（固体力学专业论文）微梁谐振器中气体可压缩性对压膜阻尼影响的研究.pdf

北京科技大学硕士学位论文 摘要 微梁谐振器由于其尺寸小，比表面积大，在振动的过程中，压膜阻尼会显著影 响谐振器的动态响应特性，因此研究微梁谐振器中的气体压膜阻尼对提高器件的工 作性能有重要意义在研究微谐振梁中压膜阻尼的过程中，一方面当微梁与基底之 问的间距较大时，可以把微梁作为孤立物体来确定气体阻尼；另一方面当微梁与基 底之间的间距较小时，需考虑微梁与基底之间的气体压膜效应来确定气体阻尼。压 膜效应引起的气体阻尼是影响器件性能的一个重要因素，它会增加系统的阻尼和刚 度，从而影响器件的动态响应特性。为了有效减小压膜效应对器件的影响，可采取 在微结构上打孔的方法。但在微结构上打孔后，用来确定压膜效应的传统r e y n o l d s 方程已不再适用，需要新的模型或方程来确定有孔微结构中的压膜效应。基于以上 问题，本文主要内容有以下五部分： 1 对气体压膜效应的研究历史进行了回顾，并对近年来发展的用来确定有孔微结 构中气体压膜效应的理论和方法进行了介绍和说明，总结和概括了这方面的研 究现状。 2 从不同角度对微梁谐振器中的气体阻尼进行分析，得到l 临界压膜厚度。当压膜 厚度大于此临界压膜厚度时，需要把器件作为孤立物体来确定气体阻尼；当压 膜厚度小于临界压膜厚度时，需考虑压膜效应来确定气体阻尼。 3 基于流体质量守恒方程和前人的工作，建立用来确定有孔微结构中压膜效应的 修正r e y n o l d s 方程。此修正r e y n o l d s 力程考虑了气体可压缩性、板的边缘效应 和垂直方向的气体流动对压膜效应的影响。 4 在小振幅的假设下，对建立的修正r e y n o l d s 方程进行线性化，并求解得到气体 压膜效应引起的阻尼和弹簧效应压强分布。 5 利用有限元软件a n s y s 对压膜效应进行模拟，把得到的模拟结果和不同的理论 分析结果进行了比较；并利用压膜效应理论，对有孔微梁谐振器的优化设计进 行初步考虑。 关键词：m e m s ，气体阻尼，气体可压缩性，压膜效应，修正r e y n o l d s 方程，谐振器 i 北京科技大学硕士学位论文 s t u d y o f a i rc o m p r e s s i b i l i t yi n f l u e n c e so ns q u e e z e - f i l md a m p i n g i nm i c r o - b e a mr e s o n a t o r a b s t r a c t s u r f a c ee f f e c t sc a u s i n gs q u e e z e - f i l md a m p i n gc a l ls i g n i f i c a n t l ya l t e rt h ed y n a m i c r e s p o n s e so ft h em i c r o - b e a mr e s o n a t o r sd u et o t h eh i g hs u r f a c e - t o v o l u m er a t i o t h e r e f o r ei n v e s t i g a t i o n so ns q u e e z ef i l md a m p i n ga r en e c e s s a r yt oi m p r o v et h e p e r f o r m a n c eo ft h ed e v i c e s w h i l ec o n s i d e r i n ga i rd a m p i n gi nm i c r o - b e a mr e s o n a t o r s ， t h e r ee x i s tt w od i f f e r e n tc a s e s w h e nt h ea i rg a pb e t w e e nt h eb e a ma n dt h es u b s t r a t ei s l a r g e ，t h eb e a ms h o u l db ec o n s i d e r e da sa l li s o l a t e db o d yt od e t e r m i n ea i rd a m p i n g ；w h e n t h ea i rg a pi ss m a l l ，t h ea i ri nt h eg a pc a np r o d u c es q u e e z e - f i l me f f e c t s 。