（物理学专业论文）一维准周期体系的热传导性质.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：彳怂嗍址年上月细 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信，g n 务。 作者签名：帘龄导师签名 期：矽。年，月弓口日 中南大学硕士学位论文摘要 摘要 利用传输矩阵的方法和r u b i n g r e e n 公式计算了一维准周期体 系( f i b o n a c c i 链、p e r i o d d o u b l i n g 链和t h u e m o r s e 链) 的透射系数 和热导率，并研究了原子格点势、原子质量比和力作用常数比对它 们的影响。同时引入了无序度，计算了格点势二元随机分布、格点 势完全无序以及力作用常数二元随机分布时的f i b o n a c c i 链的透射系 数。 研究发现：随着格点势增大，低频区的透射系数均减小，透射 谱均向高频方向移动。f i b o n a c c i 链高频区共振峰很少，而 p e r i o d d o u b l i n g 链和t h u e m o r s e 链高频区共振峰较多，且分布较密 集；随着原子质量比增大，透射谱均向低频方向移动，但 p e r i o d d o u b l i n g 链中频、高频区出现透射平台；当力作用常数比小 于1 时，随着力作用常数比增大，透射谱均向高频方向移动。当力 作用常数比大于l 时，随着力作用常数比增大，f i b o n a c c i 链和 t h u e m o r s e 链透射谱向低频方向移动，而p e r i o d d o u b l i n g 链透射谱 向两端移动，且中间带隙越来越大。对f i b o n a c c i 链，格点势二元随 机分布时，随着无序度的增大，低频区透射系数减小，透射谱向高 频方向移动。同时，透射系数随着分布几率和系统大小的增大而减 小；格点势完全无序时，随着无序度的增大，透射谱中共振峰数目 减少；力作用常数二元随机分布时，随着体系无序度增大，透射谱 中共振峰减少。对同样的体系，三种链的热导率均随格点势、原子 质量比、力作用常数比的增大而减小，当格点势、原子质量比、力 作用常数比足够大时，热导率趋于零。其中，t h u e m o r s e 链的热导 率在系统达到一定大小时收敛。在ro c 彩：中均呈现台阶式上升的趋 势，且在高频区趋于某一稳定值。 通过改变格点势、原子质量比、力作用常数比，可以人为地调 节透射谱，有效阻隔掉某些频率范围内的弹性波，从而找出我们所 需要的声子态，可用于带阻滤波器和选频器件的制作。 关键词：f i b o n a c c i 链，热传导，透射系数，热导率，台阶式上升 中南大学硕士学位论文a b s t r a c t a bs t r a c t b ym a k i n g u s eo ft h em e t h o do ft r a n s f e rm a t r i xa n dt h e r u b i n g r e e nf o r m u l a ，w eh a v es t u d i e dt h et r a n s m i s s i o nc o e 筒c i e n ta n d h e a tc o n d u c t i o ni no n e d i m e n s i o n a lq u a s i p e r i o d s y s t e m s ( i n c l u d i n g f i b o n a c c ic h a i n ，p e d o d d o u b l i n gc h a i na n dt h u e m o r s ec h a i n ) b e s i d e s ， w eh a v ea l s os t u d i e dt h ei n f l u e n c eo fo n s i t e p o t e n t i a l t h er a t i oo f m a s s e s ，a n dt h er a t i oo ff o r c ec o n s t a n t so nt h et r a n s m i s s i o nt o e f ! f i c i e n t a n dh e a tc o n d u c t i o n w eh a v ea l s oc a l c u l a t e dt h et r a n s m i s s i o n c o e 伍c i e n to ft h ef i b o n a c c ic h a i nw h e ni n t r o d u c i n gt h ed i s o r d e ro f o n s i t ep o t e n t i a la n dt h ef o r c ec o n s t a n t s t h er e s