（机械电子工程专业论文）基于labview的球杆系统建模、仿真及实验研究.pdf

摘要 球杆系统是一个典型的非线性开环不稳定系统，广泛用于自动控 制原理的教学和实验研究，对设计新的控制方法，验证控制方法的稳 定性、快速性、精确性有重要的意义。本文通过动力学分析和程序设 计建立了基于l a b v i e w 的球杆系统的数字仿真模型，为研究球杆系统 的动态过程提供了有力的数学工具。主要完成的工作如下： 1 本文通过矢量分析法、动量矩定理等方法进行建模，建立球杆 系统的数学模型，包括了四杆机构的运动学和动力学模型， 考虑了小球的惯性力及其对系统的影响。 2 在l a b v i e w 环境下完成了球杆系统的数字仿真程序设计。通 过数学计算，动态地求出了球杆系统微分方程组的系数，微分 方程组是变系数、非线性的，通过多重循环结构实现了动态 仿真。 3 将s o lid w o r k s 三维模型导入l a b v i e w ，完成了球杆系统运动 过程的三维可视化。 4 实现了基于n i - c r i o 的球杆控制系统，小球的位置信号存在 很大的干扰，设计了卡尔曼滤波算法进行滤波，采用三闭环 p i d 控制结构实现了小球的实时控制。 5 该控制系统也作为球杆系统的实验测试平台，将实验数据和 仿真数据进行了对比，非常吻合，证明了所建立的数学模型 是正确的。 关键词：球杆系统，三维可视化，数字仿真，l a b v i e w ，卡尔曼滤波 a bs t r a c t b a l ia n db e a ms y s t e mi sat y p i c a ln o n l i n e a ra n du n s t a b l e s y s t e m ；i ti sw i d e l yu s e di na u t o m a t i cc o n t r o lt h e o r yt e a c h i n g a n de x p e r i m e n t a ls t u d y i ti sv e r yi m p o r t a n tf o rd e s i g n i n gn e w c o n t r o lm e t h o da n dv e r i f y i n gi t s r a p i d i t ya n ds t a b i l i t ya n d a c c u r a c y i nt h i sp a p e r ，t h ed i g i t a ls i m u l a t i o nm o d e lo ft h eb a l l a n db e a ms y s t e mb a s e do nl a b v i e wise s t a b lis h e d b yd y n a m i c a n a l y s i sa n dp r o g r a m m i n g i tp r o v i d e sp o w e r f u lm a t h e m a t i c a l t o o lf o rs t u d y i n gt h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h eb a l la n d b e a ms y s t e m m a i nw o r ki sd o n ea sb e l o w ： 1 t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h eb a l la n db e a ms y s t e mi s e s t a b lis h e db yv e c t o ra n a l y sisa n dt h e o r e mo fm o m e n to fm o m e n t u m i ti n c l u d e sk i n e m a t i c sm o d e la n dd y n a m i cm o d e lo ff o u r - b a r 1 i n k a g e t h ei n e r t i af o r c eo ft h eb a l la n di t si n f l u e n c et o s y s t e ma r ec o n si d e r e d 2 t h ep a p e rd e s i g n st h ed i g i t a ls i m u l a t i o np r o g r a mo ft h e s y s t e mb yl a b v i e w t h ec o e f f i c i e n t so ft h eb a lla n db e a m d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eo b t a i n e db ym a t h e m a t i c a lo p e r a t i o n d y n a m i c a l l y t h em o d e li sn o n li