（应用数学专业论文）一类广义sierpinski垫片的hausdorff测度.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 分形几何是2 0 世纪7 0 年代中期发展起来的一门新兴科学，它为研究自然界 中一些不规则集提供了新的思想，方法和技巧，极大的引起了人们的兴趣。因为 不规则集要比经典的几何图形能更好的反映许多客观自然现象。分形几何恰为研 究这样的不规则集提供了一个总的框架。特别是近年来，这一新兴学科在物理、 化学、材料、工程技术等学科的广泛应用，更是刺激了其深入的发展，因此分形 几何的诞生与发展对整个科学的进步起着重大的推动作用。 分形几何研究的首要问题之一是分形集的维数与测度，而h a u s d o r f f 测度与维 数是分形几何中的两个基本概念，对它们进行计算与估计自然成为分形几何的主 要问题之一，但要准确计算一个一般分形集的h a u s d o r f f 维数，尤其是h a u s d o r f f 测度是相当困难的，到目前为止，能成功计算出其h a u s d o r f f 测度准确值的分形 集合的例子极少，且无统一的、具有普适性的方法。本文主要讨论了一类广义 s i e r p i n s k i 垫片的h a u s d o r f f 测度的计算问题。 第一章简要的介绍了测度论的相关知识，h a u s d o r f f 测度与维数的定义和性 质，及在计算h a u s d o r f f 测度和维数中经常用到的技巧，第二章介绍自相似集与 开集条件，第三章介绍分形射影的相关理论，本作者应用此理论对一类广义 s i e r p i n s k i 垫片的h a u s d o r f f 测度进行估计，得到了其h a u s d o r f f 测度准确值， 第四章介绍本人通过对一类广义s i e r p i n s k i 垫片的构造的研究，利用上凸密度的 良好性质去计算出此类广义s i e r p i n s k i 垫片的h a u s d o r f f 测度的准确值。 关键词：h a u s d o r f f 维数，h a u s d o r f f 测度，广义s i e r p i n s k i 垫片，上凸密度，自 相似集 江苏大学硕士学位论文 a bs t r a c t f r a c t a lg e o m e t r y , an e wb r a n c hm a t h e m a t i c s ，h a sb e e nd e v e l o p e di nt h el a s tt w o d e c a d e s t h e r eh a sb e e naf a s tg r o w t hi ng e n e r a li n t e r e s ti ni r r e g u l a rs e t sa m o n g r e s e a r c h e r si nm a n ys c i e n t i f i cf i e l d s af r a c t a ls e ti sr e g a r d e da sav a l i dp h y s i c a l o b j e c tw h i c hi s u s e f u li nt h eu n d e r s t a n d i n go fm a n yp h e n o m e n a i nr e c e n ty e a r s ， f r a c t a lg e o m e t r yo b t a i n e da l li m m e n s es u c c e s si nr e s e a r c ha n da p p l i c a t i o ni ns u c h d i s c i p l i n e sa sp h y s i c s 、c h e m i s t r y 、m a t e r i a l 、e n g i n e e r i n ga n d s oo n s ot h eb i r t ha n d d e v e l o p m e n t o ff r a c t a lg e o m e t r yh a sa l le x t r e m e l yi m p o r t a n tf u n c t i o nt ot h e d e v e l o p m e n to f t h ew h o l es c i e n c e a sa ni m p o