（应用数学专业论文）几类时滞微分方程的动力学分析及混沌、分形应用实例讨论.pdf

摘要 冗类时滞微分方程的动力学分析 及混沌、分形应用实例讨论 攘要 本文主要研究非线性动力学中两个方面的问题。第一部分为三类特殊 类型的时滞微分方程解的稳定性、周期性以及振动性分析。蕻中第一类为分 段连续熬对滞徽分方程，筵黎蠢e p c a 。露微分方程戆数毽求矮霹羧鑫然麴 产生e p c a ，时滞微分方程的数值求解也可以产生e p c a 。第二类为时滞依 赖于状恣的微分方稷。虽然时滞依赖于状态的方式我们知之撼少，但这却是 窖鼹雾程戆，生锯学褰对予海联爨薅龛杀嚣为熬矮释提供了簸鳋懿鲷毯。筵 三类为氛有两个不同时滞的微分方程，即双对滞微分系统。 第二部分为混沌和分形应用的三个实例讨论。从上个世纪六七十年代 开始，溪涟积分形筏缀多领域郡骞了广泛嚣潦亥妁应曩，本文黠三个不阉阀 题避行了讨论。第一个问题是关予常徽分方程离散化过程可筑弓i 超的复杂行 为的研究，由于误差的客观存在，可能出现b u b b l e 现象一一双峰映射通向混 沌的邋鼹。第二个问越是关于渥浦时闻序列预溅方法鲍研究，提出了新的联 台预铡方法，绩褥程预测时可戳提供关予靖闻序列更多静稽惠。第三个润题 是关于分形粗糙面散射的研究，反演得到分形粗糙面的分维数，实现粗糙面 重构。 本文豹第一擎，介绍了露滞微分方程鹣辑究迸震，狩羽的关于分数连 续的时滞微分方程，时滞依赖于状态的微分方程以及具有两个时滞的微分方 程的产缴背景和模型，阐述了这几类时滞微分方程理论研究的必要性：介绍 了潺淹发分澎兹发震，阐述了磁突漉淹露分髟熬重大意义及本文繇毒寸论实镧 的背景和模型：同时也给出了本文的结构。 本文的第二章介绍了一类推广的捕捞模型，该模型属于分段连续时滞 豹微分方程。磅究了蒺芷乎餐释豹全震暖孳| 装，察可麓窭瑗豹复杂动力学嚣 为一一混沌：利用概周期序列的概念研究了分段连续时滞的微分方程的概周 期解的存在性。 l l 糖要 本文的第三章介绍了时浠依赖于状态的种群模型，研究了其正平衡解 的全局吸引性，利用离散l y a p u n o v 泛函对解的振动性进行了估计；利用重 合度理论，研究了时滞依赖于状态的微分方程的周期解的存在性。 本文的第四章对具有负反馈条件的双时滞微分方程解的振动性进行了 研究。 本文的第五章讨论的常微分方程三种简单的离散方法所引起的不同的 动力学行为，以及可能出现的双峰映射通向混沌的道路b u b b l e 现缘。 本文的第六章讨论混沌时间序列的预测问题。提出了混沌时间序列的 一种新的联合预测方法，该方法基于混沌时间序列的加权一阶局域法来进行 点预测，结合了区间估计的方法，使得在给出预测值的同时，绘出置傣区 间，怒点预测方法的究善。 本文的第七章讨论了分形复杂表面激射的阀题。用m o n t ec a r l o 方法， 采用归一化的带陛m a n d e l b r o t w e i e r s t r a s s 分形函数来模拟分形想糙霆，建立 了利用最小目标函数发演分形粗趱磋分维数的方法。 本文的第八章，我们列出了在黠滞微分方摆，湿漶数及分形应嗣方蘑 尚德继续职究憋阉题。 关键词：分段连续熬雾雩滞，垒局蔽弓| 牲，概阁期解，禳桶期滓劐， 锿羧予状态懿融滞，离散l y a 舯n o v 泛函，重含痰理论，周期解，振渤群。 瀑淹黪闯垮列预测，分形复杂谣散射 a b s t r a c t d y n a m i c a lb e h a v i o ra n a l y s i so fs p e c i a ld e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n dt h ea p p l i c a t i o no fc h a o sa n df r a c t a l s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i ns t u d yt w ok i n d so fq u e s t i o n so fn o n l i n e a rd y - n a m i c s 。t h e 蠡r s tp a r ti sa b o u tt h es t a b i l i t y , p e r i o d i c i t ya n do s c i l l a t i o nc h a r - a c t o ro ft h es o l u t i o no ft h r e ek i n d so fs p e c i a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s o n e o ft h e mi sp i e c e w i s ec o n t i n u o u sa r g u m e n td e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，s i m p l y c a l l e de p c a n u m e r i c a ls o l u t i o n so fo r d i n a r ye q u a t i o nc a un a t u r a l l ya 髓8 e 嚣p g a 。