（岩土工程专业论文）自然单元法的发展及其应用.pdf

摘要 自然单元法是一种新兴的求解偏微分方程的数值方法，其形函数兼有无网格 的特性和传统有限元的优点，很适合岩土工程问题的数值计算。本文对自然单元 法及其应用进行了详细研究。 本文首先详细介绍了无网格法的发展历史、研究现状及动态，并对无网格法 的优点和存在的问题进行了相应的评述。然后详细介绍了自然单元法的研究现状、 自然单元法形函数的构造方法、形函数的性质和优势、求解格式。 对无网格法、有限单元法及自然单元法进行了比较研究。分析表明，上述各 种方法的形函数均构成了单位分解，各种方法的逼近函数空间的构造在理论上得 到统一。另外。用弱形式求解控制微分方程时，单位分解积分为各种数值方法对 弱形式的全域积分提供了统一的积分格式。 第三章详细研究了自然单元法的数值积分方案。先后提出了单位分解积分方 法和基于d e l a u n a y 三角形平均应变的点积分方案。研究表明单位分解积分方法有 着较高的数值精度和收敛性，但其计算量较大。综合考虑数值精度和计算效率， 基于d t 平均应交的点积分方案是个理想的选择，考虑到自适应分析尤其如此。 第四章实现了自然单元法的自适应分析求解。针对自然单元法的特点，提出 了基于m l s 拟合和n n i 插值的应力恢复方案：在应力恢复的基础上采用z - z 误差 估计方法对求解误差进行了有效的估计；然后根据误差分布信息自动加密节点进 行d e l a u n a y 结构的局部调整，从而实现了自适应分析。 第五章讨论了自然单元法中强、弱不连续性的表达，基于单位分解的思想在 理论上对自然单元法进行了拓展；并分别以裂纹问题和非均质材料问题为例进行 了数值验证。 第六章介绍了基于局部p c t r o v g a l e r k i n 方法和配点法混合求解的w s f 格式， 该方法结合了局部弱形式和强形式各自的优点，将其应用于自然单元法并实现了 三维分析。 第七章介绍了如何将g o o d m a n 单元引入自然单元法以模拟岩体不连续面。应 用分形几何的观点对节理岩体的尺寸效应问题进行了研究，提出了结构表征单元 体( s r e v ) 的概念。实现了节理岩体综合力学参数的数值估算并确定r e v ，胪s r e v 是r e v 取值的下限”这个推断进行了初步的数值验证。 第八章讨论了自然单元法对无限域或半无限域问题的模拟。由于自然单元法 形函数在边界上满足线性插值，因而可以和传统的有限元、无界元实现无缝耦合， 这增强了自然单元法解决实际问题的能力。 关键词：无网格法自然单元法数值积分自适应分析弱i 强形式 强用日不连续性 分形几何结构表征单元体 a b s t r a c t l ub o ( g e o t e c h n i c a le n g i n e e r i n g ) d i r e c t e db ya c a d e m i c i a ng e x i u r u n t h en a t u r a le l e m e n tm e t h o d ( n e m ) i san e w l yc o m i n gn m n e f i c a lm e t l l o dt os o l v et h e p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s n e ms h a p ef u n c t i o no nt h eo n eh a n da s s u m e st h e c h a r a c t e r i s t i c so fm e s h l e s sm e t l l o da n do nt h eo t h e rh a n dp o s s e s s e st h ea d v a n t a g e so f t r a d i t i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，s oi t sam o s tp r o m i s i n gn u m e r i c a lm e t h o df o r g e o t e c h n i c a le n g i n e e r i n gp r o b l e m s 而ep a p e rs t u d i e s o nt h i sm e t h o da n di t s a p p l i c a t i o n f i r s t l y , t h ep a p e rr e v i e w st h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n tt r e n do ft h em e s h l e s sm e t h o d si n d e t a i l ，t o g e t h e rw i t hs o m ec o l t l n l e n l s o nt h ea d v a n t a g e sa n da l s os o m ee x i s t i n g p r o b l e m st ob ef u l l e rs t u d i e d s