（光学专业论文）量子纠缠和量子噪声对量子博弈的影响.pdf

摘一要 近年来，随着量子力学的发展，量子信息论已经成为现代物理学 和信息科学中最前沿的学科之一，量子力学作为人类历史上最成功 的理论与相对论一起构成了现代物理学的理论基础而由于量子博 弈理论在量子通信和量子算法研究中的应用，已经有越来越多的工 作将经典博弈扩展到量子领域此外，它们还广泛应用于社会科学 和经济学等诸多方面 本文研究的重点是量子纠缠及量子噪声对量子斯坦克尔伯格博 弈的影响。其共分为五章，第一章简要介绍了博弈理论和经典博弈 模型以及最近关于量子博弈的主要研究成果 第二章介绍了量子纠缠和量子噪声的基本理论，简述了量子纠 缠的定义及度量方式；给出了量子噪声的含义，介绍了振幅阻尼， 退极化和相位阻尼及其相应的克劳斯( k r a u s ) 算符 第三章到第四章为本文的工作，其创新之处在于：第三章在简 要回顾量子斯坦克尔伯格博弈之后我们研究了量子纠缠对该博弈的 影响。如果不考虑量子噪声的影响，我们得出在不同的纠缠区间对 “先动优势”会产生不同的影响，可能被削弱或者增强。 在第四章我们分析了量子消相干对量子斯坦克尔伯格博弈的影 响。这里所研究的量子消相干是由振幅阻尼、退极化和相位阻尼引 起的，它们分别用k r a u s 算符和表示加以描述。我们发现，振幅阻尼 对该博弈有相当重要的影响，当初态为最大纠缠态时，我们发现两 参与人的行动和收益存在一个“临界点”在该“临界点”处两参与 人拥有相同的行动和收益当阻尼参数从“临界点”的左边变到右 边时，该博弈就从“先动优势”变为了“后动优势”而在退极化环 境中，逐渐增加阻尼参数只会导致两参与人在均衡点的行动量和收 益值的不断减少，即表明其“先动优势”被不断削弱但在相位阻 尼的环境下，由于该阻尼方式对最终末态的对角元不会产生影响， 所以相位阻尼对两参与人的子博弈精炼纳什均衡点和收益都不会产 生影响 第五章对本文的工作进行了简要的总结，并对这一研究领域的 发展前景作了简要的展望。 关键词：量子博弈，量子纠缠，量子噪声，斯坦克尔伯格双寡头 博弈，子博弈精炼纳什均衡 a b s t r a c t ht h ep a s tf e wy e a r s q u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c eh a sb e c o m eo n eo f t h ef r o n t e s ta r e a si np h y s i c sa n di n f o r m a t i o ns c i e n c e q u a n t u mm e c h a n i c s a n dr e l a t i v i t ya r ec o n s i d e r e d8 , 8t w of o u n d a t i o n so fm o d e r np h y s i c s t h e r e h a sb e e nag r e a td e a lo fe f f o r tt oe x t e n dt h ec l a s s i c a lg a m et h e o r yi n t ot h e q u a n t u md o m a i ns i n c ei ti sb e l i e v e dt h a tt h eq u a n t u mg a m et h e o r ym a yb e a p p l i c a b l ef o rt h es t u d yo fe f f e c t i v eq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n 鸽w e l la sf o rt h e p r o d u c t i o no fn e wa l g o r i t h m sf o rq u a n t u mc o m p u t e r s f u r t h e r m o r e ，v a r i o n s p r o p o s a l so fa p p t 咖n gq u a n t u m l i k em o d e l si ns o c i a ls c i e n c e sa n de c o n o m i c s h a v eb e e np u tf o r w a r d t h i st h e s i si sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t i n gt h ei n f l u e n c eo fe n t a n g l e m e n ta n d d e c o h e r e n c eo nt h eq u a n t u ms t a c k e l b e r gd u o p o l y ( q s d ) g a m ea n dc o n s i s t s o ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eb a s i ct h e o r yo