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二元样条函数空间及弱样条函数空间的维数 摘要 样条函数是分片定义具有一定光滑性的多项式函数，在函数逼近、计算几 何、计算机辅助几何设计、有限元及小波等众多领域有着广泛应用对样条函数 空间的维数进行研究具有非常重要的意义 定义在正规三角剖分上的二元样条函数是一类非常实用的样条函数本 文研究了一类特殊正规三角剖分上二元样条函数空间的维数，这种特殊三角剖 分就是我们首次定义的非强2 度退化三角剖分，它包括c l o u g h t o c h e r 加密三角剖 分c 7 _ 、w a n g 加密三角剖分w 、四边形三角化剖分 p o w e l l s a b i n ( i ) 型加密 三角剖分a p s l 和p o w e l l s a b i n ( i i ) 型加密三角剖分a p s 2 作为几种特殊情况然后 我们给出非强2 度退化三角剖分上样条函数空间s ；( ) 的维数，推广了a l f e l d 和 s c h u m a k e r 给出的非退化三角剖分上样条函数空间s 2 ( z x ) 的维数结果 除一般样条函数外，弱样条函数在计算机辅助几何设计、有限元及h e r m i t 插 值等领域也有重要应用本论文第二部分研究了二元弱样条函数空间孵( ，。) 的 维数首先，本文给出了一定条件下弱样条函数空间皑( ，。z x ) ( k = 2 u ) 的维数，其中 三角剖分为由- - n 星型域构成的三角剖分i u v l l s t a r ( v ，) ，。是在三角剖分中每 条网线内部给定一个定点构成的定点三角剖分将许志强和王仁宏给出的弱样 条函数空间孵( ，。) 的维数结果从k 和推广到了k 2 u 其次，本文确定了弱样 条函数空间叫( ，。) 的维数，其中为任意正规三角剖分，。同样是在三角剖分 中每条网线内部给定一个定点构成的定点三角剖分将结果从一列星型域构 成的三角剖分推广到任意正规三角剖分的代价是网线内部给定的定点的位置有 几何条件方面的微弱限制 关键词：二元样条函数空间b 网方法维数最小决定集二元弱样条函数 空间 d i m e n s i o n so fb i v a r i a t es p l i n e s p a c e sa n d b i v a r i a t ew e a ks p l i n es p a c e s a b s t r a c t ab i v a r i a t es p l i n es p a c es 3 ( a ) d e f i n e do nat r i a n g u l a t i o n o fap l a n a r p o l y g o n a lr e g i o ni sas e tc o n s i s t i n go fp i e c e w i s ep o l y n o m i a l sw i t hd e g r e eda n d g l o b a lc rs m o o t h n e s s ，w h i c hh a sb e e nw i d e l ya p p l i e dt om a n yf i e l d s ，s u c ha st h e a p p r o x i m a t i o nt h e o r y , t h ec o m p u t e ra i d e dg e o m e t r yd e s i g n ( c a g d ) ，w a v e l e t s a n df i n i t ee l e m e n t s t h em o s ti m p o r t a n tp r o b l e ma b o u tt h es p l i n es p a c e si st o d e t e r m i n et h e i rd i m e n s i o n s g e n e r a l l y ，i sr e s t r i c t e dt ob ear e g u l a rt r i a n g u l a t i o n w ec o n s i d e rt od e t e r m i n et h ed i m e n s i o n so fb i v a r i a t es p l i n es p a c e so v e rak i n do fs p e c i a lr e g u l a r t r i a n g u l a t i o n s s p e c i f i c a l l ys p e a k i n g ，ak i n do fs o c a l l e dn o n