（光学工程专业论文）移相干涉术原理研究及其算法的工程化.pdf

湖翱 摘要 咖咄 本文紧紧围绕如何实现高精度测量这一主题，从测量原 理，精确复原数字化波面和消除系统误差三个方面着手进行 了深入的研究。详细分析了移相干涉术的原理、误差来源、 移相模式和算法，建立了多个数学模型，进行了计算机模拟， 最终提l p , 了一种新的移相算法_ 7 深入探讨了数字化波面的复 原问题，创新地提出了一种数字干涉图样边界自动识别算法 和波面统一算法，解决了特殊波面的复原问题，并应用于卡 塞格林系统中的反射球面镜波面复原、量块干涉图复原中， 均取得满意结果。深入研究了平面的绝对检验法，创新地提 出了一种平面的三面四次绝对检验法，建立了其数学模型并 编程实现。7 关键词：移相干涉术，波面复原，边界识别，绝对检验 a b s t r a c t h o wt oi m p r o v et h ei n t e r f e r e n c em e a s u r e m e n ta c c u r a c yi s d e s c r i b e di nt h i sp a p e r t h ep r o b l e mi sl u c u b r a t e db yo u r g r o u p f r o mt h r e e w a y s ，i n c l u d i n g t h e p r i n c i p l e o f m e a s u r e m e n t ，r e c o v e r i n ga c c u r a t e l y w a v e f r o n ta n d e l i m i n a t i n g t h e s y s t e m e r r o r s t h e p r i n c i p l e o f p h a s e s t e p p i n g i n t e r f e r o m e t r y ， e r r o r s o u r c e s ，p h a s e s t e p p i n g p a t t e r n a n d a l g o r i t h m a r e a n a l y z e d a t l e n g t h m a n y m a t h e m a t i c a lm o d e l sa r ee s t a b l i s h e da n ds i m u l a t e do nt h e c o m p u t e r ，an e wp h a s e s t e p p i n ga l g o r i t h m i s p u t f o r w a r d u l t i m a t e l y i na d d i t i o n ，t h ep r o b l e mo fr e c o v e r i n gd i g i t a l w a v e f r o n tis 耐f u r t h e ri n t o a n e w a l g o r i t h mw h i c h r e c o g n i z e sa u t o m a t i c a l l yt h ed i g i t a l i n t e r f e r e n c ep a t t e r n b o r d e r l i n ea n du n w r a p p e dp h a s ei sp r o p o s e d ，a n dt h ep r o b l e m w h i c hr e c o v e r s e s p e c i a l w a v e f r o n ti ss o l v e d t h e n ，t h i s a l g o r i t h mw a sa p p l i e d t or e c o v e rw a v e f r o n to fs p h e r i c a l r e f l e c t o ra n dg a u g eb l o c k ，a n dh a v eo b t a i n e ds a t i s f a c t o r y r e s u l t s t h em e t h o d so ff l a ta b s o l u t et e s t i n ga r el u c u b r a t e d ， a n dan e wm e a n so ft h r e ef l a t sa n df o u rt i m e sa b s o l u t et e s t i n g i sb r o u g h tf o r t h ，a n di t sm a t h e m a t i c a lm o d e li se s t a b l i s h e d a n ds j m u 】a t e d k e y w o r d s ：p h a s e s t e p p i n gi n t e r f e r o m e t r y ，r e c o v e r w a v e f r o n t r e c o g n i z eb o r d e r l i n e ，a b s o l u t et e s t i n g 绪论 1 本论文的研究背景 绪论 光学干涉测量是一种高精度、高灵敏度的计量测试方法， 广泛应用于多种物理量的测量。