（地球探测与信息技术专业论文）ti介质弹性波传播特征及qp波深度偏移方法研究.pdf

t i 介质弹 生波传播特征及q p 波深度偏移方法研究 梁锴( 地球探测与信息技术) 指导教师：吴国忱副教授 摘要 地震各向异性研究已经成为地震学研究领域中的前沿课题之一，开 展地震各向异性研究对认知地球介质结构、勘探开发复杂油气藏和预报 地质灾害均具有理论意义和实用价值。针对沉积岩普遍存在的各向异性 介质，深入研究了t t i 介质弹性波传播特征、弹性波波动方程分解和v t i 介质b o r n 近似q p 波深度偏移成像方法。 相速度、群速度是弹性波传播的重要特征。从t t i 介质弹性波 c h r i s t o f f e l 方程出发，研究了t t i 介质弹性波传播的相速度、群速度和偏 振方向。在此基础上，进一步讨论了t t i 介质弹性波反射、透射特征， 为各向异性介质a v o 研究奠定了理论基础。 波动方程分解在地震偏移成像和多分量地震学理论研究中具有非常 重要的作用。从t h o m s e n b 各向异性理论与声学假设条件两个途径对t t i 介质弹性波波动方程进行了分解，获得了t t i 介质中描述q p 波传播具有 较高精度的波动方程，为研究v t i 介质单程双域传播算子和建立i 介 质深度偏移算法奠定了理论基础。 在波动方程深度偏移成像过程中，波场延拓算子和算法流程是地震 偏移成像的核心。从v t i 介质q p 波波动方程出发，建立了v t i 介质b o r n 近似q p 波单程双域传播算子，由各向同性介质q p 波扩展局部b o r n 近似 传播算子和各向异性扰动项组成。在该算子研究的基础上，建立了i 介质q p 波深度偏移算法流程，并实现了叠前和叠后深度偏移。叠前深度 偏移和叠后深度偏移均获得了较好的成像效果，证明了v t i 介质深度偏 移成像算子的正确性、有效性和适应性。 关键词：地震各向异性，相速度，群速度，单程波传播算子，深度偏移 n l r e s e a r c ho ne l a s t i cw a v e p r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s a n dq pw a v e d e p t hm i g r a t i o nm e t h o d i nt im e d i a l i a n g k a i ( g e o p h y s i c a le x p l o r a t i o na n d i n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y 、 d i r e c t e d b y a s s o c i a t e p r o f e s s o r w u g u o - c h e n a b s t r a c t s e i s m i ca n i s o t r o p yh a sb e e no n eo f t h el a t e s ts c i e n t i f i cr e s e a r c ht o p i c si n s e i s m o l o g y , a n da l s oi ti sag r e a tc h a l l e n g ef o rs e i s m o l o g yt h e o r ys t u d ya n d a p p l i c a t i o n 。c a r r y i n go u ts e i s m i ca n i s o t r o p yr e s e a r c hh a sg r e a ta c a d e m i c s i g n i f i c a n c ea n da p p l i e dv a l u ef o rt h ec o g n i t i o no fe a r t hm e d i ac o n f i g u r a t i o n , t h ee x p l o r a t i o na n dd e v e l o p m e n to fc o m p l e xo i lg a sr e s e r v o i r , t h ef o r e c a s to f t h e g e o l o g i c a l d i s a s t e r f o rt h e u b i q u i t o u sa n i s o t r o p i c m e d i ai nt h e s e d i m e n t a r yr o c k , t h ee l a s t i cw a v ep r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i c si nt h et im e d i a ， t h e d e c o m p o s i t i o n o fe l a s t i cw a v e e q u a t i o n ，o n e w a y d u a l - d o m a i n p r o p a g a t i o no p e r a t o rf o rq pw a v ea