s t r i c t l yd e g e n e r a t e t r i a n g u l a t i o n sw i t hd e g r e e2i sf i r s t l yd e f i n e d ，w h i c hi n c l u d e sm a n yw e l l k n o w n r e f i n e dt r i a n g u l a t i o n sa si t ss p e c i a lc a s e s ，s u c ha st h ec l o u g h t o c h e rr e f i n e dt r i a n g u l a t i o na c t ，t h et y p e - 1p o w e l l s a b i nr e f i n e dt r i a n g u l a t i o na p s1 ，m et y p e 一2 p o w e l l s a b i nr e f i n e dt r i a n g u l a t i o na p s 2 ，t h ew a n gr e f i n e dt r i a n g u l a t i o na wa n d t h et r i a n g u l a t e dq u a d r a n g u l a t i o n t h e nt h ed i m e n s i o no fb i v a r i a t es p l i n es p a c e s ；( ) i sg i v e n ，w h i c hi sa ne x t e n s i o no fa i f e l da n ds c h u m a k e r sd i m e n s i o n a l r e s u l to v e rn o n d e g e n e r a t et r i a n g u l a t i o n s b e s i d e st h eg e n e r a ls p l i n es p a c e s ，b i v a r i a t ew e a k s p l i n es p a c e sa r ea l s ou s e f u li nt h ec a g d ，h e r m i ti n t e r p o l a t i o n sa n df i n i t ee l e m e n t s i nt h es e c o n dp a r t i nt h i st h e s i s ，w et u r nt os t u d yt h ed i m e n s i o no ft h e s ek i n do fw e a k s p l i n es p a c e s d e f i n e do na p p o i n t e dp o i n tt r i a n g u l a t i o n sa s s o c i a t e dt or e g u l a rt r i a n g u l a t i o n s f i r s t ，b yu s i n gt h eb 百z i e r - n e tm e t h o da n dt h et e c h n i q u eo fm i n i m a ld e t e r m i n i n gs e t s ，t h ed i m e n s i o no fb i v a r i a t ew e a ks p l i n es p a c e 哎( i ia ) w i t hk = 2 ui s d e t e r m i n e d ，w h e r et h et r i a n g u l a t i o nai sa nu n i o no fas e r i e so fs t a rr e g i o n s ，i e ， = us t a r ( v i ) ，a n dl lam e a n st h ea p p o i n t e dp o i n tt r i a n g u l a t i o nw i t ho n ep o i n t i nt h ei n t e r i o ro fe a c he d g e t h i sr e s u l ti m p r o v e sx ua n dw a n g sw o r kf r o mt h e c a s ek 和t ot h ec a s ek 2 u s e c o n d ，t h ed i m e n s i o no fb i v a r i a t ew e a k s p l i n e s p a c e 叫( ，l ) i