随着工程应用中对精度的要 求越来越高，如何进一步提高测量精度是所有光学干涉计量 研究人员面临的共同任务。本论文的研究正是围绕这个主题 展开的。 为了提高测量精度，首先从测量原理上考虑。移相干涉 术是随着电子、计算机、图象处理等技术的发展而发展起来 的一种新的光电型干涉测量技术。它通过多幅采样，可以抑 制噪声影响，与整个光瞳面上光强的不均匀无关，可避免激 光高斯分布的影响，而且在低条纹对比度的情况下也有好的 结果。正因为它的这些优点，我们选定移相干涉术作为测量 原理。二十多年来，国际上移相干涉术的新的研究成果和应 用层出不穷，本论文将在课题组多年从事移相干涉术研究的 基础上，跟踪国际上此方面的最新进展，深入研究移相干涉 算法，消除移相器的线性和非线性误差，编制实用软件。其 次，为了实现高精度测量，必须从数字化干涉图样中精确提 取波面信息，这其中涉及到两个问题，一是要实现干涉图样 边界的自动识别，提取有效信息点，二是要解决特殊干涉图 样( 比如有遮拦，有跃变等) 的波面复原问题。最后，为了 实现高精度测量，本论文将讨论如何消除系统误差。 2 本论文做的主要工作 基于以上分析，本论文围绕实现高精度测量这一目标，做 移榍十涉术原理的研究及其算法的t 程化坝j 学位论文 绪论2 了以下主要工作： 第一，跟踪国际上移相干涉术方面的进展，深入研究移 相干涉算法，这主要包括两个方面的工作：一是建立一种有 效的位相测量算法，此时假设移相被理想地实现；二是消除 实际测量中移相器的线性和非线性误差，此时必须从硬件和 软件上( 本论文主要研究从软件上) 对实际相移进行校正。 第二，精确地复原波面，包括特殊波面( 有遮拦、有跃 变等) 的复原。这里主要有两个问题要解决，一是干涉图样 边界的自动识别，二是波面的统一。由于利用反正切函数求 取波面位相时会产生2n 跃变，为了消除跃变，所有的干涉 图象处理算法都要进行波面的统一。 第三，消除系统误差。本论文拟采用绝对检验法来进行 测量，它从原理上消除了系统误差。 下面，本论文分别从这三个方面来进行讨论。 移相十涉术原理的研究及其算法的工程化 硕士学位论文 第一章穆相干涉术原理的研究 第一章移相干涉术原理的探讨 移相干涉术( p s i ) 是1 9 7 4 年b r u n i n g 等人提出的，把通 讯理论中同步相位探测技术引入到光学干涉术中，是一种新 的光电型干涉测试技术。二十多年来，随着光电技术、计算 机技术和激光技术的迅速发展，移相干涉术的原理、算法和 移相模式也不断发展，各种新的研究成果和应用层出不穷。 作为一种实时、自动、高精度测量原理，移相干涉术不仅在 光学系统波差测量中有成功应用，也被应用到激光产生等离 子体研究的实验干涉图分析、全息图的自动分析等方面，它 已成为计算机辅助干涉测试技术中的最重要领域之一。 1 1 移相干涉术的基本原理 移相干涉术的基本原理是在干涉仪中两相干光之间的相 位差引入等间隔阶梯式位移，当参考光程( 或相位) 变化时， 干涉条纹的位置也作相应的移动。在此过程中，用光电探测 器对干涉图进行多幅阵列网格的采样，然后把光强数字化后 存入帧存储器，由计算机按照一定的数学模型根据光强的变 化求得波面的相位分布，同时也可以分辨出波面的凹凸性。 多幅的采样可以抑制噪声影响，在低条纹对比度的情况下， 也有好的结果，它的测量精度与整个光瞳面上光强不均匀无 关，可避免激光高斯分布的影响，这对大口径系统尤其重要。 移相干涉术的移相器一般由压电陶瓷堆p z t ( p i e z o e l e c t r i c t r a n s d u c e r d e v i c e ，由压电晶体材料制成) 构成，p z t 是其中 的关键器件，它被用来驱动参考平面以改变相位。 移相干涉术的研究主要集中在两个方面，一是建立一种 有效的位相测量算法，此时假设移相被理想地实现，二是消 除实际测量中移相器的线性和非线性误差。九十年代以前的 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化 硕士学位论文 第一章移相干涉术原理的研究4 研究主要集中在前者，典型的移相干涉算法有四步法、三步 法、c a r r e 法、平均法、组合法等。下面对它们逐一进行分析。 1 2 四步法和三步法 双光束干涉中( 见图1 1 ) ，干涉场的光强分布函数可表 示为 ，( x ，y ，乒) = ，j ( x ，y ) + ，。( x ，y ) c o s o ( x ，y ) + 正】 ( 1 1 ) 式中o ( x ，y ) 为被测波 面的相位分布函数； ，。( x ，y ) 为干涉场的直流 光强分布；，。( x ，y ) 为干 涉场的交流光强分布：正 为参考波面的可变相位 移。 如果通过压电陶瓷推 动参考反射镜平移，使参 考波面的相位占，在0 至2 “ 内逐次变化n 2 ，则对应的 干涉场光强分布分别为 图1 1 移相式泰曼干涉仪 蕞耐镜 1 1 ( z ，少，o ) = l a ( z ，j ，) + l o ( x ，y ) c o s 烈力】 1 2 ( z ，y ，要) = l ( z ，y ) 一l o ( x , y ) s i n 【o ( x ，力】 l s ( x ，y ，石) ：l ( x ，_ y ) 一l ( z ，y ) c 。