九年级数学竞赛试题（七）及答案.doc

九年级数学竞赛试题（七）一、选择题（每小题5分，共30分）1a、b是有理数，如果|ab|=a+b，那么对于结论：a 一定不是负数 b可能是负数下列判断正确的是（ ） A只有正确 B只有正确 C都正确 D都不正确2已知a、b、c中有两个奇数，一个偶数，n个整数，如果S=(a+2n+1)(b+2n+2)(c+2n+3)，那么（ ） AS是偶数 BS是奇数 CS是奇偶性与n的奇偶性相同 DS的奇偶性不确定3如图，梯形ABCD对角线相交于点O，已知AOB的面积为25cm2,BOC的面积为35cm2，那么梯形ABCD的面积为（ ） A140cm2 B144 cm2 C160 cm2 D无法确定4古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸，地支有12个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如下两列：甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊已庚辛壬癸子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥从左向右数，第1列是甲子、第2列是乙丑、第3列是丙寅则第2次甲和子在同一列时，该列的序号是（ ） A31 B61 C91 D1215在一次函数y=x+3的图象上取点P，作PAx轴，垂足为A，PBy轴，垂足为B，且矩形OAPB的面积是2，则这样的点P共有（ ） A4个 B3个 C2个 D1个 6已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则(2 xy)2+(2yz)2+(2zx)2的最大值是（ ） A12 B20 C28 D36二、填空题（每小题5分，共30分）1计算（）20052（）20042（）2003+2005=_.2一个正整数，如果加上100后是一个平方数，如果加上168后又是另一个平方数，则这个正整数是_.3在四边形ABCD中，AD=DC，ADC=ABC=90，DEAB于E，若四边形ABCD的面积为8，则DE的长为_.4.在ABC中，AB=AC，腰上的高BD=2，底边上的高AE=4，则tanC的值为_. 5已知a、b、c、d均为质数，且满足10cd20，又ca也是非偶质数，d2c2=a3b(a+b)，则ab(c+d)的值为_.6如图，在等边ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F，若，则SABC=_.三、简答题(每小题20分，共60分)1已知非零实数a、b、c满足a2+b2+c2=1，求a+b+c的值2甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？3如图，四边形PQMN是平行四边形ABCD的内接四边形， （1）若MPBC或NQAB求证：S四边形PQMN=SABCD （2）若S四边形PQMN=SABCD，问是否能推出MPBA或QNAB？证明你的结论.参考答案（七）一、选择题：1A解：当ab时 ab=a+b b=0 a0 当ab时 ba=a+b a=0 此时b0因此 a、b都是非负数，故选A2A 解：(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6n+6 是偶数a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中必有一个是偶数 S是偶数3B4B解：“甲”在第一行出现的位置是10m+1，m=0,1,2 “子”在第二行出现的位置是12n+1，n=0,1,2 甲和子在同一列时应有10m+1=12n+1，即10m=12n 当m=n=0时第一次出现甲子同列 第二次甲子同列时应使得10m=12n成立的最小正整数m和n 即m=6 n=5 应是61号位置5A 解：设P（a,b），则b=-a+3故PA=|b|=|-a+3|，PB=|a|a|-a+3|=2 即|a(-a+3)|=2-a2+3a=2 或 a2+3a=2，a有4个解这样的点P共有4个6C解：(2 xy)2+(2yz)2+(2zx)2 =5(x2+y2+z2)4(xy+yz+xz)=202(x+y+z)2(x2+y2+z2)=282(x+y+z)228当x+y+z=0时 (2 xy)2+(2yz)2+(2zx)2的最大值是28二、填空题12005 解：设x= 则x1= x22x2=0原式=x20052x20042x2003+2005 =x2003(x22x2)+2005 =20052 156 解：设所求正整数为x， 则x+100=m2， x+168=n2，其中m、n都是正整数 n2m2=68(nm)(n+m)=2217 nm、n+m具有相同的奇偶性 解得 x=1563 2 解：把ADE绕A点旋到DCF处，使AD与CD重合则DCFADEDF=DE， DCF=AA+DCB=180DCF=DCB=180F、C、B三点共线 SABCD=SDEBF易证DEBF是正方形 DE2=8 DE=24 解：ACBD=BCAE，AE=4， BD=2 AC=2BC由三线合一可知 CE=BCAC=4CE tan C=5 180 解：因为a、b、c、d均为质数，且10cd20所以c、d只能为11、13、17或19，且c19又ca也是非偶质数，所以a=2分别取c=11，13，17，则ca=9，11，15，只有c=13符合要求把c=13，a=2代入d2c2=c3b(a+b)得d2132=8b(2+b)（1）若d=17，则b2+2b15=0 解得b=3或b=5（舍去）（2）若d=19，则b2+2b24=0 解得b=4或b=6 都不舍a=2，b=3，c=13，d=17ab(c+b)=630=1806 解：过点D作DSBM，DTCN交BC于S、T，易证MDSB、NDTC都是平行四边形DCT是等边三角形DSBMDTCN3BC=3， BC=1 SABC=三、简答题1解：abc0 对第二个等式两边同乘abc，得a2(c+b)+b2(a+c)+c2(b+a)=3abca2c+a2b+b2a+b2c+c2b+c2a+3abc=0ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+abc+abc+abc=0(a+b+c)(ab+bc+ac)=0a+b+c=0 或ab+bc+ac=0当ab+bc+ac=0时，由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1得 a+b+c=1a+b+c=0 ,1 ,12解：设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行，乘车akm，空车返回至C处，乙班同学于C处上车，此时已步行了bkm.则解得a=60 b=20至少需要（h）