（应用数学专业论文）偏微分方程的无网格区域分解方法.pdf

摘要 y7 6 9 5 6 9 在这篇论文中我们将结合径向基无网格方法和不重叠区域分解方法求解二阶椭圆型偏 微分方程传统的不重叠区域分解方法主要有d i r i c h l e t n e u m a n n 方法，n e u m a n n n e u m a n n 方法，r o b i n 方法等。径向基无网格方法则包括配置法和g a l e r k i n 方法，配置法在数值计算 上比g a l e r k i n 方法好，但其理论基础却不完善，比如配置矩阵的可逆性等。g a l e r k i n 方法最 大的问题是本质边界条件的处理，而d i r i c h l e t n e u m a n n 区域分解后必然有d i r i c h l e t 问题的 求解，本文采用c a i 等提出的罚方法处理d i r i c h l e t 问题，同时我们也将讨论利用l a g r a n g e 乘子处理d i r c h l e t 问题。通过对无冈格d i r i c h l e t n e u m a 2 m 区域分解方法和r e b i n 方法的分 析，我们发现在径向基无网格方法下，d i r i c h l e t n e u m a n n 迭代的收敛阶依赖于密度h ，并 且每一步所求解的线性方程组的条件数都很大，这些都会影响加速参数的选取于是我们 就考虑是否有不需迭代，对h e l m h o t z 方程的n e u m a n n 问题作分解后不会出现本质边界条 件，并且有收敛阶估计的区域分解方法，在这种要求下，我们将讨论无网格投影区域分解 方法，这种方法危从另一个角度解释有限元或谱配置情况下的投影区域分解方法本文的 主要内容包括： 1 用l a g r a n g e 乘子法和边界罚的方法处理d i r i c h l e t 问题和混合问题，我们将给出收 敛性分析和数值例子来说明该方法的有效性。 2 配置法的讨论，主要是给出配置矩阵的条件数的理论估计，从理论估计可以看出该 方法会导致条件数很大的代数方程组的求解 3 传统的不重叠区域分解方法同径向基无网格方法的结合。我们将给出分别基于配置 法和g a l e r k i n 方法的d i r i c h l e t n e u m a n n 方法的收敛性讨论和效值倒子，考虑到径向基无网 格方法在处理本质边界条件需要一定的技术处理，我们也将尝试r o b i n 方法 4 从径向基无网格方法对边界条件的需求出发，为了避免迭代和在每一步都处理本质 边界条件，我们提出了一种改进的适合径向基无网格方法的投影区域分解方法，对h e l m h o l t z 方程的n e u m a n n 问题求解时，该方法可以使每一个需要求解的问题都是n e u m a n n 问题， 从而无需用l a g r a n g e 乘子或边界罚的方法去逼近，这种方法的收敛性分析和数值例子都将 在本文给出。最后我们将对本文做一个总结并提出一些以后的工作 关键词：径向基；无网格方法；l a g r a n g e 乘子法；罚方法；g m e r k i n 方法；配置法 条件数；不重叠区域分解；投影区域分解 中图分类号：0 2 4 1 8 2 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，、w i l lc o m b i n et h em e s h l e s sm e t h o d su s i n gr a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ( r b f ) w i t h n o n o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s ( d d m ) t os o l v ee l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o a so fs e c o n do r d e r t h et r a d i t i o n a ln o n o v e r l a p p i n gd d mi n c l u d ed i r i c h l e t n e u m a n ni t e r a t i o n ， n e u m a n n n e u m a n ni t e r a t i o n r o b i ni t e r a t i o ne ta 1 t h em e s h t e s sm e t h o du s i n gr b