e c o n d l y , t h ec u r r e n ts t a t u so ft h en a t u r a le l e m e n t m e t h o d ( n e m ) 、t h ec o n s t r u c t i o no ft h en e ms h a p ef u n c t i o na n di t sp r o p e r t i e sa n d a d v a n t a g e sa n dt h ed i s c r e t ef o r m u l a t i o na r ed i s c u s s e di nd e t a i l i i lc h a p t e r3 i s s u e sr e g 卸d i n gt h en u m e r i c a li n t e g r a t i o no ft h ew e a kf o r ma r ea d d r e s s e d n e p a r t i t i o no f t m i t yq u a d r a t u r em e t h o da n d as i n g l ep o i n tq u a d r a t u r er u l eb a s e do i lt h e a v e r a g es t r a i no fd e l a u n a yt r i a n g l ea r ep r o p o s e dr e s p e c t i v e l y c o n s i d e r i n gb o t ht h e a c c u r a c ya n dt h ee f f i c i e n c y , t h ep o i n tq u a d r a t u r er u l eb a s e d0 1t h ea v e r a g es t r a i no f d e l a u n a yt r i a n g l ei sab e t t e rs e l e c t i o n ，e s p e c i a l l yi nt h ea d a p t i v ea n a l y s i s ，t h o u g hi t s c o n v e r g e n c ea n da c c u r a c yi sal i t t l el o w e rt h a nt h ep a r t i t i o no f u n i tq u a d r a t u r em e t h o d i nc h a p t e r4 ，p r e l i m i n a r ys t u d yi sp e r f o r m e do nt h ea d a p t i v ea n a l y s i so fn e m t h e s o l u t i o ne r r o ri se s t i m a t e du s i n gt h ez ze r r o re s t i m a t o rw h i c hi sb a s e do nt h er e c o v e r y s t r e s sf i l e da c q u i r e dt h r o u g ht h em l s n n is t r e s sr e c o v e r ys c h e l n ea c c o r d i n gt ot h e c h a r a c t e ro f t h e 卜l e mt h e nn e wn o d e sa r ei n s e r t e da u t o m a t i c a l l ya c c o r d i n gt ot h ee r r o r d i s t r i b u t i o ni n f o r m a t i o na c q u i r e d , w h i c hj u s ti n v o l v e si nt h el o c a la d j u s t m e n to ft h e d e l a t m a yt e s s e l l a t i o n t h ei m p l e m e n t a t i o no f a d a p t i v ep r o c e s si se f f e c ta n de f f i c i e n t i n c h a p t e r5 ，i s s u e sr e g a r d i n gt h em o d e l i n gt h es t r o n g w e a k d i s c o n t i n u i t i e sa r e a d d r e s s e d n e mi se x t e n d e di nt h ef r a m e w o r ko ft h ep a r t i t i o no fu n j t y c r a c ka n d i n t e r f a c eb e t w e e nd i f f e r e n tm a t e r i a l sa r ec o n s i d e