（应用数学专业论文）几类传染病模型和神经网络模型的动力学研究.pdf

硕士学位论文 摘要 本文主要研究了几类传染病模型和神经网络模型的动力学性质 全文共分为六章： 第一章介绍了传染病模型、神经网络模型的研究背景及进展，并简单地介绍 了本文的主要工作 第二章研究了一类s e i r 模型的正解存在性，分析了解的最终性态，并给出了 生物学意义和数值模拟 第三章研究了一类s e i 模型的正解存在性，利用l y a p u n o v 方法分析了平衡 点的局部稳定条件和全局指数稳定条件，并阐述了其生物学意义 第四章研究了一类具有时滞的s e i 模型的动力学性质结合线性化理论和h o p f 分支理论，研究了平衡点的稳定性，并以时滞为参数，讨论了该模型的h o p f 分支 现象，分析了分支方向最后给出了数值模拟 第五章利用k u z n e t s o v 讨论离散系统h o p f 分支的方法，研究了一类具有三 个神经元的离散b a m 神经网络模型平衡点的稳定性和h o p f 分支现象 第六章利用推广的l y 印u n o v 方法，研究了一类具有不连续激励函数的时滞 c o h e n - g r o s 8 b e r g 神经网络模型平衡点的全局指数稳定性 关键词：传染病模型；神经网络模型；平衡点；局部稳定性；全局稳定性；h o p f 分 支；l ”p u n o v 函数；周期解 硕士学位论文 插图索引 图2 1s e i r 模型( 2 2 ) 的示意图8 4 图2 2s e i r 模型( 2 1 ) 中z 1 ，砣，z 3 ，z 4 ，甄的轨线1 2 t = 1 图3 1s e i 模型( 3 2 ) 的示意图1 5 图4 1s e i 模型( 4 2 ) 的示意图2 0 图4 2丁= 而= 1 4 8 6 3 5 时，z 1 的轨线3 3 图4 3下= = 1 4 8 6 3 5 时，z 2 的轨线3 3 图4 4r = 罚= 1 4 8 6 3 5 时，( z 1 ，z 2 ) 的轨线3 4 图4 5r = 1 4 7 时，z l 的轨线3 4 图4 6下= 1 4 7 时，z 2 的轨线3 5 图4 77 = 1 4 7 时， 1 ，z 2 ) 的轨线3 5 图4 8丁= 1 4 9 时，z l 的轨线3 6 图4 9r = 1 4 9 时，z 2 的轨线3 6 图4 1 07 = 1 4 9 时，( z l ，z 2 ) 的轨线3 7 图5 1离散b a m 神经网络模型( 5 2 ) 的示意图3 9 图5 20 2 l = 0 4 9 时，z l ，z 2 ，z 3 的轨线4 4 图5 3n 2 1 = o 4 9 时， l ，z 2 ，z 3 ) 的轨线4 4 图5 2口2 1 = 0 5 0 时，z l ，z 2 ，z 3 的轨线4 5 图5 3口2 1 = 0 5 0 时， l ，z 2 ，z 3 ) 的轨线4 5 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：害铹喧日期：纱稗，月 形日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：孝铅荽 导师签名。 熬 ，7 fl 掣 日期：缔 日期：舯 i 绍1 髅 ，r 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1传染病模型研究的背景及进展 传染病给人类历史造成了严重的灾难 鼠疫：1 3 4 8 - 1 3 5 1 年，3 年时间夺去了6 2 0 0 万人的生命，毁掉了欧洲大量的人 口【1 1 到目前世界上每年仍出现2 0 _ 3 0 起疫情 霍乱：肆虐2 5 0 0 年并曾经导致半数以上感染者死亡持续世界性流行近4 3 年中，造成世界5 大洲的1 4 0 多个国家和地区报病达5 0 0 多万例；1 9 9 2 年1 0 月 印度和孟加拉国发生的0 1 3 9 型霍乱，先后有2 0 万人发病至今仍在世界各地广 为流行 流感：1 9 1 8 年9 月一1 9 1 9 年6 月，在美国爆发的流感，1 0 个月内造成世界范 围4 0 0 0 万以上的人死亡仅美国就造成6 7 5 万人死亡，这一数字超过了美国在 两次世界大战、朝鲜战争和越南战争中死亡人数的总和【1 】w h 0 2 0 0 2 年1 1 月 2 6 日公布的资料中，全球每年的流感发病数6 亿一l2 亿，其中重症流感病例3 0 0 万巧0 0 万，死亡2 5 万一5 0 万人重症流感的病死率约8 