fi n s i s to fc o l l o c a t i o nm e t h o da n dg a l e r k i nm e t h o d s ，c o m p a r e dw i t hg a l e r k i nm e t h o d ，c o l l o c a t i o nm e t h o di s h i g h e rp e r f o r m a n c ei nn u m e r i c a lc o m p u t a t i o n b u tt h et h e o r e t i c a la n a l y s i so fc o l l o c a t i o nm e t h o di s q u i t ea b s e n c e f o re x a m p l e w ec a nn o tt ob es u r et h a tt h ec o l l o c a t e dm a t r i xi si n v e r t i a b l e o nt h e o t h e rh a n d ，r b fg a l e r k i nm e t h o dc a l ln o tc a r r yo u tf o rd i r i c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( b v p ) t h e s ep r o b i e i n sw i l la r i s ef r o me i t h e rd i r i c h l e t 。n e n m a l l ni t e r a t i o no rn e u m a n n - n e u m a n ni t e r a - t i o nw ew i l lu s et h em e t h o dp r o v i d e db yc a lt od e a lw i t hi t a l s o w w i l ld i s c u s st h el a g r a n g e n m l t i p t i e r sm e t h o dt oc o n q u e ri t b a s e do nt h ea n a l y s i sf o rt h ec o m b i n a t i o no fn o n o v e r l a p p i n g d d ma n dr b fm e s h l e s sm e t h o d ，w ef i n dt h a tt h ec o n v e r g e n tr a t eo fm e s h l e s sd i r i c h l e t n e u m a n n i t e r a t i o nd r a m a t i c a l l yd e p e n do l lt h ed e n s i t yh ，w h i l et h er o b i ni t e r a t i o ni sl a c ko fi n f o r m a t i o n a b o u tt h ec o n v e r g e n tr a t e s o ，w eh o p et h a tt h e r ei ss o m ed d m ，w h i c hn e e dn o tt h ei t e r a t i o na n d d i r i c h l e tb v p ，i fw ec o n s i d e rt h eh e h n h o l t ze q u a t i o nw i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s m o r e - o v e r ，t h em e t h o ds h o u l di n c l u d et h ei n f o r m a t i o na b o u tc o n v e r g e n tr a t e f o rt h e s er e q u e s t s ，w e w i l lc o n s i d e rt h ep r o j e c t i o nd d m w h i c hw i l lb ea i la l t e r n a t i v ep e r s p e c to p p o s e dt ot h ep r o j e c t i o n d d mb a s e do ns p e c t r a lc o l l o c a t i o nm e t h o d so rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d st h en l a l nc o n t e n t so ft h i s t h e s i si n c l u d e ： 1 ，w ew i l ld e a lw i t ht h ee s s e n t i a lb v pb yl a g a r a n g em u l t i p l i e r se r r o re s t i m a t ea n dn u m e r - i c 吐e x a m p i ew i l tb eg i v e n 2 w ew i l l 舒v et h ee s t i m a t eo fc o n d i t i o nn u m b e ro ft h ec o l l o c a t i o nm e t h o d su s i n gr b f 3 ，w ew i l tc o m b i n et h en o n - o v e r l a p p i n gd d mw i t hr b fm e s h l e s sm e t h o d ，i n c l u d i n gc o l l o - c a t i o nm e t h o da n dg a l e r k i nm e t h o d t h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i sa n dn u m e r i c a le x a m p l e sw i l lb e g i v e n w ej u s tc o a s i d e rd i r i c h l e t ，n e m n a n ni t e r a t i o na n dr o b i ni t e r a t i o n 4 ，b a s e do nt h ea n a l y s i sa b o v e ，w ew i l lc o m b i n ep r o j e c t i o nd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d 3 w i t hr b fm e s h e s sm e t h a dw h i c hi ss t r o n g l ye t a i m e db e c a u s et h a tw ed on o e m h ef 把r a t i o r t d e s s e n t i a lb v p t h i sm e t h o dc a l le n s u r et h a te v e r p r o b l e mi sn e u m a n nb v pa n dt h ec o n v e r g e n t i n f o m a t i o ni so b t a i n e d i fw ec o n s i d e rt h eh e l m h o l t ze q u a t i o n sw i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d ( 一 t i o n st h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i sa n dn u m e r i c a le x a m p l e sw i l lb eg i v e n 5 a t1 8 s t w ew i l ld r a wac o n c l u s i o no ft h i st h e s i sa n da d v i s es o m ef u t u t ew o r k s k e y w o r d s ：r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ( r b f s ) ；g a i e r k i nm e t h o d s ；c o l l o c a t i o nm e t h o d s ；l n g r a n g em u l t i p l i e r s ；p e n a l t ym e t h o d s ；n o n - o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o n ；p r o j e c t i o nd o m a i n d e c o m p o s i t i o n ；m e s h l e s sm e t h o d s ；c o n d i t i o nn u m b e r c h i r l e s ec l a s s i f i c a t i o n ：0 2 4 1 8 4 引言 传统的偏微分方程的数值方法主要有有限元和有限差分方法，经过多年的发展，这些 方法都已经非常成熟，也高商忍的有限元包可以秘用。