n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s y s t e mw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s ：t h es i m u l a t i o ni sr e a l i z e d b ym u l t i p l el o o ps t r u c t u r ed y n a m i c a l l y 3 t h ep a p e rc o m p l e t e st h ev i s u a l i z a t i o no fm o t i o np r o c e s s b yc o n v e r t i n gs o l i d w o r k s3 dm o d e lt ol a b v i e w 4 t h ec o n t r o ls y s t e mb a s e do nn i c r i oisr e a liz e d ：t h e i n t e r f e r e n c eo fb a l lp o s i t i o ns i g n a li sl a r g e ，a n dt h ep a p e r d e s i g n st h ek a l m a nf i l t e r t h ec o n t r o li sw e l l d o n eb y t h r e e l o o pp i dc o n t r 0 1 5 t h ec o n t r o ls y s t e mi su s e da st h eb a l la n db e a ms y s t e m m e a s u r e m e n ta n dc o n t r o le x p e r i m e n t a lp l a t f o r m t h er e s u l to f si m u l a ti o na n de x p e r i m e n tisc o m p a r e di nt h ep a p e r ，t h e ym a t c h v e r yw e l l k e yw o r d s ：b a l la n db e a ms y s t e m ，3 dv i s u a l i z a t i o n ，d i g i t a l i l s i m u l a t i o n ，l a b v i e w ，k a l m a nf i l t e r m 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：继日期：邋年监月量日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容， 可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科学技 术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 剔船 l 硕士学位论女 第章绪论 第一章绪论 1 1 课题的背景和研究意义 111 球杆系统 球杆系统也叫做“在横杆上平衡小球”的系统，是自动控制理论等课程教 学的实验设备，是典型的非线性不稳定系统。在实际工程应用中，它和航天飞机 着陆过程或在狂暴的气流中飞行的水平稳定性的控制非常相似。球杆系统的控制 是一个经典的控制问题，对于它的研究已经有很多年了，专家们提出了很多控制 方法，球杆系统有两个自由度：横杆的倾角、小球在横杆上的位置，经典的控制 方法是采用双闭环p i d 控制器来控制。 盛：。i 国卜l 球杆系统机构外形 球杆系统的机械结构多种多样，很多学者对机械结构的进行了设计，本文所 研究的球杆系统机构外形如图i - 1 所示，包括基座、小球、横杆、主动轮、从动 轮、皮带等。主动轮用直流电动机来带动，主动轮通过皮带带动从动轮转动，从 动轮通过连杆带动横杆绕0 点转动，横杆的倾角和主动轮的转角有关，小球可以 在横杆上自由滚动。当横杆处于水平位置、小球的速度为零时，小球会停止在初 始位置，但当小球或横杆受到扰动时，小球就不能再稳定在初始位置，通过控制 可以使小球回到初始位置并保持稳定；也可以通过控制使小球稳定在给定位置。 本文中的实验装置见图1 2 ，图中包括直流电源、n i c r j o 控制器和球杆系统。 硕士学位论文第章绪论 图卜2 球杆系统实验装置 球杆系统的电机转角和小球位置的反馈信号用增量式编码器、线性电阻传感 器来测量。直流伺服电机带有增量式编码器，可以检测电机的实际转角；，在横杆 上的凹槽内，有一线性电阻传感器用于检测小球的实际位置；电机转角和小球位 置信号都被传送给控制系统，构成一个闭环反馈系统，控制小球的稳定。对于一 个确定的球杆系统，研究的目的是设计一个控制器，通过控制使小球能够稳定 在横杆的任一位置。经典的控制是采用两个闭环控制系统，内环控制器控制电机 的转角，外环控制器控制小球的位置。内环相当于一个二阶积分环节，外环控制 器必须能够使其稳定。 