（应用数学专业论文）一般曲面上纤维稳定缠绕的数学模型及其应用.pdf

浙江人学博f 后研究工作报告 一般曲面上纤维稳定缠绕的数学模型及其应用 摘要 r 纤维稳定缠绕的数学模型是纤维缠绕复合材料制品工艺的理论基础和关键 技术。自纤维缠绕复合材料工艺发明以来，人们掌握的纤维缠绕的数学模型主 要是从生产实践和试验等经验中摸索并总结出来的，缺乏用先进的数学方法进 行精确而深刻的理论研究。这种现状导致了人们对纤维稳定缠绕机理认识不清 和不能抓住本质，甚至由此衍生了一些错误的但在国内外都流传很广的“准 则”。因此，从数学的角度对一般曲面上纤维稳定缠绕的数学模型进行理论研 究，有助于人们更好地掌握纤维缠绕规律，拓宽缠绕工艺范围。) 本文先以一般曲面上缠绕的纤维作为研究对象，通过受力分析建立了纤维 缠绕的稳定方程，应用微分几何理论，描述了纤维轨迹和曲面的几何关系，最 后导出了由重要几何决定的纤维稳定缠绕条件。( 文中对该条件给出了两种推导 方法，目的是突出该条件的本质。除了推导之外，本文对任意曲面上纤维轨迹 的稳定情况进行了分类，揭示了滑线和架空的相互关系，并指出了不滑线和不 架空必须作为一个整体考虑。为了便于应用，给出了滑线和架空的判定准则， 其中架空判定准则比现有方法使用更加简便。广 作为本文数学模型的应用，首先以回转对称体为对象讨论了其非测地线稳 定缠绕条件的另一种形式，稳定轨迹的缠绕角方程和纤维架桥判据。并针对圆 柱体和圆锥体，给出了它们缠绕角微分方程的解析解和纤维桥判定的确定结 论；对非对称体零件，以弯管为对象，介绍了其拟测地线缠绕算法和非测地线 缠绕算法。对拟测地线缠绕弯管算法，本文先介绍了回转体上拟测地线样条的 符! ：c 念并给出了扩展克雷劳定理的一种简单严密的推导，然后给出了弯管上拟测 地线方程的具体形式；对非测地线缠绕弯管算法，通过给出弯管上非测地线缠 绕角变化的典型曲线图介绍了采用r u n g e k u t t a 自适应步长数值法求解缠绕角 微分方程应注意的问题。最后介绍了作者研制的弯管缠绕c a d 软件 e l b f w c a d1 0 的功能，并给出了弯管缠绕线线型仿真结果的图片。 为了使设计适应缠绕工艺，探讨了纤维缠绕等张力封头曲面的两种设计新 方法，并给出了设计的例子。 关键词：复合材料成型工艺、纤维稳定缠绕，c a d ，夸管 ( 塑坚盔兰堡主亘业型j ：堡丛重 m a t h e m a t i c a lm o d e lo fs t a b l ef i l a m e n tw i n d i n g o n g e n e r a lc u r v e ds u r f a c ea n di t sa p p l i c a t i o n a b s t r a c t t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo fs t a b l ef i l a m e n tw i n d i n gi sb o t ht h et h e o r yf o u n d a t i o na n d k e yt e c h n o l o g y o ff i l a m e n t w i n d i n g s u c hk i n d s o fm o d e l sh a v eb e e nm a i n l y c o n c l u d e df r o me x p e r i e n c e ，w h i c hi s o b t a i n e d b yp e o p l e f r o mt h e i r p r o d u c t i o n p r a c t i c e o re x p e r i m e n t s ，s i n c et h ei n v e n t i o no ff i l a m e n tw i n d i n gt e c h n o l o g y t h a t m e a n st h e s em o d e l ss t i l ll a c kp r e c i s ea n dd e e pt h e o r e t i c a lr e s e a r c hb ym e a n so f a d v a n c e dm a t h e m a t i c a lm e t h o d s u c ha c t u a l i t yc a u s e sp e o p l ec a nn o tu n d e r s t a n dt h e m e c h a n i s mo fs t a b l ef i l a m e n tw i n d i n gc l e a r l ya n dg r a s pi t se s s e n c e i te v e nc a u s e s s o m em i s t a k e nc r i t e r i a ，w h i c hi sp o p u l a rb o t hi nt h es t a t ea n da b r o a d s od or e s e a r c h o nt h em a t h e m a