（应用数学专业论文）双色谱中的双曲守恒律组整体光滑解的存在性.pdf

摘要 本文讨论了如下出现在双色谱中的非线性双曲守恒律组的c a u c h y 同题 t i t + 仇+ 初始值为 t ( z ，o ) = t o ( z ) ， ( z ，o ) = t ，o ( z ) ( o 2 ) 的整体光滑解的存在性和唯性在方程( o 1 ) 中，z 和分别为空间和时间变量 分析过程基于对角化方法和特征线法 本文共分为三章： 在第一章中，介绍在研究双色谱时提出的双曲守恒律组的历史进展，在回顾前 人工作的基础上，叙述了本文的结果在第二章中，利用特征线法证明了方程组( 0 1 ) 的对角化方程的整体光滑解的存在性和唯一性在第三章中，通过引入黎曼不变量， 在假设初始值u o ( z ) ，0 ) 光滑等条件下，利用特征线法证明了c a u c h y 问题( o 1 ) ， ( 0 2 ) 存在唯一整体光滑解 关键词：整体光滑解；双色谱；对角化方法；特征线法；黎曼不变量 窝 a b s t r a c t i nt 妇p a p e r ，w ec 0 商d e rt h e 喇s t e n c eo fg l o 谢s m 0 0 t h l u t i o n st ot h ec a u 6 h y p r o b l e mf o rt h ef 0 1 1 0 丽n gn o n l i n e a rh y p e r b o l i cc o i 雠r v a t i o nl a 鹏砒i n g i nt w oc 0 1 p o n e d tc h r o m 宙l t o g r a p h y w i t hi n i t i 址d a t a i n 科s t 哪( o 1 ) ， a n dt i 圯v a r i a b l e s t h e 蚴a l y s i si s m e t h o d t 1 + t + 秽 t ， 1 + t 暑+ t ， t ( z ，o ) = t 0 ( z ) ， t ，( z ，o ) = t o ( z ) ( o 1 ) ( 0 2 ) za n dtr e s p e c t i v e l yd e n o t et r a n s f o m a t i o n s0 ft h ea 砒u a ls p a c e b 鹪e d0 nt h ed i a g o n a l i z a t i o nm e t h o da n dt h ec h 盯a c t e r i s t i c t h i sp a p e ri sm a d eu po ft h r e ec h a p t e r s i nc 1 1 a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fn o n l i n e a rh y p e r b 0 1 i cc o n s e r - v a t i o nl a w sa r i s 逾gi n 七0c o m p o n e n tc h r o m a t o 伊a p h ya n dt h er e l e v a n tr e s e a r c h p r o g r e 鼹，f u r t h e r m o r e ，w es t a 七eo m 血r 筒u l t s i nc l l a p 嘧钿o ，w ep r a v et h e e x - i s t e n c e 锄du i q u e n 髑0 ft h eg l o b ds m 0 0 t hs o l u t i o 璐t ot h e 出a g o n a l i z a t i o ne q u 扣 t i o n sc o r r e 印0 n dt 0 蹄s e m ( o 1 ) 坶e m p 蚴n gt h ec h a r a c 洒s t i cm 甙h o d i nc h a p t e r t h r ，u n d e rt h ea 豁m p t i o n0 ft h ei n i t i a ld a t a 牡o ( z ) ，伽( z ) ，b 嬲e do nt h ec h 盯a c t e r - i s t i cm e t h o d ，w ep r o v et h a tt h ec 肌d l yp r o b l e m ( 0 1 ) ，( 0 2 ) a d m i t sau n i q u eg l o b a l 锄0 0 t hs o l u t i o nb yi i i t r o d u c i n