u l t ss h o wt h a t ：w i t ht h eo n s i t ep o t e n t i a li n c r e a s i n gw h i l i n g f i x i n gt h er a t i o so fa t o mm a s s e sa n df o r c ec o n s t a n t s ，t r a n s m i s s i o n c o e f f i c i e n to ft h e l o w - f r e q u e n c yr e g i o n a l l d e c r e a s e ，a n d t h e t r a n s m i s s i o ns p e c t r u m sa l lm o v et ot h eh i g h e rf r e q u e n c yr e g i o n ，b u tt h e t r a n s m i s s i o np e a k so ft h el a t t e rt w oc h a i n si nt h eh i g h e rf r e q u e n c y r e g i o na r em o r ea n db e c o m em o r ei n t e n s i v et h a nt h ef o r m e r m e a n w h i l e ， t h et r a n s m i s s i o ns p e c t r u m sm o v et ot h el o w e rf r e q u e n c yr e g i o nw i t ht h e r a t i o so f a t o mm a s s e si n c r e a s i n g ，b u tt h et r a n s m i s s i o ns p e c t r u m so ft h e p e r i o d - d o u b l i n gc h a i ni nt h em i d d l ea n dh i g hf r e q u e n c yr e g i o na p p e a r t r a n s m i s s i o np l a t f o i n i s b e s i d e s ，t h et r a n s m i s s i o ns p e c t r u m so ft h r e e c h a i n sm o v et ot h eh i g h e rf r e q u e n c yr e g i o nw i t ht h ei n c r e a s i n go ft h e r a t i o so ff o r c ec o n s t a n t sb e t w e e nz e r oa n do n e ，b u tt h et r a n s m i s s i o n s p e c t r u m so ft h ef i r s ta n dt h i r dc h a i n sm o v et ot h el o w e rf r e q u e n c y r e g i o nw i t ht h ei n c r e a s i n go ft h er a t i o so ff o r c ec o n s t a n t sa b o v eo n e ，b u t t h et r a n s m i s s i o ns p e c t r u mo ft h es e c o n dc h a i nm o v e st ot h et w oe n d s ， a n dt h eb a n dg a pi nt h em i d d l ef r e q u e n c yr e g i o nb e c o m e sw i d e ra n d w i d e r 晒e ni n t r o d u c i n gt h eb i n a r yr a n d o md i s o r d e ro ft h eo n s i t e p o t e n t i a l t ot h ef i b o n a c c ic h a i n t r a n s m i s s i o nc o e 伍c i e n to ft h e l o w f r e q u e n c yr e g i o nd e c r e a s e s ，a n dt h et r a n s m i s s i o ns p e c t r u mm o v e s t o t h eh i g h e rf r e q u e n c yr e g i o n ，a n dt h et r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n td e c r e a s e s w i t ht