ft h eg a m ea n dc l a s s i cg a m e m o d e l sa r eb r i e f l yr e v i e w e d i l lc h a p e r2 w ei n t r o d u c et h eb a s i ct h e o r yo fq u a n t u me n t a n g l e m e n ta n d q u a n t u mn o i s e w ed e s c r i b es i m p l yt h ed e f i n i t i o no fq u a n t u me n t a n g l e m e n t a n dm e a s u r eo ft h ed e g r e eo fq u a n t u me n t a n g l e m e n t t h e n ，w er e v i e wt h r e e t y p e so sq u a n t u mc h a n n e l st od e s c r i b eq u a n t u mn o i s e a m p l i t u d ed a m p i n g ， d e p o l a r i z i n gd a m p i n ga n dp h a s ed a m p i n ga r ed i s c u s s e di nt e r m so fk r a n s o p e r a t o r s ，r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t et h ei n f l u e n c eo nt h eq s dg a m eo fq u a n t u m e n t a n g l e m e n t i ti ss h o w nt h a tt h ef i r s t - m o v e ra d v a n t a g ec a nb ew e a k e n e d o re n h a n c e dd u et ot h ee x i s t e n c eo fe n t a n g l e m e n tf o rt h eq s d g a m ew i t h o u t d e c o h e r e n c e i nc h a p t e r4 ，w ea n a l y z et h ee f f e c t so f d e c o h e r e n c eo nt h eq s d g a m eu n d e r d e c o h e r e n c e t h ei n f l u e n c eo fd e c o h e r e n c ei n d u c e db yt h ea m p l i t u d ed a m p i n g ， t h ed e p o l a r i z i n gd a m p i n ga n dt h ep h a s ed a m p i n ga r ee x p l i c i t l ys t u d i e di nt h e f o r m a l i s mo fk r a n so p e r a t o rr e p r e s e n t a t i o n s w es h o wt h a tt h ea m p l i t u d e d a m p i n gs e r i o u s l ya f f e c t st h en a s he q u i l i b r i u mo ft h eq s dg a m ea n dt h e i i i p r o f i t so ft h et w op l a y e r sw h i l et h ep h a s ed a m p i n gd o e sn o ta f f e c tt h en a s h e q u i l i b r i u ma n dt h ep r o f i t so ft h et w op l a y e r s i ti sf o u n dt h a tu n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n st h e r ee x i s t sa c r i t i c a lp o i n t ”o ft h ed a m p i n gp a r a m e t e rf o rt h e a m p l i t u d ed a m p i n ge n v i r o n m e n t a tt h e c r i t i c a lp o i n t ”t h et w op l a y e r sh a v e t h es a m em o v e sa n dp a y o f f s t h eq s dg a m ec a nc h a n g ef r o mt h ef i r s t - m o v e r a d v a n t a g eg a