11 2 课题的背景和研究意义 球杆系统在自动控制原理等课程中有广泛的应用，自动控制理论是研究自动 控制共同规律的- - i 3 学科，它包括工程控制论、生物控制论、经济控制论和社会 控制论，机械专业的机械自动控制课程主要研究工程领域的自动控制。学过自动 控制理论的都知道，只学习书本上的空洞的理论知识，不仅提不起学习的兴趣， 还会减弱对自动控制理论的深刻理解和成就感。通过实际的控制实验，自己动手 设计一个控制器，来达到一个很好的控制效果，在教学中叫做实验教学，它是一 个很重要的环节。 而由于各种条件的限制，不能随意的使用实验设各，根据动力学原理建立球 杆系统的模型进行数值仿真分析可以解决这个问题。除此之外数学模型在控制 系统的设计中有重要的作用。 球杆系统数字仿真系统在自动控制理论的研究、球杆系统动态过程的研究和 实验室建设等方面有蕈要的意义。 ( 1 ) 研究球杆系统的数字仿真模型在自动控制方面的意义：球杆系统不仅是一 个很好的教学设备，也是一个比较理想的控制系统设计的实验对象。它足一个典 型的非线性开环不稳定系统。很多学者都设计了控制器来控制球杆系统。说它是 硕士学位论文第一章绪论 一个非线性系统，是因为传动系统作用在电机轴上的负载力是非线性变化的；电 机的转角和横杆的倾角关系也是非线性的；小球的滚动加速度是由相对加速度、 牵连加速度、科式加速度组成的，是非线性的。开环不稳定是说，对于固定的倾 角小球会直滚动下去。 对与这样一个系统的研究，进行实验研究存在不足，由于传感器的限制，进 行实验研究，不能得到小球的相对加速度、牵连加速度、科式加速度和电机的负 载转矩等动态参数；系统存在很多的非线性因素，进行实际实验不能单独研究某 个非线性特性的控制系统的影响，如小球受到滚动摩阻的影响、传动系统有间隙 和非线性摩擦阻力的影响等。随着计算机在数字仿真上的应用和发展，建立正确 的数字仿真模型，利用数字计算机求解非线性微分方程组的方法，来研究球杆系 统是一种很好的方法。 ( 2 ) 研究球杆系统的数字仿真模型在实验室建设方面的意义：控制论经过经典 控制理论、现代控制理论、向人工智能等方面发展，各个院校通过引进实验设备， 建立机电控制实验室来进行实验教学。实验室中普遍采用的设备就是球杆系统， 但是很多院校并没有这种很好的实验教学设备，就算有数量也不会很多，很难做 到人手一台。只能为学生做一下简单的演示，学生不能亲自设计控制器、分析控 制系统。 这套系统，我院的机电实验室引进了近1 0 个，由于每次实验的时间有限，且 如果学生设置了错误的参数可能造成仪器随坏，所以没有完全开放该实验，造成 了资源的浪费。为了解决此现状，设立了基于l a b v l e w 的球杆系统虚拟实验平 台项目。在虚拟实验台上设计好控制器并验证控制效果后，再来实际实验台上实 验，加快了实验速度，尽可能的预防因错误的控制参数引起的仪器损坏。 虚拟实验与传统实验的对比见表1 - 1 ： 表卜1 虚拟实验和传统试验的对比1 3 虚拟实验平台传统实验设备 开放性、灵活性、可与计算机保持同步发展 软件系统升级方便、可通过网络下载升级程序 价格低廉，仪器资源可重复利用率高 用户自定义仪器功能 可以与网络及周边设备方便连接 开发与维护费用低 技术更新周期短 封闭型、仪器间相互配合较差 硬件升级不便且成本高 价格昂贵，仪器间互用性差 只有厂家能定义仪器功能 功能单一，只能连接有限设备 开发与维护费用高 技术更新较长 虚拟实验也存在一些不足：( 1 ) 实验真实感不强；( 2 ) 在真实实验中出现的 碗i j 学位论文第章绪论 各种各样的误差体会不出来；( 3 ) 体会不了实际工程中的各种故障现象。这也j 下 足真实实验的优点。汪诗林，吴泉源在虚拟实验的研究中提出，虚拟实验系统的 作用通常分为三类一是为进行真j 下的实验( 或操作) 做准备练习；二是替代物理 实验室；三是在物理实验后进行分析口j 。 通过应用球杆系统虚拟实验平台可以大大减少实验室建设的资金投入和实验 室的用房面积：学生更能灵活的掌握运用自己的实验时b j ，重点攻克自己的难点， 不受真实实验室关闭和开放的限制，不受实验课程和指导书的限制。同时球杆系 统也是一个设计性和综合性的虚拟试验台，可阻进行控制器的设计和控制系统性 能的分析，是提高学生综合素质的有效途径。此外球杆系统虚拟实验台，可以 进行理想状况下的实验，和实际的实验结构进行对比分析，根据差别，改进控制 器。 1 2 球杆系统国内外的研究现状 球杆系统的研究主要集中在控制方法的研究上，很多学者都提出了模糊、鲁 棒、神经网络等控制方法口】 1 4 i 。数学模型在很多文献中都有论述，大多数的控制 系统设计中采用的模型为简化的二阶模型球轩系统中杆的给定倾角到实际倾角 的传递函数看作是比例环节。这对控制器的设计及控制系统分析都带来了方便， 并且能够满足控制的要求，但仿真和实验的差别较大。下面重点介绍球杆系统机 构类型、数学模型的研究现状。 121 球杆系统实验装置的研究现状 w e iw a n g 在球杆系统的控制i 】z j 一文中，介绍了球杆系统的两种结构如图1 - 3 和1 4 。 