d i e d ，w h e r et h e i n v a r i a n t 九i s a g e n e r a l i z a t i o no f 绣d e f m e db ym f a l k t h e r ea r et h r e ep a r t si nt h i s p a p e r c h a p t e ro n ei st h eb a c k g r o u do f t h i sp a p e ra n dt h e m a i nc o n t e n ta n df r a m e w o r k ab “e fi n t r o d u c t i o nt ob a s i cc o n c e p t si si n - s ts h o w ni nc h a p t e rt w o a tf n s tw ei n t r o d u c et h ed e f i n a t i o no fh y p e r p l a n ea n d h y p e r p l a n e a r r a n g e m e n t s t h e nw ei n t r o d u c et h ed e f m a t i o n o fp o s e t ，g e o m e t r i c l a t t i c e ， o r l i k - s o l o m o na l g e b r aa n d s p e c i a la r r a n g e m e n t s ，i n c l u d i n g s u p e r s o l v a b l ea r r a n g m e n t s ，f r e ea r r a n g e m e n t s ，g r a p h i ca r r a n g e m e n t sa n d s oo n i n v a r i a n t 谚3o fh y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t sa n ds o m eo fi t s i m p o r t a n t c o n c l u s i o n sa r e m a i n l yi n t r o d u c e d a l s oi n c h a p t e rt w o t h e nw e g e n e r a l i z ei n v a r i a n t # 3t o i n c h a p t e rt h r e ew es t u d yt h ei n v a r i a n t f o rac l a s so fg r a p h i c a r r a n g e m e n t s t h ec l a s s o f g r a p h i ca r r a n g e m e n t s a r et h e g r a p h i c a r r a n g e m e n t so f 力- e d g el a d d e r f i r s tw ei n t r o d u c et h ed e f m a t i o no f 刀e d g el a d d e r t h i sc l a s so fg r a p h i ca r r a n g e m e n t sh a ss o m eo o m m o n c h a r a c t e r s s e c o n dw ed i s c u s sk - a d i cc l o s u r eo fd e g r e e do sa l g e b r ao f 摘要 t h i sc l a s so fg r a p h i ca r r a n g e m e n t s t h e nw ea n a l y s et h ei n v a r i a n t 痧o f g r a p h i ca r r a n g e m e n t so f ”- e d g el a d d e ra n do b t a i n ac o n c l u s i o nt h a t 丸= ( 刀一1 ) 1 i nt h e e n do fc h a p t e r c a l c u l a t e da sa l la