一1 0 【2 】 艾滋病：1 9 8 1 年发现首例艾滋病至今全世界已有2 5 0 0 余万人死亡，据权威专 家预测2 0 2 0 年将还有7 0 0 0 余万人丧生 埃博拉出血热：1 9 9 5 年苏丹发生的埃博拉出血热发病的3 3 5 人中2 4 4 人死 亡，病死率高达7 7 甲肝：1 9 8 8 年我国上海甲肝爆发，仅上海市就发病3 l 万人，当年4 月的其中 1 6 天中，每天报告的发病数超过1 0 0 0 0 例，在持续半年多的甲肝风波中，查出携带 者1 5 0 万( 当时上海人口1 2 0 0 万) 上海销售出去的副食品纷纷被退回，因为甲肝 而造成的直接和间接经济损失超过百亿元。 s a r s ：2 0 0 3 年致使中国g d p 增长率有所下降，而且对经济影响的总额达 2 1 0 0 多亿元【1 1 从以上的资料我们可以看出，传染病的流行对社会经济的发展有着非常深刻 和全面的影响，它往往比战争、爆动、地震和洪涝灾害来得还要剧烈，因为传染病 直接打击了社会经济发展的核心与所有生产力要素中最根本的要素一人类本身，人 们出于对生命的珍惜，惧怕被传染上疫病而减少甚至停止经济活动对经济本身来 说，单是恐惧这一因素已经足以造成对它的毁坏因此，传染病对社会经济的长远 影响难以用数据来加以解读由于疫情对社会经济包括医药卫生、旅游、餐馆、宾 馆、航空运输以及对外经贸的发展造成冲击，其远期影响无法准确估计 传染病数学模型的研究有着悠久的历史，最早的传染病数学模型出现在1 7 6 0 1 一 几类传染病模型和神经网络模型的动力学研究 年，d a n i e l b e m o u 建立了天花模型来评估健康人种痘的效果 在现实生活中，传染病仍广泛存在利用动力学的方法建立流行病传播的数 学模型，研究某种流行病在某一地区是否会蔓延下去而成为该地区的地方病，或这 种流行病最终将消除，是流行病学和数学相结合的一个重要的具有理论和现实意 义的研究课题，有助于对流行病将来的发展趋势进行预测，有利于疾病的预防与控 制因而利用数学模型分析和研究传染病的传播己是数学应用的一个重要领域近 年来，国内外学者对传染病的传播模型作了大量的研究，得到了许多重要结果，极 大地丰富了传染病动力学理论 目前，对传染病的研究方法主要有四种【3 - 4 】：描述性研究、分析性研究、实验性 研究和理论性研究传染病动力学是对传染病进行理论性定性分析和定量研究的 一种重要方法它是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播、发展规 律，以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过 对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟，来显示疾病的发展过程，揭示其 流行规律，预测其变化发展趋势，分析其流行的原因和关键因素，寻求对其预防和 控制的最优策略，为人们制定防治决策提供理论基础和数量依据根据所建模型 的系统形式划分，常见的传染病动力学模型有：常微分方程系统【5 】，它直接反映各仓 室中个体的瞬时变化率与所有仓室在相应时刻的关系，利用常微分方程来描述传 染病是传染病动力学中成果最为丰富的一类；偏微分方程系统【6 1 ，这是考虑年龄结 构时常见的一种模型系统；时滞微分方程系统m ，它往往是相应于考虑阶段结构( 如 染病者具有确定的传染期、潜伏者具有确定的潜伏期、免疫者具有确定的免疫期 等) 时而出现的一种微分方程系统；脉冲微分方程系统【8 】，它能描述种群在脉冲出 生或对种群进行脉冲预防接种等情形下，各仓室的变化状态 在传染病动力学中，长期以来主要使用的数学模型是所谓的”仓室 模型，即根 据传染病的传播特点，将总种群分为若干个子种群，每个子种群在传染病传播过程 中所处的位置或担当的角色相当，每个这样的子种群被称为一个仓室常用的仓室 有：易感类( s ) ，即由未染病但有可能被传染的个体所组成的仓室：潜伏类( e ) ，即由 已染病但不具有传染力的个体所组成的仓室；染病类( i ) ，即由已染病并具有传染 力的个体所组成的仓室：移除类( 或免疫类) ( r ) ，即由未染病且具有免疫力的个体 所组成的仓室以k e m a r k 和m c k e n d r i c k 为代表的学者将人口分为易感者( s ) ，染 病者( i ) 和恢复者( r ) 三类，利用动力学方法建立了s i 彤陡染病传播的数学模型， 并对其传播规律和流行趋势进行了研究，对传染病的传播与否提出了阀值理论，揭 