有限元方法必须预先生成网格后才 能插值求解，有限元的这一要求已经越来越成为一个必须考虑的问题，正如g r i e b e l 3 5 1 等 所说：有限元的网格预生成在整个计算中耗用的时间太大。当物理区域不规则，或者维数 较高，或者需要构造高阶元时，有限元求解就会有一定的困难。有限差分( f d m ) 需要规则 分布的节点，从而当物理区域不规则时处理起来就有困难。正是由于传统的数值方法的诸 多不便，人们便考虑是否可以有不需网格的数值方法，偏微分方程的无网格方法也就应运 而生。 偏微分方程的无网格方法是过去十多年兴起的数值方法，该方法的基本出发点是不需 要预先定义或生成网格，丽仅需在物理区域取一定的离散点集便可以进行求解正是由于 无网格方法的这个优点，对于高维问题或是区域不规则的问题我们也可以方便的求解。无 网格方法主要有采用m l s 逼近的扩散元方法，e f g 方法，局部p e t r o v - g a l e r k i n 方法，单 位分解的h - p 云图方法，边界节点方法，小波方法，再生核方法，径向基方法等在这篇 论文中我们考虑利用径向基的无网括方法，关于其他的无网格方法可以参考g r l 沁1 3 7 j 或 b e l y t s c h o 1 1 ，1 2 】，b a b u j k a 6 ，g r i e b e l 3 6 1 等。 经过s c h a b a c k ，r 6 1 一噼，w e n d l a i l d ，h ( 6 9 ，7 b u h m u n n 2 0 ，2 1 】，z w u l 8 2 ，s i t ，n a r c o w i c h l 4 9 - 5 1 j 等的不断发展和完善，径向函数插值理论已经比较完善，并成为多元逼近理论中一个强有 力的工具，特别是对收敛性分析至关重要的s o b o i e v 类型的误差估计，径向基的无网格方 法主要有二种形式：配置法( 强形式) ，g a l e r k i n 方法( 弱形式) 配置法在工程上已经有 广泛的应用，例如k a n s a 3 0 ，6 6 l ：f a u s s e a r 2 s ，2 9 l 等从计算效果看配置法是很好的，但是这 种方法的理论分析比较少，f r a n k e ，c 等在( 3 2 ，3 3 】中给出了该方法的误差估计这种方法的 主要问题是：配置矩阵是否可逆2 在y c h o n l 7 9 1 的一篇文章中举出了反锐说明在某些情况 下配置矩阵是不可逆的另一个问题是计算表明配置矩阵的条件数很大，在一系列的文章 中都有对这种方法的条件数比较大的说明，k u n s a 等在 4 6 1 中考虑如何避开条件效过高的 问题，条件数同同配置点数目的关系到底如何? 关于径向基g a l e r k i n 方法的讨论也很少， w e n d l a a d ，h 在【7 1 j 中给出了n e u m a n n 问题的误差估计，蔡志杰等在1 8 0 j 中考虑用r o b i n 问题去逼近d i r i c h l e t 问题，这种方法实际就是有限元的边界罚方法考虑到径向基无网格 方法的条件数过高，当物理区域比较太的时候，效值计算可能就会遇到问题，所以当区域较 7 大时，很自然的我们就会想是否可以把原始区域分解为若干个小的区域求廨，一方面希望 每次都求解一个合适的问题，另方面可以并行求解这方面的工作有yc h o n 4 2 ， t s 】基 于配置法的区域分解方法等。 区域分解方法最早是由s c h w a r z 提出，从上世纪八十年代开始伴随着计算机技术的发展 而受到广泛关注的数值求解偏微分方程的一种方法，其主要的特点是将原始区域分解为若 干个子区域或者将原来的区域放大为规则区域求解，很明显这都是由于有限元或谱方法或 有限差分方法都要求求解区域比较规则，这样才能方便求解，当然另一个主要原因就是可以 并行计算。经过几十年的发展区域分解方法同有限元的结合已经比较成熟，主要有d i r i c h l e t n e u m a n n 方法，n e u m a n n n e u m a n n 方法，r o b i n 方法，基于最优化的r o b i n 方法，m o r t a r 方法，f b t i 方法，s c h w a r z 方法，虚构区域方法等正如前面所讲，无网格方法就不受区 域形状的限制，但为了并行求解，另一方面也希望通过区域分解可以将问题变小，无网格方 法同区域分解方法的结合便很自然地浮出水面，由于这个问题还没人研究，至少对无网格 g a l e r k i n 方法如此，所以我们希望：首先可以这样计算，或者发现一种适合无网格g a l e r k i n 方法的区域分解格式，其次这样做是否可以降低条件数。