r e dr e s p e c t i v e l yf o ri l l u s t r a t i o nt h ei d e a i nc h a p t e r6 ，mw e a k - s t r o n gf o r m ( w s f ) w h i c hc o m b i n e st h ea d v a n t a g e so ft h e l o c a lp e t r o v g a l e r k i nm e t h o da n dt h ec o l l o c a t i o nm e t h o di sd i s c u s s c d n e mb a s e d w s fi si m p l e m e n t e da n d a p p l i e dt o3 da n a l y s i s i nc h a p t e r7 t h eg o o d m a ne l e m e n ti si n t r o d u c e dt on e mi no r d e rt om o d e lt h er o c k d i s c o n t i n u i f i e s n 圮s c a l ee f f e c to fj o i n t e dr o c km a s si 3s t u d i e di nt h ev i e wo ff r a c u d g e o m e t r ya n dt h en o t i o no fs t r u c t u r a lr e p r e s e n t a t i v ee l e m e n t a r yv o l u m ei sp r e s e n t e d t h ec o m p r e h e n s i v em e c h a n i c a lp a r a m e t e r sa r en u m e r i c a l l ye v a l u a t e dt od e t e r m i n et h e r e v o f j o i m e dr o c km a s s t h er e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tt h es r e v i st h el o w e rb o u n do f r e v t h el a s tc h a p t e rd i s c u s s e sh o wt om o d e l i n gt h ei n f i n i t eo rs e m i - i n f i n i t ep r o b l e m su s i n g n e m 1 1 1 ec o u p l i n go fn e ma n df e mo ri e mi ss e a m l e s s b e c a u s et h en e ms h a p e f u n c t i o ns a t i s f i e st h ep r o p e r t yo fl i n e a ri n t e r p o l a t i o nb e t w e e na d j a c e n tb o u n d a r yn o d e s s ot h es o l v i n ga b i l i t yi se n h a n c e db yt h ec o u p l i n g k e yw o r d ：m e s h l e s sm e t h o d ，n a t u r a le l e m e n tm e t h o d ，n u m e r i c a li n t e g r a t i o n , a d a p t i v ea n a l y s i s ，w e a k s l r o n gf o r m ，w e a k s t r o n gd i s c o n t i n u i t i e s ，f r a e t a lg e o m e t r y , s t r u c t u r a lr e p r e s e n t a t i v ee l e m e n t a r yv o l u m e 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 所取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为 获得中国科学院武汉岩土力学所或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作过的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：事基一 日期：2 0 0 5 年5 月2 5日 f 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉岩土力学所关于保留、使用学位论文的规定， 即该所有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩影或其他复制手段保 存论文。 