t i c a lm o d e lo fs t a b l ef i l a m e n tw i n d i n gw i t ha d v a n c e dm a t h e m a t i c a l t h e o r yw i l lh e l pp e o p l e t o g r a s p t h el a wo ff i l a m e n t w i n d i n g a n de x t e n dt h e p r o d u c t i o nr a n g eo f f i l a m e n tw i n d i n gt e c h n o l o g y f i r s t l y ，t h i sr e p o r t t a k e st h ef i b e rw o u n do nt h e g e n e r a lc u r v e d s u r f a c ea s r e s e a r c ho b j e c t e q u i l i b r i u me q u a t i o n sa r ee s t a b l i s h e db ya n a l y z i n gt h es t a t i cf o r c e s a c t i n g o nt h ef i b e r t h e nd i f f e r e n t i a l g e o m e t r yt h e o r y i su s e dt od e s c r i b et h e g e o m e t r i cr e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h ef i b e ra n dt h ec u r v e ds u r f a c e a sar e s u l t ，t h e s t a b l ec o n d i t i o n ，w h i c hi sd e t e r m i n e db yi n t r i n s i cg e o m e t r y ，f o rf i l a m e n tw i n d i n gi s d e r i v e d i nt h er e p o r t ，t w om e t h o d sf o rd e r i v a t i o na r ep r e s e n t e dt os h o wt h ee s s e n c e o ft h ec o n d i t i o n b e s i d e st h et w od e r i v a t i o n s ，t h ef i b e rp a t ho nt h eg e n e r a lc u r v e d s u r f a c ei sc l a s s i f i e d t h ec o r r e l a t i o nb e t w e e nn o n - f i b e r - b r i d g ea n d n o n f i b e r s l i p p a g e i sr e v e a l e d f u r t h e r m o r e ，t h er e p o r tp o i n t so u tt h a tn o n f i b e r b r i d g ea n dn o n f i b e r s l i p p a g e s h o u l db ec o n s i d e r e da sa ni n t e g r a l r e q u i r e m e n t f o rs t a b l e w i n d i n g t o f a c i l i t a t eu s i n gt h ec o n c l u s i o n ，c r i t e r i at oj u d g ef i b e rs l i p p a g ea n df i b e rb r i d g ei s g i v e n t h en e wc r i t e r i o n i s s i m p l e rt o b eu s e dt oj u d g ef i b e r - b r i d g et h a nt h o s e c u r r e n t l yb e i n g u s e d a so n ea p p l i c a t i o no ft h em a t h e m a t i c a lm o d e lp r o p o s e di nt h i s r e p o r t ，t h e c o m p o n e n tw i t has u r f a c eo fr e v o l u t i o ni sf i r s t l yi n v e s t i g a t e d as p e c i f i cf o r mo f s t a b l ec o n d i t i o nf o rn o n - g e o d e s i cp a t hi sg i v e n