（应用数学专业论文）微分算子实参数平方可积解的个数与谱的定性分析.pdf

h a ox i a o l i n g s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rs u nj i o n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c ss c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y , h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 ，p r c h i n a o c t o b e r ，2 0 1 0 ? 原创性声明 本人声明：所里交的学位论文是本人在导卿的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引j ： ：j 的内容外，论文中彳i 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包禽为获得古墓直太堂及其他教育机构的学位或证书丽使用过的材料。与我一同工作的同 惑对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 、 学衄论文作者签名：亟之盛翌垒指导教蜥签名：s 芝：! ：垄! ! 1 1 3 期：趔q ：也生 e j 期：趁! 垒：1 2 ：圣 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使崩学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内客或部分保留并p i l a f 家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索。也可以采用影印、维印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古人学。作者今后 使j h j 涉及在学期闻主要研究内容或研究成果，须征得内蒙占人学就读期间导师的同意；若用 于发表 沦文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发袭。 学位论文作者签名：遂之盛窆釜 日 期：盈盘：缝f 笠 指导教师签名：，苎竺量! 竺1 日期：堑坦：s ! ：查 算子实参数平方可积解的个数与谱的定性分析 摘要 本文主要围绕微分方程实参数平方可积解的个数与谱的定性分析之间的 关系开展研究 我们注意到：由于自共轭算子的谱是实的，自共轭线性算子的谱分析与实 参数解形成的零空间有相当紧密的联系同时由于微分方程实参数平方可积 解的个数是由系数决定的，微分算子的本质谱，以及亏指数也只与算子的系数 有关，这三者( 亏指数、微分方程实参数平方可积解的个数、微分算子的本质 谱) 之间应该有密切的联系探讨研究这三者之间的关系是一个十分重要的课 题基于这种考虑，本文采用新的方法，即利用奇异微分方程实参数平方可积 解的个数来定性地研究谱的分布 对于一端奇异的微分算子，著名数学家w e i d m a n n1 9 8 7 年在他的专著 8 6 】 中提出了著名的猜想：对于任意的入icr ，如果微分方程实参数平方可积解 的个数“充分多”，区间，中没有本质谱需要特别注意的是：1 9 9 6 年r e m l i n g 在 【6 2 】中指出了，在凡= 2 且d = l 的情况下，即使对任意的入，cr ，r ( a ) = d ：1 ， ，中也可以有本质谱这个重要的结论说明，仅仅依靠微分方程实参数平方可 积解的个数足够多不足以保证本质谱是空的我们不禁要问，在什么情况下 w e i d m a n n 猜想成立，即若对任意的a ，有r ( a ) = d ，需要附加什么样的条件 来保证，中无本质谱? 。 针对上述问题，本文首先对一端奇异微分算子的自共轭域给出一个全新描 述，分析了分离边界条件与其它边界条件的关系，并在此基础上通过正则算子 逼近，证明了如果对于任意的a ，微分方程有d 个平方可积解，那么对于任 何一个由微分算式生成的自共轭算子，它的连续谱与，的交集是空的其次我 们给出微分方程的解关于参数a 解析依赖的条件( a ) ( 见定义3 1 2 ) ，并证明在 该条件成立的条件下，中无本质谱，换句话说，在区间，中谱是离散的。这样 我们对w e i d m a n n 在【8 6 】中的猜测给出了一个全面的回答，也就是说在一个区 间上微分方程实参数解平方可积解的个数充分多时，加上解对参数入解析依 赖的条件，微分算子在该区间中的本质谱是空的 接下来我们讨论了两端奇异微分算子实参数平方可积解的个数与谱的分 布之间的关系本文用微分方程实参数解来给出两端奇异的微分算子自共轭 域的完全刻画首先我们给出最大算子域的一个新的分解，其关键点是把两个 奇异端点分离开来加以考虑，利用最大算子域中的分段函数，把微分方程在两 个奇异端点的实参数平方可积解加以联结这种分解使得最大算子域的结构 清晰，方法统一，即一端奇异( 或两端正则) 的微分算子也可使用同样的方法 处理，仅仅是把正则点的亏指数看成n 通过最大算子域的这种新的刻画，我 们运用微分方程的解给出了在奇异点的边界条件和自共轭域的完全刻画 进一步地，我们研究两端奇异时微分方程实参数平方可积解的个数与微分 算子谱的分布之间的关系首先我们证明了对于两端奇异的微分算子，微分方 程实参数平方可积解的个数可以小于等于d ，但是也可以大于d ( 这在一端奇 异的情况下是不可能发生的) 