m ei n t ot h ef o l l o w e r - m o v e ra d v a n t a g eg a m ew h e nt h ed a m p i n g p a r a m e t e rv a r i e sf r o mt h el e f t - h a n d - s i d er e g i m eo ft h e c r i t i c a lp o i n t ”t ot h e r i g h t - h a n d - s i d er e g i m e i ti sf o u n dt h a tt h ep r e s e n c eo ft h ed a m p i n gi nt h e d e p o l a r i z i n gc h a n n e la l w a y sl e a d st ot h ed e c r e a s eo f t h eq u a n t i t i e so f t h em o v e s a n d p a y o f f so ft h et w op l a y e r si nt h eq s dg a m e i ti si n d i c a t e dt h a tu n d e r c e r t a i nc o n d i t i o n st h ef i r s t m o v e ra d v a n t a g ei nt h eq s d g a m ec a nb ew e a k e n e d d u et ot h ep r e s e n c eo ft h ed a m p i n gi nt h ed e p o l a r i z i n gc h a n n e l f i n a l l y , as u m m a r ya n da no u t l o o k o ft h i st h e s i sa r eg i v e ni nc h a p t e r5 k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，q u a n t u mg a m e ，q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，q u a n t u m n o i s e ，s t a c k e l b e r gd u o p o l yg a m e ，t h es u bg a m ep e r f e c tn a s he q u i l i b r i u m w 硕士学位论文 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外， 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作秆签名 二零零六年三月二十八日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文本学位论文属于 l 、保密口，在一年解密后适用本授权书。 2 、不保密。 ( 请在以上相应方框内打4 、”) 作着签名：淞乳日期加彳年f 月f 矿日 导师签名：a 蟊穿日期：砷年y j t , z 日 7 0 第一章绪论 1 1 引言 博弈论 1 ，2 1 的英文是g a m et h e o r y , 字面的意思是游戏策略。它 采用类似游戏中解决问题的方策略和对策来解决社会，经济及其他 领域中的问题，因此有的人还把博弈论译成对策论。准确的说，博 弈论是在给定的条件下寻求最优策略，这里所指的给定的条件包含 其他人的策略以及本人的决策对其他决策主体的影响。策略性活动 在社会、经济、政治生活中大量存在，也可以说，整个社会、经济、 政治生活中的行为都是博弈行为因此，博弈论作为一种方法在经 济、政治，军事和外交等许多领域中都得到了广泛的运用【3 ，4 】，特 别以其在在经济学中的应用最为成功1 9 9 4 年的诺贝尔经济学奖就 授予给了三位博弈论学家：纳什( n a s h ) 、泽尔腾( s e l t e n ) 和海萨尼 ( h a r s a n y i ) 。2 0 0 5 年，诺贝尔经济学奖又授予给了博弈论专家罗伯特 奥曼和托马斯谢林，以表彰他们在运用博弈论分析促进人们理 解冲突和合作等方面的贡献。 现代博弈理论最早开始于2 0 世纪初，y o nn e u m a n n 给出了关于 “两人零和”博弈的基本定理1 9 4 4 年，他和m o r g e n s t e r n 共同发表 了题为t h e o r yo fg a m e sa n de c o n o m i cb e h a v i o r 的论文在这期间，v o n n e u m a n n 在量子力学领域也同样做出了杰出贡献。但博弈理论和量 子力学只是在各自独立地发展，并且在各自不同的领域都有着重要 的应用直到2 0 世纪8 0 年代量子力学和计算科学相结合，形成了 一个新的研究领域量子信息学1 5 1 1 】。