（固体力学专业论文）粘弹性环及球壳结构力学行为分析与研究.pdf

樯孽 - 7 近几年来随着航海航空技术的发展，粘弹性材料用途日益广泛。由于此 类材料具有明显的时间、温度效应，即使在常温下也具有明显的松弛、蠕变 特性，采用经典的弹性理论分析粘弹性结构性能会带来较大的误差。粘弹性 结构在各种使用环境下的力学行为及其稳定性作为粘弹性力学的一个重要内 容，对其深入研究具有重要的理论意义和应用价值。限制失稳是指构件屈曲 时其变形不能自由发展而受到某种限制性约束的失稳，这类问题在工业中有 大量应用。目前，有关粘弹性结构限制失稳的问题的研究罕有报道。有关这 一问题的讨论具有较强理论意义和应用价值。 本文采用b o l t z m a n n 线粘弹性材料三元件本构理论，在初始时刻前系统 的弹性假设的前提下，对预紧状态下的双层粘弹性薄环系统、外层薄球壳约 束条件下处于预紧状态的粘弹性厚壁空心球系统、恒温差场中预紧双层球壳 系统进行数学建模，经过严谨的理论推导，得到了问题的解析解，从而分析 了系统的松弛、蠕变等粘弹性效应以及系统的位移、预紧力随时间的演变规 律，讨论了系统几何尺寸及材料参数对系统位移、预紧力的稳态值的影响。 最后，将上述结果进行扩展，研究了外侧受刚性限制的单层粘弹性系统的力 学行为。 另外，本文采用b o l t z m a n n 线粘弹性三元件本构理论，运用假设模态法、 g a l e r k i n 方法及数值计算相结合的方法，建立了均匀受压粘弹性圆环的屈曲 模型及恒温差场中外层受刚性约束粘弹性环的限制失稳模型，研究了粘弹性 系统在外在载荷的作用下的极限载荷及稳定性位移问题。对于均匀受压粘弹 性圆环发现了粘弹性结构蠕变屈曲的典型特征：系统不仅像线弹性结构一样 存在瞬时临界载荷，同时还存在持久临界载荷，因而系统不但会发生瞬时失 稳，而且还会发生延迟失稳。而对于恒温差场中外层受刚性约束粘弹性环， 由于温度载荷的缘故，只存在瞬时l 临界载荷。最后，本文在数值计算的基础 上，探讨了极限载荷，失稳模态、结构几何尺寸及材料有关参数的影响等方 面的问题。 本论文的工作对于了解粘弹性结构力学行为，预测粘弹性结构寿命具有较 强的参考价值。 关键词粘弹性；松弛；蠕变；限制失稳 i nr e c a n ty e a r s ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h ev o y a g ea n da v i a t i o nt e c h n o l o g y , t h ev i s c o e l a s t i cm a t e r i a lh a sb e e na p p l i e dm o r ea n dm o r ew i d e l yi ne n g i n e e r i n 2 n i sl ( i n do fm a t e r i a li st i m e d e p e n d e n c ea n dt e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e i tw i l l r e l a xa n dc r e e pe v e na tt h en o r m a lt e m p e r a t u r e ，s oi tm a y b r i n gl a r g ee r r o ri fo n e c o n d u c t st h ea n a l y s i so fv i s c o e l a s t i cs t r u c t u r ew i t ht h et h e o r yo fc l a s s i ce l a s t i c i 讹 t h et h o m u 曲s t u d i e so ft h em e c h a n i c a lb e h a v i o ra n ds t a b i l i t yo fav i s c o e l a s t i c s t r u c t u r e ，w h i c ha r ea l li