sf u r t h e rd e t e r m i n e d ，w h e r et h et r i a n g u l a t i o n c a nb ea na r b i t r a r y r e g u l a rt r i a n g u l a t i o na n d ，l a l s om e a n st h ea p p o i n t e dp o i n tt r i a n g u l a t i o nw i t h o n ep o i n ti nt h ei n t e r i o ro fe a c he d g e a sac o s to ft h ei m p r o v e m e n ti nt r i a n g u - l a t i o nf r o ma nu n i o no fas e r i e so fs t a rr e g i o n st oa g e n e r a lr e g u l a rt r i a n g u l a t i o n ， p o s i t i o n so ft h o s ea p p o i n t e dp o i n t sh a v et ob er e s t r i c t e dt os a t i s f yag e o m e t r i c a l c o n d i t i o n k e y w o r d s - b i v a r i a t es p l i n es p a c e ；b n e tm e t h o d ；d i m e n s i o n ；m i n i m a ld e - - t e r m i n i n gs e t ；b i v a r i a t ew e a ks p l i n es p a c e 1 1 1 论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立撰写完成 的除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或其他机构已经发表或 撰写过的研究成果，也没有剽窃，抄袭等违反学术道德规范的侵权行为对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均己三在文中以明确方式标明本人愿意承担 由本声明而引起的法律责任 研究生繇上伟 嗍冲年月2 日 论文使用授权声明 本人完全了解广西民族大学有关保留，使用学位论文的规定学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印， 缩印或其他复制手段保存，汇编学位沦文除在保密期内的保密论文外，允许学 化沦文被查阅和借阅，可以公布( 包括：i ：i j 登) 论文的全部或部分内容 僦雌轹卑簪、日期：习年月2 朋 导师签名：疡l 缘如期：z 。务易月彤日 1 引言 二元样条函数是分片定义具有一定光滑性的多项式函数，在函数逼近、计算几何、计 算机辅助几何设计、有限无及小波等众多领域有着广泛应用j ：元样条函数空间s ：( ) 是 一个线件窄问，要了解该窄问并将其应用于实际，最首要的问题是弄清它的代数结构，即确 定其维数与基底 二元样条函数空间的代数结构问题最早始于s t r a n g t l 】关于空间s ：( ) 的维数的一个猜 想，虽然它并不正确随后，m o r g a n 和s c o u t 2 】给出了d 5 和光滑度r = l 时空间s ：( ) 的 维数土仁宏【3 】首创光滑余因子方法，他与c h u i t 4 】合作得到了贯穿剖分和拟贯穿剖分下维 数的一系列结果s c h u m a k e r 【5 】给出了关于一般正规j 角剖分下二元样条函数空问维数的 一个著名下界公式a l f e l d 和s c h u m a k e r 6 i 、工仁宏和卢旭光【7 1 分别独立地证明了d 4 r + l 时_ 元样条空间的维数正好达到s c h u m a k e r 给出的下界h o n g 8 1 将以上维数结果改进到 d 3 r + 2 ，r 2 时这是目前关于维数最好的结果当r = l 和d = 4 时，a l f e l d ，p i p e r 和 s c h u m a k e r 【9 】则技巧性地证明了样条函数空间的维数j f 好达到s c h u m a k e r 给出的下界而 且迄今为止，得到的所有二元样条函数空间的维数几乎都与s c h u m a k e r 给出的下界相等 对任意正规三角剖分下二元样条函数空间s ：( ) 的维数，当d 3 r + l 时，除d = 4 和 ，= l 的情形被解决了以外，其它情形都还不为人们所知随着样条函数度数d 