gr i e m a n ni 删a i i 埝 k e y w o r d s ：g 1 0 b a l 锄0 0 t h l u t i o n ； i z a t i o nm e t h o d ；c h a r a c t e r i s t i cm e t h o d ； t w o m p o n e n t 岫a t o 铲印h y ；击a g o n 盛 i u 锄a n ni n v a r i a i l t i i 仉 仉 = i i z z 、_、一、 + + 似 优 ，i-、【 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名u 多峨 魄巧年歹胁日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：。冬【，浓 日期：1 肌1 日 导师签名： 日期：p 8 年6 月i 驴日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回童诠塞逞交后进卮! 旦圭生；旦= 生；旦三生筮查! 作者签名：、乏l 坂 日期：叼 助1 日 导师签名：物钞 日期： d 吕1 年多月 第一章序言 ：= 剥茹 扯1 ， ：熏矗 2 ， 1 硕士学位论文 习“螂e r st h e s r & 系统( 具有阻尼的p 方程组) 的c a u d l y 问题 it i t 一口( t ，) 霉= 一2 q 让， ( z ，) r r + ， 仇一t | 譬= o ， ( z ，t ) r r + ， ( 1 4 ) i i 钍( z ，o ) = t o ( z ) ， t ，( z ，o ) = 咖( z ) ， z r 在初始值的c 1 模充分小的假设下，n i s h i d a 第个成功地证明了c a u c h y 问题( 1 4 ) 年，h s i a 0 ，l i 和l i q i n 分别在参考文献【5 1 和【1 0 1 中讨论了如下一般一阶拟线性 鲁+ a ( 牡) 是堋牡) - 0 ( 1 - 5 ) t ( z ，o ) = u o ( z ) ，( 1 6 ) 其中让= m l ，t 正，1 ) t ，t o ( 。) = ( t o l ( z ) ，( z ) ) ，人( 让) = 出叼( 入1 ( t ) ， k ( t 正) ) ( c 1 ( 鼢) ) n ，( u ) = ( ( t 工) ，厶( u ) ) r ( 俨( ) ) “，( o ) = o ，掣 o ，i = l ，2 ，n 只要初始值的c 1 模充分小，他们都证明了c a u c h y 问题( 1 5 ) ， ( 1 6 ) 存在唯一整体光滑解同时，于1 9 8 3 年，q i n 在参考文献【1 8 】中也证明了，只 性，初始值的c 1 模的小性假设似乎是必要的然而，于1 9 9 6 年，z h e n g 在参考文献 【3 2 】中讨论了带阻尼项的非等熵e l d e r 组 u t + p ( t ，s ) = 一口t ， ( 1 7 ) l 于2 0 0 0 年，y a n g 和z h u 在参考文献 2 7 】中讨论了具有松弛项的p 方程组 二：二：二：三。，。 ，一让， c 1 8 ， 硕士学位论文 4 t a s t e k 。s ? h e s 【s 在初始值的导数的c 归模充分小，而初始值本身的伊模不要求小的条件下，他们分 别证明了相应c a u c h y 问题整体光滑解的存在性和唯一性于1 9 9 5 年，z h u 在参考 文献【3 3 】中利用一阶拟线性双曲型方程组的极值原理研究了如下带松弛项的粘弹 性系统的c a u c h y 问题 f 仇一t 毒= o ， 沁m ) ) t + 掣_ 0 ， 知0 郇“l 初始值为 ( t ( z ，o ) ，t ，( z ，o ) ) = ( t o ( z ) ，t ，o ( z ) ) 于1 9 9 7 年，y 锄g ，z h u 和z h a 0 在参考文献【2 8 1 中研究了具耗散项的对角型严格双 曲型方程组的初值问题 善鲁龇扣) 鲁讹扣) _ 0 巾渤r r + ( 1 1 0 ) in ( z ，o ) = r t o ( z ) ， z r ， 其中r ( z ，t ) = ( 7 - l ( z ，亡) ，r n ( z ，t ) ) 于1 9 9 8 年，w 抽g 和l i 在参考文献【2 6 】中研 究了如下p 系统的c a u c h y 问题 f 仇一t | z ：o ， ( 1 1 1 ) i 撕+ p ( t ，) 霉= 一2 口t ， 初始值为 ( 钞( z ，o ) ，u ( z ，o ) ) = ( t o ( z ) ，t j ；d ( z ) ) 在初始值本身的伊模充分小，而导数的c p 模不要求小的条件下，他们分别证明了 相应c 8 u d l y 问题整体光滑解的存在性和唯性在同样的条件下，r u 雠和z h u 在 参考文献f 2 0 1 中证明了方程组( 1 9 ) 的初边值问题整体光滑解的存在性和唯性， j j 锄g ，r u 柚和z h 锄g 在参考文献【6 】中证明了方程组( 1 11 ) 的初边值问题整体光 滑解的存在性和唯性 综上所述，为了保证带有非齐次项的一阶拟线性双曲方程组c 帅吐i y 问题或者 初边值问题整体光滑解的存在性，似乎对初始值的某种小性要求是必须的然而，于 硕士学位论文 m a s t e r s r h e & 【墨 1 9 9 1 年，l i n 和培在参考文献【1 4 1 中研究了具有阻尼项的p 方程组 卜驴o ， 魂+ p ) 霉= 一2 q t l ， ( 1 1 2 ) i i 口( z ，o ) = t ，0 ( z ) ， t ( 茁，o ) = 1 正o ( z ) ， 其中口为正常数，( ) o ) 当矿( t ，) 】2 ；( t ，) 矿( t ，) 时对于初值不作任何 小性假设，他们证明了c 肌c h y 问题( 1 1 2 ) 整体光滑解的存在性和唯性于1 9 9 5 年，z h e n g 在参考文献【3 1 】中推广了l i n 和g 在参考文献【1 4 1 中的结果，他证 明了当矿( t ，) 】2 ，( 口) p 胛( ) 时 对于初值不作任何小性假设，c a u c h y 问题( 1 1 2 ) 仍然存在唯一的整体光滑解于2 0 0 4 年，r ，u 柚和z h a n g 在参考文献【2 2 】中研究了 如下j n x i n 模型的c 明d i y 问题 ft t + ：o ， ( 1 1 3 ) i 仇+ 0 2 仳。= ( ，( t 工) 一口) ， 初始值为 ( t 正( z ，o ) ，t ，( z ，o ) ) = ( u o ( z ) ，t 帕( z ) ) ，( 1 1 4 ) 其中e 和。都是正常数对初值不作任何小性假设，他们证明了c a u c h y 问题( 1 1 3 ) ， ( 1 1 4 ) 的整体光滑解的存在性和唯一性 除了以上提到的参考文献，关于双由守恒律组的c a u c h y 问题或者初边值问题 具有小初值或者大初值的整体光滑解的研究，我们还可以见参考文献【1 3 ，2 1 ，2 9 ，3 0 】 在本文章中，我们对初始值作如下假设t ( a ) 初始值( t 0 扛) ，咖0 ) ) 锘( r ) ，1 + t 0 ( z ) + 如( z ) 保持符号不变及咖( z ) o 通过对角化方法和特征线法，我们可以得到c a u d l y 问题( 1 2 ) ，( 1 3 ) 的解满足 如下定理 定理1 1 假设( a ) 成立。则当t o 时，e a u d 黟问题( 1 2 ) ，( 1 3 ) 存在整体光 滑解 注1 1 尽管双曲守恒律组的c a u c h y 问题或者初边值问题整体光滑解的研究 已经有大量研究结果，但是大多数都对初值具有一定的小性假设，而我们的研究结 果对初始值没有作任何小性假设，也即具有大初值条件 4 硕士学位论文 知i a s t e r st h e 蜘墨 第二章对角化方程组的整体光滑解 舷萎 仁1 ， fm 1 冬r ( z ，t ) ，坞s ( z ，t ) s 地， lo ( z ，t ) 坛，o s ( z ，t ) 毛 为了证明的完整性，我们给出引理2 1 的证明过程，见参考文献【3 4 】 证明。由参考文献【3 5 】的结果，我们立即知c a uc l ：桫问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 存在局部 光滑解，因此，剩下的是要证明r ( z ，t ) ，s ( z ，t ) ，( z ，t ) ，s 玉( z ，t ) 关于z ，t 一致有界 善掣叫巾州k ) i s ) ， ( 2 3 ) iz 0 ；。，亡) = z z ( f ；z ，t ) = z + 入( r ，s ) ( z ( 7 ；z ，t ) ，r ) 西r ( 2 4 ) 硕士学位论文 n 叭s t e r st h e s 璐 3 ，( 和，t ) ：掣 对( 2 4 ) 两边关于参数z 微分得 y ；z ，t ) = 1 + ( a ，+ 入。