r t a n tp a r a m e t e rt od e s c r i b et h ef r a c t a ls e t s ，m e a s u r ea n dd i m e n s i o n p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nf r a c t a lg e o m e t r y a m o n gw h i c hh a u s d o r f fm e a s u r ei s t h e m o s ti m p o r t a n to n e ：h o w e v e r , t h ee s t i m a t i o na n dc a l c u l a t i o no ft h eh a u s d o r f f m e a s u r eo fag e n e r a lf r a c t a ls e ti sv e r yd i f f i c u l t f r o mn o wa n dt h e n ，t h e r ea r ef e w f r a c t a ls e t ss u c c e e d i nc a l c u l a t i n g ，a tt h es a m et i m e ，t h e r ei sn oag e n e r a lt 0 0 1t os o l v e t h ep r o b l e m i nt h i sp a p e r , id i s c u s st h ec a l c u l a t i o no ft h eh a u s d o r f fm e a s u r eo fa g e n e r a l i z e ds i e r p i n s k ic a r p e t i nt h ef i r s tc h a p t e r , ip r e s e n ts o m eb a s i ck n o w l e d g ea b o u tm e a s u r e s ，d e f i m t i o n a n d p r o p e r t i e so fh a u s d o r f f m e a s u r ea n dh a u s d o r f fd i m e n s i o n a l s oii n t r o d u c es o m e s l 【i l l st h a ta r eo f t e nu s e di nc a l c u l a t i n gt h eh a u s d o r f fm e a s u r ea n dh a u s d o r f f d i m e n s i o n c h a p t e r2 ，s t u d i e st h es e l f - s i m i l a r s e t sa n do p e nc o n d i t i o n c h a p t e r3 ， i n t r o d u c e ss o m et h e o r i e sa b o u tp r o j e c to ff r a c t a ls e t s c h a p t e r4 ，f i r s t l y , ii n t r o d u c e t h ed e f i n i t i o no fag e n e r a l i z e ds i e r p i n s k ic a r p e t ，b yt h em e a n so fu p p e rc o n v e xd e n s i t y , io b t a i nt h ee x a c tv a l u eo ft h eh a u s d o r f fm e a s u r eo faf a m i l yo fs i e r p i n s k ic a r p e t k e yw o r d s ：h a u s d o r f fm e a s u r e ，h a u s d o r f fd i m e n s i o n ，g e n e r a l i z e ds i e r p i n s k i c a r p e t ，u p p e rc o n v e xd e n s i t y ，s e l f - s i m i l a rs e t i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印j 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密酉 学位论文作者签名： 舢年1 2 月7 指导教师签名夕穆乡q 2 0 0 7 年1 2 月i 亏日 独创性申明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 江苏大学硕士学位论文 序言 众所周知，欧几里得几何学研究的都是规则的形状，例如正方形，圆，球等， 显然构成这些图形的边缘都是连续和光滑的。