s 。( x ，y ) 】 ( 1 2 ) 州w ，等) = 以w ) ( w ) s i n 瞅训) 】 于是有 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化 硬士学位论文 第一章移相干涉术原理的研究 1 4 ( 训，等) 一，：( w ，要) 似力= a r c t g 可磊每丽着1 ( 1 3 ) 由上式看出，干涉场中任一点处的相位( x ，y ) 可以通过 阶梯式改变参考波面的相位一时测量该点的对应光强值 ，( z ，y ，占。) 求出。如果用光电二极管或电荷耦合器件( c c d ) 面阵接收整个干涉场中各点的光强信号，由计算机就可以求 得各采样点处的相位值西( x ，y ) ，实现对被测波面的直接相位测 量和实时数据处理。 由公式( 1 1 ) 看出，测量任意点( x ，y ) 处的位相中( x ，y ) ， 实际只含有三个未知数l 、，。和中，所以只要建立三个方程 就可以求解西( x ，y ) 。为了使o ( x ，y ) 的最终表达式简单起见， 可在参考波面的相移最中先引入一个常量4 ，这样并不影 响最后测量结果。于是有 t ( y ，署) = ，一( t y ) + ，。( t y ) c 。s 。( x ，y ) + 三】 咆小生铲 c 0 s j ，) 】_ s i i l 陬_ y ) 】 以，等) 吐( ) “( w ) c o s 陬埘) + 争 钆y ) + 生铲 _ c o s 州砒y ) 】) ，3 ( w ，等) = “w ) “( 训) c 。s 吣，y ) + 了5 t r 】 钆小生铲 _ c o s 朋侧川】) ( 1 4 ) 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化 硕士学位论文 第一章移相干涉术躁理的研究6 吣川= a r c t g 糟1 鄄 中( x ，y ) = 】 ( 5 ) ，l ( x ，y ，三) 一，2 ( x ，y ，二 ) 光电探测器接收到的干涉场中某点( x ，y ) 处的光强信号实际 “w = 五1 联m 成8 ) d 8 ( 1 6 ) 式中1 是归一化因子，以保证平均积分信号与积分域 ，一( x ，y ) 一五1 ，。( x ，y ) s i n 巾( x ，y ) + d 。+ 会卜s i n 【。( _ y ) + 瓯一会】 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化 硕士学位论文 第一章移相干涉术原理的研究 钆阮y ) y ) 等c o s y ) 】 2 2 d ( x ，y ) - i - ，。( x ，y ) s i n c ( g c o s 中( x ，y ) + 占，】 ( 1 7 ) 由上式可见，当参考波面引入相移时对接收到的干涉图 光电信号的唯一影响是降低了干涉条纹的对比度。 如果在参考波面匀速移相过程中，每隔一定的相移值探 测一次干涉图的光强信号，则干涉场中任一点处测得的光强 信号都将随参考波面的相移量而成正弦变化。因此，干涉场 中各点的相位差o ( x ，y ) 可以通过把在各点探测到的光强值 ( x ，力拟合成一条周期己知但相位和振幅未知的正弦曲线的 办法求出。再通过比较干涉场中各点拟合得到的正弦曲线的 相位关系，即可求得整个被测波面的相位分布中( x ，y ) 。 设在干涉场中某点( x , y ) 处总共测量了n 个光强值 ，( x ，y ) ，此处f = 1 n ，而且每次测量时的相位积分区间都 相同，则有 ，( x ，y ) 2 i d ( x ，y ) + ，。( x ，y ) s i n c ( 鲁) c o s 【中( z ，y ) 一一】 ( 1 8 ) 为便于下面作最小二乘拟合运算，上式可改写为 ，( x ，y ) = l ( x ，y ) + l o ，y ) s i n c ( 会) c o s 【巾 ，y ) 】c o s 4 + ，。( x ，y ) s i n c ( 会) s i n ( x ，y ) 】s i n 一( 1 9 ) 为使公式简明起见，上式又可写为 ，( x ，y ) = a o ( x ，y ) + a l ( x ，y ) f l ( 占，) + a 2 ( x ，y ) ( 瓯)( 1 1 0 ) 式中 a o ( x ，y ) = ，“( x ，y ) 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化硕士学位论文 第一章移相干涉术原理的研究 其中a ( x ，y ) 各项为未知数。这n 个方程的最小二乘估计 l ( 4 ) ( 4 ) i1 a o ( x ，y ) i l z ( 4 ) z 2 ( 4 ) z ( 4 ) ( 4 ) il q ( x ，y ) i i 厶( 一) z ( 西) ( 4 )露( 玩) 1 | 口：( x ，y ) l i ，( 训) = ! ( 圳) z ( 毋) l ( 1 1 1 ) 医( x ，y ) f 2 ( 6 。) l 1 日。( x ，y ) i = a - i ( 4 ) b ( x ，y ，4 )( 1 1 3 ) 式求出各自的a l ( x ，y ) 和a 2 ( x ，y ) ，则各点的被测相位中( x ，y ) 即 可通过口。