m p o r t a n tc o n t e n to ft h ev i s c o e l a s t i cm e c h a n i c s ，h a v e i m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n da p p l i c a b l ev a l u e c o n f i n e db u c k i n gm e a n st h a tt h e b u c k i n gc o n f i g u r a t i o no fa s t r u c t u r ec a n n o tb ee v o l v e df r e e l yd u et op r e s e n c et h e e x t e r n a lo b s t a c l e s t 1 1 i sk i n do f p r o b l e mh a sm a n y a p p l i c a t i o n si ni n d u s t r y , w h i l e t h er e s e a r c hp a p e r sa b o u tt h ec o n f i n e db u c k l i n go fv i s c o e l a s t i cs t r u c t u r e sa r e s e l d o ms e e n i nt h i sp a p b a s e do nb o l t z m a n n sv i s c o e l a s t i cm o d e la n da s s u m e dt h e s y s t e mi se l a s t i c i t ya tb e g i n n i n g ，as y s t e mo fp r e s t r e s s e dd o u b l e 一一n g s ，as y s t e m o fp r e - s t r e s s e dd o u b l e - b o i l sa n da s y s t e mo ft p r e s t r e s s e dd o u b l e r i n g su n d e rt h e s t a t eo f c o n s t a n tt e m p e r a t u r ed i s p e r s i o na r ea n a l y z e d t h es o l u t i o no f t h ep r o b l e m i so b t a i n e da n a l y t i c a l l y t h ev i s c o e l a s t i ce f f e c t s ，s u c ha se r e 印a n dr e l a x a t i o na r e i n v e s t i g a t e d 1 1 1 et i m ee v o l u t i o nr u l e so fd i s p l a c e m e n ta n dp r e s t r e s s e dl o a da r c a l s od i s c u s s e d t h ei n f l u e n c e so ft h e g e o m e t r i e a l s i z e sa n dt h em a t e r i a l p a r a m e t e r so nt h es t e a d yv a l u e so f d i s p l a c e m e n ta n dp r e - s t r e s s1 0 a do f t h es y s t e m s t a t ea r ea n a l y z e d f i n a l l y t h ep r o b l e mi se x p a n d e dt ot h es i n g l el a y e rv i s c o e l a s t i c s y