（应用数学专业论文）双曲型方程的有限体积元方法.pdf

查苎查芏壁主兰垡笙查 一塑兰 双曲型方程的有限体积元方法 摘要 本文主要研究双曲型微分方程的有限体积元方法，给出了双曲型方程的半离散 有限体积元格式和全离散有限体积元格式，同时对各种格式进行误差估计。 在引入改进的有限体积元双线性形式基础上，本文首先讨论了口( ，n ：- ) 和 ( j l - i ：) 的性质。对于椭圆型方程，分析其有限体积元格式的日1 模、厶模、三。模 和矽0 4 模误差估计，并且对已有的误差估计加以改进。以此作为双曲型方程有限 体积元格式误差分析的基础。 对于双曲型方程的半离散有限体积元格式，本文进行了误差的日1 模、l 模、 工。模和形1 ”模估计，并且在初始假设条件下，简化误差估计的形式。同时，引入 最新研究成果，改进误差估计，使其具有更好、更细致的结果。对双曲型方程的半 离散有限体积元格式，在时间方向采用不同的离散方式，本文给出了二种双曲型方 程的全离散有限体积元格式：g r a n k - n i c o l s o n 格式和向后e u l e r 格式，并对它们进行 误差估计。 上述针对椭圆方程和双曲方程的有限体积元方法，均采用一次有限体积元。同 时本文也研究了二次有限体积元方法。在分析椭圆型方程二次有限体积元方法的基 础上，针对双曲型方程的二次有限体积元格式提出假设，在此条件下，分析半离散 和全离散格式的误差估计。 关键词双曲型方程，椭圆型方程，有限体积元方法，半离散格式，全离散格式， 误差估计 i l l 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c r 衄f 心mv o ii 砸e l e m - e n t 匝：t h o d f o rh y p e r b o u ce q ii a l l 0 n a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d sa l em a i n l ys t u d i e dt ot h ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so fh y p e r b o l i ci ) j p e t h es e m i - d i s c r e t ef i n i t ev o l u m ee l e m e n ts c h e m e sa n dt h ef u l l y d i s c r e t ef i n i t ev o l u m ee l e m e n ts c h e m e sa r e g i v e n t ot h e h y p e r b o l i ce q u a t i o n s i nt h em e a n t i m e ， t h ee r r o re s t i m a t e sa r ea l s o g i v e n t ot h e e v e r ys c h e m e o nt h eb a s eo ft h ei m p r o v e df i n i t ev o l u m ee l e m e n tb i l i n e a rf o r m , t h en a t u r e so f a ( ，n ：。) a n d ( ，n ：) a i ed i s c u s s e d t ot h ee l l i p t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s , i t sf i n i t ev o l u m e e l e m e n ts c h e m e s e l t o re s t i m a t e si n h 1 - n o r m , l 2 - n o r m , l 。- n o l l na n dw 1 ”- n o r t h a l e a n a l y z e , tf u r t h e r m o r e , t h ee x i s t i n ge l l o re s t i m a t e sa l ea l s oi m p r o v e d t h ea b o v e - m e n t i o n e d d i s c u s s i o n sa mt h ef o u n d a t i o nt 0a n a l y z et h ee l t o r so ft h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n ts c h e m e sf o r h y p e r b o l i ce q u a t i o n s t ot h es e m i - d i s c r e t ef i n i t ev o l u m ee l e m e n ts c h e m e sf o rt h eh y p e r b o l i ce q u a t i o n s i t s e l l o r si nh 1 - n o r m , 三2 - n o r m ，l 。