( x ，y ) 和a 2 ( x ，y ) 的比值得求出： m ( x ，y ) 2 r c t g a 口2 “( x x ，, j ，y j ) ( 1 14 ) 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化 硕士学位论文 第一章移相干涉术原理的研究 如果由公式( 1 1 3 ) 也解出了口o ( z ，j ，) ，则各点干涉条纹 的对比度可按下式求出 m 川2 嬲2 急警 如果上述光电探测器的采样次数n = 4 ，起始位相五= o ， 相位间隔为2 ，则由公式( 1 9 ) 可依次写为以下四个方程 ，l ( x ，y ) = ，d ( x ，y ) + ，。( x ，y ) s i n c ( 鲁) c o s 【m ( x ，y ) ，：( z ，y ) 5 ，d ( x ，y ) 一，。( x ，y ) s i n c ( 号) s i n 【m ( x ，y ) 】 ，3 ( x ，y ) 2 d ( x ，y ) 一，。0 ，y ) s i n c ( ) c o s 【西( x ，y ) 1 ( i 1 6 ) ，4 ( x ，y ) = ，d ( x ，y ) + i o ( x ，y ) s i n c ( 譬) s i n 【o ( x ，y ) 】 由上式即可求出干涉场中( x ，y ) 点处的相位 毗y ) 2 洲。g l 。而1 4 ( x 万, y ) - i 1 2 丽( x , y ) j ( 1 1 7 ) 这就是所谓“四步积分式”相位测量模式。同样，由于 公式( 1 9 ) 中只含有三个未知数，即l d ( x ，y ) 、j 。( x ，y ) 和 o ( x ，y ) ，所以只需建立三个方程式就可求解o ( x ，y ) ，以便 进一步提高测量速度。这时将起始相位定在6 = 1 4 处，采样 间隔仍为n 2 ，于是有 j l ( z ，y ) 2 j d ( x ，y ) + ，。( x ，y ) s i n c ( - ) c o s ( x ，y ) 一s i n t d ( x ，) 伽) 互 ，2 ( x ，y ) 2 ，d ( 石，j ，) + ，。( x ，y ) s i nc ( ) 一c o s 中( x ，y ) 卜s i n ( x ，j ，) 压 ，3 ( x ，y ) 2 i j ( z ，y ) + 1 0 ( x ，y ) s i nc ( 导) _ c o s o ( x ，y ) 】+ s i n c 1 ) ( x ，y ) 1 压 移相十涉术原理的研究及其算法的工程化 硕士学位论文 第一章移相干涉术原理的研究 1 0 ( 1 18 ) 以及 吣y ) = 删占l r 而1 3 ( x 万, y ) - 可1 2 ( x 历, y ) j ( 1 1 9 ) 这就是所谓“三步积分式”相位测量术。由公式( 1 1 4 ) 、 ( 115 ) 和( 1 1 9 ) 看出，在积分式相位测量术中相位测量结 果o ( x ，y ) 与积分区间的大小选择无关，只要各次采样时积 分区间保持相同就可以了。 1 3c a r r e 法 c a r r e 法是在四步法的基础上发展起来的，它假设若干次 测量过程中，每次测量之间的相位位移相等，并且假定参考 相位位移是线性的，于是得到的四组光强为： i = 口+ b c o s ( 中一3 a 2 ) ( 1 2 0 ) i ，= 口+ b c o s ( m a 1 2 ) ( 1 2 1 ) ，、= d + b c o s ( m + a 2 ) ( 1 2 2 ) 。= 口+ b c o s ( 中+ 3 a 2 )( 1 2 3 ) 由式( 1 2 0 ) 至( 1 2 3 ) 可以求得相位m 为： m 训。理巫 3 ( 1 2 互- 1 3 亚) - ( i 丑, - 1 4 避) ( 1 丑2 - i 圃, ) - ( i , - i , ) ( 1 2 4 ) 。 ( ，2 + ，3 ) 一( ，l + ) c a r r e 法与四步法相比较，有一个优点，它只要求每次采 样参考相位位移相等，不要求间隔大小已知，即它不需要一 个标定过的移相器。 1 4 平均法和组合法 为了减小相位位移误差对相位计算误差的影响，在四步 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化 硕士学位论文 第一章移相干涉术原理的研究 法、三步法和c a r r e 法等的基础上发展提出了平均法。典型 的方法有四步平均法、重叠平均法。 1 4 1 四步平均法 经过推导，得知位移误差引起的相位计算误差a o 是随2 m 成周期变化，如果在两次测量中，使得被测位相巾之间相 位差为2 ，则m 起伏正好是反相，这两次测量的平均，就 能大大地减小这种误差的影响。取参考相位位移占= o 、n 2 、 、3 2 、2 。使0 、2 、3 2 作为一个测量组合， 错一幅干涉图后的n 2 、3 2 、2 作为第二个测量组合， 利用四步法分别求得被测位相o ，最后把这两个结果进行平 均，这样就大大减少了m ，它的相位计算公式为： 扯；卜惜栅c 留糟j z s ， 这种方法就称为四步平均法。 