s 王) ( z ( 7 ；z ，t ) ，r ) 可( 丁；z ，t ) d 7 _ ( 2 5 ) 关于微分( 2 5 ) ，得到如下常微分方程定解问题 f 掣邛儿“曲似绯隅t ) ( 2 6 ) 【y ( t ；z ，t ) = l 积分( 2 。6 ) 得 掣! 刮和= 唧“s 州珩禹班椰丁卜 ( 2 7 ) 因为沿着特征线r 为常数，即 并且 r ( z ，t ) = 7 o ( z ，( o ；z ，t ) ) ，( 2 8 ) ( z ，亡) = r ：( z ( 。；z t ) ) e x p 一z ( + 九s 州z ( 下；z ，t ) 丁) 打 ， ( 2 9 ) 从而 同理可证 下证 j f l r ( 毛t ) s 如，2 ( z ，t ) 0 s ( z ，亡) 缸，8 霉( z ，t ) 0 如( z ，t ) s 施，s 暑( z ，t ) s 觚 ( 2 1 ) 两边关于z 微分，并令q = r 霉，p = 得 6 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) q n = = 艮d 曲 入 p + + 口 口 励钟 沁 如 + + 口 口 r r 队似 + + m 风 ，i_，、-l 硕士学位论文 n l a s t e r st h e t i 墨 fq ：丘+ m 5 + 苦( z 2 + e t ) 江厅+ 坛+ 静慨e t ) ， 但- 4 其中g l 是任意的正常数，是q ，p 的上界( 由局部存在性，是存在的) 将( 2 1 4 ) 代入到( 2 1 3 ) ，得到 画+ 入瓦十苦( c 蹦+ 2 捌+ ( q + 枷) a 三c k 入，另- a r c ? 一声，】( ? + 芸c 矿t c 三e t ，) = 0 。2 1 5 ， 厦+ p 尾+ 尝( c l e c + 2 p z ) k q 讹p ) 厅 。 毕j + 机) 口+ 伽卅 沁+ 尝( 矿+ c 础) _ 0 ， r 砸0 ) = q ( 则) 一地一茄( z 2 + c l ) o ， l 冱( 虬t ) = n ( 虬t ) _ 慨一一尝c 。， 1 融，0 ) 一雕，o ) 一坛一尝( 护+ ) o ， 【矽( 士己，舌) = ( 士厶，t ) 一溉一一苦c 三e o 于是必有 a ( z ，t ) o ，厣( z ，t ) o ，( z ，t ) 卜l ，翻【o ，引 否则，若( 2 1 7 ) 式在【厶纠【o ，卅上不成立，不妨设 吾= 吼i p 【t l a ( z ，t ) o ，厣( z ，t ) 0 7 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 硕士学位论文 知0 嗡；t e r st h e s i s 三兰三三竺二耋：三二三：；： c 2 8 ， 入t = 矗匆，a 2 = 圭 ( 2 抛) i 伽o ( z ) i 讥，一 矗2 b ( z ) l ， os ：( z ) ，os 磊( 。) s 尬， 则当t o 时，c a u d l y 问题( 2 2 0 ) ，( 2 2 1 ) 存在唯一整体光滑解 证明：由引理2 1 ，为了证明引理2 2 ，我们需要证明如下估计； 入1 j o ，a 勉o ，a 1 ：+ a 1 衄0 ，a 缸+ 入2 o 8 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 通过简单的计算，由( 2 。2 2 ) 有 入- 。= 。，a - ：= 百r 三呈：f ，a 如= 。，a z 。= 百r = 当：乒， 入z + 入- 。= i r ：；：芦，入知+ a 如= i r _ 二三：f 为了证明( 2 2 5 ) ，我们需要估计z 为此，令z 。( f ；z ，t ) 是方程组通过点( z ，t ) 的第一特征线，即 则 j 半乩= 南爪隅班锄， iz a l0 ；z ，t ) = z ， 咝掣：o 武 一 这说明z ( 毛t ) 沿着a 1 特征线是常数，即 z ( z ，t ) = z ( q ，0 ) = 动( 口) ， ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 其中q 是特征线与争轴的唯一交点 ( 2 2 3 ) ，( 2 2 6 ) ，( 2 。2 7 ) 和( 2 2 8 ) 表明( 2 2 5 ) 是正确的，从而证明了引理2 2 我们继续考虑下面对角化方程组的c a u d l y 问题 初始值为 并且 t t ，( z ，0 ) = t t 7 0 ( z ) ，名( z ，0 ) = 绚( z ) ， 入= 矗万， 水南 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 借助于引理2 1 ，我们可以证明，在假设初始值( t l j o ( z ) ，徇( z ) ) 满足某些条件 下，c a u c h y 问题( 2 2 9 ) ，( 2 3 0 ) 存在唯一整体光滑解 9 o ， i i h 划 肭 + 毗 施 ，iljl_【 硕士学位论文 掇a s 蕈e 嚣s 零嚣s 疆 亨l 理2 。