- n o r ma n dw ”- n o r ma i ce s t i m a t e d m o r e o v e r , i nt h e c o n d i t i o n o f t h e i n i t i a l h y p o t h e s i s , t h e f o r m s o f e r r o r e s t i m a t e s a l e s i m p l i f i e d i n t h e m e a n t i m e , q u o t i n gt h en e w e s t r e s e a r c ha c h i e v e m e n t s , i i m p r o v e t h ee l t o re s t i m a t e st om a k et h e mb e t t e r a n ds u b t l e t ot h es e m i - d i s c r e t ef i n i t ev o l u m ed e m e n t s c h e m e s , t h ed i f f e r e n td i s c r e t ep a t t e r n s i n t i m e d i r e c t i o n a r e a d o p t e d , s o t h a t t w o k i n d s o f f u l l y d i s c r e t e f i n i t e v o l u m e e l e m e n t s c h e m e s a r eg i v e nt ot h eh y p e r b o l i ce q u a t i o n s ：t h eg r a n k - n i e o l s o ns c h e m ea n db a c k - e u l e rs c h e m e t h ee r r o re s t i m a t e sa l ea l s o g i v e n t ot h e m t h ea b o v e - m e n t i o n e df i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d st ot h ee l l i p t i ce q u a t i o n sa n dt h e h y p e r b o l i ce q u a t i o n sa i el i n e a rd e m e n tm e t h o d s i nt h em e a n t i m e s e e o n d - o r d e re l e m e n t m e t h o d sa r ea l s or e s e a r c h e d o nt h eb a s eo f a n a l y z i n gt h ee r l o l so ft h ee l l i p t i ce q u a t i o n s s e e o n d - o r d e re l e m e n tm e t h o d , ip r o d u c eh y p o t h e s e s i nt h ec o n d i t i o no ft h eh y p o t h e s e s ，i a n a l y z et h ee r r o r e s t i m a t e so ft h es e m i - d i s c r e t es c h e m ea n dt h e f u l l y d i s c r e t es c h e m e k e y w o r d s h y p e r b o l i ce q u a t i o n ，e l l i p t i ce q u a t i o n , t h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n t m e t h o d ，s e m i d i s c r e t es c h e m e s , t h e f u l l y d i s c r e t es c h e m e s , e r r o re s t i m a t e s i v 声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师指导下完成。