1 4 2 重叠平均法 前面介绍的几种算法，在存在相位位移误差的情况下， 总是会有一定的相位计算误差西，于是在四步平均法的基 础上，朱日宏博士于1 9 9 1 年提出了重叠平均法。 用下式来表示参考相位位移误差 s ，= 色( f 一1 ) ( f - 1 ，a ，| v )( 1 2 6 ) k = l 式中氕为误差系数，k = 1 时，s ，为线性误差，即相位位 移的标定误差，k 2 时，s ，表示非线性误差，一般非线性误 差比较小，可用二次项表示，即k = 2 ，此时s 表示为 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化硕士学位论文 第一章移相干涉术原理的研究1 2 占。= 备( f - 1 ) + 吉2 ( f 1 ) 2 ( 1 2 7 ) 经推导，我们得到等间隔移相模式由p z t 位移误差引起 的相位误差公式为 一州喀篙翁黑2 s ， 式中 肚专擎 “2 c 。专擎娩玩 “3 踮专擎8 洫2 点 “3 n 其中，a 表示相位位移误差占，的平均值，是所有项中最 大的，但是它与光瞳面上的坐标无关，用最小二乘法可消除； c 和s 为误差占= c ( i ) 的以s i n 2 瓯和c o s 2 最为基础的付立叶系 数；n 为相移次数。为便于分析相位误差，简化的误差表达 式为 a o = ( a c c o s 2 0 + s s i n ) ( 1 一c s i n 2 中一s c o s 2 ( b + q )( 1 3 2 ) 用q 表示( c s i n 2 0 + s c o s 2 0 ) 的高次因子，将式( 2 8 ) 展 开，忽略c s 、c 2 、s 2 等高次项，可以得到简化公式 中= a 一( c + a s ) c o s 2 中+ ( s a c ) s i n 2 0( 1 3 3 ) 采样过程中，使参考相位总位移量为几个周期，每个周 期采样四幅图，即采样间隔为丌2 。 在进行相位计算时，定义取一组数据计算为一个循环， 存在参考相位位移情况下，参考相位位移可写成 j = 要( f 一1 ) + t 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化硕士学位论文 第一章移相干涉术原理的研究 = 兰( i - 1 ) + 茧( f 一1 ) + 毒2 ( f 一1 ) 2 ( 1 3 4 ) 由四步平均法原理，第一次循环相位为中，第二次循环 错一幅干涉图相位为+ 疋，由此类推，第2 m 次循环的相位 为巾+ d 0 ，则2 m 次循环平均得到相位为中 m = 中+ 二筑 (135)2 m 智 、 式中第二项与光瞳坐标无关，用最小二乘法可以消除， 所以得 碓击f g 糕 ，s ， 匕式就是重叠平均法的原理表达式。 1 4 3 组合法 c j o e n a t h a n 于1 9 9 4 年提出了一种新的位相组合算法。实验 结果表明，用此方法可以进一步减少相位计算误差。它的思路 是将四步平均法和( 1 , 2 ，4 ，5 ) 法结合起来，数学表达式如下： 中= 水增惜埘c 喀措卜口， 嗷描一司 ( 1 3 7 ) 这里，( 1 ，2 , 4 ，5 ) 法指的是取四步平均法中的第1 ，2 ，4 ，5 幅 干涉图样来计算相位，口是比例系数。 1 5 本章小结 本章旨在建立一种有效的位相测量算法。首先，分析了移相 干涉术的基本测量原理，并详细推导了四步法和三步法的原理和 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化硕士学位论文 第一章移相干涉术原理的研究1 4 计算方法。由于四步法是所有移相算法的基础，所以有必要详细 推导。然后，在此基础上逐一分析了c a r r e 法、平均法和组合法 等算法的原理和相位计算误差。所有这些算法都假设移相被理 想地实现，通过平均、组合等方法，它们对消除移相器的线 性误差是有效的，但无法消除实际测量中移相器的非线性误 差。 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化 硕士学位论文 第二章移相干涉术中移相器误差的消除1 5 第二章移相干涉术中移相器误差的消除 上一章已指出，在实际测量中，移相器显示了相当大的 非线性误差以及由温度和振动引起的随机误差。为了实现高 精度测量，必须从硬件和软件上对实际相移进行校正。本章 在参考国外文献的基础上，分析从软件上消除移相器的非线 性误差。 2 1 傅立叶变换移相法 关于相位分析的方法有三种，一种叫p h a s e s t e p p i n g 方 法，通常所说的四步法、三步法等就屑这种方法，一种叫傅 立叶变换莫尔( m o i r e ) 栅格法( f t p ，f t m 或f t m g m ) ，另一种 称为特征提取移相法( p s m e c ) ，它是通过探测当相位变化为 2n 时的条纹上各像素点的最大亮度来分析相位。但是，当图 象输入设备是非线性，或图象有噪声或移相误差时，步进移 相法( p s m ) 的精度不高，在f t m g m 中，若图象在像的两边缘 处不连续，则结果在此边缘处有误差。p s m e c 不需要复杂的 处理过程，而p s m 和f t m g m 的过程很复杂，且p s m e c 不要求 图象输入设备是线性的，但此方法对噪声，比如随机噪声和 移相误差，比傅立叶变换法更敏感，为了更精确地分析相位 分布，本文提出了一种用三维图处理来分析位相的新方法。 