s t e mw i t ht h er i g i dr e s t r i c t i o n b e s i d e s ，b a s e do nb o l t z m a n n sv i s e o e l a s t i cm o d e la n da s s u m p t i o no ft h e e l a s t i c i t yf o rt h ei n i t i a ls t r u c t u r e t h ec f i t i c a lb u c k i n gl o a da n dt h es t a b i l i t yo ft h e s o l u t i o na r ei n v e s t i g a t e db yu s eo fa s s u m i n gm o d em e t h o d ，g a l e r k i nm e t h o da n d n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n t h e s y s t e m o ft h ec o n f i n e d b u c k i n gm o d eo fa v i s c o e l a s t i cr i n gi sd e v e l o p e d i ti sf o u n dt h a tn o to n l yi n s t a n t a n e o u sc r i t i cl o a d e x i s t s b u ta l s oad u r a b l ec r i t i cl o a df o rt h eb u c k i n go fv i s c o e l a s t i cr i n g i n gu n d e r u n i f o r mp r e s s u r e w h i l eo n l yd o e s 趾i n s t a n t a n e o u sc r i t i c1 0 a de x i s t sf o rt h e c o n f i n e db u c k i n gm o d eo fav i s c o e l a s t i cr i n gw h e nt h et e m p e r a t u r ed i f f e r e n c ei s c o n s t a n t a tl a s t ，b a s e do nn u m e r i c a lm e t h o d ，f u r t h e ri n v e s t i g a t i o n sa r ec a r r i e do u t i 1 1 t oc r i t i c1 0 a d b u c k i n gc o n f i g u r a t i o na n dt h ei n f l u e n c e so fs t r u c t u r a ls i z ea n d m a t e r i a lp a r a m e t e r n e p r e s e n ts t u d i e sa r ev e r yv a l u a b l et ot h em e c h a n i e a lb e h a v i o ra n dl i f e p r e d i c t i o no f v i s c o e l a s t i cs t r u c t u r e s k e yw o r d s ：v i s c o e l a s t i c i t y ；p r e - s t r e s s e dl o a d ；r e l a x a t i o n ；c r e e p ；c o n f i n e d b u c k l i n g 西南交遥大学硕士研究生论文第1 页 第一章绪论 1 1 研究意义 随着科学技术的发展，在工程实际中涌现了许多同时具有弹性和粘性两种 不同机理变形的粘弹性材料。