然而在现实的客观自然界中，许许 多多事物的形状和现象是十分复杂的，蜿蜒曲折的海岸线，形状怪异的云彩边界， 嶙峋陡峭的山脉轮廓，杂乱无章的分子运动等。对于这些“病态经典几何的分 析与工具就显的苍白无力，在某些时候甚至连作出合乎逻辑的判断都相当困难。 同时，人们已经注意到不规则集往往能对如此的“病态”更好的描述，1 9 7 5 年， b b m a n d e l b r o t 1 创立的分形几何为理性、科学的探讨这些复杂的问题提供了 全新的工具，更逼真的揭示了自然界的混沌无规则结构的规律性及本质。 但是，到目前为止人们仍没有给分形下一个严格的定义，只知道分形f 具有 以下所有的或者是大部分的性质： ( i ) f 具有精密的结构，即有任意小比例的细节。 ( i i ) f 是如此的不规则以至它的整体和局部都无法用传统的几何语言来描 述。 ( i i i ) f 通常某种自相似的形式，可能是近似的或是统计的。 ( i v ) 一般的f 的分形维数( 以某种方式定义的) 大于它的拓扑维数。 ( v ) 在大多数令人感兴趣的情形下，f 以非常简单的方法定义，可能由迭 代函数产生。 ( v i ) 通常f 有“自然 的外貌。 一些分形是众所周知的，例如三分康托集，v o nk o c h 曲线，s i e r p i n s k i 三角 形及s i e r p i n s k i 垫片等。 对于一个几何体，人们感兴趣的是如何来度量它。度量分形常用的参数是分 形集的维数和测度，比如h a u s d o r f f 维数与h a u s d o r f f 测度，填充维数与填充测度， m i n k o w s k i 维数与m i n k o w s k i 测度，其中尤以h a u s d o f f f 维数与h a u s d o r f f 测度在 理论上更为精确而应用广泛。 在分形几何的研究中，要计算一个分形集的h a u s d o r f f 维数是比较困难的， 而要想得到其h a u s d o r f f 测度的准确值就更加困难。迄今为止，分形几何研究成 果最丰富的首推自相似集，自相似集可以看作是一类迭代函数系的不变集，特别 江苏大学硕士学位论文 是对于满足开集条件的一类自相似集，其h a u s d o r f f 维数计算与估计已有确定的 公式，但即使对于这样一类研究比较深入的分形集合，也仅有几种特殊的且维数 小于1 的h a u s d o r f f 测度被确定，比如三分c a n t o r 集的h a u s d o r f f 测度为1 1 6 ； 周作领、吴敏在文f 3 j 中确定了由4 个压缩比为形的压缩函数生成的s i e r p i n s k i 垫 _ r 片的h a u s d o r f f 测度为2 等，对一般的分形仍缺少有效的方法和工具，因此计 算与估计分形集合的h a u s d o r f f 测度始终是一个棘手的问题。 然而分形几何的理论研究与应用仍在迅速发展，且在不同的学科中起着重要 作用，使分形研究成了交叉学科的前沿领域，成为“非线性科学 的核心课题之 一。但是，与其他科学相比，分形几何却非常年轻，理论基础还不成熟，大量有 意义的理论问题仍有待解决，在其他学科中的应用还有待进一步深入的挖掘。分 形的研究正向更高更深层次发展，分形的理论及应用作为非线性科学的核心领 域，必将在2 1 世纪中大有作为，焕发出勃勃的生命力。 2 江苏大学硕士学位论文 第一章h a u s d o r f f 测度和维数 h a u s d o r f f 测度与h a u s d o r f f 维数是研究分形集的两个非常重要的工具，本 章主要介绍了h a u s d o r f f 测度与h a u s d o r f f 维数概念和性质。 1 1h a u s d o r f f 测度及其性质 1 1 1 测度论基础知识 测度是分形几何的重要组成部分，是研究分形的有力工具。此外测度可以用 来刻画分形的特征。