开了流行病数学模型研究的篇章【4 】 近年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各 种各样的传染病问题文献【9 - 1 4 】讨论了s i r ，s i s ，s i r s 传染病模型，得到了决定疾 病灭绝和持续生存的阀值，研究了无病平衡态及地方病平衡态的全局渐近稳定性 一2 一 硕士学位论文 1 2神经网络模型研究的背景及进展 人脑是具有高度智能的复杂系统，它不必采用繁复的数字计算和逻辑运算，却 能灵活处理各种复杂的、不精确的和模糊的信息利用机器模仿人类的智能是长 期以来人们的理想用仿生学观点，探索人脑的生理结构，把对人脑的微观结构研 究及对人脑智能行为的研究结合起来即人工神经网络人工神经网络以对大脑的 生理研究成果为基础，对人脑若干基本特性进行抽象和模拟，来实现大脑某些方面 的功能因此开展人工神经网络的研究具有重要的理论意义和实用价值自上世纪 8 0 年代中后期以来，全世界特别是一些工业发达国家，掀起了一股竞相研究开发 人工神经网络的热潮在人工神经网络这个涉及多种学科的新的高科技领域中，吸 引了众多的神经生理学家、心理学家、数理科学家、计算机与信息科学家，以及工 程师和企业家等 神经元是人脑的基本单元人脑大约包含1 0 1 1 1 0 1 2 个神经元，每个神经元大 约与1 0 2 1 0 4 个其它神经元相连接，形成极为复杂又灵活多样的神经网络 神经元大体可分为两类，一类是投射神经元，它们具有长的轴突，可以联系远 离胞体的区域，起到传入或传出的作用另一类是局部回路神经元，其轴突较短， 在胞体附近反复分枝，形成局部的神经回路这些局部回路神经元在反射弧中介 于传入和传出神经元之间，故又称为中间神经元人体中枢神经系统的传出神经 元数目总计约数1 0 万，传入神经元较传出神经元约多1 3 倍，而大脑皮层所含的 中间神经元就约有1 4 0 亿之多神经元有兴奋和抑制两种状态，每一个神经元都 是在与之相连的兴奋性突触( s ) r n a p s e ，神经键是神经元与其它神经元的联系部分) 和抑制性突触综合作用下活动的神经元的兴奋和抑制状态又对其它神经元产生 影响当大量的兴奋性突触进行活动时，神经元的膜电位升高超过一定的阈值后， 神经元就被激励，细胞体产生信息输出，当大量的抑制性突触影响超过兴奋性突触 影响时，神经元膜电位降低，使神经元受到抑制而不发生冲动，从而无信息输出神 经元之间主要是以突触的方式进行联系，前一个神经元兴奋时，其突起的末梢释放 一种或几种化学物质( 神经递质和突触调制物) ，经过化学物质与受体的结合使下 一级神经元产生兴奋或抑制反应两个神经元的各个部分之间均可形成突触性联 烈1 5 】此外，一个神经元还可以改变其邻近细胞的电场或化学微环境，从而改变它 们的活动 神经网络是极端庞大复杂的，但是从简单的神经回路研究中已经得到了一些 基本规律：( 1 ) 聚合和辐射聚合表示一个神经元可以接受许多不同神经元的传入 联系，来自不同神经元的兴奋和抑制信息会聚在同一个神经元上发生相互作用辐 射表示一个神经元可以通过其轴突分支与许多神经元建立突触性联系，使一个神 经元的兴奋同时扩布到许多其他神经元，从而扩大了影响范围神经系统内神经元 一3 一 几类传染病模型和神经网络模型的动力学研究 问的联系总是既有聚合又有辐射，每个神经元既接受许多神经元的传入信息，又把 信息传出到许多神经元( 2 ) 反馈一个神经元的轴突或其侧支与一级或多级中间 神经元发生直接或间接的信息传递，最后一级中间神经元的轴突末梢又与原来的 神经元发生突触性联系，从而构成一个闭合的回路，把该神经元输出的部分信息回 输到原来的神经元，以调节或校正其活动，这种联系方式称作反馈当神经元有冲 动传出时，反馈回来兴奋性信息，就叫正反馈如果中间神经元反馈抑制信息到原 来的神经元，就叫负反馈( 3 ) l 前馈与返回抑制相反，某一神经元在接受传入兴奋 的同时，也接受传入通路侧支经过中间神经元的抑制信息，叫作前馈抑制或传入侧 支性抑制( 4 ) 中间神经元上的整合在各种神经回路中，中间神经元上有最广泛 的传入整合此外，不同神经回路的中间神经元间也有相互联系，例如，在脑的不 同区域都看到返回抑制回路中的中间神经元有交互抑制性联系，返回抑制性中间 神经元对前馈抑制神经元也有抑制作用 人工神经网络是由若干简单( 通常是自适应的) 元件一神经元及其层次组织，以 大规模并行连接方式构造而成的网络，按照生物神经网络类似的方式处理输入的 信息若干神经元连接成网络，其中的一个神经元可以接受多个输入信号，按照一 