t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o no f w i n d i n g i i 塑坚盔兰堡主亘塑壅王堡丝堂 a n g l ea n dc r i t e r i o nt oj u d g ef i b e r b r i d g ea r e a l s oo b t a i n e d i na d d i t i o n ，f o rw i n d i n go n c y l i n d r i c a l a n dc o n i c a l s u r f a c e ，t h ea n a l y t i c a l f o r mo fr e s u l to fw i n d i n ga n g l e e q u a t i o na n dc e r t a i nc o n c l u s i o nt oj u d g ef i b e r b r i d g ea r ed e r i v e d a sa na p p l i c a t i o n o ft h em a t h e m a t i c a lm o d e lo nt h ec o m p o n e n tw i t ha na s y m m e t r i c s u r f a c e ，r e s e a r c h o ne l b o w w i n d i n g i sc h o s e n t w o f i b e r p a t hd e s i g nm e t h o d s ：q u a s i - g e o d e s i c a l g o r i t h ma n dn o n g e o d e s i ca l g o r i t h ma r e i n t r o d u c e d f o rq u a s i g e o d e s i cw i n d i n g a l g o r i t h m ，t h ec o n c e p to fq u a s i g e o d e s i ci sf i r s t l yi n t r o d u c e d ，t h e nas i m p l ea n d s t r i c t d e r i v a t i o nf o re x t e n d e dc l a i r a u tl a wi sg i v e n f i n a l l y ，t h es p e c i f i cf o r mo fw i n d i n g a n g l ee q u a t i o n o fq u a s i g e o d e s i co ne l b o ws u r f a c ei s g i v e n f o r n o n g e o d e s i c w i n d i n ga l g o r i t h m ，t h ep r o b l e m st h a ts h o u l db en o t e dw h e n c a l c u l a t e sw i n d i n ga n g l e o fn o n g e o d e s i co ne l b o wb ym e a n so fn u m e r i c a lm e t h o d w h i c hu s er u n g e k u t t a m e t h o dw i t ha d a p t i v es t e pt os o l v eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n i si l l u s t r a t e db y f i g u r e s ac a d s o f t w a r ec a l l e de l b f w c a d1 0i sd e v e l o p e db a s e do nt h em e t h o d f u n c t i o n so ft h es o f t w a r ea r ed e s c r i b e da l o n gw i t hp i c t u r e so ff i l a m e n tw i n d i n g p a t t e r n so ne l b o w s i no r d e rt om a k et h ed e s i g nt oa d a p tt of i l a m e n tw i n d i n gt e c h n o l o g y t w on e w a l g o r i t h m sd e s i g n i n gi s o t e n s o i dd o m e a r ei m r o d u c e dw i t he x a m p l e s k e yw o r d s ：c o m p o s i t em a n u f a c t u r i n gt e c h n o l o g y ，s t a b l ef i l a m e n tw i n d i n g c a d e l b o w i i i 第一章绪论 1 1 纤维缠绕的概念 第一章绪论 类似于蚕吐丝做茧时不断地将茧丝绕到茧体上，最终形成一个壳体，我们通 过缠绕机绕丝嘴沿芯模轴向往复导引纤维的运动、芯模的转动以及其他辅助运 动，将浸涂了树脂( 胶液) 的纤维按优化的承载方向和预先确定的模式精确地 连续地铺放到阳模上形成一种编织结构，最终达到一定厚度形成完全覆盖芯模 的壳体或网格状结构的过程称为是缠绕。