相对光滑度 r 的逐渐减小，二元样条函数空间s ：( ) 的维数也越来越难以确定这是因为空问的维数不 仅依赖于三角剖分的拓扑性质，如三角剖分的顶点数、边数、三角形的个数，而且可能随着 三角剖分几何形状的改变而发生变化m o r g a n 和s c o t t 1 0 】验证了二元样条函数空间s j ( ) 的维数会随着三角剖分儿何形状的改变而改变 于是人们转而研究各种特殊三角剖分上样条函数空间的维数，得到了不少成果，可参 看【1 1 】，【1 2 ，【1 3 ，【1 4 ，【1 5 ，【1 6 ，【1 7 a l f e l da n ds c h u m a k e r 【1 9 】给出了非退化三角剖分上 d = 3 r + 1 时空问s 二( ) 的维数 本文第j 章也研究了一种特殊j 角剖分上样条函数空间s ；( ) 的维数，这种特殊三角 剖分就足我们首次定义的非强2 度退化三角剖分我们着重解决退化三角剖分的情形首 先，将退化三三角剖分进一步分类为l 度退化三角剖分，2 度退化三角剖分和4 度退化三角剖 分接着，再将2 度退化三角剖分细分为2 度强退化三角剖分和2 度弱退化三角剖分据 此，定义了非2 度强退化三角剖分，它包含了四边形三角化剖分，w a n g 加密三角剖分w ， p o w e l l - s a b i n ( i ) 型加密三角剖分a p s l 和p o w e l l s a b i n ( i i ) 型加密三角剖分朋2 作为特例 在解决该空间的维数的过程中，我们按边界三角形对三角剖分进行分类、分层，从而定义 了的了j 角剖分赳，这是一种全新的处理方法在此基础之上，利用b 网方法和最小决 定集技术，给卜h 了非2 度强退化三角剖分下一元样条函数空间s ；( ) 的维数该结果不仪对 所有非退化三角剖分成j 、，：，同样对绝大部分退化三角剖也成j 、：，= ，推广了a l f e l d 和s c h u m a k e r 1 1 9 1 给山的非退化二三角剖分样条函数窄问s ；( ) 的维数结果 1 除。般j ：7 c 样条函数外，二九弱样条函数存耻论和实践l f i 也_ f j 重婴的意义二元弱样条 函数不像一般样条函数要求在公匕网线上处处光滑，仅要求在指定的若十个点处光滑即口j 目前所得弱样条函数空间维数的结果摹本上都是关于定点剖分j l ，为正规三角剖 分，j ，l 是在三角剖分中每条网线内部给定个定点构成的定点三角剖分w a n g 和x u 2 5 1 给出了任意正规二角剖分下二元弱样条函数空间w ( j ，l ) 维数的上下界x u 和w a n g t 2 6 i 给 出了k 2 u + l 时二元弱样条函数空f n jw ( ，i ) 的维数郎丰贡，十仁宏【2 7 1 ，孟庆九【2 8 】利用 b 一网方法，构造了k 2 u + l 时任意三角剖分下二元弱样条函数空间彬( j f l ) 的最小决定 集 但是，对于k 2 z 时弱样条函数空间蟛( z x ) 的研究成果较少，仅有w a n g 和x u 2 5 】 给出了星型域和( i ) 型三角剖分相应定点剖分上的二元弱样条函数空间叫( ，l s t a r ( v ) ) 和 州( ，i 嬲) 的维数，及孟庆九【2 8 】给出了星型域的定点剖分上二元弱样条函数空间叫( i i s t a r ( v ) ) 和1 吆( j ，l s t a r ( v ) ) 的最小决定集构造的方法这些都是非常简单特殊三角剖分上的结果随 着二元弱样条函数度数k 相对光滑度厂的逐渐减小，确定弱样条函数空问w ( t z x ) 的维数难 度迅速增加二元弱样条函数空问的维数也是依赖是i 角剖分的拓扑性质，但是否会像一 般样条函数空间的维数随着三角剖分几何形状的改变而改变还不明确，有待进一步研究 本文第五章研究了一种特殊三角剖分相应定点剖分上二元弱样条函数空间w ，u ( 1 l z x ) ( k = i v i i 。 年) 的维数，这种特殊三角剖分是由- - n 星形域构成的三角剖分us t a r ( v i ) ，i i 是其相应 定点剖分作为该结果两个应用的实例，给出了非均匀( i ) 型三角剖分蹴及非均匀( i i ) 型 三角剖分2 相应的定点剖分下二元弱样条函数空间偿( ，l 蹴) 和w ( ，l 2 ) 的维数我 们将二元弱样条函数空间皑( 1 1 ) ( 七= 2 u ) 的维数结果不仅从z = 1 推广到了1 为任意正 整数，而且从( i ) 型三角剖分推广到一列星形域构成的三角剖分 本文第六章研究了任意三角剖分相应特殊定点剖分上二元弱样条函数空间w ：( ，lz x ) 的 维数，这种特殊定点剖分，l 是我们首次定义的限制性定点剖分将结果从一列星形域构成 的三角剖分推广到任意j f 规三角剖分的代价就是网线内部给定的定点的位置有几何条件方 面的微弱限制，这种定点带有微弱限制的定点剖分我们就称为限制性定点剖分 2 2 1b 网方法 2预备知识 定义2 1 1 设q 是r 2 上单连通区域，a = 瓦 ? 