论文中取得的研 究成果除加以标注和说明的地方外，不包含其他人已发表的研究成 果，也不包括本人为获得其它学位而使用过的材料，其他人对研究所 做的贡献已在论文中作了说明。 本人签名：j 长i 筻 日期：勿。3 ，2 2 符号说明 以下给出论文中经常使用的符号 “。0 ) ：有限体积元椭圆投影 【，o ) ：双曲型方程半离散有限体积元格式的解 u “) ：双曲型方程全离散有限体积元格式的解 l ，( q ) ：区域q 上平方可积函数集合 l 。( q ) ：区域q 上本性有界可测函数集合 w “9 ( q ) ：s o b o l e v 空间，圯h ”( 锄= w “2 m ) 兀：连续函数至有限体积元法检验函数空间的插值算子 口( - ，兀：) ：与有限体积元方法相应的双线性形式 i i 查苎查兰竺主兰堡垒查! ! 垒 绪论 有限体积元法是求解微分方程边值问题的重要方法之一，它是介于有限差分法 与有限元方法之间的数值方法。有限体积元方法既具有有限元方法处理复杂边界区 域和边值条件的适应性，也具有类似有限差分方法格式的简单性。有限体积元方法 可看作是吸取有限元方法的思想，对不规则网格差分法的发展。 有限元方法的理论已发展到比较完善的程度，并且已被广泛应用。近2 0 年 来，有限体积元方法的理论也有了较大发展，其应用也更加广泛和深入。 有限体积元方法具有以下特点： 1 网格剖分灵活，几何误差小，便于处理自然边值条件。 2 工作量比有限差分法大，比有限元法小。但精确度比有限差分法高，与有限 元法的收敛阶相同。 3 保持质量守恒，这对流体计算很重要。 4 有限体积元方法的变分形式有助于沟通有限元法和差分法的理论和算法。 总之，有限体积元方法既保持差分法的计算简单性，又兼有有限元法的精确 性，是差分法的有意义推广，而且还有继续发展的潜力。 本文的研究主要分三个部分：椭圆型方程的有限体积元方法、双曲型方程的半 离散有限体积元方法和全离散有限体积元方法。 本文第一章主要介绍一些预备知识：包括s o b o l e v 空间的重要定理，有限元空 间的性质，有限体积元方法的原理及常用结论，这些内容是本文的理论依据。 本文第二章主要研究二阶椭圆型方程的有限体积元方法，引入了改进的有限体 积元双线性形式，讨论了4 ( ，兀：) 和( ，兀：的性质。分析了有限体积元格式的日1 模误差估计圆，同时给出误差的二：模和工。模估计。并且，在文献 1 误差分析的基 础上，对误差估计加以改进，得到了更细致的结果。对于二次有限体积元格式，在 文献 8 误差分析基础上，得到与有限元法相同的最优阶误差估计。此章作为第三 章、第四章分析双曲型方程有限体积元方法误差的基础。 目前，对于双曲型方程半离散有限体积元方法的研究工作做的比较少，但对抛 物型方程的研究工作做的较多。主要结果有：抛物型方程半离散有限体积元格式的 h 1 模和己：模误差估计“，抛物型积分一微分方程的半离散有限体积元格式的三， 模、三。模和o 。模误差估计“1 。而对双曲型方程的研究主要限于有限元方法，如 文献 3 利用半群理论分析了双曲型方程的半离散有限元格式的，模误差估计，文 献 1 0 对一类非线性双曲型方程的有限元方法进行误差分析。 东北大学硕士学位论文 绪论 本文吸取了上述工作方法和经验，对现有的半离散有限体积元方法进行改进、 创造陛地补充和发展。本文第三章系统地论述了双曲型方程半离散有限体积元格式 的h 1 模、厶模和三。模和矽1 ，”模误差估计。 为将对椭圆型方程的研究成果应用于双曲型方程的研究中，本文引入有限体积 元椭圆投影“。( f ) ，并且给出其缈1 。模估计。 关于双曲型方程全离散有限体积元格式及其收敛性的研究，这方面的研究仅限 于文献 2 给出的一种全离散格式及其h 1 模误差估计。本文提出了二种全离散格 式：g r a r l k - n i c o l s o n 格式和向后e u l e r 格式，这两种格式从计算上更为简化，同时进 行了更加系统和完整的误差分析。 本文进行误差分析的基本思路是：分解误差，将误差分解成两部分：其中 h ( f ) 一u ( r ) 的估计已在第二章中讨论；主要是h 。( f ) 一u ( f ) 的估计。通过双曲型方 程的变分形式与有限体积元格式相减可得到“。( f ) 一【厂0 ) 的误差分析方程，由于这 部分误差属于有艰元空间，可利用有限元空间的性质分析误差。其中，要用到 口( - ，兀：- ) 和( ，兀：) 的对称、正定性质。由于与二次有限体积元对应的n ( ，丌：) 和 ( ，n ：) 不具有这些性质，对4 ( n ：- ) 进行分解，假设其部分具有该性质，将 ( ，n ：- ) 改写为( 兀：，1 7 ：) ，应用上述方法分析二次有限体积元方法的误差。 