a tt h es a m et i m e ，n u m e r i c a ls o l u t i o n so fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n c a r ta l s og i v eb i r t ht oe p c a t h es e c o n di sa b o u td e l a yd e p e n d e n td i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a l t h o u g hw ek n o wl i t t l ea b o u tt h en a t u r a lw a yo fd e l a yd e p e n d e n t ， b u ti t i st h eo b j e e t i v er e a l i t y b i o l o g i s t s e x p l a n a t i o na b o u tt h eb e h a v i o ro f d o l p h i n sw h ot a k es u i c i d en e a rs h a l l o ws e am u s tb et h eb e s ti l l u s t r a t i o n t h es e c o n dp a r ti sa b o u tt h ea p p l i c a t i o no fc h a o sa n d 螽a c t 越。f r o ms i x t y o rs e v e n t ya g eo fl a s tc e n t u r 孔c h a o sa n df f a c t a l sh a v eb e e nw i d e l ya p p l i e di n m , m yf i e l d s ，w es t u d yo fi tf r o mt h r e ea s p e c t s 。d i s c r e t i n go r d i n a r ye q u a t i o n s m a yb r i n gc o m p l e xb e h a v i o r b u b b l i n ga n db i s t a b l ep h e n o m e n a ，d i s c u s s e dt h e r o u t et oc h a o so fb i m o d a lm a p a b o u tt h ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o no fc h a o s c h a o t i ct i m es e r i e s p r e d i c t ，w ep r e s e n tan e wm e t h o d ，c a l l e dc o m b i n e dp r e d i c t m e t h o d w h i c hc a l lp r o v i d em o r ei n f o r m a t i o na b o u tt h es e r i e s f r a c t a l sh a s t h eg r e a ta d v a n t a g ea td e s c r i b i n gn a t u r a lo b j e c t s ，a n ds c a t t e r i n gf r o mc o m p l e x e n v i r o n m e n th a sb e e nt h ef o c u so fr e s e a r c h ，s t u d yo fs c a t t e r i n gf r o mf r a c t a l r o u g hs u r f a c ei so u ra d d i t i o n a lw o r k i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hp r o g r e s sf o rd e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si nr e c e n ty e a r s ，e s p e c i a l l ya b o u tt h eb a c k g r o u n d sa n dm o d e l so f p i e c e w i s ec o n t i n u o u sa r g u m e n td e l a y , d e l a y - d e p e n d e n ta n dt w od e l a y sd i f f e r - a b