缠绕成型后通过多种方法将芯模与零 件制品分离( 如采用收缩组合芯模等) ，然后通过常温或加热加压固化壳体， 就可以生产出以纤维为骨架以树脂包覆纤维，具有高强度而质量很轻的复合材 料制品来。 缠绕作为一种增强结构强度的方法，几千年以前就已经被古人采用，但作 为正式采用机床做工具以机械化和自动化的方法来制造聚合物树脂复合材料的 工艺是1 9 4 7 年才在美国出现的。 1 2 与金属制品相比的特点 首先两种产品的加工方式截然不同，金属零件主要以切削加工为主，通过 去除材料来形成最终零件的形状和尺寸，优点是加工精度较高。缺点是产生了 大量切屑，浪费材料；零件质量大，比强度低；零件容易发生腐蚀损坏，维护 成本高。纤维缠绕复合材料制品的成型过程是在模具上增加材料，复合材料与 结构同时形成，材料利用率很高，由于纤维和树脂质量小，强度高，所以制品 比强度高，同等强度的构件重量只相当于钢铁构件的1 3 1 4 ，因而能显著降低 产品重量；耐酸碱油等的化学腐蚀和烧蚀，使用寿命长。可成型巨大结构，如 缠绕直径1 0 m ，容积达1 0 0 0 m 的储罐。 从以上分析来看，纤维缠绕特别适合于运输成本对重量十分敏感的宇宙飞 行器、飞机等交通工具，以及腐蚀严重的场合如化工、石油管道和容器，对运 动部件惯量要求较小的场合如高速运转的离心机转臂。而金属零件适合于精密 配合的机构，或零件重量和惯量对性能和能耗影响不大，腐蚀也不严重的场合。 就目前市场的价格来看，总的来说纤维缠绕制品的定位是高端的应用，而金属 零件在中低端应用仍占主导地位。 1 3 为什么纤维缠绕制品强度很高 ( 1 ) 缠绕时纤维受拉张紧，可以充分发挥纤维抗拉强度高的特点。并且纤 维是连续的也有助于提高产品强度。 ( 2 ) 纤维在机械控制下沿优化的受力方向精确放置，可以按设计要求在特 定的方向提供强度。 ( 3 ) 材料的分布是按强度设计合理分布的，即各向异性的，克服了金属等 各向同性体强度冗余较难控制的缺点。 ( 4 ) 整个制品纤维含量较高( 可高达8 0 ) ，零件整体成型，避免了拼装 连接的工艺，可提高材料抗疲劳的能力。 1 4与其他复合材料成型工艺相比的特点 ( 1 ) 产品获得强度更高。 ( 2 ) 生产效率高，能大规模生产，产品质量稳定。 ( 3 ) 湿法缠绕树脂和粗纱能直接使用无须制备中间材料，能显著降低生产成 本。 总之虽然纤维缠绕因为滑线和架空问题的存在对零件的几何形状有较多限 制要求，许多形状的零件不能采用缠绕成型，但就目前的工艺来说，纤维缠绕 仍然是制造复合材料结构件的一种最有效和成本最低方法。当然不排除新的工 艺能既继承缠绕工艺的优点又能克服其缺点。 1 5 经济效益 表面上看，目前纤维缠绕构件的生产成本还比通过金属冷热加工得到的产 品高。但若综合考虑到使用中的维护费用或运输发射成本，纤维缠绕产品的综 合成本实际上较金属冷热加工产品要低的多。举例来说，我国油田含硫量高， 开采石油的钢铁管道往往2 3 年就发生穿孔，而采用纤维缠绕的玻璃钢管道使 用寿命则可达到3 0 年。考虑到纤维缠绕管道内壁非常光滑，同等管径下比钢管 等可节省泵的功率和能耗3 0 4 0 。若按同等流量计算，玻璃钢缠绕管道可以 比钢管减少直径1 0 2 5 ，如中2 5 0 的玻璃钢管与中3 2 5 7 钢管输送能力相当 并可降低成本约8 ”。 1 6 技术含量 由于缠绕过程中在芯模曲面上的纤维受张力作用会沿芯模切平面产生滑动 趋势，所以只有沿特定方向缠绕才是稳定的，否则就会发生滑线和架空现象导 致缠绕失败。所以纤维缠绕的稳定轨迹必须通过计算，零件形状越复杂计算也 复杂，而且许多零件目前国际上也都没有找到可行的计算方法。其次对形状复 第一章绪论 杂的零件如何设计纤维轨迹保证零件整体覆盖或形成网格结构在数学上也是一 个难题。另外缠绕机不同于普通的数控机床，它的成型原理与金属切削机床不 同，所以需专门设计其机械结构和配套的控制系统( 如多轴运动控制，张力控制， 温度控制系统) ，开发计算机控制缠绕机的控制软件和产品的c a d c a m 软件。 总的来说该项技术的技术含量很高，可以毫不夸张地称其为高技术。事实上目 前只有少数发达国家如美国、德国、英国、比利时等较全面地掌握计算机控制 纤维缠绕的软硬件技术。当前国内也只有少数科研机构开展了该项研究。 1 7 主要应用范围 ( i ) 绿色环保汽车用压缩天然气瓶 如今世界上许多大城市空气污染已严重到了不得不治理的阶段，而其元凶 当数汽车的尾气。在一些特大城市，大气污染已经由煤烟型污染转向汽车型污 染。原因就在于机动车数量快速发展了，但却没有采取降低汽车尾气的有效措 施。如目前中国机动车保有量为1 5 0 0 万辆，是9 0 年代初期的3 倍。