这一结论说明，在研究谱的定性分析时，两端奇 异的情形和一端奇异的情形有本质的不同，两端奇异的情况并不是一端奇异 情形下的简单推广在此基础上我们对于两端奇异的情形运用直和算子的谱 理论，十分简明地解决了w e i d m a n n 在 8 6 】中提出的开放问题，即证明了如果 微分方程实参数平方可积解的个数r ( a ) d ，则入是任意自共轭扩张的特征值，这意味着当 微分方程实参数平方可积解的个数“过于多 时，反而可能会有本质谱这一 结论与一端奇异情形有着本质的不同 微分算子自共轭域的标准型是研究微分算子边界条件对微分算子特征值 分布影响的基础，本文在最后一章分别给出一端奇异的四阶微分算子在d = 4 ( 包括两端正则以及两端奇异的情况) ，d = 3 以及d = 2 时自共轭边界条件的 标准型由于在四阶的情形下，标准型的种类非常多，为看清自共轭边界条件 的基本特征，我们找到一种统一的办法来得到各种具体的标准型，即我们给出 了“基本标准型”的概念，其他标准型可通过对该标准型进行适当的变换得到 关键词：微分算子，自共轭扩张，亏指数，实参数平方可积解，特征值，连续谱， 本质谱，离散谱，标准型 r a m e t e rs q u a r e i n t e g r a b l e s o l u t i o n sa n dt h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i so ft h es p e c t r u m a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h en u m b e ro f r e a l p a r a m e t e rs q u a r e - i n t e g r a b l es o l u t i o n so ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d t h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i so ft h es p e c t r u mo ft h ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s w en o t i c et h a t ，s i n c et h es p e c t r u mo fs e l f - a d j o i n to p e r a t o r si sr e a l ， t h e r ei sac l o s ec o n n e c t i o n sb e t w e e nt h es p e c t r a la n a l y s i so ft h es e l f - a d j o i n t o p e r a t o ra n dt h en u l ls p a c eo ft h er e a l - p a r a m e t e rs q u a r e - i n t e g r a b l es o l u t i o n s a tt h es a m et i m e ，w en o t i c et h a tt h en u m b e ro ft h er e a l p a r a m e t e r s q u a r e - i n t e g r a b l es o l u t i o n si sd e t e r m i n e db yt h ec o e f f i c i e n t so fd i f f e r e n - t i a l e x p r e s s i o n ，t h ee s s e n t i a ls p e c t r u mo ft h ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa n d t h ed e f i c i e n c yi n d i c e sa r ea l s oo n l yr e l a t e dt ot h ec o e f f i c i e n t so fd i f f e r e n - t i a le x p r e s s i o n t h e r es h o u l db ec l o s ec o n n e c t i o na m o n gt h ed e f i c i e n c y i n d i c e s ，t h en u m b e ro ft h er e a l p a r a m e t e rs q u a r e i n t e g r a b l es o l u t i o n sa n d t h ee s s e n t i a l s p e c t r u mo ft h ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s i n v e s t i g a t i n gt h er 昏 l a t i o n s h i pa m o n gt h e mi sai m p o r t a n tp r o b l e m w ea d o p tn e wm e a s u r e s t oq u a l i t a t i v e l ys t u d yt h ed i s t r i b u t i o no fs p e c t r u mi nt e r m so ft h en u m - b e ro fr e a l