h ei n c r e a s i n go f p r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o na n d t h es i z eo ft h es y s t e m f 场e ni n t r o d u c i n gt h et o t a ld i s o r d e ro ft h eo n s i t e p o t e n t i a la n dt h e i l 中南大学硕士学位论文 a b s t r a c t b i n a r yr a n d o md i s o r d e ro ft h ef o r c ec o n s t a n t s ，t h et r a n s m i s s i o n s p e c t r u m so ft h ef i b o n a c c ic h a i nb e c o m en a r r o w e r m e a n w h i l e ，w i t ht h e i n c r e a s i n go fo n - s i t ep o t e n t i a l ，t h er a t i o so fa t o mm a s s e sa n df o r c e c o n s t a n t s ，t h eh e a tc o n d u c t i v i t ya l ld e c r e a s e ，l l e l lt h e ya r el a r g e e n o u g h ，t h et h e r m a lc o n d u c t i v i t yw i l lt e n dt oz e r o o t h e r w i s e ，t h e t h e r m a lc o n d u c t i v i t yo ft h et h u e m o r s ec h a i nw i l lc o n v e r g ew h e nt h e s y s t e m i si nt h ec e r t a i ns i z e i nt h e f i g u r eo f 鬈一2 t h et h e r m a l c o n d u c t i v i t ys h o w sas l o w l yi n c r e a s i n gt r e n di nt h ew a yo fs t e p s ，a n d t e n d st ob eac e r t a i nv a l u ei nt h eh i g h f r e q u e n c yr e g i o n w ec a na r t i f i c i a l l ya d j u s tt h et r a n s m i s s i o ns p e c t r u mb yc h a n g i n gt h e o n - s i t ep o t e n t i a l ，t h er a t i oo fm a s s e sa n df o r c ec o n s t a n t s ，b l o c k i n go u t t h ec e r t a i nf r e q u e n c i e sw i t h i nt h ef r e q u e n c i e so fw a v e s ，a n dt h e nf i n d o u tt h ep h o n o ns t a t e sw en e e d i tc a nb eu s e dt op r o d u c et h eb a n dh i n d e r w a v ef i l t e ra n dt h ef r e q u e n c y c h o o s i n gc o m p o n e n t k e yw o r d s ：t h ef i b o n a c c ic h a i n ，h e a tt r a n s f e r , t h et r a n s m i s s i o n c o e f f i c i e n t ，h e a tc o n d u c t i o n ，g ou pi nt h ew a yo fs t e p s i i i 中南大学硕士学位论文 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i 目录i v 第一章绪论1 1 1 微尺度传热学1 1 1 1 微尺度传热学的研究内容1 1 1 2 微尺度传热学的研究动态；2 1 2 宏观系统热传导的基本定律傅里叶热传导定律3 1 3 一维系统的热传导5 1 4 热传导问题的研究现状7 1 5 内容安排8 第二章准周期模型介绍和计算方法9 2 1 准晶9 2 2 准周期模型介绍1 0 2 2 1f i b o n a c e i 准周期序列的迭代生成法1 0 