对于双曲型方程二次有限体积元方法的研究本文做了如下创造性的工作，给出 半离散有限体积元格式，对其进行误差的h 1 模估计，并且给出半离散有限体积元 方程的具体形式。同时，本文给出了全离散格式及误差分析。二次有限体积元方法 的计算结果更加精确，收敛阶更高。 可见，双曲型方程的有限体积元方法的理论还不够完善，尚有许多如下问题有 待进一步研究。 双曲型方程全离散线性有限体积元格式的l 模、l 。模和矽o ”模误差估计。二 次有限体积元方法的理论体系还不如线性方法完整，双线性形式的性质还需作深入 研究，假设条件需进一步减少。目前，无论是对椭圆型方程还是对双曲型方程，二 次有限体积元格式的三：模、。模和矽1 模误差估计尚未给出。双曲型方程的三次 及更高次有限体积元方法还未建立。同时，对有限体积元方法尚未建立统一的理论 分析模式。 东北大学硕士学位论文第一章有限体积元方法的基本理论 第一章有限体积元方法的基本理论 定义1 1 设如( q ) 为区域q 上的l e b e s g u e 局部可积函数空间，h 砣。( q ) ， 若存在v 如( q ) ，使 正l d 。础= ( 一正v 础，v 伊e c 2 ( a ) 则称v 是“的h 阶广义导数，记v = d 。 定义1 2 设t n 为非负整数，考虑函数空间 这个空间依范数 缈“9 ( q ) - u ：d 。u e l ，( q ) l a s m i i 1 1 , - ( 1 私州i 出卜一 其州b 2 邮i n ) o f 。s u p 。l “蚓 i i , i i ，5m 。a x i i d 8 叱。，p = o 。 构成一个b a n a c h 空间，称之为s o b o l e w 空间。 规定半范数如下 川。2 ( i 私酬9 办卜一 b i 。，。= m a 。x 0a t f 。，p ；。o 规定啊? ( q ) 为c ；( q ) 按范数卜k ，在空间”( q ) 中的闭包，则h 7 ，( q ) 是一个b a n a c h 空间。规定 东北大学硕士学位论文第一章有限体积元方法的基本理论 h ”( q ) ；讳7 州。2 ( q ) ，片；( q ) = i 收，2 ( q ) ， i i j l 。= j | j j 。：，l l = l 0 。：，j l 。= j i 。： 定理1 1 t 1 设q c r ”为有界区域，边界a q 是局部删t z 连续的，卅，k 为非 负整数，1 5 p 0 0 ，则 f f ”+ k , v ( q ) 一钿( q ) ，m 一n ，1 5 9 生， p矗一m p w r “+ k , p ( q ) 一缈一( q ) ，m ；兰，l 0 。 有限元逆性质 1 设剖分瓦是拟一致的，“。是五上分片多项式函数， 1 s r ，qg 。，zg 坍，则存在常数c ，使得 ( 驯：。) ；sa 一蚺一”缈k ) ； ( 1 3 ) 东北大学硕士学位论丈第一章有限体积元方法的基本理论 规定当q ；0 0 时 特另0 ，当r = q = 2 时， 有： 羔 ( p 也x ) 一m 喝a x 虬一x ( 渺i 删”( 弘 于是，可得到有限元空间的一个常用逆不等式 l u , i i ，sc i l u l l 。1 s p s 哆v u 圪 弱嵌入不等式设q c 矗“，l 苫2 ，剖分瓦拟一致，c c ( 西n 缈抽( q ) ，则 j i , , 。l l 聃sc o k k + j l n j 了n - i 吲，。) ，。k 特别，当kc c ( _ ) 1 7 w 一( q ) 时， 岫sc l l n ，l i 了n - 1 叭。，v u 。 s o b o l e v 空间常用如下不等式 肛k ，a c l u i 。，矾c 纠9 ( q ) ，1 s p s m 即在喇9 ( q ) 空间中范数4 l 如和半范数j k 等价。 1 3 有限体积元方法的原理 ( 1 ，4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 设是可分的实i - f i l b e r t 空间，内积( j ) ，范数0 u , v 蔓3h 的稠密线性子 集，在u ，矿中引进新内积( ，) u 和( ，) ，相应范数i | 忆和0 忆使u ，矿成为 h i l b c r t 空间，假定u ，vz s h 的嵌入算子连续。 假定彳是一线性算子，d o ) 是u 的线性稠密子集尺o ) c y t ，对，矿，考 虑算子方程 查! ! 垄兰堡主兰竺笙查 苎二主壹堡堡塑垄查兰竺墨查墨笙 a u ；f 构造双线性形式 a ( u ，v ) = 似“，v ) ，v u - d ( a ) ，v y ， e 2 a ( u ，v ) 是d 似) x v 上的有界双线性形式 i a ( u ，v ) s m 。