因此在介绍h a u s d o r f f 测度之前，先介绍测度的一些基本概 念和结果【2 】。 定义1 1 设x 为一集合，f 是x 的一个子集族，称f 是x 的一个o r 一代数， 如果满足： i x f ： i i 如果e fn - 州e f ； 1 1 1 如果a f ，l 1 ，则：u a f 。 f d 定义1 2 设f 是x 的一个o r - - 代数，p ：f 一【0o o 】称为一个测度，若满足： i ( 矽) = 0 ； i i 如果ae f ，i - - - 1 ，且an a ，一，o 乒j ) 贝i j ： ( u a ) 一似) 1 1 1 1l 缸 定理1 1 嘲设是x 的仃一代数f 上的测度， i z 是下连续的。即，若对任意的栉1 ，ac 如c c c ac 是f 中的递增集列，则： ( 舰a ) 2 舰似) ； i i 是上连续的。即，若对任意的靠1 ，a 如3 a 3 a3 是f 中的递减集列，且似) 0 ，则y 俾u f ) = y ) + y 妒) 。 1 1 2h a u s d o r f f 测度及其性质 设( x ，d ) 为度量空间，u 为x 中的任意非空子集，u 的直径定义为 u i = s u p 舡一少i ：x , y e u ，即u 内任意两点距离的最大值。 定义1 5 令f 是x 的子集。设万 o ，称x 的可列( 或有限) 子集族 弘) 是 f 的一个万覆盖，如果它满足下述两条性质： i 任意玑的直径不超过万，即o 0 ，令 i - i ；( d = i n f 艺i - 1i u ： 配) 为确万一覆盖 ( 1 1 1 ) lj 当万减少时，上式中能覆盖f 的集类是减少的，所以下确界日；妒) 随着增加 且当万一0 时趋于一个极限。记为 4 江苏大学硕士学位论文 h 5 旷) 一】鲤联俨) ( 1 1 2 ) o u 对掣中任何子集f 这个极限存在，但极限可以是( 并且通常是) 0 或0 0 。称日。f ) 为f 的s 一维h a u s d o r f f 测度。如果0 日。伊) 0 0 ，则称f 为s - 集。 特别地，日。( ) 1 0 。如果e 包含于f 内，则日。但) s h 。俨) 。若仍) 是任 何可数不交波雷尔集序列，则： 日。( 0 e ) 2 ：| ；日5 ， c 1 1 3 ， 在h a u s d o r f f 测度定义的过程中使用的覆盖的集合的形状并不固定，且在定 义过程中还带有极限过程，这给h a u s d o r f f 测度的计算造成许多不便。正因如此， 虽然h a u s d o r f f 测度引入至今已有一百多年的历史了，但关于它的计算与估计方 面的研究成果却为数不多且进展缓慢。 h a u s d o r f f 测度推广了长度、面积和体积等类似概念。掣中任何子集n 维 h a u s d o r f f 测度与f l 维的勒贝格测度，即通常的n 维体积，相差一个常数倍，更 精确的，若f 是r 4 中的波雷尔子集，则 c , h 4 - v o l “伊) ( 1 1 4 ) 此处常数q = 万枷2 “( 丢刀) ! ，即直径为1 的n 维球的体积。 下面给出h a u s d o r f f 测度的一些性质。 根据h a u s d o r f f 测度的定义和下确界的性质，容易得到如下定理。 定理1 2 圆作为f 的函数，日；和日。是外测度。 定理1 3 圆h ，为度量外测度。 由h a u s d o r f f 测度的定义可知，对任意集合，c 彤，当s 从0 到0 0 增大时 h 8 伊) 不增，此外当s ，时，则有研苫万”蟛t 伊) ，因此得到下面的定理。 定理1 4 r 刃设0 s f 0 ，口 0 ， 使得 畋( 厂，厂( y ) ) s c ( 面( 易y ) ) g ，x ，y f 如果在上述定义中，取口- 1 ，则厂称为李卜希兹映射，特别的当o 0 ； i i 齐次性： 日8 ( 肛) 一a 5 日。俨) ，五 0 。 定理1 6 嘲设俄是掣中的递减紧集列，则对任意艿 0 ，s 0 ，有： 2 5 h j 睡) l m z h 2 a ( f ) 定理1 7 嗍设闭集fcr d ，s 0 ，且日f ) t r o t 0 0 i 设名为正实数，则：存在f 的紧子集ec f ，使得日。但) 一名； 江苏大学硕士学位论文 i i 存在f 的紧子集ec f ，使得日5 伍) o ，r h 5 ( 8 , ( x ) n e ) 0 一s u p s ：日。( f ) 一) i l l i n f s ：h 。