其中上海 市机动车总量增加迅速，1 9 9 8 年比1 9 9 5 年增加了5 0 ，目前已有各类燃油车 辆1 2 8 万多辆，其中助动车己达4 0 万辆。机动车尾气中主要污染物：一氧化碳、 碳氢化合物、氮氧化物的排放量分别为3 8 万吨年、1 0 万吨年和8 1 5 万吨年。 目前该问题已引起了社会的关注，中央电视台5 月2 6 目的就报道说随着城 市交通的迅猛发展，大气污染已由烟气污染转向汽车尾气排放污染，一项调查 表明，北京的大气中，有7 3 5 的碳氢化合物、6 3 4 的一氧化碳以及4 6 的氮氧化物来自汽车尾气排放。大量的汽车尾气的排放导致城市空气污浊、 烟雾及更有害的光化学反映、酸雨。这些都威胁着城市居民的身体健康，并使 旅游业也受到影响。中国预防医学科学院的一项调查结果表明：北京市区汽车 尾气中的一氧化碳污染十分严重，污染浓度最高值达每立方米4 1 毫克，远远超 过国家卫生标准。 解决汽车尾气的问题的一个理想方案是采用天然气作为燃料。因为天然气 是一种清洁的能源，汽车采用它后尾气排放量可大幅度降低，其中一氧化碳可 减少9 0 ，碳氢化合物可减少7 0 ，氮氧化合物可减少4 0 以上。另外还有下 面4 种优点：( 1 ) 可降低发动机磨损延长寿命，使汽车大修间隔里程延长2 2 5 万公罩，机油耗量减少5 0 。( 2 ) 安全性高，纤维缠绕因碰撞等原因导致漏气 时，液化气会在极短时间内喷射发散，不会燃烧，而汽油在碰撞后遇火星即燃 烧爆炸( 天然气着火点为6 5 0 ，汽油为4 1 7 ) 。( 3 ) 天然气价格仅为汽油的 1 2 ，而我国天然气储量丰富，大庆油田尚可开采1 5 年以上，浙江沿海，四川 都有丰富的储量。也许很多人都担心的天然气汽车的行驶能力，其实一辆排气 量为2 l 的小轿车( 桑塔纳、奥迪等) 装一只6 0 升( 2 1 m p a 盛1 3 k g 压缩天然 气) 就可行驶1 4 0 1 6 0 k m ，多装几只就完全不必频繁加气【7j 1 。采用纤维缠绕 成型压缩天然气瓶的突出的优点是：最安全、强度可以比钢瓶更高、而重量却 比钢瓶轻许多。因为试验表明纤维缠绕瓶即便是通过专门试验打压发生爆裂， 也不会象钢瓶那样产生碎片伤人，道理很简单因为纤维是柔软的丝状物，而钢 瓶却是，擘硬的块状物。 展望未来，可以说玻璃钢缠绕压缩气瓶发展空间是巨大的。因为污染较少 的环保型汽车如天然气和液化石油气汽车在全国范围内仅有一万多辆。根据 规划到2 0 0 0 年我国汽车年产量将达3 0 0 万辆。按6 0 l 玻璃钢气瓶美国市场售价 4 5 0 美元，即便按1 0 利润计算，盈利依然可观。如今市场也显现了该市场发 展的端倪，北京市今年计划在公交行业推出1 7 万辆天然气汽车和液化石油气汽 车建设4 7 个加气站。上海市今年已计划8 0 0 0 辆石油液化气( l p g ) 汽车的 改造，建设2 0 座加气站。 ( 2 ) 化工储罐和管道 参观过化工厂的人都会为工厂中腐蚀的严重程度而吃惊：不仅生产设备锈 迹斑斑，甚至办公室里钢铁制成的办公用品也锈蚀的很厉害。其实这只是表面 现象，更严重的是因生产设备和管线腐蚀损坏导致的事故以及不得不定期进行 的检修和由此导致经济损失。毫无疑问产值越大的企业，这种损失也越大。据 统计，我国每年因金属管道腐蚀导致的损失就高达1 0 0 亿元( $ 1 2b i l l i o n s ) 。 目前化工用中高压小直径管道及其接头的市场需求很大，而能生产这种产品的 厂家却很少。显然采用纤维缠绕的玻璃钢化工储罐和管道可以显著降低其设备 管线的维护费用和因停工而导致的损失。所以这种投资效益无疑是巨大的。 出于安全考虑，储油罐通常要埋入地下，但是土壤中的盐份、水份会腐蚀 钢质贮油罐，使其在使用大致十年前后会发生严重渗漏，严重污染地下水源。 而采用纤维缠绕玻璃钢则可有效解决这一问题。目前美国已采用玻璃钢地下油 罐3 0 0 5 0 0 万个，最大应用容积达1 9 0 m 3 。大约9 0 以上的用户已采用了玻璃 钢油罐。 ( 3 ) 体育器材 我国某工厂钓鱼杆年产值已达亿元以上，但强度低重量大外观差，产品档 次低，与同样材料国外的高档次缠绕鱼秆售价相差2 - 3 倍，白臼损失大量的利 润。采用缠绕工艺还可以大量生产高尔夫球杆、滑雪杆、跳高撑杆、网球拍、 帆船桅杆、滑雪杆、曲棍球杆、棒球杆、自行车架。这些产品都有良好的出口 前景。 1 8 其他纤维缠绕产品 ( 1 ) 航空航天应用： 客机淡水以及粪便储罐、直升机螺旋桨叶片、卫星太阳能电池帆板支架和 天线、火箭发动机、航天飞机或飞船舱体。 第一章绪论 ( 2 ) 机械工城应用： 传动轴( 如机床) 、机器人手臂、超高速离心机转臂、打印机、造纸机滚筒 ( 3 ) 化工： 化工用管道及接头、压力容器、储罐、冷却塔 ( 4 ) 交通： 汽车车架、高速列车客车车厢、弹簧、罐车储罐 ( 5 ) 武器装备： 战略、战术、单兵肩扛式导弹发射筒。鱼雷、潜艇壳体。轻便高强的桥梁 ( 6 ) 建材 水箱、不会生锈的柱、梁、不会产生二次污染的输水管道 1 9 课题的研究内容和背景 作者博士后研究工作的课题背景是国家自然科学基金项目：“纤维缠绕计 算机辅助设计与成型的数学原理和方法”( 编号：1 9 7 7 1 0 7 4 ) 、国家科学技术部 九五重点科技攻关计划“纤维缠绕复合材料弯管的关键技术与装备的开发研 制”和博士后科学基金“计算机控制缠绕机缠绕弯管和t 型管接头的数学模型、 图形仿真和实验”。