定的规则转换为输出信号它反映了人脑功能的许多基本特性，但它并不是人脑神 经网络系统的真实写照，而只是对其作某种简化、抽象和模拟模仿生物神经网络 而建立的人工神经网络，对输入信号有功能强大的反应和处理能力由于神经网 络中神经元间复杂的连接关系和各神经元传递信号的非线性方式，输入和输出信 号间可以构建出各种各样的关系，因此可以用来作为黑箱模型 人工神经网络通过电路模拟人脑神经细胞的结构和功能，来揭示生物神经网 络系统所具有的复杂动力学性质，表达那些用机理模型还无法精确描述，但输入和 输出信号之间确实有客观的确定性的或模糊性的规律 人工神经网络理论是巨量信息并行处理和大规模平行计算的基础，人工神经 网络既是高度非线性动力学系统，又是自适应组织系统，可用来描述认知、决策及 控制的智能行为，它的中心问题是智能的认知和模拟从解剖学和生理学来看，人 脑是一个复杂的并行系统，它具有“认知一、“意识一和“感情一等高级脑功能，这不 同于传统的n e 眦a n n 式计算机因此，我们以人工方法摸拟这些功能，有助于加 深对思维及智能的认识 人工神经网络的研究，可以追溯到上世纪4 0 年代初1 9 4 3 年，神经生物学家 m c c u - 1 1 0 c h 与青年数学家p i t t s 合作，从人脑信息处理观点出发，采用数理模型的 方法研究了脑细胞的动作和结构及其生物神经元的一些基本生理特性，他们提出 了第一个神经网络计算模型，即神经元的阈值元件模型，简称m p 模型，从而开创 了神经网络的研究【1 6 1 1 9 5 2 年，英国生物学家h o d 9 1 【i n 和h u ) d e y 建立了长枪乌贼巨大轴索非线性 一4 一 硕士学位论文 动力学微分方程，简称h h 方程【堋由于h o d g l 【i n 和h u x l e y 研究的成果有重大理 论及应用价值，他们荣获了诺贝尔生理医学奖他们的著名方程引起了许多学者 的关注，方程中包含了丰富的内容，对理论和实践产生了极大的作用，有些学者对 h - h 方程研究得到了很多有意义的结果如发现了神经膜中所发生的非线性现象： 自激振荡、混沌及多重稳定性等，几乎都可用这个方程来描述 1 9 7 4 年，s t e i n ，l e n n g ，m a n g e r o n 和o g u z t o r e l i 提出了一种连续的神经元模 型，采用泛函微分方程来描述各种普通类型的神经元的基本特征【1 8 1 1 9 8 2 年，生物物理学家h o p 五e l d 详细阐述了k o h o n e n 提出的自组织映射 网络模型的特性，他对网络存储器描述得更加精细，他认识到这种算法是将联想 存储器问题归结为求某个评价函数极小值的问题，适合于递归过程求解，并引入 l y a p u n o v 函数进行分析【1 9 1 在网络中，节点间以一种随机异步处理方式相互访问， 并修正自身输出值，可用神经网络来实现，从而这类网络的稳定性有了判据，其模 式具有联想记忆和优化计算的功能他给出了系统运动方程，即h o p 矗e l d 神经网 络的神经元模型是一组非线性微分方程 j n g 祟= 办( 呦) 一豢+ 五， 一 jf=1 其中撕是第 个神经元的膜电位，g 、兄分别是输入电容和电阻，五是电路外的 输入电流，正f 是第j 个神经元对第 神经元的联系强度，( u ) 是u 的非线性函数， 一般取s 型曲线或阶跃函数他构造出l y a p u n o v 函数，并证明了在正f = 情 况下，网络在平衡点附近的稳定性，并对这种模型以电子电路来实现这样，研究 取得了重大的突破，对神经网络理论的发展产生了深远的影响，关于这方面的研究 取得了许多丰富的成果【2 0 _ 2 1 】 通过一些变量代换和重新参数化，该神经元的模型有如下形式： 圣= 一z + ，( z ( t 一7 ) ) ，z = ( z l ，z 2 ，z n ) 。