该研究领域为量子理论和博 弈论的结合奠定了基础，从而形成了一门新兴的交叉学科一量子博 弈论【1 2 - 1 6 从表面上看，博弈论与物理学相去甚远，然而博弈过程本质上是 一个信息处理过程，这个信息处理过程一般包括博弈人之间的信息 交换以及对博弈结果的测量等。雨信息处理过程是一个物理过程， 其根本属性应具有量子特性，特别是描述生物进化的博弈本身就是 在分子水平上进行1 1 7 1 ，那么其量子属性就更加明显了博弈过程 硕士学位论文 是一个信息处理过程，所以许多量子信息处理过程可以看作是“博 弈”的过程。例如，量子克隆可以认为是一个两人博弈 1 8 】。量子密 码通信中，窃听过程可以认为是窃听者与信息发送者之间的博弈 博弈也可以看作是一个算法【1 9 】，“量子的”和“经典的”“玩家”之 间的博弈。所以博弈的量子化可以对量子信息的研究有所帮助。另 外，量子博弈也为研究量子力学的基本理论提供了一个新的手段。 在量子博弈理论研究方面，m a y e r 首先提出研究“p q ”问题( p q g a m e ) 的量子化 1 9 】，并发现博弈的一方可以通过采用量子策略战 胜他的“经典”对手。e i s e r t 等人量子化了“囚徒窘境”【2 0 】，通过量 子化找到了一个不同于经典博弈的均衡并解决了经典模型中存在困 境的问题。m a r i n a t t o 和w e b e r 研究了性别对抗博弈f 2 1 1 并给出了这 个博弈的量子化模型的唯一均衡。p i o t r o w s b i 等人假定商人能应用量 子协议，以此来模拟量子市场【2 2 ，2 3 】。杜江峰等人发现了在量子囚 徒困境博弈中的相变情况 2 4 】并且用核磁共振量子计算机在实验上 首先实现了该博弈 2 5 】。另外，他们还研究了量子纠缠在多人量子 博弈中所起的作用【2 6 】以及多人和多策略量子博弈【27 】。匡乐满的研 究组提出量子囚徒困境博弈的光学实现方案 2 8 ，2 9 】。事实上，由于 在实际的量子信息处理过程中，量子系统不可避免地会与环境发生 相互作用从而导致退相干，所以量子噪声对量子博弈的影响f 3 0 - 3 3 成为了量子博弈中的一个新的研究主题，这也将是本论文要研究的 重点之一 1 2 经典博弈论的基本概念 一、著名的博弈论例子一囚徒困境 囚徒困境讲的是两个嫌疑犯作案后被警察抓住，被分别关在不 同的屋子里审讯。警察告诉他们：如果两个人都坦白各判4 年；如 果两个都抵赖，因证据不足，各判2 年；如果其中一人坦白，另一 人抵赖，坦白的放出，抵赖的判刑5 年。对于两个嫌疑犯来说，虽 然最好的局面是两个都抵赖，证据不足，各判2 年，但是这种情况 是不稳定的，每个人都想背叛对方以期无罪开释，所以最后的结果 2 量子纠缠和量子噪声对量子博弈的影响 是双方都坦白，各判4 年这就是困境，有更好的结果但是不能实现 = 、博弈论的定义及其相关概念 定义：博弈论是描述、分析多人决策行为的一种决策理论，是多 个经济主体在相互影响下的多元决策。决策的均衡结果取决于双方 或多方的决策。如下棋，最后的结果就是由下棋双方你来我往轮流 做出决策，决策又相互影响、相互作用而得出的结果从上面的例 子可以看出，两个囚徒都有自己的收益而不管他人的收益，这就是 博弈论区别于其他决策理论的关键所在。 博弈论的基本概念包括参与人、行动、信息、战略、支付( 效用) 、 结果和均衡，其中，参与人、战略和支付是描述一个博弈所需要的 最少的要素，称之为博弈的三要素参与人、行动和结果统称为“博 弈规则”博弈分析的目的是使用博弈规则来预测均衡我们现在给 出这些概念的准确定义【l 】1 1 参与人( p l a y e r ) ：参与入指的是一个博弈的决策主体，他的目 的是通过选择行动( 战略) 以最大化自己的支付( 效用) 水平参与人 可能是自然入，也可能是团体，如企业，国家，甚至若干个国家组成 的集团( 如o p e c ，欧盟、北约等) 对应于囚徒困境博弈，参与人 就是那两个罪犯，我们称之为a l i c e 和b o b ，分别用a 和b 来表示 2 ，行动( a c t i o no rm o v e ) ：行动是参与人在博弈的某个时点的决 策变量。参与人的行动可能时离散的，也可能时连续的。比如说， 在囚徒困境博弈中，每个参与人都只有两种行为可供选择“坦白” 和“抵赖”，分别用d 和c 表示，就是离散的行动。而在我们后面将 要介绍的寡头产量竞争的库诺特( c o u m o t ) 模型中，其行动是选择产 量q i ，则为连续的 3 信息( i n f o r m a t i o n ) ：信息是参与人有关博弈的知识，特别是有 关其他参与人( 对手) 的特征和行动的知识 4 战略( s t r a t e g y ) ：战略是参与人在给定信息集的情况下的行动 规则，它规定参与入在什么时候选择什么行动。应该强调的是，战 略和行动是两个不同的概念，战略是行动的规则而不是行动本身 3 硕士学位论文 表1 1 ：囚徒窘境博弈的收益矩阵第一个数字表示a l i c e 的收 益，后一个表示的b o b 收益 在前例中，“坦白”( d ) “抵赖”( c ) 是两种行动，而战略是要说明什 么时候采取什么行动。