如高分子聚合物材料、纤维复合材料、生物材料、 地学材料等等，它们在航空、航天、武器工业及核工业等领域都具有广阔的应 用【”。近几年来随着航海航空技术的发展，粘弹性材料除作为轮胎、密封圈、 密封垫外还越来越多的用作阻尼、减震、降噪及舰船和飞行器的结构材料【2 】。 由于此类材料具有明显的时间、温度效应，即使在常温下也具有明显的松弛、 蠕变特性【3 1 ，另一方面，虽然某些材料的时间、温度效应不是很明显，但在长 期贮存的情况下，由于材料的老化，也可能体现一定的粘弹性效应。采用经典 的弹性理论分析粘弹性结构性能会带来较大的误差1 4 1 。因此粘弹性力学正逐渐 成为一个具有吸引力的自然学科研究领域，并且其研究成果以成功地在地质勘 探、建筑开挖、军事工业等领域广泛应用。粘弹性结构在各种使用环境下的力 学行为及其稳定性作为粘弹性力学的一个重要内容，对其深入研究具有重要的 理论意义和应用价值例。限制失稳是指构件屈曲时其变形不能自由发展而受到 某种限制性约束的失稳，这类问题在工业中有大量应用，目前，尚未发现有关 粘弹性结构限制失稳问题方面的研究报道。有关这一问题的讨论具有较强的现 实意义。由于粘弹性环、球壳结构在工程实际得到越来越广泛的应用，如用作 轮胎、密封圈、密封垫等，因此对这些粘弹性结构的力学行为进行分析和研究 具有较强的工程价值。 1 2 粘弹性结构力学行为分析与研究的研究现状 1 2 1 粘弹性力学的发展现状 近年来，粘弹性材料的广泛应用，使得粘弹性力学取得了较长足的发展， 涌现了许多关于粘弹性力学及其应用方面的专著，这些专著对于研究粘弹性结 构的力学行为，推动粘弹性力学研究成果的应用具有重要作用。粘弹性材料的 本构模型在积分型【6 1 和微分型本构模型 刀的基础上，又出现的一种基于内变量 理论的一种广义粘弹性本构【 l 。在线粘弹性理论迅速发展和日益完善的同时， 非线性粘弹性理论也得到了较快发展 1 0 - 1 1 】。同时，学者们关于粘弹性结构的变 西南交通大学硕士研究生论文第2 页 分原理也进行了较为深入的探索与研究 1 2 - 1 3 l ，提出了以卷积形式表示的泛函， 并给出了粘弹性结构的变分原理。近年来，对于温度场中粘弹性材料结构特性 也开展了一定的工作，张义同等1 1 4 - 1 5 1 分别在1 9 9 3 年和1 9 9 5 年研究了变温粘弹 性的一般理论并给出了变温粘弹性蠕变形本构方程，刘立厚等坼j 在1 9 9 7 年对 变温粘弹性终态温度等效松弛模量曲线的确定进行了研究，给出了利用恒温下 的扭转、单轴拉伸应力松弛实验曲线确定终态温度等效松弛模量曲线的方法。 刘立厚等【1 7 】在1 9 9 9 年将构件的终态温度等效松弛曲线表示成负幂指数的形 式，推导出了粘弹性材料的杆在轴力作用下处于变温状态下的位移的解析解。 文献【1 8 - 2 2 针对高聚物、火箭固体推进剂、沥青、橡胶等具有粘弹性性质的材料 与温度有关的力学特性进行了分析。 1 2 2 粘弹性结构力学行为研究的发展现状 关于粘弹性材料结构的研究报道很多，但主要集中在关于粘弹性材料结构 的动力学特性分析及关于粘弹性结构的随机稳定性分析问题上，如程昌均教授 1 2 3 - 2 5 1 等对柱、梁、板等结构的动力学稳定性、混沌等力学行为进行了研究；文 献【2 6 】研究了屈曲粘弹性板的非线性振动分叉等。而有关粘弹性结构特性的时 间演变规律及温度相关性方面的研究报道并不多见，其研究的结构主要为梁、 板及厚壁圆筒等结构，如禹金云研究了有初时缺陷的粘弹性压杆的蠕变屈曲 2 7 1 ；刘立厚等b 8 】在1 9 9 9 年推导出了粘弹性材料的杆在轴力作用下处于变温状 态下的位移的解析解；杨挺青【2 9 】等研究了粘弹性薄板蠕变屈曲载荷一时间特 性：罗文波，杨挺青1 3 0 】研究了高聚物变形过程中的应变率敏感性和应力松弛 行为；彭凡，傅衣铭分析了线粘弹性的正交层合板的蠕变失稳问题1 3 1 】；文献 【3 2 】对粘弹性厚壁圆筒结构进行研究和分析的工作。而对于壳的研究还很有限， 特别是有关壳体结构的解析解更是不多见，其中扶名福等【3 3 】在1 9 9 4 年对球壳 的模糊弹粘塑性进行了分析，给出了球壳问题的解析解，并对解的特性进行了 分析。