p a r a m e t e rs q u a r e - i n t e g r a b l es o l u t i o n so ft h e s i n g u l a rd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s f o rd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sw i t ho n es i n g u l a re n d p o i n t ，i n1 9 8 7 ，w e l d m a n ni nh i sb o o k 8 6 r a i s e daf a m o u sc o n j e c t u r e ：“i ff o re v e r y 入ic r ， t h e r ee x i s t s u f f i c i e n tm a n y s q u a r e 卜i n t e g r a b l es o l u t i o n so ft h ed i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s t h e n ，c o n t a i n sn op o i n t so ft h ee s s e n t i a ls p e c t r u m ”w es h o u l d b en o t i c e dt h a t ，i n1 9 9 6 ，r e m l i n g 6 2 h a ss h o w nt h a t ，f o rt h ec a s eo f n = 2 ，d = 1 ，7 ( 入) = d = 1f o ra l lai ns o m eo p e ni n t e r v a li ，i td o e sn o t i m p l yt h a tt h e r ei sn oe s s e n t i a ls p e c t r u mi ni u n d e rw h a tc o n d i t i o n st h e w e i d m a n n sc o n j e c t u r eh o l d s ，i e ，w h a ta d d i t i o n a lc o n d i t i o ng u a r a n t e e s n oe s s e n t i a ls p e c t r u mi ni r ! w ei n v e s t i g a t et h i sp r o b l e m ，a n dg i v ean e wc h a r a c t e r i z a t i o no fs e l f - a d j o i n td o m a i n s f i r s t l y , w ea n a l y z et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es e p a r a t e d b o u n d a r yc o n d i t i o n sa n do t h e rb o u n d a r yc o n d i t i o n s o nt h i sb a s i s ，u s i n g t h ea p p r o a c h i n go fr e g u l a ro p e r a t o ri nt h es e n s eo fs t r o n gr e s o l v e n tc o n v e r g e n c e ，w ep r o v et h a t ，a s s u m et h e r ee x i s t sa no p e ni n t e r v a lio ft h er e a l l i n es u c ht h a tt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sdl i n e a r l yi n d e p e n d e n ts q u a r e - i n t e g r a b l es o l u t i o n sf o re v e r y 入i ，t h e nf o ra n ys e l f - a d j o i n tr e a l i z a t i o n ， t h ei n t e r s e c t i o no fi t sc o n t i n u o u ss p e c t r u ma n dii se m p t y s e c o n d l y , w e g i v ea na s s u m p t i o na b o u tt h ea n a l y t i cd e p e n d e n c eo fs o l u t i o n s o ft h ed i f f e r - e n t i a le q u a t i o n so nt h ep a r a m e t e r 入a n dp r o v et h a ti ft h ea b o v ea s s u m p t i o n h o l d s ，t h e nt h e r ei sn oe s s e n t i a ls p e c t r u mi ni ，i e ，t h es p e c t r u mi sd i s c r e t e i ni o u rr e s u l t sg i v ea nc o m p l e t ea n