一个三维( x ，y ，n ) 图像是由许多连续有序的移相二维图象 组成的，这里。是相移值。对这个三维图象进行n 方向的傅 立叶变换处理可得到位相分布。如果实验在没有任何误差的 条件下进行，光谱将只有+ 1 ，一1 ，0 级成分，若存在其他级 次成分，则表明有误差。若提取频率为+ 1 的成分，则此分量 给出了精确的位相信息，而将噪声剔除。我们称此方法为傅 立叶变换移相法( p s m f t ) 。下面进一步解释p s m f t 方法的 原理。 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化硕士学位论文 第二章移相干涉术中移相器误差的消除1 6 2 1 1 傅立叶变换移相法的原理 由式( 1 1 ) 变形，令a ( x ，y ) = 1 。( x ，y ) 、b ( x ，y ) = l a ( x ，y ) 、 口= 5 ，移相干涉得到的条纹图亮度分布也可表示如下： f ( x ，y ) = a ( x ，y ) c o s 【m ( x ，y ) 一口j + 6 ( x ，y ) ( 2 1 ) 式中a ( x ，y ) 是亮度的振幅，b ( x ，y ) 是平均亮度，o ( x ，y ) 是 位相分布函数，口是位相移动值，如图2 1 所示，记录口以 相等间隔从0 变 化到2n 的每个 二维图象，三维 图象由这些有序 的二维图象构 成。可以看出， 这三维图象x _ y a 面上同一像素点a = o 处a 方向的亮度 分布是一个余弦 形式的周期函 这里 厂( 口) = c 。e x p ( j n w o a ) ( 2 2 ) 印；慝t 他) c x p ( - j n w o g ( 2 t3 ) 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化硕士学位论文 第二章移相干涉术中移相器误差的消除 j 是虚数单位，w 0 ( = 1 ) 是基频，式( 2 2 ) 的口方向的傅 立叶变换是 f ( w ) = r 厂( 口) e x p ( 一j w a w = e ”c 。c e x p ( j n w o a ) e x p ( 一一a = 2 n c 。5 ( w - w o n ) ( 2 4 ) 这里w 是频率，占是占函数。如果移相被理想地实现，而 且三维图象数据没有噪声，则式( 2 4 ) 表示的频谱仅出现 w = + l ，一1 ，0 级。将式( 2 1 ) 和( 2 3 ) 代入式( 2 4 ) ， 取w = l ，仃= i ，2 n c 得： f ( w o ) = 警臣t 厂( 咖x p ( 一风口 2 k c 。s ( 一口) + 6 】e x p ( - j a ) d a = x a e x p ( 一，) ( 2 5 ) 这说明位相值中能通过计算f ( w o ) 的实、虚部系数之比的 反正切函数求出 一嘴 删) e ， 这种方法中，因为仅仅提取频率为1 的谐波，移相误差 和别的实验噪声( 在别的频率成分出现) 被消除了。因此它 比p s m e c 方法对噪声更不敏感的。 2 1 2 模拟结果 图2 2 所示是变形前后一系列移相干涉条纹图样。变形 前的条纹代表光学系统和样品的原始形变，移相步长是 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化 硕士学位论文 第二章移相干涉术中移相器误差的消除1 8 7 1 5 。三维图包含 3 0 幅二维移相图。 对口方向进行混合径 向快速傅立叶变换 ( m r f f t ) 后，如图 2 3 所示，得到形变 后的傅氏频谱( 只 画出了3 0 幅中的5 幅) 。亮度代表了像 素点处频率的实 部，图中除频率为 + l 、0 、一l 以外的部 分，亮度较低，是 误差成分。将频率 ( 6 ) 变形后 为+ l 的部分提取出 图2 2 三维移相干涉条纹图样： 来，计算出每点的位相值，得到位相分布如图2 4 _ l j r r 示。消 除图2 4 中位相的2 石跃变，利用形变前后的位相差就可以得 到位相分布。图2 5 是用p s m e c 法模拟得到的位相分布，图 2 6 是沿x 轴中心线的位移曲线，其中的理论曲线用来作比 较。 模拟结果说明，在整个干涉场中，由p s m f t 法可得到更 光滑，更清晰的位相分布和位移分布，它对噪声比p s m e c 更不敏感。 图2 3 变形后的傅立叶频谱 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化 硕士学位论文 鲨坚三一苎三蔓望塑王鲨查! 整塑堡堡薹箜塑堕 ! ! 图2 5 用p s m e c 方法得到的位相分布 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化 硕士学位论文 第二章移相干涉术中移相器误差的消除2 0 位移( 册) 图2 6 沿x 方向中心线的位移曲线 2 2 迭代最, j 、- - 乘拟合移相法 本节提出了一种新的移相干涉术数字位相测量算法，它 将参考位相的实际值和波前位相一起看作未知量，利用空域 和时域上的迭代最小二乘配置来最终确定它们的确切值，以 便同时使测量和随机误差达到最小。