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基于相依误差回归模型若干问题的研究 摘要 回归模型的主要问题一个是回归参数口的推断，如估计量的相合性，一个 是基于估计量的误差分布的诊断。其中，很多经典结果都建立在独立的情形 下，但在很多场合，独立这一前提并不成立。因此，在相依样本下，学者们作 了大量的工作。本文对文献中已有结果进一步分析，得到了一些比较好的结果。 具体内容如下： 一研究了基于相依误差下线性模型误差分布的渐近性质，构成了本文的 第二章。 二在第二章的基础上，第三章我们进一步研究了基于m 估计下线形模型 误差分布的估计问题，在较弱的条件下获得了估计量的相合性，推广 了现有文献的相关结果。 三在第四章，我们研究了基于正象限相依( p o d ) 样本下非线性回归模 型回归参数的估计问题，获得了估计量的强相合性结果。 关键词：矽混合p 一混合万一混合p o d 序列核估计相合性 r e s e a r c h so nr e g r e s s i o nm o d e lw i t hd e p e n d e n te r r o r a bs t r a c t f o rt h er e g r e s s i o nm o d e l ，o r l eo ft h em o s ti m p o r t a n tq u e s t i o n so ft h i s m o d e li st h ei n f e r e n c eo ft h er e g r e s s i o np a r a m e t e r8 ，s u c ha st h e c o n s i s t e n c eo ft h ee s t i m a t o r ，a n dt h ed i a g n o s i so fe r r o rd i s t r i b u t i o n i nt h e r e g r e s s i o na n a l y s i s ，m a n y c l a s s i c a lr e s u l t sa r eb a s e do n i n d e p e n d e n ta s s u m p t i o n h o w e v e r ，t h i sa s s u m p t i o n d o e sn o th o l di n m a n yo c c a s i o n s t h e r e f o r e ， s c h o l a r sm a k em a n ye f f o r t s u n d e r d e p e n d e n ts a m p l e s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a k e f u r t h e ra n a l y s i so f p r e s e n c ec o n c l u s i o n s i ne x i s t i n gl i t e r a t u r e ，a n do b t a i ns o m eg o o d r e s u l t s t h ed e t a i l sa r eg i v e na sf o l l o w s ： 1 t h i sd i s s e r t a t i o nr e s e a r c h e sa s y m p t o t i cp r o p e r t i e so f e r r o r d i s t r i b u t i o no nt h eb a s i so fd e p e n d e n te r r o r ，w h ic hc o n s t i t u t e so f t h es e c o n ds e c t i o n 2 i nt h et h i r ds e c t i o n ，w ef u r t h e rr e s e a r c ht h ee s t i m a t i o np r o