s w e rt ow e i d m a n n sc o n j e c t u r e 8 6 】： i ft h e r ee x i s t s u f f i c i e n tm a n y r e a l p a r a m e t e rs q u a r e i n t e g r a b l es o l u t i o n so f t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si ns o m eo p e ni n t e r v a l ，a d dt h ea s s u m p t i o na b o u t t h ea n a l y t i cd e p e n d e n c eo ft h es o l u t i o n so nt h ep a r a m e t e r 入，t h e r ei sn o e s s e n t i a ls p e c t r u mi nt h eo p e ni n t e r v a l n e x tw ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h en u m b e ro fr e a l p a r a m e t e rs q u a r e i n t e g r a b l es o l u t i o n so ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht w o s i n g u l a re n d p o i n t sa n dt h ed i s t r i b u t i o no ft h es p e c t r u m w eg i v et h ec o r n p l e t ec h a r a c t e r i z a t i o no fs e l f _ a d j o i n td o m a i n sb yt h er e a l p a r a m e t e rs q u a r e - i n t e g r a b l es o l u t i o n s f i r s t l yw eg i v ean e wd e c o m p o s i t i o no ft h em a x i m a l d o m a i n t h ek e yp o i n ti ss e p a r a t i n gt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n so ft h et w o s i n g u l a re n d p o i n t s ，c o n n e c t i n gr e a l p a r a m e t e rs q u a r e - i n t e g r a b l es o l u t i o n s a tt h et w oe n d p o i n t si nt e r m so ft h ef u n c t i o n si nt h em a x i m a ld o m a i n i t i st h i sr e p r e s e n t a t i o no ft h em a x i m a ld o m a i nw h i c hl e a d st oau n i f o r m l y m e t h o dt os o l v et h ep r o b l e m ，i e ，a sas p e c i a lc a s ew eo b t a i nt h er e p r e - s e n t a t i o no ft h em a x i m a ld o m a i nw h e no n eo rb o t he n d p o i n t sa r er e g u l a r ju s tr e g a r dt h ed e f i c i e n c yi n d e xa tt h er e g u l a re n d p o i n ta sn t h e nw e g i v es e l f - a d j o i n tb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt h ec o m p l e t ec h a r a c t e r i z a t i o no f s e l g a d j o i n td o m a i ni nt e r m so ft h es o l u t i o n so ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n f u r t h e r ，w eg i v et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h en u m b e ro fr e a l - p a r a m e t e r s q u a r e i n t e g r a b l es o l u t i o n so ft h ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sw i t ht w os i n g u l a r e n d p o i n t sa n dd i s t r i b u t i o no ft h es p e c t r u