为一个开三角形集合，且满足： 1 ) q = u 孔； 2 ) 乃n 丁- o ，i - ，； 3 ) 任意一个三角形的顶点均不在其它三角形边的内部， 则称为q 上的一个正规三角剖分 定义2 1 2 对于给定的整数d 和厂，满足0 r d ，则称 s ：( z x ) = j c 7 ( q ) ：s i r 尹0 ，y t l ， ( 2 1 ) 为j 角剖分上的二元d 次r 阶光滑样条函数空问，其中吼表示二元d 次多项式空间，s l 7 - 表示样条函数s ( x ，) ，) 限制在丁上的表达式 在解决二元样条函数空间的维数问题时，常用的有光滑余因子方法( 王仁宏【3 】首创) 和 b 网方法( f 撕n 【冽首创) 相比这两种方法，光滑余因子方法适用范围更广，而b 网方法处理 正规三角剖分上的样条函数更为优越b 网方法是现在主流研究方法 设，1 ，屹，v 3 是三角形t = 按逆时针方向排列的三个项点，则任意x r 2 可 唯一表示为 x = 口u l + p v 2 + 7 u 3 ， 其中，a - i - 卢+ y = l ， d e t ( v 2 一x ，v 3 一曲，d e t ( v l x ，v 3 一工) d e t ( v l x ，v 2 一曲 口2 - - 2 d e t ( v l - v 2 , v 3 - v 2 ) ，y2 d e t ( v t - v 3 , v 2 - v 3 ) 。 称1 - = ( 口，卢，y ) 为x 关于三角形r 的面积坐标 疗次b e r n s t e i n 多项式定义为 弼( d = 石若曼百一2 3 ， ( 2 2 ) 其中a = ( a i ，a 2 ，：1 3 ) ，a l + , t 2 + a 3 = n ，也z + b e r n s t e i n 多项式具有以一i - 性质： 1 ) 弼( 1 ) 0 ，丁t = ； 2 ) 弼( 1 - ) 三l ； 3 ) 弼i l 是多项式空问死的一组基底，常称之为b e m s t e i n 基函数，且l l 弼l l l = q + 2 由性质3 ) 可知，任一，1 次多项式p 可i 性一表示成 p ( x ) = ：山群( f ) ， | = ” 3 ( 2 3 ) 以。_ ：- ，称为p ( j ) 关十丁的b 6 z i e r 小标，简称为b 网系数 每个b 网系数b 札也 ，与t 中的点p “r 乜a ，= 坐止产一一对应，称尸互m 小为t 上 的区域点 在二角形t = 中，只一f ，工f 一，j = 0 ，f 称为到顶点k i 距离为f 的区域点 定义 r 。( 1 ，i ) ：= f 到l ，l 的距离为m 的所有区域点 ， 比( v 1 ) ：= ij r i ( v 1 ) ， 、_ ， i = o 称尺m ( v o 为以v i 为中心，m 为半径的圆环；称d m ( v i ) 为以v i 为中心，小为半径的圆盘 j s ：( ) 在三角剖分上所有区域点构成的集合记为 仇，d = w 石, i t ，f + + ，= d 1 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) d r d 表示i 角形中所有区域点构成的集合在不至于引起混淆的情况下，d 彳和d 蹦分别 简记为d 和d r 2 2 最小决定集 任给区域点手d ，在二元样条函数空间s 2 ( ) 上定义线性泛豳七为： 如s = s 相应于区域点手的b 网系数 定义2 2 1 t 6 1 对于集合pc d 一，如果y s s ：( ) ，满足： a c s = 0 ，增pjs 三0 ， 则称p 为二元样条函数空间s ：( ) 的决定集若s ：( ) 没有元素个数比p 更少的决定集，则 称p 为空间s ：( ) 的最小决定集( m d s ) 现讨论样条函数的光滑条件 设t i 为以k 1 ，也，i 3 为顶点的三角形，t 2 为以v 4 ，i 2 ，y 3 为顶点的三角形，t l 与t 2 有公共 边i , 2 v 3 定理2 2 1 网设p l ( 1 _ ) 与p 2 ( 1 - ) 分别是定义在相邻三角形t l = 与死： 上的d 次多项式， b l i 。赴，也i 允l + , 2 + , 1 3 = 棚和 b 2 1 2 ，也+ a 2 + a 3 = d 分别是 p i ( 丁) 与p 2 ( 1 - ) 关于乃与死的b 6 z i e r 坐标，则p l ( 1 _ ) 与p 2 ( r ) 在屹均上达到c r 光滑的充要 条件是： b 2 一t - k k - n - - 州e 牡。