图卜3 由b e r k e l e yr o b o t i t s 实验室建立的球杆系统( a r r o y o2 0 0 5 ) 图1 - 3 的球杆系统是由a r r o y o 在2 0 0 5 年建立的，叫做“在平衡木上稳定小球”。 此系统采用了线性电阻传感器来获得小球的位置，线性电阻传感器相当于滑动变阻 器，和电位计的工作原理相似，小球对应于滑线电阻触头。在d s p 中进行处理从 碗七学位论文第章绪论 传感器获得的信号。采用了直流电动机和减速齿轮机构，通过p d 控制器来控制。 囤卜4q u a n s e r 提出的球杆系统组件( q l i a f l s e r2 0 0 6 ) 图l _ 4 是由q u ；t 1 1 5 e r ( 2 0 0 6 ) 设计的球杆系统，它是作为商业产品出现的。它的组 成部分包括：由电阻丝制成的位置传感器、直流电动机和减速齿轮箱。可以通过p i d 或状态反馈控制器来控制。 通过电机带动横杆倾斜，从而控制小球的滚动，电机带动横杆的方式主要有 两种：减速齿轮机构；四杆机构( 曲柄摇杆机构) 。这两种传动机构相比，四杆机 构带动横杆转动的能力更强，因为减速齿轮机构中横杆的驱动力矩在旋转中心， 四杆机构的驱动力在横杆的一端，力臂太得多。 c h i nel i n 提出了一种用电磁原理作为动力的球杆系统结构【l ，见图1 5 和图1 - 6 ，通过磁悬浮来控制横杆的倾角，显然控制起来较直流电动复杂的多。 此外还有板球系统l l ”见图1 7 ，控制小球稳定在板上任意位置或跟踪给定的路径， 板可以在x 和y 两个方向上倾斜，和球杆系统的原理相似。 图卜5 磁悬浮执行器图卜6 球杆系统装置 差鑫器_ 葡 硕学位论立第一章绪论 参p 、0 7 ， 图卜7 板球系统示意圉 球杆系统不论机械结构怎样，都包含横杆和球，通过机械原理用电动机或磁 悬浮等动力来使横杆倾斜来控制球的滚动。目前应用最多的是直流电动机，机械 原理主要有两种：电机通过齿轮直接带动横杆转动；电机通过四杆机构带动横杆 转动。 122 球杆系统数学模型的研究现状 12 21 球杆系统的模型一： 图卜8 球杆系统 fc o r d i l o ，fg s m e z e s t e r n ，r o r t e g a a n dja r a c i l 【嘲和王广雄、周长浩 。的研究对象如图1 - 8 所示。通过力矩的作用，使横杆的倾角发生改变，横杆 倾斜后小球就会滚动，控制的目标是通过控制力矩来使小球稳定在一个给定的位 置。需要建立力矩到小球位置的数学模型。 图1 - 8 中：m 为小球的质量；f 为电机的输出控制力；l 为小球的转动惯量； 。为横杆的转动惯量；甲为小球的角速度：m 为横杆的质量。应用拉格朗日方程， 在训算小球的动能的过程中，进行了一些简化，得到： 硕士学位论文第一章绪论 ( 掰+ 参) j _ 础2 = 馏s 证口 ( m x 2 + l ) 西+ 2 ，疵一峥c o s 口= f 式中r 为小球的半径。 没有考虑电机的数学模型，直接以电机的输出控制力作为输入。图1 8 的球 杆系统结构简单，机械传动机构简单，因为电机的转角和横杆的倾角是比例关系， 所以建模较简单，容易用拉格朗日方程建立。但四杆机构就不一样，电机的角速 度到连杆的角速度关系是非线性的；电机的角速度到横杆的角速度关系也是非线 性的。 1 2 2 2 球杆系统的模型二 图卜9 球杆系统的四杆机构示意图 l o n c h e nh u n g ，h u n g - y u a nc h u n g 7 1 ，r m h i r s c h o r n 【8 】和d j l e i t h ， w el e i t h e a d 1 3 】和洪少春【1 刀等对图1 - 9 结构的球杆系统进行了控制方法研究。 这种结构和图1 8 相比采用了不同的传动系统。通过减速齿轮机构和四杆机构来 传动的。由于四杆机构传动的运动学和动力学的非线性，只建立了平衡位置( 横 杆水平位置) 的数学模型，数学模型采用式1 2 的形式： 式中：补x 2 、黾、x 4 分别表示小球的位移、速度和横杆的转角、角速度；u 为横杆的角加速度；b 为与系统参数小球质量等有关的系数。没有考虑电机的数 学模型和横杆的动力学模型，因为不可能直接输入横杆的角加速度。这种四杆机 构，精确的数学模型至少要5 个状态变量才能描述这个系统：小球的位置，小球 的速度，电机的转角，电机的角速度，电流，整个系统的输入是电压。 1 2 2 3 球杆系统的模型三 7 o 厶 一 工l 黾 nm 蹈 一 耽肼砌 = = = = 而恐黾黾 硕士学位论文第一章绪论 以上的模型中都没有考虑电机的数学模型，p t c h a n ，w f x i e ，a b r a d n 妇 和雷李【1 卅等的研究中，数学模型分为机械模型和电气模型两大部分，实验装置见 图卜9 所示，其机械模型如式( 1 3 ) 所示。 批网m g 一翻m g d 秒 ( 1 - 3 ) 式中：g 为重力加速度；m 为小球的质量；厶为小球的转动惯量；r 为小球在 横杆上的位置；r 为小球的半径；口为横杆的倾角；p 为电机的转角；d 为齿轮 的半径；l 为横杆的长度。 球杆伺服系统的电气模型如式1 4 。 