（概率论与数理统计专业论文）非参数bayesian中的右中立过程.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 在非参数b a y e s i a n 中，d i r i c h l e t 过程先验得到了十分广泛的应用，其 主要原因有以下三个： 1 先验比较容易细化，可以由它的参数确定，并且参数有合理的解 释； 2 它是一个共轭先验族，后验容易计算； 3 后验可以表示成先验预测与样本分布的混合，在应用中有好的解 释。 右中立过程作为d i r i c h l e t 过程的一种推广，它是否具有d i r i c h l e t 过程 的一些好的性质和合理解释呢? 如果没有，一些特殊的右中立过程是否具 有呢? 这是本文的出发点。 在第一章，简单地叙述了右中立过程的背景和发展状况。 在第二章，分别就一般的l e v y 过程和累积失效过程介绍了右中立过 程，给出了在可能右删失数据下的后验形式以及后验估计。此外，还给出 了右中立过程的一些基本性质，并对它的支撑问题展开了讨论。 在第三章，主要介绍了几类特殊的右中立过程，包括齐次右中立过 程、b e t a 过程和b e t a - s t a c y 过程，分别讨论了它们的先验细化、后验形 式以及后验估计，并着重讨论了它们的参数的解释问题。特别地，对于 b e t a 过程和b e t a - s t a c y 过程来说，它们的性质以及参数的解释完全可以和 d i r i c h l e t 过程媲美，它们本身也是两个共轭的先验类，具备了d i r i c h l e t 过 程的三条主要性质。最后证明了在考虑非参数b a y e s i a n 的时候，用b e t a 过 程和b e t a - s t a c y 过程作为先验是等价的。 在第四章，简单地介绍了空间右中立过程，它把右中立过程从实数轴 上推广到了一般的p o l i s h 空间上。 总之，右中立过程作为非参数先验类在处理右删失数据时是十分方便 的，用d i r i c h l e t 过程处理的问题，也总是可以考虑用右中立过程来处理。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 和d i r i c h l e t 过程一样，我们还可以去考虑它的后验相合性以及混合右中立 过程等问题。 关键词：非参数b a y e s i a n ；右中立过程；b e t a 过程；b e t a - s t a c y 过程；空间右 中立过程。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i i 页 a b s t r a c t i nn o n p a r a m e t r i cb a y e s i a na n a l y s i s ，ac o m m o nc h o i c eo fp r i o ri sd i r i c h l e t p r o c e s s t h e r ea r es e v e r a lr e a s o n s ： 1 t h e r ei saf a i rr e a s o n a b l ei n t e r p r e t a t i o no fp a r a m e t r i co fp r i o r ，a n d i t se a s yt os p e c i f yt h ep r i o rg u e s s ； 2 t h ep o s t e r i o ri sm a n a g e a b l ea n a l y t i c a l l y ； 3 t h e r ei saw e l li n t e r p r e t a t i o no fp o s t e r i o rw h i c hc a nb ee x p r e s s e da sa c o m b i n a t i o no fp r i o rg u e s sw i t hs a m p l ef u n c t i o n p r o c e s sn e u t r a lt ot h er i g h ti sag e n e r a t i o no fd i r i c h l e tp r o c e s s ，w h e t h e r i th a st h es a m ea n yp r o p e r t i e sa n di n t e r p r e t a t i o n sa sd i r i c h l e tp r o c e s s ? a n d w h e t h e rt h es p e c i a lp r o c e s s e sh a v e ? t h e r