i ns u c hac a s s q u e e z e f i l mt h e o r ys h o u l db eu s e dt od e t e r m i n es q u e e z e f i l me f f e c t s s q u e e z e - f i l m e f f e c t si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tf a c t o r sw h i c he f f e c tt h ep e r f o r m a n c eo ft h ed e v i c e s s i g n i f i c a n t l y i tc a na l t e rt h ev i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c sb ya d d i n gs t i f f n e s sa n dd a m p i n gt o t h es y s t e m t or e d u c es q u e e z e - f i l me f f e c t s ，p e r f o r a t i n gh o l e si nm i c r o s t r o c t u r e sa r e w i d e l yu s e dn o w a d a y s i nt h i ss i t u a t i o n ，t h et r a d i t i o n a lr e y n o l d se q u a t i o nf o rd e t e r m i n g s q u e e z e f i l me f f e c t so f n o n - p e r f o r a t i o nm i c r o s t r u c t u r e si sn ol o n g e ra p p l i c a b l e a n dn e w m e t h o d so rm o d e l sh a v et ob ed e v e l o p e d 。t h ec o n t e n t si n c l u d e di nt h i st h e s i sm a i n l yh a v e f i v ep a r t sa sf o l l o w i n g ： 1 ab r i e f r e t r o s p e c to ns q u e e z e - f i l md a m p i n gi sg i v e na n dt h er e c e n tr e s e a r c hs i t u a t i o n f o rs q u e e z e f i l md a m p i n go f p e r f o r a t e dm i c r o s t r u c t u r e sa r ep r e s e n t e d 2 a i rd a m p i n gi nm i c r o b e a mr e s o n a t o r si sa n a l y z e di nt w od i f f e r e n tw a y s ，a n dac r i t i c a l a i rg a pi so b t a i n e d t h ea n a l y s i ss h o w st h a tw h e nt h ea i rg a pi sl a r g e rt h a nt h ec r i t i c a l a i rg a p , t h eb e a ms h o u l db ec o n s i d e r e dt ob ea ni s o l a t e db o d yt od e t e r m i n ea i r d a m p i n g ；w h e n t h ea i rg a pi ss m a l lt h a nt h ec r i t i c a la i rg a p ，s q u e e z e f i l mt h e o r ys h o u l d b eu s e dt od e t e r m i n ea i rd a m p i n g u 北京科技大学硬士学位论文 3 。b a s e do nf l u i dc o n t i n u i t ye q u a t i o na n d p r e v i o u sw o r k , am o d i f i e dr e y n o l d se q u a t i o n m 吡) w h i c hr e c k o n si nm o s ti n f l u e n t i a lf a c t o r si n c l u d i n ga i rc o m p r e s s i b i l i t y , b o r d e r e f f e c t s , a n dt h ev e r t i c a l a i rf l o wp a s s i n gt h r o u g hh o l e s ，i sd e r i v e dt od e t e r m i n e s q u e e z e f i l me f f e c t so f p e r f o r a t e dm i c r o s t r u c t m e s 4 u n d e rt h e 螂u m p t i o nt h a tt h ev i b r a t i n ga m p l i t u d ei ss m a l l t