r 冗n ， 这里圣= 垒梨许多科研工作者曾研究过上述方程的相似模型陋- 2 5 】 1 3本文的主要工作 本文研究了几类传染病模型和神经网络模型，利用微分方程的定性理论，稳定 性理论和分支理论，揭示了模型的各种动力学性质 第二章主要研究了微分方程模型 i 圣1 ( t ) = 一( 夕+ p ) z 1 ) + 6 2 2 ( 亡) ( 一z l ( t ) 一z 2 ( t ) 一z 3 ( 亡) 一z 4 ) ) ， 2 圣2 ( t ) 2 9 2 1 ( 亡) 一z z 2 ( t ) ， ( 1 1 ) i 圣3 ( t ) = z z l ( t ) 一凹3 ( t ) ， 、 i 圣4 ( t ) = c z l ( 亡) 一p z 2 ) 一5 一 几类传染病模型和神经网络模型的动力学研究 正解的存在性，平衡点的局部稳定性，解的最终性态，并给出了其实际意义 第三章主要研究了微分方程模型 圣1 ( 亡) = 圣2 ( 亡) = 圣3 ( 亡) = 一( 夕+ p ) z 1 ( 亡) + 如2 ) ( 一z l ( t ) 一z 2 ( t ) 一z 3 ( 亡) ) ， 9 2 1 ) 一z z 2 ( t ) ， ( 1 2 ) z z l ( 亡) 一凹3 ( 亡) 正解的存在性，平衡点的局部稳定性和全局稳定性，并给出其实际意义 第四章主要研究了微分方程模型 - 5 22 一0 ：p ) z “2 + 6 ：2 ) ( 一z “力一z 2 ”， ( 1 3 ) 【圣2 ( 亡) = 夕z l ( 亡) 一凹2 一7 ) ， 、7 平衡点的稳定性，并以时滞7 - 为分支参数，讨论其h o p f 分支现象 第五章主要研究了差分方程模型 iz l ( n + 1 ) = p z l ( n ) + n 2 1 ( z 2 ( 佗) ) + 0 3 l ( z 3 ( 礼) ) ， z 2 ( 佗+ 1 ) = p z 2 ( 亿) + 口1 2 ，2 ( z l ( 礼) ) ， ( 1 4 ) iz 3 ( n + 1 ) = 3 ( 扎) + 口3 1 ( z l ( n ) ) 平衡点的稳定性和h o p f 分支现象 第六章主要研究了微分方程模型 圣 ) = w 7 ) ( 一d z ( t ) + 匈 ( 亡) ) + a r 夕0 一下) ) )( 1 5 ) 平衡点的全局指数稳定性 一6 一 硕士学位论文 第2 章一类s e i r 模型的动力学性质 2 1模型的引入 传染病是由各种病原体引起的能在人与人，动物与动物或人与动物之间相互 传播的一类疾病传染病，尤其艾滋病，s a r s 等是人类2 1 世纪所面临的最伟大 的重大挑战，国内外众多的专家学者对传染病进行了研究【2 6 3 1 】 本章研究如下的传染病模型 l 圣l ( 亡) = 一0 + p ) z 1 ( t ) + 6 2 2 ( t ) ( 一z l ( t ) 一z 2 ) 一黝( t ) 一瓤( t ) ) ， 2 5 22 夕z ! ：一名z 2 2 ， ( 2 1 ) i 圣3 ( 亡) = z z 2 ( 亡) 一凹3 ( 亡) ， 、7 i 圣4 ( 亡) = c z 3 ( t ) + p z l ( ) ， 其中0 夕，p ，6 ，z ，c 1 模型( 2 1 ) 可由下面的系统【2 6 】转化得到 i s ( 亡) = 一6 厶( t ) s ( t ) ， le ( 亡) = 石厶 ) s ( 亡) 一夕e ) 一p e ( t ) ， 厶( 亡) = 夕e ( 亡) 一z 厶( 亡) ， ( 2 2 l 厶( 亡) = z 厶( 亡) 一吐( t ) ， i ir ) = 吐 ) + p e ( 亡) ， 其中 ls + e + + 五+ r = ， ls o ，e o ，丘o ，五o ，冗o ， l 夕+ p2 寿， i o 夕，p ，6 ，z ，c 1 模型( 2 2 ) 适合于具有易感染期，潜伏期，未传染期及免疫期五个传染过程的 传染病，如麻疹，天花等其中符号的意义如下：表示我们所研究区域的人口总 数；s 表示易感类，该类成员没有染上病毒，也没有免疫能力，可以被传染上病毒； e 表示潜伏期类，该类成员已经感染了病毒，但尚处于潜伏期，还不是病毒患者， 不能把病毒传染给s 类成员；l 表示患病未被发现类，该类成员已经成为真正的 患者，能够把病毒传染给s 类成员；五表示患病已被发现类，该类成员虽然是患者， 但由于发现后立即被严格隔离，不能传染给s 类成员；冗表示免疫类，该类成员为 康复者或因患病死亡，已经具有免疫力，不再对其它成员产生任何影响；6 表示患 病人群每天接触并传染易感人群的比例系数；夕表示感染者的日发病率，是感染者 一7 一 几类传染病模型和神经网络模型的动力学研究 的日自愈率；z 表示患病人群每天被隔离的比率；c 表示免疫率；日表示潜伏期天 数；l 表示传染期天数其示意图，如图2 1 图2 1 s e i r 模型( 2 2 ) 的示意图 我们注意到，由约束条件s + e + 厶+ 五+ 冗= 可以得到s = 一+ + 五+ r ) ，将其带入微分方程( 2 2 ) ，则可以消除其中的第一个微分方程同时， 