一个有助于理解两者区别的例子是，毛泽东 讲的“人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人”是一种战略，这 里的“犯”与“不犯”是两种行动，战略规定了什么时候选择“犯”， 什么时候选择“不犯” 5 支付( p a y o f f ) ：在博弈论中，支付是指在一个特定的战略组合 下参与人得到的确定效用水平，或者是指参与人得到的期望效用水 平。支付是博弈参与人真正关心的东西，他们的目标是选择自己的 战略以最大化其效用水平。对应囚徒困境博弈，我们可以用表1 1 的 支付矩阵来表示其支付 6 结果( o u t c o m e ) ：结果是博弈分析者所感兴趣的所有东西，如 均衡战略组合、均衡行动组合、均衡支付组合等。 7 均衡( e q u i l i b r i u m ) ：均衡是所用参与人的最优战略的组合，一 般记为： 其中，s ；是第i 个参与人在均衡情况下的最优战略，它是i 的所有 可能的战略中使效用函数u ；最大化的战略。 三、博弈的分类 我们可以从不同的角度对经济中的博弈进行分类研究。从总体 上讲，可以将博弈分为合作的博弈( c o o p e r a t i v eg a m e s ) 与非合作博弈 4 量子纠缠和量子噪声对量子博弈的影响 ( n o n c o o p e r a t i v eg a m e s ) 。合作博弈与非合作博弈使根据博弈者之间是 否能够通过某种契约的约束采取合作的策略而区分的。合作博弈是 指这样一种博弈，在这种博弈中，博弈者能够通过谈判达成一个有 约束的契约以限制博弈者行为，使之相互采取一种合作的策略如 果在一种博弈中，博弈者无法通过谈判达成一个有约束的契约以限 制博弈者的行为，则称该种博弈为非合作的博弈。例如，如果几家寡 头通过订立契约，限制产量，制定垄断高价，则称这种博弈为合作 的博弈若寡头们在市场竞争中虽然考虑到了竞争对手可能采取的 行为，但并不相互勾结，而是独立地进行产量与价格的决定，则称 这种博弈为非合作博弈。本论文仅讨论非合作的博弈【3 4 】值得注 意的是，非合作博弈强调的是个人理性，个人最优决策，其结果可 能是有效率的，也可能是无效率的 博弈的划分可以从两个角度进行第一个角度是参与人行动的 先后顺序从这个角度出发，博弈可以划分为静态博弈( s t a t i cg a m e ) 和动态博弈( d y n a m i cg a m e ) 。静态博弈指的是博弈中参与人同时选择 行动，或虽非同时但后行动者并不知道前行动者采取了什么具体行 动；动态博弈指的是参与人的行动有先后顺序，且后行动者能够观 察到先行动者所选择的行动划分博弈的第二个角度是参与人对有 关其他参与人( 对手) 的特征、战略空间及支付函数的知识。从这个 角度，博弈可以划分为完全信息博弈和不完全信息博弈。完全信息 指的是每一个参与人对所有其他参与人( 对手) 的特征、战略空间及 支付函数有准确的知识；否则，就是不完全信息博弈。 将上述两个角度的划分结合起来，我们就得到四种不同类型的博 弈，这就是：完全信息静态博弈，完全信息动态博弈和不完全信息静 态博弈，不完全信息动态博弈与上述四种博弈相对应的是四个均衡 概念，即：纳什均衡( n a s he q u i l i b r i u m ) ，子博弈精炼纳什均衡( s u b g a m e p e r f e c tn a s he q u i l i b r i u m ) ，贝叶斯纳什均衡( b a y e s i a nn a s he q u i l i b r i u m ) 和精炼贝叶斯纳什均衡( p e r f e c tb a y e s i a nn a s he q u i l i b r i u m ) 表1 2 【1 1 概括了上面所讲的四种博弈及对应的四个均衡概念，也大致反映了 三位诺贝尔经济学奖得主在非合作博弈论中的地位 5 硕士学位论文 表1 2 ：博弈的分类及对应的均衡概念 静态动态 完全信息静态博弈；完全信息动态博弈； 完全信息纳什均衡子博弈精炼纳什均衡； 代表人物：纳什( 1 9 5 0 ，1 9 5 1 )代表人物：泽尔腾( 1 9 6 5 ) 不完全信息动态博弈； 不完全信息静态博弈；精炼贝叶斯纳什均衡均衡； 不完全信息贝叶斯纳什均衡均衡； 代表人物：泽尔腾( 1 9 6 5 ) ， 代表人物；海萨尼( 1 9 6 7 - 1 9 6 8 )克瑞普斯和威尔逊( 1 9 8 2 ) ， 弗登伯格( f u d e n b e r g ) 和泰勒尔( 1 9 9 1 ) 1 3 经典寡头竞争模型 近年来，经济学家越来越多地使用博弈论来分析经济行为主体 的经济行为，尤其是在对于寡头行为的分析中较多地用到博弈论。 其原因是寡头们进行价格或产量决策就如同与对手进行博弈，必须 选择适当的策略，以便在竞争中取得优势。寡头( o l i g o p o l y ) 是指那种 在某一产业中只存在少数几个卖者的市场组织形式。如果一个产业 只存在两个卖主，就称为双卖主垄断( d u o p o l y ) 一、古诺双寡头模型( c o u r n o td u o p o l ym o d e l ) 古诺模型( c o u m o tm o d e l ) 是由法国经济学家古诺( a u g u s t i nc o u r n o t ) 于1 8 3 8 年首次提出的。