作者签名：导师签名： 葛镌隐 日期：2 0 0 5 年5 月2 5 日日期：2 0 0 5 年5 月2 5 日 第一章绪论 第1 章绪论 二十世纪7 0 年代以来，有限元法在计算科学和工程领域得到了广泛而成功 的应用，并己成为计算力学中解决工程问题的主要数值方法【。2 1 。但计算力学的 发展面临着许多难以处理的问题，例如具有大变形的金属冲压成型问题、裂纹动 态扩展问题等。在固体力学中一般采用拉格朗臼描述，应用有限元法求解金属冲 压成型、高速撞击等涉及到特大变形的问题时，有限元网格可能会发生严重扭曲， 不仅需要网格重构，而且严重影响求解的精度。对于高速冲击等动态问题，显示 积分的步长取决于有限元网格的最小尺寸，因而网格的扭曲将使时间积分步长过 小，从而导致计算量大幅度增加。对于裂纹动态扩展问题，由于裂纹扩展方向事 先无法确定，因而在计算过程中需要不断的重新划分网格以模拟裂纹的动态扩展 过程。有限元近似是基于网格的，因此必然很难处理与原始网格线不一致的不连 续性和大变形。对于这些问题，传统的基于网格的计算方法如有限元法、有限差 分法等都难于应付。其主要原因是网格的存在妨碍了处理与原始网格线不一致的 不连续性和大变形。这些基于网格的方法，在处理随时间变化的不连续性和大变 形时，常用的是网格重构，然而，这样不仅计算费用昂贵，而且会使计算精度严 重受损。 为了解决这些难题，新的数值方法应运而生，其中最有影响力是数值流形方 法1 3 和无网格法嗍；这两种方法有着传统方法不可替代的突出优点，并已得到了 学术界的初步认可和广泛关注。数值流形方法解决了材料连续和非连续的数学统 一表述问题，使得连续变形分析与非连续变形分析的统一成为可能。无网格法实 现了无网格插值，极大地简化了前处理工作与裂纹扩展等问题的计算分析。近年 来，无网格法得到了迅速发展，受到了国际计算力学界的高度重视。 1 1 无网格法发展概述 l u c y 5 1 和g i n g o l d 6 1 首次提出了基于拉格朗日公式的光滑质点流体动力法 ( s m o o t hp a r t i c l eh y d r o d y n a m i cm e t h o d , s p m 。在s p h 方法中，引入了节点星( s t a r ) 的概念，应用每一个星所包含的节点个数及位置信息，通过星中心点处的局部泰 勒展开式来构造星的局部近似场函数，这一方法被广泛应用于计算物理以及天体 中国科学院博士学位论文 领域的星球运动及星球间碰撞的模拟。人们常常把s p h 作为无网格技术的最初 成功应用。s w e g l e t 7 】等发现s p h 方法中存在张拉不稳定性并提出了一种稳定化方 案。j o l l i l s o n 【町等提出了归一化光滑函数算法，使其通过分片测试，从而可以正确 的模拟常应变状态，提高了s p h 的精度。m o n a g h a n i 9 q o 对s p h 方法迸行了总结。 1 9 8 1 年l a n c a s t e r n 1 等在研究曲面插值时，将标准最d , - - 乘插值进行推广， 提出了移动最d , - 乘法( m o v i n gl e a s ts q u a r em e t h o d ，m l s m ) 。但是直到进入9 0 年代，移动最小二乘法才被应用于边值问题的求解；1 9 9 2 年n a y r 0 1 e s 掣1 2 】提出 了发散单元法( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ，d e m ) ，在他的方法中，节点虽可以象有 限元法一样布置，但其采用最小二乘法来建立试函数而不是基于单元的形函数。 美国西北大学的b e l y t s c h k o 【1 3 】对d e m 法作了两点改进：在计算形函数时保留了 被n a y r o l e s 忽略掉的插值函数导数表达式中的部分项；利用拉格朗日乘子法引入 强制边界条件，并将他们的方法称为无网格伽辽金法( e l e m e n tf r e e g a l e r k i n m e t h o d ，e f g v i ) ，从此掀起了无网格方法的研究热潮。e f g m 比s p h 方法计算 费用高，但具有较好的数值精度和稳定性。c h u n g 【1 4 】等给出了e f g m 的误差估 计；d o l b o w 1 5 】对e f g m 的数值积分方案进行了研究指出由于背景积分子域与形 函数紧支域不一致从而导致了相当的积分误差：b e l y t s c h k o 等1 1 6 1 对近似函数的 计算方法进行了深入研究，著将其应用于裂纹的动态扩展模拟【n 1 。为了避免使用 背景积分网格，b e i s s e l t 埽1 等提出了点积分方案，但数值稳定性较差。c k l e e 1 9 七0 1 等基于z - z 后验误差估计方法成功地进行了e f g m 的自适应分析。国内，周维 垣1 2 ”、寇晓东阎等对e f g m 进行了详细介绍，并应用于拱坝的开裂分析。庞作 会、葛修润【2 3 】等也对e f g m 进行了介绍，对节理的模拟问题、集中力荷载问题 等进行了研究。