g ( 占) 2 砸面k o 谰k i k 2 n ( 1 4 ) 式中，k 。k 为与为与伺服电机特性相关的信号增益；墨为转矩常数；r t 为 电感常数；r a 为减速比；山为电枢电阻；b o 为折算到电机轴的等效转矩；墨为 等效到电机轴的摩擦力。这种模型的缺点是，机械模型和电气模型是耦合在一起 工作的，没有给出之间的关系。 2 2 2 4 球杆系统的模型四 张国银【1 9 】运用拉格朗日方程建立了平衡点附近的数学模型见式1 5 ，实验装 置见图1 - 9 所示。 ? 2 7 。x i x 4 2 - - 和黾5 ， x 32 矗 矗= 去( 惫叫2 嘲圳卜( 惭t 懈) c o s 甸 其中：葺= ，x 2 = 户，x 3 = 口，x 4 = 应见图1 - 9 和式1 5 ；j 为等效转动惯量；k m 为电机转矩常数；r m 为电枢电阻；b 为摩擦系数。对电机模型作了简化，电流 和电压简化成简单的比例关系，没有考虑非线性摩擦的影响。 1 2 2 5 球杆系统的模型五 f a n d r e e v 等【2 0 1 ，在匹配控制器的设计中，用到的模型如式1 - 6 至1 8 。实 验装置见图1 - 9 所示。 8 硕士学位论文第一章绪论 ( 厶( 1 一c o s ( 口) ) 名( 1 一c 。s ( 护) ) ) + ( 厶s i n ( 口) + ，一名s i n ( 臼) ) 2 = 2 ( 1 - 6 ) 丁= 圭s 2 西2 + 圭厶( 应+ 吉j 2 + 丢厶应2 + 圭t 矽2 y = 三1 以s i i l ( 口) + 1 m 。+ 惭) “s i n ( 口) + 所占伊s i i l ( 口) 其中各个参数的意义见表1 - 2 所示。 表1 - 2 参数的意义( f h n d r e e v ) ( 1 - 7 ) ( 1 - 8 ) 数学模型用系统的动能和势能的形式来表示，无法仿真，且作了简化，动能 中没有连杆的动能等。 1 2 2 6 球杆系统的模型六 邢义忠【l 】建立了能够反映电机的转角不同数学模型不同的数学模型。实验装 置见图1 1 所示。 球杆导轨仰角口是电机转动角度0 的函数，其函数关系建模时已求得，即墨为 而的函数，为方便状态方程描述，及龙格一库塔法求解，现设x 3 = s ( x 7 ) ，将球 杆系统数学模型微分方程联立起来，分别描述出各状态变量的方程如下： 9 硕士学位论文第一章绪论 dy 一 一 一 a r t 羔卜( x 4 ) 2 + g s i n ( 墨) 刷v ( 讣b 一扣 鲁印知 凡k t x ，j b ：v 鼍 + ( 1 - 9 ) 州五吃屯嗣黾班( y 鲁口警川) ( 1 - 1 0 ) 式中：j 代表等效转动惯量，和电机的转角有关；y 为小球的位置；n 为电机 角速度；其他参数详见参考文献。把负载力用等效转动惯量来代替会丢失，因电 机转角的变化而引起动能的变化的那部分。此外也没有考虑小球对动态过程的影 响，仿真和实验的对比结果不是很吻合。 1 2 3 球杆系统的控制方法研究现状 d j l e i t h ，w e l e i t h e a d 口1 进行了反馈线性化的研究，球杆系统存在奇点， 在奇点位置系统的输入和输出关系是不确定的。通过多次的求导运算建立了球杆 系统在奇点的线性化模型。 马国梁【4 j 等研究了球杆系统的切换控制，由镇定控制器和引导控制器组成。 系统在可镇定区域内时，可通过镇定控制器使闭环控制系统指数稳定，而系统在 该区域外时，可采用引导控制器将系统状态引导至可镇定区域，再切换到镇定控 制器。 z h i y ux i t 5 】等建立了球杆系统的h a m m e r s t e i n 模型，然后在此模型的基础上研 究了非线性预测控制，能够得到更快的响应速度。 l o n - c h e nh u n g p 对球杆系统进行了解耦，设计了基于神经网络的滑模控制器， 进行了仿真研究。f a n d r e e v l 9 】等设计了匹配控制器进行控制，模型采用系统的 动能和势能表达式。f g o r d i l l o 1 0 】研究了使小球跟踪给定的位置曲线的控制器， 保证小球能够很好的跟踪给定信号。p t c h a n l l l 】通过卡尔曼滤波器估计小球的 位置和速度，然后通过模糊控制器进行控制。 由于本文的主要内容是球杆系统的数学建模，所以重点研究有关球杆系统模 1 0 o o o o一厶0 o 硕士学位论文第一章绪论 型的研究进展情况，对球杆系统的控制只是简略的论述。对球杆系统的控制主要 有基于线性模型的经典控制，基于非线性模型的非线性控制，和不需要模型的模 糊控制和神经网络控制等。 1 3 本文研究的主要内容 通过以前学者的研究可知，为了建模、设计控制器的方便，对电机的数学模 型进行了简化，大部分没有考虑小球对电机的影响。且都对球杆系统的其他部分 的数学模型做了大量的简化，仿真结果与实验的结果差别较大。本文所建立的球 杆系统的数字仿真模型，能够更好地反映实际系统的运行规律， 本文主要开发球杆系统的数字仿真模型，应用n i e r i o 对球杆系统进行了实 验研究。 具体做了以下几个方面的工作： ( 1 ) 建立了球杆系统的数学模型。