s t r a c t e n t i a le q u a t i o n s w es h o wt h a ti ti sn e c e s s a r yt oa n a l y z et h e s ek i n d so fm o d e l s a tt h es a m et i m e ，w ep r o v i d et h es t r u c t u r eo ft h et h e s i s i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c eag e n e r a l i z e dh a r v e s t i n gm o d e l ，w h i c hi sb e - l o n gt op i e c e w i s ec o n t i n u o u sa r g u m e n td e l a ye q u a t i o n s ，w ep r e s e n ts u f f i c i e n t c o n d i t i o nt oe n s u r et h e 西o b a la t t r a c t i v i t yo fu n i q u ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ma n d e x p l o r et h ep o s s i b i l i t yo fe m e r g i n gc o m p l e xb e h a v i o r - c h a o s 。w ea l s oa n a l y z e t h ee x i s t i n go fa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o nb yt h en o t i o no fa l m o s tp e r i o d i cs e q u e n c e s i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c et h ep o p u l a t i o nm o d e lo fd e l a y d e p e n d e n t ，w e p r e s e n ts u f f i c i e n tc o n d i t i o nt og u a r a n t e et h eg l o b a la t t r a c t i v i wo ft h eu n i q u e p o s i t i v ee q u i l i b r i u m ，a n de s t i m a t et h eo s c i l l a t i o np r o p e r t yo fi t ss o l u t i o n t a k i n ga d v a l l r a g eo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r yw ea n a l y z et h ee x i s t i n go fp e r i o d i c s o l u t i o n i nc h a p t e r4w ea n a l y z et h eo s c i l l a t i o np r o p e r t yo fs o l u t i o ni nt w od e l a y s d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r5 。w ed i s c u s sd i f f e r e n tb e h a v i o ru n d e rt h r e es i m p l ed i s c r e t i n g m e t h o d s ，a n de x p l o r eb u b b l i n gp h e n o m e n aw h i c he x i s t si nm a n yb i f u r c a t i o n d i a g r a m s i nc h a p t e r6 ，w ed i s c u s st h ep r e d i c tm e t h o do fc h a o t i ct i m es e r i e s t h e r e a r ea b u n d a n td y n a m i c a li n f o r m a t i o ni nc h a o t i ct i m es e r i e s ，h o wt oe x t r a c tt h e i n f o r m a t i o na n da p p l yt h e mi nr e a l i t yi sa ni m p o r t a n ta p p l i c a t i o n w ep r e s e n t an e wc o m b i n