n dt h ew a v ee q u a t i o nd e p t hm i g r a t i o n i m a g i n gm e t h o d i nv t im e d i aa r cs y s t e m a t i c a l l ys t u d i e d p h a s ev e l o c i t ya n dg r o u pv e l o c i t ya r ei m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i c so fe l a s t i c w a v ep r o p a g a t i o n a c c o r d i n gt ot h ee l a s t i cw a v ec h r i s t o f f e le q u a t i o ni nt t i m e d i a , w eh a v ear e s e a r c ho np h a s ev e l o c i t y , g r o u pv e l o c i t ya n dp o l a r i z a t i o n d i r e c t i o nf o re l a s t i cw a v ep r o p a g a t i o ni nt t im e d i a b a s e do nt h e m ，e l a s t i c r e f l e c t i o nc h a r a c t e r i s t i ca n dt r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r i s t i ci nt t im e d i aa r e d i s c u s s e d ，w h i c hp r o v i d e sab a s i sf o ra n i s o t r o p ya v os t u d y w a v ee q u a t i o nd e c o m p o s i t i o np l a y sav e r yi m p o r t a n tr o l ei nt h e r e s e a r c ho fs e i s m i cm i g r a t i o ni m a g i n ga n dm u l t i c o m p o n e n ts e i s m o l o g y t h e d e c o m p o s i t i o no fe l a s t i cw a v ee q u a t i o ni nt t im e d i ai sc a r r i e do u to nt h e b a s eo ft h o m s e nw e a ka n i s o t r o p yt h e o r ya n da c o u s t i ca s s u m p t i o nc o n d i t i o n t h er e s u l ts h o w st h a t h i 【g ha c c u r a c yw a v ee q u a t i o nd e s c r i b i n gq pw a v e p r o p a g a t i o ni nt h et t im e d i ac a nb eo b t a i n e dt h r o u g hw a v ee q u a t i o n d e c o m p o s i t i o n ，w h i c hp l a y saf o u n d a t i o nf o rs t u d y i n go n e w a yd u a l - d o m a i n p r o p a g a t i o no p e r a t o r i nv t im e d i aa n d e s t a b l i s h i n gd e p t hm i g r a t i o n a l g o r i t h mi nv t im e d i a i nt h e p r o c e s so fw a v ee q u a t i o nd e p t hm i g r a t i o ni m a g i n g ，t h ec o r e t h i n g so fs e i s m i em i g r a t i o ni m a g i n ga r et h ew a v ef i e l dp r o p a g a t i o no p e r a t o r a n dt h ea l g o r i t h mf l o w o nt h eb a s i so fq pw a v ee q u a t i o ni nv t im e d i a ，w e t h o r o u g h l ys t u d i e sb o r no n e w a yd u a l d o m a i np r o p a g a t o rf o rq pw a v ei n v t im e d i a t h eo p e r a t o rc o n