m f i r s t l y , w ep r o v et h a tf o r t h et w os i n g u l a re n d p o i n t sd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ，t h en u m b e ro ft h er e a l p a r a m e t e rs q u a r e - i n t e g r a b l es o l u t i o n si sp o s s i b l el e s st h a nd ，e q u a lt oda n d g r e a t e rt h a nd ( t h i si si m p o s s i b l ef o ro n es i n g u l a re n d p o i n tc a s e ) t h i s i m p l i e st h a tt h e r ei sae s s e n t i a l l yd i f f e r e n c eb e t w e e nt h et w os i n g u l a re n d p o i n t sc a s ea n do n es i n g u l a re n d p o i n tc a s ew h e n w es t u d yt h eq u a l i t a t i v e a n a l y s i so fs p e c t r u m ，a n dt w os i n g u l a re n d p o i n t sc a s ei sn o tas i m p l ee x - v t e n s i o no fo n es i n g u l a re n d p o i n tc a s e w eg i v eac o n c i s ep r o o fa b o u tt h e o p e np r o b l e mr a i s e db yw e i d m a n n ( s e e 8 6 ) ，i e ，w ep r o v et h a ti ft h eh u m b e ro ft h er e a l p a r a m e t e rs q u a r e - i n t e g r a b l es o l u t i o n sr ( 入) d ，t h e nai sa n e i g e n v a l u ef o rs e l f - a d j o i n to p e r a t o rr e a l i z a t i o n s ，i ti m p l i e st h a tw h e nt h e n u m b e ro ft h er e a l p a r a m e t e rs q u a r e - i n t e g r a b l es o l u t i o n si s “t o om a n y ， t h e r em a yb ee s s e n t i a ls p e c t r u mi ni t h i sr e s u l ti sc o m p l e t e l yd i f f e r e n t f r o mt h eo n es i n g u l a re n d p o i n tc a s e t h ec a n o n i c a lf o r m so ft h es e l f - a d jo i n tb o u n d a r yc o n d i t i o n so ft h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si st h eb a s i so fi n v e s t i g a t i n gt h ee f f e c t so ft h eb o u n d a r y c o n d i t i o n so fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r so nt h ed i s t r i b u t i o no fe i g e n v a l u e so f d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s w 色g i v et h ec a n o n i c a lf o r m so ff o u ro r d e rd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r sf o rd = 4 ( i tc o n t a i n st h ec a s e so ft w or e g u l a re n d p o i n t sa n d t w o s i n g u l a re n d p o i n t s ) d = 3a n dd = 2 a s t h e r ea r es om a n yc a n o n i c a lf o r m s u n d e rt h ef o u ro r d e rc & q e w ef i n dau n i f o r mw a vt oo b t a i nt h ec a n o n i c a l f o r m s ，i e ，w eg i v ea “f u n d a m e n t a lc a n o n i c a lf o r m ”，o t h e