3 假设初值鳓( ) ，趵( 茹) ) c 1 ( 脚且存在正常数强，磊毛满足 i ( z ) l m ，一l 翔( 茁) s 尬， o 篓碥( 。) 兰捣，o 竖磊( z ) s 鹏， 则当害麓o 时，c 氛u c h y 问题( 2 2 9 ) ，( 2 。3 0 ) 存在唯一整体光滑解 证明：由引理2 1 ，为了证明引理2 3 ，我们需要证明如下估计： ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 爻i ：o ，知2 芝g ，文l ；+ 天l 钟0 ，a 虢+ 天2 葭 ( 2 3 4 ) 通过简单的计算，由( 2 3 1 ) 有 a t w = o ，a - 。= 一i r j j 产，入2 t i ，2o ，a ：z = 一i r j i 乒， ( 2 3 5 ) “t 聋一再务，+ a 红一每- ( 2 t ) 为了证明( 2 3 4 ) ，我们需要估计z 为此，令瓢。( 专；霉，z ) 是方程组通过点( 茹，幻的第一特征线，即 赠 l 半“t = 南协熙忍哦 ， iz a l ( t ；搿，t ) = z ， 沿着爻l 一特征线是常数，即 垫堪垫盟：o 埏 一 z ( z ，t ) 一名( q ，0 ) 一翔( 口) ，( 2 3 7 ) 其中n 是特征线与轴的唯一交点 ( 2 3 2 ) ，( 2 3 5 ) ，( 2 。3 6 ) 和( 2 3 7 ) 表明( 2 3 4 ) 是正确的，从面证明了引理2 3 。 1 0 第三章主要定理的证明 为了证明定理1 1 ，我们首先引入下面的几个定义，见参考文献【l o ，2 3 】 定义3 1 对于一个光滑函数叫：一冗，如果t ，有 = o ， 那么我们称t t ，为个k - 黎曼不变量( 这里 表示中的内积) 定义3 2 在区域d 舻中，若v 丸“0 ，则称第七个特征族是真正非线 性的，如果是这种情形，我们可以通过v k 飞= 1 使之标准化若v k 仇= 0 ， 则称第七个特征场是线性退化的 由( 1 2 ) 可知，它相应的j a c o b i 矩阵为 l + 秽 ( 1 + u + 秒) 2 t ， ( 1 + “+ 甜) 2一嘉) ( 1j 竿1 ( 1 + u + u ) 2 牡揣入十南= 。 解得 入- ( 牡，t ，) 3i f 南，a 2 ( t ，t ，) 2 志 11 相应的右特征向量分别为 r l = ( 缸，口) ， r 2 = ( 1 ，一1 ) 由黎曼不变量的定义，可计算，1 ，仡的黎曼不变量分别为 伽= 罟， 名= 一( t 工+ t ，) 或者 u 伽= 一， z = t t + t ， t ， 1 】 即 伽：竺，名：士( t 上+ t ，) ( 3 1 ) 伽= 一，名2 童i t 上十t ，j - o 1 ， t ， 我们假设l ，如分爱为a l ，支2 对应酶左特征淘囊，则有 厶e t ，移，。e 牡，掣，= 三： 髋7 搿： j r v 埘( 让，”) 如， tv 2 ( 钍，移) z l 。 所以，只要1 + u ( 茁，t ) + 钉( $ ，t ) 保持定号且”( z ，t ) 0 ，则( 1 2 ) ，( 1 3 ) 可对角化为 ( 2 2 0 ) 一( 2 。2 2 ) 或者( 2 。2 9 ) 一( 2 。3 0 i 即 口= 豁( 。，o ) = 蝴( 互) ， 荔缸，妨= 硒扛) ， 廿南，起= 圭 ：= 1 2 并且 a ，= 南， 枷南 由引理2 ，2 及引理2 3 ，为了证明定理1 。1 仅需证明下面的两个引理，这可以利 用特征线法证叽见参考文献【2 7 ，2 8 ，3 3 1 引理3 1 如果l + 奶( z ) + 咖( z ) 保持符号不变，则l 十让( z ，亡) + t ，( z ，亡) 也保持 符号不变，并且符号与1 + 撕( z ) + 蜘( z ) 相同 令 证明：由( 1 2 ) 和( 1 3 ) ，有 则( 3 2 ) 变成 m ( z ，t ) = 1 + t ( z ，t ) + 口( z ，t ) ， ( 3 2 ) 卜+ 击舰= o ， ( 3 3 ) 1m ( z ，o ) ： 毛( z ) ：1 + 锄( z ) + 伽( z ) 、 设z ( ；z ，t ) 是过点( z ，t ) 的特征线，即 慧廿班a 则 丝生筚! 