其中国家科学技术部九五重点科技攻关计划“纤维缠绕复合 材料弯管的关键技术与装备的开发研制”由南京先进复合材料产业化促进委员 会、国家树脂基复合材料中心( 哈尔滨玻璃钢研究所) 和浙江大学共同承担。 三方分工如下：南京先进复合材料产业化促进委员会负责弯头应力分析、市场 调研和推广；哈尔滨玻璃钢研究所负责研制四轴联动计算机控制纤维缠绕机； 浙江大学负责研制复合材料弯头计算机辅助设计( c a d ) 软件系统。这个项目从 1 9 9 9 年9 月正式启动，要求在2 0 0 0 年6 月进行c a d 软件系统与缠绕机的联机 调试。 在上述课题背景下，作者为了兼顾三个课题，选择了般曲面上纤维稳定 缠绕的数学模型和其在弯管上的应用作为课题的研究重点，在理论研究的基础 上，结合应用实际开发弯管缠绕c a d 软件。 对于纤维稳定缠绕的数学模型的研究，主要采用微分几何方法以一般曲面 上的缠绕纤维作为研究对象，通过静力分析、建立平衡方程、化简和讨论，得 出将架桥和滑线统一考虑的数学表达。 对于应用，主要以弯管为研究对象，研究在给定力学缠绕角，层厚，弯管 接头芯模几何尺寸，材料摩擦系数条件下，计算稳定的纤维缠绕轨迹，使一层 或多层纤维能尽可能均匀覆盖整个芯模。为了检查纤维轨迹形成的线型，及早 发现错误的设计，要研究开发在计算机上以三维图形直观地显示纤维缠绕线型 和缠绕过程的算法和软件。 浙江大学博士后研究工作报告 考虑到采用纤维缠绕气瓶装载压缩天然气是替代汽油、柴油，解决城市汽 车尾气污染的很有潜力的措施，作者研究了纤维缠绕压缩天然气瓶设计中较为 困难的问题：等张力封头曲面轮廓的计算机辅助设计算法。采用该算法编制了 软件。 1 1 0 弯管缠绕c a d 的研究现状 长久以来，采用纤维缠绕机自动化生产的制品的范围主要局限于回转体这 类对称零件。对于弯管和t 管等非旋转对称体，由于纤维轨迹没有旋转对称性， 纤维在芯模两端往返的每一条轨迹都必须计算，因而比回转体缠绕复杂的多。 被公认为纤维缠绕中的难题。 目前国际上采用的纤维路径设计的方法主要有两种：( 1 ) 微分方程数值解 法：( 2 ) 三角面片割分法。后者将零件表面用微三角面片剖分逼近，然后用三 角面片上的直线来代替测地线。采用方法( 1 ) 的系统有英国h a r w e l l 实验室， 采用方法( 2 ) 的系统有比利时l e u v e n 大学、德国a a c h e n 大学、英国n o t t i n g h a m 大学等。目前国外只有两个纤维缠绕c a d 软件系统具有弯管缠绕路径设计功 能：即比利时l e u v e n 大的c a d w i n d 和英国n o t t i n g h a m 大学的c a d f i l 。其 中c a d w i n d 是历经1 2 年才开发成功的l 。这两个系统都采用了将芯模曲面 三角化的表示方法，即将芯模用大量的三角形平面片来近似。如此曲面上寻找 稳定的纤维轨迹就可转化成寻找三角面片上的一条直线轨迹，只要它满足与上 一通过面片上的纤维轨迹夹角不超出稳定范围即可。这种方法称为是几何逼近 法，其优点是具有通用性，无须求解微分方程；其缺点是模型粗糙，计算误差 和累积误差矛盾较突出，另外该法由于平面逼近的固有误差容易导致架空和滑 线的无效路径，其可靠性难以保证，通常要开动机器试缠才能检验。从直观上 看，该法割裂了特定曲面各部分的相互联系，放弃了从总体几何性质上出发控 制缠绕线型的重要手段。事实上由于这种方法存在的上述问题，开发一个产品 需要很多次开动机器试缠，然后相应调整计算中的纤维路径才能完成，所以产 品开发效率也很差强人意，还不能算得上达到了计算机辅助设计与制造实用的 标准。 从学术研究方面看，最近国际上接连三次召开的著名的s a m p e 会议( 先 进材料及其加工会议) 以及9 8 年在比利时召开的首届纤维缠绕国际会议都有弯 管缠绕论文的情况表明该研究仍然是国际上都在攻的难题，人们还在积极探求 真正可靠而且合理分布纤维的方法。国际上从事该项研究的著名的机构还有： 德国a a c h e n 大学、美国的e n t e c 公司、h e r c u l e s 公司、d e l l a w e l l 大学、b r i g h a m y o u n g 大学、意大利r o m e 的l as a p i e n z a 大学等。 第一章绪论 1 1 l 课题的研究意义 在理论上，本文以一般曲面上纤维稳定缠绕的数学模型为研究课题，目的 是从数学和力学的角度揭示纤维稳定缠绕的原理，建立准确的纤维缠绕稳定条 件，为采用各种方法构造、设计纤维稳定缠绕轨迹提供依据。 在应用上，本文以纤维缠绕复合材料弯管接头为研究重点。是出于如下考 虑：全复合材料的管道及其管接头是航空航天器减重节能以及化工、石油开采 和冶炼、建筑给排水、海洋丌发、食品加工等领域防腐蚀需要大量采用的产品。 其应用价值可从下述几个例子略见一斑：对卫星发射来说，重量每减轻1 斤， 可减轻火箭燃料1 0 0 斤：又如大型石化企业每停产一天，经济损失将达数十万 元，而众所周知化工管道中腐蚀问题特别突出，许多产值很高的企业因管道及 容器腐蚀破坏常常导致停产造成巨大的经济损失。