6 k m 咄靠口秒，。以鲰。以r ， ( 2 7 ) 其中( 口，卢，y ) 是点v 4 相应于二角形t i = 的重心坐标 例如当d = 7 时( 如图2 1 ) ： 4 图2 1 1 ) p l ( r ) 与p 2 ( 1 - ) 在v 2 1 j 3 上达到c o 光滑的充要条件是： 瑶 7 t o = 酣 0 ，7 ， 瑶3 t 4 = 易5 4 3 ， 瑶6 l = 酣 l t 6 ， 玩。2 5 = b o l5 。2 ， 醯5 ，2 = b l o 2 5 b 2 0 ，i ，6 2 b 0 1 。6 。l ， b 2 4 3 = 酣，3 ，4 ， 碥o 7 = 6 6 ，7 t o 2 ) p k r ) 与p 2 ( r ) 在v 2 v 3 上达到c 1 光滑的充要条件是：满足( 2 8 ) 与 b 2 6 o = a b i o 6 + f l b l o ，l ，6 + 碱，0 ，7 ，b 2 5 l = a 6 ： 1 5 + 瞒2 5 + 碱 l 6 ， b 2 ，4 ，2 = 口6 ：，2 4 + f l b j ，3 4 + 碱2 。5 ，b 2 , 。3 。3 = o r b i ，3 ，3 + f i b s , 4 3 + y 易j 3 4 ， b 2 ，2 。4 = 口6 ；，4 。2 + j 眙j ，5 ，2 + 砂j ，4 。3 ，b e 1 5 = 口6 ：，5 i + 瞒，6 1 + 砂j 5 2 ， 6 ；，0 ，6 = 曲；。6 ，o + f l b j 7 ，o + 碱，6 1 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 2 ) p l ( r ) 与p 2 ( r ) 在v 2 v 3 上达到c 2 光滑的充要条件是：满足( 2 8 ) 、( 2 9 ) 及下列条件： b 2 5 o = 口2 醚，o 5 + 伊6 ：2 t 5 + 尹砧o 7 + 2 a f l b l l 1 ，5 + 2 f l t b ；t l ，6 + 2 a t b l l o 6 ， b e 4 1 = 口2 b 2 1 ，l 4 + 俨瞌3 ，4 + 矿酲l ，6 + 2 q 肋：，2 ，4 + 2 f l r b j 。2 5 + 2 a y b i ，5 ， 醒 3 2 = 口2 醚2 ，3 + 卢2 i 4 3 + 尹巩 2 5 + 2 0 l f l bj l ，3 3 + z 酬，3 4 + 2 0 0 , b i ，2 4 ， ( 2 1 0 ) b e 2 2 3 = 口2 6 1 3 2 + 伊酲5 2 + i r 2 b 0 1 3 4 + 2 0 l f l b i t 4 2 + 2 f l y b 6 ，4 ，3 + 2 0 t y b ： 3 3 ， b 2 l 4 = 口2 易! 4 i + 卢2 酣6 1 + 7 2 跣。4 。3 + 2 t z f l b i 5 i + 2 f l t b 5 5 。2 + 2 a t b l l 4 2 ， 6 ；o 5 = 0 2 6 1 5 o + 砧7 o + 矿跣5 2 + 2 a f l b t j 6 o + 2 f l y b 0 1 6 i + 2 口y b t j 5 1 在木文推导证明过程中，最多只要用到c 2 光滑条件 5 忱 ，m 3 二元样条函数空间s ；( ) 的最小决定集与维数 3 1 退化三角剖分的分类 以e ( v ) 表示与顶点y 相连的边的条数，其巾斜率不同的边的条数记为p 7 ( v ) 定义3 1 1 t 9 】假设e i ，e 2 ，e 3 是与顶点 ，相连且前后相继的三条边，当e i e 3 共线时，称p 2 是顶点 ，的退化边，如图3 1 ( a ) 中的边e 2 ；台则称e 2 是顶点v 的非退化边，如图3 1 ( b ) 中的 边e 2 如果一个三角剖分至少包含一条退化边，则称其为退化三角剖分，否则称其为非退化 三角剖分 对于退化三角剖分我们给出如下更为细致的定义 若顶点v 存存退化边，称顶点v 为退化顶点，否则称为非退化顶点若退化顶点v 存在 条退化边，则称顶点v 是n 度退化顶点 容易验证t 只有l ，2 ，4 三种可能即三角剖分所有顶点可分为非退化顶点，l 度退化 顶点，2 度退化顶点，4 度退化顶点四种情况图3 1 ( b ) 中y 是非退化顶点，图3 1 ( a ) 中 ，是 1 度退化顶点，图l ( c ) ，( d ) 中 ，是2 度退化顶点，图3 1 ( e ) ，( f ) 中1 ，是4 度退化顶点 设顶点y 是2 度退化顶点，e l ，e 2 是顶点y 的两条退化边，则 ( 1 ) p ( ，) = 4 的充分必要条件是e i ，e 2 不相邻 ( 2 ) e ( v ) 5 的充分必要条件是e l e 2 相邻 e ( v ) = 4 时，称，是弱2 度退化顶点，e ( v ) 5 时，称y 是强2 度退化顶点 4 度退化顶点，只有图l ( e ) 和图1 ( f ) 两种情况，且总有p ( v ) = 4 ，已7 ( ，) = 2 ，其中4 度退 化内顶点称为奇异顶点 定义3 2 2 如果一个三角剖分包含强2 度退化顶点，则称其为强2 度退化三角剖分，否 则称其为非强2 度退化三角剖分 加密三角剖分c r 、a p s l 和a p s 2 都不包含强2 度退化顶点，因此它们都是非 强2 度退化三角剖分的特殊情况 锄p 圜因凶 ( a )( b )( c ) ( d ) ( e )( f ) ( a ) ：1 度退化；( b ) ：非退化；( c ) ：强2 度退化；( d ) ：弱2 度退化；( e ) ：4 度退化；( f ) ：4 度退化 图3 1 6 1 定义3 1 2 易知，姒2 度退化二三角剖分是退化ji 角剖分的特殊情形，非姒2 度退化 三角剖分包含火部分退化三角剖分我们研究非强2 度退化三角剖分上二元样条函数窄问 s ；( ) 的维数 3 2子三角剖分 如果j 角剖分的某个j 角形至少包含一条边界边，则称该j 角形为的边界i 角形， 否则称其为的内部三角形引入如下记号： e ，( z x ) = 三角剖分中内网线的伞体， 如( z x ) = j 角剖分中边界网线的全体， ( ) = 三角剖分中内顶点的全体， ( z x ) = 三角剖分中边界顶点的伞体， 1 - ，( z x ) = 三角剖分中内部三角形的全体， 丁曰( z x ) = 三角剖分中边界三角形的全体， e ( ) = e b ( a ) ue l ( ) ， v = ( ) u ( ) ， 丁( ) = r 曰( ) u o ( ) 在不至于引起混淆的情况下将它们分别简记为毋、岛、n 、和、e 、y 、丁 下面我们按边界三角形对三角剖分进行分层 定义3 2 1 设是单连通区域qcr 2 上一正规三角剖分，定义 a o = ， j = i 乃l p ，- l m ，乃q ( 卜1 ) ，i = 1 ，2 ， 称f 为的子三角剖分，江l ，2 ， 显然，对任意正规三角剖分，必存在一正整数使得巾的所有三角形都是边界 三角形 将t b ( a f ) 中的三角形标记为t i 。l 】，斫2 1 ，矸f i 印( 肌f _ l ，2 ，为表示的一致性，将 巧枷改标记为乃，z = i r b ( z x k o ) l + + i r b ( z x i - 1 ) l - i - j 这样三角剖分中每个三角形都被标记 过。且标号唯一 以m ( t i ) 表示闭j 一角形7 i 与i u - - 1 瓦中闭i 角形公共边的条数，则m ( t i ) 2 ，f = 2 ，3 ， 例如图3 2 中所示的三角剖分，3 中的所有三角形都是边界三角形参看图3 3 3 9 a i = l t t ，死，t 3 ，乃，7 5 ，t 6 ，7 7 ，t s ， 9 ，t i o ，t t l ，t i 2 ，t 1 3 ，t 1 4 ，t t s ，t t 6 ，t 1 7 ，t t s ，t 1 9 , a 2 = i t j ，死，7 3 ，t 4 ，t 5 ，t 6 ，7 7 ，t s ，7 9 ，t i o ； 7 图3 2 ：o = 图3 5 ：卜 图3 7 ：2 图3 3 ：t b ( o ) 图3 6 ：f 口( 1 ) 图3 8 ：r s ( z x 2 ) 图3 9 ：a 3 = t b ( 3 ) 8 a 3 = l 丁l ，n ，丁3 ： 1 - b ( o ) = t 2 0 ，t 21 ，t 2 2 ，7 2 3 ，t 2 4 ，t 2 5 ，t 2 6 ，t 2 7 ，丁2 8 l ： r b ( z x l ) = f t ii ，t 1 2 ，t 1 3 ，t 1 4 ，t i s ，t i 6 ，t 1 7 ，t i s ，r 1 9 , r s ( a 2 ) 。