h ，v u e d ( a ) ，v e v 则可将a ( u ，v ) 连续扩张至ux v ，使上式对一切0 ，v ) u y 成立，于是方程 a “= ，的变分形式为 求“e u 使 a ( u ，v ) = ( ，v ) ， v v e v 现用广义g a l e r k i n 法求解上述方程。选取试探函数空间乩c u 和检验函数 kc v ，d i m u ；d i m v h n ，则广义g 乱融血方法是 求u e u 使 口 。，h ) = ( ，h ) ，v v h k 定理1 2 ”设双线性形式口0 ，v ) 满足 陋0 ，v msm 陋忆h ，v u e u ，v y ， 懑烈砸 1 0 则方程口0 ，v ) = ( ，v ) ，v v e v 和口 。，v 。) = ( ，h ) ，机。圪分别有唯一解“和w 。， 且有误差估计 i 虹- u , i i 。s ( 1 + 争箍陋一瓦 上述定理表明：“。收敛到“的阶由试探函数空间砜决定，检验函数空间k 只 影响估计式右端的常数。可见，选取具有较好逼近性质的试探函数空间可以保证近 似解的收敛速度，选取较为灵活的检验函数空间可以简化计算格式。这正是有限体 积元方法的一般思路，选取有限元空间为试探函数空间，取局部t a y l o r 级数生成检 验函数空间。 构造u 。x 上的离散双线性形式口 ( ，) ，满足 a 0 ，v ) ；( a u ，h ) ，v u d 口) ，v k 近似计算格式为 东北大学硕士学位论文 第一章有限体积元方法的基本理论 a ，y h ) ；( ，v ) ，v v k 设l 为u 至k 的线性算子，l 乩= k ，则上述方程等价于 口一 ，l _ ) 一( ，f 傥k ) v 定理1 ，3 “设口一( 。，l ) 是按下述意义一致乩椭圆的：存在一个与u 无关的常 数a 0 ，使 n 一( “一，l “。) z 口b v u 。e u 。， 则方程吼o 。，r ) = ( ，r ) ，v e u 。存在唯一解 “且有如下误差估计： i k , - , , d 。s 糕础+ 掣】 1 4 常用的几个结论 椭圆正则性【1 】设g 上，( q ) 1 主q 墨吼，设4 为区域q 上的二阶偏微分算子，则 椭圆问题 4 一g , x o ；c o i m 0 盼解日：n 2 一唯一存在且满足 1 1 4 ：。s c l l g l l 。，1 s g s q 。 其中q 为凸多边形区域，q 。一2 + a ，口，0 为依赖于q 最大内角的常数。当q 具有 光滑边界时，q 。为任意常数。 在对双曲型方程半离散有限体积元格式进行误差分析时常用如下引理。 g r o n w a i i 引理1 1 设，o ) 和g o ) 是【0 ，引上非负可积函数，对正常数口房 ，( f ) s 昭o ) + 卢( f ( v ) d f 或 f s r i g ( t ) + 母l ：f ( v ) d t 则有 ，o ) s 口+ p e x p ( 刀2 j c g f 或 ，( f ) s 口 g o ) + p e x p ( 玎) g ( v ) d r 】 在对双曲型方程全离散有限体积元格式进行误差分析时常用如下引理。 离散g r o n w a i l 引理【1 】设 叩。) 是非负数列且满足 - 8 - 东北大学硕士学位论文第一章有限体积元方法的基本理论 艮 篆叩钉 其中m ，0 ， 卢。) 为非负单调不减数列，则： 玑5 e x p ( 磊，妒一，l 芑1 东北大学硕士学位论文第二章椭圆型方程的有限体积元方法 第二章椭圆型方程的有限体积元方法 ( 2 1 ) 由椭圆正则性理论知：当，( q ) 时，问题( 2 1 ) 存在唯一解日：n z 一且 扣8 ：，c 8 ，j j 。，l s gi 窖。 与问题( 2 1 ) 相应的变分形式为 求“h j ( q ) ，使 口 ，v ) = ( ，v ) ，v v e n ；( q ) 其中a ，v ) 。，f 。、越o u 。以o v i + i o ui o r ) 出，( ，v ) = 上a 矗 问题( 2 2 ) 的解称为问题( 2 1 ) 广义解。 2 1 试探函数空间和检验函数空间 2 1 i 区域的三角网格剖分 假定q c r 2 是凸多边形区域，其中边界a q 是简单闭折线，将西分割成有限 个不相交的三角形之和。每个三角形称为单元，三角形的顶点称为结点。所有单元 k 构成q 的一个三角剖分，记作瓦，则有西；u k ：k e t a ，其中 为所有三角 形的最大边长。 现构造一个与瓦相应的对偶剖分巧。设r 是任三角形的节点， 只( f = 1 ，2 ，。j 6 ) 是和b 相邻的结点，m 。