丛2 ：o 武 这表明m ( 。，t ) 沿着特征线为常数所以 m ( z ，t ) = m ( p ，0 ) = 1 + t | o ( 卢) + 如( p ) ， 其中p 是特征线与争轴的唯一交点 ( 3 4 ) 剖 一 ： 卜 = 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 弓i 理3 2 当t 帕( z ) 0 时，有 ( z ) 0 证明：我们将( 1 2 ) 2 写成下面的形式 仇+ 志一槲= o ( 3 5 ) 仇+ r 孑i _ f i 一可f f 而2 u 【文5 ) 令z ( f ；z ，t ) 为过点( z ，t ) 的特征线，即 ，掣= 忐和固， - 一= 一i ：t ：- ，：z z 1 ，- 2 蜓 1 + t + 移r h r ，v l iz ( ；z ，t ) = z ， 巾= 嘶。) 唧( z 湍( 小t ) ，s ) d s ) ， 其中z o 是特征线和弘轴唯一的交点由如( z o ) 0 有口( z ，t ) 0 这便完成了引 注3 1 引理3 1 和引理3 2 说明由( 3 1 ) 定义的映射( 让，t ，) h ( 伽，z ) ，在任意 容易证明，由( 3 1 ) 给出的t ，t ，满足( 1 2 ) ，( 1 3 ) ，这便证明了定理1 1 注3 2 在( 1 1 ) 中对于o ，y 1 ，我们猜测有类似的结果，我们另外给予讨 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 lf a n n a 衄dg m c o c l i t e ，o nt h ea t t 血a b l es e tf o rt e m p l ec l 溺s y s t e 璐们t h b o u n d 哪c o n t r o l s ，s l mj c o n t r a lo p t i m ，4 3 ( 2 0 0 5 ) ，2 1 6 昏2 1 9 0 【2 】r 舡i sa n dn a m u n d s o n ，m a t h e m a t i c a l lm e t h o d si i lc h e m i c a le n g i n e e r i n g ，p r e n t i 治 h a l l l ，i n c ，e n g l e w o o dc 1 i f f s ，n e wj 豇_ s e y 1 9 6 3 f 3 】a d o u 9 1 i s ，e 蛀s t 钮t h e o r 锄sl ；窿b y p 盱b 曲cs y s t e m s ，c o d 珊p u r ea p p l m a 七h ， 5 ( 1 9 5 2 ) ，1 1 9 - 1 5 4 f 4 jf h e 丘撕c h 锄dg k l e i n ，m u l t 奴髓p o 舱n tc h r o m a t o 留a p h y ，m a r c dd e l 【l c | e r ，h c ， n e w 、，0 r k ，1 9 7 0 【5 】l i i s i a n dt t l i ，g 1 0 b a ls m o o t h8 0 l u t i o fc 跏吐l yp r o b l e m s 五d rac l a 峭o f q u 笛i l i n e 缸强dh y p e r b o ks y s t e m s c h i n 山蛆m a t h ，4 b ( 1 9 8 3 ) ，1 0 9 n 5 【6 】m n j i 衄g ，l z r u 缸如dj z h a n g ，e ) 【i s t e n c eo f 舀o b a l 锄o o t h 烈u t i o nt ot h e i n i t i 甜b o u 】a d 铀了v 划【u ep r o b l e mf b rp s ) r s t e mw i t hd 锄p i n g ，n o n l i n e a ra n a l l ，i i lp r e 鼹 【7 】f j o h n ，f b r m a t i o no fs m g u 蹦t i 豁i i io n e i d i m e 画o n a ln o n l i n e 盯w a p r o p a g a t i o n ， c o m m p l l r ea p p l m a t h ，2 7 ( 1 9 7 4 ) ，3 7 7 - 4 0 5 8 】p d l a x ，d e v e l o p m e