( f ) ) - i n f s ：日5 但) i 田。 驰仰一氍裁并 ”， 0 田1 2 - 1 橐f 曲r ( 乃对- 的0 6 蠢撕黻 箍矗健从1 瞻p 到0 蹙蝴自舶帖 f 面给出i - t _ a u s d o r 任维数的性质。 定理1 2 1 m 若fc r 4 为开集，则：d i m 日f n ；若f 为彤中的光滑( 即 连续可微) m 维流形( 既m 维曲面) ，则：d i m 日f i m 。 定理1 2 2 1 设fc r “。若日5 妒) o ， 则：d i m 日f 乏s 。特别地，若o 日。伊) ，则：d i m z f - s 。 定理1 2 3 i 单调性：若ec f ，则：d i m h es d i m 日f ； i i 盯一稳定性：设 e ) 。缸为一集列，则：d i m 片u c = s u p d i m e ) 。 7 江苏大学硕士学位论文 推论1 2 1 n 1 若f 是可列的，则：d i m j j rf - 0 。 定理1 2 4 n 1若fc r “，厂：f 一只m 为口一阶h o l d e r 映射，则： d i m 日f ( f ) _ l d i m nf 推论1 2 2 n 1若fc r “， f ：f _ 尺”为李卜希兹映射，则： d i m hf q 、) s d i m h f 特别地，若f 为双李卜希兹映射，贝ud i m 日，俨) 一d i m 日f ，等距映射，相似 映射保持维数不变。 显然，由推论1 4 可知h a u s d o r f f 维数是双李卜希兹映射下的不变量，其逆 命题：若两个分形集的h a u s d o r f f 维数不同，则它们之间不存在双李卜希兹映射。 定理1 2 5 2 jr d 及中的任一开集的h a u s d o r f f 维数都是d 定理1 2 6 n 1 若fc r “，r d i m hf o ，均存在u y 使得x u ，上co l u l - o ) ，则可以从球族中挑出可列或有限子 b 。= b ( 一，( 而) ) ，使得： i fc u b ( 毛， ) ) ； f i i 存在仅依赖于d 的正整数乃，使得刀；0 刀；，其中曰；中的球彼此不交； i - 1 i i i 对任意x ，( 功s 乃，即口中与任一球相交的球的个数不超过 脚。 以。 以上几个覆盖引理是计算或估计一般分形集的h a u s d o r f f 测度十分有效的 工具。 定义1 4 2 称r d 上的正有界波雷尔测度满足口一阶h o l d e r 条件，若存 在正常数c o ，使得对任意uc r d ，有) c i u i 口。 定理1 4 4 n 1( 质量分布原理) 设s 0 ，fcr d 上的质量分布满足j 一阶 h o l d e r 条件，即存在常数c o ，以及万 o ，使得( 【，) c p 对所有满足 o l u i 万的集u 成立，则日5 ( f ) ( u ) 肛。 定理1 4 5 n 1 设是r d 上的质量分布，f c r d 为波雷尔集，c 为常数且 0 c o o i 若对任意x f ，面丛墨掣 c ， r - * 0 r 6 则日，( f ) 掣，其中忖。表示测度 c ” 的总质量。 质量分布原理为我们计算或估计分形集的h a u s d o r f f 测度提供了一种较简 洁的方法，但此种方法对一般分形集来说仍有较大难度，不过对于自相似集所具 有的特殊结构，此法却十分有效。 1 0 江苏大学硕士学位论文 第二章自相似集 自相似集是一类最典型，最重要的分形集，尤其是满足开集条件的自相似集， 它是s 一集，其h a u s d o r f f 维数等于其相似维数。对此类分形集的研究已取得较丰 富的成果，但是即使是如此规则的分形集要计算其h a u s d o r f f 测度的准确值仍就 很困难。本章首先介绍自相似集的基本知识。 2 1压缩映射与吸引子 设伍，d ) 为度量空间，e 是x 的非空闭子集，映射，：e e 称为e 上压缩 映射，如果存在正常数0 名 l ，使得对任意x , y e 有 a ( f ( 力，( ) ，”c d ，) ，) 若度量空间为( ，l i i | ) ，：彤- 掣，且满足： v x ，y e r 4 有 i ( x ) 一厂( 力l = a x - y i ，其中0 2 0 ，ac r “，a 的s 一领域( a 的g 一平行体) 定义为：a - 忸：d 似a ) s ， 显然ac a 。 