b l e m o fe r r o rd i s t r i b u t i o ni nl i n e a rm o d e lb a s e do nme s t i m a t i o n ，g e t t h ec o n s i s t e n c eo ft h ee s t i m a t o ru n d e rw e a k e rc o n d i t i o n sa n d p r o m o t es o m er e l a t e dr e s u i t so fe x i s t i n gd o c u m e n t s 3 i nt h ef o r t hc h a p t e r ，w er e s e a r c ht h ee s t i m a t i o np r o b l e mo f p a r a m e t e ri nn o n l i n e a rr e g r e s s i o nm o d e l o nt h eb a s i so fp o s i t i v e q u a d r a n td e p e n d e n ts a m p l e s ，c o n s t r u c t e s t i m a t o ra n dg e tt h e r e s u l to fs t r o n gc o n s i s t e n c eo fe s t i m a t o r k e y w o r d s ：# - m i x i n g ；声m i x i n g ； 万一m i x i n g ；p q d ；k e r n e le s t i m a t i o n ；c o n s i s t e n c y ； 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 金胆王些太堂 或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：飙 签字日期：弘i 。年严月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 佥月墨王些盘堂 有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被 查阅或借阅。本人授权金目曼王些盍堂可以将学位论文的全部或部分论文内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名： 甍埚 签字日期：如l o 年华月1 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名：渤以事 签字日期冽年月夕日 电话： 邮编： 致谢 在本论文的构思、成型、审稿以及最终定稿的过程当中，我受到了凌能祥 老师给予的悉心教导和指正，老师渊博的知识，深厚的学术造诣，严谨的治学 态度，平易近人的人格魅力对我影响深远。在理论的研究方法上给予我深刻的 启发；在教学过程中，老师对学生不厌其烦的态度值得我学习，对我以后从事 教育行业有着示范作用，尤其在研究方向迷茫的时候，老师对我的关心和鼓励 更是我能完成这篇论文的主要动力，在此，向老师表示深深地谢意。 另外，还要感谢合肥工业大学数学系为我提供了难得的学习机会和良好的 学习环境，感谢曾经给我上课的杜雪樵老师和惠军老师，老师们在理论上的指 导也起着非常重要的作用。 最后，还要感谢我的家人，多年来，帮我分担压力，使我能够安心学习， 完成学业。 衷心祝愿那些关心和帮助过我的朋友，老师，同学，永远健康，快乐! 作者：李碉 2 0 10 年1 月1 0 日 1 1 背景和研究现状 第一章综述 考虑线性回归模型： y ，= x ；p + e 。，f = 1 , 2 ， ( 1 1 ) 模型中y ，和薯= k ，x x 加y 是可以直接量测的量，是未知的p 维回归参数， k 是同分布的误差序列，有未知的密度函数翩，e e 。= o ，d e ，= 仃2 0 的条件，证明了相合性，文 中对于p ( ) 的条件非常弱，使其包含了。