为了方便，我们记z 1 = e ，z 2 = 厶，z 3 = 厶，钆= 兄则( 2 2 ) 可以改写为( 2 1 ) 2 2 模型的动力学性质 在这一节，我们主要利用线性化的方法，通过对平衡点的分析，研究系统( 2 1 ) 的动力学性质，主要包括系统的正解，平衡点的局部稳定性，解对初值的依赖性， 和相应的实际生物学意义 4 定理2 2 1 若初值满足眈( o ) o ，l = l ，2 ，3 ，4 ，且鼢( o ) ，则系统 t = 1 4 ( 2 1 ) 的相应解戤( t ) o ，t = 1 ，2 ，3 ，4 ，且蕊( 芒) ，o 证明：由系统( 2 1 ) 右端的连续性，系统( 2 1 ) 的解是连续可微的 ( 1 ) 若结论戤( t ) o 不成立，则必然存在t o o ，亡 0 ，当亡= 亡。时，存 在某个i 1 ，2 ，3 ，4 ) ，使得黾( ) = o ，戤( ) ，而亡( ，南+ t ) 时， 甄( t ) o ，使得以( ) = t = 1l = l 44 ，而亡，如+ 亡) 时，甄( 亡) 于是，我们可以得到血( t ) o ， 首先证明t 里z 3 ( ) = o 若不然，刍翮 o ，垤 o ，j t ，使 由圣3 ( 亡) = z z 2 ( 亡) 一凹3 ( 亡) ，及定理2 2 1 可得i 圣3 ( 亡) l 警由此可知，至少存在【等】+ 1 ( 【。】表示取 最大整数) 个不相交的区间 一器，+ 器) ，i = 1 ，2 ，【等】+ l ，对任意的 t ( 厶一器，如+ 器) ，使得z 3 ( 亡) 警在区间【o ，+ ) ，对宕4 ( 亡) = 凹3 ( t ) + p z l ( t ) 的两边积分，可得 。里圳地( 0 ) + 吲卅刚啪亡 们) + c 詈等景 。里z 4 ( 亡) = z 4 ( o ) + 上凹3 ( t ) + 肛l ( t ) m 她( o ) + c 詈秀罱 这与定理2 2 1 矛盾，故h 翟z 3 ( t ) = o + 十 若1 i 翟z 2 ( t ) o ，由圣3 ( t ) = z z 2 ( 亡) 一3 ( t ) ，及1 i 翟z 3 ( t ) = o 可得 c + 十t + + o = 西孑3 ( t ) 2 爵z 2 ( t ) 一再3 ( 亡) o ， 这是矛盾的，故。羔z 2 ( 亡) = o 若1 1 翟z 1 ( 亡) o ，由1 啦z 2 ( 亡) = o ，及圣2 ( t ) = g z l ( t ) 一z z 2 ( t ) ，可得 + 十+ 十 o 2 。里圣2 0 ) 2 。羔夕z ，( t ) 一。里掘2 ) o ， 这是矛盾的，故l i mz l ( 亡) = 0 综合以上证明过程得结论( 1 ) 成立 ( 2 ) 由定理2 2 1 的结论鼢( o ) ，。l i 翌甄( 亡) = o ，t = 1 ，2 ，3 ，结合定理 = 1 一t “ 44 2 2 3 的结论砚( 亡) 单调上升，可知1 i 玛z 4 ( t ) = 1 i 理甄( t ) 存在，令其等于 j 一1 c + 十 + 十0 0 i 一1 m ，显然m 【o ，】 注3 ：由定理2 2 4 得，感染s a r s 的人群最终都将成为免疫类人群，这与实 际意义相符合 定理2 2 5 设m 【o ，】，名0 + p ) 一驴( 一m ) o ，若系统( 2 1 ) 的 解z ( 亡) = 4 戤( ) t = l ( z l ( 亡) ，z 2 ( ) ，z 3 ( t ) ，瓤( t ) ) t m ，则 满足初值条件规( 亡o ) o ，t = 1 ，2 ，3 ，4 ，且 1 i 玛z 4 ( t ) = t + 。 4 甄( t ) m = 1 证明：由定理2 2 4 ，知对系统( 2 1 ) ，存在【o ，】，使得 。里z 4 ( t ) 2 。羔 4 戤( 亡) = ， 讧= 1 1 1 硕士学位论文 根据参数的实际意义，我们可知：( 1 ) 在发现有效的预防措施( 比如：防疫疫 苗) 之前，患病人群每天接触并传染易感人群的比例系数6 ，感染者的日发病率g 无法控制，要传染病的规模比较小，须严格控制患病人群的隔离率z ；( 2 ) 大力发展 医学科研，有效的预防和治疗降低发病率夕，提高日自愈率p 是控制传染病规模的 有效措施 一1 3 几类传染病模型和神经网络模型的动力学研究 第3 章一类s e i 模型的动力学性质研究 3 1模型的引入 在这一章我们研究以下微分方程模型 i 圣1 ( 亡) = 一( 夕+ p ) z 