p p l i c a t i o n t h r e es o m ee x a m p l e sh a v eb e e n k e yw o r d s ：h y p e r p l a n ea r r a n g e m e n t ，g r a p h i ca r r a n g e m e n t , o s - a l g e b r a ， 刀一e d g el a d d e r , i n v a r i a n t 痧n i i i 北京化工人学硕十学位论文 主要符号说明 域 实数域 超平面构形 破圈 无破幽 外代数 图 图构形 构形的理想 构形且，的o r l i k s o l o m o n 代数 极小圈的集合 九1 e 为 的o r l i k s o l o m o n 理想。称( ) = 钐为的o r l i k - s o l o m o n 代数。它是 一个分次代数。对于豇2 ，记= e = i j j f 叫做k a d i c 。s 理jsk|e|e 想【2 1 。呱= 傩( ) i = 彤叫做傩( ) 的k - a d i o 闭包吲。这里厶和呱同样也是 分次代数。f a l k 在其文章1 1 6 1 中给出超平面构形的识不变量的定义为 d ：e 1o ，2 _ e 3 ，a o b h a a b ，苁( ) = d i m k e r d 。 之所以要研究超平面构形的无不变量是因为关于f a l k 的绣不变量的研究已 北京化t 人学硕十学位论文 有很多重要的结论，他发表的一些文章分别讨论了绣的拓扑学意义及其计算，并 且还给出了绣删4 算公式为廷= 2 一卜+ d h ( 啊) m 】，其中 = q ，以) ，哆= d i m o s 2 ( ) 。张曦等同证明了对于轮武图有结论唬= 2 m 。 在有理同伦论中，喀= r a n k ( g 2 g 3 ) ，是超平面构形且7 的余集的基本群， g = g 0 三g l g 22g 3 是g 的下中心序列。由此可知苁是的拓扑不变量，也 是代数( ) 的彳i 变量。关于超平面构形甚至是图构形的珐不变量的研究仍旧 有很多值得关注的问题。并且在f a l k 的文章中可以看出他对分次o s 理想彤( ) 很感兴趣，并提出了一些问题有待继续研究，本文所考虑的吮不变量与分次o s 理想，二。( ) 有着密切的联系，因此本文想到将f a l k 的绝不变量推广至以不变量， 这里需要指出它口j 能不像珐不变量有那么好的拓扑意义，但鉴于它与，( ) 和 傩( ) 的密切联系，这些在超平面领域仍然具有一定的研究价值。而图构形是 一类特殊的超平面构形，相比之下有很多特有的性质，而且从很多的前人研究中 发现图构形的很多性质都可以从研究图本身来入手，图的性质与图构形的性质有 着很多密切的联系。因此本文从一类图构形入手，对其o r l i k s o l o m o n 代数和死 不变量进行研究。 1 2本文主要内容 本文讨论了一类图构形的o r l i k - s o l o m o n 代数和九不变量，其中九不变量是 m f a l k 的珐不变量的一个推广。分析这一类图构形的织不变量，计算出 丸= ( 力一1 ) ，。 本文大体分为两部分： 第二章主要是作为第三章的基础，首先介绍了超平面构形的基本知识及偏序 集、几何格、o r l i k - s o l o m o n 代数等相关概念。接着给出了超平面构形的九不变 2 第章绪论 量的定义及其相关理论和研究成果，并进一步做推广定义无不变量。 第三章首先给出了本文所要研究的一类图构形的定义，即，边梯子构形，接 着讨论这类图构形的分次o s 代数的k - a d i o 闭包。最后通过逻辑推导给出了关于 力边梯子构形的丸不变鼍的主要结论，并举若十例子作为应用。 3 北京化t 人学硕十学位论文 第二章超平面构形的o r l i k - s o l o m o n 代数与吮不变量 2 1预备知识 本节所介绍的内容，是在木论文以后章节中要用到的基本概念。首先介绍超 平而和超平面构彤的定义，然后介绍了偏序集、几何格、o r l i k s o l o m o n 代数等 概念。 2 1 1 超平面和超平面构形 在这一节中介绍超平面及其相关的基本概念，作为以后各章研究的知识基 础。且本文只在实数域上作讨论。 