h ed e r i v e dm r ei s l i n e a r i z e d b ys o l v i n gt h el i n e a r i z e dm r e , t h es q u e e z e - f i l me f f e c t sc a u s i n gp r e s s u r e d i s t r i b u t i o n sa 托o b t a i n e d 5 s q u e e z e - f i l me f f e c t so fp e r f o r a t e dm e m ss t r u c t u r e sa 糟s i m u l a t e db ya n s y s s o t 溉a r ea n dt h ec o m p a r i s o n sb e t w e e na n a l y t i c a lr e s u l t sa n ds i m u l a t i o nr e s u l t sa r e m a d e b e s i d e s , u s i n gt h e o b t a i n e d a n a l y s i s , p r i m a r yo p t i m i z a t i o nd e s i g n i n gi s c o n s i d e r e d 。 k e yw o r d s ：m e m s ，a i rd a m p i n g ，a i rc o m p r c 鹅i b i f i t y , s q u e e z e - f i l me f f e c t s ， m r e ，r s o n a t o r n i 北京科技大学硕士学位论文 主要符号表 板( 梁) 半宽度 板( 梁) 半长度 初始平板间距 振动频率 板( 梁) 厚度 板( 粱) 有效厚度 微谐振梁长 衰减长度( a t t e n u a t i o nl e n g t h ) 平板间气体压强 环境( 大气) 压强 水平气体流动引起的压强 垂直气体流动引起的压强 板( 梁) 的长宽比( a s p e c tr a t i o ) 阻尼系数 压膜效应引起的无量纲阻尼力 压膜效应引起的无量纲弹簧力 压膜效应引起的弹簧刚度系数 k n u d s e n 数 压膜效应引起的无量纲阻尼压强 压膜效应引起的无量纲弹簧压强 品质因子 垂直方向气体流动穿透率( p e n e t r a t i n gr a t e ) 流动r e y n o l d s 数 划分单元的单元内径 - v l 一 口6西厂而b，厶 p a 饥 风瓜c b 砖k 厩一一b q q 心足 北京科技大学硕士学位论文 划分单元的单元外径 粱( 板) 运动速度 单元内外径比( 置砥) 无量纲振幅 气体粘性系数 气体有效粘性系数 气体密度 单晶硅密度 压膜数 圆频率 第i 阶模态自振频率 第i 阶模态谐振频率 第i 阶阻尼系数 v l lo 如矿 卢 句 f 黼 a 内 盯 m 吼 毛 独创性说明 本人郑重声明：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特另1 1 ) j n 以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 北京科技大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表 示了谢意。 签名： ! 勇i 亘1日期：堑f ：兰三： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。 ( 保密的论文在解密后应遵循此规定) 签名：2 勇! 蜀导师签名：邋日期：垒2 ：2 ：! 曼 导师签名： 北京科技大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 引言 白1 9 5 9 年，美国著名物理学家、诺贝尔奖获得者f e y n m a n 教授在其的著名报 告 t h e r ei sp l e n t yo f r o o ma tt h eb o t t o m 叫1 中提出了微机械技术以来，微电子机械 系统( m i c r o e l e c t r o - m e c h a n i c a ls y s t e m s , 简称m e m s ) 是近几十年来发展起来的一 个多学科交叉的前沿性高技术领域。它利用从半导体技术上发展起来的硅微机械加 工工艺，以及基于各种刻蚀和电铸成型等手段，主要以硅为材料，在硅片上制作出 尺寸在微米量级、悬浮可动的三维结构，实现对外界信息的感知和控制。并且这种 微机械结构可以与信号处理和控制电路集成，构成一个多功能的微机电系统。微机 电系统和传统的机电系统相比，有以下一些优点： 体积小，成本低、易于批量生产； 能耗低、精度高、响应速度快； 性能稳定、可靠性高； 具有优良的机械和电气性能。 m e m s 所具有的上述优点，使其在航空航天、军事、通信，生物医学等诸多领 域得到了广泛的应用【2 7 l ，并被认为是2 l 世纪的新兴和主导发展技术之一。 