s i s t so ft h ee x t e n d e dl o c a lb o r na p p r o x i m a t e o p e r a t o ri ni s o t r o p i cm e d i aa n da n i s o t r o p i cp e r t u r b a t i o no p e r a t o r b a s i n go n o n e - w a yd u a l d o m a i np r o p a g a t o ri nv t im e d i a ，t h eq pw a v ed e p t hm i g r a t i o n a l g o r i t h m f l o wi n a n i s o t r o p i c m e d i ai s e s t a b l i s h e d ，a n dp r e s t a c ka n d p o s t s t a c kd e p t hm i g r a t i o na r ec a r r i e do u t n o to n l yp r e s t a c kd e p t hm i g r a t i o n b u ta l s op o s t s t a c kd e p t hm i g r a t i o nh a so b t a i n e dg o o di m a g i n gr e s u l t s ，a n d t h e s er e s u l t sv a l i d a t et h ea c c u r a c y , v a l i d i t ya n d c o m p a t i b i l i t yo fd e p t h m i g r a t i o ni m a g i n go p e r a t o ri nv t i m e d i a k e yw o r d s ：s e i s m i ca n i s o t r o p y , p h a s ev e l o c i t y , g r o u pv e l o c i t y , o n e w a y p r o p a g a t i o no p e r a t o r , d e p t hm i g r a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国 石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 签名：加6 年上月sl 目 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅：学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名：鎏丝z t ，- - o b 年r 月引 日 新虢鞋黝l 洲年。月即日 i 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 第1 章前言 地球介质存在各向异性，研究地震波在各向异性介质中的传播规律 与成像方法是地震学和勘探地震学研究领域的前沿课题。传统地震学和 地震勘探都主要是以地球介质具有完全弹性和各向同性的物理假设为基 础，采用基于各向同性介质的地震数据处理方法处理各向异性介质的地 震资料会导致地震分辨率降低和地震成像误差。开展地震各向异性研究 是地震学家认知地球介质、进行地震学研究的发展趋势。 实际地球介质引起地震各向异性的因素很多、成因很复杂。许多地 球物理学家和地震学家通过对地震波在地球介质中的传播现象进行观 测，对地震波在各向异性介质中的传播规律和形成机理傲了大量的研究 工作，认识到地球介质存在各向异性，发现地壳上的大多数沉积岩石展 现出地震各向异性特征，并对此进行了较详细的论述f i o ( c r a m p i n ，1 9 8 4 ) 。 综合起来，地下岩石的地震各向异性成因主要来源于三个方面：固有各 向异性、裂隙诱导各向异性和长波长各向异性。 固有各向异性成因。固有各向异性是由岩石的固有结构和特性产 生的( 张美根，2 0 0 1 ) 。从2 0 世纪5 0 年代开始，地球物理工作者通过对 地球岩石进行一系列观测和实验室研究，发现了固有各向异性的证据， 证实了地震各向异性是客观存在的。天然地震学家( j o l l y ，1 9 5 6 ；h e s s ， 1 9 6 4 ) 从海上和陆上的观测资料中发现深部地壳岩石和上地幔存在各向 异性。n u t ( 1 9 6 9 ) 在实验室研究中发现，对岩石施加压力会产生各向异性。 b a e h m a n ( 1 9 7 9 ) 从深海钻井岩芯中发现了横向各向同性。j o n e s 和w a n g ( 1 9 8 1 ) 也从岩芯中发现了强的横向各向同性。 ( 2 ) 裂隙诱导各向异性成因。由于受到应力场的作用，岩石中形成择 优取向排列的裂缝、裂隙和孔隙，这些裂缝、裂隙或孔隙可能充满气体 或流体等充填物，地震波在裂隙岩石中的传播相当于在均匀弹性各向异 性固体中的传播，可称此裂隙岩石具有等效各向异性。