黄宏炜 3 4 1 在1 9 9 8 年讨论了承受周期性内压的k e l v i n 固体厚壁球壳这个 粘弹性力学边值问题，获得位移场、应变场和应力场的公式。预应力结构是工 程中比较常见的结构形式，对于预应力粘弹性环、球壳结构的蠕变，松弛等力 学行为方面的研究可为预测此类结构的可靠性、使用性能和寿命提供参考，具 西南交通大学硕士研究生论文第3 页 薰 3 61 缩屈曲，压力引起的称作静水压屈曲】，这样的丫、辽 分类也适用壳模型。当环向的压缩应力到达某个l 临y1 7 界点时，环会突然眺离刚性边界向内部屈曲如图压 所示。这时的环在载荷的作用下失稳时因为外壁的1 心，么， 存在，可能发生跳跃失稳而失效，而不象自由圆环1 l ，7 西南交通大学硕士研究生论文第4 页 们的研究表明对于此类问题不能用和处理环受静水压力屈曲不受限制的问题 同样的方法，文献中考虑了不同的扰动和缺陷，计算了带有塑性铰的环的稳定 性。s u nc 等f 4 l 】在1 9 9 5 年通过理论分析和实验对这类问题进行了比较深入的 研究，得到了以下结论：( 1 ) 发生屈曲的临界力是刚性限制边界缺陷、环的尺 寸、材料的弹性模量的函数；( 2 ) 对一个完善系统，在弹性区不存在屈曲载荷， 或者说屈曲载荷无限大，但是存在一个临界点，其下只有一条稳定平衡路径存 在，其上有两条可能存在的平衡路径，即未屈曲和屈曲路径，但除非提供某些 初始挠度，否则试验件不能从未屈曲构形眺到屈曲构形，初始挠度可由刚性边 界的不完善产生：( 3 ) 屈曲载荷对刚性边界的小缺陷非常敏感。同时s u nc 还 用离散单元法对此问题进行了研究 4 2 1 ，此方法不仅适用于理论分析，而且在计 算上也比有限元法更有效率，并指出无摩擦的模型可以用来预测临界屈曲载 荷，这种预测通常是偏保守的。n e l - a b b a s i l 4 3 1 等在1 9 9 9 年分别用数值和实验 方法研究了薄环和厚环的接触问题，获得了适用于壳体接触的变分不等式。 l ifs 】等在1 9 9 0 年研究了同心接触圆环在外部压力下的稳定和响应问题， 发现失效模式和极限载荷依赖于两个环的初始缺陷和几何特征。k y r i a k i d e ss 等f 4 5 l 在1 9 8 4 年研究了受限制圆环在外部压力作用下的坍塌，发现极限载荷依 赖于初始几何缺陷和环材料屈服前及屈服后的特性，b o t t e g awj 【拍】在1 9 8 9 年 研究了外壁的可变形对受限制环屈曲的影响。范钦珊等【4 7 】在1 9 9 6 进行了核电 站安全壳钢衬壳环的屈曲研究，获得了完整的后屈曲平衡路径，范钦珊、陈文 【蛐1 在1 9 9 6 年进行了点锚固钢衬壳受限制的热屈曲分析。陈在铁1 4 9 】用能障法研 究了钢衬环的屈曲问题，指出正是由于能障的存在，使得钢衬不容易在最小屈 曲温度发生屈曲，而通常在稍高一些的温度发生屈曲。o m a r aam 【剐在1 9 9 7 年研究了嵌入刚性空腔的圆管的屈曲模型，对于受限制圆环静水压力失稳的情 况，文献【5 i 】对比了c h e n e y 模型和c l o c k 模型，认为c l o c k 模型比较合适。 1 3 论文的主要工作 在大量阅读文献的基础上，阐述了粘弹性力学及粘弹性结构分析的研究现 状，同时总结了弹性结构限制失稳的研究进展，在此基础上，提出了本论文的 研究内容。由于三元件模型简单且在定性上能正确地描写材料的粘弹性，采用 西南交通大学硕士研究生论文第5 页 线粘弹性材料三元件本构模型对结构进行实际数学建摸。采用理论推导与数值 计算相结合的方法，研究了以下内容： ( 1 ) 预应力环的粘弹性效应分析：采用线粘弹性材料三元件本构模型对预紧 状态下的双层粘弹性薄环系统进行数学建模，研究粘弹性双层环系统在预应 力作用下，其系统位移随时间的演变规律，研究材料参数对系统力学行为的 影响。分析系统预应力随时间的演变规律及其稳态解。 ( 2 ) 预应力球壳的粘弹性效应分析：采用b o l t z m a r m 线粘弹性三元件本构理 论，在初始时刻前系统的弹性假设的前提下，引用中心对称球壳的平衡微分方 程，建立了预紧状态下内层厚壁空心球在外层薄球壳约束下的粘弹性模型，研 究预紧球壳系统的松弛、蠕变等粘弹性效应，分析系统的位移、预紧力的时间 演变规律，分析了球壳系统几何尺寸及材料参数对系统位移、预紧力的稳态值 时影响。最后，将上述结果进行扩展，研究了外侧受刚性限制的单层粘弹性空 心球的力学行为。 ( 3 ) 恒温差场中预紧双层球壳结构的粘弹性效应分析：采用变温线粘弹性材 料三元件本构模型，将终态温度等效松弛曲线表示成负幂指数的形式，建立了 恒温差场中预紧状态下的双层粘弹性组合环的轴对称位移模型，分析了系统的 松弛、蠕变等粘弹性效应，研究了环位移、预紧力随时间的演变规律及稳态值。 同时研究了预紧力和温度对系统力学行为的不同影响效应。 ( 4 ) 粘弹性圆环均匀压力作用下的稳定性分析：采用b o l t z m a a n 线粘弹性三 元件本构理论。运用假设模态法和g a l e r k i n 方法，建立了均匀受压粘弹性圆环 的位移模型，研究了粘弹性圆环在均匀压力作用下稳定性。并通过极限分析法 和数值方法研究了环失稳后的后屈曲模态及相关参数对系统后屈曲解的影响。 ( 5 ) 粘弹性环结构的限制失稳的分析：采用变温线粘弹性材料三元件本构模 型，将终态温度等效松弛曲线表示成负幂指数的形式，运用假设模态法和 g a l e r k i n 方法，建立外层受刚性约束粘弹性环在温度载荷作用下的数学模型。 研究了结构失稳前，载荷随时间的演变规律及温度载荷对其的影响，分析了屈 曲前结构的内力、位移的时间演变规律。对系统的限制失稳进行后屈曲分析， 研究了系统的失稳解和极限载荷及其与材料参数的关系。 西南交通大学硕士研究生论文第6 页 第二章粘弹性材料结构的理论基础 2 1 引言 在连续介质力学中，人们最早熟悉的两类物质或材料是弹性固体和黏性 流体。实际上，一切固体都会或多或少的第产生变形，许多乃是流动的固体。 如塑料、橡胶、树脂、玻璃、沥青等轻工和日用品原料，在一定条件下，往往 同时具有弹性固体和黏性流体两者的特性，综合呈现出弹性和黏性两种不同机 理的形变，物质的这种性质称为粘弹性。粘弹性物质分为线性和非线性两大类。 若物质的力学性能表现为线弹性和理想黏性的组合，则为线性粘弹性物质；在 许多情况下，粘弹性物质呈现非线性弹性或非牛顿流体变形，或组合的呈现非 线性弹性或非牛顿流体变形的特征，这种物质是非线性粘弹性体，它的力学行 为和本构关系比线性粘弹性物质复杂。物质的粘弹性与温度、负载时间、加载 速率、应变幅值、和其它环境因素密切相关，其中最主要的因素是时间和温度。 2 2 粘弹性的力学行为 物质粘弹性的宏观表象描述，着重于物质的力学行为与时间、速率及温度 的相关性。 2 2 1 蠕变和应力松弛 a ) 蠕变 在恒定载荷或应力作用下，应变随时间而逐渐增加的过程或现象，称为蠕变。 通常，不同的材料或某种材料在不同条件下的蠕变并不相同。图1 1 a 表示在 突加后保持恒定应力作用下的一种蠕变曲线a b c ，应变s = f p ，t ) ，t 表示时 间在较低应力水平下，固体材料的应变可能达到某一稳态值。受较大载荷时或 在较高温度下，材料与结构的蠕变过程呈现出瞬时蠕变( 应变率随时间的增加 而减小) ，稳态应变( 应变率几乎为一常值) 和加速应变( 应变率随时间的增 加而迅速增加) 三个阶段，这种蠕变破坏曲线如图1 1 b 所示。对于粘弹性材 料，在t = t m 时刻除去外力( 图l - l a ) 则在瞬时弹性恢复( c d ) 后，有一逐渐恢复 的过程( d e ) ，这种蠕变恢复现象，有时称为滞弹性恢复或延迟恢复。显然，蠕 变过程有线性和非线性之分，采用不同模型的材料函数和本构关系表述。 西南交通大学硕士研究生论文第7 页 d 图1 1 a b ) 应力松弛 b 图1 1 b 在恒定应变下应力随时间而减小的现象或过程，称为应力松弛。图1 2 1 a 表示一般的应力松弛，开始时应力较快的衰减，而后应力逐渐降低并趋一恒定 值。从流变机理和相关模型看，黏性流体经过一段时间后将使应力较快的衰减 到零。因而在一定应变条件下，应力较快降低并最后趋于零的物质是粘弹性流 体：而经过较长的时间后应力衰减值某一定值的物质则是粘弹性固体。 