从2 0 世纪8 0 年代开始，微谐振式器件成为m e m s 中研究、发展和应用的新热点。 白1 9 8 4 年，h o w e 和m u l l e r t 8 1 首次应用多晶硅静电驱动获得微谐振梁以来，基于该技术 的谐振式传感器得到了迅速发展网。英国、日本、德国、荷兰等一些发达国家自2 0 世 纪8 0 年代起开始研究高性能微谐振器，并在在谐振式硅微传感器方面取得了阶段性进 展，有的已经实际应用。例如，英i 重l d r u c k 公司采用的静电激励和日本横河株式会社采 用电磁激励的硅微型谐振桥( 梁) 压力传感器。都达到了较高的精度和使用价值限1 8 1 。 随着近年来微机械加工技术的发展，基于高频谐振的微谐振器( 谐振频率可达到 g h z ) 在生物、医学、通信等各个领域得到了较高的重视，有着广阔的发展前景。但 北京科技大学硕士学位论文 在高频谐振器工作的过程中，其受到的各种阻尼特别是气体阻尼是影响其工作性能和 制约其发展的一个重要因素。本章以下将首先介绍谐振器的几个应用实例，并结合相 应的示意图对其工作原理进行说明。然后从品质因子角度出发，提出影响高频谐振器 品质因子的几个主要阻尼机制。 微谐振式滤波器【l 明 图1 1 所示为一种微谐振梁式滤波器的示意图和s e m 图，结合所给的示意图，在 这里对其工作原理进行一些说明。当在输入端的上下两个p t 电极上有输入电压时， 利用可逆压电效应会在谐振器的驱动一侧发生应变，进而这个应变会在输入端的电 极边缘产生一个集中弯矩，同时输出端( 感应端) 的一侧会发生应变。当输入电压 的频率接近谐振梁的固有基频时，此时发生的谐振效应就会放大了输出端压电应 变，这就会在输出端的电路产生个电流，从而可以有效的对输入信号进行过滤和 处理。 1 】t b o t t m n 目a 础 ( a ) 微谐振式滤波器示意图0 ，) 微谐振式滤波器s e m 图 微谐振式压力传感器2 0 】 图1 1 微谐振式滤波器( 来自文献1 9 ) 图1 2 所示为一种振膜式微谐振压力传感器的示意图。当膜下腔内的气体有压力 对谐振膜产生均布压力时，谐振膜的谐振频率就会发生改变，通过检测谐振频率及 2 北京科技大学硕士学位论文 其变化，利用膜受压力和其谐振频率之间的关系就可推导出其腔内的气压值。 图1 2 微谐振式压力传感器示意图( 来自文献2 0 ) 微谐振式加速度计1 2 1 1 图1 3 a 是一种微谐振式加速度计的s e m 图，从微谐振式加速度计示意图( 图1 3 b 所示) 和工作原理框图( 图1 3 c 所示) 中可以看到当质量块受到一个加速度信号， 产生的惯性力通过放大杆的作用会对谐振梁施加一个轴力，从而谐振梁的谐振频率 会发生改变，因此可以通过检测谐振梁谐振频率的变化，根据轴力和频率之间的关 系就可推出轴力，进而就可得到质量块受到的加速度信号。 ( a ) 微谐振式加速度计s e m 图( 来自文献2 1 ) 彻谐振式微加速度计结构示意图 ( c ) 工作原理框图 图l ，3 一种谐振式微加速度示意图及工作原理框图 - 3 北京科技大学硕士学位论文 除了上面给出了了谐振器的振膜和微桥( 两端固支微梁) 结构形式的谐振器， 谐振器还有微悬臂梁和振弦等结构形式。从谐振式器件的工作原理可以看到，它是 利用谐振器的谐振频率作为敏感被测量的参数，从把测量传统的模拟信号变为测量 频率信号。和传统的器件相比，谐振式器件主要有以下优点： 1 ) 输出信号为频率信号，是一种准数字信号，其在传输的过程中不易受到外 界电磁等干扰；- 2 ) 输出的频率信号无需经过，d 转换，即可与数字系统接口，从而简化了处理 电路并降低了检测难度； 3 ) 器件的振动频率受温度，湿度等因素的影响较小，因此输出的信号具有较 好的稳定和可靠性。 另外从谐振式器件的工作原理还可以看到，谐振器的谐振频率对器件的工作性 能的至关重要。而在谐振器工作的过程中，由于受材料，结构，环境等因素的影 响，谐振器的谐振频率会由于各种阻尼而发生改变。因此自微谐振式器件件提出以 来，研究谐振式器件中的阻尼成为一个很重要的研究方面。在本文的1 2 中将从品 质因子角度出发，着重对影响器件工作性能几种阻尼形式进行了一些介绍和说明。 1 2 微谐振器中的阻尼 随着微机械加工技术的发展，微谐振器的谐振频率可以达到m h z 甚至g h z 。 研究表明，在高频谐振下微器件在振动的过程中受到的各种阻尼已经成为制约其发 展的一个重要因素。品质因子是反应阻尼对器件工作性能影响的一个重要指标，下 面将分析谐振器在高频谐振下，各种阻尼对品质因子的影响。 从能量角度出发，品质因子可写成下面的形式： q = 2 n w o a w 式中， w o 一振动系统储存的总能量； 。w 一系统做一个周期循环振动损失的能量； 4 北京科技大学硕士学位论文 从表达式可以看到，品质因子表征了器件的能量损耗性能。另外如果从频率角度分 析，品质因子还表征了器件对信号的灵敏度。在器件的设计和加工的过程中一般总 是想方设法提高器件的品质因子，来提高其工作性能。根据能量耗散方式，器件的 品质因子可进一步表示为如下形式嘲： 上：v 上 q 争q ( 1 2 ) 式中， q 一器件总体品质因子； q 广- 各种能量损耗影响的品质因子项； 从品质因子的表达式可以看出，品质因子由最小品质因子项决定。