本文的工作便是围绕这些问题展 开，文章的安排如下： 第一章为预备知识，介绍s o b o l e v 空间的相关知识，求解代数方程组的g m r e s 方法， 径向基函数插值理论，g a u s s l e g e n d r e 数值求积方法等 第二章为径向基无两格方法，包括配置法介绍和配置矩阵条件数估计，采用l a g r a n g e 乘子法和罚方法处理d i r i c h l e t 问题和混合问题的无网格g a l e r k i n 方法的收敛性分析和数值 例子，p a c h a r d s o n 外推技术。 第三章为无网格不重叠区域分解方法，包括不重叠区域分解方法介绍，强形式的无网格 d i r i c h i e t n e u m u n n 区域分解方法。弱形式的无网格d i r i c h l e t n e u m a n n 区域分解方法，r o b i n 区域分解方法等方法的收敛性分析和数值例子 第四章为无网格投影区域分解方法，讨论h e l m h o l t z 方程的n e u m a n n 问题的投影区域 分解方法，从另外一个角度去看原来的基于有限元或谱配置的投影区域分解方法，提出适 合径向基无网格方法的授影区域分解方法，并对该方法的收敛性作了分析，也给出了数值 例子 第五章为结论及闯题分析，说明径向基无网格方法和无网格区域分解方法还有待解决 的问题和以后的工作 8 第一章预备知识 1 ，ls o b o l e v 空间 在本文中，我们将常常用到标准的s o b o l e v 空间 i l h 5 ( q ) ，8 ( 御) ，其中s 为非负整 数，范数定义为： 刍邶) = 桫u 慨n ) 2 邵2 ) = j “f 2 d x 矗 若s = + t ，0 t d 2 则存在常数h o 0 使得对任意的密度满足h o ，叼晒7 ， ( 2 1 ) ，为上2 ( n ) 中的给定 进步假设由算子c ，b 所诱导的双线性型为强制和连续的s o b o l e v 空间护( q ) ，h 。( a 为标准定义 1 1 范数分另h 记为”m ”k 瓤1 1 3 给定密度为1 7 的拟一致中心点集xc i 和径向基函数曲( ，) ，我们可以定义有限维子 空间：l ich 1 ( n ) 、 k = s p ( n ( 庐( _ 一_ y | | ) 。y q ) a t = s p ( 1 n f ( 驴( f ，+ 一z | | ) m j p q 设“= a 。驴( 忙一扎| | ) i 配置格式为： c “一1 j = “一。1 1f n 2 ) 1 飙( 。沪小，j i 规 怛2 j 4 = c 妒( 旧，一m ，) ，压曲( i h 。一。a i i ) 1 r = 1 4 l ，4 2 由上二面的格式得线性方程组 a 天= 旷引 2 1 3 条件数 对有限维空间a ，我们有下面的逆估计： 定理2 1 对v9 a 下面的不等式成立 1 1 , 1 1 c h 。洳i 1 1 9 1 1 小n 1 其中e 是一个同密度h 无关的常数 设口2 o ( 1 1 r 一：r 。j ) a ，、利用 7 3 中的技巧，我们有 飘) c h “2 “2 2 w ) m 刊1m p 慨忖z 删。：、l l 工, l l z 州沁) ( m h j 3 “i 1 1 1 1 m f l 所以 i i 口lj h - ( ) 兰c h 一2 一 c 。+ i 。f m j 注2 1 对空间仍然有上面的逆不等式，但有一点点改变 i 9 1 1 h - 【52 1 c t f 一一 i i f | | h 。( 52 ) v 9 注2 , 2 对m u l t , i q u a d r i c s 上面的估计是 9 | | h ，( 2 ) c h 一“+ ( ? ( ) ”| j 口f h ”( 口i ) 其中g f ( ) 的表达形式见挎1 6 2 】 为了得到条件数的估计，我们作如下假设： ( ，) v “，i l 忙u ( a j ) f = 0 。i n ，i l t e r ti c 。, 1 1 心= 0 z 1 1 8 7 ( 。j ) l = 0 3 ，扫s 2 t h e 【1 8 “| | l 。