c ) 温度依赖性 物质的粘弹性力学性能显著的依赖于温度。常温下蠕变不明显的材料，在 较高温度时产生显著的变形或流动。温度变化很大甚至会改变物质的力学性 态，物质呈固体，熔体或流体随温度而定。 在一定温度下，粘弹性行为的时间相关性相应于物质内部存在的一种特征 时间。聚合物的特征时间受温度，压力等许多因素的影响，其中温度的影响最 为突出。通常在一定温度范围内温度升高会加速蠕变和应力松弛的进程。即提 西南交通大学硕士研究生论文第8 页 高温度和延长时间有一定的等效性。依据此原理，可以将不同温度的蠕变曲线 移位成某一参考温度下的主曲线，从而可以通过较高温度的短期蠕变或应力松 弛行为来预测较低温度下较长期的蠕变或应力松弛过程。 2 3 粘弹性的本构关系 线粘弹性物质的本构关系( 即应力一应变一时问关系) ，主要有微分型和 积分型两大类。 2 3 1 微分型 微分型本构关系在粘弹性理论的早期发展中广泛应用，在求解某些问题时 比较方便。这种应力一应变关系的数学表达直接与力学模型相联系。其中最简 单的两基本模型设想由一个弹簧和一个阻尼器串联或并联而成，这就是 m a x w e l l 模型和k e l v i n 模型，如图所示： m a x w e l l 模型由弹性元件和黏性元件串联而成，其本构方程为： 盯+ p l 寸= 叮i 舌 ( 2 1 ) 式中：模型参数p l = ，q l - - r 表示材料的物性常数。e 为拉压弹性模量， r 为黏性系数。 k e l v i n 模型由弹性元件和黏性元件并联而成，其本构方程为： t i t = q 0 6 + 卵( 2 - 2 ) 式中：模型参数q o = e ，吼= 1 表示材料的物性常数。 两基本模型反映的应力松弛和蠕变过程都只有一个含时间的指数函数，不 便表述聚合物等材料较为复杂的流变过程，因此为了更好的描述实际材料的粘 弹性行为，常用更多的基本元件组合而成其它模型。这里就不再赘述。 2 3 2 一维积分型 为了更具体的表示材料的粘弹行为并利于实际测试，更好的描述材料的记 忆性能和物体受载后的响应过程，便于考虑材料老化和温度影响等因素，在应 用中有较大的灵活性，常更多的通过材料函数采用积分型本构关系。 在线粘弹性问题中，多个起因的总效应等于各个起因的效应之和，这便是 b o l t z m a n m 叠加原理和遗传积分的基础和实质。 设有r 个应力增量顺次在善时刻分别作用于物体，则在善后某时刻 t 的总应变根据b o l t z m a m n 叠加原理为： 西南交通大学硕士研究生论文第9 页 其积分表达式： s ( f ) = c r o ，o ) + a a ( t - 善, ) ( 2 3 ) j - i 啪= + y 州卜( f 瑙吣v 善( 2 - - 4 ) 矿 。 哪) 】，( 0 ) + 批一乡磊啪吣y 孝( 2 - 5 ) 式( 2 - - 4 ) 是蠕变型积分本构关系，如已知材料的蠕变函数，( f ) ，且给定应力 c r ( t ) ，则可求得材料的蠕变过程，不过此时的蠕变不再是恒定应力下的简单蠕 变。式( 2 5 ) 是松弛型积分本构关系，如已知材料的松弛函数，( f ) ，且给定 应变s o ) ，即可得应力松弛过程。 值得指出的是，积分型本构和微分型本构关系是一致的，对于同一种材料， 两者都应表示出同样的物性关系，只是表达形式不同。 西南交通大学硕士研究生论文第l o 页 第三章预紧双层环的粘弹性效应分析 3 1 模型的建立 考虑图1 所示预紧状态下的双层粘弹性薄环系统，设在初始时刻，外环半 径为，内环半径为丑。，两层环之间存在均匀预紧力p o ；在任意时刻。设环 的径向位移为w ，两层环问的预紧力为p 。本文将双环系统考虑成具有粘弹性 效应的轴对称问题，且不考虑初始预紧力施加时系统的粘性，即假设初始时刻 前系统是弹性的。 