各种能量损 耗影响的品质因子因素包括器件在运动的过程中向外的弹性波扩散，构件内部缺 陷，以及在运动过程中受到的各种阻尼情况，其中包括结构阻尼、热弹性阻尼、声 子散射引起的阻尼以及气体阻尼和其它一些阻尼形式f 2 3 1 。对于微器件，阻尼会显著 影响器件的品质因子和动态相应特性1 2 4 l 。白谐振技术出现以来，有关谐振器振动过 程中阻尼问题的研究一直就是影响和推进谐振器发展的一个主要方面。在相关的文 献中都有对各种阻尼形式进行的分析和研究。结合本文的实际应用，下面对几种主 要的阻尼进行一些介绍。 支撑结构阻尼 大多数支撑结构引起的阻尼是结构接触面之间的摩擦引起的，比如锚栓结构。 尽管如此，由于微驱动器一般是由单片材料加工而成，在这种情况下接触面摩擦引 起的阻尼就可以忽略不计。因此，此时的主要阻尼是来自于微梁的弹性振动。这种 弹性振动引起的阻尼能量耗散可根据二维无限大弹性体理论来进行估算结构做一个 周期振动的能量耗散。j i m b o ，h o s a k a 等人【2 5 删利用上述理论给出了悬臂梁支撑结 构引起的阻尼表达式： 5 北京科技大学硕士学位论文 * 2 1 7 1 3 f i 3 ( 1 3 ) 其中，为梁的长度；t 微梁的厚度。从上述的表达式中可以看到，对于细长梁，其 品质因子项可以达到很大，此时支撑结构引起阻尼对于器件的品质不起决定性作 用。 热弹性阻尼 当微梁上作用有荷载振动时会引起梁的弯曲状态，在受压的区域温度会升高， 而在受拉的区域，粱的温度则会降低，因此在梁的内部不同区域之间形成一个温度 梯度。此时，微梁就偏离了原来的热平衡状态而具有多余的动能和势能，能量将从 温度较高的区域向能量较低的区域传递，而这种不可逆的传递过程就造成了能量的 损耗。把这种能量耗散方式引起的阻尼，就叫做热弹性阻尼( t h e r m o e l a s t i c d a m p i n g ，简称t e d ) 。对于一般的热弹性体来说，在应变场和温度场之间存在着耦 合。只要材料的热膨胀系数不为零，热弹性阻尼就存在，即使谐振器的设计和制造很 完美，其品质因子也会有上限值。对于t e d 的研究，z e n e r 在上世纪3 0 年代就意识到 该种热弹件释放过程可能是机械谐振器的一个显著的阻尼源【弘2 9 1 。近年来，有关文 献对微梁振动过程中的t e d 进行了进一步研究1 3 0 - 3 2 1 。r o s z h a r t ”1 在相关文献中给出了 这种热弹性决定的品质因子表达式： 式中， 。3 高 咐) 2 瓦a 2 t e 删2 器 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 其中a , e ，p 分别为微梁材料的热膨胀系数，弹性模量和密度；c p 为材料的等压热 容；r 为温度；f 和昂分别为梁的振动频率和固有频率。从上述的表达式可以看 6 北京科技大学硕士学位论文 到，当梁以固有频率振动时，其品质因子达到最小。 气体阻尼 当器件在非真空工作环境下工作，周围环境气体( 一般是空气) 与器件会发生相 互作用，由于气体的粘滞性而导致系统能量耗散，把这种能量耗散方式称之为气体 阻尼。气体阻尼是构件表面和气体发生的相互作用，因此气体阻尼是一种表面效 应。对于m e m s 器件，由于其尺寸小、比表面积大，气体阻尼作用显著增强。对于 微尺度下m e m s 而言，其气体阻尼主要有滑膜阻尼和压膜阻尼两种形式，下面将对 这两种阻尼进行一些介绍。 滑膜阻尼：当两个相互靠近的平板做平行于板面方向滑动时，由于气体的粘性 作用，会对运动产生一定的阻尼力，把这种气体产生的对平板运动的阻尼力称为滑 膜阻尼。目前，用于计算和确定滑膜阻尼主要有两种模型：c o u e t t e 流体模型和 s t o k e s 流体模型。两种模型都是基于n a v i e r - s t o k e s 方程得到的，其中c o u e t t e 流体模 型认为两平板间气体的运动速度是线性分布的，而s t o k e s 流体模型假定了一个过渡一 层，在该过渡层里，速度是呈指数分布的。实验表明，通过s t o k e s 流体模型计算得 到的品质因子相对于c o u e t t e 流体模型得到的精度要高。 压膜阻尼：在宏观情况下，当一个平板( 或近似为平板，如做小振幅振动的 e u l e r - b e m o u u i 梁) 相对于另外一个平板做垂直板面的相对运动时，由于两平扳间的 间距较大，特征时间较大( 因为宏观情况下的振动频率较小，振动周期长) ，平板 间的气体有足够的时间逸散出去，此时把运动平板作为一个孤立物体来确定气体阻 尼，可认为固定平板对气体阻尼是没有贡献的；而在微尺度下( 微米或纳米) ，当 两个相互靠近的平扳做垂直板面的相对运动时( 如图1 4 所示) ，由于特征时间较短 ( 微尺度下器件的振动频率一般较高，可以达到m h z 甚至g h z ) ，平板间的气体没 有足够的时间充分逸散，此时平板间的气体在向外逸散的过程中由于气体的粘性气 体会产生阻碍极板运动的阻尼效应；同时由于气体的可压缩性，极板间的部分气体 会陷落在极板中央从而产生弹簧效应。