这种算法比以往的所有 算法都更一般。 2 2 1 算法原理描述 2 2 1 1 移相干涉术 由式( 1 1 ) 变形，移相干涉术中，第i 个探测器上的光 强可表示如下： ，= a j 2 + b ) 2 a 。b ，c o s 庐, ( 2 7 ) 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化硕士学位论文 第二章移相干涉术中移相器误差的消除2 1 这里4 和骂是被测光束和参考光束的波前振幅，以是被 测光束的波前位相，破是被测量。由于有多个未知量( a ，b j ) ， 所以需要多幅干涉图来求解。第i 个探测器上第j 幅干涉图 的光强可表示如下： i v = d 。 i + y 。s i n c ( a 2 ) c o s ( c , 一8 j ) ( 2 8 ) 上式中，万，( _ ，= 1 ，2 砖a ，m ，占。= 0 ) 表示移相值，表示相 邻两次移相值的差，= t t 在连续移相模式中，a = 0 。 令k = d ， s i n c ( a 2 ) ，上式可改写成： ，口= d + kc o s ( # ，一t ) ( 2 9 ) 为了消去口( 因为它对下面的分析没有影响) ，可定义光 强差： = ，f 一。l ( 2 1 0 ) 将式( 2 9 ) 代入式( 2 1 0 ) ，注意到4 = 0 ，可表示 如下： 妒口= _ c o s ( c , 一吒) 一kc o s ( c , 一0 ) ( 2 1 1 ) 运用三角公式，上式可化成： = q ( c o s g j 一1 ) + s s i n g j ( 2 1 2 ) 其中， c ，= kc o s ，s ，；巧s i n ，。因此，只要从干涉 图中确定了c j 和s ，则就可以由下式求出： 纷t 柚1 嚣c o s ) - t a n 气苦) ( 2 1 3 ) 口o 2 2 1 2 波前位相的确定 现在的问题就是从多幅不同位相处的干涉图中求出c 和 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化 硕士学位论文 第二章移相干涉术中移相器误差的消除 s ，从而确定谚。令吼是吼的测量值，则误差e 可表示为 e ，= ( 实际上，e 表示第i 个探测器次连续移相的单个误差 和，将( 2 1 2 ) 式代入( 2 1 4 ) 式得： 得 e ，：妻【c ，( c 。s 万，一1 ) + s is i n t 一瓦f ( 2 1 5 ) = l 因此，e 和s 。的值应使巨取最小，即 一o e i ：堡：o ( 2 1 6 ) a c ，瓠。 将( 2 1 5 ) 式代入( 2 1 6 ) 式，化简变形得矩阵方程 刚纠 其中，口= ( c o s 8 - 1 ) 2 c = s i n2 占 q = s i n 6 ， ( 2 1 7 ) m b = s i n 6 j ( c o s 6 j - 1 ) j ；l d ，= ( c o s 艿，- i ) 然后，将从式( 2 1 7 ) 中求得的c f 、s 的值代入式( 2 1 3 ) 纠a n 弋分t a n 弋毯) ( 21 8 ) 应该指出的是，式( 2 1 7 ) 的解对q 的任意组合都是有 效的，即这种方法对移相没有次数和空间上的限制。 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化硕士学位论文 第二章移相干涉术中移相器误差的消除 2 2 1 3 相移的确定 为了用式( 2 1 7 ) 确定c l 和s ，必须知道移相的确切值。 可以假定，对一给定的干涉图，所有探测器的移相值t 是相 等的。因此，可通过使误差e j 最小来确定，e j 的表达式如 下： h e ，= ( 一) 2 f - l n = ( c o s 8 j c ，+ s i n ，s ，一c ，一) 2 ( 2 1 9 ) 这里， 是构造一幅干涉图的探测器总数。实际上，e ， 表示第_ ，幅干涉图的测量误差总和。由e j 的表达式可得下面 两方程： 旦：l ：o( 2 2 0 ) 一= i j、u ， a ( c o s 占，) 0 ( s i n g ，) 将式( 2 1 9 ) 代入式( 2 2 0 ) ，计算与c o s 6 ，、s i n , ；有关 的偏微分得下面线性矩阵方程： 酬g 一 c o 。s 订j j 嘲 弦z ， 这里，f = c ，2 h = s 2 r ，= 瓦s ，+ s ，c ， l = ii = i 最后，的确切值可由下式得到 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化 g = c ，s s ，：窆丽+ 竞c 1 2 硕士学位论文 第二章移相干涉术中移相器误差的消除2 4 铲盯1 c 器，一弋畿， 弦z z ， 2 2 1 4 数字迭代 由上述讨论可知，为最终确定谚的解需要进行两次最小二 乘配置，一次对c i 和s 。，一次对6 ，具体来说，前者是在时 域上作最小二乘配置，后者是在空域上作最小二乘配置。实 际上，这两个配置是相互关联的，计算c j 和墨需要知道j ， 同样，计算占，需要知道c 和s ，。因此，两个配置应同时进行， 直到获得数字收敛为止。 