l s e 和l a d e 估计的情形。文 5 6 7 也对点列x 。做了同样的设计。刘东海1 , 5 1 6j 在k 独立同分布的情形下去掉了对点 列x ，的设计，研究了m 估计下误差密度核估计的相合性。本文第三部分则在够混 合误差情形下去掉了对x 的限制，得到了基于m 估计下误差密度函数核估计相 合性的结果，所需条件和文献 1 5 相似，从而推广了现有文献中的相关结果。 本文第二部分涉及两类较为广泛的相依随机变量列：卢一混合序列和勿一混 合。乃一混合的概念1 9 9 0 年由b r a d le y1 9 j 引入，痧一混合的概念2 0 0 4 年由文献 1 1 引入，有关它们的极限理论可参见文献 3 。 关于这两类混合序列的定义如下1 3 j ： 设n 为自然数集， x ，；f n 是概率空间( q ，a ，尸) 上的随机变量序列， 瓦= 万似，；i sc ) ，互= 仃伍，；f 七) ，磁。= 仃( x ，；f k + 刀) 为仃一域，所有可测 且p 阶矩有限的随机变量全体记为l 。( 彳) ，在a 中给定仃一域，足，令 p ( f ，r ) = s u p c o r r ( x ，】，) i ；x l 2 ( f l y 岛( 只) 妒p ，r ) = s u p p ( b a ) 一尸( b ) l ；彳f ，尸( 彳) o ，ber ) 对于k 0 记p o ) - s u p p f k ，。)妒0 ) = 黜缈，磁。)丘e ，v膏e 声( 摊) = s 卿( 瓦，b ) ；有限子集s ，tcn ， 弓d i s t ( s ，t ) ，l 痧( 刀) = s v p 劬( f s ，b ) ；有限子集s ，tcn ，目d i s t ( s ，t ) 珂 其中 ( x ，】，) ：与塑罢为相关系数，d i s t ( s ，r ) 表示& r 的距离 、a r a a r l 定义：对随机序列。；靠1 ) ，如果存在玎。1 ，使声o 。) l 够如。) o 是一个同刀有关的 常数，定义 椭= 面i 喜k t e n l i x ) ( 1 2 ) 称为总体未知密度函数厂( x ) 的一个核估计，k g ) 满足： ( 1 ) k ( ) 在r 1 上有界，且r e i m a n n 可积 ( 2 ) k ( ) o ，e k ( 蛐= 1 ( 3 ) 存在m ，当 爿m 时，k b ) = 0 定理1 ：在线性模型( 1 1 ) 中，设误差序列 e i ) i 1 ) 是同分布万一混合序列，有公 共密度厂( x ) ，满足e e ，= 0 ，0 1 ，窗宽九 ，z ”。 满足石魂( 1 。g 玎) 叫l ) 专。，对x c ( 厂) ，有 ( x ) 一厂( x ) ， n 寸o o 这里占。是乙s 估计的残差。 定理2 ：在线性模型( 1 1 ) 中，设误差序列 e ，i 1 ) 是同分布万一混合序列，有公 共密度厂 ) ，满足e e ，= 0 ，0 1 ，窗 拧 一 宽既满足石魂( 1 。g 疗) 一l ) 一，对x c ( f ) ，有 ， 正( x ) 一厂( x ) ， 刀啼 这里每。是l s 估计的残差。 定理3 ：逐点强相合 在线性模型( 1 1 ) 中，设误差序列 e i , i l 是同分布缈一混合序列，有公 共密度( z ) ，p 为r l 上一个选定的凸函数，砟) ：羔p 瓴一瑚) ，必r p ) ，的 1 = 1 m 估计定义为h p ) 的一个最小值点。 先做如下假定： 4 ：p 左右导数分别记为虬，y 一，存在少，缈一y 虮使e y ( e i ) = 0 a 2 ：g - 在，当玎r l o 时，s 。= t x ；为p 阶正定方阵 i = 1 4 ：脚e 够g r + ) 一缈0 。) ) 2 = 0 a 4 ：y 有界 a s ：d 。= 。0 0 9 一2 刀) ( 以= 嚣一w - 1 t ) 则若o 以j o ，何1 , 一l o g n o ，有： 巩 五g ) 竺。厂( x )占。