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3.4基本不等式:,ICM2002会标,赵爽:弦图,基本不等式1:一般地,对于任意实数a、b,我们有,当且仅当a=b时,等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,基本不等式2:,当且仅当a=b时,等号成立。,注意:(1)两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同(2)称为正数a、b的几何平均数称为它们的算术平均数。,基本不等式的几何解释:,半弦CD不大于半径,例1.(1)已知并指出等号成立的条件.,(2)已知与2的大小关系,并说明理由.,(3)已知能得到什么结论?请说明理由.,应用一:利用基本不等式判断代数式的大小关系,练习2:若,则(),(1)(2)(3),B,练习1:设a0,b0,给出下列不等式,其中恒成立的。,应用二:解决最大(小)值问题,例2、已知都是正数,求证(1)如果积是定值P,那么当时,和有最小值(2)如果和是定值S,那么当时,积有最大值,(1)一正:各项均为正数,(2)二定:两个正数积为定值,和有最小值。两个正数和为定值,积有最大值。,(3)三相等:求最值时一定要考虑不等式是否能取“”,否则会出现错误,小结:利用求最值时要注意下面三条:,例3、(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短篱笆是多少?(2)一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大。最大面积是多少?,例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池,其容积为4800立方米,深为3米,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?,2、(04重庆)已知则xy的最大值是。,练习:1、当x0时,的最小值为,此时x=。,2,1,3、若实数,且,则的最小值是()A、10B、C、D、,4、在下列函数中,最小值为2的是()A、B、C、D、,D,C,例4、求函数的最小值,构造积为定值,利用基本不等式求最值,思考:求函数的最小值,构造
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