古诺模型有如下一些基本假定。第一，假定 一个产业只有两个寡头，每个寡头生产同质产品，并追求利益最大 化。第二，两个寡头同时作出产量决策，即寡头间进行的是产量竞争 而非价格竞争，产品的价格依赖于二者所生产的产品总量。第三，双 方无勾结行为第四，每个生产者都把对方的产出水平视为既定， 并依此确定自己的产量。第五，假定边际成本是常数 6 量子纠缠和量子噪声对量子博弈的影响 我们用q i 【o ，o o ) 代表第i 个企业的产量，g ( 啦) 代表成本函数， p = p ( q t + q 2 ) 代表逆需求函数( p 是价格；q ( p ) 是原需求函数) 第t 个企业的利润函数为： l q ( q l ，q 2 ) = q i p ( q l + q 2 ) 一q ( 啦) ， i = 1 ，2 ( 1 2 ) ( 蝣，畦) 是纳什均衡产量，它们意味着： 畦m x 7 q ( q l ，西) = q l p ( q l + 虻) 一g ( 口1 ) ， 醛m a x l r l ( q ：，q 2 ) = 目2 p ( 醛+ 9 2 ) 一c | ( 9 2 ) ( 1 3 ) 找出纳什均衡的一个办法是对每个企业的利润函数求一阶导数并令 其等于零： ( 1 4 ) 上式中的撇表示对变量求微分。 为了得到更具体的结果，让我们来考虑上述模型的简单情况。假 定每个企业具有相同的不变单位成本，即；a ( 叽= q l c ) ，c 2 ( q 2 = q 2 c ) ， 需求函数取如下线性形式；p = 8 一( q t + q 2 ) 那么，最优化的一阶 条件分别为； 反应函数为： 西= 置l ( q 2 ) = 互1 ( 。一啦一c ) ， 西= 飓( 吼) = 互1 ( n 一口1 一c ) 7 ( 1 5 ) ( 1 6 ) o o = = 国 国 研 q 一 一 他 他 + + 吼 6 ： 吼 眈 + + 像 啦 + + 国 0 p p = = 饥一c砉：慨一弛 o o = = c c 一 一 饥 卿 一 一 啦 啦 + + 吼 n 一 一 口 口 = | | 孰一姐挑弛 硕士学位论文 解两个反应函数，我们得到纳什均衡为： 酊= 醛= j 1 ( 。一c ) = j k ，k = a - c ) 每个企业的纳什均衡利润分别为： 7 r 。( 西，醛) = 丌2 ( 西，醛) = 百1 ( 0 一c ) 2 = 可k 2 ( 1 7 ) ( 1 8 ) 为了与垄断情况作比较，让我们计算一下垄断企业的最优产量 和均衡利润。垄断企业的问题是： m 。a x = q 缸一q c ) ( 1 9 ) 容易算出，垄断企业的最优产量为驴= ( a c ) 2 2 ( a c ) 2 9 。寡头竞争的总产 量大于垄断产量的原因在于每个企业在选择自己的最优产量时，只 考虑对本企业利润的影响，而忽略对另一个企业的外部负效应。这 是典型的囚徒困境问题。 二、斯坦克尔伯格模型( s t a c k e l b e r gd u o p o l ym o d e l ) 斯坦克尔伯格模型是一种先动优势( f i r s tm o v e ra d v a n t a g e ) 模型，即 首先行动者在竞争中取得优势。该模型由斯坦克尔伯格( h v s t a c k - e l b e r g ) 创立 在古诺模型中，两个寡头同时做决定，任一个寡头都没有反应的 余地。这对于描述那些实力相当的寡头也许较为现实。但是对于描 述那些实力悬殊的寡头却不够现实。实力大的寡头在竞争中具有优 势，往往领先作出决定，其他小的寡头随后作出决定。斯坦克尔伯 格模型所描述的就是这种情形 经济学上的许多理论先于博弈论，但包含了博弈论的一些基本 思想。正如库诺特( c o u r n o t ) 均衡可以看作纳什均衡的第一个版本一 样，斯坦克尔伯格( s t a c k e l b e r g ，1 9 3 4 ) 均衡可以看作是泽尔腾( s e l t e n ， 1 9 6 5 ) 的子博弈精炼纳什均衡的最早版本如同在古诺模型中一样， 8 量子纠缠和量子噪声对量子博弈的影响 在斯坦克尔伯格模型中，企业1 ( 称为领头企业，l e a d e r ) 首先选择产 量q l 0 ，企业2 ( 称为尾随企业，f o l l o w e r ) 观测到9 1 ，然后选择自 己的产量q 2 0 因此，这是一个完美信息动态博弈 假定逆需求函数为p ( q ) = d q l 一眈，两个企业有相同的不变单 位成本c 0 ，那么，支付( 利润) 函数为t q ( q l ，q 2 ) = 琅( p ( q ) 一c ) ，i = 1 ，2 ( 1 1 0 ) 我们可以使用逆向归纳法( b a c k w a r d si n d u c t i o n ) 求解这个博弈的 子博弈精炼纳什均衡。首先考虑给定q ，的情况下，企业2 的最优选 择企业2 的问题是： 焉豁丌2 ( 9 1 ，口2 ) 。