是m 估计的残差 定理4 ：对于非线性回归模型y ，= 厂g i ，矽) + e ，i = 1 , 2 ，l l 令缈为r 上非负凸函数，1 9cr p ，否为 的闭包，定义p 的m 估计量为晓o ， 使得：q 幢) = r r f i n b ( ，) ，孬) ，其中，q ( ，) ：窆缈一b ，) ) 。s 为r d 上的有界 闭子集，厂在s 否上连续，少( 缈，而，) = 妒( 国+ 万( 薯，) ) 为r sx 虿上的连续函数， 且存在r 上的函数h ，h 的导函数有界，且满足 4 s u p 一眵0 ，x ，d - c 时，乃( z ) a c ，a 0 为常数， 若叠，) 为有概率密度的p q d 序列，满足ee ? 0 0 ，e e 。= 0 “( 刀) = 哿i ，磊。l c o v ( 巳，刮，甜( 1 ) e 缈g ，) i = 1 , 2 ，刀 那么对任一固定的，z ，存在晓；且反型_ 9 ，疗一0 0 。 第二章相依样本下线性模型误差密度估计的相合性 2 1 引言及若干引理 在第一章综述中已经介绍了乃混合和痧一混合的定义，从定义中看，p 一 混合( 驴一混合) 只要求存在一个不小于1 的，使得万( ) 1 舻_ 。) 1 ) ，这个 要求比通常的p 混合( 要求p o ) 与o ) ( 勰合( 要求缈o ) 与o ) ) 要弱得多，所 以这是两类比较广泛的相依序列。吴群英等1 3 j l l o j 【i i j 给出了声一混合( 驴一混合) 序 列的基本不等式，讨论了部分和的收敛性质，获得了与独立情形相似的b a u n 和k a t z 定理，m a r c i n k ie w ic z 强大数律等收敛性质。但关于此类误差序列下， 密度函数相合性的文献还未见报道，这一章首先得到了在第一章提出的关于模 型( 1 1 ) 中未知卢的最小二乘估计的强相合性，在此基础上，运用了声一混合 序列和西一混合序列的矩不等式0 | ，最终得到了各自的基于残差的误差密度 f ( x ) 的核估计的逐点弱相合性，获得了与其他相依情况下类似的结果。 引理2 1 1 如果 x 。，以1 ) 是概率空间( q ，f ，p ) 上的声一混合序列( 痧一混合序 列) ，那么对于b o r e l 可测函数g ( x ) ，有 g ( x 。) ，刀1 ) 也是p 一混合序列( 一混合 序列) 证明先证结论对乃一混合序列成立 由于 x 。，f n ) 是概率空间( q ，f ，p ) 上的声一混合序列，则由乃一混合序列的定义 可知，存在1 ，使得声( 嘞) 1 这里， b ( n ) = s u p p ( 尽，厉) ，有限子集s ，t n ，且d i s t ( s ，t ) n ) ， ( 2 1 ) 其中d i s t ( s ，丁) 表示集合s ，t 的距离，并且 尽= c r ( x ，f sc ) ，日= o r ( x 。，f tc ) ( 2 2 ) p ( f ，r ) = s u p c o r r ( x ，r ) l ；x l 2 ( f ) ，】，厶( r ) ( 2 3 ) 其中f ，r 是中给定的仃域，c d ( x ，】，) ：塑二堡为相关系数 4 v a r x v a r y 对于b o r e l 可测函数g ( x ) ，考虑 p s = 盯q 伍。) ，sc ) cf s ，耳= o ( g ( x 。) ，f tcn ) cb ， ( 2 4 ) 记 p ( b ，再) = s u p 。c o r r ( x ，】厂) | ；x 厶( 尽) ，y 厶( 斥) ) ( 2 5 ) 反( 刀) = s u p p ( f 。s ，戽) ，有限子集s ，t n ，j i d i s t ( s ，t ) 以) ( 2 6 ) 由已知，我们有，存在l ，使得p ( ) 1 ，所以对上述的珂。1 ，且满足 d i s t ( s ，r ) r o 的有限子集s ，t n ，由( 2 4 ) 和( 2 5 ) 知，对任意的满足 x 厶( 最) ，y 厶( 戽) 的集合x 和y ，结合( 2 。1 ) 、( 2 。2 ) 、( 2 。3 ) ，就必有( 2 6 ) 6 1 于是羼( ，z o ) 1 所以由定义知 g ( 以) ，刀1 ) 也是声一混合序列 同理，当 x 。