2 2 2f i b o n a c e i 序列的应用1 1 2 2 3f i b o n a c c i 类准周期序列的迭代生成法1 2 2 2 4 广义f i b o n a c c i 准周期序列1 2 2 2 5p e r i o d d o u b l i n g 序列1 3 2 2 6t h u e m o r s e 序列1 3 2 3 计算方法1 4 第三章一维f i b o n a c c i 链的热传导1 6 3 1 一维f i b o n a c c i 链的透射谱1 6 3 1 1 格点势对一维f i b o n a c c i 链透射系数的影响1 6 3 1 2 原子质量比对一维f i b o n a c c i 链透射系数的影响2 0 3 1 3 力作用常数比对一维f i b o n a c c i 链透射系数的影响2 1 3 2 一维f i b o n a c e i 链的热导率2 4 3 2 1 格点势对一维f i b o n a c c i 链热导率的影响2 4 3 2 2 原子质量比对一维f i b o n a c e i 链热导率的影响2 5 3 2 3 力作用常数比对一维f i b o n a c e i 链热导率的影响2 7 3 3 本章小结2 8 i v 中南大学硕士学位论文 目录 第四章一维p e r i o d d o u b l i n g 链的热传导3 0 4 1 一维p e r i o d d o u b l i n g 链的透射谱一3 0 4 1 1 格点势对一维p e r i o d d o u b l i n g 链透射系数的影响3 0 4 1 2 原子质量比对一维p e r i o d d o u b l i n g 链透射系数的影响3 2 4 1 3 力作用常数比对一维p e r i o d d o u b l i n g 链透射系数的影响3 3 4 2 一维p e r i o d d o u b l i n g 链的热导率3 5 4 2 1 格点势对一维p e r i o d - d o u b l i n g 链的热导率的影响3 5 4 2 2 原子质量比对一维p e r i o d d o u b l i n g 链热导率的影响3 6 4 2 3 力作用常数比对一维p e r i o d d o u b l i n g 链热导率的影响3 6 4 3 本章小结3 7 第五章一维t h u e m o r s e 链的热传导3 9 5 1 一维t h u e m o r s e 链的透射谱3 9 5 1 1 格点势对一维t h u e m o r s e 链透射谱的影响3 9 5 1 2 原子质量比对一维t h u e m o r s e 链透射谱的影响4 1 5 1 3 力作用常数比对一维t h u e m o r s e 链透射谱的影响4 2 5 2 一维t h u e m o r s e 链的热导率4 3 5 2 1 格点势对一维t h u e m o r s e 链热导率的影响4 3 5 2 2 原子质量比对一维t h u e m o r s e 链热导率的影响4 4 5 2 3 力作用常数比对一维t h u e m o r s e 链热导率的影响4 4 5 - 3 本章小结4 5 第六章结论与展望4 6 参考文献4 8 致谢5 3 攻读学位期间主要的研究成果5 4 v 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 微尺度传热学 第一章绪论 目前，微米、纳米科学已经成为当前最受关注的热门学科之一，2 1 世纪世 界经济的基石将在很大程度上建立在微小器件的基础之上，而微细尺度传热学 正是微尺度科学中最新和重要的学科分支之一它具有广阔的工程应用背景， 并备受众多领域专家的关注微细尺度传热学是交叉于热科学( 如热物理、热力 学、流体力学、热测试技术等) 、物理( 凝聚态物理、介观物理等) 、电子( 计算 机、微电子、微纳电子机械系统等) 、器件、机械( 微加工等) 、材料( 新材料 制备、测量、热评价) 、化工( 微流体、微反应) 、生物医学工程( 微泵、微传感 器、微医疗仪器等) 、仪表、生物信息与控制( 生物芯片、培养皿) 等诸多领域的 一个新成长点【1 1 1 1 1 微尺度传热学的研究内容 ( 1 ) 对流换热微细结构表面及微槽管和微孔隙多孔材料中的流动和有 无相变时的传热传质；薄液膜流动单相与蒸发传热传质及稳定性的研究；相变 过程界面传输特性与两相流、相间分布特性的微细研究；微尺度换热与微加热 器、微型热管、超高紧凑换热器等的应用基础研究与技术开发 ( 2 ) 热传导介电材料薄膜内的热传导；金属薄膜内的导热与膜厚度的关系； 边界电子散射的影响；超导材料薄膜导热率与材料种类、膜厚、温度的关系； 特殊介质，包括生物体与细胞组织结构的导热研究；时间微尺度热过程中的能 量传递规律，热波传播理论与应用的研究，小至朋2 点接触时热电传输的微尺 寸效应【2 1 ( 3 ) 热辐射辐射性质与微尺度的关系，几何光学区、电磁微尺度区、电子 传输微尺度区、量子尺寸区的辐射特性，微尺度辐射与传统几何光学区辐射的 偏离；薄膜、微槽表面的热辐射特性及其制造过程中的热控制；微多孔材料内 的辐射热传输【3 l 。 ( 4 ) 相变传热壁面上蒸发液滴内部的微对流现象；液体表面蒸发与凝结分 子动力学；生物材料的微冷冻过程 ( 5 ) 微重力传热传质微、零重力环境下的流动与对流换热，微、零重力环 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 境下相变( 沸腾、凝结和熔化、凝固) 换热机理；微、零重力环境下传热传质的地 面模拟实验方法与实验技术i 钔 1 1 2 微尺度传热学的研究动态 早期的微细尺度传热学研究主要集中在微细尺度导热问题上，之后则扩展到 微细尺度热辐射、微细尺度对流换热和微细尺度相变传热问题的研究。2 0 世纪 6 0 年代后期，热物理学家开始注意到工程器件中的一系列传热问题存在尺度效 应，发现微尺度下导热率依赖于材料的厚度。到了8 0 年代后期，随着新型工程 实际应用的日新月异，出现了许多传统传热学难以解决甚至完全矛盾的问题。正 是这些理论与实验观察上的矛盾促成了微尺度传热学的发展，目前已经覆盖了范 围广阔的多个领域，如固液薄膜、半导体器件、生物芯片、光学器件、芯片冷却 装置、微电子机械系统、生物芯片、微传感器、激光加工、热医学工程等，蕴涵 了许多极具挑战性的课题1 5 1 。 从2 0 世纪8 0 年代开始，美国就进行了微细尺度传热学的探索性研究，并很 快得到了学术界和企业界的广泛重视和支持。进入了2 0 世纪9 0 年代后，有关微 传热研究的论文发表数量明显上升。1 9 9 3 年7 月在日本召开的“分子与微尺度 传输现象”日美联合研讨会上，众多学者都认为，2 0 世纪最后1 0 年可能会是微 米和毫微米尺度热传输现象取得突破性进展的关键时刻，而这一突破将对2 1 世 纪初高新技术的发展起到极大的推动作用。日本的微传热研究重点是应用，其微 型热管的产生已形成规模。 在我国，自1 9 9 2 年以来，围绕着微细尺度传热学的研究，国家自然科学基 金和其他各类基金先后资助了多孔介质流动传热、微型槽道内的传热、微型热管、 微型毛细泵环、微重力下的流动传热、高集成度电子设备高热流强度散热技术、 微电子机械系统( m e m s ) 内部的流动和传热等多项研究在对外协作和国际交流 方面，从2 0 世纪9 0 年代至今，我国学者先后与美国、英国、法国和德国等国家 的不少大学和研究机构联系并进行了不少富有成效的合作，取得了突破性进展【6 1 到目前为止，我国学者通过对不同领域涉及到的微细尺度传热学问题从机理研 究、实验研究和数值模拟等三个方面进行了探索和研究，已经取得了许多富有重 大理论价值的研究成果。宜益民等通过在液体中添加纳米级金属或金属氧化物粒 子获得了纳米流体，并对纳米流体的悬浮稳定性和均匀性进行了研究，发现悬浮 液具有较高的分散性、稳定性。给出了纳米流体导热系数的理论分析方法，并运 用瞬态热线方法测定了不同种类、不同体积份额配比的纳米流体的导热系数，分 析了纳米粒子属性、份额、形状和尺度等因素对纳米流体导热系数的影响。姜培 学等m 对微尺度换热产生的背景、研究现状及存在的问题进行了综述，对在微小 2 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 槽道内流体的流动和传热与常规尺度下的差异的原因和机理进行了分析，发现有 些用气体所做的实验研究，很有可能是处于有速度滑移和温度跳跃的滑流区速 度滑移和温度跳跃致使阻力系数减小、传热减弱余隽等1 8 从理论建模、实验测 试和计算机模拟三个方面总结了近年来微尺度薄膜热物性的研究进展王补宜等 1 9 1 1 0 l 对甲醇沿刻有矩形微槽表面的半板流动沸腾特性进行了实验研究，获得了单 相对流直到临界沸腾的特性曲线，分析了流速、过冷度和微槽结构对传热特性、 沸腾状态以及临界热负荷的影响。 现在，微流体器件和传热器件的商业化进程正处于发展初期，目前可得到的 仅有少数有限的器件。但是，微尺度器件体积和重量的减少正在促成一些新的工 程应用，其有可能或者已经开辟了新的市场，并为有关基础探索提供崭新的研究 手段，可以说，未来世界经济的基石在很大程度上将建立在这些微小器件上【1 1 】。 现在人们已认识到，当物体尺度和瞬态作用时间小于一定数值时，传统的热和流 体理论将不再适宜于描述所观测到的现象。微尺度器件的应用正处于积极的探 索之中，系统也会变得越来越复杂，因而人们对微尺度下的基本传热和流动过程 中的理论和实验技术以及相应的微热器件制造方法的需求也就与日俱增0 2 。与 基础研究并列的是需要获得更好的设计工具，以使微流体及热系统的完整模拟成 为可行。这类系统应包括设计和过程建模以及对器件流体力学、热行为、结构变 形及其性能等的数值模拟。现在，在微尺度热科学的理论与计算研究方面，人们 已提出了一系列有效的方法，它们包括从量子分子动力学到连续介质模型的各种 方法，而在实验技术方面，一些特殊测量方法的空间、时间或能量的分辨率极限 正被逐渐打破，新方法也层出不穷，这些进展使得纳米尺度下的传热传质问题研 究正成为可能【1 3 1 。