ea r et h eo u t p o i n t so ft h i st h e s i s i nc h a p t e ro n e ，t h eh i s t o r yb a c k g r o u n d sa n dr e c e n ts t u d yw e r ei n t r o - d u c e d i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c e dp r o c e s sn e u t r a lt ot h er i g h tf r o ml e v y p r o c e s sa n dc u m u l a t i v eh a z a r dp r o c e s sr e s p e c t i v e l y , a n df o u n dt h eb a y e s e s t i m a t o r sf o rr e l a t i o nq u a n t i t yb a s e do np o s s i b l yr i g h tc e n s o r e d t h e nw e d i s c u s s e ds o m ep r o p e r t i e sa n dt h es u p p o r to ft h ep r o c e s sn e u t r a lt ot h er i g h t i nc h a p t e rt h r e e ，w ei n t r o d u c e ds e v e r a ls p e c i a lp r o c e s sn e u t r a lt ot h e r i g h t ，i n c l u d i n gh o m o g e n e o u sp r o c e s sn e u t r a lt ot h er i g h t ，b e t ap r o c e s sa n d b e t a - s t a c yp r o c e s sa n dd i s c u s s e dt h e i rp r i o rs p e c i f i e d ，b a y e se s t i m a t o r sa n d t h ei n t e r p r e t a t i o no ft h ep a r a m e t r i co ft h ep r i o r s p e c i a l l y , b e t ap r o c e s sa n d b e t a - s t a c yp r o c e s sh a v et h es a m ep r o p e r t i e sa st h ed i r i c h l e tp r o c e s s t h e n w ep r o v e dt h a t b e t ap r o c e s si se q u i v a l e n tt ob e t a - s t a c yp r o c e s sw h e nt h e y a r ea sp r i o r si nt h en o n p a r a m e t r i cb a y e s i a n i nc h a p t e rf o u r ，t h es p a t i a lp r o c e s sn e u t r a lt ot h er i g h tw a si n t r o d u c e d ， i nf a c t ，i ti st h eg e n e r a t i o no fp r o c e s sn e u t r a lt ot h er i g h tf r o mt h er e a lt o t h eg e n e r a lp o l i s hs p a c e 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 v 页 t os u m m a r i z e ，p r o c e s sn e u t r a lt ot h er i g h ti sa ne l e g a n tc l a s so fp r i o r s t h a tc a n ，i nt e r m so fm a t h e m a t i c a lt r a c t a b i l i t y ，c o n v e n i e n t l yh a n d l er i g h t c e n s o r e dd a t a a sw i t ht h ed i r i c h l e t ，m i x t u r e so fp r o c e s sn e u t r a lt ot h