李卧东、王元汉阱_ 2 5 1 等将其应用于裂纹扩展的模拟研究。张雄f 2 司 等将其应用于节理岩体的分析。张伟星【2 7 】等将e f g m 用于地基板的应力分析 中：陈建【2 8 1 等应用e f g m 计算含边裂纹功能梯度材料的应力强度因子。众多研 究表明，e f g m 法的数值精度和收敛速度都高于有限元，但e f g m 计算量较大， 并且需要背景网格进行数值积分。 w k l “2 9 】等基于再生核( r c = p 0 0 d u c i n gk e r n e l ) 思想及小波变换理论提出了另 一种类型的无网格法一一再生核质点法( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d r k p m ) ，采用窗口函数和傅立叶变换建立了新型的形函数，由于窗口函数可以 2 第一章绪论 平移、缩放，可以应用于弹性、塑性和动力问题。随后他利用小波分析的伸缩尺 度平移、多分辨率等特点，提出了多尺度再生核质点法( m s r k p m ) 和小波质点法 f w p m ) ，并实现了该方法的自适应分析【3 0 3 2 1 。这种方法引入了柔性可调窗1 ：1 函数 进行积分变换，适合对局部进行细致的数值分析。1 9 9 6 年l i u 又将最d x - - 乘法 思想引入积分核，提出了移动虽d , - 乘积分核法( m l s r k m ) 3 3 - 3 4 。r k p m 方法 已在大量问题的数值分析中得到了成功的应用。 1 9 9 6 年美国t e x a s 大学的著名学者o d e n 和他的学生d u a r t e 3 5 - 3 6 1 提出了基于 云团概念的h p c l o u d s 无网格法( h p c m ) ，该方法利用最小二乘原理建立单位分 解函数进行场变量的近似表达，然后通过g a l e r k i n 变分建立离散数学模型，这种 方法适合进行自适应分析。波兰学者l i s z k a 等【3 7 】提出了h p 无网格云团法 ( h p m c m ) 并对应用力学问题进行了研究。不同于h p c m 之处是它采用的是配 点形式，无需背景网格作为积分域，是一种纯无网格法，其主要思想是借助了二 阶泰勒展开级数表述场变量近似和m l s m 。刘欣【3 8 l 等将其应用于平面裂纹问题 的自适应分析。1 9 9 8 年o d e n l 3 9 1 将有限元形函数作为单位分解函数，提出了基于 云团的新型h p 有限元。 1 9 9 6 年美国计算数学学者b a b u s k a 和他的学生m e l e n k 4 0 - 4 1 】提出了单位分解 方法f p u m ) 。其基本思想是应用构成单位分解的形函数将局部定义的近似解相互 连接，从而构造出总体场函数的近似解。他们提出了单位分解有限元法( p a r t i t i o n o fu n i t yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，p u f e m ) 和广义有限元法【4 2 州1 ( g e n e r a l i z e df i n i t e e l e m e n tm e t h o d ，g f e m ) 。该方法在标准有限元空间中加入一系列能够反映待求 边值问题特性的函数( 如由角点附近精确解的局部渐进展开而得到的奇异函数) ， 并将这些特殊函数与单位分解函数相乘后和原来的有限元形函数一起构成新的 增强协调有限元空间。用该方法求解动态裂纹扩展问题时，可以处理任意形状裂 纹，并且无需重新划分网格。d a u x 、s u b 曲a r l 4 5 - 4 6 1 等基于单位分解的思想发展 了扩展有限元法( e x t e n d e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d x - f e m ) 。 a l l u r i 及丑“4 7 删在局部边界积分方程( l b i e ) 的基础上，采用微分方程的局 部对称弱形式( l 0 c a ls y m m e t r i cw e a kf o r m ，l s w f ) ，运用移动最小二乘法构造局 部子域上的试函数和权函数，把在全求解域上的g a l e r k i n 方程简化为在各子域上 的局部g a l e r k i n 方程进行求解，从而导出了不用网格的一种新的无网格法无 中国科学院博士学位论文 网格局部伽辽金法( m l p g m ) 1 5 0 。这一方法可看作是一种特殊形式的子域法。该 法与d e m 、e f g m 的主要区别在于采用了局部对称弱形式，使得数值积分在子 域上完成。而后两者在全域上进行数值积分。龙述判5 1 】等对无网格局部边界积分 方程方法和弹性力学平面问题的局部p e l a o v - g a l e r k i n 方法进行了研究。 田荣、栾茂田【5 2 - 5 3 1 等将流形方法有限覆盖思想与无网格g a l e r k i n 法的无网 格技术相结合，提出和发展了种适用于连续与非连续变形问题统一的无单元法 有限覆盖无单元法，并将其应用于解决岩土类弱拉型材料接触摩擦问题、裂 纹扩展追踪问题和脆性材料损伤断裂演化行为的细观研究。