，1 ) 是一混合序列的时候，可以完全类似于p 一混合序列的证明 过程，这里从略。 引理2 1 21 3 设 x 。，刀1 ) 是万一混合序列e x j = 0 ，e l x ，i 可 0 ，若记 最( 口) = x ，那么存在仅依赖于g 和声的常数c ，使得对v n 1 ，v a o 有 e 1 s 。( a ) 1 9s c e i z h ，= 口+ l c ( 研) 2 + e i x , h t = a + ll a * a + i e m 。；a ，。x 。s i ，( 口) 1 9 l s ，s 月 o c l 0 9 9 刀 ex 。n j = 口+ l 0 2 0 2 a l a - i - ii ；口+ l 系1在引理2 1 2 的条件下，令a = 0 ，由( 2 7 ) 式，即有 e l s o l 9 c e 俐9 ) 0 2 t = lt = l 引理2 1 3 3 1 设 x 。，力1 ) 是一混合序列e x ，= 0 ，e l x ，i g ，q 1 ，若记 s 。三yx ，那么存在仅依赖于的常数c ，使得对v n 1 ，有 ”_ 一 ，= l e m 胁a 引x s 丁1 5 ，s 月l o l 引理2 1 4 a l 则 c l 0 9 9 玎 e l x ，n ，= i c l 0 9 9 刀 ( 倒秒坨+ e 俐9 ) ，l lf = l 设 x 。，刀1 ) 是万一混合序列，满足 l 0 9 2n v a r x 0 ； ( 2 ) 对某个f ，o = 1 , 2 ，p ) 有l i m 。一v ? ll i m 。一s i l ( f ，f ) = 0 ； ( 3 ) 设厂( x ) 为定义在( 0 ，o o ) 上的正值函数当x 山0 时，f ( x ) x 2 个0 0 ，且对某个 a 。，有r 爿万出 ，则当甩啼时，有 庞一届= o ( f m ( 彬) l g 。1 ) a s 引理2 。1 7在线性模型( 1 1 ) 中，设误差序列娩，f 1 ) 是同分布万一混合序列， 满足，：0 ，o ? = 0 - 2 l ，有 时p l l ：d ( 刀一；( 1 0 9 n ) 件兰) a s ( 2 1 1 ) 证明 由引理2 1 6 ，取9 1 = 1 ，g 。= ( 1 0 9 玎) 一1 伽2 ) ，厂( 尹) = f i l o g t i 占( o c ? _ _ j = 2 由引理2 1 4 知，a s 收敛( ”一) 所以， g , e ， 为一收敛系统 由引理2 1 6 及其条件即得 l i 房一硎：。一；( 1 0 9 n ) 什吾) a s 引理2 1 8在线性模型( 1 1 ) 中，设误差序列乜，i l 是同分布一混合序列， 满f f ：e e 。= o ，o j = 仃2 l ，有 1占 慷一水d ( 以一j ( 1 啷) 1 + j ) a s ( 2 1 2 ) 证明证明过程类似于引理2 1 7 。 由引理2 1 6 ， 同样取g 。= l ，g 。= ( 1 0 9 n ) 一1 ( 以2 ) ，并且厂o ) = f i l o g , 1 6 ( 0 t 为一收敛系统为此，设c ? 1 ，窗宽饥满足 则对v c r 1 ，有 4 - 元b o 。g 刀) 叫l ) 寸， 去喜， c “+ 工一m l i 虎一l l 1 ，有对v 占 0 ，了7 7 = r ( e ) 0 ，使得对充分 大的n ，有 尸 门g ) 廿钏成一小叩 占 记q = r 刀一；( 1 0 9n ) 1 ，则玎充分大时有尸 l | 虎一硎 ) s记q 刀2 2 ，则玎充分大时有尸训房一硎 ) s 记 l 全去喜m 吃m 肛h 0 ，刀充分大时，有 p l 占) = p l 占，i i 尾一0 c n i i + 尸 厶 s 抖p l i n t 怜一忙厶) 一惟一l i 占，0 庶一0 厶) 互 芝= l ， c 6 n + x - - 纪。 一岭一忙色 尸 ，地+ x 一胁。 嵋0 嘉喀，地+ x 一胁。靶观+ x = 嘉喜p 地+ x 一胁。 0 ，1 1 1 ，窗宽玩满足 佩( 1 。