er i g h t a n dp o s t e r i o rc o n s i s t e n c yr e m a i n e dt ob ee x p l o r e d k e yw o r d s ：n o n p a r a m e t r i cb a y e s i a n ；p r o c e s sn e u t r a lt ot h er i g h t ；s p a t i a l p r o c e s sn e u t r a lt ot h er i g h t ；b e t ap r o c e s s ；b e t a - s t a c yp r o c e s s 西南交通大学曲南父迥大罕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇 编本学位论文。 。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密呀，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打4 ) 学位论文作者签名：呷复、延礼 日期：“g 、6 1 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工 作所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由 本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 对右中立过程先验的支撑展开了讨论； 2 给出了b e t a 过程的一些性质，并说明 b e t a 过程和b e t a - s t a c y 过程先 验的实质是一致的。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 二十世纪六十年代，非参数统计表现得相当活跃，并取得了较大成 果。与此同时，d a v i db l a c k w e l l 等人提出：如何进行非参数b a y e s i a n 分 析? 对于这个问题，f e r g u s o n 1 】在f r e e d m a n 2 和f a b i u s 3 可数样本空 间上近似b a y e s i a n 估计的基础上，提出了d i r i c h l e t 先验发展了非参数 b a y e s i a n 分析。对于这个先验，如果p 是可测空间影上的概率分布， b 1 ，鼠) 是彤的任意一个有限可测划分，那么( p ( b 1 ) ，p ( b k ) ) 服从d i r i c h l e t 分布，而且给定一组来自p 的独立样本托，p 的 后验分布仍然是d i r i c h l e t 过程( 基于相同的划分) 。对于非参数b a y e s i a n 分 析，f e r g u s o n 提出了两个基本要求： 1 ，在适当的拓扑下，先验分布的支撑要足够大： 对于d i r i c h l e t 过程先验来说，它的支撑是形上的所有离散概率分布 组成的集合( 以概率1 离散) ； 2 ，给定样本以后，后验分布要便于计算。 对于d i r i c h l e t 先验，后验分布是容易计算的，可表示成先验猜测与经 验分布的混合：并且在应用中有较合理的解释。 基于d i r i c h l e t 先验的这些优点，非参数b a y e s i a n 取得了较 快的发展。与此同时，许多b a y e s i a n 学者对d i r i c h l e t 过程进 行了大量研究，得出了它的一些优越性质、构造方式、 后验计算方法j 并讨论了其后验的相合性问题，详细可 见k o r w a ra n dh o u a n d e r 4 1 ，b l a c k w e l l 5 1 ，s e t h u r a m a n 6 1 ，b l a c k w e l la n d m a c r u e e n 7 ，f a b i u s 8 1 ，d i a c o n i s a n d f r e e d m a n 9 等文献。除此以 外，a n t o n i a k 1 0 1 还定义了d i r i c h l e t 过程的混合，并证明：给定样本以 后，其后验分布也是d i r i c h l e t 过程混合。 另外，d o k s u m 1 l 】将c o n n o ra n dm o s i m a n n 1 2 】关于成分向量的完全 中立性的概念扩展到实数轴r 上，定义了右中立过程( p r o c e s sn e u t r a l 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 t ot h er i g h t ) ，并用它作为先验进行了非参数b a y e s i a n 分析。