是最只的中点。在单元纰霉墨+ 。( b 。e 1 ) 内任取一点q i ，依次连接m 。0 1 m 。q 6 m ，得到一个围绕晶的多边形区域k ：，称 为对偶单元。所有对偶单元构成西的一个剖分矸，称为对偶剖分，q ，称为对偶剖 东北大学硕士学位论文 第二章椭圆型方程的有限体积元方法 若取q f 为a e o e ，p , + ，的重心，则得到重心对偶剖分，如图2 1 。若取q f 为 战只只+ 。的外心，则得到外心对偶剖分，如图2 2 a n 图2 1 p 3p 4 图2 2 飓 。 用n 。表示剖分节点集合，n h n h a q 表示内节点集合。：表示对偶剖分 露的节点q 的集合，表示含q 的三角单元，以s 表示的面积，s 峨表示 k 二的面积。以后总假设剖分瓦和写是正则的，即存在与 无关的常数c l ，c ：，c ， 使： c 1 1 1 2 s 5 5 h 2 , v q ；，c 2 2s s 碥5 c 3 2 ，v p o n s 2 1 2 试探函数空间 选取试探函数空间s 。c c ( 砀n h ：( q ) 为定义在剖分五上的标准线性函数空 间。对于v “一瓦满足“。c ( 百) ，“。j 。q = 0 且“。只( k ) ，即。在每个三角单 元k 五上是关于石。，x ：的一次多项式。显然： s = s p a n c p r 0 ) ：只。，吼为线性有限元节点基函数 定义插值算子兀。：c ( q ) 一s 。 i - 1 一“= “僻) 卿 ) 彤氧 设k = 只弓最为任意三角单元，p ( x 。，石：) 是单元内任一点，如图2 3 。 东北大学硕士学位论文第二章椭圆型方程的有限体积元方法 竹 匕 图2 3 引进面积坐标 了s i ，a ，；，九= 则有： “ 兰“。a f + u j a j + “t 九= f + 一u i ) j + ( “i u i ) 熹= 去2 1 - - x 2 k ) 嵋吨f ) + 吣2 i - - x 2 j ) 】 警= 去阻，o l k - - x u ) + m ，。i i - - x l k ) + “。，一h ) 】 其中，；“。) 异坐标为( z ，z ，) ，f ：i ，k 。 2 1 3 检验函数空间 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 取检验函数空间s ；为相应于对偶剖分露的分片常函数空间，对应于内点只的 基函数为妒。书嚣瑟 对v 嵋霞，有嵋一三v ；( 霉) l f 4 定义插值算子1 3 ：c ( q ) 一并 兀：“；h 慨b 可见对v v ；西，存在唯一的叱e s 。使兀：= v ：。 定理2 1 丌：具有如下性质 ( i ) 正( “一r i ；u 一) 出= o ； 弘一一兀：“一) a s = 0 v l c o k ，k ，对于v “ s 。 ( i i ) 三岍：4 s s i f 兀；：啡v u 。黾 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 东北大学硕士学位论文第二章椭圆型方程的有限体积元方法 ( i i i ) 0 ，兀：v ) ；( v h ，兀：u ) ，v u ，v e s 证明：( i ) 可通过直接计算并注意e s 。为分片线性函数得到。 酬n ：城，正i 兀：“。j 2 出寺q ? 叫2 + ；) 利用二次精度数值积分公式有 ；。一正川2 出= 等嗽。) + “：( m ，) + “；。) 】 ；西s k 【“- ；2 + “，2 + “。2 + 。i - i - u j + u k ) 2 】 ：其d p m 。，m ，m 。为k 一凹只只三边中点，如图2 4 。 m i p k 图2 4 由上两式可见( 2 6 ) 式成立。 肼加磊驴p ) f a k r , n x u h d x 其中立嘏舭埘批4 a 利用h 的线性性质有 厶o k u h 出 2 ；阻朋) 地抄( q ) 】等+ j 1 ) + “。) 他( q ) 】- 鲁 = 急 2 拙。( 只) + 砌。( 弓) + 他。( 最) 于是。n ，儿2 荟盖k 假砂一心p 一假，( 孑季三) 瞄墨) 可见( 2 7 ) 式成立，证毕。 由上式可见 。，：u h ) z0 ，由此可以规定 ( 2 7 ) 东北大学硕士学位论文第二章椭圆型方程的有限体积元方法 m i i i - ，n 飘) j 由上述定理的证明过程可见肛川| 与j b 。0 等价，即存在正常数q ，c ：使 c 1 圳c 2 ，妇。e s 。 