c r a m p i n ( 1 9 8 7 ) 把这种具有气体或流体等充填物的择优取向裂隙称为广泛扩容各向异性 ( e x t e n s i v ed i l a t a n e ya n i s o t r o p y - e d a ) 。通过理论与实验室研究证实，e d a 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 介质可引起横波分裂现象。 ( 3 ) 长波长各向异性成因。沉积地层中周期性的薄互层，只要单层的 厚度小于地震波长，当地震波通过时会表现出长波长各向异性。 p o s t m a ( 1 9 5 5 ) 等研究表明小于地震波长的旋回性薄互层( p e r i o dt h m l a y e r - p t l ) 等效于横向各向同性介质【2 6 1 ，解释了当时地震资料时深转换 的误差问题。因为形成油气藏的储集层通常是层状沉积岩，p o s t m a 理论 对今天勘探地球物理工作者开展地震各向异性研究、寻找隐蔽油气藏具 有重要的理论指导意义。 实际沉积岩石e d a 介质和p t l 介质都可归结为横向各向同性 ( t r a n s v e r s e l yi s o t r o p y - t d 介质模型，其速度( 沿层面) 在垂直于介质对称轴 的平面内保持不变，在纵向上为非均匀性。h 介质的对称轴为水平时， 称其为水平对称轴的横向各向同性( h o r i z o n t a l n a n s v e r s e l y i s o t r o p y - h t i ) ， 如沿垂向排列的平行裂缝；t i 介质的对称轴为垂向时，称其为垂直对称 轴横向各向同性( v e r t i c a l t r a n s v e r s e l y i s o t r o p y v t i ) ；两种情况结合在一起 形成正交各向异性( o r t h o r h o m b i ca n i s o t r o p y - o a ) 。 地震偏移是一种基于波动方程的处理，是将绕射波收敛到产生该绕 射波的绕射点上。地震偏移方法从空间维数角度有二维和三维之分；从 数据域角度有时间一空间域、频率波数域和各种双域等；从数值计算角度 可分为有限差分法、积分- 微分法、积分法等；从叠加先后又有叠前偏移 和叠后偏移( 马在田，2 0 0 2 ) 。由上述的维数、数据域和各种数值计算方 法可以组成各种地震偏移方法。自从均匀各向同性地震波理论成功应用 于地震偏移成像( j f c l a e r b o u t ，1 9 7 2 ；马在田，1 9 8 0 ) 以来，人们对各向 同性波的波动方程地震偏移做了大量深入的研究工作，提出的各种方法 在工业界获得了成功应用。然而，地球介质的各向异性是普遍存在的， 发展各向异性波动方程偏移技术是非常必要的。随着地震勘探精度的提 高，各向异性地震偏移方法研究成了大家关注的焦点。国外研究各向异 性地震偏移问题的步伐较快一些，有许多学者研究过各向异性地震偏移 问题 5 , 2 7 , 3 6 1 ；国内这方面的研究相对少些，滕吉文( 1 9 9 4 ) 、张秉铭( 1 9 9 7 ) 利用有限差分方法、张美根( 2 0 0 1 ) 利用有限元方法进行过各向异性波的 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 地震偏移研究。 在各向异性介质条件下，采用传统各向同性的深度偏移算法会引起 偏移误差【2 1 。造成地下成像不准确、断层面等陡倾角反射界面成像质量 差( a l k h a l i f a h ，1 9 9 4 ) 。在各向同性介质条件下，为使地震波更好的成 像，把注意力集中在弹性参数( p 波速度、s 波速度) 的计算上，但在1 9 8 6 年，t h o m s e n 就指出，由于地球介质存在各向异性，这种计算就存在很 大的误差。m a r t i n 等( 1 9 9 2 ) 给出了这方面的例证：用各向同性算法对1 1 介质的物理模型数据进行构造成像会产生误差，尤其在陡倾角情况下误 差更大。l a m e r ( 1 9 9 3 ) 、a l k h a l i f a h ( 1 9 9 4 ) 、i s a a c 和l a w t o n ( 1 9 9 9 ) 分析了 横向各向异性介质对常规偏移结果的影响 2 , 1 7 , 1 9 1 。由于各向异性的普遍存 在，许多学者提出了t i 介质的深度成像方法：m e a d o w s 、c o e n 和l i u ( 1 9 8 7 ) 将均匀介质的s t o l t 成像方法扩展到椭圆各向异性介质上；u r e n 、g a r d n e r 和m c d o n a l d ( 1 9 9 0 ) 提出了均匀t i 介质二维叠后s t o l t 偏移方法【3 4 1 ； g o n z a l c z 、l y n n 和r o b i n s o n ( 1 9 9 1 ) 研究了横向各向同性介质中波场的频 率波数域( f k ) 叠前偏移【1 4 1 ；k i t c h e n s i d e ( 1 9 9 1 ) 研究了各向异性介质中 相移法偏移【l s l ，在1 9 9 3 年将均匀t l 介质f o u r i e r 域的波场外推算子应用 到了频率空间域；m e a d o w s 和a b r i e l ( 1 9 9 4 ) 提出了均匀t i 介质的三维相 移时阔算法【2 5 l 。