对于这个 先验，如果p 是r 上的概率分布，对于任意的划分 b l ，鼠) ( 其中 b i = ( 缸一1 ，t t 】，如r ，童= 1 ，k ，且t o = 一o o ，“= 0 0 ，当i 歹时， 有t i 岛) ，尸( 鼠) 与k 1 - i ( 1 一巧) 有相同的分布，其中，k 一，k = 1 是取值于 0 ，1 】相互独立的随机变量。这是右中立过程先验的构造性定义， 选择不同的独立随机变量序列将对应于不同的右中立过程。特别地，如 果一b e t a ( a i ，屈) ，i = 1 ，k 一1 ，且屈= e ，那么对应的右中立 过程正好是r 上的d i r i c h l e t 过程。也就是说，在实数轴r 上，右中立过 程是d i r i c h l e t 过程的一种推广。并且d o k s u m 证明了：如果p 是右中立过 程，那么给定一组样本以后，尸的后验分布仍然是右中立过程。这说明右 中立过程是一个共轭先验族，但是，一般来说，其后验的具体形式是很难 解析给出，在很大程度上制约了右中立过程的应用与发展。除了后验不易 计算以外，另一个受限制的因素就是它是定义在r 上的先验过程，能否将 它推广到一般的p o l i s h 空间( 完备可分的度量空间) 是另一大难题。 尽管d o k s u m 没有给出后验的具体表达形式，但是他给出了一个非常 重要的性质，把右中立过程和独立增量过程联系起来，即r 上任意的右中 立过程f ( t ) ( 相应的累积分布函数) 与缺上的一个l e v y 过程( 事实上这里没 有考虑平稳性( 也不需要平稳性) ，只是要求独立增量，为了和相关文献一 致，还是称之为l e v y 过程) z ( t ) 一一对应。 1 一f ( t ) = e - z ( ) 其中z ( t ) 是一个非降的右连续的独立增量过程，且 h mz ( t ) = 0a s ，l i mz ( t ) = - b o on 8 t 一t - - * - b 0 0 注意：这里我们也可以将右中立过程定义在r + = 【0 ，+ o o ) 上，则相应 的l e v y 过程有l i mz ( t ) = 0a s ，l i r az ( t ) = + o oa 8 t _ 0 十t o 十 如果f ( t ) 连续，则z ( t ) = 一l o g ( 1 一f ( 1 ) ) 正好是相应的累积失效函 数，因此右中立过程可以应用到生存分析中去。于是，从现在起，我们所 讨论的右中立过程都是定义在r + 上。d o k s u m 1 1 1 利用右中立过程的这种 表示，通过一个例子得出了后验估计( 在平方误差损失下) 。由于l e v y 过 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 程已经比较成熟，因此右中立过程的后验分析都是从l e v y 过程入手的。 对于非降的右连续独立增量过程z ( t ) ，它有至多可数个固定的 不连续点，分别记为t 1 ，t 2 ，( 所有固定不连续点的集合记为m ， 即m = 0 l ，t 2 ，) ) ，相应的不连续点处的跳跃s l ，岛，( 最= z ( 岛) 一z ( t i 一) ，i = 1 ，2 ，) 是相互独立的非负随机变量，它们相应的 密度分别记为五， 。，( 关于某个合适的测度) 。 记随机过程 y 0 ) = z ( t ) 一s ；j ( t j ，) ) = z ( t ) 一s j jt j t 则y ( t ) 是非降的独立增量过程，且没有固定不连续点。根据根据f e r g u s o n a n dk l a s s 1 3 1 的l e v y 表示，有： ， l o ge e x p ( - o y ( t ) = 一o b ( t ) + ( e 一如一1 ) d l t ( s ) ，0 其中b ( t ) 是非降的连续函数，。l i r a b ( t ) = 0 ，它是y ( t ) 的非随机化部 分；l t ( ) 是连续的l e v y 测度，即vb 纺( r + 上的b o r e l 盯域) ，厶( j e 7 ) 关于t 非降、连续，vt r + ，厶( ) 是勿上的测度，使得 f o o口 上南d l t ( s ) z ( x z ) ，f 的后验分布仍然是右中立过程。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 在右中立过程的发展进程中，f e r g u s o n 给出了其具体的后验形式， 解决了计算的困难，而h j o r t 则正式把右中立过程应用到了生存分析 中。