1 ( 亡) + 如2 ) ( 一z l ( 亡) 一z 2 ( t ) 一z 3 ) ) ， 圣2 ( 亡) = 夕z 1 ( t ) 一z z 2 ( t ) ， ( 3 1 ) l 3 ( t ) = z z 2 ( 亡) 一凹3 ( 亡) ， 其中0 9 ，肛，瓦z ，c 1 微分方程模型( 3 1 ) 是下面的模型转化而来 c 五 ) + p e ( t ) 一6 l ( 亡) s ( 亡) ， 6 缴s ( t _ 擘亡) 一肛( 亡) ， ( 3 2 ) 9 e ( t ) 一z l ( t ) ， 、7 z 丘( 亡) 一吐( 亡) ， 、s + e + i 幢+ l t = n js o ，e o ，o ，厶o ， 1 9 + p = 击， io 夕，p ，6 ，z ，c 1 ， 在模型( 3 2 ) 中，n 表示我们所研究区域的人口总数；s 表示易感类，该类成员 没有染上该类传染病，也没有免疫能力，可以被传染上该类传染病；e 表示潜伏期 类，该类成员已经感染了该类传染病病毒，但尚处于潜伏期，还不是该类传染病患 者，不能把病毒传染给s 类成员；l 表示患病未被发现类，该类成员已经成为真正 的该类传染病患者，能够把病毒传染给s 类成员五表示患病已被发现类，该类成 员虽然是该类传染病患者，但由于发现后立即被严格隔离，不能传染给s 类成员； h 表示潜伏期天数；l 表示传染期天数；6 表示患病人群每天接触并传染易感人群 的比例系数；夕表示感染者的日发病率；p 表示感染者的日自愈率；名表示患病人 群每天被隔离的比率；c 表示感染者的日治愈率 我们注意到在模型( 2 2 ) 中，如果我们假设人群分成易感染者、潜伏期病人、 未发现的病人四类，即无人员死亡，传染病的康复者不具备免疫能力，则我们可以 建立模型( 3 2 ) 适合模型( 3 2 ) 的传染病在实际当中是存在的，如流感患者康复 后仍有感染流感的可能其示意图如图3 1 一1 4 一 跗刖砌圳 ，_iii_l，、i_【 中其 硕士学位论文 由定理3 2 1 ，微分系统( 3 1 ) 满足初值条件黾( o ) o ，i = 1 ，2 ，3 ， 的解戤( t ) o ，i = 1 ，2 ，3 于是，盖陬( 芒) l = 血( t ) ，t = 1 ，2 ，3 计算( z ( 亡) ) 沿系统( 3 1 ) 的导数，可得： 熹 ) ) = 击( 1 z ) l + 学i z 2 ( 亡) i+ ；z z ( 亡) 2 + ! z 3 ( t ) 2 ) = 一【夕+ p 】z 1 ( ) + 6 2 2 ( 亡) 一6 2 2 ( t ) 陋l ( 亡) + z 2 ( t ) + z 3 ( t ) 】 + 等等( 9 2 1 ( 亡) 一z z 2 ( 亡) ) + 6 z l ( 亡) z 2 0 ) ( 亡) 2 一警z 2 ( 亡) 2 + 6 2 2 ) z 3 ( 亡) 一譬z 3 = ( 6 一z 焉半) z 2 ) 一( 警+ 6 ) z 2 ( t ) 2 一( 譬+ 6 ) z 3 ) 2 一( 譬+ 6 ) z 2 ( 亡) 2 一( 譬+ 6 ) z 3 ( t ) 2 o 即平衡点( o ，0 ，0 ) 是稳定的 定理3 2 3 设存在z o ，使得j 一名宁 o 使得堕鱼 ：业 伽，盐每 地兰 名，鱼号# o ，使得6 一z 旦吉笆 z 时，该地区的 该类传染病会趋于无病平衡态 ( 2 ) 由推论3 2 4 ，当存在盯 o ，使得堕坦孛监 o 4 2模型的动力学性质 ( 4 3 ) 近来很多文献研究了微分系统的h o p f 分支【3 2 6 u ，通过微分系统的h 0 p f 分支 的研究，我们可以得到微分系统的周期解下面我们将以时滞下为参数，讨论系统 ( 4 3 ) 的h o p f 分支现象 显然，当夕6 9 c p c o 时，系统( 4 3 ) 存在正的平衡点q 1 ，沈) ，其中 p = 掣藉产一哿 为了研究方便，令z ；= z 1 一p 1 ，z ；= z 2 一仡，代入系统( 4 3 ) ，并仍将z ：记为 戤( t = 1 ，2 ) ，则( 4 3 ) 可化为 i 圣l ( 亡) = 一( 9 + 肛+ 概) z 1 ( 亡) + 艿z 2 ( 亡) ( 一p 1 一锄) 一6 勋( 亡) ( z 1 ( 亡) + z 2 ( t ) ) ， 【圣2 ( 亡) = 夕z l ( 亡) 一c z 2 ( 亡一丁) ( 4 4 ) 那么( o ，0 ) 是系统( 4 4 ) 的平衡点 系统( 4 4 ) 