设b 表示r “的非空有界紧子集所构成的集类，在b 上定义i - i a u s d o r f f 度量， 如如下：略似，b ) = s u p d ( x , a ) ，a ( y ，b ) ：工a ，y b ；a ，曰研 江苏大学硕士学位论文 因此如似，曰) 占当且仅当ac b 勒c 允同时成立。易证，如在b 满足度量空 间的所有条件。 对于h a u s d o r f f 度量如有如下的性质： 设，是r “呻尺“的自相似压缩映射，则 i 如( 厂( a ) ，伊) ) 一( a ，易) ； i i 如( u a ，u e ) - s 蝉d 片 ，马) ，其中a ，b ，a ，垦b ，i e l 。 i f f ij e r 定义2 1 1 设 z k 1 为r “一只“的迭代函数系，则存在彤中唯一的非空紧 子集t 满足： t = u 五仃) 集合t 称为迭代函数系 五的吸引子。若 正盔为d d ，( dc r 一) 上的自相 似迭代函数系时，则t 称为由 正出生成的自相似集，显然： z 。i ：jz f ) 且z 。nu 互。互。夏( d ) ， i - 1i - 1t ，屯，一t q l ，2 ，” 记为= d ： z ) 盘) 。 显然有：。l i m l i t 垤，( d ) i = o 。 同时为下面讨论的方便引入两个记号，j k 表示所有k 项的序列q ，如) 的 集合，1 s ，之，ts ，k 1 为整数a 定义2 1 2 若令五t n 五“( d ) ，五 一n 咒以p ) ，( d c r “) ，则称满足： n - 1n - i 五岱，) - x ，( f = 1 2 ，) ，的点z 。为：压缩不动点。 特别值得注意的是，若 z 也是线性自相似迭代函数系时，即z ( 力t 丑x + 骂， 0 墨。) 自相似迭代函数系。存在开集gc 尺”，满足 i f , ( g ) c g ，i = l2 ， i i 正( g ) n ( g ) - 矽，f ，l ，j = 1 2 ，n 。则称满足开集条件。 当满足开集条件时有如下结论： 定理2 2 2 嘲设= r ”： ，：) 墨。 自相似迭代函数系，f 是由其生成的自相 似集，若满足开集条件时，则： i 0 0 ，s 为其相似维数。 但是d h n h f - s 与日5 伊) 0 不等价。 2 3自相似集的h a u s d o r f f 测度及性质 在第一章我们已经介绍了h a u s d o r f f 测度的一般性质，但对于自相似集这类 特殊的分形集来说，其h a u s d o r f f 测度又具备一些明显的特性。 若定义成( 即= i l l f 妻i - 1l 卜 刍为确任一覆盖) 。 lj 定理2 3 1 n 刀设f 是掣的有界波雷尔子集，则下列三个命题等价： i 蛾伊) 一h 。伊) ； 1 4 江苏大学硕士学位论文 i i 任给万 0 ，珥f ) 一日5 俨) ； i i i 对任意的开集u ，h 。( u n f ) - 0 ，若记： 拈品占 警) 删：柳cn 吲珊d = 眢。 定理2 4 1 嗍设自相似集ec r “，满足强开集条件，且为一j 一集，则存在 u c r , 啪，使帮乩 1 6 江苏大学硕士学位论文 第三章分形射影的基本理论及应用 在这一章，介绍彤中的分形到低维予空间的正交射影。它能够将高维的问 题转化到低维的情形去研究，当然这种转化是在某些性质不变的情况下，比如说 在维数不变条件下，我们可以去探索二者h a u s d o r f f 测度之间的内在的，必然的 联系，特别是对于一些满足强分离条件的自相似集，根据这一思想去计算或估计 一类广义s i e r p i n s k i 垫片的h a u s d o r f f 测度就较为简洁，有效，且得到了其 h a u s d o r f f 测度的准确值。 3 1分形射影的维数性质 首先在最简单的情形下得到射影定理即平面中的点集到直线的射影的情形， 然后可以将结果类似的推广到高维的情形，参见文献 1 设厶表示通过只2 的原点并与水平轴线夹角为0 的一条直线，用p r o j o 表示到 厶上的正交射影，所以如果f 是r 2 的子集，贝l j p r o j o 是f 到厶上的射影，见下图。 显然，x , y e r 2 ， p r o a x - p r o j e y l 1 ，则对几乎所有的秒【o ，万) ，p r o j e f 有正长度( 作为厶的 子集而且维数为1 。 此射影定理自然的可以推广到高维情形。 设q j 为通过掣的原点的七维子空间或“k 维平面 。记咖表示到七维平 面n 的正交射影。 