在生存分析中，失效率q ( t ) = 舞是一个非常基本的量，但是它 的b a y e s i a n 估计是很困难的( 其密度f 他) 未必存在具体表达式) ，于是 常考虑累积失效函数4 ( 亡) = 后a ( s ) d s 。事实上，当f 连续时，a ( t ) 与 z ( t ) = - l o g ( 1 一f ( 亡) ) 正好相同。但是如果f 没有密度，a ( t ) 将没有定 义。h j o r t 给出了更一般定义( 以后都是针对它来处理) a ( t ) ：靼 此时，f ( t ) = 1 一n ( 1 一d a ( s ) ) 。这里n 表示乘积积分，且f 是由 i o ，t l【o ，日 a 唯一确定的，详细可见g i l l 1 6 】o 值得注意的是，当f 离散时，a ( t ) 与 z ( t ) 不再相同。类似于过程z ( t ) ，对f 的非参数b a y e s i a n 估计将围绕a ( t ) 来展开。 对于任意的累积分布函数，相应的累积失效函数a ( t ) 是r + 上的 非负，非降的右连续函数，它并不是一个l e v y 过程。如果假设增量 d a ( t ) ( q ( t ) ) 相互独立，就可以保证a ( t ) 是一个l e v y 过程。另一方 面，有这样一个结论：a ( t ) 是l e v y 过程当且仅当z ( t ) 是l e v y 过程。 因此，当累积失效函数a ( t ) 是一个l e v y 过程时，可以认为它相应的分 布函数f ( t ) 是一个右中立过程，从而将右中立过程先验引入到生存分 析中。由于失效率函数q ( t ) 取值于【0 ，1 】，所以a ( t ) 对应的l e v y 测度 集中在【0 ，1 1 上，即vt r + ，l t ( 1 ，o 。) = 0 ，更进一步，相应的跳跃 岛= a 岛) = a ( 岛) 一a ( t j - ) 将不会超过1 。从这里可以看出，a ( t ) 与z ( t ) 的主要差异就在于它们相应的l e v y 测度的支撑不同，z ( t ) 对应的l e v y 测 度的支撑可以是整个r + ，而a ( t ) 相应的支撑只能是【0 ，1 】，这是为了保证 a ( t ) 是相应的累积失效函数。 假设m = t 1 ，t 2 ，) 是a ( t ) 的固定不连续点集合，相应的跳跃s j = a 【如) 在【o ，1 】上有密度办( s ) 。那么，过程a c ( t ) = a ( t ) 岛没有固定 t j t 不连续点。为了处理方便，不妨设对应的非随机化部分b 兰0 ，则a 。( t ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 的l e v y 表示为： ，1 e e x p - 0 a 。( 亡) ) = 唧 ( e 卅8 1 ) d l t ( s ) ，0 h j o r t 1 7 给出了累积失效函数的l e v y 测度的一般形式，即 1 厶( z ) ，f o ) 是连续的， d l t ( s ) ：j 名口( s ；z ) d 日( z ) d s ，t 之0 ，s ( o ，1 ) ； 【0 ， s 1 其中日是一个非降右连续函数，且h ( o ) = 0 ：a ( s ，z ) 是一个非负、 关于( s ，z ) 连续的函数( 除非z m ) ，且詹s d l t8 ) 。o 。这里可以看 出，a ( t ) 可由m 、 ，厶， 、a ( 8 ，z ) 、h ( z ) 完全确定。h j o r t 针对这种 一般的l e v y 过程，给出了后验更新公式。此外，他还定义了一个丰富的先 验族一b e t a 过程，d a ( s ) 一b e t a ( c ( s ) d a o ( s ) ，c ( s ) ( 1 一d a 0 ( s ) ) ) 。相对于一 般情形来说，q ( s ，z ) = c ( 名) s _ 1 ( 1 - 8 ) 。( ：) ，日= ，j c f ( s ) 为b e t a 分布的密 度。于是可以通过选择不同的l e v y 测度，得到不同的右中立过程。w a l k e r a n dm u l i e r s 1 8 1 给出了另一类右中立过程b e t a - s t a c y 过程，并给出了后验 分析。 至此，右中立过程的后验计算问题基本上解决了。对于第二个问题， 右c h , - y - r 在r 上有定义，j a m e s 1 9 2 0 2 1 】将右中立过程的定义给推广到了 任意的p o l i s h 空间影上，定义了空间右中立过程( s p a t i a ln e u t r a lt ot h e r i g h tp r o c e s s ) 。在进行后验分析时，处理方式和右中立基本一致。