刘欣、朱德懋 5 4 - 5 5 1 等 对无单元法进行了较为深入的研究，提出了一种按四象限法则来确定覆盖大小的 方法，并对边界奇异性半解析无单元法进行了初步探讨，提出了基于流形覆盖思 想的无单元法。 1 9 9 5 年b r a u n 和s a m b d d g e 5 6 】提出了自然单元法f t , l a t u r a le l e m e n tm e t h o d ， n e m ) 的概念。1 9 9 8 年，美国西北大学的n s u k u m a r 【”5 鳓成功地将n e m 应用于 求解固体力学中的椭圆型偏微分方程。2 0 0 2 年西班牙数值分析学者e c u e t o 等 5 9 1 等基于口s h a p e 的概念对n e m 进行了扩展，并实现了三维分析。2 0 0 3 年国内同 济大学的蔡永昌、朱和华等，采用局部p e t r o v g a l e r k i n 过程建立整体求解的系 统平衡方程，其计算效率高于有限元四节点单元。2 0 0 4 年d g o n z a l e z 等 6 1 - 6 2 对 自然单元法数值积分方案及体积锁闭问题进行了研究。j y r v o 衄e t 【6 3 】等基于约束 d e l a u n a y 结构对n e m 做了扩展，彻底解决了非凸边界上不满足线性插值的问题。 在应用方面，m a m a r t n i e z 等阱缶5 】采用自然单元法求解了流体力学问题，并对 自由面渗流问题进行了求解。朱和华、杨宝红等 6 6 】采用自然单元法进行了弹塑性 分析。卢波、葛修润f 6 7 删等对自然单元法的数值积分方案及应力恢复方案进行了 研究，并基于z z 方法进行了误差估计。 基于伽辽金法求解的无网格法精度高，但它需要引入背景网格进行数值积 分，计算量大。o n a t e 陋7 q 等利用移动最小二乘方法来构造近似函数。并采用配 点法进行离散，从而提出了有限点法f r h ef i n i t ep o i n tm e t h o d ，f p m ) 。该方法无需 背景网格，效率高，主要应用于流体力学领域。宋康祖1 7 1 1 等将其应用于弹塑性分 析中。配点法求解不太稳定难以保证其收敛性，且数值精度稍差。张雄【7 司等提出 最小二乘配点无网格法和加权最小二乘无网格法，较好的解决了这一问题。 第一耄绪论 径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ，r b f ) 具有形式简单、各向同性等优点，数 学界对其进行了大量的研究，并已成功地应用于多变量插值中 7 3 - 7 4 】。将径向基函 数引入配点法以求解偏微分方程具有许多优点。但径向基函数一般是定义在全求 解域上的，且得到的系数矩阵的条件数很大。众多学者对此做了研究并提出了多 种方案解决这一问题，其中吴宗敏【7 5 1 给出了正定紧支径向基函数的构造法则，并 构造了一系列正定紧支径向基函数。张雄【7 6 - 7 7 1 等将紧支距离函数应用于配点法 中，建立了相应的无网格方法，用于求解固体力学问题。宋康祖等7 8 1 提出了满足 完备性条件的紧支距离函数，并建立了相应的配点型无网格形式。 2 0 0 1 年，新加坡国立大学的g u 和l i u g r 7 9 1 发展了无网格g a l e r k i n 法和边 界元的耦合方法来分析二维固体的应力状态等。l i u 将配点法与局部 p e t r o v g a l e r k i n 方法相结合，综合了两种求解方法的优点同时避免了两者的缺点， 提出了m e s h l e s sw e a k - s t r o n gf o r mm e t h o d i s o - a t l 。 自从1 9 7 7 年l u c y 等首次提出了基于拉格朗日公式的光滑质点流体动力法 ( s p 脚以来，至今已有不下二十种具有各种不同名称的无网格方法。它们之间的 主要区别在于所使用的近似函数( 如移动最小二乘、再生核近似、单位分解、径 向基函数、点插值等) 和微分方程的等效形式( 如g a l e r k i n 方法、配点法、 p e t r o v - g a l e r k i n 等) 不同。建立近似函数时不借助网格，是无网格法和有限元的 主要区别。无网格方法的共同特点是：摆脱单元的束缚，采用节点信息及具有局 部支撑域的权函数实行局部精确逼近：然后通过配点法或g a l e r k i n 法对偏微分方 程进行求解。无网格法中形函数的构造一般有三种途径：移动最小二乘逼近，再 生核方法：单位分解法；其中再生核近似和移动最小二乘逼近均构成了单位分解。 t b e l y t s e h k o l 4 1 、w k l i u 【窨2 】、t h o m a s - p e t e rf r i e s 8 3 1 、s h a o f a nl i i 亭4 等分别对无网 格方法对了评述和总结。 