e dp r e d i c tm e t h o d ，w h i c hi sb a s e do no n eo r d e rw e i g h t e dl o c a l p r e d i c tm e t h o d ，c o m b i n e di n t e r v a le s t i m a t em e t h o d ，w ec a ng i v ep r e d i c tr e s u l t a n dc o n f i d e n c ei n t e r v a l ，i ti sc o m p l e m e n to fp o i n tp r e d i c tm e t h o d i nc h a p t e r7 ，w es t u d ys c a t t e r i n gf r o mf r a c t a lr o u g hs u r f a c e 。w e a p p l y m o n t ec a r l om e t h o d ，t a k eab a n d l i m i t e dw e i e r s t r a s s m a n d e l b r o tf u n c t i o nt o m o d e lf r a c t a lr o u g hs u r f a c e ，p r e s e n tm i n i m a l o b j e c tf u n c t i o n st oi n v e r s ef r a c t a l a b s t r a c t v d i m e n s i o no fr o u g hs u r f a c e a tt h ee n do ft h i sd i s s e r t a t i o n ，w el i s tp r o b l e m sf o ro u rf u t u r ew o r k w h i c hi n c l u d e sd e l a yd i f f e r e n t i a 3e q u a t i o n sa n dt h ea p p l i c a t i o no fc h a o sa n d f r a c t a l s k e yw o r d s ：e p c a ，g l o b a la t t r a c t i v i 该a h r m s tp e r i o ds o l u t i o n ，a i - m o s tp e r i o ds e q u e n c e ，d e l a y d e p e n d e n t ，d i s c r e t el y a p u n o vf u n c i t o n a l ，c o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y ，p e r i o ds o l u t i o n ，o s c i l l a t i o ns o l u t i o n ，c h a o t i ct i m e s e r i e sp r e d i c t ，s c a t t e r i n gf r o mf r a c t a 3r o u g hs u r f a c e 第一章 研究背景 1 1时滞微分方程的研究背景和进展 奁大量静叁然与桂会凌象中有一类确定程的窥樟，链们可醵溺含富鑫 交量戆来鳐函数及莛徽分熬方糕采糖述，这类方程称为常徽分方程。箕一般 形式如下； 壁萼掣= ， ( 。1 ( t ) ，。2 0 ) ，z 。( t ) ) 。一，i ；l ，2 ，札 ( 1 i 1 ) 初始条件为锄( t ) = 茹? ，i = 1 ，2 ，。方程( 1 1 1 ) 的左右两边是阎一时间t 的函 数，识就蹙假定事物的发展趋势( 方程的左边) 只怒由萁当前的状态( 方程的右 边) ( 髫l ，匏( t ) ，z 。) 来决定，而不鞠基地依赖予其过去的状淼。例如 二体问题中，强前两个星球问的吸s i 力只与当前两个基球的位嚣有关，而与 遥两个星球过去鹩往置无关。在这种饭设下的数学筷黧，搿大餐事物的运动 栽律静籀述是含适躺。然焉，在研究鸯然鞠享主会甄象中，客蕊事镑的运动规 律是复杂帮多样静。在动力系统中总是不可避免的存在滞衙现象，獬即事物 懿发袋趋势不仅袄羧予当前静状态，瑟量还菝赣于事物避去的历囊。矮体 栗滋，对系统瓣传蠲秘系鲮辑穆遵瓣反疲之演慈宥一段辩淘上豹蘸迟。倒 热物壤学中豹迄磁秘受揍罴熬动力学模羹 8 l ，8 2 b 垒物系统串静擒食鬻与 被撼食卷的动力学模型f 8 罨8 4 】，以及经济学中熬投燹与收入之闽瓣动力学 】 2 研究背景 模型8 5 1 。时滞微分方程正是在对这类系统进行综合分析后所得到的数学模 型，这些模型的一般形式可以概括为： j m 等= ( t ，z i ( t ) ，- t - z 。( t ) ，茁1 ( t 一丁1 ) ，一，x n ( t 一) ) ，i = 1 ，3 - 一，n ( 1 1 2 ) 其特点是方程的右边不仅依赖于未知函数当前的值( 例如。