我们把上述气体产生的阻尼效应和弹簧效应 称为气体的压膜效应。 7 北京科技大学硕士学位论文 对于上面介绍的各种阻尼中，压膜阻尼中的压膜阻尼是影响品质因子的一个重 要因素，特别是在高频谐振和非绝对真空的状态下，气体分子和器件的相互作用会 明显增强。其中压膜效应产生的阻尼效应会耗散系统的能量，产生的弹簧效应不耗 散系统的能量，但它会增加系统的刚度，从而也会影响其工作性能。因此研究 m e m s 中的气体压膜效应，特别是对谐振器频率变化的影响，对提高器件的工作性 能有重要意义。 由于压膜效应对系统增加的额外刚度贺阻尼会显著影响器件的工作性能，为了 有效减小这种影响，近年来，在微结构上打孔的方法得到了广泛的应用。图1 5 为打 孔后微平板结构的示意图： 图1 4 压膜效应示意图图1 5 有孔微平板结构示意图 通过在微平板上打孔，极板在运动的过程中，极板间的气体通过小孔向外逸 散，可有效的减小压膜效应对极板动态响应特性的影响。另外，在微平板结构上打 孔一方面在减小压膜效应的同时，还有其它一些作用，比如有效的控制结构的动态 响应特性，提高了在微加工过程中牺牲层的腐蚀速度等0 5 - 3 s 1 。但是在微结构上打孔 后，一般用来确定无孔结构中压膜效应的传统r e y n o l d s 方程就不再适用，需要发展 新的理论和方法。 结合实际和应用背景，本文将以如图1 6 所示的两端固支微梁的结构形式为分 析和研究对象。当谐振粱在振动的过程中会受到气体的阻尼力作用，因此需要考虑 气体阻尼对其振动特性的影响。在考虑微梁谐振器中体阻尼过程时，当谐振梁与基 底之间的间距较大时，此时不考虑基底对气体阻尼的贡献，可以把微梁作为孤立物 体来确定气体阻尼；当谐振梁与基底之间的间距较小时，梁与基底之间气体会产生 压膜效应，此时需要用压膜理论来确定气体阻尼。因此确定两者之间的分界点对于 8 - 北京科技大学硕士学位论文 准确计算谐振梁在运动过程中受到的气体阻尼是至关重要的，在本文的第二章中将 给出这方面的分析。压膜效应特别是有孔微结构中的压膜效应是本文着重考虑和研 究的内容，所以在下面1 3 中将对微结构中压膜效应的研究历史和现状进行一些回 顾和介绍。 图1 6两端固支微谐振梁示意图 1 3 压膜效应研究概况 压膜效应是m e m s 中一个很重要的研究方面，在1 2 中的气体阻尼部分对 m e m s 中压膜效应的产生机理进行了说明，以下将对压膜效应的提出，理论的发展 和现在对有孔微结构中的气体压膜效应研究现状进行回顾和介绍。 早在1 9 1 7 年c r a n d a l l 3 8 】就对电容传感器中两个做相对运动的圆形平板问的压膜 效应进行了理论分析，并给出了确定压膜效应增加的刚度和阻尼的表达式。等温过 程的压膜效应是l a n g l o i s 4 0 i 在1 9 6 2 年利用润滑理论中有名的r e y n o l d s 方程建立 的，在建立的过程中他忽略了气体的惯性作用对压膜效应的影响。1 9 6 6 年g r i f f i n 引】 利用l a n g l o i s 建立的压膜理论对压膜阻尼器进行了分析。 1 9 8 3 年，b l e c h l 4 2 得到了 用来确定具有小压强边界条件的矩形平板间气体压膜效应产生的刚度和阻尼的公 式。后来，d a r l i n g 4 3 推导了一个包含格林函数的表达式，这个表达式可以用来确定 具有任意压强边界条件的矩形平板间气体压膜效应产生的刚度和阻尼。除了以上建 立的理论和方程外对压膜效应进行分析外，还发展了其它一些方法用来确定压膜效 应，并对影响压膜效应的一些因素进行了考虑分析。v 蜘o l a 【4 “5 】利用电路模拟的方 9 北京科技大学硕士学位论文 法研究了微惯性传感器中的气体压膜效应，此方法可以精确得到气体压膜效应产生 的阻尼和刚度效应。p a n d e y 坫l 利用有限差分的方法分析了处在不同流场情况中微器 件中的压膜效应，当综合考虑影响压膜效应的因素式，研究分析给出了压膜效应产 生的阻尼和刚度是如何随着这些因素变化的。在随后的工作中，p a n d e y 进一步的研 究分析了了表面粗糙度和气体稀薄化对压膜阻尼的影响。 所有上面这些用来确定m e m s 器件中压膜效应产生的阻尼和刚度的理论或方法 都是针对无孔结构而言的。在引言中提到了为了有效的减小压膜效应对系统的影 响，一般采取在结构上打孔的做法，所以此时上面的理论和方法对于确定有孔结构 中压膜效应则显得无能为力。因此，需要发展新的理论和方法来确定有孔微结构中 的压膜效应。对于静电驱动的传感器，k o v 【4 7 1 推导给出了用来确定有孔板中压膜效 应产生的压膜阻尼的表达式。但由于他考虑的有孔结构中，孔的尺寸和板的厚度较 大，气体的压缩性较小，所以他的推导没有考虑压膜效应产生的弹簧效应。季k o v 的 推导适用于低频振动和可以充分逸散的较大压膜厚度情况。k n h n e l 0 8 】和h s u l 4 9 1 等人 利用o l s o n t 5 0 l 给出的h e l m h o l t s 谐振器中的声学柔度公式解决了压膜效应产生的柔度 ( 刚度的倒数) 表达式。