l er o n s s e e a u ( 1 9 9 7 ) ，f e r g n s o n 和m a r g r a v e ( 1 9 9 8 ) 提出 了非均匀的豇介质深度成像非稳相移方法 2 0 1 ，f c r g n s o n 和m a r g r a v e ( 2 0 0 2 ) 对此方法又做了进一步改进，使其适应性更强，提出了对称非稳 相移方法【1 2 1 ；s e n a 、t o k s o z ( 1 9 9 3 ) 、h o k s t a d ( t 9 9 8 ) 研究了各向异性介质 的克希霍夫偏移【16 矧；a l k h a l i f a h ( 1 9 9 5 ) 实现了各向异性介质的高斯束深 度偏秽3 】( g b m 方法) ；r i s t o w ( 1 9 9 8 ) 研究了方位各向异性介质的三维有 限差分偏移【2 9 】；u z e a t e g u i ( 1 9 9 5 ) 采用显式算子实现了横向各向同性介质 的二维深度偏移【3 5 】。在1 1 介质中利用声波近似，l er o u s s e e a u ( 2 0 0 1 ) 将 标量波的广义屏算子应用到v t i 介质成像上，解决非均匀各向异性介质 成像问题1 2 ”。以上这些深度成像方法都严格限制为t i 介质，并都有一定 的假设条件。m e a d o w s 和a b r i e l ( 1 9 9 4 ) ，k i t e h e n s i d e ( 1 9 9 1 ) 和g o n z a l c z ( 1 9 9 1 ) 都是假设均匀介质；m e a d o w s 等( 1 9 8 7 ) 是假设椭圆各向异性； 3 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 s e n a 和t o k s o z ( 1 9 9 3 ) 是假设弱各向异性；u z e a t e g u i ( 1 9 9 5 ) 的深度偏移方 法满足于v 介质；l er o u s s e a u ( 1 9 9 7 ) 、f e r g u s o n 和m a r g r a v e ( 1 9 9 8 ) 等 研究了v t i 介质深度偏移算法。 在前人有关地震各向异性研究成果的基础上，本文主要研究了h 介 质弹性波传播特征与q p 波深度偏移方法。全文共分为四个部分，介绍如 下： ( 1 ) 各向异性波动理论。全面概述了各向异性介质弹性波的基本理 论，从弹性动力学原理出发，建立了一般各向异性介质弹性波的波动方 程和c h r i s t o f f e l 方程；详细介绍实际地球介质各向异性的基本对称性； 全面介绍了各向异性t h o m s e n 表征理论以及坐标变换基本理论。这些内 容为本论文各章节研究作好了理论上的准备。 ( 2 ) t n 介质弹性波传播特征。主要分析讨论了1 介质和介质 的相速度、群速度、偏振方向和反射透射等传播特征。利用介质的 弹性矩阵及b o n d 变换建立了n 1 介质的弹性矩阵：通过求解t t i 介质 c h r i s t o f f e l 方程得到了t t i 介质弹性波的相速度、群速度和偏振方向及其 t h o m s e n 参数表征；利用s n e l l 定律和边界条件，研究了t t i 介质弹性波 的反射透射特征，为各向异性介质a v o 研究奠定了理论基础。 ( 3 ) 阿介质波动方程分解。主要从t h o m s e n 理论弱各向异性和声学 假设条件两个方面对t t i 介质弹性波波动方程进行分解。具体研究了利 用本征值方法求解i 砸介质弹性波的c h r i s t o f f e l 方程，得到描述q s h 波、 q p 波和q s v 波精确的广义频散关系方程，通过t h o m s e n 弱各向异性表 征理论，推导出了弱各向异性条件下时空域描述q s h 波、q p 波和q s v 波传播的波动方程。由t t i 介质弹性波精确频散关系方程出发，根据声 学假设原理( 令横波速度为零) ，推导出t t i 介质描述q p 波传播的波动方 程。为论文中研究y n 介质深度偏移进一步奠定了理论基础。 “) 介质q p 波深度偏移方法。主要深入研究了v 介质b o r n 近似q p 波单程双域传播算子和深度偏移算法流程。b o r n 近似q p 波单程 双域传播算予是将各向异性速度场分解为常速背景和变速扰动，背景场 是求解各向同性常速的声波方程，通过相移法实现，各向异性散射场可 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文 第1 章前言 以看作是由速度扰动场和各向异性扰动场组成，采用b o r n 近似得到散射 场的计算表达式，速度扰动的散射场由扩展局部b o n a 近似方法计算，各 向异性扰动的散射场用有限差分方法计算。在介质b o m 近似q p 波 单程双域传播算子研究的基础上，建立各向异性介质q p 波深度偏移算法 流程，并实现了叠前和叠后深度偏移。