rc a n o n i c a lf o r m s c a nb eo b t a i n e db vt h e “f u n d a m e n t a lc a n o n i c a lf o r m ” k e y w o r d s ：d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ，s e l f - a d j o i n te x t e n s i o n ，d e f i c i e n c y i n d e x ，r e a l p a r a m e t e rs q u a r e i n t e g r a b l es o l u t i o n s ，e i g e n v a l u e ，c o n t i n u o u s s p e c t r u m ，e s s e n t i a ls p e c t r u m ，d i s c r e t es p e c t r u m ，c a n o n i c a lf o r m 中文摘要 英文摘要 目录 第一章绪论 1 1 微分算子谱的定性分析 1 2 微分算子自共轭扩张理沦 1 3 微分算子自共轭边界条件的标准型 1 4 本文的结构和主要结果。 第二章相关符号，概念以及性质 2 1 基本概念及性质 2 2 对称拟微分算式 第三章 一端奇异微分算子实参数解的个数与谱的定性分析 3 1 预备知识以及主要结论 3 2 实参数平方可积解的个数与连续谱的关系 3 3 特征值无聚点的条件 3 4s t u r m - l i o u v i u e 方程 3 5 四阶情形： 第四章 4 1 4 2 4 3 由实参数解刻画的两端奇异微分算子的自共轭扩张 预备知识 l c 解以及最大算子域的分解。 自共轭域的完全刻画 第五章两端奇异微分算子实参数解的个数与谱的定性分析 i = 1 1 6 8 9 2 2 5 8 8 2 5 7 o 3 3 6 8 6 董 1 1 1 1 l 2 3 3 4 垂 4 4 4 副 5 1 实参数平方可积解的个数5 6 5 2 实参数平方可积解的个数与谱分布的关系6 0 5 3 例子6 4 第六章四阶奇异微分算子自共轭边界条件的标准型 6 7 6 1 预备知识6 7 6 2d = 4 时微分方程自共轭边界条件的耦合标准型7 0 6 3d = 4 时微分方程自共轭边界条件的严格分离标准型7 8 6 4d = 4 时微分方程自共轭边界条件的混合标准型8 1 6 5d = 3 以及d = 2 时微分方程自共轭边界条件的标准型9 5 总结与展望 参考文献 主要符号表 致谢 攻读学位期间已完成的学术论文 3 5 3 4 5 0 0 1 1 11工1上1上1工1工 1 1微分算子谱的定性分析 ，是2 0 世纪迅速 算子代数、半群 供了统一的理论 的谱理论为量子 可积解的个数与 无论从理论还是应用上考虑，微分算子都是算子理论中的一个重要部分而微分算 子理论中的基础问题之一就是微分算子的谱理论，即微分算子谱的定性分析、渐近估计、 按特征函数展开以及反问题等由于微分算子的谱理论与应用联系密切，特别是奇异微 分算子谱分析是解决许多量子力学问题的数学工具，因此受到数学、物理工作者的广泛 关注 关于奇异微分算子谱的定性分析，经典的研究工作大体从两个途径入手：一是分析的 途径，另一个是算子的途径这两种方法可追溯到在有限区间上s t u r m l i o u v i l l e 问题的 研究：即l i o u v i l l e 的渐近 5 i t 方法和c o u r a n t 的变分方法 所谓分析方法，是根据解析函数的理论分析预解式、g r e e n 函数和微分方程解的渐近 性质来判断微分算子谱的性质这方面的工作以t i t c h m a r s h 学派为代表在t i t c h m a r s h 和l e v i t a i n 的经典著作中( ( 5 2 】，【7 7 1 ) ，我们可以看到，在潜的定性分析中这种“硬方法” 表现出高度的技巧性和工作的艰巨性另外即使对于高阶的微分算子，分析的方法在一 定程度上仍然可以奏效，但是系数一般要附加可积的条件 用算子理沦处理微分算子谱的定性分析，是近几十年来广泛采用的方法在i m g l a z m a n ，d e e d m u n d s 和w d e v a n s ，e m m l e r p f e i f f e r 关于微分算子谱分析的专 著里使用的都是线性算子的方法( 1 6 1 ，【4 0 1 ，【5 3 1 ，【5 9 】) 这种方法的理论基础是h i l b e r t 空间中闭线性算子的谱理论和关于全连续摄动的h w e y l 理论( 3 3 1 ) ，其出发点有两个， 一是分解的方法，另一个是- 二次型比较的方法，这些为人熟知的方法是近几十年来由r 1 1 1 微分算子谱的定性分析 c o u r a n t ，f r e l l i c h ，k o f r i e d r i c h s ，i m g l a z m a n 创立并在以后逐步完善起来的 近些年来，国内外许多数学工作者从不同角度，利用分析、算子及嵌入数估计等方法 对微分算子的谱问题进行了大量研究，取得了许多重要成果，如w e i d m a n n ( 【8 5 】，【8 6 】) ， s t o l z ( 7 6 ) ，h i n t o n ( 4 3 一 4 6 1 ) ，k a u f f m a n ( 4 8 ，【4 9 】) ，孙炯与d e e d m u n d s ，e m u l l e r - p f e i