2 2 有限体积元方程 2 2 1 相应于有限体积元的双线性形式 ( 2 8 ) 在有限体积元方法中，s ：仁日：，s ：中的基函数在相邻单元的边界上失去连续 性故必须引进与有限元法不同的双线性形式：令a ，y ) 为由j 血峨关于对偶 单元k 逐片分部分积分得到的双线性形式： 相应于问题( 2 1 ) 的有限体积元格式为 求“ e s ，使 0 ，v ) e ( h 2 u s ) x s ： ( 2 9 ) ( “，v ) e h ：x h ： 口0 一，v ：) = ( ，v ：) ，v v ：e s ： 或n ，兀：v ) 一( ，兀：v ) ，v v 。e s 。， 由( 2 2 ) ，( 2 1 0 ) 式有 a ( u 一“ ，兀：v h ) = 0 ，v h e s 2 2 2 有限体积元方程的具体形式 下面讨论方程 口 一，丌：) = ( ，：) ，v e s 。 或 口 。，妒昂) = ( ，妒r ) ，v _ r m o 的具体形式。其中 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 出 堕= 蔓 誊丽黧丽 藩正 业苎兰堡主生堡堡查 一笪三塑型竖盟塑坠坚丝 n 眠，n ：) = “( 晶) 口( m 一，妒昂) 昂e 心 设卑( f 。1 ，2 ，6 ) 是和晶相邻的结点，如图2 - 1 ，注意豢，警在每个单元k 内是 常数，利用( 2 3 ) ，( 2 4 ) 式，则有 出脚护k 挚= ( 挚：一薏 = 砉ke 挚：一鼍啪 ：善6 卜旦兰磐仁：似一x ：。) ) + 旦竺磐k 。) 一工t r ) ) 】 爿 “2 ；善6 砑1 讹吨2 , + - 1 - - x 2 , 0 m + 1 _ “。2 , 0 - - x 2 , - 慨- + 【m f u o ) o l ，。一x l , i + 1 ) + i “一h o ) l 一x i , o ) 】 l “一z l ) ；善6 耐1 ”。婀一峨一口加“。肛6 7 确1 仁1 刁 其中口。瓦，h ；丽，岛。e 。 ( ，虬) k 触 由上述二式可得相应于r 点的有限体积元方程。 对于均匀矩形网( 边长 ) 上的三角剖分，如图2 5 a 图2 5 作外心对偶剖分，则相应于剖分节点己的有限体积元方程为： 乱# - - “i - l , j 他“，一叫一l - - u i , j + 1 。厶f a x ( 2 1 3 ) 记“= “一( 弓) 。 ，1 5 - 东北大学硕士学位论文第二章椭圆型方程的有限体积元方法 对于正三角形剖分，如图2 2 ，则相应于只。的有限体积元方程为 万1 ( 缸。一妻，) = 正；肚 ( 2 1 4 ) 2 2 3 双线性形式的性质 定理2 2 设h 日u s ，s ，则有 a ( u ，v ) = a ( u ，n ：v ) + q ，v ) 其中盹啪。弘v 帆一兀：啪一泓缸帆一兀：v 一胁 证明：利用g r e e n 公式 磊，v h ) x5 弘v u n v h d s - - a 帆v 一) 磊，n m2 磊石，l - i ；k 。弘 - hv h “磊丘卧巩岫 5 弘，l 丌：v h d s - a ( u ，队) 将上述两式相减可证( 2 1 5 ) 式。 特别，* i n ( 2 5 ) 5 1 ) 时， 协兀丌：( 兀川】。j 善( ，一厶，兀p h ；, ( i - i 一甜) 卜国2 | | ，| | ”砘。 s 。2 | | ，| | - i i 叱s c h 2 却s c h 2 i l i i i 却h i i ，其中三p + 言“ 于是u h 忙c h 2 。 当，e w l 1 时，在上述论证中取p 。1 有 肌l - i 。一兀：1 。) 】 c h 2 | | ，| | 。，l i f t o , i i 。 利用有限元空间逆性质( 1 3 ) 和嵌入定理，对口，2 有 i i r i 。咄。sc h i i r i 础，sc h 一1 1 4 sc h 一, 5 1 k o l l ：，取口= 一l n h ， 陋砘。妄c i l i l 0 ：sc 1 1 n h h “一0 于是 ”l u u h 忙c h 2 i l n h n l y 。 2 5 二次有限体积元格式 2 5 1 试探函数空间和检验函数空间 如2 1 1 作百的正则三角剖分五，用。三角单元顶点集合，m 表示三角单 元边中点集合。k 表示三角单元重心q 的集合，m o ：n h a q ， 2 1 查些查兰壁主兰堡垒墨j 坠三墨塑旦兰童至堕篁卫型型 o 。；m 心a q 。作与瓦相应的对偶剖分巧，它由围绕p a 的多边形区域k ；和 围绕m m 。的多边形区域k 二组成，k ；和k 磊称为对偶单元，作法如下： 设r ，枷堵6 ) 是和晶午目邻的结点，蕊毒函，依次连接 p 0 ；( f ：1 2 ，6 ) 各点，得到k 五，如图2 6 。 p 3 图2 五 p 5 m ；是矗置的中点，q 为蝎矾，重州马硼，丽一；两，岛为 只f b ( 1 - 0 工2 ) ( 只7 。) 