无论是叠前深度偏移还是叠后深 度偏移取得了较好的成像效果，证明了各向异性深度偏移成像算子的正 确性、有效性和适应性 5 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 第2 章各向异性介质弹性波基本理论 地球介质实际上是一种非均匀、非完全弹性、各向异性、多相态的 介质。地震学理论是以地球介质为研究对象，通过地震波正演和反演研 究地球介质的结构和组分。在其理论发展过程中紧紧地和地球模型联系 在一起，有什么样的地球模型就有什么样的地震学理论。地震学理论正 是由简单介质的波动理论向真实地球介质波动理论步步逼近的过程，所 建立的理论地球介质模型和实际地球介质越接近，以此为基础的地震学 理论适应范围也越广，所描述的问题就越全面，随之而来的是造成定解 问题复杂，求解困难。地震波理论属于地震学的范畴，地震波理论与弹 性波理论在本质上是一致的。本章主要介绍各向异性弹性波传播基本理 论：从弹性动力学原理出发，建立了一般各向异性介质弹性波的波动方 程；根据平面波解，建立了各向异性的c h r i s t o f f e l 方程；介绍了各向异 性介质的基本对称性以及n 介质的t h o m s e n 参数表征。这些内容为本论 文后续研究奠定了理论基础。 2 1 各向异性介质弹性波控制方程 各向异性介质弹性波控制方程是各向异性弹性波的波动方程和 c h r i s t o f f e l 方程，是研究地震各向异性的理论基础，是研究地震波传播规 律的根本出发点。 2 。1 1 各向异性奔质弹性波波动方程 弹性动力学问题涉及的物体都是弹性的，即物体在外力的作用下产 生的形变属于弹性形变，外力撤消后，形变消失。地震波传播所依赖的 介质形变可归结为弹性形变，属于弹性动力学的范畴。弹性动力学提供 的三个基本方程：本构方程( h o o k e sl a w ) 、运动微分方程( n a v i e r 方程) 、 几何方程( c a u c h y 方程) ，它们是描述弹性介质内部质点的位移、应力和 应变之间相互联系的普遍规律，是建立各向异性弹性波波动方程的基础。 i 本构方程( h o o k e sl a w 广义虎克定律) 本构方程描述的是应力与应变之间的关系，它反映了介质所固有的 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 物理性质，是在弹性范围内基于g r e e n 弹性和c a u c h y 弹性确立的。本构 方程的一般表达式为： = ，。( 2 1 ) 本构方程又称为广义虎克定律，描述的是在弹性形变范围内应力与 应变的关系是一种线性关系。是应力张量，是应变张量，g 。是刚 度张量，又称弹性矩阵，其元素称为弹性刚度常数，简称弹性常数，每 个下标( f ，五k ，f ) 的取值范围为1 、2 和3 ，每个应力和应变张量有9 个分 量，这样组成的刚度张量有8 1 个分量。在h o o k e 定律公式中，每个下标 ( i j ，k ，z ) 的取值范围为1 、2 、3 ，分别代表x 、y 、z 三个坐标轴的方向。 应力单位是n m 2 ，即单位面积上所受的力，严格地说它不是一种力，是 压强；应变是无量纲的量，因此刚度张量分量的单位是n m 2 。地震波在 地球介质中传播，除了在震源附近发生非线性形变外，都可用线性微分 方程来描述。 根据应变张量的对称性，只有六个分量是独立的。 = = 去罄+ 笋 ( 2 2 ) = = i l i 土+ ， k z z ， 吼 应力是作用于单位截面积上平衡的面力，与平衡物体的内力有关， 不包括非平衡力和扭转力。因此，应力张量也是对称的，只有六个独立 分量，即= d _ 。根据应力、应变张量的对称性，可以证明刚度张量c 五 有如下的对称性，即c 缸= c 知，c 埘= c 0 。由于这两条对称性，弹性刚 度张量由8 1 个分量减为3 6 个分量。另外，由弹性固体的应变能函数的 存在，则有c 知= c 匆，因此c 知的独立弹性常数由3 6 个减到2 1 个。这 是描述极端各向异性介质弹性刚度张量所需的弹性常数个数。当介质的 对称性增加时，即存在对称轴和对称面时，描述弹性介质所需的弹性常 数还会进一步减少。 通常广义虎克定律可写成矩阵方程的形式，表示应力与应变的关系， 弹性刚度系数矩阵是6 x 6 的对称矩阵，其元素是带4 个下标。 7 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 q i o 2 2 吒3 a 3 l 吼2 q l 纽口 2 e 3 i 铂2 ( 2 3 ) 这个系统还可以写成v o i g t 矩阵形式，弹性刚度矩阵元素带有两个下 标，即：c 茹= c 榭( 所，h = l ，2 6 ) ，其对应关系如下；1 l 辛1 ，2 2 寸2 ， 3 3 哼3 ，2 3 和3 2 _ 4 ，1 3 和3 1 专5 ，1 2 和2 1 6 。 ( 2 4 ) 式可写成简化为 其中 q 3q 45 ，q c 2 4 c 3 ，c u c 4 3c 4 4 c 4 6 c $ 3 c 5 6 c 6 6 盯= c 8 e - - ( a , l ，口五，0 - 3 3 ，d 西，吒1 ，q 2 r 8 = “。