( 机2 ) = 0 注2 , 3 ，根据l a a l d a u 在 4 5 中对样本密度的必要条件的讨论，满足假设( h ) 的空间是 厂2 ，i p p ) 叫f 2 3 1 其中，是函数，。的f o t - r i e r 变换不幸的是一般的径向基函数张成的空阳并不满足上面的 性羼但这并不影响我们的讨论从另一方面来看我们也可直接假殴配置矩阵是可逆的， 因为实际上总是这样的。 在这个假设下，我们有下面的定理： 定理2 2 如果假设r 驯满足，则矩阵_ 是可逆的其条件数( = v d ( 4 ) 由下面的估计 常数c 依赖于西，q c ，3 p r o o f 为简单起见，记g 为不依赖于密度 的常数，但在不同的地方可能不同。g 依赖于 区域l ! ，基函数。和算子c b v0 天r , v ；r a t4 天= 天。1 a j l a l 工+ 工7 _ ；4 2 天 = i i “& ：) 1 1 2 + 1 1 8 矗j ) 1 1 2 其中= 。西( 忙一x i 】i ) ( 1 ) 如果i i c “( z * ) i | = 0 ，i i 舀n ( 瓢) = 0 ，利用假设( h ) ，我们有 c ? ，= 0 ：8 n = 0 这就意味着n = 0 于是天= o ，1 、 、。， 工7 ，1 y , f f = l i c “i “) 1 12 + | | 8 u & j ) 1 1 2 之g “| j c t i 。) 十h 一 1 怕- 1 1 2 l 2 ( 、 其中雪( 2 岳) = 8 n ( 。r k ) z a q 、换句话说，i 足g u 在a q 上的插值。利用椭圆问题的先验 估计【3 8 】，我们有 工1 7 1 工g h 一“f c “| i 。f l ! ) + c h 一4 + 1 h 2 1 + 3 d3 | | | | 斋。f 。e2 a f l 2 l + 2 d 2 ( 钏、+ 怜t ) ( t h 2 “2 c h “。2 2 另一方面 p 4 7 ，4 工c 。h 。1 1 天1 1 2 其中c i = s u p 一 1 c 妒( 1 1 z 一f f ) i 1 尽o ( 1 1 。一u 1 1 ) l 因此 ts c o , t d ( a ) c h “h 1 e 依赖于n ，9 c ，8 和嵌入常数 注2 4 如果离散中心集合是以密度h 拟一致分布的，则h 一8 一n 其中n 是离散中 心集合的测度 2 2 g a l e r k i n 方法 2 2 1 介绍 村用径f 句基g a | l e r k i n 方法求解偏微分方程的文章极少，w e n d l a n d ，h 在f 7 l 】中讨 论了h e l m h o l t z 方程的n e u m a n n 问题的利用径自基无网格方法的误差分析剃用径向基 的g a l e r k i n 方法的最大问题是本质边界条件的处理，因为由径向基函数张成的有限维空间 一般都不能满足d i r i c h l e t 边界条件，对于齐次d i r i c h l e t 问题，如果考虑用c s - r b f 做基， 强行令其在边界上为0 ，这样的数值结果是不好的，z h j c a i 等在 8 0 】中考虑用第三类边 值问题去逼近d i r i c h l e t 问题，这种方法实际上就是有限元中的边界罚方法，这样处理之后 1 酶数值结果还是比较好的本节我们用l a g r n g e 乘子法来处理本质边界条件 l a g r a n g e 乘予法，首先由b a b u k a 在f 4 】中给出，后来由p i t k i x a n t a i 5 4 ，5 5 ，5 6 】，b a r b o s a 【7 ，8 】，b r e z z i 1 9 ，s t e n b e r g 【6 7 】等作了系统的研究。这种方法是提出来处理本质边界条件的 在有限元中，如果有限元空间满足i 呼s u p 条件，则这种方法有最优收敛速度正如前面所 讲，径向基无网格g a l e r k i n 方法的困难便在于本质边界条件的处理，所以l a g r a n g e 乘子 法或许可以癣决这个问题 2 2 2l a g r a n g e 乘子法 考虑模型问题t = ：三 t ， 其中n 是d 一维有界区域，有光滑边界蕊2 ，单位外法向量记为n ，f 是l 2 ( q ) 中的给定函 数， 1 7 其中q 足d 一维有界区域，有光滑边界8 - q 单位外法向量记为m ，足一2 ( n ) 中的给定函 数， u = 一a ? + t 算子诱导的双线性型足： 4 ( m ，- ) ：+ v v ”+ h ，d qv “? ：h ( n ) 如 s o b o l e w 空间h 、( qj ，( 0 q ) 采用标准定义”范数分别记为| |hz j 忆我们也将 使用空间t l 一( 0 q ) 即，i ( a q ) 的对偶空间，对偶范数 州专鳓5o t l 、献 二j “n2 ) 。