另一方面，从微观粒子，如电子、光子、声子、原子及分子 等运动的角度理解传热科学中的宏观现象，如温度、压力和应力、热和流体流动 等，对于更好地认识这些现象具有非常重要的意义。 现在，纳米尺度传热学正在蓬勃发展，其研究的范畴也正得到不断的扩展， 在生命科学方面的作为也初见端倪。并且，我们相信，最振奋人心的领域将出现 在各种器件、计算及试验的交叉层面上。 1 2 宏观系统热传导的基本定律傅里叶热传导定律 传热是由于温差而引起的能量的转移。不论何时，只要一个介质之中或是两 个介质之间存在温差，就一定有传热发生。当在静态介质中存在着温度梯度时， 不论这介质是固体还是流体，在这介质中都会有传热发生，这种传热过程称之为 热传导。与此相反，当一个表面和一种运动流体处于不同温度时，它们之间发生 的传热称为热对流。第三种传热模式称为热辐射。所有具有一定温度的表面都以 3 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 电磁波的形式发射能量，因此，如果这些表面之问没有参与传热的介质，那么在 两个不同温度表面之间只依靠辐射进行热的净交换【1 4 j 。而传导这种传热模式是 依靠原子和分子活动这一级的运动形式来维持的。导热可以看作是由于质点间的 相互作用，即物质中能量较高的质点向能量较低的质点传输能量的过程。对于传 热过程，有可能用适当的能量传输速率方程来进行定量计算。这些方程可以计算 在单位时间内传输了多少能量。对于热传导，能量传输速率方程就是傅立叶定律 。 如图1 1 所示的一维平板，其面积为么，厚度为缸。使其一侧的温度保持 在互，另一侧保持在正，整个表面上温度均一。以g 表示通过平板的热流量( 即单 位时间内通过的能量) ，忽略边缘效应实验表明，热流量与面积彳和温度差 ( 7 ；一正) 成正比，而与厚度缸成反比。确定了系数r ，可将这一比例写成等式。 即： g ：捌警( 1 - 1 ) 1 缸 比例系数石称为平板物质的热导率( 或称导热系数) 。 图1 - 1 平板传热示意图 对于各向同性的均匀固体，且具有给定的边界温度，如图1 2 所示。此时，在s 面上选一点尸，在该面上可画出包含p 点、面积为倒的薄片，薄片在s 面尸点法线 方向上的厚度为锄若薄片前后两面的温度差为卯，所选的刮非常小，使得卵在 该面积上实际是均一的，则根据式( 1 1 ) 通过该薄片的热流量国为： 图1 - 2 各向同性的均匀固体传热 4 中南大学硕士学位论文第一章绪论 8 q ：一蒯坚 a n ( 1 - 2 ) 习惯上当6 丁沿法线n 的正方向为负时，取热流方向为正，故公式中出现负号。 列出比例式国翻，并使面积翩一o ，便得到p 点通过厚度j n 的热流密度( 或称 热通量v 的公式： ，：一r d t d n ( 1 3 ) 这就是傅立叶定律。它表明，通过块面积的热流密度( 每单位时间内通过单位 面积的能量) ，与该面积垂直方向上的温度梯度成正比，方向是沿着等温面法线且 指向温度降低的方向。 傅立叶定律又称导热基本定律，它揭示了导热量与温度分布不均匀性之间的 联系，对于稳态温度场和非稳态温度场都适用。 1 3 一维系统的热传导 假设现在有一个包含个原子的一维原子链，我们可以将原子标记为 n = 1 , 2 ，n 。假设原子等问距分布，间距为口。如图1 3 所示。 图1 - 3 一维链模型 我们用鼍表示链上第i 个粒子偏离平衡位置的位移，则系统的哈密顿一般可 表示为： 日= 军睁) c 其中，聊，是第i 个粒子的质量，是第i 个粒子的动量。y 是近邻粒子间的相互 作用势，而u 是外场的作用势( o h s i t ep o t e n t i a l ) ，又叫格点势或在位势【1 6 】1 1 7 】。 一般假设一维链具有固定的边界条件，即第0 个和第n + 1 个粒子始终保持 固定不动。则这两个粒子的运动方程为： 5 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 x o = h “5 0 那么，除了首尾粒子外，其它粒子的运动方程为： 鸭薯= z ，i = 2 3 ，n 一1 ，( 1 - 5 ) 这里，z 是第，个粒子受到的力，它由相互作用势决定，且z = 一( y + u ) 。而对 于链的两端，也就是第1 个和第个粒子与热源有相互作用，由于热源的选择 不会有影响，所以在这里，我们可以选择n o s e h o o v e r 热源1 1 8 1 1 1 9 1 ，假设左右端 热源的温度分别是瓦和瓦，且瓦 最，则两端第1 个和第n 个粒子的运动方程 为： ，l l 墨= 一缸，l i 毫+ 石 m x n = 一靠m ，文+ 厶( 1 - 6 ) 在这里，f 和靠是热力学摩擦系数，它们满足方程【2 0 1 彘= 甍屯幺= 鲁。 ( 1 - 7 ) 对于微观的一维系统，在定义温度和热流的时候，与宏观系统中对它们的定义是 不一样的。