定理3 1 2 n 1 设fcr ”为波雷尔集， i 若d i m hf 墨七，则对几乎所有的n q j 有d i m 日( p r o j n f ) 一d i m 日f i i 若= d i m hf 七，则对几乎所有的兀q j ，j - - o j n f 有正七维测度且维数为七。 3 2 一类广义s i e r p i n s k i 垫片h a u s d o r f f 测度与射影 本节重点讨论尺2 平面上，由线性迭代函数系 正( 矽) l ，正( 功一以x + 垦， o 磊 1 ，忍一魄，) ，生成的吸引子f ，在满足s o s c 条件下，根据定理3 1 1 n 1 对几乎所有的p 【o ，7 ) ，d i m n f = d i m 日( p r o j a f ) - s 量1 。 为方便叙述，令夕= s u p 日5 ( p r o j e f ) ；o o ，万) ) 。 在平面尺2 上，取单位正六边形，记作毛，将b 的每一条边分成，z 等份可得到 n 2 一以+ 1 个边长为! 的正六边形，保留其中的七个正六边形( 后万) ，而去掉其余 刀 的部分，得到的集合记作墨，对置中的每个正六边形重复上述过程，得到集合岛， 无限的重复以上过程得到： 磊 日 易3 易3 巨 ( 见图3 2 一1 ) 非空集合e n 巨称作：广义s i e r p i n s k i 垫片 1 8 江苏大学硕士学位论文 图3 2 - 1 易见e 是由平面上线性迭代函数系统( i f s ) 正) ：= l 在日上生成的吸引子，其 中z ( x ) 2 言x + 垦，( 七万) ，x _ 隅，五) ，马。蛾，气) ，满足开集条件，记 e = 磊， z ) 乌) ，其h a u s d 。r f f 维数s - 恤日e ，由方程j | ( 三n ) 5 = 1 决定，即 s l o g ：墨1 同时令= e = ( 昂， z ( x ) 癌) ；z ( x ) = i 1x + 忍) 定理3 2 1 对任意fc 西则：芦日5 ( f ) - i f l 8 证明：不等式的右端由 1 中的定理9 3 易得。下面仅证明不等式左端，对 v f 及p 【o ，万) ，p r o j 口是一个李卜希兹映射且指数口= 1 ，所以 日。( p r o j 口f ) 日5 ( f ) ，从而s 日。( d ，故f a 日5 ( f ) l ，。 定理3 2 2 若f ，且存在岛【o ，万) ，使日5 ( p r o j o f ) = 俐。，则： h 。( f ) = = i f 证明：根据定理3 2 1 及的定义易证。 注：以上的两个性质在s = 1 的特殊情形下更成立，祥见【1 8 】 应用以上的定理可求得一类广义s i e r p i n s k i 垫片的h a u s d o r f f 测度准确值。 例1 ：如图( 3 2 - 2 ) f 一慨， 五，厶) ，晶为单位正六边形，f a x ) = 妄x + 墨， 州扣，岛= c 秒5马= c ；，筝，日= c 主，筝，忍：唁，筝， 贝i j ：h 。( f ) 一2 4 ，s - d i m zf = l o g ： 江苏大学硕士学位论文 y 图3 2 - 2 证明：如图( 3 2 2 ) 建立坐标系，将f 向直线三手上作正交投影，并作相 应的平移变换得到线段【0 2 】上的一个分形，其等价的描述如下： i ge 。2 o 2 ，在其上定义5 个压缩比为否1 的压缩函数，石( x ) = 6 1 _ x ， 以( x ) = 6 1 _ x + 西5 ，六( x ) = 丢x + 1 1 0 2 ，六( x ) = 6 1 _ x + 警，石( x ) = 吉x + 1 2 0 2 ，显 然ff ) 也在e 。上生成一个广义c a n t o r 集e 。 易见五一名j ，( f ) ， 忍甚。成等差数列，因此根据文 5 引理3 可知： h 。( p r o j 手f ) 一h 。陋) = 时一2 。，s = d i m j 5 re = d i m n f = l o g s 6 。 而实际上，l f i 。2 8 ，从而日5 ( p 鸭f ) = 俐8t ? ，故，由定理3 2 2 可得： h 。俨) 一2 。，s - l o g ：。 定理3 2 3 对任意f ，若存在岛【o ，万) 及一个波雷尔集wc r 2 ， 使 业n 旦一日j 伊) i 缈1 5h 8 ( p r 魄，) s d i m 日f ，则： h 5 ( f ) = f = h 3 ( p r o j a 。f ) 证明：x c i t ：意f m 及岛【o , z ) ，显然日。