分两步对球杆系统进行了建模，首先通过 矢量分析法确定系统各个部件的姿态、速度和加速度，应用理论力学的知识对机 构进行受力分析，得到加在电机轴上的负载力的大小和小球的滚动方程式，建立 的球杆系统的精确数学模型；然后对数学模型进行处理，建立仿真模型。 ( 2 ) 通过将s o l i d w o r k s 中的球杆系统三维模型，调入l a b v i e w 中实现了球 杆系统的可视化动态显示。 ( 3 ) 建立球杆系统的可视化虚拟仿真系统。在l a b v i e w 中建立球杆系统的 数字仿真模型，并和三维模型进行连接。 ( 4 ) 应用n i c r i o 对球杆系统进行实验研究，设计了卡尔曼滤波器对小球 的位置信号进行了滤波，满足了p i d 控制的需要。同时与球杆系统的仿真结果进 行了对比，对比结果非常吻合。 硕士学位论文第二章球杆系统数学建模 第二章球杆系统数学建模 将球杆系统抽象为物理模型，然后对系统进行了运动学和受力分析，建立了 球杆系统的数学模型。对模型中的参数进行了归一化处理，得到了便于在计算机 上仿真的模型。 2 1 球杆实际系统概述 球杆系统驱动结构见图2 1 ，电机通过带传动、四杆机构带动横杆倾斜，从 而控n d , 球的滚动。系统的输入是直流电动机的电压，假设是理想的直流电动机， 即( 1 ) 输入电压等于电阻、电感上的电压和反电动势的和，电阻上的电压和电流 成正比，比例系数不变；( 2 ) 电感上的电压和电流的变化率成正比，比例系数不 变；( 3 ) 反电动势和转速成正比比例系数不变；( 4 ) 直流电动机的输出转矩和电 流成正比，比例系数不变；( 5 ) 直流电动机的摩擦阻力矩和转速成正比，比例系 数不变。 图2 1 球杆系统驱动结构的简图 带传动机构的简化，主动轮( 电机轴) 和从动轮的转速成正比，比例系数为 从动轮的半径除以主动轮的半径，且比例系数不变；主动轮( 电机轴) 到从动轮 的力矩放大倍数为常数，为从动轮的半径除以主动轮的半径；带传动的阻力矩等 效到电机轴上，为一固定常数。 四杆机构( a b c d 等效成四杆机构) 的各个构件为刚体，即在运动过程中不 会变形或损坏；各个铰链的摩擦力不计。 机械部分的计算模型见图2 2 ，图中标出了计算中用到的各个符号代表的含 义，包括角度和杆件的长度等信息，直流电动机的转角和从动轮的转角成正比， 从动轮的转角和横杆倾角的关系为非线性，通过四杆机构的运动学分析可以得出。 图中还标出了四杆机构各个杆件的长度符号。 1 2 硕士学位论文第二章球杆系统数学建模 图2 - 2 球杆系统机械部分计算模型 有关参数的意义和大小见表2 1 ，数据采用参考文献【l 】中得到的数据： 1 3 硕士学位论文第二章球杆系统数学建模 表2 1 球杆系统原始参数的意义及大小n 1 在以后的计算中还会用到很多的参数符号，在表2 2 中说明了有关参数的意 义。有四杆机构的夹角，进行b c 杆受力分析时用到的夹角等。 1 4 硕士学位论文第二章球杆系统数学建模 表2 - 2 计算中用到的中间变量意义 中间变量意义 岛导轨和a d 的夹角 p电机的转角，c d 处于水平位置为0 只连杆和a d 的夹角 幺曲柄和a d 的夹角 包两固定铰链连线与a d 的夹角 口 横杆与水平线的夹角 c d 与水平线的夹角 只连杆b c 与水平线的夹角 1 根据主动轮和从动轮的半径比为1 ：4 ，所以和目的关系为= z e 。 2 2 球杆系统的数学模型的建立 球杆系统是多刚体机械电子系统，根据实验的目的，要建立机械部分动力学 模型，以及电动机的传动模型，组成球杆系统的机电系统动力学模型。这个模型 能够完成的功能是根据输入电压和初始条件得到系统的动力学和运动学参数。 计算多体动力学是机械系统动力学建模的成熟方法。在笛卡儿和拉格朗日两 大建模策略下，形成了多种流派，如维腾堡方法、凯恩方法、席勒恩方法等，它 们均以铰的邻接刚体或单个构件作为建模的单元。近年来，针对复杂机械系统动 力学建模，尤其是面向系统多层次、跨领域建模，国际上一些学者进行了新的尝 试。德国斯图加特大学在多体系统的层次化计算方法、模块化建模方法上，从一 般力学的角度奠定了理论基础。加拿大w a t e r l o o 大学利用电学基尔霍夫定律建立 单回路机构的动力学方，通过节点变量以功能转换原理实现了一定程度的跨领域 建模。奥地利g r a z 大学借鉴了软件工程中面向对象的思想，进行了串联构型构件 之间运动和力传递的描述【2 2 】- 【2 引。 在机构学领域，机构的拓扑结构与运动学、动力学特性及与其他子系统( 如驱 动、控制等) 之间的内在联系是现代机构学探索的主题之一。 2 2 1 建模方法的确定 直流电机部分的模型在很多文献中都有介绍，在此不再详述，下面需要对球 杆系统的机械部分进行动力学建模。 本文应用笛卡尔建模策略中的质点系动量和动量矩定理来建模，而没有采用 拉格朗日方程。因为球杆系统包括了四杆机构、小球在横杆上自由滚动等，虽然 只有两个自由度，但运动关系复杂，导致系统的动能和势能很复杂，所以应用拉 硕士学位论文第二章球杆系统数学建模 格朗日方程，有以下三个问题： ( 1 ) 列写系统的动能，再进行微分、偏导等计算相当麻烦。 ( 2 ) 虽然由拉格朗日方程得到最少量的方程，但是二阶的强非线性、强变量 耦合的方程，若用它建模，再进行数值求解，必然需要较多的人为干预；而用质 点系动量和动量矩定理建立的方程数量虽多，其中还包含一定数量的约束方程， 但用户只要对程序给出有关信息，计算机可自动生成约束方程，且模型中的广义 坐标已经选定。 ( 3 ) 拉格朗日方程不适合于计算机语言写出文字形式的动力学方程。因为， 它在计算机进行符号推导前，要作偏微分、偏导数、全导数等计算。 这也正是笛卡尔建模的优点。 对于可以进行机械动力学分析的软件来说，a d a m s 可以方便地进行机械系 统动力学分析，但对于球杆系统来说用a d a m s 建模不方便，球杆系统是机械多 体系统、电子电路以及控制系统组成复杂机电控制系统，要全面考虑系统的动态 特性必需全面考虑机、电、控制耦合的多领域多体模型。现在这些还处于研究阶 段，还不成熟【2 9 1 - 【3 0 1 。 2 2 2 四杆机构运动学分析计算 首先，对四杆机构进行运动学分析，方法采用解析法中的矢量分析法。运动 学分析是力分析的基础。 机构运动学分析的方法分为图解法、解析法和实验法三种，解析法就是将机 构问题抽象为数学为题，将机构运动参数和参数之间的关系用数学解析式来描述， 便于推理和对机构在整个运动过程中任意位置的运动性能进行深入分析，分析精 度也较高。随着计算机技术和数值方法的发展，解析法运算冗繁的问题得以解决， 并体现出运算速度快、计算精度高的显著优势，因此解析法得到越来越广泛的应 用。无论是分析现有机构的工作性能，还是优化新机械，运动学分析都是十分重 要的。通过运动学分析可以确定某些构件运动所需的空间，校验它们运动是否干 涉，而且运动轨迹仿真动画则更为形象直观；速度分析可以确定机构从动件的速 度是否合乎要求；加速度分析可以为惯性力计算提供数据。因此，运动学分析既是 机构综合的基础，又是力分析的基础【3 l 】。f 3 7 1 。 在本小节中对四杆机构a b c d 进行矢量分析。a d 杆是两个固定铰链a 和d 的连线，它的位置是不变的。取a d 的方向为x 轴，和a d 垂直的方向为y 轴， 建立直角坐标系。将各个杆件用矢量来表示，有关杆矢量的参数的意义见图2 3 所示。矢量的大小和方向见图2 4 。各个构件的尺寸见表2 1 。 有关矢量分析法的参数意义如下i 1 6 硕士学位论文 第二章球杆系统数学建模 0 z 图2 - 3 有关杆矢量的参数的意义 杆矢量z = 一o a = ，么口 = l e = l ( i c o s o + j s i n o ) 杆单位矢量e = e z o = i c o s o + j s i n o 切向单位矢量e t = e = - + i s i n c o s ( o9 0 。了- 0 i - s c o i n s ( o 伊+ 9 0 。) ：e z ( o + 9 0 。) = i+ ”)i +”) =+ ”) 法向单位矢量矿= ( e ) 7 = 矿= - i c o s 0 - j s i n 0 = - e 基本运算关系：e 1 e 2 = c o s q 2 = c o s ( a 2 一幺) ；e 2 = 1 ；e = o ；e - 矿= - 1 。 e l e ：= - s i n ( 0 2 一b ) ；e l e ! = 一c o s ( 0 2 一研) ； 图2 - 4 四杆机构的矢量分析图 四杆机构运动学分析的目的是：已知毛的角位移岛，角速度鸭，角加速度鸭， 确定其它杆的角位移、速度、加速度。 1 7 硕士学位论文第二章球杆系统数学建模 ( 1 ) 角位移的计算 首先由图2 - 4 可知厶和x 轴的夹角为幺= 0 。将各个杆用杆矢量表示，则有如 下关系式： 移项得： 再化成直角坐标形式得 厶+ 厶= 厶+ 厶 厶= 厶+ 厶一厶 c o s ( 幺) = 厶c o s ( 岛) + c o s ( 只) 一如c o s ( 岛) ，ls i n ( 0 。) ：1 3s i n ( o s ) + 1 4s m ( e 4 ) - t ：s i n ( 0 2 ) 将2 3 和2 4 平方后相加得 ( 2 - 1 ) ( 2 2 ) ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) 2 乞厶s i n ( 岛) s i n ( 岛) + ( 2 ，2 毛c o s ( 岛) + 2 乞厶) c o s ( 岛) + 2 一厶2 一2 一如2 2 厶c o s ( 岛) = o 整理后得： 其中： 彳s i n ( 岛) + b c o s ( 岛) + c 7 = o a = 2 1 2 1 3s i n ( 0 3 ) 召= ( 2 如毛c o s ( 岛) + 2 如) c = 2 - 1 3 2 - t , 2 一乞2 - 2 1 3 1 4c o s ( ” 解三角方程得( 还要根据运动的连续性) ： 伽阱丛a - 、a 磊 2 + b 翌2 - c 2 同理为求b 可将矢量方程写成如下形式： 厶= 厶+ 厶一厶 乞c o s ( 岛) = 厶c o s ( 岛) + ，4c o s ( 幺) 一，lc o s ( o , ) 1 2s i n ( 0 2 ) = 厶s i n ( 0 3 ) + t 4s i n ( 0 4 ) - t ls i n ( 0 1 ) 1 8 ( 2 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) 硕士学位论文 第二章球杆系统数学建模 将式2 - 1 0 和2 - 1 l 平方后相加得： 2 毛s i i l ( b ) s 洫( q ) + ( 2 毛c o s ( 岛) + 2 f l f 4 ) c o s ( q ) + 乞2 一? 3 2 一2 一2 - 2 1 3 1 4 c o s ( 0 3 ) = 0 ( 2 1 2 ) 整理后得： d 7 s i n ( 0 2 ) + e c o s ( 0 2 ) + f = 0 ( 2 - 1 3 ) 其中： d = 2 t , 1 3s i n ( 0 3 ) e = ( 2 1 3c o s ( 0 3 ) + 2 1 1 1 4 ) ( 2 1 4 ) ，= 如2 一，3 2 一，4 2 - , 2 - 2 1 f 1 4c o s ( 岛) 解三角方程得( 根据运动的连续性) ： tan=一d+4d2+ea-fa 通过上述计算，得到了球杆系统四杆机构的各个杆件的角位移的大小。角位 移用于确定在动力学分析时，各个惯性力、约束力、外力的方向。 ( 2 ) 角速度的计算 为了对四杆机构进行速度分析：由式2 1 得 三= 丘+ 丘一丘 ( 2 1 6 ) 将式2 1 6 对时间求导得 ，i 馥= 毛喀己。一乞幺乏 ( 2 1 7 ) 然后再用乏点积式2 - 1 7 可得： ，l 馥磊乏= 己绣彭乏 ( 2 1 8 ) 化简后得： 一劬s i n ( o l 一岛) = 鸭s i i l ( 岛一岛) ( 2 - 1 9 ) 所以 q = 两1 3s i n 丽( 0 3 - 0 2 ) 哆( 2 - 2 0 ) 同理用互点积式2 1 7 可得： 。= 丽1 3sin丽(03-01)哆(2-21)co,sin(0： = _ 纰 如一q ) 1 9 硕士学位论文第二章球杆系统数学建模 角速度用于确定离心力、惯性力的大小。 ( 3 )角加速度的计算 由以上分析得四杆机构的速度方程为： 馥群= ，3 皖虿一，2 幺乏 ( 2 2 2 ) 将式2 2 2 对时间求导得： 馥2 五”+ 巍五= 厶包2 瓦“+ 毛岛己一乞幺2 乏”一乞谚五 ( 2 2 3 ) 式2 2 3 中只含有两个未知变量，用瓦点积得： q 2c o s ( o l - 0 2 ) + l , a , s i n ( 0 2 一日) = 一毛鸭2c o s ( 岛- - 0 2 ) j r 3 0 f _ 3s i n ( 0 2 - 0 3 ) + t 0 2 2 ( 2 2 4 ) 解方程得： ：丝! 竺! 垒二刍! 二竺型鱼丝! ：刍竺! ! 呈! 垒二刍! 垒竺二 i is i n ( 0 2 一q ) ( 2 2 5 ) 同理，用写点积式2 - 2 3 得： q 2 = - 3 缈3 2c o s ( o ，一岛) + ，3 s i n ( o i 一岛) + 如吐2c o s ( b b ) 一乞s i n ( o l 一岛) ( 2 - 2 6 ) 5：5竺：二刍竺：!竺!刍二垒!刍竺!呈!堡：刍!垒竺：!竺!f鱼二垒12 f 2s i n ( 0 1 一见) ( 2 2 7 ) 在这部分的计算中，得到了四杆机构的运动学参数：角位移、角速度、角加 速度。角位移用来确定在刚体平面运动微分方程中，质心加速度的方向；角速度 用来确定法向加速度( 离心力) 的大小。后面进行四杆机构的受力分析。 2 2 3 无小球时四杆机构的动力学分析 先对没有放小球时的系统进行受力分析，然后再对有小球时的系统进行受力 分析。带传动和四杆机构的受力图见图2 5 ，主动力为电机的输出转矩，横杆和 连杆受到重力的作用。带传动把力矩放大，角速度减小，把动力传到了从动轮。 从动轮相当于四杆机构的主动杆。在运动过程中从动轮的惯性力，连杆的惯性力， 横杆的惯性力都要起作用。这些力由运动学分析的结果可以求出。 2 0 硕士学位论文第二章球杆系统数学建模 织口 b c g 图2 - 5 球杆系统带传动和四杆机构受力分析 ( 1 ) 横杆a b 的动力学微分方程 对a b 进行受力分析见图2 - 6 ，横杆受到重力、固定铰链a 的支持力、连杆 铰链b 的支持力的作用，其中重力和连杆铰链b 的支持力使横杆绕a 转动，产 生角加速度。 最2 l x 图2 - 6 横杆的受力分析 因为铰链a 、b 受到的摩擦力很小，所以忽略摩擦力。取水平向右为x 正方 向，竖直向上为y 正方向。c a 占点为横杆a b 的质心。 根据动量矩定理得，关与a 点的力矩平衡方程：( 取逆时针方向为正) 。 最2 1 x $ i n ( 口) + 最2 1 yc o $ ( 口) 一去肌仰萌c o s ( 口) = 以 ( 2 - 2 8 ) 化简得： 一x 1s i n ( 口) + 置c