g 玎) 卅+ 争专， 则对v c r 1 ，有 去喜， c t + x m l 防一l l e i 0 ，使得当l x + 6 t - x i 0 ， 尸t 面1 副州 商1e 副1 1 2 壶t 郭乙，1 2 ， l n ：b i 。刀 1 = 一 刀砖 ( 在这一章里，我们统一使用 0 ，3 k ( x ) = 口，( x ) ，x r 1 ，这里e 为互不相交的区间，使 得l k ( x ) - k ( x ) i 0 ，旯( d ) 椰) 叫l 如l n b 6 i ，互l 高e 矧2 “志酬色，1 2 1 ：- 刀彰 p 所以 局一o ，n 专o o 一0 ，疗争o o p 同理可证b ，j 0 ，刀一o o 往证 p 色j 寸o ，1 j t o ，万一o o ( 2 2 9 ) 因为a ，是区间，不妨设a ，= ( c ，d ，) ，对每一固定的1 ，r o ，类似于文献 4 中的分解式( 3 7 ) ，有 i b 3 j 1 2 甚私。州吡玩4 叫 2 击孙+ x 嘲度柏 p f 以嘭+ h z ( 怠呐h ( 邵九d j + x ) l 击喜乓c j + x - m l 魄一h + x ) + 面善n ，h d ，+ x p ， 吃d ，+ 工+ m l 泡一】l + 去喜，芒，既+ x p ， 巩c ，+ x + m 8 虎一吣 1 4 + 去喜地”x m 肾卢| | e ， 吒d j + x ) ( 2 3 。) 由引理2 1 9 知，( 2 3 0 ) 式不等号右边4 个式子均依概率收敛于0 | p 故b 3 一o ，1 j 7 o ，刀一 再证b 。二o ，刀一 因为毋= 击喜一【口j ，：】n p 。州赢) ) 以下对办分情况讨论： 当乃= 时，由引理2 1 9 ，用证明( 2 1 3 ) 式的方法同样可以证明： 鼠= 去喜【口j ，m ( 以) ) 去喜旭 吓侧厦一耶 二0 拧一o o ( 2 3 。1 ) 一，疗啼 k 么j ， 同样，当h = j 一1 时，类似于( 2 3 t ) ，有 色= 去喜鹏， t ，m ，( “枷 石1 善心一唯一创 0 ， p t 瓦1 酬t 叫 商1e 副2 而1e 磷副2 蛾占)l ：尸 陲己f f 聆 寿e 酬2 志e 黪酬2 志l 0 9 2n - 羔删矧2 “志b 9 2 刀 p b l _ 0 ，万_ o o p 同理可证召，一0 ，刀o o p 往证b 3 j 寸o ，1 sr o ”力寸o o 1 7 与定理2 2 1 一样，由引理2 1 1 0 知( 3 1 3 ) 右边的4 个式子均依概率收敛于0 p 故色j o ，1 t o ，以专o o | p 再证b 4 专o ，刀一。 同样按照定理2 2 1 中的讨论，由引理2 1 1 0 的证明可以得到( 2 3 1 ) ( 2 3 3 ) 均成立。 所以，对v h ，有b 。专0 ，刀专o o 。 同理，可以证明b 5 寸o ，b 6 一o ，b 7 一o ，刀一o o 。 由占，艿的任意性， v x c ( 厂) ，有l z ( x ) 一五( x ) 1 - 尸- - 0 ，力专。 所以对坛c ( 厂) ，有z ( x ) _ p ( x ) ，甩专。 第三章m 估计下线性模型误差密度核估计的相合性 3 1 引言及一些记号 考虑线性模型y ，= x + p ，f = 1 , 2 ，玎， 其中x j 为p 维设计向量，记为x 。= b 石：，x 川) ，是未知的p 维回归参 数向量，误差序列p ，) 为缈混合序列，有未知密度i ( x ) 。在误差序列为f f d 的 情况下，张文扬”j 基于的l s e 和l a d e 估计后的误差分布估计问题 做过研究，提出了f ( x ) 的核估计并证明了其相合性；文【8 】将结果推广 至一般m 估计下文中对于p ( ) 的条件非常弱，使其包含了l se 和l a d e 估计的情形；凌能祥 e l 讨论了矽混合情形下基于l s e 估计的误差分布核 函数的强相合性和弱相合性：杨袜菡，柴根象【7j 在 6 的基础上，研究了基 于口混合误差情形下的相关结果，且上述文献的结果都是在设计点列 忙1 1 - 0 的限制下。