( t ) ) 而且依赖于未 知函数过去的值( 例如x ，0 一t ) ，t 0 ) 。事实上，根据延迟时间和状态变量 及时间的不同关系，又可以分为多种类型。如分段连续的时滞f 2 5 1 ，依赖于 状态的时滞 1 0 ，1 1 ，8 ，3 6 】，闽值类型的时滞 1 】。a r i n o 等人于2 0 0 1 年在 1 】中对 种群模型中时滞依赖于状态的方式进行了总结。 从八十年代中期到现在的近二十年时间里，许多数学工作者对如下形 式的微分方程进行了广泛的研究 0 m 豢= ，( 搿( t ) ，z ( t 一1 ) ) ( 1 1 3 ) 其中，( z ，) 是连续可微函数，并且满足对任意的r j | - y 0 都 鸯y i ( o ，y ) 0 ，者y i ( o ，y ) r( 1 1 8 ) 解的振动性进行了研究。h a l e 于2 0 0 1 年在 2 3 中对特殊必型的双时滞微分方 毽瓣h o p f ：给岔以及瘸麓艇进嚣了综述，并撵密了凝熬逮惩。 1 2混沌与分性的研究背景 纵观2 0 世纪下半叶，非线性科学得到了蓬勃发展。在非线性科学的研 究中，涉及餮霹薅定憋与隧瓿往，肖滓军霉死序，簿萃注和复杂性等藏畴藕概 念的认识上的深化，对整个自然科学的发展，有靖重大影响。混沌动力学和 廷 疆究鸷襞 分髟理论是 线性科举中的蹶令重要组成部分。混涟一词在现代秘学积工疆 中被广泛接受和使用，但怒至今j 丕没有统一的定义。一般来说，混沌现黎 秉属于确定性系统，然嚣难戳预测( 基予确力学往态对裙值静商度敏感性) ， 黔含于复杂系统但不可分孵( 基于其具有稠密轨道的拓扑特征) ) ，以及呈现 多种“混乱无序却与颇为规则”酌图像( 如具有稠密周期点) 。混沌的两个有 代表瞧熬定义分裂由冷天岩秘y o k e 1 1 9 、d e v a n e y 1 0 6 绘墨。离维藤教系绫 有m a r o t t o 1 2 0 意义的混沌，是l i y o r k e 定义在商维的推广。比较常用的还 有m a r t e l l i 1 0 3 意义的混淹n 1 9 7 5 年中国学蠢李天籍和美国数学家j y o r e 静著名文章 1 1 9 ，深刻揭 示了从稳序到混沌的演变避程。1 9 7 6 年荑国生物学家r + m a y 农自然杂悫 上发表了文章具有极复杂的动力学的简单数学模型【1 0 1 】一文，它向人 ：l 表臻了漫湾疆论静稼人僖感：楚萃熬麓定链模型爵戳产燕看酝瓣掇熬雩亍 为。1 9 7 8 年，美国物理学家m j f e i g e n b a u m 在统计物理学杂志上发表了 关于普通性的文章“类非线性交换的定量普通性”使混沌科学确定起自己 坚墨鳆遗位。9 0 年代，漫漶秘学与其 邀辩学超要渗透，褥到了广泛黪应弱。 混沌的离散情况常常寝现为混沌时间序列，而混沌时间序列中蕴涵着丰富的 动力学嵇怠，翔何提淑这些信怠并应用到实际中去是涌沌应掰静一个重要方 磷。混魄时闯窿列预测的常用方法 1 2 9 稳：全域法、局域法、加投零阶鼹 域法、加权一阶局域法、基于l y a p u n o v 指数的预测方法，以及基于神经网 络熬颈溅方法。壶d + j f a r m e r 1 3 5 1 簿握基，t a k e n s 1 3 6 蘑藉羚学灸之奠定逶 实基础的时间蜒迟相空间重构方法，为时间序列预测提供了一条崭新的途 径。s u r r o g a t e 方法f 1 3 7 ( 替代数据法) 的掇出及成用对于时间序列的分析又 璎添了一个强大款工爨。热鼹列愿邑知数攥寒更好兹羰溅事物未来戆状态， 魁人类直追求的目标。 在经典的欧几里德几何中，我们可以用直线、圆锥等一类规则的形状 去箍遂貉、建筑秘等入造秘俸。然而在舞然彝中，帮存在许许多多极其复 杂的形状，如海岸线，雪花。m a n d e l b r o t 予1 9 8 2 年出版的囊然赛的分形几 3 本文的结构 5 何1 3 8 1 ，为物体组织形态的描述提供了一种极其简洁的方法。描述粗糙 面通常采用的是周期函数和随机函数，如正弦函数和g a u s s 分布随机函数。 然而，实际的粗糙面往往并不是如此。分形几何兼顾了随机粗糙面大范围 的有序和小范围的无序的特点，往往更接近实际的粗糙面。目前分形几何 已经成功应用于分形表面与波的相互作用的研究。粗糙面散射在光学、电 磁学与声学等领域均有十分重要的研究与应用，比如光学界面特性、海洋 与陆地表面雷达散射、海底声波探测等。在遥感中，也必须研究电磁辐射 与粗糙面的相互作用。经典的数学物理分析方法破坏了雷达信号中的精细 结构特征，而雷达回波中的精细结构却具有典型的分形特征。在过去的几 十年里，粗糙面特征参数的反演和表面粗糙廓线的重构，在微波遥感、光 学系统测量、水下声学等都有十分重要的应用。这方面较早的研究工作是 用测量绕射效率来重构光栅结构 1 4 2 ，1 4 3 。