目前国际上已经出版了两本无网格方法的专著，其中2 0 0 2 年美国加州大学 s n ，a t l u r i 教授出版了t h em e s h l e s sb c a lp e t r o v g a l e r k i n ( m l p g ) m e t h o d ，系统 介绍了他提出的无网格局部彼得洛夫伽辽金法；同年，新加坡国立大学的l i u g r 博士出版了m e s hf r e em e t h o d ：m o v i n gb e y o n dt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d 一书。 国内清华大学张雄教授于2 0 0 4 年出版了无网格法一书。 1 2 无网格方法评述 中国科学院博士学位论文 1 2 1 无网格方法的优势 传统的有限元法在处理加工成型、大变形、任意复杂路径裂纹扩展等问题时 面临了巨大的挑战和困难，而无网格法在上述问题中显示了强大的处理能力和优 势1 4 , 8 2 - 8 4 1 。无网格方法由于只需要节点位置信息、结点之间不必连接成单元，因 此与基于网格的传统有限元法相比具有以下优点： ( 1 ) 由于只需要离散节点的位置信息和边界信息，节点之间不必连接成单元， 因而前处理简单； ( 2 ) 无网格法的近似函数没有网格依赖性，抗畸变能力强，适用于处理诸如 裂纹扩展、大变形和需要动态调整节点位置的问题求解，具有有限元法不可比拟 的优势； ( 3 ) 无网格法的基函数可以包含能够反映待求边值问题特性的增强函数系 列，适用于分析具有高梯度、奇异性等特殊性质的问题； ( 4 ) 由于节点可以根据需要引入、移动或抛弃，因此无网格法的自适应性很 强，与有限元相比更适合进行自适应分析；在h 自适应下不需要重新划分网格， 且极易实现p 自适应分析，若引进小波函数还具有多尺度分析功能； ( 5 ) 由于近似场函数具有高阶连续性，无网格法的计算结果通常是光滑连续 的，因此一般无需应力修匀等后处理。 1 2 1 无网格方法存在的问题 虽然无网格法在处理裂纹扩展、大变形等问题中显示出了极大的优势，但是 现有无网格方法主要存在以下问题： ( 1 ) 数值求解精度依赖于节点影响域的大小，而节点影响域的选取目前尚无 定论。影响半径的作用在于使影响域内包含“足够多同时又尽可能少”的节点。 “足够多”在于要有足够的采样点来满足场函数的连续性要求并确定近似解中的 待定系数；“尽可能少”在于要保证和突出邻近节点间的函数关系免受其它节点 的过多影响，从而使近似解更好地逼近真实解。显然，合理、准确地确定影响半 径的大小比较困难，尤其是在节点分布不均匀时，或者是由于在结构突变处或有 应力集中的地方有目的的加密节点时更是如此。周瑞忠、周小平8 5 1 等研究了无网 格法的权函数问题，首次提出在权函数中采用自适应影响半径，以适应节点分布 的随机性，实例表明使用自适应影响半径的权函数对求解应力集中或断裂力学问 6 第一章绪论 题具有较大的优越性。 ( 2 ) 强制边界条件的精确旌加需要特殊处理。无网格方法所共同面临的一个 问题是因无网格形函数一般不满足k r o n e c k e rd e l t a 函数的性质从而带来的强制 边界条件施加的困难。为了准确施加强制边界条件先后发展了拉氏乘子法【1 3 1 、修 正变分原理方法【8 6 1 、罚方法、变换方法【跚、基于达朗贝尔原理方法8 9 1 、奇异 权函数方法1 9 0 1 、混合变换方法【9 ”、边界奇异核方法【9 ”以及与f e m 耦合法1 9 2 等。 这些方法的使用使得计算过程变得复杂且增加了计算量，文 9 3 】对此问题做了总 结。 ( 3 ) 形函数及其导数的计算耗费很大。目前发展的较为成熟的e f g m 和 r k p m 等方法，在形函数及其导数的计算中通常涉及到矩阵及其求逆运算。无网 格形函数及其导数一般是没有显示表达式的分式函数，计算量远较有限元形函数 的计算量大。 ( 4 ) 对弱形式的全域积分一般需采用高阶高斯积分。无网格形函数及其导数 一般是没有显示表达式的分式函数，因而其近似函数一般不是多形式形式；而且 由于背景积分网格一般与形函数的局部支撑域不一致，从而导致了相当的积分误 差，因此一般建议在积分子域内采用高阶高斯积分以确保积分精度。这无疑大大 增加了计算量。因此无网格法的计算量一般远大于有限元，如何提高无网格法的 计算效率也是近年来的研究热点。 ( 5 ) 形函数的高阶连续性使得在引入场变量及其导数的不连续性时困难。无 网格计算得到的位移一般是高阶连续的，因而其应变或应力也是光滑连续的，因 此一般不需要应力磨平等后处理。但同时也使得在引入场变量及其导数的不连续 时需要进行特殊的处理。 总体来说，无网格法才刚刚起步，在严格的数学论证、计算效率、边界条件 的处理和大量应用实例等方面还不能和成熟的有限元方法相媲美，更未形成有效 的通用软件。无网格方法虽然无需网格剖分等前处理，但其计算量太大；研究表 明，若将有限元的前后处理、计算开销全算在内，与无网格法作对比计算，结果 表明无网格法确实比有限元方法快，但并不存在数量级上的差别。也就是说无网 格法将在前后处理上节省下来的时间基本上全花在了计算上【叫。在目前阶段，无 网格方法名义上比有限元简单、方便，实际上在目前阶段无法真正的应用于实际 7 中国科学院博士学位论文 工程问题的计算，仍停留在理论研究之中。 1 3 本文主要研究内容 第一章介绍了无网格法的发展历程，并对无网格方法的优势和存在的问题做 了相应的评述。 