啦( 一q l q 2 一c ) 最优化的一阶条件意味着： 8 2 ( 9 1 ) = 互1 ( 一9 1 一c ) 疆1 2 ) 假定q l a c 。这实际上是古诺模型中企业2 的反应函数，不同的 是，这里，s 。( q 。) 是当企业1 选择q l 时企业2 的实际选择，而在古 诺模型中，昆( 啦) 是企业2 对于假设的q x 的最优反应 因为企业1 预测到企业2 将根据s ：( 9 1 ) 选择啦，企业1 在第一阶 段的问题是： m 。a x 。7 r 1 ( 9 1 ，8 2 ( 9 1 ) ) 2q l ( n q x 一8 2 ( 口1 ) 一c ) 解一阶条件得： 酊= ；( ) = ； 将酊代入s 2 ( 口- ) 得： 西= s 。( 囝= 夏1 ( 血一c ) = 鲁 9 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( l 1 5 ) 硕士学位论文 这就是子博弈精炼纳什均衡结果( 一般称为斯坦克伯格均衡结果) 。 注意，g ：= k 1 2 和虻= k 1 4 是均衡结果，而不是均衡本身，因为 畦= k 4 并不是对于任何给定的q l 的最优选择( 即不是第二阶段所 有子博弈的纳什均衡) 子博弈精炼纳什均衡是( q ：，8 2 ( 酊) ) 回忆一下我们在上一章得到的古诺模型的纳什均衡是酊= 虻= ( a c ) 1 3 = k 3 ，比较两个结果，我们发现，斯坦克尔伯格均衡的总 产量( 3 k 4 ) 大于古诺均衡的总产量( 2 k 3 ) 但是，企业1 的斯坦克 尔伯格均衡产量大于古诺均衡产量，而企业2 的斯坦克尔伯格均衡 产量小于古诺均衡产量因为企业1 本来可以选择古诺均衡产量但 它没有选择，说明企业1 在斯坦克尔伯格博弈中的利润大于古诺博 弈中的利润，而总产量上升意味着总利润下降了从而企业2 的利润 一定下降了( 读者可以直接计算两种情况下的利润函数来确证这一 点) ，这就是所谓的“先动优势”( f i r s t - m o v e ra d v a n t a g e ) 。 这个例子也说明，在博弈中，拥有信息优势可能使参与人处于劣 势，而这在单人决策中是不可能的。企业2 在斯坦克尔伯格博弈中 的利润之所以低于古诺博弈中的利润，是因为它在决策之前就知道 了企业1 的产量。即使企业1 先行动，但如果企业2 在决策之前不 能观测到企业1 的产量，我们就回到了古诺均衡，同时，企业1 的 先动优势也不存在了 三，其他的寡头竞争模型 寡头之间除了进行数量竞争外，也进行价格竞争。由于伯特兰( j b e r t r a n d ) 在1 8 8 3 年用古诺研究寡头之间的价格竞争，因此我们把寡 头之间价格竞争的模型称为伯特兰模型，也称为价格竞争的古诺模 型。值得注意的是，在斯坦克尔伯格模型中，如果企业选择的是价格 而不是产量，我们得到的就是“后动优势”( s e c o n d - m o v e ra d v a n t a g e ) ， 而不是先动优势 1 0 第二章量子纠缠与量子噪声基础 2 1 量子纠缠的基本理论 量子纠缠现象作为量子力学不同予经典物理学的最奇特的、最 不可思议的特性之一，继被e i n s t e i n ，p o d o 挺k y 和r o s e n 【3 5 】所注意 以来，得到了广泛的关注、讨论和研究。到目前为止，量子纠缠已 经成了为量子力学中许多基础工作的中心，特别是与量子非局域、 b e l l 不等式的违背，e p r 佯谬等相关问题的研究密不可分。同时， 在最近兴起的量子信息科学中，纠缠纠缠也占据非常重要的地位， 它使得量子信息科学具有了许多经典信息科学中所没有的新特征， 从而被认为是量子信息科学中的一种必需的资源 一、量子纠缠的概念 一个孤立的量子系统a ，其状态可以用一个纯态来完备地描述。 但如果考虑它和外界环境b 有相互作用，这些难以避免的直接( 或 间接) 的相互作用将会导致a 和b 状态之间的量子纠缠量子纠缠 的概念和术语是由s c h r s d i n g e r 于1 9 3 5 年首次引入量子力学之中，并 称其为“量子力学的精髓” 3 6 1 量子纠缠是一种奇特而又十分复 杂的纯量子现象，它反映了量子理论的本质相干性，或然性和空 间非定域性，已经并且正在广泛应用于蓬勃发展着的量子通讯和量 子计算中 张永德等1 3 7 】对量子纠缠的物理本质做了深入的研究：从关联 测量的实验观测角度看，纠缠的本质是关联塌缩；从理论分析的角 度看，纠缠等价于关联非定域性；从允许内部相对位相差的角度来 看，两体系统存在纠缠的充要条件是，两粒子间不容许存在任意相 对位相差而不改变系统的状态；从量子信息的角度看，纠缠的本质 就是量子关联中的信息 考虑一对处于e p r 态的纠缠粒子，在实验室中，可以通过参量 下转换的方法实现【3 8 】，实际上就是一个非线性光学现象：一束激 硕士学位论文 光射向一个非线性晶体，出射激光就会变成两束频率较低的激光， 其中一束激光的极化方向是水平的，另一束激光的极化方向是竖直 的，调节入射激光的入射角，使得这两柬出射激光的圆锥面有相互 重叠的地方。这样在出射激光相互重叠的地方，光子的极化方向是 无法确定的，它既有可能是竖直方向极化的，也有可能是水平方向 极化的。