首先将 过程z ( 亡) 、a ( t ) 推广到空间r + 影上，不同于之前的是，利用p o i s s o n 随 机测度代替了l e v y 测度。类似地，有这样的结论：给定样本以后，p o i s s o n 随机测度的后验仍然是p o i s s o n 测度。于是可以得到相应的随机过程的后验 公式。 本文的出发点是：d i r i c h l e t 过程有许多优良的性质，而且在应用中有 较合理的解释，右中立过程作为它的推广，是否保留了它的一些性质? 是 否也有令人满意的解释? 如果没有，那么某些特殊的右中立过程是否具有 昵? 本文在第二章按照右中立过程的发展进程非常详细全面地介绍了右 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 中立过程，并给出了他的几个基本性质：t a i l f r e e 性质、共轭性、与独立 增量过程的一一对应并讨论了它的支撑问题，最后给出了相应的后验估 计形式。在第三章，主要给出了几类特殊的右中立过程：齐次右中立过 程、b e t a 过程和b e t a - s t a c y 过程，并讨论了它们的性质，特别是它们的参 数的解释问题。其中b e t a 过程的性质和解释最为合理，和d i r i c h l e t 过程的 一些性质非常贴近。在第四章，介绍了空间右中立过程，这里并没有非常 详细的介绍，只是把它的主要思想和方法给了出来。 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 第2 章右中立过程 右中立过程是一个非参数b a y e s i a n 先验类，最先由d o k s u m 1l 】提出。 关于中立性这个概念，是c o n n o ra n dm o s i m a n n 1 2 在处理成分向量时提出 来的，d o k s u m 将这一概念推广到了r 上的右中立过程，用它来作为非参 数先验，并证明了：如果先验是右中立过程，那么给定一组样本以后，后 验也是右中立过程。 2 1 右中立过程的定义与基本性质 由于右中立过程主要应用于生存分析，这里我们将它定义在r + 上。 记莎为r + 上所有分布函数组成的集合。对于任意的随机分布函数 f 莎，f ( o ) = 0 ，s ( t ) = 1 一f ( t ) 表示相应于f 的生存函数。为了方 便，相应的概率测度也用f 来表示，即f ( t ) = f ( ( o ，亡】) 定义2 1 1n u 莎上的先验n 被称为是右中立过程，如果在先验 下，vk z + ( 正整数集合) ，0 亡1 “，气乏+ ， f ( t t ) 与 1 1 - i ( 1 一k ) 同分布，i = 1 ，k ，其中，k ，k l ，y k = 1 是取值 于【o ，1 】的独立随机变量。 注2 1 ：这是其构造性定义，k 的不同选择将对应到不同的右中立过 程。特别地，如果k b e t a ( a t ，展) ，且履= ，那么相应的右中立 过程正好是r + 上的d i r i c h l e t 过程。 由定义2 1 1 ， z f ( t t ) ；1 一兀( 1 一巧) j = 1 t l f ( 厶) 一f ( 岛一1 ) = k 兀( 1 巧) 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 于是k = f ( h ) 一f ( 如一1 ) 1 一f ( t t 一1 ) 注意：这里的等式是指依分布相等，下同。 如果此时分母不为0 ，那么可以通过这个变形给出右中立过程的描述性 定义，有时用这个定义来处理问题显得更方便。 定义2 1 1 7 ：矿上的先验被称为是右中立过程，如果在先 验下，vk z + ，0 t 1 t 七，t i r + ， f ( 亡1 ) ， f ( t 2 ) 一f ( h )f ( t k ) 一f ( t k 一1 ) 相互独立。 注2 2 ：为了叙述方便，直接称随机分布函数f 为右中立过程。并规定 3 = l 。 下边给出右中立过程的一些基本性质，首先给出t a i l f r e e ( 自由尾) 的 定义。 定义2 1 2 p 一个随机分布函数f 关于( 8 ，o o ) ，8 r + 是t a i l f r e e ， 如果对所有8 = t o t 1 t k ，t t r + ，存在独立于( f ( 亡) ：t s ) 取值于【0 ，1 】的非负独立随机变量，k ，使得f ( h ) 与f ( s ) + 【1 一 f ( s ) l 1 一n ( 1 一k ) 】同分布，t = 1 ，k j - - - - 1 定理2 1 3随机分布函数f 是右中立过程当且仅当v8 r + ，f 关 于( 8 ，o o ) 都是t a i l f r e e 。 