定义2 1 1 1设矿为域k 上的向量，其中d i m v - - n ，取+ 组基e l ，e n ， j v 兰k ， q = ( o ，i ，o ) ，= 五q + - + h ，v e v 卜j ( 五，粕) ， 则 h - - ( a9 - - 9 x n ) er ni c f i x a + + a n x = 6 ) 叫做一个超平面。口= ( ，a n ) 为超平 面日的法向量。 定义2 1 1 2k 中超甲面的有限集叫做超甲面构形。 如果一个超平面构形是由m 个超平面构成的，则记为= h ，h 。) 。 i h i ：q l 毛+ q 2 x 2 + + q ，x n = 岛 其中 ，z ：a 2 ：q + 艺+ 一+ 口2 x n 2 b 2 i ： 旧。：l 五+ 2 恐+ + h = 定义2 1 1 3 如果中所有超平面都过原点，则称为中心超平面构形。 否则称为非中心构形或仿射构形。对于构形= q ，h 。) ，若为中心构形时， 则对应的匆= 0 ，待l ，2 ，m 。 定义2 1 1 4 若用己( 哆) = 匆( f = 1 ，2 ，聊) 定义日，其中 l ( q ) = q l 五+ q 2 屯+ + h ，定义多项式 4 第二章超甲而构形的o r l i k s o l o m o n 代数与吮不变量 q ( ) = ( l ( c q ) - b 。l ( 口2 ) 一5 2 ) ( ) 一气) ( 1 ) 为超平面构形的定义多项式。超平面构形即为( 1 ) 的零点集合。 虽然很多的结论可以推广应用到仿射构形带上，但是一些重要的构造和结论 只对中心构形才成市，本文只研究巾心超平面构形。 2 - 1 2 偏序集与几何格 本节介绍了偏序集、格、几何格等基本概念，它们是组合学的必要工具，相 交偏序集l ( - q ) 是构形的一个重要组合不变量，这些重要的定义也将在后面的 内容中被用到。 定义2 1 2 1 设一个集合p 和一个关系满足下面的条件( v x ，乃z p ) ： ( p i ) ：反身性：工x ( 尸2 ) ：自反性：如果x y ，y x ，z = y 俨3 ) ：传递性：如果x y ，y 乙x z 则称( p ，) 是一个偏序集。 若x 川h y 则记为x y 。 定义2 1 2 2 如果个偏序集p 中任何一个闭区间k y 】_ 0 x z y 都是 有限集，则称p 为局部有限偏序集。 定义2 1 2 3 设是矿中的一个构形，我们将如下形式的l ( ) ： l ( ) = 缸。 夕c ) 定义为的相交偏序集 如果劈= c ，那么n = 矿l ( ) 。 定义2 1 2 4 如果一个偏序集己中任何两个元都有最小上界和最大下界，那 么就称这个偏序集三为一个格。 定义2 1 2 5 设l 是有最大元1 和最小元0 的格。l 中每个覆盖最小元0 的 元素都为l 的原子。v x ，y l ，定义就y 的并为：x v y = x n y ，x 、y 的交为： 北京化t 人学硕十学位论文 x 尸n z i = l ，x u y cz ) 。若对l 中任意元戈，都有l 中原子q ，口2 ，使 得x = q v c 1 2v v q ，则称l 是原子格。对于超平面构形，定义它的相交偏序集 l = l ( ) 的秩函数为：r k ( x ) = c o d i m ( x ) = z d i m x ，z 为整个空f b j 的维数， e o d i m ( x ) 称为x 的余维数。若对v x ，y l ，秩函数满足：r k ( l ) = ( x ) f 4 姐n 。 x e l ( f ) 例如：b o o l e 构形，它的定义多项式为：q ( ) = x i x 2 x t 其特征多项式为z ( - ，f = ( _ 1 ) “j 产叫。 x e l ( ) 数学家w h i t n e y 证明出与构形的特征多项式相关的定理，如下： w h i t n e y 定理设为”维向量空间中的构形，则 z ( f ) =( 一1 ) 粕f 卜阳础穷 雪 岁为中心构形 定义2 1 2 8 定义构形的p o i l i c a 俺多项式为万( ，r ) = # ( x x - t ) 吖扪。 x e l ( 7 ) 2 1 3o r l i k - s o l o m o n 代数 这里介绍o r l i k s o l o m o n 代数的概念，并给出了求解超平面构形的o s 代数 的一般方法。 