( p r o j o o f ) 日5 伊) ，由于f 是自 相似集，且满足开集条件，根据 1 0 中命题( 2 ) 可得： h 。伊n w ) 吲。 结合条件有：h 。( p r o j o o f ) h 5 伊) ，再根据f 的定义及定理3 2 1 ，于是得： 日。俨) = f - h 。( p r o j 岛f ) 江苏大学硕士学位论文 例2 如图( 3 2 - 3 ) f 一佤， 五岱) ) ，r 为单位正六边形，是由 f a x ) = 扣骂，马= 和垦= 唁，参忍= 嗤，攀日：，争，生成 的广义s i e r p i n s k i 垫片f 。则 h 。( f ) = 厅，s 。d i m 日但) 1 y 证明：根据迭代函数系 正，可求得压缩不动点：五：( i 1 ，o ) ， 五= 唁5 ，筝，五= 睦厕，五= 弓，参眠4 b 。 此时取六边形石：，z 。，l ( x 。) ，l ( x 。) ，厶隅) ，厶隅) 作为波雷尔集， 据图可知l i ：要。又f n l ( f ) u l ( f ) ，根据测度的可列可加性计算得 h ( f n w ) ：i 1 。h ( f ) ，所以： 箐= 孝= 等= 器 2 故由定理3 2 3 得：h ( f ) = h ( p r o j 晏) = ；。 江苏大学硕士学位论文 第四章一类广义s i e r p i n s k i 垫片的h a u s d o r f f 测度 s i e r p i n s k i 垫片是一类重要而广泛的分形，对它进行研究始终引起人们浓 厚的兴趣，而且也取得了一定丰富的成果，本章重点研究了一类广义的 s i e r p i n s k i 垫片，并利用上凸密度的性质对其h a u s d o r f f 测度进行计算，得到 了其准确值。 4 1 广义s i e r p i n s k i 垫片的构造 在平面尺2 上，取单位正2 刀边形，记作品，在& 的2 疗个角上分别作边长为五， 0 五 1 ，( i = 1 ，2 ，2 n ) 的小正边2 万形，连同边界保留这知个小正边孙形， 其余部分挖掉，这知个正2 疗边形的集合记作墨，对墨中的每个正知边形重复 上述过程即在每个角上作正2 疗边形( 含边界) ，它们组成的集合记为，重复以 上过程无限的进行下去。得到： & 墨3 岛3 3 ( 见图4 卜1 ) 非空集合s n & 称作由& 生成的广义s i e r p i n s k i 垫片，例如刀= 3 ，万= 4 时 k - o 图形为： 图4 1 - 1 丫 2 n 同时假设下列开集条件成立：存在平面上有界开集& 满足u 五( & ) c & ， 日- f , ( s o ) r l ( s o ) 一，i c y ，不失一般性，取& 为单位正2 以边形，并采用文 2 4 江苏大学硕士学位论文 一_ - - - - l _ 一 中的概念，称& 为s 的自然覆盖，显然s 为自相似集，其h a u s d o r f f 维数s d i m 日s 满足：善万一l ，且s 为一个s 集，即有o h 。( s ) 设为满足如下自相似关系的唯一概率测度： m 2 善零m 五。1 则s 是的支撑，自然是s 上的一个质量分布。 图( 1 ) 中4 如如。为单位正2 一边形，直线e ；e 分别平行于正知边形的刀条 主对角线，且与五 ) 相交，分别为a 到直线e 只的距离，a p t , 一如f ( a ，巨e ) ， 在o 五 五的条件下，其中单位正2 万边形的直径d = c s c 丢，当o d 五 时，易见直线e e 不会与其它l x s ) ，i j 相交。 设g ) 分别表示三角形a 置互所围部分的测度。 令 d ( ，t ) = 型笋，斑：媳 d ( ，) ) 。定义单位正2 万边形的第r 条次对角线： 是指从主对角线a a “开始依次向左或右的第，条对角线，( ，= 2 ，3 ，刀一2 ) ， 其长度记为口= d c o s 要，则q 在主对角线d 上的正交投影长度为 z 托 d r d c o s 2 丢。 另规定如下集合： m = ( f ，驯4 4 为正2 n 边形的主对角线) ， 鸠= ( f ，) h 4 为正2 n 边形的第r 条对角线) ，m 。2 ( i ，j f ) ia a 为正2 n 边形的一 条边1 。 4 2 一类广义s i e r p i n s k i 垫片的h a u s d o r f f 测度的精确值 本部分重点的研究以正六边形和正八边形为基本集生成的一类广义 s i e r p i n s k i