石油开采中我国因油田普遍 含硫量偏高，采油管道穿孔频繁往往达不到设计寿命就必须更换，导致开采成 本提高。我国河流污染严重，许多沿江的造纸厂和化工厂需要兴建污水处理装 置，采用传统的金属制成的污水处理罐和管道寿命短，经常更换成本高，也导 致许多厂家对环保投资望而生畏。据统计我国每年因腐蚀造成的损失就达l o o 亿元，如果采用耐腐蚀玻璃钢缠绕管道及其管接头则可以4 - 5 倍地延长管道的 寿命，创造出可观的经济效益。 与其他复合材料成型工艺相比，从强度、生产效率和质量稳定性方面来说， 纤维缠绕是生产管道和管接头的理想工艺。对于直管，由于成型技术和设备简 单，国内目前已能批量生产，但与直管配套的管接头尤其是化工设备中急需的 高压小口径的弯管和三通却不能配套生产：对口径较大的中低压力管接头，目 前国内普遍采用直管截断然后外部手糊连接的方法生产，直截或斜截直管都要 产生许多粉尘同时也消减了连续纤维的强度，手糊连接处也成了零件的薄弱环 节往往率先破坏。另一种方法是采用手拉纤维配合脚踏控制芯模旋转的方法， 由于成型个零件需要一束纤维往复成百上千次，因此人工很难控制线型。尤 其是对弯管和三通等非旋转对称体寻找不滑线和架空的纤维轨迹本身就很费 时，手工缠绕就几乎难以实现了。 从复合材料工艺角度看，由于弯管是一种典型的非对称体零件，与回转体 缠绕有本质不同，所以该研究不仅能发展复合材料纤维缠绕工艺，扩大缠绕制 品工艺范围，而且其研究和解决问题的方法对于其它更多和更复杂的非对称体 零件也具有重要的参考价值，可以为开发出新的复合材料缠绕成型工艺打下基 础。 浙江大学博士后研究工作报告 从数学角度来看，弯管上的纤维轨迹不具有旋转对称性，每条纤维轨迹都 必须计算，所以保证纤维完全覆盖零件在几何拓扑上问题比回转体困难得多。 最后从计算机图形学角度看本研究也将发展新的几何造型方法：线素整体造 型。这是与传统的离散曲面造型完全不同的方法。 从产业发展和市场需求看，据统计在管道系统中，除圆柱直管外，8 5 的零 件是弯管和t 型三通管接头。目前世界上( 包括我国) 已采用了大量的纤维缠 绕直管，但因缺乏优秀的纤维缠绕弯管和三通管接头工艺，缺乏高质量的配套 产品，阻碍了全复合材料管道系统的推广，限制了产业的发展。目前我国从事 玻璃钢管道储罐生产的中等规模工厂已有3 0 0 多家，小企业则更多。这些企业 普遍存在技术落后、产品单一的问题，很多卷入了为相互竞争以牺牲质量来降 低价格的恶性循环，甚至损坏了玻璃钢产品在人们心目中的形象。由于产品质 量差，仅占有低端应用，而高端应用却存在空白 1 1j 。因此研究和推广缠绕弯管 接头不仅可以帮助这些企业摆脱困境，以质量和技术开拓国内和国际防腐轻质 高强管路产品的市场。另外我国环保产业正在快速发展，到2 0 1 0 年总产值将达 到5 0 0 0 亿元，因此环保设备可对防腐、防垢的玻璃钢管接头形成很大需求。 从以上分析看，研究纤维稳定缠绕的数学模型和弯管接头的计算机辅助设 计的关键技术不仅具有重要的理论意义而且对于推动纤维缠绕管道产业发展， 提高应用复合材料纤维缠绕管道企业的技术水平和效益也具有现实意义。 浙江入学博士后研 究工作报告 第二章一般曲面上纤维稳定缠绕的数学建模 i 本章摘要j 针对纤维缠绕中的架桥和滑线问题，本章采用力学分析结合微分几何 的数学描述的建模方法，通过详尽的推导，导出了一般曲面上纤维稳定缠绕条 件。该条件不同于以往他人提出的类似条件之处在于：它将不架桥和不滑线看成 是一个整体的要求，而且它深刻地揭示了以下内容：纤维缠绕中的架桥、滑线的 机理以及两者的关系，纤维缠绕稳定缠绕条件的力学和几何意义。其后引入缠绕 轨迹滑动趋势系数的定义，给出了一般曲面上纤维稳定缠绕轨迹的设计方法。 主题词纤维缠绕稳定缠绕条件微分几何 2 1 引言 回顾纤维缠绕工艺的发展历史，可以发现它是一种从试验中诞生，并在5 0 年代矿式得到应用的技术。以往对其规律的研究主要是通过实践总结，而对其从 理论上进行研究也主要是近2 0 年的事。在纤维缠绕理论中，纤维稳定缠绕条件 是一个基本的也是十分关键的问题。从该条件出发才可以构造各种形式各异，自 由度不同纤维轨迹方程，以满足特定的设计、工艺要求或为简化运算等。如纤维 缠绕轨迹的形式可以是微分方程形式，或是解析的代数曲线，但它们必须满足纤 维稳定缠绕条件。但遗憾的是现有文献并没有对纤维稳定缠绕给出过完整而准确 的模型以及可信的推导。其结果是使人们无法抓住纤维稳定缠绕的关键，导致了 一些错误认识，如认为测地线就是稳定可以用于缠绕的；再如认为纤维在芯模曲 面的负高斯曲率段( 通俗说法是“凹曲面”) 缠绕时一定会会发生架桥。没有一 个精确可靠而且能揭示纤维稳定缠绕本质的数学模型的现状导致人们无法针对 具体零件类型来开发有效和优化的算法，错误的认识限制了人们大胆想象并勇敢 创新的思维，两者都阻碍了纤维缠绕技术的推广和进步，因此很有必要从数学角 度，深入地研究纤维稳定缠绕条件这一基本问题。 0 在给出本文的研究结果之前，首先让我们回顾一下前人已发表的有关的研究 工作。