的中点，依次连结p 0 。q s q s q 0 6 e 。q m q t q z 得到围绕 m ：的边形区域j 。，依次连结p 位q 。：q 1 q 。& q s 如q * 岛得到围绕m z 的多边形区 域磁：，如图2 6 。 取试探函数空间s 。为相应于剖分瓦的l a g r a n g e 型二次元空间，相应基函数满 足下列插值条件 味叫j p = 8 m ， 东北大学硕士学位论文第二章椭圆型方程的有限体积元方法 _ 。忙p m = m o 朋。， o0 其中只 ，m o e m 。 取检验函数空间薯为相应于对偶剖分露的分片常函数空间，相应基函数分别 为： 妒昂妒，。 ：v v p p 圣e k k 五 v o ，妒p ，。筘嚣主嚣： oo 其中b n h ，m o e m 。 定义插值算子兀：c ( q ) 一s ： 兀：“。乏“p 。岛+ 澎( 膨。渺机 蝌l m b 。 2 5 2 有限体积元方程 相应于二次元的有限体积格式为 求h e s ，使 口瓴，兀：v h ) 一( ，兀：叱) ， d r he s 。 其中口瓯，兀；：) 2 乏编瓯，妒晶) + 劲( 坳瓴，) ， 昂6 m 嘲 口( u s , t p e o ，5 k 挚z 一薏； 于是口m 一，l i ；v 一) 2 乏k ( “* ，兀， 毗) 。肇z 一警 k 以一，1 7 ；y 一卜，磊! ”( 日岘( 一争z + 警奶) + v ，蛰一詈矗：+ 卺出。) 】 其中：m - u = i ，后) 为k 5 衅。只三边中点，耳i = ；耳虿，q 为岛乓的中点， 如图2 7 ，厶= 只“，日n ：，工：= 日+ 2 ，9 + ：1 2 q + ，另。，+ ：， i + 1 = j ，+ 1 = k ，k + 1 = i 。 东北大学硕士学位论文第二章椭圆型方程的有限体积元方法 p 图2 7 记访，x = 0 。佗) ，v 。吧) ，h ) ，v 似；) ，h a h 。) ) r 蚕；0 。 ) ，弼) ，假地。) ，“。，) ，。) 尸 对于正三角形剖分，经过计算 聃 n ) | 去屯以沁 其中 a 。= f 2 3 0 ) 定理2 - 9 冈设三角剖分不中每一单元的最大角不超过三且最大角两夹边长度之 恍【信，序，则存在正徽，使 。 一，丌：v 。) z a ；，v u 。& ( 2 3 1 ) 定理2 1 0 习设定理2 9 条件成立，h 是变分问题口m ，v ) ：( ，p ) ，v ：( q ) 的 解，是二次元有限体积格式口以。，兀：吒) 一( ，：) 的解，若“口，( q ) ，则有 误差估计： 肛一吼s 伪2 l l u l r ， + 2 4 - 陀3 2 ) 4 4 4 4 4 0 一 一 一 一 一力 4 4 4 4 o 4 一 一 一 一2 4 4 4 0 4 4 一 一 一2 一 一 。，如o o 。加，oo m ，o o o 查些垄兰堡主兰堡垒查箜三主墨苎型童兰型监蔓型望卫型塑墨! 堕 第三章双曲型方程的半离散有限体积元法 3 1 半离散有限体积元格式 3 1 1 半离散格式及有限体积元椭圆投影 考虑二阶双曲型方程的混合问题 u 。一血；，o ) ， “l 帕lo ， “= u o o ) ，“= u 1 0 ) z q ，t j( 3 1 ) 1 t j ( 3 1 ) 2 t ；o , x e q( 3 1 ) 3 ( 3 1 ) 其中- ，：；( o r 】，假定qc r 2 为多边形区域，则问题( 3 1 ) 的变分形式为 求“o ) ：，一日：) 满足 卜v ) + n o ，v ) _ ( ，m ) ， v ”以( q )( 3 2 ) t ( 3 国 1 “= u o ) ，h ，；u 1 0 ) ，t o ，x e f 2 ( 3 2 ) 2 其中a ，v ) = 上f o u 瓦o v + 瓦o u 面o r _ ) 出， h - j 题( 3 2 ) 的解称为问题( 3 1 ) 的广义解。 如2 1 作q 的正则三角剖分瓦和对偶剖分巧，构造分片线性试探函数空间s 和分片常数检验函数空间s ：。 半离散有限体积元格式为 求u ( r ) ：j s 满足 f “，：v 一) + 口口，n ：v 一) = ( ，( f ) ，兀：h ) ， v v 一s ( 3 3 ) - 0 - 3 ) 1 u ( o ) 昌, 嘶5 ，u ( o ) 暑u 协s ， 工q ( 3 3 ) 2 其中a ( u ，v ) 如( 2 9 ) 式定义，b o h , u 。为u 0 ( x ) ，“。( x ) 的某种近似。 取定空间s 。的基底却，k , n s ：的基底抄，) ；，则问题( 3 3 ) 可表示为 求u ( f ) = ( f 砌中系数 ，o ) h 使之满足下列常微分方程 东北大学硕士学位论文第三章双曲型方