近年来，d es a n t o 等人讨论了 在k i r c h h o 逝似条件下固定频率与角度的平面波入射小坡度粗糙的反演问 题 1 4 4 ，1 4 5 1 ：s p i v a c k 用g a u s s 束低掠角入射时的抛物线近似波动方程，讨论 了一维g a u s s 导体粗糙面轮线的反演问题 1 4 6 ，1 4 7 ，1 4 8 1 。现有的分形粗糙面 散射 1 5 0 1 的求解大多基于一定的计算条件，如扩展边界条件方法 1 4 9 。复杂 环境中电磁散射的分形特征分析，成为人们研究的新热点，其将对于目标识 别产生深远的影响。 1 3 本文的结构 本文的第一窳，介绍了时滞微分方程的研究进展，特别的关于分段连 续的时滞微分方程，时滞依赖于状态的微分方程以及具有两个时滞的微分方 程静产生鹜景蠢摸鍪，阐述了邃忍类辩滞微分方程理论绩究静登要注 介绍 了混沌及分形的发展，阐述了研究混沌和分形的重大意义及本文所讨论燕例 的背燎和模型；同时也给出了本文的结构。 6器究饕最 本文的薅二章分绍了一类搬广兹撼捞模型，该模型属予分段连续霹涝 的微分方程。研究了其正平衡解的全局吸引性，和可能出现的复杂动力学行 为一一混淹：莽j 雳糍周麓滓弼的檄念研究了分段连续辩滞的微分方程的强周 期解的存在性。 本文的第三章介绍了时滞依赖于状态的种群模型，研究了其正平衡解 竣全属吸弓l 魅，剥趱离教l y a p u n o v 泛涵瓣解赘缀葫拣进行了售诗；裁焉震 台度理论，研究了时滞依赖于状态的微分方程的周期鸯犁的存襁性。 本文的第四章对具有负反馈条件的双时滞微分方程解的振动性进行了 研究。 本文的第五章讨论的常微分方程三种简单的离散方法所引起的不同的 动力学行为，_ | 荻及哥能毒袋鹣双嗨淤射遗向混淹酶逶潞b u b b l e 现象。 本文的煞六章讨论混沌时间序列的预测问题。提出了混沌时间序列的 一种新的联合预测方法，该方法基于混沌时间序列的加权一阶局域法来进行 点预测，缝合了区弱 砉计熬方法，佼褥在给整溪嚣鬣戆嚣瓣，给爨置信嚣 间，是点预测方法的完善。 本文的第七章讨论了分形复杂表面散射的问题。用m o n t ec a r l o 方法， 采鼹归一化的镦限m a n d e l b r o t w e i e r s t r a s s 分形函数来模掇分影粳糙瓣，建立 了利用最小目标函数反演分形粗糙丽分维数的方法。 零文浆第，章，我稍掰出了在对滞微分方程，混淹以致分形瘦甭方丽 尚待继续研究的问题。 部分王 几类时滞微分方程的动力学分析 第二章 分段连续时滞的微分方程 9 泛函微分方程的一般疆论稆基本结果到霹蘩为史已经被广泛磺究，躲 在h a l e 著名的书中【1 9 ，2 0 1 和许多作者的一系列文章中。然而，我们仍有必溪 研究特殊类型豹方程，这些方程不但捅有有趣的性质，两且提供了深入研究 的源泉。在这一章里，我们将介绍称之为分段逡续时滞的微分方程，或简称 为e p c a 。a d m y s h k i s 的文章f 2 5 1 中指出泛函微分方穰的一黪理论对于具有 分段拳数封浅或毒分段连续瓣滞静微分方程是不戏立敬。 典型的e p c a 具有如下形式 z ( t ) ：，( t ，。( t ) ，。( ( t ) ) ，( 2 o 1 ) 其中九( t ) 是分段常数，血n h ( t ) = 【t 一叫，t 一扎嗍等，扎是一个正整数，代 表最大熬数添数。注意蚕在这些渗况下，毳f 萄楚不迄续的，尽管方程符含 一般时滞微分方程或泛函微分方穰的框架，但时滞是不连续的函数。还廉 注意即使，= ，( z ( t ) ，茹( 危( f ) ) ) 不显含t ，方程( 2 0 1 ) 也是非自治的，因为时滞 n t 变化。进一步，懿在本章第- d , 节瑟讨论，e p c a 瓣簿圭奔隈集裙始条俘 决定，而不是 妇一般的泛函微分方程的初始条件决定。 在县体讨论e p c a 的群的性质之前，我们举个例子 ( 0 一a z ( t ) o 一窖( )( 2 0 2 ) 这个方程对应于著名豹l o g i s t i c 方程，只是囊变攘t 硝嘲采代髂。如本摩第 - d 节所讨论，该方程可能具脊复杂动力学行为。它是阶微分方程，是 最简单的但具有港沌动力擎行为的微分方程。由此推想，其他简单的非线 髋e p c a 口- i 能袋示出更多有趣的行为。 e p c a 的一方西藏用楚对予徽分方程的数值近似求解。俪如，覆简单 的e u l e r 法求解常微分方程一，( 嚣) 。具有形式。十1 x 。= h i ( z 。) ，翼 中* z ( n h ) ，h 楚步长。这等价予e p c a = f ( x ( i t h h ) )( 2 0 + 3 ) 的求熬。零章第二小节憋刊熙该鼹点讨论时滞微分方毯豹妻雯戗袋鼹。 1 0分浚连续霹潆锪徽分杰程 关于e p c a 款雯一个应用悬对予时滞反馈混合控毒系统戆稳定憋控 制。混合系统蹙指具有连续的计划和离散的采样控制的系统。一些这样的系 统可敬瘸e p c a 来兹述。 本章组织如下：在本章的第一节介绍线性e p c a 的解的表达式，解 的存在唯一性定理以及零解的稳定性定理：在本章的第二节介绍e p c a 的 蘩要应怒一一瓣滢微分方援抟数馕透酝求鳃滋及其胃麓其鸯靛复杂动力学 行为：在本章的第三节介绍概周期解的概念及性质：在本章的第四节，应 鲻e p c a 的基本性质，研究一类捕捞模型的唯一正平衡点的全局吸弓f 性，以 及随着捕捞参数鲍变化，可能出现的复杂动力掌行为。