证明：充分性是显然的； 当8 = 0 时，f 关于( 0 ，o o ) 都是t a i l f r e e ，则f ( s ) = 0 ，由定义2 2 ，有 f ( h ) 与1 一兀( 1 一巧) 同分布，i = 1 ，k 由此得证。 j = l 必要性；因为f 是右中立过程，那么v8 r + ，存在某个正整数7 ， 使得t ，= s ，对所有0 t l t r = s t ，+ 1 t l i c ，存在非负独立 的随机变量，k ，有f ( h ) = 1 一兀( 1 一巧) ，i = 1 ，k 。 j = l 显然，当i 7 时，诈+ 1 ，k 与f ( t ) 独立。 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 当i = r + 1 ，k 时， t f ( h ) = 1 一兀( 1 一巧) j 2 1 = 1 一 兀( 1 一k ) 】【n ( 1 一k ) 】 j = r + l j = 1 = 1 一f ( s ) + f ( s ) 一【n ( 1 一v j ( 1 一f ( s ) ) j = r + l t = f ( s ) + 1 一f ( s ) 】 兀( 1 一巧) 】 j = r + l 于是，由定义2 1 2 ，得证。 注2 3 ：该命题说明右中立过程是t a i l f r e e 。另一方面，d i r i c h l e t 过程在 一般的可测空间上都是t a i l f r e e ，而且它不依赖于划分。t a i l f r e e 的概念是 f a b i u s 3 1 定义的，d o k s u m 称之为f n e u t r a l 过程。 f e r g u s o n 要求非参数b a y e s i a n 的后验分析是可行的，d o k s u m 给出了 相应的结果，只是其后验描述相当繁杂。 定理2 1 4i 儿1 假设随机分布函数f 有右中立过程先验，那么给定一 组独立样本x 1 ，k ，后验也是右中立过程。 d o k s u m 给出的证明非常复杂，而且具体的后验形式也并不直观。后来 有人用右中立过程的描述性定义给出了一个比较简洁的证明。 定理2 1 5 【1 1 1 f ( t ) 是右中立随机分布函数当且仅当它与1 一 e x p 一z ( 亡) ) 同分布，其中z ( t ) 是一个非降、右连续的独立增量过程( l e v y 过程) ，a 驾z ( t ) = 0 ，1 i m z ( t ) = + 证明：充分性；f ( t ) = 1 一e x p 一z ( ) ) ，对所有0 t l 如， 令k = 1 一e x p - z ( t i ) 一z ( 岛一1 ) 】) ，i = 1 ，k ，由于z ( t ) 是独立增量过 程，所以k 相互独立。 f ( h ) = 1 一e x p - z ( h ) 】 = 1 一e x p - z ( h ) 一z ( h 一1 ) 】 e x p - z ( t i 一1 ) ) = 1 一( 1 一) e x p - z ( t i 一1 ) ) = l n ( 1 一巧) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 由此得证f ( t ) 是右中立的。 必要性；因为f ( f ) = 1 一e x p 一z ( t ) 】- ，则z ( t ) = 一l o g ( 1 一f ( 亡) ) 。由 于f ( t ) 是右中立过程，那么对所有0 t 1 z ，f 的后验仍然是右中立过程， 聃，= 捌篙： x 是来自f 的一个 其跳跃处的密度 ( i i ) 给定样本x z ，f 的后验是右中立过程，其跳跃处的密度 驰，= 群篆： 其中c 是正规化常数。 从这个定理可以看出，对于右删失数据来说，当z 是先验的固定不连 续点时，其跳跃的后验形式和其它跳跃点的后验形式没有差异。如果z 不 是先验的固定不连续点，那么它也不是后验的不连续点。从这里可以看 出，它较精确观测样本情形简单得多。 对于一般情形，假设观测数据有三种形式，其中有m 1 个是精 确观测，x 1 = z 1 ，1 = z 仇，有m 2 个“排除”删失，+ 1 z m l + 1 ，1 + m 2 z m l + 仇2 ，有m 3 个“包含删失，l + m 2 + 1 z 仇l + m 2 + 1 ，l + m 2 + m 3 x r n l + m 2 + m 3 ，且m l + m 2 + 仇32t i , 。假设 u l ，u 七是z l ，z n 中不同的数，且u 1 u 2 u 七。假设 6 1 ，以分别表示在u 1 ，u _ i c 处是确切观测的个数；入1 ，扎分别表示 在u 1 ，u 七处是排除”删失的个数；肛l ，纵分别表示在u l ，u 南处 是“包含”删失的个数。