1 9 7 8 年德国a a c h e n 工业大学塑料工艺研究所在s p i 第3 3 届技术年会发表 后来被各国广泛采用的非测地线稳定缠绕条件，原文给出的条件是”刮： 生“ ( 2 一i ) k 。 式中k 。，一测地曲率，i 。一法曲率。但遗憾的是原文中未给出该条件推导的关 节步骤，后面我们也将看到该条件并不是完整和严密的，此外该文对纤维架桥也 没有涉及。1 9 9 4 年，比利时l e u v e n 天主教大学的j o h a ns c h o l l i e r s u3 ，l o s s i e l l 4 1 在他们的博士论文， c a r v a l h o 与l o s s i e 合作发表的论文中【l5 】曾提出纤维轨迹的 稳定条件，但文中推导仍显粗略，缺少关键步骤，结论中也没有指出不架桥和不 滑线的关系，因此是不完整的。1 9 9 6 年，y o u d o n gl i a n g 将纤维缠绕划分为几何 模式和代数模式，并对代数模式给出了迄今为止最为完整的模型i l 6 1 1 1 7j 。但对几何 模式的基本模型却基本没有涉及。冷兴武、黄毓圣、邹蒙州【2 0 】针对柱、锥面利 用三角方法给出了这几类曲面上的纤维稳定缠绕条件。g c e c k o l d 、x i a n l il i 和m a r c h e t t i ，等其他发表的论文则以条件( 2 1 ) 为出发点，针对回转体芯模曲面推 导出了纤维轨迹的微分方程川 2 3 】：总之，或是因为推导不够严密、讨论不够周 到，或是因为研究方法的局限性，所有上述的工作都未能全面地揭示纤维稳定缠 绕的基本规律。 2 2 纤维稳定缠绕的数学建模 复合材料的性质与纤维的方向密切相关，所以纤维落在芯模曲面上的位置与 设计要求的位置对应就显得非常重要【7 1 。我们知道纤维缠绕必须满足两个条件， 才能正常进行。一、不打滑条件即一旦按设计轨迹将纤维放置到芯模曲面，纤 维就不再偏离该轨迹。二、不架桥条件，即一旦按设计轨迹将纤维放置到芯模 曲面，纤维就不脱离芯模。满足这两个条件我们称纤维轨迹是稳定的。下面我们 通过建立数学模型，来具体和精确地描述上述两个条件，并用统一地数学表达式 考虑它们两者的关系。 = 兰兰娑望竺型笙兰= = = = = 一 首先对于一般曲面建立固定坐标系 o ；元，矿，之) ，则曲面上任意一点只都可 以由径矢一o p ，表示。为后面描述曲面方程方便，采用经向参数“和纬向参数v 作 为变量。用i 和民分别表示沿参数曲线“和v 的单位切矢量，并定义从i z 转向纤 维轨迹切向的有向角毋为缠绕角。 在曲面上的缠绕纤维上我们任取一个弧长为万s 的微段鼻b 进行受力分析如 图2 1 所示。 图2 1 纤维微段受力分析 f i g u r e2 - 1a n a l y s i st ot h e f o r c e sa c t i n go n 日t i n y f i l a m e n ts e g m e n t 图中纤维微段的中点为p ，微段两端点分别为只和p 2 。取p 为原点建立活动 标架 p ：舀，口，i 。其中面是纤维轨迹在p 点的单位切向量，元是曲面在p 点的 单位参考法矢量，它沿曲面的法线有确定的指向：如图2 - 2 所示规定其指向为沿 法线从纤维横截面靠近芯模曲面的一侧指向远离芯模曲面的一侧，这种定义对内 外侧缠绕都适用。考虑到外侧缠绕应用最为广泛，本文主要讨论外缠绕。 出于定义i ：元西，可知i 是切平面上的单位矢量。当所取微段充分小时， 可认为外力集中作用于点p 。 图2 - 2 内外侧缠绕情况下纤维缠绕芯模曲面参考法矢量的定义 f i 2 u r e2 2d e f i n i t i o no fr e f e r e n c en o r m a lv e c t o rf o ri n n e rw i n d i n ga n d o u t e r w i n d i n go nm a n d r e ls u r f a c e 分析纤维在曲面上可能的受力，可知情况如下：纤维两端的张力五、疋，纤 维与曲面的摩擦力f ，曲面对纤维的支反力c 。 丘的方向可用亓表示成： 只= 1 只l c o s y _ 亓( 2 - _ 2 ) 其中y 是只与i 的夹角， 因为它们分别是共线的，y 只能在0 和7 中取值。 我们用弧长参数s 表示纤维上点不同的位置，则张力矢量是位置的函数，可以写 成： 于( j ) = 心) a ( j ) ( 2 - 3 ) 其中，( j ) 是表示张力大小的函数，r t ( s ) 0 ，西( s ) 是纤维轨迹切矢函数。由 曲线切矢的定义： 一万 。i ：l i m 坠竺匕型 血_ o a s 知无论a s 取什么符号，该切矢都是沿纤维切线指向参数s 增加的方向。设画 和匠，分别代表我们所研究的纤维微段两端点处的切矢量。则纤维两端所受张力矢 量于和元可用西和匠：的方向分别表示成： 盂= 一i 盂旧 ( 2 - 4 ) 元= 院f 舀2 ( 2 5 ) 注意到纤维微段两端张力的合力为： 2 亏= 亏+ 于2 ( 2 6 ) 忙1 考虑到以下两个事实。一、纤维是连续的，缠绕过程中纤维张力是纤维受张 力控制器的丌卷机构拉伸作用下产生的。二、纤维在芯模上沿出纱速度方向的滑 动受到张力约束，可认为没有