，毛，毛：) 7 c = c l l 岛2 c 1 2 c 2 2 c 2 3 q c 2 c 1 5 乞s q 6c 2 , s c 1 3c j c 2 4 岛，岛 c 3 4c , u c 3 sc , 5 气 c j 6 c 笛 c 2 6 白，c ， 岛sc 5 6 毛1 岛 毛l 岛2 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 显然矩阵c 也是对称矩阵，矩阵c 逆矩阵a = c - 1 称为柔度矩阵 ( 2 5 ) 式即为常用的本构方程。 2 运动微分方程( n a v i e re q u a t i o n 纳维尔方程) 8 ， 3 3 3 ， ， 乞g q m 磁 m s | s | 抛 如一，一 彩印彩印鳓缸印印印却印印靠缸和如两缸 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 当弹性物体受到非零的和外力时，该外力要转化成物体内的应力， 并使弹性介质内发生应变和位移，形成弹性波场。弹性介质的应力、应 变和位移以及能量都是动态的运动过程。在微分体积元尺度下，弹性波 场的这种动态变化可以用牛顿第二定律描述，进而建立运动微分方程： 酽 p i u = l o + p f ( 2 9 ) o t 其中，p 为介质密度；t 为时间变量：u = 帆，屹) t 为位移矢量； ，= 优，正，z ) 1 为单位质量元素上的体力向量；疗为应力向量；上为偏导 数算子矩阵： l = 旦00 缸 0 旦o o y 00 旦 忽 ( 2 1 0 ) 3 几何方程( c a u c h ye q u a t i o n ) 几何方程描述的是位移与应变之间的关系，其表达式为： 8 = f u ( 2 1 1 ) 其中，8 为应变向量，u 为位移矢量，r 为偏导数算子矩阵工的转置。 4 各向异性介质波动方程 根据弹性动力学原理提供的本构方程、运动微分方程和几何方程， 可进一步建立一般各向异性介质弹性波的波动方程。 p 素u = l ( c l t u ) + p f ( 2 1 2 ) 还可写成下标形式 p 一袅= 硝 ( 2 1 3 ) ( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 式即为以位移表示的一般各向异性介质弹性波的波动方 程，详尽描述了均匀备向异性完全弹性介质中各质点在不同时刻的位移 9 a一砂a一叙 o o o a 一苏 a一彻a一岔a一勿 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 情况和弹性波在该介质中的传播规律，再配以确定的初始条件和边界条 件，便可构成特定的地震波动力学问题。弹性波波动方程是根据本构方 程、几何方程和运动微分方程的内在联系综合导出的，本构方程、几何 方程和运动微分方程都各自具有明确的物理意义。 2 1 2 各向异性介质的g h r i s t o f f e i 方程 一般各向异性介质弹性波方程是很复杂的，各向异性介质地震波传 播特征在很多方面不同于各向同性介质的地震波。c h r i s t o f f c l 方程是由波 动方程导出的，用以研究地震波的传播特征：相速度和群速度等，在地 震波理论研究与实际应用中起着非常重要的作用。这里根据弹性波方程 推导出c h r i s t o f f e l 方程及其解的一般形式。 根据弹性波方程( 2 1 2 ) 推导c h d s t o f f e l 方程的一般形式，也适用于 特定的各向异性介质。为了研究弹性波的传播特征，去掉( 2 1 2 ) 式的体 力项，方程变为 犁 户南u = l ( c f f i y ) ( 2 1 4 ) 研 弹性波方程( 2 1 4 ) 式的平面波解为 u = p c x p i k ( n x - v t ) 】 ( 2 1 5 ) 其中，u = ( u x ，“，吃) 7 为位移矢量；耳= ( 而y ，z ) t 为位置矢量； 厣= ( 以，n ，吃) 7 为波的传播方向：v 为平面波传播的速度即相速度；j = 罟 r 为波数；t 为时问；p = ( 见，p ，见) 为波的偏振方向，在波前满足 n x v t = o d 船t 。 将平面波解( 2 1 5 ) 代入波动方程( 2 1 4 ) 中，则有 ，一p 矿2 厂1 2 厂l ， f nr 一o v r b 厂3 i 厶l 3 - p v 2 见1 f 乃j = 0 ( 2 t 1 6 ) l 见j 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 l = c l i + c “砖+ c 5 5 2 + 2 e 5 6 7 i y ? l z + 2 q 5 也以+ 2 g 6 2 = q 6 + c 2 6 嘭+ + ( c 2 5 + ) 吃+ ( c 1 4 + c s 。) n , n x + “2 十) 以 ，1 3 = q 5 + 彬+ c ，5 + ( + 气) 刀，以+ 如，+ c s s ) n n + ( q + ) 以 厂2 i = q 6 十c 2 6 疗；+ c 4 5 行：+ + c 4 6 ) ”y 以，+ ( c l + 氐) 