6 第_ 二章超平面构形的o r l i k - s o l o m o n 代数- j 九不变量 下面给出超平面构形且7 = 日p ，h 。 的o r l i k - s o l o m o n 代数的定义。先定义 外代数和o r l i k - s o l o m o n 理想。 定义2 1 3 5 设k 为域，设e l ，乞，e n 为k 上的一组基，以它们为基生成的 一个向量空间e 1 = o k q ，k e a = 口p ，口k ，定义e o = k ，e 2 = ok e e ，且 t = l l - t 力，e p = 0 。定义e = e o o fo o e ”= o e 是k 上向量空间，乘法定 义国 掌= ( 巳，巳气) ( 气山气e j 。) - i e a 6 。气山气气气气( 功、孝e ) ， 且满足下面条件： 1 e , ( a e k + b e ，) = 口( 乞) + b ( e ，巳) ； 2 ( a e ，+ 6 e j ) e k = 口( q 气) + b ( e j e k ) ； 3 ( e e j ) e t = q ( 巳气) a 则称e = o f 为k 上的外代数。 设= q ，以) 为r 中超平面构形，令q = 气，= 。为朋个字母， 从而有e = e ( ) 叫做的外代数。对s 2 ( 日 何。) ，记咯2 气气，且n s 2 q ，。 定义2 1 3 6 称s 为相关，若m s f 2 j 且s 中平面的法向量集线性相关。 定义2 1 3 7 称，( ) 。( 鲰l s 相关) u 咯i n s = a ) ) e 为的o r l i k - s 。l 。i o n 理想。 设= 4 ，h 。) 是肽中的中心超平面构形，h i m 净 1 一，m ) 。在r 上 定义e l = o ，【，j ，i e e l 生成的外代数为e ，即日= a e l ，其中矿= r ， 用 = on e , ，e = oe p ，有一组基向量 lis”p=o 巳 p f 2 p 。h 是e 的基向量，= l ，2 ，p 且1 f l f 2 i vs 棚) ，给它们 7 北京化- t 人学硕十学位论文 以字典序排序。 定义线性映射0 ：e p _ e p1 ：0 1 = 0 ，o e 。= 1 ( ，= 1 ，所) ， a ( 气 p ，) = 妻( 一1 ) 气 占 p ，t 代表被删除的元。如果 s = ( ，0 ) 是标准p 元组，定义积气 巴，为e s ： 定义2 1 3 8 - - + 标准p 元组p = 日，h p ) 叫做极小圈，如果尸中超平面 的法向量组足极小相关的。 将极小圈的今体汜为e ( ) ，长度为玎的极小圈全体一记为e = 乞( ) 。 若尸是极小圈，也称 气，气) 为极小圈。 定义2 1 3 9 设，是 a 咯is ( ) 在e 中生成的理想，称傩( ) = 为 的o r l i k s o l o m o n 代数n 1 。 记，p = ，n e p ，则，2 曼是分次的，因而傩( ) 也是分次代数，o s ( ) 为傩( ) 的第f 个齐次分支。e i 在傩中的象记为q 。则p s ( ) 2 脚o s 。( ) 。 由于，o = 0 ，1 = 0 ，故有傩o ( ) = 乏，o s l ( ) 兰e l 。 定义2 1 3 1 0 记魄= d i m o s ( ) ，叫做的第七个w h i t n e y 数。 要计算o s ( w ) ，需引入些概念如下： 定义2 1 3 1 1 设日。i n s 为标准p 元组s 中编号最小平面，则称s 日。i l i 为 破罔( b r o k e nc i r c u i t ) ，简称为b c 。 定义2 1 3 1 2 如果s e 不含有任何破圈，则称s 为无破圈集( n ob r o k e n c i r c u i ts e t ) ，简称为n b c 集。 具体计算超平面构形的o s 代数的步骤如下： 1 找出极小圈； 2 把圈中最小平面去掉得到b c ； 3 把无关集中含b c 的去掉得到n b c ； 4 由n b c 得出o s 代数。 例 设超平面构形= t ：y = 妇，k = 1 ，2 ，刀) ，求o s ( ) 。 此问题是一个二维中心构形的问题，实际匕也是求平面e 过原点的一毡直线 8 第一二章超平面构形的o r l i k s o l o m o n 代数卜j 破不变量 的o s 代数的i 司越。 求解此问题首先找到找出极小圈为 日，h ，h 。