n to fs i n g 、d a r i t i 岱o fs o l u t i o n so fn o n l i n e 缸h y p e r b o l i cp a r t i a l l d i 丘打e n t i a le q u a t i 0 璐，j m a t h p h y s ，5 ( 1 9 6 4 ) ，6 1 1 - 6 1 3 【9 】t t “，g 1 0 b a lr e 咖锣姐df 0 】扭t i o no f8 i 1 1 9 u l 暑u r i t i 髓0 fs o l u t i o 璐t o 丘r s to r d e r q u a s i 1 i n e 越h y p e r b o l i cs y s t e m s ，p r o c r 哆s o c e d i n b u r g h ，8 7 a ( 1 9 8 1 ) ，2 5 5 2 6 1 【1 0 】t t l i 衄dt h q i i l ，g 1 0 b 出s 啪o t h 烈u t 汹f o rac l 蠲o fq u 笛i l i d wh y p e r b o n c s y s t e n 玛谢t h 击8 s i p a t i 、，et e 邛陷，c h i n a n n m a t h ，6 b ( 1 9 8 5 ) ，1 9 9 - 2 1 0 【l l 】t t l ia n dw c l ，b 伽皿d a r yv 砒u ep r o b l 眦s 五d rq u i l i n e 缸h y p 盯b 0 h cs y s t e m s ， d u l 【eu 】1 i v e 蠕i 坝d u u r h 锄，n c 2 7 7 0 6 【1 2 1l 。w 。l i n ，b 匹曲o fg l o b a u yo o n ：乇i 珈0 u 8 五汪r e d u c i b l eq u 够i l i 聆篮h y p 钌b o 比s y s t 咄，a c t as d n a t u r u 1 1 i v j i l i n ，4 ( 1 9 6 3 ) ，8 事9 6 【1 3 1l w l i n 衄dy s z h 明g ，e ) 出t c e 龃dn o n e x b t e n o fg l o b a js m o o t h 鲥u t i o mf o r q 璐i l i n e 缸h y p e r b o cb y s t e n 玛，c h i n 舢m m a t h ，9 b ( 1 9 8 8 ) ，3 珐3 7 7 【1 4 】l w l i na n dt y 趾g ，e 】d s t 印a n dn e x i s t e n o fg l o b a ls m o o t hs o l u t i 0 珊五竹 d 锄p e dp s y s t e mw i t h 沁a u yl a r g 矿妣i a ld a t a ，j p a r t i a ld 证e q s ，4 ( 1 9 9 1 ) ， 4 5 5 1 硕士学位论文 囊a 8 t e r st h e s i s ( 1 5 lt 。p ，d 刊o p m e n to f 咖g i l l 撕t 返i nt h en o n l i n e 缸w a 隅f o rq u a s i l i 矾跛h y p * b o l i cp a r t i a ld 诳b r e n t i a le q u a t i o 璐，j d 诳打e n t 湖e q u a t i o 珊，3 3 ( 1 9 7 9 ) ，9 二1 1 1 【1 6 lt p l i u 衄dc h w 她，o nah y p e r b o l i cs y s t e mo f 陷e r v a t i 叩h 鹏w h i c hi sn o t s t r i c 乞l yh y p e r b 曲c ，m r ct e c h n i c a ls u m m a d r p o r t ，d e c e m b e r2 9 ，1 9 8 0 【1 7 jt n 过l i d a n o n n e 缸h y p e r b o ke q u a t i o 璐蛐dr e i a t e dt o p i i na u i dd ) m 啪i 岱， p u b 址a t i o 】哆m a t h e m a t i q u 留d o 岱a y7 8 0 2 ，d e p 缸t m e n td em a t h 毛m a t i q u e ，p a r 蹲 s u d 