栉：吃+ ( q 2 + c 6 6 ) 玎：b ，之= + c 2 2 n ；+ c + 2 c z 4 r l y ? i z + 2 也+ 2 c 2 6 以 ，乙= c 5 6 2 + c 2 4 h ；+ 气n ；+ ( + c , 4 ) n y n ：+ ( c 3 6 + c 4 5 ) ? i z n x + ( + ) 以以y l = q 5 + 嘭+ c 3 5 n ；+ ( c 3 6 + c 4 s ) n y n , + 如3 + 岛) 他心+ ( c 1 4 + c s 6 ) 以一y 厂，2 ；+ 屯砖+ q + ( + ) ”，+ 如6 十) 吃吃+ ( + ) 也竹y 3 = e s 5 k 2 + c 4 4 砖+ c 3 3 + 2 c ”n y n , + 3 巳5 也以+ 2 c 4 5 n n y ( 2 1 t ) 这里j 是c h r i s t o f f e l 矩阵，其矩阵元素l 具体表示形式如( 2 1 7 ) 式，它 与介质的弹性参数、波的传播方向有关。根据弹性矩阵的对称性， c h r i s t o f f e l 矩阵也是对称的，即f ：= l ，厂l ，= 厂3 。，= ，乙，( 2 1 6 ) 式就是著名的k e l v i n - c h r i s t o f f e l 方程。从数学角度讲，c h r i s t o f f e l 方程描 述的是本征值问题，为使波的偏振矢量p 有非零解，就需要使c h r i s t o f f e l 矩阵行列式为零，即 。- p v 2 厂i ：厂i ， 厂2 1 厂之一p 矿2 ，之 l 厂3 2 凡- p v 2 = 0( 2 1 8 ) 方程( 2 。1 8 ) 是k e l v i n - c h r i s t o f i e ! 方程的另一种表示形式，它是关于p 矿2 的 一元三次方程。在各向异性介质中，给定任意传播方向，c h r i s t o f f e l 方程 会产生三个可能相速度根，分别对应p 波、s v 波和s h 波。因此，s 波 通过各向异性介质时会产生横波分裂现象，两个s 波分别以不同的相速 度和偏振方向传播。在特定的方向上，分裂的s 波的相速度是一致的， 以相同的相速度传播，这时又会产生s 波奇异性( s h e a r - w a v es i n g u l a r i t i e s ， c r a m p i n ，1 9 9 1 ；h e l b i g ，1 9 9 1 ；t s v a n k i n ，2 0 0 1 ) 。在各向同性介质中， 两个s 波以相同相速度和偏振方向传播。c h r i s t o f f e l 矩阵是实的对称矩 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 阵，三个本征值对应的偏振矢量p 是相互正交的。除了特定的传播方向 外，偏振矢量p 和传播方向1 1 既不平行也不垂直，即在各向异性介质中 没有纯p 波和纯s 波。由于这个原因，各向异性波动理论称弹性波为 q u a s i - p 波、q u a s i s 1 和q u a s i - s 2 波。 2 2 各向异性介质的基本对称性 在地震学研究中，地震各向异性指的是在地震波长的尺度上任何包 含内部结构( 旋回性薄互层或定向排列的裂隙) 的均匀性材料，其弹性特 征随方向发生变化，地震学家对地震各向异性是采用各向异性弹性常数 来描述。地震学家们只研究弹性特征的对称系统。弹性特征是通过弹性 张量反映的，前面介绍了弹性张量与弹性矩阵建立了完整的对应关系。 通过弹性张量的矩阵表达后，两个下标的概念可使数学表达大大简化， 特别是可应用b o n d 变换，以矩阵运算形式将任何旋转或其它对称性操作 应用于矩阵形式的弹性张量。弹性张量的矩阵形式在非零常数和最大对 称性框架下常数约束不同就代表了不同的对称系统，按照地球介质中波 动的物理可实现的对称性，介绍实际地球介质各向异性的基本对称性。 1 极端各向异性 极端各向异性( a e o i t r a r ya n i s o t r o p y ) 是非对称性系统或称为三斜系统 ( t r i c l i n i cs y s t e m ) ，没有对称面，弹性矩阵具有2 1 个独立弹性常数。这是 各向异性介质的一般形式，可用来描述具有任意方向各向异性的岩石介 质，其弹性矩阵为： c = c i ic nq ， q 2c nc q ，岛， 岛3 q 4c uc ，4 c 1 5c 2 5 岛， c 1 6 0 3 6 q c 1 5c j 6 c 2 4 c 2 6 气岛jc 3 6 c c 6c q 5 c 拍 ( 2 1 9 ) 随着对称性的增加，其各向异性程度会降低，独立的弹性常数个数减少。 2 单斜各向异性 单斜系统( m o n o c l i n i es y s t e m ) 中的弹性矩阵具有1 3 个独立弹性常 宇国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章各向异性介质弹性波基本理论 数，单斜各向异性介质( 只有一个对称面) ，一般认为不同时期两套非正 交的平行裂隙而形成，其对称面垂直于两套裂隙面的交线，或