一般来说，在链上第f 个粒子的温度定义为： z = m i ，( 1 - 8 ) 同样的，流过第i 吟- 粒子的热流定义为 以= i 1 ， ( 1 9 ) 而由连续性方程，也可推得： 3 j ( t ) = 叫e 其中，f ，是右边粒子对第f 个粒子的作用力。口是一维链的原子间距。并且，其 对时间求平均后，即j - - ，在时间足够长时，与f 无关。 而对于热导率的计算，则可以利用傅立叶定律求出热导率茁： 肛一方( 1 - 1 0 ) ，赦 这样，我们就可以先计算出热流，从而进一步计算出热导率r 。由此可见，对于 任意的一维系统，只要知道粒子间的相互作用势，以及外场的作用势( o n s i t e p o t e n t i a l ) 的形式，就可以通过解以下这个方程组来求出系统的温度分布、热流以 及热导率等。 6 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 x o 2 h + l50 ，伤葛= 一彘嬲毫+ 石 m j f ! f = z ，i = 2 , 3 3 ，n 一1 m n x n = 一g r m n 文n + ，n 彘2 麓一 靠2 镜一t ( 1 1 1 ) 而这是一组二阶微分方程，采用8 阶r u n g e - k u t t a 算法来进行求解比传统的4 阶 r u n g e k u t t a 算法更精确。 1 4 热传导问题的研究现状 早在1 9 世纪初的时候，人们已经认识到了地球内部存在温度梯度，为了解 释与之相关的一些物理现象，傅立叶于1 8 0 8 年提出了傅立叶热传导定律1 2 3 】。自 此之后，对该定律微观机制的研究引起了人们广泛的兴趣。现在，人们已经可以 利用分子动力学方法研究数以万计的粒子组成的体系的动力学行为了，对一维体 系热传导性质的研究再次引起了人们极大的关注。 事实上，一维体系热传导的很多性质是在数值模拟中发现的。对谐振子晶格 链和单原子t 0 d a 链的研究结果表明，体系中不能形成温度梯度，体系的热导率 在热力学极限下趋于无穷大1 2 4 1 1 2 5 1 。19 8 4 年，g g i a r d i n 等人研究了d i n g a d i n g 模型【2 们，第一次数值的证明了傅立叶热传导定律在一维体系中成立，他们认为 混沌在其中扮演了一个重要的角色。后来，在对d i n g d o n g 模型的研究中人们也 得到了相类似的结论t 2 7 1 。1 9 9 7 年，s l e p r i 等人通过在f e r m i p a s t a - u l a m ( f p u ) 链的两端各连接上一个n o o s 6 一h o o v e r 热浴【2 7 1 ，他们发现体系中形成了线性的温 度分布，但体系的热导率石与粒子数存在幂指数关系茁o cn 口，且口0 5 0 。 此后，在对双原子t o d a 链1 2 8 】、琼斯流体模型1 2 9 1 1 3 0 1 、一维槽( c h a n n e l ) 模型1 3 1 1 、 碳一纳米管【3 2 l 等的研究也发现了这种幂指数关系，现在称为反常的热传导现象。 另一方面，研究表明，f r e n k e l k o n t o r o v a ( f k ) 模型【3 3 】【圳，矽4 链1 3 5 3 6 j 等具有格点 势( o n - s i t ep o t e n t i a l ) 的一维品格体系的热传导行为服从傅立叶热传导定律。因 此，对于傅立叶热传导定律在一维体系中成立的充分和必要条件的研究引起了人 们极大的兴趣。2 0 0 1 年，h b a m b i 等人通过对比研究f p u d 链和4 链的热传导 性质，他们认为非可积性是体系中形成温度梯度的必要条件，但不是傅立叶热传 导定律在一维体系中成立的充要条件1 3 7 1 。2 0 0 2 年，o n a r a y a n 等人通过运用重 整化群理论分析了一维流体的输运方程，证明了一维体系中反常的热传导现象存 7 中南大学硕士学位论文第一章绪论 在的合理性，并且得到了口= 0 3 3 的指数值，他们认为该指数值对动量守恒的一 维体系是普适的1 3 3 1 i 3 9 1 。然而，在对其它的一维体系模型的研究中人们还发现了 一些不同的指数值【4 0 l 。直到今天，人们对一维体系中的热传导性质的认识还很 不完善，还需要开展大量的理论研究和实验工作。 1 5 内容安排 第一章主要讲热传导方面的基础知识以及研究现状，第二章主要介绍本文计 算的几种准周期模型，同时，以一维f i b o n a c c i 链为例，重点介绍了计算声子透 射系数和热导率的方法。第三章主要计算一维f i b o n a c c i 链的热传导性质，并重 点讨论格点势、原子质量比、力作用常数比以及格点势无序和力作用常数无序对 声子透射系数、热导率的影响。在研究热导率时，讨论了热导率与体系大小和声 子频率平方的关系，并模拟计算了热导率与系统大小的指数关系。