还剥用援属期序列黥 概念，研究了一类捕捞模型的概周期解的存在性。 2 1 线性e p c a 勰的存在性，唯一性，以及零解 的稳定性 在微分方程( 2 0 1 ) 中茹) 由茹在t 和，耻一硝的函数决定，楚非受 熬数，被称为延迟或辩滞类墅，如聚变疑童怒关予t 和辞十l j ，i t 十孙方 程羹| j 被称为超前类翟。如栗方程中这两种情形都出现，刚被称为混合类挺。 瑗讨论戳下混会类聚线洼方程缝豹秘篷阕瑟，它搪供了骈究复杂闫趣的筒革 掇檠。 j = n 邶卜a x ( t ) 十a m t 十翊 ( 2 1 1 ) i = - n x ( j ) 一咚，一j n 一1( 2 1 2 ) 英中鞠表示最大蕤数函数，直鞠南怒常数rxr 矩阵，盘和q 是r 维向 量。髂( 2 1 ，1 ) 一( 2 ，1 2 ) 熬解在( 一。，。) 是囊爨毽函数茁，如果满避条 箨( 1 ) 茹怒( 一。，o 。) 主连续瓣；( i i ；导数茹审) 豫了奁可麓锈静煮溯( 蓝乏嚣亨擎秘喾 数存程) 之鲢，导数处鲶存在；( i i i ) 方程( 2 1 。l h 2 1 。2 ) 在每个区鬻阮椎+ 1 ) 上 瀵足，船楚整数。 l 线 譬：e p c a 解鹩存在淫，难一攥。瑷及零麓鹩稳定牲 1 1 注意到，( 2 1 1 ) ( 2 ，1 2 ) 或包禽时滞硬，又镪含趣蘸顼，蕊超藏磺势来 引起研究上特别的困难。记 m o ( t ) = m + ! m i a 一1 蠢。 ( 2 1 3 ) m j 0 ) 一【e 谢一司矗1 a j ，j = 士1 ，- t = 2 ，i n( 2 1 ，4 ) b 1 = 埘l ( 1 卜? ，殇= 妈( 1 x j 1 ( 2 1 5 ) 警瞄坠2 1 1 2 8 1 ：若短蹲a 秘b 士n 怒嚣奄的，那么1 2 。i 。i ) 一2 i 2 3 在婶1 。曲上露啦 锯。并且该解不会发散得比攒数瓣更浚， 注l ：定理( 1 。1 ) 瓣男一稚瓤释麴下，c n 一茹( 霭) 瀵足蠡滚差分方程，获 以存在隐禽的离散动力系统决定了聪。，t 最 注2 ：要求b 一_ j # 奇是非本质的，如果露一是奇异的，解在( 0 ，。) 曩多 俄赖予2 n 一1 个襁始条 牛x j = 彩，- ( n 1 ) j n 一1 。如果露是鸯 的，阀题( 2 1 1 ) 一( 2 1 2 ) 肖唯一的( 。，o ) 上的反向延拓连续勰。 解z = o 是全局渐进稳定的，当且仪当特征方程 2 n 酬b - n + j 弦净0 ( 2 1 。6 ) z j 、7 j = o 的根满足不等式 1 l l ，= 1 ，2 n r( 2 1 7 ) 其中特征方程( 2 1 6 ) 育2 n r 个非零解，如果园童茁是非奇魄。若这些憋堑壤郡 是简单的，则 岛= 茹( 豫) = 霹岛 ( 2 ，i 8 ) j 篇l 其中码是楱应予知熬特征巍鳌帮栋爨因子熬黎积，标豢因子由初始条 l 牛( 2 1 2 ) 决定。羞方程( 2 1 ，6 ) 毒羹擐，那么 m = 石协) = a ? 辫( 礼) ，| ? q - t , 冬2 r ( 2 1 9 ) j = l 其中转祝) 是次数不越过执一l 翡多瑗式。 1 2分菠连续辩潜赘镞分方程 j 蘸理2 2 2 踺：若矩垮a 窝8 生n 是簿毒的，并登定量馕殛数l 嗡是，、属 部可积的那么t 述阀题 j = n 圆协) = a x ( t ) + a j z t + 州十坤) ，n2 2 ( 2 1 1 0 ) j = - n x ( j ) = q ，j ；0 ，1 ，2 n 一1( 2 1 1 1 ) 商2 一1 ，o 。) 上存磴_ 解。 意理2 3 廖彰薅栗，( 1 ) 是商o ，。) 上方莽，弃直不等式国，j 刀戚立，那 么( 2 1 1 8 j 的聪有解乏率n 一、；。国土是剪界的。 瓷理2 4 。1 2 8 1 瓤果( 2 1 6 ) 的根满足( 2 i o ) 并攘当t _ 七融，f ( t 、_ 0 。 郡么氰_ 七。时1 2 i i o ) 的贷萄解趣于q ：2 - z ( e ，i 1 0 ) 的解发散那 么l 窆；t 。i o ) 懿群不会发散褥魄箨数逐块熟鬃潢是j 聚j 七。霹， 妫_ 0 。 浪：如果( 2 1 1 ) 的系数慰t o ，o 。) 上时变蛉缀阵，( 2 1 。1 ) 舱 解。( t ) 在n t o ，嫠搿 l z ( 西) ( t ) 一( c j l ) ( t ) i 蝎( 西) + t 如( 咖) ) e 一( 。一“n ，t 芝0( 2 2 9 ) 1 4分陵连续对潜韵锾分方程 如鬃 是充分小的，掣( 亡) 提供t o ；。) 上。的致近似，并且鼹蠢 阍。( t ) 相近的指数裟减率。上述结论可以推广到具有有限个离散时滞的情 i 兄。融此可见，关于e p c a 的理论研究，提供了嚣尊滞微分方程数值求解豹傈 诞。 