图1 双层预紧粘弹性环 考虑b o l t z m a n n 三元件粘弹性积分型本构关系，表达式为： = 墨( o ) q ( f ) + j ：墨( f f k ( f ) d f ，i = 1 , 2 ( 3 1 ) 式中 墨( f ) = e 4 1 一q + a e x p ( - f 届) ， i = l ，2 ( 3 - 2 ) 毫( f ) = 一局4 ( q 屈) e x p ( 一f 尼) ， i = l ，2 ( 3 3 ) 而f 为环的轴力，墨为松弛函数，4 为横截面积，q ( o ，1 ) 松弛系数， 届为松弛时间，式中下标1 和2 分别代表内环和外环。 由圆环的力平衡条件有 = 一鸱，2 = p 是( 3 4 ) 由初始时刻前系统的弹性假设，系统的初始应交为 毛( 0 ) = 岛。= 一风蜀耳4 ，岛( 0 ) = = 风尼易4( 3 - 5 ) 任意时刻，两环的应变为 岛o ) = b + 叫( 足一r 。岛o ) m 岛o + w 属，f = l ，2 ( 3 6 ) 式中o ，f = 1 , 2 是两环的原始半径。 取无量纲化参数声= 届a ，= 最4 置4 ，= r j 碍，v = 叫墨，r = t l a ， 磊= 风墨巨4 ，j = p & & 4 。则由( 1 ) 、( 4 ) 可得到系统的位移方程 西南交通大学硕士研究生论文第1 1 页 式中 ( 1 + ，) v a t1 e 1 7 “叮) 却一g r a ：r 1 1 v ( 叮) 却+ g ( f ) = o ( 3 - 7 ) g ( r ) = 磊h ( 1 彳7 ) 吨( 1 一e - 肛) 而预紧力为 p ( r ) = 磊 1 一q ( 1 一矿7 ) 一 v ( r ) 一喁r e 口1 “，7 ) d 叩 ( 3 8 ) ( 3 ，9 ) 3 2 系统的粘弹性效应分析 由式( 7 ) 关于时问f 求一阶导数并化简有 ( 1 + g r ) c , + ( 1 - a , + i z r - l i r a 2 f 1 ) v 一r a ：f l ( 1 一声) e 加- t ) v ( r 1 ) d r i + 口( f ) + g ( r ) ；o 3 - 1 0 进一步对( 1 0 ) 化简有 ( 1 + ，) 口+ ( 1 一a , ) + f l ，u r ( 1 一) + ，+ 。 ( 3 1 1 ) + f l ( 1 - a , ) + # r ( 1 - a ：) p + 奇+ ( 1 + ) 圣+ 叮= 0 、 令岛= ( 1 一q ) + 厚r ( 1 一呸) + + 芦叭1 + 川，c l = ( 1 一q ) + ( 1 一呸) ( 1 + ) ， 乞= q + ( 1 + f 1 ) o + f l q ( 1 + p r ) = p p o ( a , 一a 2 ) l ( 1 + p r ) 。 则( 1 1 ) 简记为 彭( f ) + c 0 1 x f ) + q y ( f ) + c 2 = o ( 3 1 2 ) 其初始条件为 v ( o ) = 0 ，r o ) = = 磊( 口。一触2 ) ( 1 + a t ) ( 3 一t 3 ) 求解微分方程( 1 2 ) 有 。一。| c j + a l e ”网+ n 网( 3 - l 吣 由初始条件( 1 3 ) 有 4 l = 吨届= 石+ ( 1 2 ) ( 1 一c o 届二石) ( c 2 q ) l a = 札和i + ( 1 2 ) ( 1 + c o 再i ) ( c 2 尼) 位移( 1 4 ) 的稳态解为 匕= 一c 2 矗= 磊( 锡一口i ) ( 1 一q ) + ，( 1 一口：) 由位移( 1 4 ) 的单调性和稳态解( 1 6 ) ，可以判断双层环的状态： 叱 0 ，环向外膨胀；当强 口，时，v o ，环向内收缩。 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 当q 时，稳态解为一负值即比 呜 时，w 越 a ，时，稳态解为一负值即v 呻 o ，环向内收缩。从而验证了上述分析结果。 西南交通大学硕士研究生论文第1 7 页 图4 1 图4 2 给出了双层粘弹性球壳系统当p o = 2 0 ，( x 2 = o 1 时，伐l 取不同值的 一组位移一时间松