第四章、第五 章计算了其它准周期链( 维p e r i o d d o u b l i n g 链和一维t h u e - m o r s e 链) 的透射 系数和热导率，并考虑格点势、原子质量比、力作用常数比对它们的影响。 8 中南大学硕士学位论文 第二章准周期模型介绍和计算方法 2 1 准晶 第二章准周期模型介绍和计算方法 传统的晶体学认为，自然界的固态物质不是晶体就是非晶体，二者必居其 一。在非晶体中，原子( 或原子团) 的排列具有短程序，而无长程序。在晶体中， 原子( 或原子团) 在三维空间按一定的几何方式作规则的周期性重复排列，即晶 体具有周期的长程平移序。正是这种周期的长程平移序的限制，晶体仅有2 ，3 ， 4 ，6 次旋转对称轴，而不具有5 次或6 次以上的旋转对称轴。晶体的衍射给出 周期排列的布拉格衍射峰，峰的分布取决于晶体的对称性，而峰的强度则与晶 体的长程序有关。非晶体的衍射仅给出一系列弥漫的衍射斑。 在1 9 8 4 年年底，美国国家标准局谢其曼( d s h e c h t m a n ) 等人报道【4 ，他们 在极冷的a i m n 合金中观察到一种新的合金相，这个相呈现出敏锐的布喇格衍 射峰，衍射花样不仅有2 次、3 次旋转对称轴，而且具有5 次旋转对称轴，各 衍射峰并不呈周期性排列，而满足黄金分割厂的比例关系( 厂= 5 + l 2 ) 。此物 体既不是晶体，也不是非晶体，而是介于这两者之间的准晶体。 准晶的发现被认为是近几十年来凝聚态物理领域的一项重大突破，它彻底 地改变了固体物理学家传统的“固体物质只能以晶体或者非晶体的物质形式存 在的观念，完善和深化了人们对晶体学、衍射物理和凝聚态物理的认识，触发 了相应的物理学工作者和数学工作者的研究热潮，并由此产生了一个新的物理 学领域一准晶物理学。 就结构而言，准晶是一种构造单元( 离子、原子、分子或者其基团构成的超 晶胞) 的位置不具有周期性，但受长程关联制约而具有唯一确定的长程准周期平 移序和长程指向序列。其构造单元的位置结构具有以下特点： ( 1 ) 准周期密度函数。结构上的准周期平移序导致了准晶的( 质量) 密度函 数是一个准周期函数； ( 2 ) 星矢的任意取向序。相邻原子或者构造单元的键角具有长程相关性， 这种取向序由一组矢量( 称为星矢) 来表示。由于准晶的平移序是非周期的，对 取向序没有严格限制通常星矢可以任意选择。 就维数而言，准晶可分为三种：一维准晶、二维准晶和三维准晶。从构造 单元点阵的结构特征看，一维准晶是指一个周期平面( x l - x 2 平面) 和一条准周期 方向( x 3 方向) 链构成的超晶格。可以看成由四维空间中的一个超立方点阵结构 向三维空间投影生成；二维准晶是指一个准周期平面( x 1 x 2 平面) 和一条周期方 9 中南大学硕士学位论文第二章准周期模型介绍和计算方法 向( x 3 方向) 链构成的超晶格，可以由五维空间的一个周期超立方点阵向三维空 间投影生成；三维准晶可以由六维空间中的超立方周期点阵向三维空间投影生 成。 自从m a r l i n 等人在实验上制备了具有f i b o n a c c i 序列准周期的超晶格【4 2 1 之 后，介于周期结构和无序系统的中间结构准周期结构在近年来引起了广泛 的重视 4 3 - 5 2 j 准周期函数f o u r i e r 交换是一些狄拉克函数。通过调节结构函数 参数，可以获得天然材料所没有的新功能和性质。上一世纪9 0 年代以前，研究 工作大多集中于周期性结构。随着准晶概念( 有严格位置而不具有周期平移对 称性，具有准周期长程平移序和长程取向序的固体结构形态) 的提出和材料的制 各，近年来准晶体和准周期材料越来越受到研究者的青睐，常见的一维准周期 系统有f i b o n a c c i 系统、广义f i b o n a c c i 系统、t h u e m o r s e 系统和p e r i o d d o u b l i n g 系统1 5 3 1 1 5 4 l f 5 5 jo 2 2 准周期模型介绍 f i b o n a c c i 序列最早是由意大利数学家f i b o n a c c i 在十三世纪提出的一种有 趣的数学模型一他用兔子的理想繁衍过程模拟了这一序列的产生【5 6 l ，该方法就 是现在众所周知的所谓f i b o n a c c i 准周期序列的迭代生成法。下面首先介绍该 生成法则。 2 2 。1f i b o n a c c i 准周期序列的迭代生成法 f i b o n a c c i 在迭代生成法中假定所有成兔a ( a d u l t ) 永远不死，并在下一代稳 定地产生一个子兔b ( b a b y ) ；同时，所有子兔b 在下一代也将顺利地成长为成 兔彳，即 彳一a b ，bj a ( 2 一1 ) 公式( 2 1 ) 耳i i 为f i b o n a c c i 准周期序列的迭代生成法则。 若给定初始值( 例如定义为第0 代) ，则该序列的任意一代的任何位置的构 造单元都是唯一确定的，且其排列规则具有准周期性。以下是初始值为b 时，