j 1 sf | i 刀) ，然后把圈中最 小的平面去掉得到b c = h ，h 。i1 _ ， ，接着把无关集中含有b c 的去 掉得到n b c = g ， 日，) 二。， 日日，) 2 ：) ，从而得到栖形的o s 代数为： o s ( ) 2 r o o t = l r q o 1 0 2 r q 巳5 r o 宝r 口，o r a ，a n 。 故d i m o s o ( ) ：1 ，d i m o s l ( ) = 胛，d i m o s 2 ( ) = ，一1 ， 因此可以写出它的庞加莱多项式为 p o i n ( _ ，t 产d 血o s o ( 汁f d i mo s l ( 卜f 2d i mo s 2 ( ) = 1 + n t + ( 玎一1 ) t 2 。 2 1 4 其他重要相关内容 这里介绍一些特殊的构形，包括超可解构形、自由构形、图构形等，首先我 们引入超可解构形的一些基本知识和性质，超町解构形是有模元极大链定义的， 故先定义模元。 定义2 1 4 1 如果n ，“h a ，即是中心构形。设 ( x ，】，) l ( ) l ( ) ，如果对所有的z l ( ) 且z y 都有z v ( x y ) = ( z v x ) a y ，则称( x ，y ) 为一个模对。 定义2 1 4 2 元素x l 叫做模元，如果对vy l ，x 与y 是模对。 众所周知，超平面都是模元n 1 。 定理2 1 4 1 ( t c r a o 因式分解定理【1 1 ) 若xe l 为模元， 嵫= 口旧3 x ，则+ 。s c ，2 。s c 嵫，。( ；曼。傩c k 。 定义2 1 4 3 如果l ( ) 有一个模元极大链矿= k ( 占) ， 其中v 为 顶点集合，hi v i = n ，f 为边集。 定理2 1 4 3 令g = ( 巧s ) 是一个图，且f 。令g 7 和g ”分别表示关于边 的删除和收缩，则有 ；| ：嫡，炉z 嫡，睛j | ”，qo 定理2 1 4 4 令g = ( 1 ，f ) 是一个图，e o 是它的一条边。令g 和g ”分别表示 关于边的删除和收缩。令超平面日。( g ) 对应图中的边。- i 8 = ( g ) ， 令和”表示的关于超平面风的删除和限制构形。则有( g ) = 7 和 l o 第二章超甲面构形的o r l i k - s o l o m o n 代数与吮不变量 ( g ”) = ”。 定理2 1 4 5 令g 是一个图，( g ) 是对应的图构形，则有 x ( o ，f 砌( ( g ) ，r ) 。 从上面的一些定理可以发现，图构形有很多的性质，而且研究这些性质都可 以从研究图本身米入手，图的性质与图构形的性质有着很多密切的联系。 定义2 1 4 8 如果个图中的任意个四边形都存在至少一条对角线，那么 我们称该图为弦图。 定理2 1 4 6 令g = ( v ，e ) 是一个图，则下面三点等价： ( 1 ) g 是一个弦图，它的顶点消去序为h ，吃，以 ( 2 ) 川g ) 是一个超可解构形，且它的m 一链为 c ( g 一 h 一，屹一。) ) c c 职g 一“ ) c ( g ) ( 3 ) ，( g ) 是一个自由构形。 定理2 1 4 7 设是超可解构形，( 6 i ，6 2 ，岛) 为的指数，则有 d i m o s p ) = 乞气。 a a b ，定义超平面构形的么不变 量如下： 珐( ) = d i m k e r d f a l k 给出红的计算公式1 6 1 ： 定理2 2 1 设= q ，h 。) ，哆= d i m o s 2 ( ) ，则有 缟= 2 ( ”；1 ) 一刀+ d i m ( o s ；) 北京化t 人学硕十学位论文 通过这个定理即可以算出织，要计算苁只要计算d i m ( 噬) 即可。 要计算d i l i l ( 。) 可以分两步，首先找到的全体基元素，共有( 习个， 再可以找到，2 的生成元： 晚，e j e ki h h ，以相关，l i j 七刀) 而厶= e 。，2 ，故e = a 1 2 的生成无为： e , e j e k1 日，日，日。相关，1 i j 尼”)( 记此集合的元素的个数为巳) 和 矗砖巳气iy ，h ，日。相关，1 i j ) ( 记此集合极大无关组 中元素个数为以) 则d i m e = 巳+ 以，故可得d i m ( 嘲) = ( 习一岛一以。 