第二章详细介绍了自然单元法的研究现状、n e m 形函数的构造方法、形函 数的性质和优势；并将其与有限元形函数、一般的无网格形函数作了比较研究。 然后介绍了自然单元法的求解格式以及有待进一步的研究问题。 第三章对自然单元法的数值积分方案进行了详细研究。采用g a l e r k i n 法求解 时，需要对弱形式在整个求解域内进行积分，在n e m 中也存在着背景积分域与 形函数的局部支撑域不一致从而导致了相当的积分误差的问题。本章介绍了单位 分解积分算法，采用该算法可以将对弱形式的积分转到在形函数的紧支域内进 行，从而避免了上述问题，大大提高的数值精度，但计算量稍大。而采用基于 d e i a u n a y 三角形内平均应变的单点积分方案，可以兼顾计算效率和数值精度。 第四章进行了自然单元法的自适应分析研究。首先针对自然单元法形函数在 节点处不可导因而不能给出节点处的应力应变值的特点，提出了有效的应力恢复 方案。然后，基于z z 误差估计方法，采用恢复应力场对自然单元法的求解误差 进行估算。根据误差分布的信息自动加密节点实现了自适应分析，由于自然单元 法的特点，节点的引入仅涉及到d e l a u n a y 结构的局部调整。 第五章详细讨论了如何在自然单元法中考虑强不连续性和弱不连续性两个 问题。基于约束d e l a u n a y 结构和可视性准则，可以很好的解决上述问题。基于 单位分解的思想，可以有效的增强自然单元法逼近函数空间的数值逼近能力。 第六章介绍了m w s f 求解格式，该方法结合了配点法和局部弱形式的优点， 将其应用于自然单元法并实现了三维分析。 第七章讨论了n e m 对节理岩体的模拟，实现了节理岩体综合力学参数的数 值估算并确定r e v ，“s r e v 是r e v 取值的下限”这个推断进行了初步的数值验 证。 第八章介绍了n e m 与i e m 的耦合，用于求解无限域或半无限域问题。 第九章结论和展望。 第一章绪论 参考文献 1 z i e n k i e w i c z , o c ，t a y l o r , r l t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d m 2 0 0 0 ，5 t he d m c g r a wh i l l ， l o n d o n 2 t b e l y t s c h k o w k l i u ，b r i a nm o r a n n o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n t sf o rc o n t i n u aa n d s t r u c t u r e s m 2 0 0 0 ，j o h f iw i l e y & s o n sl t d 3 s h ig e n h u a m a n i f o l dm e t h o d 1 n ：p r o co ft h e1 9i n t f o r u mo nd d aa n ds i m u l a t i o n so f d i s c o n t i n u o u sm e d i a b e k e r l y , c a l i f o m i a , u s a 1 9 9 6 ：5 2 - 2 0 4 4 t b e l y t s c h k o ，y k r o n g g a u 二d o r g a n ，m f l e m i n g m e s h l e s sm e t h o d s ：a no v e r v i e wa n d r e c e n td e v e l o p m e n t s 叨c o m p u t m e t h a p p l m e c h e n g 1 9 9 6 ，1 3 9 ：3 - 4 7 5 l u c yl an u m e r i c a la p p r o a c ht o t h et e s t i n go ft h ef i s s i o nh y p o t h e s i s j a j 1 9 7 7 8 2 ： 1 0 1 3 1 0 2 4 。 6 g i n g o l dra , m o n a g h n n 】j s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ：t h e o r ya n da p p l i c a f i o nt o n o n - s p h e r i c a ls t a r s 明m o o n o t r o y a s t r o u s o c ，1 9 7 7 ，1 8 ：3 7 5 - 3 8 9 7 s w e g l e j w h i c k s d l ，a t t a w a y s ws m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c ss t a b i t 时a n a l y s i s j j m l f l l a lo f c o m p u t a t i o n a lp h y s i c s ，1 9 9