f f e r 合作的( 【1 7 】- 2 0 】，【5 4 ) 及文( 【l 】， 6 3 ，【6 4 】) 等( 以上综述部分的材料来源于文献 【1 4 j ，【7 2 】) 我们注意到：线性算子谱点的定义及其分类与线性算子的零空间( t a ) 和值域 r ( t 一入) 的性质密切相关由于自共轭算子的谱是实的，自共轭线性算子的谱分析与实 参数解形成的零空间有相当紧密的联系同时由于微分方程实参数平方可积解的个数是 由系数决定的，微分算r 的本质谱( 包括谱的连续部分) 与算子的边界条什无关，即只与 微分算式的系数有关，微分算子的亏指数( 复参数甲方可积解的个数) 也只与算子的系数 有关，这三者( 亏指数、微分方程实参数平方可积解的个数、微分算子的本质谱) 之间应 该有密切的联系探讨研究这三者之间的关系是一个十分重要的课题近十年来内蒙古大 学微分算子讨论班在国际著名数学家工作的基础上，就这一问题作了不间断的研究，本文 在文f 7 3 】、 8 1 1 的基础上进一步深入开展研究，即由微分方程实参数平方可积解的个数来 研究奇异微分算子谱的分布特征，是否有连续谱，谱是否离散鉴于计算机技术的飞速发 展，通过数值方法判断微分方程m y = a w y ，入icr 的线性无关解中有多少个是平方 可积的，将逐渐成为可能，我们希望通过微分方程实参数平方可积解的个数给出谱的定性 分析这种方法，可以成为研究微分算子谱的定性分析的一种全新的探索 关于微分方程实参数平方可积解的个数和谱的关系，1 9 8 7 年，w e i d m a n n 在其专著 “s p e c t r a lt h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ”f 8 6 1 中对于扎= 2 k 的情况，在最小亏 指数( d = k ) 的情况下证明了：如果对于任意的入i ( 其中icr 是开区间) ，微分方程 m y = 入训可的平方可积解的个数r ( 入) = d ，则微分算子的连续谱在，中是空的，特征值在 j 中无处稠密( 对于佗= 2 的情况，1 9 4 9 年h a r t m a n 和w i n t e r 在文【4 2 】就证明了相同的 结果) 于是w e i d m a n n 在 8 6 j 中提出了著名的猜想：“若对于任意a i = l ，肛2 ) cr ， 方程m y = a w y 有充分多的属于l 2 空间的解，则开区间，中没有本质谱”换言之，就 是他猜测：在一个实数区间上微分方程实参数平方可积解的个数很多时，在这个区间上 就没有本质谱我们将沿着这个主线开展我们的研究 为了便于讨论，我们将与该猜想相关结论表述如下： 2 第一章绪论 的情形下，亏指数为d = 扎= 2 k ，此时对于任何入酞，m y = a w y 的线 性无关实参数平方可积解的个数等于n ，并且由m 生成的自共轭微分算子的谱是离散的 ( 【5 9 】) ； i i 对于一端奇异的微分算子，则在极限点的情形下，即亏指数为d = 导= k 时自共 轭算子可以有连续谱，相关结论有： ( i ) 对丁二a r ，如果方程m y = a w y 的实参数平方可积解的个数r ( 入) d = k ，则 入属于微分算子的本质谱( 8 6 d 特别地，p h a r t m a n ，a w i n t e r 4 1 】证明了：对于经典 的二阶s t u r m l i o u v i l l e 算式，若入r ，方程m y = a w y 没有平方可积解，则入属于m 生成的任意自共轭算子的本质谱： ( i i ) w e i d m a n n 【8 6 】证明了若对任何的a i = ( 肛1 ，p 2 ) cr ，n = 2 k 阶的微分方 程m y = a w y 的实参数平方可积解的个数r ( a ) = d = k ( 其中d 是微分算子的亏指数， d = k 意味着这是最小亏指数的情况) ，则m 的任意自共轭扩张在i 又：间，中没有连续谱， 且特征值在j 中是无处稠密的 ( i i i ) 我们特别注意到：r e m l i n g 在 6 2 】p 2 0 9 8 页定理3 中指出，在礼= 2 的情况下， 设，是一个有限的开区间，i oci = ( 肛1 ，肛2 ) 是一个闭的无处稠密集，那么存在一个微分 算子m y = 一旷+ g ( z ) ，使得吼ni = i o ，并且对任意的a i = ( p l ，化) ，r ( 入) = d = 1 ， 即：虽然在j 中微分方程的实参数平方可积解的个数等于亏指数( r ( a ) = d = 1 ) ，但是在 ，中可以有本质谱，这意味着如果不附加其它条件，i i ( i i ) 中的结沦是不能改善的这个重 要的事实说明，仅仅依靠微分方程实参数平方可积解的个数“足够多 不足以保证本质谱 是空的，要研究附加什么条件才能使本质谱是空的，或者说谱是离散的这也是本文要研 究考虑的问题之一 i i i 对于一端奇异的微分算子，在中间亏指数的情形下：此时k d n ，相关结论 有： ( i ) 如果对于a r ，方程m y = a w y 的实参数平方町积解的个数r ( a ) d ，则a 属 于本质谱( 1 5 1 ) ； ( i i ) 如果对于任何的a i = ( p 1 ，舰) c 酞，方程m y = a w y 的实参数平方可积解的 个数等于亏指数d ，则存在m 的一个自共轭扩张，在j 中没有连续谱，并且对于m 的任 意自共轭扩张，特征值在，中无处稠密( 7 3 】) ； i v 对于两端奇异的微分算子，相关结论有： 3 1 1 微分算子谱的定性分析 ( i ) 如果对于a r ，方程