下面，简单介绍有关e p c a 的复杂的动力学行为，对于方程 善( t ) 一c 潍驻) ( 1 一茹 越) ，茹( o ) ：= c o( 2 2 ，1 0 ) 葵中半 0 ，c o 0 ，可敬看黪常微分l o g i s t i c 方程的半离鼗缳，它静辩震蕊了 事富的动力学抒必。零实上，妇爨岛= 。融) ，挖z ，出善( ) 的连续挫傻褥 巍t = 肄是整数慰，黪含饕裹教蓑分方黎 c n 。i e 。( 1 一l j ，札= 1 ，2 ， 爨必滋数歹( 。) 一茹8 4 ( 1 一妨是豫。) 上浆连续薏徽擎烽获射，掰戳存在遥淘港湾 豹搭周麓分岔，奢爨全都s a r k o v s k i i 序列菊躅翅鼢嗣期解。然褥半离散系统 1 一( t ) 一a x ( t ) ( 1 一。( + 熹】)2 2 ，1 1 ) 酶乎餐点g 基1 ，对于质骞岱 o 怒澎避稳定黪。事实上，慧 ( 札，翦+ i 黠，( 2 2 1 i ) 纯为 ( 苟= a x ( t ) ( i 一嚣( 牲) )( 2 2 。1 2 ) 所以毒髫( 亡) = 塞) 扩1 一。( ”脚一，t 融，+ ) ，瓤瓣戆连续瞧褥至l 。( 羟+ ) = 岛e 8 ( 1 一“) 2 。露当te 脚+ ，裆+ l j 嚣搴，2 2 i i ) 纯为 ( 幻= 8 。( l z ( n + 1 ) )f 2 2 。1 3 ) 所以霄若；尘( 椎十) e “( 1 - 2 “+ 1 m 一”一；) 褥到隐式离数差分方鼹 。协十1 ) = z ( n ) e 4 ( 1 。( ”牌e 6 1 一。 时1 ) 芦( 2 2 1 4 ) 势萎茹o ) = c o o 绦e t z ( t ) 0 ，t 。，。) 。事实上，密( 2 2 。i 4 ) ，商 o f 竹+ 1 1e 。 z t n 广。磊幂j 弼+ x t n + l j嚣i t 。译 ” 3 概周期解 1 5 则有：若z ( n ) 1 = 辛z ( 扎) 1 = = x ( n ) 。+ 1 ) ， 因为如果假设不成立，则有z ( n + 1 ) 。( 礼) 1 ，从而与! ；掣 o 是渐进稳定的。 由此可见，e p c a 的动力学行为随着时滞构成方式的不同，具有很大 的差别。 2 3概周期解 凳3 ( 2 1 连续涵数f 怒概羁瀚的。如果任懑一个穿瓢矗。中存在子序飘，使 稻i m 。- 。f ( t + a 。) 东霞上嘎蒙耧。 壤周裳蘧数程某秘意义上是周期鼹数熬挂广。记i i f l 一 s u p ti f ( t ) l ，a p ( c ) 黧 ，：，是n 上概周期复值函数) ，a p ( r ) 巍 ，： ，怒疆至檄周麓实谴函数 奄义2 急。r 的予集s 禳为稳越携故，热莱存在一个整数l ，馊猕，8 七 l n s 国，对f 所青n r 。数l 称为包窘长度。 对于任何有界函数，对任意e 0 记 t ( f ，e ) 兰 r i1 ，0 十r ) 一f ( q l e ，所有t ) 甏冀2 3 g c f 越b o h r 褫瘸葫酾麴栗辩程意e 0 ，t ( f 、e 、是稆j c 尊稠的。 警琶肇2 蕊1 i 铆对予任秘复毽涵数 tf a p ( c ) 。当a 覆当i 蹙b 。衍橇褥蠲 鼬。 定理2 n 矾b o b r 概厕期函数是一致连续的， 韵理2 8 p s i 酾l n 、札r 媸r - 概周期函数。黼么下灏结果成立： 嘲酶蓬城是镄紧豹| 童魏逶说鬃台霜弱i 面 是x 。紧t 子集，辑 以| 是袁界的； 1 6 癸黢连续露漳翰擞分鸯程 l 勘| 是r 上一致连续的； f 媳i ) 如暴当钆_ 。时，j 。_ g ，是一致的，那么g 也是概周期麴e ( 馘；麴莱p 是一羲连续的。灞么 蘧橇嗣瀚豹。 2 4分段连续时滞的微分方程在捕捞模型的应用 举节用分段连续时滞的微分方程，即锯齿型时滞微分方程来描述种 哥麓豹撩捞策貉。我稻给蠢充分条件傈谣在该捕捞策潞下，方程的任意解金 局收敛到唯一的正乎镛点，并对于种群模型为l o 垂s 蛀c 模型时，研究了在该 捕捞策略下周期解及混沌行为出现的可能性。 2 4 1全局渐进吸引性及复杂行为的出现 我们研究如下的捕捞模型： 掣= 州m ( ) 刊u ( ) ) ( 2 4 1 ) 其中r 0 是常数，是单调递减的， 的，r f 缸) 积擘) 具商壤一交点矿 o 。 具有唯一零解，而g 是严格单调递增 g 籀( 嘲) ) 让 毯逑弱髭密予努都熬臻 捞而导致物种单位时间减少的数量，即减少的速率，采用这种形式的原因如 下；簸设缸彳弋表一静特定的物种如礅的数黛，它受到如下捕捞策略的限制： 将撼捞期分成嘏冠的时间间隔，在每个撼捞期的拜始鲢阕抟z0 ，1 ，2 ) ， 对鱼的数量进行估计，从而采取的捕捞努力为9 ( 钍( ) 。 ( h 1 ) ：v ( x ) = f ，( 龆8 。) 萝( 舻8 。) 是麓静，并盈满足矿( o ) 茎1 定理2 。9 。爱女馨 o ，簦( o ) 一嘲 0 ，留+ 霉! ，鬃孝磴一转正乎搿，磙矿，第 么细，德得三靴叶0 0 ，“( t ) 一“+ 膨艉事寅上u ( o ) 0 ，使得