“j f 。 其中的对偶对( t t z ) = ，l z z d s 、原始问题改写为下面的弱形式：给定，l 2 ( q ) 和g 爿 ( a nj ，求“h 1 ( q ) 和a 爿一j 1 ( 0 n ) 使得 8 ( “、 ；印，“) = ( ，t ) + ( g ，)v ( h ) 1 ( q ) h 一 ( 0 q ) 双线性型8 定义为 b ( u a ： ，t ) = ( u ，t n 一( t ，) 一( t i ，“) ( f ，”) = ，f v d 。q 是l 2 ( q ) 中的内积 32 这种方法的收敛性由下面的定理保证 4 】 引理2 1 设h l 和h 2 为二个h i l h e r t 空间，内积分别为( ，) 风。进一步设8 ( u 、z ，) 是乘积空间仃1 h , 2 ，u 1 ，t ，h 2 上的双线性型，满足 8 ( 叱圳玉c - i m i 。i i , , 1 1 帆 s u p i b ( u ，1 训c , 2t m i 2 ，z h 1 ：i h 1 1 。s 翌 f 8 ( 虬”) f q 1 1 u 1 1 - 。 w 砸k 1 1 其中常数q 0 ，g o ，q 0 给定，h ；，记“( 1 为1 l 中的元，使得 8 ( 铷： ) = ，扣) 对任意t 。h 2 成立假设存在m l 使得 i l 蛳) 一t u f f h ，且 进一步记面j a ，l 为满足下面等式的元 8 ( t i j ) = r ( ) ，v j ， ，2 则，下面的估计成立 一训z 1 + 等m 记h = 爿2h 22 h 1 ( q ) 。阿一5 ( m ) 范数为- a 惰= i i 幅( + 忪屹一 汀上面 的l a ，g r a n g e 乘子法收敛 4 。 2 2 3 径向基离散 给定拟一致分布的，密度为 t 的离散中心点集xc 豆，密度为 2 的离散中心点 集x ，c ( n 和某种径向基函数扣( r ) 咖( r ) ，定义有限维子空间 l i ，彳1 ( q )a h 一 ( 0 q ) c25 p ( z ，。 ( 面( i i3 2 一。j | | ) z ，y ) a 1 一= s p n n ( 圳卜一搿y1 1 ) a + ，x l 对空间a 有下面的逆估计 】q 定理2 3 对v9 a 下面的不等式成立 】1 9 | | h f m2 1 c h i 2 2 3 “。| | 9 i l “一 ( 叭，) 其中c 是不依赖于密度 i - 2 的常数 p r o o f 由i i a ， 。) 的定义，我们有 怕，2 。l 。名彘眶， ( - n 1 1 j “h2 ( m ! ) 、显! ! h 兆n 备啪 h 垴n 假设9 = 妒( 肛一x i i i ) t 。利用f 7 2 中的技巧，我们有 i l o l l i , 啪c 曙帕。2 2 从而 l l a l l j ；：) c i 一产+ 1n 、掣m 忙删m 2 2 ) i l y 1 1 2 因此 i l ；l l ；+ o ( “! ) c h i 2 。一 “+ l | | g | | ， ( ”，f ) 所以 | | 9 | | 也j 1 2 ) c d , 7 2 悄i i _ s l l “- 蛔) 利用径向基函数插值误差估计和上面的定理，我们有下面的估计 定理2 4 设，h 8 ( q ) 、e 0 ，9 。( 臼q ) ，s j 1 ，i t 是原始f 日题的解进一步， 记“ 、如为利用径向基的无网格三凹7 u h 筘乘子法的解。假设q 和a q 中的离散中心点集 都是拟一致分布的，密度分别为hh 2 。设n l h i 2 2 3 “+ 3 足够小则 | | 叫川圳h 一翱剃( ) c ( 1 ，“i h i m 2 ) + 胪书删( 圳 其中，fn l a x f f 2 p r o o f 征明过程同有限元情况大致相同【4 ，仪有小小的改动给定 ) ，a 。记 i ( 为下面的方程的解 = ( 1 q 1 筹= a w q ” 利用椭圆问题的先验估计，我们有 由定理2 3 、我们有 i i i , i i h t ( s t ) c i 2 。：“3 i l x l h f 。t 记。满足 怕一。j i h - ( ”c h l i m i 。( i 。) c b l i ，i 2 一3 “+ 3 | j a | f h 一 f 。i 当 l f ，i 2 h 抖3 足够小时，我们有 洲s q f j 吨。 