1 9 7 8 f 1 8 】t h q i i l ，e ) 凼t c eo ft h e9 1 0 b 址锄0 0 t h 鲥u t i o 璐t ot h ec 卸c h yp r o b l 锄f o r 五r s t o 弼嚣q u a s i l i e e 8 rp a r t i a ld i 丑! ；e r e n t 避e q u a t o 阮s ，3 乳l d 缸u n 主v ，2 2 ( 1 9 8 3 ) ，4 l 一4 8 【1 9 】h i m ，r 缸证a n dn ra m u 卫d s d n ，o nt h et h e o r y0 fm u l t 泐m p o m n tc h r o m a t o 分 r a p h y p h i l n 邺r 彤，s o c ，2 6 7 a ( 1 9 7 0 ) ，4 1 叫5 5 【2 0 】l z r u 柚如dc j z h u ，e 墙t 髓c e0 f 舭8 ls m o o t h 烈u t i o nt oi n i t i a lb o u n d a u v a l u ep r o b l e m 五d ray i s c o e l a s t i cm o d e l 谢t hr e l a x a t i o n ，a c t am a t h s c i ，2 4 b ( 2 0 0 4 ) ， 2 6 5 1 2 7 4 【2 1 】l z r u 缸衄dc j z h u ，e 斌e n c eo f9 1 0 b 址s m o o t h 烈u t i o nt ot h er 抛i 恼t i ce u l e r e q u t i o 璐，n o d 抽e a ra 且a 1 ，6 0 ( 2 0 0 5 ) ，9 9 孓1 0 0 1 【2 2 】l z r u 8 n 皿dz y z h 髓g ，e ) 【i s t e n c eo fg l o b 址s m o o t h 烈u t i o 璐t oj i n x mm o d e l w i t hl a r g ei n i t i a l ld a t a ，j p a r t i a ld i 正e q 罩，1 7 ( 2 0 0 4 ) ，1 6 3 1 7 2 f 2 3 】j s m o l l 凹，s h o d 【w - a v 筠a n d 融眦t i o n - d i 肌s i o ne q u a t i o n s ，s p r i n g e r ，n e wy o r k ， h e i d e l b e r gb e r h ，1 9 8 2 【2 4 】b t e m p l e ，s y 8 t e 盥o f 倒n s e m t i o nl a 隔r s 丽t hc o i n c i d i n gs h o d 【缸dr a r e 融i o nc u r v 签， c 伽i t e m p a r ym a t h e m 8 屯女笛，1 7 ( 1 9 8 3 ) ，1 4 3 - 1 5 l 。 2 5 】b i l e 1 p l e ，n d n l i n e 甜璐帆t i ( ml a ：i 啷丽t h 洲a n ts u b m 阻i f 锄8 ，n 蛆8 a m 盯 m a t h s o c ，2 8 0 ( 1 9 8 3 ) ，7 8 1 7 9 5 【2 6 】j h w 她皿dc z l i ，g 1 0 b a l lr e 酬a r i 锣a d d m a t i o no fs i n 刚a 订t i 0 f8 0 l u t i o n6 d r q 鹏i l i i i e 吐h y p e r b o l i c8 y b t e m s 诵t hd i 鹃i p a t i o n ，c h i n a n n m a t h s 盯，9 ( a ) ( 1 9 9 8 ) ， 5 0 孓5 2 3 【2 7 】t y 柚ga n dc j z h u ，e ) d s t e n a n dn 嘲( i s t e n c e0 f 咖b a ls m 0 0 t h8 0 l u t i o 璐f o r p s y 8 t 啦丽t hr e i 娃a t i ，j d 渤e n t i a le q u a t i o 璐，6 l ( 2 0 0 0 ) ，3 2 1 - 3 3 6 【2 嘲t y 抽g ，c j z h u 衄dh j z h ，g 1 0 b 砒s m o o t h 鳓u t i o 篮f o r8c l a 鼹o fq