在平衡点( o ，0 ) 的特征方程为 d e t 国邯俩恐二，1 嘞) = o ， 一夕 ，、十c e 即 a 2 + ( 9 + p + 概) 入+ ( 入+ 9 + p + 概) c e a r 一6 9 ( 一p 1 一锄) = o ( 4 5 ) 几类传染病模型和神经网络模型的动力学研究 记 则( 4 5 ) 可以化为 d l = 9 + p + 啦，d 2 = 一幻( 一p l 一概) ， 入2 + 西入+ ( 以+ c d l ) e a r + d = o 令入= i 蛐，代入( 4 6 ) 得 一u 2 + l u d l + ( i 倒+ c d l ) ( c o s ( u 丁) 一t s i n ( u 7 - ) ) + d 2 = o 分离实部和虚部得： 求解方程组( 4 7 ) ，可得 ( 4 6 ) ( 4 7 ) c o s ( u 丁) = 二鱼生丢嘉铲= 一夏喾号兰珥， ( 4 s ) 及 s 逾c 州= 等箨笋= 瓮肇竽 9 ， 由( 4 8 ) 一( 4 9 ) 及s i i l 2 ( u 7 - ) + c o s 2 7 ) = l ，我们可得 u 6 + ( 研一如一c 2 ) u 4 + ( ( 前+ 如) 2 2 c 2 斫) u 2 + 田递一c 2 毋= o ( 4 1 0 ) 令 五= 研+ 如一c 2 ， = ( 诉+ 如) 2 2 c 2 诉，0 = 诉镌一c 2 迸， ( 4 1 0 ) 可记为 令名鼍u 2 ，( 4 1 1 ) 可记为： u 6 + 厶u 4 + u 2 + 如= 0 名3 + 厶z 2 + z + = 0 ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 记z ( z ) = z 3 + 厶z 2 + 名+ 矗 下面我们给出三个重要的假设 ( 研) ：( 4 1 2 ) 至少有一个正实根 如果系统( 4 4 ) 的参数夕，p ，c ，6 已知，容易计算( 4 1 2 ) 的根因为h mz ( z ) = + o 。，所以，当如 o 时，所有的特征根的实部均为负 ( 日2 ) ：c 夕+ c p + c 【概一6 9 ( 一p 1 一概) o ( 日3 ) ：冗e ( 掣) 忙伯o 在( 4 6 ) 中对7 - 求导，得 解( 4 1 5 ) 可得 由( 4 1 6 ) 可得 ( 2 入+ d 。+ c e 以r ) 等一( 以+ 以。) e 。r ( 入+ 丁箬) = o ( 4 1 5 ) 竽= 丽存窘篇知 他埘 一= = - - - - - ? - ，! 一 1 吐1i ，- d 丁 2 入+ d 1 + c e a r 一7 ( c 入+ c d l ) e a r 。 、- 。一7 2 3 几类传染病模型和神经网络模型的动力学研究 令 ( 箬) = 等一妻 2 i u + d 1 + c c o s ( u 7 1 ) 一记s i n ( u 7 ) 7 - i u ( 西u + c d l ) ( c o s ( u 丁) 一ls i n ( u 7 - ) ) t u 2 讪+ d 1 + c c o s ( u 7 ) 一i c s i i l ( u 7 ) u c d l8 i n ( u 7 ) 一伽2c o s ( u 7 ) + i ( 一s i n ( u 7 - ) 叫2 + u 甜1c o s ( u 7 ) ) 丁 2 j 一 ( d 1 + cc o s ( u 7 ) ) ( u c d ls i n ( u 7 ) 一c u 2c o s ( u 7 ) ) ( u c d l8 i n ( u 7 ) 一c u 2c o s ( u 丁) ) z + ( 一s i n ( u 7 ) 叫2 + u c d lc o s ( u r ) ) 2 ( s i n ( u 7 _ ) c u 2 一u o d lc 0 8 ( u 7 - ) ) ( 2 u c8 i n ( u 7 - ) ) 。( u 甜ls i n ( u 丁) 一例2c 0 8 0 7 ) ) z + ( 一s i n 0 7 - ) 刨2 + u 甜1c o s ( 忻) ) 2 “( 2 u cs i n ( u 丁) ) ( u c d ls i n ( u 丁) 一c u 2c o s ( u 丁) ) ( u c d ls i n ( u 丁) 一，2c o s ( u 下) ) 2 + ( 一s i n ( u 7 ) 叫2 + u c d l