但是在微器件中，在小间隙中的流体会被挤压并横向流 动，而不像h e l m o h o l t s 谐振器中的流体那样被限制在一个谐振腔内。r o s s i l 5 1 1 研究了 声学领域的一些通过孔的流体流动引起的粘滞效应。b a o 等人t s z - s j l j 盈过考虑垂直方 向的气体流动，把有孑l 板划分成如图1 7 a 所示若干各小单元，对传统r e y n o l d s 方程 进行修正，得到了式1 6 所示的用来确定有孔微平板结构中压膜效应的修正 r e y n o l d s 方程： 口归臼幽n ( a ) 有孔板单元划分局部俯视图( b )有孔板及基底横截面视图图 图1 7孔板结构示意图( 来自文献5 3 ) 1 0 北京科技大学硕士学位论文 p 一压膜压强和环境压强差： 厶一衰减长度( a t t e n u a t i o nl e n g t h ) ； 一气体的粘性系数： h 一任意时刻两相互靠近平板的间距； ( 1 6 ) 其中衰减长度厶是跟孔的大小和板厚有关的个特征长度，它表征了边界效应，其 值越大表明边界效应越明显。由于在分析的过程中涉及到的振动频率较小，所以上 述的修正r e y n o l d s 方程没有考虑气体的可压缩性。最近h o m e n t c o v s c h i 等 s 4 - 5 习也 通过把孔板划分成若干小单元，通过考虑气体的可压缩性，边界滑移得到了一组确 定确定压膜效应的公式： ( 1 7 ) 其中，x 和蜀是跟磊，甜有关的表达式，其它符号字母表示意义如下： 一运动极板的振动圆频率： 函一两相互靠近极板的初始问距； p 一压膜压强和环境且强差( 无量纲化后) ： h x 方向气流运动速度( 无量纲化后) ； h y 方向气流运动速度( 无量纲化后) i一 一= 方向气流运动速度( 无量纲化后) ； 式( 1 7 ) 是在n s 方程的基础上通过无量纲化和略去一些较小量得到的确定有孔微 结构压膜效应的表达式。所得到的表达式考虑了平板问气体压膜效应的惯性作用， 气体的粘性和可压缩性。除了以上方法还发展有限元法陋5 钾和有限差分法 6 0 - 6 1 1 来确 型西犁 = p 一驴 一 丝矿 + 丝掰 ， 中式 舻 k至缸 铲 p 懈 丑砂 盟嘭峨 熟玉盟彩 北京科技大学硕士学位论文 定有空微结构中气体压膜阻尼，其中有限元被认为是一种有效可行方法。但对于大 型微结构，有限元法耗时较多，且对于器件的优化设计不能提供更多的参考价值。 m o h i t e 等【6 2 】通过对如图1 8 所示结构的a n s y s 模拟结果进行观察后结合气体压膜 理论提出了扩散系数的概念，结合柱坐标下的r e y n o l d s 方程，分析得到了压膜效应 产生的阻尼和刚度系数，并对理论分析结果和a n s y s 模拟的结果进行了比较。在 h o m e n t c o v s c h i 和m o h i t e 的理论分析过程中，是通过把整体结构根据小孔划分成小 单元，通过计算一个小单元下气体的压膜效应，然后进行累计求和得到的。因此没 有考虑结构的边界效应对压膜效应的影响。而当平板尺寸和孔的尺寸相比不是很大 时，此时就需要计入边界效应对气体压膜效应的影响。 ( a ) 交错排列方式( b ) 非交错排列方式 图1 8m o h i t e 模拟的压膜效应压强分布云图( 来自文献6 2 ) 1 4 选题背景 高频谐振和非真空环境下，在研究气体阻尼的过程中存在两种不同的阻尼机 制，根据不同的压膜厚度，如何选取相应理论来确定气体阻尼，这在器件的设计过 程中是非常重要的。为了减小压膜效应对器件的影响，常采取在微结构上打孔的方 法。以前对于有孔微结构中气体压膜效应的研究，由于考虑的谐振频率较低、微结 构的厚度较小，没有考虑气体的可压缩性、通过小孔的气体在垂直方向的流动对压 膜效应的影响，并且认为极板相对于孔的大小是无限大，因此没有考虑极板的边缘 1 2 - 北京科技大学硕士学位论文 效应对气体压膜效应的影响。但在高频谐振、有孔微结构的厚度较大以及极板为有 限大时，上述未考虑的因素已变得不可忽略。因此。需要建立新的方程和模型来计 算和确定有孔微结构中的气体压膜效应。另外，在微结构上打孔在减小压膜效应的 同时，会增加新的阻尼，因此需要通过建立的气体压膜理论对微结构的打孔方式进 行优化，以提高器件的品质因子。 1 5 本文主要工作 基于以上以上对微结构中气体阻尼研究概况和实际应用背景，本文主要工作主 要有以下四方面： ( 1 ) 结合实际应用背景和相关阻尼理论，以微梁谐振器为对象，研究两种不同情况 下气体阻尼对其振动特性的影响。 。 ( 2 ) 以流体连续方程为基础，结合h a g e n - p o i s e u i l l e 圆管流动规律和前人的工作建立 用来确定有孔平板中气体压膜效应的修正r e y n o l d s 方程，此修正r e y n o l d s 方程 将综合考虑气体的可压缩性，边界效应，以及通过小孔的气流增加的新的阻尼 效应。 ( 3 ) 对得到的修正r e y n o l d s 方程进行线性化并求解，来得到有孔微结构中压膜效应 压强的分布情况，并和其它一些情况下压膜效应压强的分布进行比较。 ( 4 ) 利用有限元软件a n s y s 对有孔微平板中的气体压膜效应进行模拟，并对模拟 结果和理论分析结果进行比较；并在理论分析的基础上，对微梁谐振器进行一 些初步的优化设计考虑。 1 3 北京科技大学硕士学位论文 2 微梁谐振器中的气体阻尼 对于m e m s 器件，由于其尺度较小，比表面积大，作为表面效应的气体阻尼会显 著影响器件及系统的工作性能。因此研究气体阻尼对m e m s 的影响是非常必要的，可 以为器件的设计提供参考。微谐振梁是种应用较为广泛的m e m s 结构，当微梁在振 动过程中，会受到气体阻尼力。在考虑气体阻尼的过程中，一方面当两微梁与基底之 间的间距较大时，此时可不考虑基底对气体阻尼的影响，把微梁作为浸在粘性气体中 的孤立物体考虑来确定气体阻尼；另方面，当微梁与基底之间的间距较小时( 可达 到微米甚至纳米量级) ，微梁与基底之间的气体会产生压膜效应，从而额外地增加了 系统的刚度和阻尼。在这一章中本文将首先对涉及到的两种阻尼理论进行一些必要的 说明和推导，然后把得到的相应公式和推导结果应用到微谐振梁中，来研究两种不同 情况阻尼对其振动特性的影响。 2 1 微梁振动方程与求解 为了研究气体阻尼对微谐振梁振动特性的影响，首先来建立其振动方程。对于 如图2 1 所示的两端固支长细比较大微谐振梁，基于e u l e r - b e m o u l l i 假设和梁弯曲振 动理论，其考虑轴力的振动方程可表示为陋3 1 ： 图2 1 两端固支微谐振梁示意图式 彤掣+ 掣+ 朋掣吲纠猷 a x z改| ”。 1 4 ( 2 1 ) 北京科技大学硕士学位论文 式中， ，一微谐振粱长度； b 一微谐振粱宽度； h 一微谐振粱高度； e 谐振粱弹性模量； ，一粱关于y 轴截面惯性矩 p 一谐振粱材料密度： 一粱所受到的轴力； q ( x ，t ) 为单位长度梁所受外荷载，对于不考虑激振的自由振动，q ( x , t ) 为单位长度 梁受到的气体阻尼力吼，它和梁的振动速度成正比，可表示为： 吼= 呷矿= 一言 ( z 式中，f 为阻尼系数。将式( 2 2 ) 带入式( 2 1 ) 可得到考虑气体阻尼的振动方程： ebh04z(xr,t)+可02z(x,t)+砂6丁02z(x,t)12o xo xo t + c 鱼o t = 。 4z z 对两端固支梁有如下边界条件： 删= 掣= o ，咖) = 掣= 。 ( 2 4 ) 对于建立的考虑气体阻尼的振动方程( 2 3 ) ，采用变量分离法来进行求解，微谐振 梁的运动位移z ( x ，f ) 可表示为两个函数的乘积： z ( x ，) = z ( x ) r ( s ) 其中z ( x ) 表示振型曲线：r ( f ) 表示运动位移随时问变化的规律。将式( 2 5 ) 代入 振动方程( 2 ，) 并结合边界条件可得到方程的解为： 1 5 北京科技大学硕士学位论文 和) = 喜蹦一 4 s i n ( 厨，) + 枷( 隔，) ( 2 6 ) 式中，待定常数d ，4 ，且是由初始条件确定的常数，其它各参数分别有如下表达式： x = s h x s i n ；x 一 0 h 丑x c o s 4 x 、 ( 2 7 ) 以= i ：； ；i ；要考，丑，= 互，互= 4 ，s ，互= ( ，+ 。s ) 以( f = 2 ，“) ( 2 s ) q = 擎厨习茧= 番而磊 ， 在表达式( 2 9 ) 中，和占分别表示梁的第i 阶固有频率和阻尼比； r 盯为最小临界 荷载，当梁受到压力等于或大于 0 时，梁失去抗弯能力，不能产生振动。当远 较临界荷载为小时，固有频率的降低并不显著，可忽略不计。 对于振动系统，一般比较关心系统的一阶模态，因此后面的表达式和讨论都是 基于一阶模念的。根据以上分析可得到考虑阻尼时梁的谐振频率。频率偏移率以 及品质因子分别为： q = 1 - - 1 - - 厢2 ( d ，占= a ( d = 垫= l 一正虿，q = 石1 ( 2 1 0 ) z c 以上是荩于振动方程得到的分析结果，对于形状固定梁，在以上的表达式中阻 尼系数c 是未知的。基于本章开始部分的分析，确定c 有两种情况，因此在以下部 分将分别对两种阻尼情况进行必要的理论介绍和推导，来得到阻尼系数c 的表达 式。 2 2 宏观阻尼机制 由前面的分析说明可知，梁在振动的过程中存在两种阻尼情况。在这一部分来 考虑当微梁与基底之间间距较大时，不计基底对气体阻尼的贡献，把微梁作为浸在 1 6 北京科技大学硕士学位论文 粘性气体中运动的孤立物体来确定它所受到的气体阻尼。下面将将根据相应的流体 理论来推导阻尼力和阻尼系数的表达式 由流体力学可知，当一具有直径为2 ，的球体浸在密度为p ，粘度系数为( 在 这里设粘度系数为常数) 的流体中时，并相对于流体以速度矿运动时，所受到的阻 尼力昂可表示为5 1 ： 昂= i c 。p v 2 彳 式中， c d 一阻力系数( 击鸩c 衔c i t ) 彳攫在流体中物体垂直流体运动方向的投影面积 ( 2 1 1 ) 式( 2 1 1 ) 是在描述流体运动i 拘n a v i e r - s t o k e s 方程上，基于球体得到的，但实际上对 于其它形状的物体同样适用。根据l 砌p 惭l ，t b m o t i l (