同时，由于圆锥面的空间对称性，圆锥面在某一固定距离 必定在两个对称点相交，这两个对称点处的光子就成为一个纠缠态 或e p r 关联光子对 二、纯态与混态、可分离态与纠缠态。 在量子力学中，两个以上的粒子( 包括两个以上的光子) 组成的 系统中的每一个粒子可看作一个子系统。各个子系统之间的量子状 态可以是无关的，也可以是相关但可分离的，还有的是相关而且是 不可分离的。这种由相关而且不可分离的两个或两个以上的子系统 的量子状态所组成的系统的状态称为量子纠缠态。由于量子纠缠态 没有经典对应，因此量子纠缠态又简称为纠缠态。 这里暂时只简述两体系统。两体纯态，它们是两体系统a + b 态 空间巩固三b 中任一相干叠加态。简单说，是能够用单一波函数描 述的态。它们可以普遍表示为 妒) 仰= i ) 。b ( 2 1 ) ( l ) 圆f ) 日 ) 为正交归一基矢) 。两体纯态可区分为两大类：可分 离态，不可分离态后者又常被称为纯态纠缠态 未关联态( u n c o r r e l a t e ds t a t e s ) 是这样一些态，它们的密度矩阵 可以写作 p a b = p a 固p b ( 2 2 ) 对于这些态，经部分求迹( 见下) 后的约化密度矩阵分别就是p a 和 p b 。 可分离态( s e p a r a b l es t a t e s ) 包括可分离混态，是这样一些纯态和 混态，它们的密度矩阵可以写作一些未关联态之和( 包括( 2 2 ) 式作 量子纠缠和量子噪声对量子博弈的影响 为特倒) p a b = 肌破固以，p k = 1 七七 ( 2 3 ) 例如态l o ) 圆i o ) 口和态( i o ) 圆i o ) 口一f o ) 固f 1 ) b ) 以都是可分离二体 纯态 不可分离态( u n s e p a r a b l es t a t e s ) ，又称作纠缠态( 包括纠缠纯态和 纠缠混态) ，是所有不能写成( 2 3 ) 形式的态、即不能写成可分离态 形式的态例如：可以证明，下述混态对任何f 1 2 均是纠缠态， p a b = ，i 妒+ ) 日( 妒+ i + ( 1 一，) i 咖+ ) b ( 妒+ i ，0 l o ) + | e ：) 1 1 ) ， i e ) 1 1 ) 一i e l ) 1 1 ) + l 西) i o ) ， ( 2 2 4 ) 其中f e ) 表示环境态，i e t ) 、分别表示演化态中和量子位态1 0 ) 、 1 1 ) 的对偶态。从而一个量子位的一般态o d o ) + 卢1 1 ) 和环境联合演化 为 i e ) ( 血i o ) + 3 1 1 ) 一n “e o ) i o ) + i e ：) 1 1 ) ) + p ( 1 e 1 ) 1 1 ) + i ) i o ) ) ( 2 2 5 ) 将环境态表示为： e 士) = 扣。) 士| e 1 ) ) e 尘) = 扣：) 士 ( 2 2 6 ) 量子纠缠和量子噪声对量子博弈的影响 利甩单量子位操作，式( 2 2 5 ) 可以写作： e ) ( o i o ) + 纠1 ) ) 一+【l e + ) + i e 一) 屯+ i e i ) a 1 一i e ) i 0 2 】 x ( a t 0 + 纠1 ) ) 。( 2 2 7 ) 其中，西，屯，如分别是单位矩阵和三个p a u l i 矩阵式( 2 2 7 ) 中四种类 型的结果穷尽了一个量子位和环境作用演化的所有可能其中j 表 示恒等变换，量子位保持在原来的态，其余三种情况中的每一个可 能的错误魂都关联一个特殊的环境态。假设量子位出错概率为p ， 不出错的概率为1 一p ，并且三种错误等概率的出现，量子位和环境 构成的复合系统的幺正演化式( 2 2 5 ) 就可表示为： u ( 1 l ，o ) l e o ) ) 、伍刁( 俐e o ) ) + 挥im t 腓。) 例删e 3 ) 1 ，0 2 s ) 上式中 ，是由环境初态i e o ) 演化而来的一组正交态对环境的这 种正交基求部分迹，并利用式( 2 2 1 ) ，求得退极化方式下的克劳斯算 符 岛= 厕渴= 尽，易= 屉，岛= 屉 f 2 2 9 ) 二，相位阻尼方式 消相干过程还可以在量子位密度矩阵的对角元没有变化，也即 量子位两个能态之间没有跃迁，但相对位相发生了变化时而产生 设t o 时刻量子位初态为 妒 ) = n i o ) + 卢1 1 ) ， 其中l q | 2 + 俐2 = 1 ，这是一个纯态，相应的密度矩阵为 舶，= ( 竺：) ， 偿s - ， 硕士学位论文 其中p o o = l o l 2 ，p n = 例2 ，肋1 = o 矿，p l o = n p 。非对角元描述 了两个基态之间的干涉。当量子位和环境相互作用时，复合系统的 幺正演化可以是 o ) 一历i o ) l e o ) + , , s i o ) l e ，) ， 1 1 ) 1 e o ) ，v 1 - p 1 ) e o ) + v 伍 1 ) l e 2 ) ( 2 3 2 ) 即量子位没有任何跃迁，而量子位以概率p 散射环境态，当量子位 处于在f 0