最近，刘东海 5 1 1 6 1 掉了这两个限制， ，i 在k 独立同分布的情形下讨论了误差密度核函数的大样本性质，如强 相合性，弱相合性。受上述文献启发，本文获得了够混合误差下基于m 估计的线性模型误差分布核密度函数的相合性结果。 引入如下的记号和条件： l 瓯= x ，x ： l 对任意口= k 。，呸，) ，l k l l 2 = 口么，而，= 审， 以聋m 。鲫a x x 7 s n 一1 x ， 厦满足喜p t x 属) = 哆n 喜p ( r x ) a l ：户为r 1 上的凸函数，其左右导数分别记为y 一，少+ ，存在y ， f ，一少y + 使e y ( e i ) = 0 彳2 ：g - 在，当拧甩。时，s = x 。x ；为p 阶i f _ 定方阵 a ，：l i 呗e ( g 。+ “) 一y ( p ，) ) 2 = 0 1 1 - - o a 。：吵。有界 1 9 以：d 。= 0 0 0 9 。，) 上述条件中a l a 2 是为了估计有意义所加的条件。a 3 ，4 所加条件比独立情形 下讨论回归参数强相合性所加条件略强。 残差占。，= r 一房，则厂( x ) 的r o s e n b la t t 估计为： 确= 击喜，扛一九舛岛+ ) m 舢估计为椭= 去“字 3 2若干引理 引理3 2 1 曲1 ：设溉，n l 为妒混合序列，e 磊= 0 ，慨l c 0 ，当行充分大时， p 嘛扣 p ( y ：一x ：风) 注：这条性质虽然简单，但很有用，正因为如此，在m 估计理论中，通常选 择p 为凸函数。 引理3 2 3 【6 】：设z 尻。 ，y 统帆。，若i x i c o oa s ，e f y | o 。， 则 i 脚一脚卅2 c o ( n ) e y l 引理3 2 4 ：在模型( 1 1 ) - f ，若a 1 4 成立，且存在常数m 0 0 ，使p 他i 0 ，记= 日1 0 9 4 ，见= 1 ，厦尾) ：一，i = 1 ，p 丸) = p ( e i ) 一p ( 巳一屯。) ，人) = 吮。) ，兄，) = 氟够) 一人。) 把超立方体d 。划分为2 ，个不相交的小立方体扫1 ，。s 口。2 ， ，使其最长边小 于1 ；再将b j ，分割成口：，个相等的超立方体函刖：l 0 ， b j , 厶的中心为b ”厶， = 蔫；尸 l 喜r 。，( 6 ，j ；口：) ，2 车尸 i 善如( 6 _ 詈口： = 小粪一尸 陲【如g ”以) 一如帆碥) 1 i 毒口外j ， j + i l【i，=l q ，篇 嚣，融l a ) 吨h 厶) j 刍口：) ，q m 鼻毒；尸 芦器陲k 一心，b - 厶) 1 毒口对 则易见 且 q 。+ 绒+ 1 ， v 兰尸 fn ；r 。p ) | 2 口。2 占 u 。+ q 。， 于是，对v n n ，有v u 脚+ o m 令h = s u p i v + u ) i 1 u i m 。时，【2 日万】口。2 _ 翻：1 3 ”，因此q 。= 0 h ( 刊陬b ，】+ 陬b 。】 2 h a 2 q t - 万， r m ( 6 ”以) 一r 。，9 r + 】l 九，b j i 厶) 一九。b j l + 。】+ l e 九，b j i l ) 一e 丸，( 6 ”叫。】 c o 。专2 = 万1 ， 口：f p i “+ l ，l l 2 h 面口， c 。e x p ( 一2 胁：厉妻石p 2 口 扣鲁2 ) 蚓跏圳叩x 一2 日而：2 1 ) 石煮口： ， j刀 嘴：v “2 p ( m - i ) c 。e x p ( 捌而川) 石煮口： + 专暑b ， x l n i l - i x ；l1 1 1 1 - 属西q |一0 当x ：。 o 时，e 广少g 。+ “伽= 广y o 。+ “) 一y g ，胁 占瞒足：当刀足够大占7 西。 。) 嘶 心) 因为p 为凸函数，蚓桃2 2 得：心坨应8 a l o g n 嘶 ， 因为扣 胁，挑嘣一c a n t e 佃，删心佗反卜咄一。) - o p r 当刀充分大时，8 应9 口。g 刀成立，从而引理结论成立。 