因此， kkk 民= 仇1 九= m 2 肌= m 3 i - - - 1i-1讧=l 为了后验表示的方便，先引入一些记号：一 k h j = ( 蠡+ 入+ 胁) 表示在z i 中，大于的个数； 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 歹( t ) 表示在t f 中小于等于t 的个数： g 牡( s ) 表示z ( t ) 在”处的跳跃的先验分布： 矾( s ) 表示给定样本以后，z ( t ) 在钆处的跳跃的后验分布； 舰( 口) = e e - e z ( 。) 是z ( t ) 的矩母函数，m i - ( 口) = l i m 旭( 伊) 。 在平方误差损失( 加权平均损失) 下，f 的后验估计正好是后验均值。 由于e f ( t ) = 1 一e e 以( ) = 1 一舰( 1 ) ，因此要得到后验估计，只需给 出z ( t ) 的一阶矩即可，这里给出了一个更一般的结果，表示出了z ( t ) 的后 验的矩母函数。 定理2 2 4 p 驯假设f 是右中立的随机分布函数，五，k 是来自 f 的一组独立样本，其形式如上述描述，那么给定这些数据以后，f 的后 验仍然是右中立过程，且z ( t ) 的后验矩母函数为 唧酬= 等裂董 朋： + 一1 ) g 。( p + h i + 九，盈) 蚝( 一1 )q 。( h i + 入，5 i ) 兵中，如果u 是z ( t ) 的先验的固定不连续点， 瓯( q ，) = j ( o 。8 - a s ( 1 - - e - a ) 卢d 瓯( s ) ； 如果牡不是z ( t ) 的先验的固定不连续点， c 乙( 。r ，p ) = j e 一口8 1 一；5 卢一1 d 王乙s 箬三三： 为了让f 的后验估计更加简洁，再作一些记号： 脚) = 瓮铲； 嘶捌= 篙并 推论2 2 5 n 5 1 在定理2 2 4 的假设下，在平方误差损失下，f ( t ) 的后 验估计为 醐舭咖) - 1 圳邶口小1 圳酬堑 裂州h ij r 入i , 相应的生存函数s ( t ) 的后验估计e ( s ( t ) l d a t a ) = m t ( 1 l d a t a ) 。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 尽管后验估计的形式已经给出，但是具体计算还是有困难的，因为后 验的跳跃点的分布矾( s ) 仍然会面临前边的问题。 从绪论中知道，右中立过程可以很好的应用到生存分析中去。在生存 分析中，失效率q ( t ) = 蒜是_ 个非常基奄的量，但是它的b a y 唧估计 是很困难的( 其密度f m ) 未必存在具体表达式) ，于是常考虑累积失效函 数a ( 亡) = 后a ( s ) d s 。事实上，当f 连续时，a ( t ) 与z ( t ) = 一l o g ( 1 一f ( 亡) ) 正好相同。但是如果f 没有密度，a ( t ) 将没有定义。h j o r t l ：7 给出了更一 般定义 伽l 器 此时，f ( t ) = 1 一兀 1 一d a ( s ) ) 。这里n 表示乘积积分，且f 是由 a 唯一确定的，详细可见g i u 1 6 】。值得注意的是，当f 离散时，a ( t ) 与 z ( t ) 不再相同。事实上，在生存分析中累计失效过程a ( t ) 比独立增量过程 z ( t ) 有更好的解释。类似于过程z ( 亡) ，下边对f 的b a y e s 估计将围绕a ( t ) 来展开。 对于任意的累积分布函数，相应的累积失效函数a ( t ) 是r + 上的非 负、非降的右连续函数，但不是一个l e v y 过程。如果假设增量d a ( t ) 相互独立，就可以保证a ( t ) 是一个l e v y 过程。另一方面，有这样一 个结论：a ( t ) 是l e v y 过程当且仅当z ( t ) 是l e v y 过程。事实上，如果 岛2a t j ) = a ( 巧) 一a ( t l - ) 表示过程a ( t ) 不连续点处的随机跳跃，取值 于 0 ，1 1 ，那么一l o g ( 1 一岛) 就是过程z ( t ) 相应的随机跳跃，因为 z ( t j ) 一z ( 勺一) = 一l o g 亡耥 = 一1 。g 1 一i r i 【, i t ，j o 。lj = 一l o g 1 一( a ( 岛) 一a ( t j - ) ) 】 因此，当累积失效函数a ( t ) 是一个l e v y 过程时，可以认为它相应的随 机分布函数f ( t ) 是一个右中立过程。由于失效率函数d a ( t ) 是取值于【0 ，1 】 的，所以a ( t ) 对应的l e v y 测度集中在【0 ，1 】上，即vt r + ，l t ( i ，) = 0 ，更进一步，相应的跳跃s 将不会超过