挑2 定理证明的余f 部分完全重复有限元的证明 注2 _ 5 考虑到b a , b u g k a b r e z z i 条件，上面定理中的常数c = m i n h l ，n 2 1 “一5 d + 6 记 a = ( a ( 西( 1 l z z ；| j ) ，咖( | i 。一。，l f ) ) ) 。n 。，x i ，x 口= ( 妒( 怜一婶i i ) j ，( j i f q f f ) ) 。m ，奶x ，q x l 矿= ( 厂9 “刊j 。一一，i i ) d s ) w 。 由双线性型b 导致的线性方程组为： h i g = f 2 l ( 2 6 ) 由双线性型日导致的线性方程组为 m c = f ( 2 6 ) 其中m = a 言 。，f = ； 注2 6 考虑边界罚方法，对方程( 2 1 ) 的齐次d i r i c h l e t 问题，算子c ；一岛( 叼( 。) a ) + 玩苏+ c ( z ) 为一般的线性强制椭圆型算子，c e a 给出了逼近i s o ) 0 是。：三 眨r ， 且有下面的误差估计 一岷 慨m 杀i 【，l l 蹦啦十丸州 ( 2 8 ) 其中u a ， 是上面方程的径向基解( 2 7 ) ，这种方法的不方便之处在于非齐次问题的处理，一 般情况下把非齐次问题转化为齐次问题是比较困难的 在上面的方程中考虑以= 0 ，则边界罚方法的另一种形式为：设原问题的变分形式为 u 月 ( q ) ：( ，”) = ( ，。) 其中辟( q ) = 扣h 1 ( n ) ：叫r = 9 ) ，边界罚方法为： 钍t h 1 ：_ ( 毯。，”) + e 一1 铷。，钉) a 幻= ( ， ) + e - t ( g ，t ，) 8 5 记为 4 e ( ，”) = ；。扣) 注2 7 在下面的数值例子中。我们都月g a u s s - l e g e n d r e 数值积分公式。用g m r e s 求 解线性方程组 注2 8 这种方法也可用于混合问题 注2 - 9 对全支的径向基函数，数值积分的误差仅依赖于基函数的正贝性。 注2 1 0 正如前面的分析所讲，由于径向基无网格方法的条件数过高，要取得更好的精 2 2 度不能靠加密，r i c h a r d s o n 外推技术 4 7 ，4 8 】可能可以帮助提高精度，格式为；记u ? 为下 面变分问题的解 a ( ! ，“) = k ( u ) ，vu 、 其中e = 2 - ：t h ，j = 0 ，1 ，2 ，定义 2 一，h2u ，1 其中 ，7 为定值，关于j 的r i c h a r d s o n 外推为 拈= 2 ”一弧 峨：掣 2 2 4 数值例子 在整个这节当中，我们都记 为l 2 一n o r m 相对误差其中u 是用无网格l a g r a n g e 乘子法求得的数值解，u 为相应问 题的精确解记 舔= 球s u p x 哔舞掣z t e x u l 茁 儿 为在离散中心上的最大点态相对误差 例2 1 考虑p o i s s o n 方程 童i ，：三 其中n = f 一1 ，1 ；- 1 ，1 】7 右端项分别为 ( 。，) = 一e 。( ”2 1 ) ( 。2 + 4 x + 1 ) 一2 e 。( z 2 一1 ) ，2 ( z ，可) = 4 ( z 2 + 可2 ) s i 乱( 。2 1 ) s i 耳( 分2 一1 ) 一2 s 曲 ( y 2 十护一2 ) ( 2 9 ) 爷 | | 2 、j2 盯 l ，l 相应的精确解为 u 1 ( z ，y ) = ( z 2 一1 ) ( 鲈2 1 ) e 。 “2 ( 。，y ) = s i n 2 1 ) 5 i n ( y 2 1 ) 取t p s 曲( r ) = r 6l o g ( r ) ，( r ) = r 5 和s o b o l e vs p l i n e ( r ) = e r ( 3 + 3 r + 3 r 2 ) 为基函数 离散中心点以密度h = 0 2 在q 中一致分布 = s p n n ( i i 。一。| 1 ) ，z i q ) ，a h = s p a n * ( 1 l z x , 1 1 ) ，z ；地) 表1 为数值结果, 2 表1 p o i s s o n 方程的数值结果( ( z ，) ) lr a d i n jb a s i 5f u n c t i 。札 珐埠 t p s0 0 0 4 80 0 5 0 9 r 50 0 0 4 000 3 1 4 s o b o l e vs p l i n e0 0 1 8 70 0 3 9 0 表2 ，p o l s s o n 方程韵数值结果(