通1 “9 _ 上面的算法，可以很容易得到下面两个推论。 推论2 2 1若为二维中止 构形，则 伴( ；) ， ，= 群。 证明：令二维中心构形= h 。：y = k x , k = l ，2 ， ，极小圈的集合 ( ) 为 日，日，日i1 1 ， j j 刀) ，把已( ) 中最小的平面去掉得到b c = h ，h 。 i 1 a a b ，定义构形的 丸( ) = d i m k e r t 。 定义2 五2 对于后2 ，记厶= k e r g e 1 钟一l 兰一e ”竺叶e 么- 9 0 一l 其中f ：k e r 专凹n - i 口一口，缈：e ”一e 彳。，e 跬。一巳 a & ，。 n - i 2 1 北京化t 人学硕十学位论文 对于刀边梯子，。= ( ，”1 ) e = e a i ”1 ，二= e 1 ，”1 ， i m t = t ( k e r t ) = k e r , u ，i m z = e ，”一1，k e r 沙= ，0 l = e 1 ，”1 = i m 所以此序列是正合序列，故有九= d i m k e r 【f = d i m e aq i 柚一d i n l + d 妇多么。 而d i m e l 研= d i m d i m i - 1 = m 又d i m e ” = ( 。= ( 纥e ) ” = o s 2 _ 1 丸c ，= 所z 一( ：) + ( m l c 疗一，y 2 + ( n - 2 y = m l 一( 一1 ) 1 2 + ( 珂一2 ) l = ( m + 门一2 ) l 一( 玎一1 ) 1 2 其中所= 一1 ) z + 1 故九( ) = ( 朋+ 疗一2 ) 1 一( 力一1 ) 1 2 = ( ( ，一1 ) z + 1 + 以一2 ) z 一( 玎一1 ) z 2 = ( n - 1 ) l 3 ) 3 4 是饿 丸计算的应用举例 举例计算图5 ( b ) 中的4 边梯子的么不变量，首先计算d i m f ，而d i n l f 即 = e s o e ：0 # - ：( 0 筝- ，( 0 # - 。( 1 ip ，b ， p ：”，p ”p p ，e ：。) 只) 的秩。 求饿的秩可以用计算机进行辅助计算如下： 向量巳 a 0 8 7 。以o = 巳 ( o o ”一o o o + o 之。爵一订之o o ) 在e 4 中的分量形如： ( 10 0 l = 巳d o ”一巳g o ”西d + 乞”之。西一巳o 霹o o olo 0 l ( 巳日o 弛o ) d i me 即足所有这种向量构成的矩阵的秩。 图5 0 , ) 中的4 边梯子对应的矩阵为1 4 x 3 5 的矩阵，如下： o - - - 韵- 1oo( 巳o 露o )j 第1 行：1 0000000000000 、， 西1 v 之奄 ，i 、， 西1 v 。气 巳 ，i 第i 章一类网构形的o r l i k s o l o m o n 代数与九不变量 o00000000 0000 0 0 0 0 0o0o 第2 行：1 0000000000 0 00 00000 000000000000 0000 第3 行：1 0 000 000 0 00000 o00o0o00000000 0 00 0 000 第4 行：1 0000000000000 oo0ooooo00oo00o00 o000 第5 行：0 1 oo00 o000 o0l 0 o 0 o 0 1 000 oo1oo000o00o o 第6 行：0 0100100000100 0o0oo00l0o00o0000 0 o o o 第7 行：0 00100 1 0000010 0 0 0 0 0 0 00l00oo000 0 00o0 第8 行：0 0 0 0 00000000 00 00111looo00000000 o000 第9 行：0 0 000000000 0 00 000oo0000000- 1l- 1l0 o 0 0o 北京化t 人学硕十学位论文 第1 0 行：0 000000 0000000 0 00 00000000000 00 - 1 1 1 10 第1 1 行：0 0000 000000000 0 0 000000000 000000 0oo1 ， 第1 2 行：0 000 000000000 0 000000000 00000000 o00- 1 第1 3 行：0 00000000 0