= 1 7 4 ，死，t 6 ，t 7 ，r s ，7 9 ，t i n ； r b ( a 3 ) = i n ，乃，乃 ； m ( 7 2 0 ) = 2 ；m ( 2 1 ) = l ；m ( 死6 ) = 2 ；m ( t i 3 ) = 2 ；m ( 丁1 4 ) = l ；m ( t 4 ) = l ；m ( t i o ) = 2 ；m ( r 2 ) = l ； m ( 乃) = 0 3 3 样条函数空间s ；( ) 的最小决定集与维数 以i p l 表示任意集合p 的基数 引理3 3 1 【6 ) 若集合尸为二元样条函数空间s ：( ) 的决定集，则 d i m s ：( a ) l p t 引理3 3 2 t 6 】对于任意二元样条函数空问s ：( ) ，总存在其最小决定集p ，且 d i m s ：( ) = i p i 引理3 3 3 【5 】对于任意二元样条函数空间s ：( ) ， d i m s ：( a ) a + 6 i e ，i c l i + 矿( 1 ，f ) ， 其中臼= 型掣，b = ( d - r ) ( ，d - r + 1 ) ，c = 垡学一立哟2 ，矿( ) = ( ，+ j + 1 一j e 7 ( y f ) ) + 引理3 3 4 t 2 1 】设v 是三角剖分的边界顶点，队( 1 ，) 为以1 ，为中心半径为m 的圆盘，其 中d m r 设与顶点1 ，相连的所有三角形按逆时针方向标记为丁l ，乃，) 令尸是 由下列区域点构成的集合： 1 d r 中的所有区域点； 2 乃中距离n l 最远的m r 行上的所有区域点，f - 2 ，3 ，p ( d 那么p 是s ：( ) 在圆盘i 小( ，) 上的最小决定集，且 i p l = m 三2 + c p c v ，一2 ，( m 一三+ 1 ) 引理3 3 5 【2 1 】设y 是i 角剖分的内顶点，玩( y ) 为以v 为中心半径为m 的圆盘，其中 m ，那么存在一个集合p 是s ：( ) 在圆盘( v ) 上的决定集，且 i p i = ir 三2 + e c v ，( m 一2 r + 1 + m 吾- r c r + ，+ t 一弘c v ，+ 在定理3 3 1 中，设已按3 2 节巾的方法给三角剖分中各三角形标号过 定理3 3 1 若是非强2 度退化三角剖分，则d i m s ；( m = 3 6 + 1 5 1 e i - 3 0 l i + z ( 4 一 p ( n ) ) + + 以其中l ，f ，o r 表示中奇异顶点的个数 证明： 按以下步骤构造s ；( ) 的决定集，记n = i t ( a ) i 9 图3 1 0 图3 1 1 第一步对于每个边界顶点v i ，依据引理3 3 4 选择d 3 ( v f ) 上一个决定集p 口( ) ，令p 口= p b ( v i ) ； 第j ：步对j j ：每个内顶点v j ，依据引理3 3 5 选择d 3 ( v j ) 卜一个决定集尸i ( v j ) ，令p i = p t ( v j ) ，p o = p bup i 第三步令q l = i 彰t 3 t ii ，髫! 2 髫：3 j 2 鹾1 2 ，3 f & 3 l ，q l 由图3 1 0 中的6 个实心黑点构成再 令p 1 = p o uq 1 第四步以疋，h 的顺序在三角形乃中选取区域点，具体方法如下， 1 ) 若m ( t i ) = 0 ，令p i = p i luf 器1 笄3 , 2 2 岛 3 岛，2 岛，3 ，吼，3 l ，则i e i l = l p f - i i + 6 ； 2 ) 若m ( t i ) = 1 ( 图3 1 1 ) ，设s i ，3 ，懿r 朋 l ，q i 由图3 1 l 中的3 个实心黑点构成，再令i p i i = i 雎l + 3 ，则p i = 只一iuq f ； 3 ) 若m ( t i ) = 2 ，设e l , p 2 是闭三角形_ l 与s u - - i 亍j 中闭三角形两条公共边，p lne 2 = y 5 3 1 ) 若e l ，e 2 不都是i , 5 的退化边( 图3 1 2 ) ，s l i ，s 2 j i f 舀字朋 ，则i p i l = i 尸f - i i ； 3 2 ) 若e l ，e 2 是v 5 的一对相邻退化边，j l l ，则i b i = i p i l l ； 3 3 ) 若e l e 2 是v 5 的一对相邻退化边( 图3 1 4 ) ，s l f ，s 2 。3 ，3 ，1 4 号主秽5 ，岣， v 3 图3 1 4 u ! 然，若a f s = 0 ，v f p o ，! j 1 0 t f s = 0 ，v f d 3 1 若a e s = 0 ，v 手p i ，则a , s = 0 w d 3ud r 。； 2 假设，若a c s = o ，增p f l ，则 s = o ，岵d 3uud r ， 3 男驻么，若 5 = 0 ，v f p f ，贝0 ： i ) 当聊( 乃) = 2 时，分_ _ 种情形证明 a ) 参看构造决定集第四步3 1 ) 及图3 1 2 ，有 f l 也j = o ，v f d 3uu d r j f f ： ；：严b j ， = i 由边i 3 v 5 上c 2 阶光滑条件及( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 知 c星牌心=