令下标k 表示迭代次数，即k = o ，1 ；蚺k ，则必要的数字处 理步骤可概括如下： 第一步：设6 7 的初始值： 第二步：将占；代入式( 2 1 1 ) 计算c 和群，即进行时域 上的最小二乘配置； 第三步：用上一步求得的口和钟代入式( 2 1 6 ) 求出 巧? “，即进行空域上的最小二乘配置； 第四步：用l 劈“一彰i k 检查彰“的收敛性，其中k 是预 先设定的小常数。如果收敛不满足，令k 加1 ，回到第二步： 第五步：最终，用占：“确定c j “和邵“，然后用式( 2 1 8 ) 计算位相，。 通过上述步骤计算出来的6 ，的解有可能不是它的真实 解。因为 一s js i n ( 一d ：) = s js i n ( 6 ：) 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化 硕士学位论文 9 9 91 2 第二章移相干涉术中移相器误差的消除2 5 所以当 c ；，s - 巧 满足条件时，口，一s ? ，一砖 也满足。因此， 限制占，在实际移相时是全正或全负是必要的，以便最后的数 字解能简单地通过核对它们的符号来验证。 而且，探测器总数n 和移相次数m 应满足下式： n m 3 n + m l( 2 2 3 ) 因为，此时共有n ( m 一1 ) 个数据点，而未知量的个数有 2 n + m 一1 个。 上面的不等式条件导出两个独立但与r t 和m 有关的条件： n 1 + 三和m 3 4 三 ( 2 2 4 ) m 一3月一l 所以，有n 3 和m 5 。 ( 2 2 5 ) 2 2 2 模拟结果 上述算法在计算机上进行了模拟，图2 7 所示为测试结果 在模拟中，假定被测面波前位相庐= 2 n i n 。为进行连续最小 二乘配置，作了五次相等移相，即m = 5 ，那么实际移相值为 0 ，0 4 石，0 8 玎，1 2 石和1 6 万，则测量值钆可以将给定的 谚和妒，代入( 5 ) 式求得，为了进行数字迭代，令移相初始值 为0 ，0 2 8 ，r ，0 6 8 7 r ，1 0 8 ，r ，1 4 8 7 r ，设有三个探测器，即 阼= 3 。图2 7 ( a ) 的模拟结果表明万，很好地收敛了它的真实 值。假定的被测波面被理想地重构了，测量精度仅决定于计 算机的截断误差。 我们还进行了另一种模拟来验证式( 2 2 5 ) 所示的条件。 模拟过程同上，但对”和m 设了两个值：疗= 2 和m = 5 ：n ：3 和聊= 4 。结果如图2 8 所示，两种情况下都没有获得满足。 我们还进行了更深一步的模拟，观察月和m 值的选取对迭 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化 硕士学位论文 第二章移相干涉术中移相器误差的消除2 6 o8 波前位相西 ( a ) 2 45 04 0 迭代次数k 02 04 06 0 ( b ) b o1 0 0 探测器个数，i 图2 7 模拟测试结果：( a ) 是移相值的迭代路径：( b ) 是重构波面的轮廓 代结果的影响，图2 9 所示为当m 取不同值时，迭代次数的 变化。取脚在5 到3 0 内变化。当m 增大时，迭代次数减少。 然而，每次迭代的计算时间增加了，因此，综合考虑，取 5 蔓l o 比较合适。图2 1 0 表示了n 值对占，的计算 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化硕士学位论文 9 9 91 2 第二章移相干涉术中移相器误差的消除2 7 081 62 计算的移相值( ) “ 4 0 迭代次数t 实际移相值 ，7 一- e - a v f r o n l - p h c s e u s e d i n t t s i m u l a l i o n ：007 n1 4 ：0 o c l u a l p h a s e s h i f t s ： ：d i + 0 05 0 n 1 5 ： 0i n i t l a i p h a s e - s h i f t s ： ：6 ；：0 o j 汛o i s i j s t i 0b ( 6 ) 2 4 3 00 迭代次数七 图2 8 移相值计算的迭代路径： ( a ) h = 2 ，m = 5 ( 影+ 西) ；( b ) 一= 3 ，珊= 4 ( 彰+ 譬) 精度的影响。实际上，用来获取干涉图的探测器数目至少需 几百个，但在计算占时不需要选那么多，模拟表明n 取1 5 到 2 0 时，程序运行速度最快。 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化硕士学位论文 第二章移相干涉术中移相器误差的消除 移相次数m o6 121 82 45 0 探测器个数n 图2l o 移相值的计算误差与探测器个数的关系 值得指出的是这种算法有效地消除压电陶瓷移相器的滞 后误差。图2 1 1 愀) 表示了有4 非线形度的滞后曲线。如 果假定此移相器为线性，用来驱动移相，则会带来误差。图 2 12 脚) 表示了当用一般的四步平均算法测试波面，没有 移相干涉术原理的研究及其算法的工程化硕士学位论文 第二章移相干涉术中移相器误差的消除 o ( 口) 6 02 0 0 探测器个数n 图2 1 2 移相误差的消除：0 ) 模拟的理想面形轮廓( 6 ) 测量误差 进行误差校正时测量误差最