咖3 2 4 【1 6 】若务a 鹄则佩专、一 3 3 主要结论及证明 ( 逐点强相合) 定理： 若o 2 巩0 c o e x p ( - 2 他占石) 所以g ) 一既( 功竺一。 由( 3 3 ) ( 3 5 ) 知丘b ) 与厂( x ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 2 3 而 阮g ) 一无g ) i ，。+ ，：+ 厶+ ，。 其中 扣壶喜，备一乞啪泡一b 一以) 厶= 上2 n b 兰, i ，各一瓦 e i - x - - 既+ 一】l 扣壶喜，；c + 巩啪饵一h “) 小壶喜，长+ 以鼠吒小泡一】1 ) 由引理3 2 4 ：，l y ) p x p r y ) 称随机变量序列阢，刀2 是两两p q d 的，若对任意i j ，置，x 是p q d 的。 记s = x 。，本章中，我们一律用c 表示绝对正常数，在不同地方可表示不同 k = l 值。 引理4 1 1 2 0 l ：设随机变量x 和y 是p q d 的，则 ( 1 ) e ) 日晒】， ( 2 ) 如果f ，g 同为非降( 或非增) 函数，则f ( x ) 与g ( r ) 仍为p q d 的 引理4 1 21 2 0 ：设x 和y 是两个p q d 随机变量序列，有有限方差，则对于任何 两个可微函数厂和g ，有 f c o v ( f ( x ) ，g ( y ) ) i s u r f ( x ) ls u p l g ( y 】i c o v c r ，j ，) | 矾定义斛荟吲。即“啪= 荟卧， 由于z 一，z + 厂和g ，- g ，g ，+ g 是单调不减的，则由引理4 1 1 知z + 和 2 5 g l + g ，六一厂和g l g 是两组p q d 变量，因此 c o y ( z + f ，9 1 + g ) o = c o y ( f , ，蜀) + c o v ( f i ，g ) + c o v ( f ，9 1 ) + c o v ( f ，g ) 0 c o y ( z 一，g l g ) o j c o y ( f , ，9 1 ) 一c o v ( f , ，g ) - c o v ( f ，9 1 ) + c o v ( f ，g ) 0 两式相加可以得到c o v ( f ，g ) - - c o v ( z ，g 。) 类似地，z + f 和g ，一g ，兵一厂和g 。+ g 也是两组p q d 变量，同样的方法，我们 也可以得到c o v ( f ，g ) c o v ( f l ，9 1 ) i c o v ( f ，g ) l i c o v ( f , ，9 1 ) i 由z ，g ，的定义，立刻可得结论。 引理4 1 31 2 0 l ： 假设g ( a ，七) 为r v x a + l ，k 2 ，墨“的联合分布的泛函 ( 口0 ，k 1 ) ，满足 e ( s 。“一疋) 2 g ( a ，七) 及g ( a ，k ) + g ( 口+ 七，? ) g ( a ，七+ ，玎) 则 e 鼢( 一疋) 2 等卜， 引理4 1 4 【2 0 1 ：设，；f 1 为均值为零的p q d 序列，令w ( i ) - s u p l c o v 伍。，x ，】i ， j 2 l j - ，数 假设艺w ；( 2 ，) ，则存在常数c ，使得下式成立 e s ： c 时，厅( x ) 卯，口 o 为常数 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 若诂，) 为有概率密度的p q d 序列，满足 e e ； 丸占) 羔k - i 尸( 1 s ：。l 。詈) + 羔k = lp ，m 。a s ：x 。s n - - s 2 kl 吒三) 喜尸(is：tl62t。导)+善攻。m如a引s-s2kzl 詈) = l女= i一二 ( 4 5 ) ( 4 6 ) 2 7 c 喜古+ c 喜吉 0 ，使得当川k ，一x ，忱一创 a 时 y g ，t ，) 一少0 ，t ，眨) i g ( 4 7 ) 又因为面为由界闭集，故存在 ，厂2 ，朋西，使得否c0 和一圳 旯) ，其中1 1 | i 表