（应用数学专业论文）可信性风险度量及其优化模型.pdf

中文摘要 摘要 风险就是指未来损失的一种不确定性因而按照不确定性的分类，风险通常表现为随 机环境下的风险、模糊环境下的风险等等传统的随机环境下的风险通常利用概率论来度 量，但是，人们在进行风险投资中，都难免要带上自身的主观判断为此，本文以风险的模糊 性作为研究对象，采用定量分析的方法，引入可信性理论对模糊风险测度及其优化模型进 行风险综合评价分析 本文在较为全面地研读国内外相关文献的基础上，系统地阐述了模糊环境下风险的理 论基础、构成要素以及对各种模糊风险优化模型进行建模求解和实证分析研究 文章研究思路如下：借助可信性理论的这个数学分支，首先建立了一致性模糊风险测 度公理体系，即满足平移不变性、单调性、正齐次性和独立条件下的次可加性并在一致 性模糊风险测度公理体系内，研究了几种具体的模糊风险测度；然后，运用模糊规划的建模 方法，建立了一系列模糊风险优化模型，并设计了包含模糊模拟、遗传算法、神经网络的 混合智能算法；最后，针对提出模糊风险优化模型的几个数值例子，运用混合智能算法对它 们进行了求解 关键词：可信性理论；模糊风险分析；模糊风险优化模型；混合智能算法 第1 页 上海师范大学硕士论文 a b s t r a c t 砌s ki sf u t u r e su n c e r t a i nl o s s r a n d o m n e s sa n df u z z i n e s sa r et w ob a s i ct y p e so fu n c e r t a i n t i e s i nf i n a n c i a lm a r k e t t h et r a d i t i o n a lr i s ka n a l y s i so p t i m i z a t i o nm o d e l si nas t o c h a s t i ce n v i r o n m e n t w a se s t a b l i s h e da so n eo ft h em o s tu s e f u lt o o l so fp r o b a b i l i t y h o w e v e r , p e o p l ea r ea l w a y sw i t h s u b j e c t i v ej u d g m e n tw h e nt h e yw i l li n v e s t t h er e s e a r c ho b j e c to ft h i st h e s i si sf u z z yr i s ka n a l y s i s t h eq u a n t i t a t i v ea n a l y s i sm e t h o di sa d o p t e di nt h i st h e s i sa n dt h ec r e d i b i l i t yt h e o r yi si n t r o d u c e d t os t u d yt h er i s ka s s e s s m e n tt e c h n o l o g y t h i st h e s i sg i v e sas y s t e m a t i ce x p o s i t i o no fi t st h e o r e t i c a lf o u n d a t i o n ，c o m p o n e n t s ，r i s ko p t i - m i z a t i o nm o d e l sb a s e do nt h ee x t e n s i v er e a d i n go fr e l e v a n tl i t e r a t u r ea th o m ea n da b r o a d i nt h e m e a nt i m e ，t h i sp a p e rm a k e sr e s e a r c hi n t ot h er i s km o d e l s ，a n dc a r r i e so u ts o m ee x p e r i m e n t a la n d a n a l y t i c a ls t u d y t h ea r t i c l ei ss t r u c t u r e da sf o l l o w s ：f i r s t l y , w eh a v ee s t a b l i s h e dt h ec o h e r e n tf u z z yr i s km e a s u r e m e n ta x i o ms y s t e mb a s e do nc r e d i b i l i t yt h e o r y t h ec o h e r e n tf u z z yr i s km e a s u r es a t i s f i e s s u c ha sp o s i t i v eh o m o g e n e i t y , m o n o t o n i c i t y , t r a n s l a t i o ni n v a r i a n c ea n ds u b a d d i t i v i t yu n d e ri n d e p e n d e n c ec o n d i t i o n i nt h i sa x i o ms y s t e m ，t h ed e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so fs o m ec r e d i b i l i s t i c f u z z yr i s km e a s u r e sh a v eb e e nd e m o n s t r a t e d s e c o n d l y , w ee s t a b l i s h e ss o m er i s ko p t i m i z a t i o n m o d e l sw i t hf u z z yi n c o m ea n dd e s i g nah y b r i di n t e l l i g e n ta l g o r i t h m , w h i c hi n c l u d ef u z z ys i m u l a t i o n s ，g e n e t i ca l g o r i t h ma n dn e u r a ln e t w o r k ；f i n a l l y , w ep r o v i d es o m en u m e r i c a le x a m p l e sf o r t h ep r o p o s e dm o d e l sa n de m p l o yt h eh y b r i di n t e l l i g e n ta l g o r i t h mt os o l v et h e m k e yw o r d s ：c r e d i b i l i t yt h e o r y ；f u z z yr i s ka n a l y s i s ；f u z z yr i s ko p t i m i z a t i o nm o d e l ；h y b r i di n t e l l i g e n ta l g o r i t h m 第1 i 页 论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 签名： 日期： 乙，枢。t 暑 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 导师签名 日期 第一章前言 第一章前言弟一早月ui 1 1 风险分析及风险优化模型的研究背景、意义 随着金融证券在全球范围内的迅猛发展，风险分析在金融领域的应用变得越来越重要 然而，金融市场中的许多问题都充满了不确定性，正由于这种不确定性，导致人们不能或难 以准确预测未来事件发生的后果及其可能性大小，从而形成了金融风险 金融风险，根据其来源划分，主要可分为三种类型：市场风险，信用风险和操作风险所 谓市场风险指的是，由于利率、汇率、股价等市场因素的波动导致金融产品交易者的资产 价值发生变化；信用风险是指由于合约一方的违约而导致对方蒙受金融损失的可能性；操 作风险是指由于金融机构的操作不当而导致金融交易者蒙受金融损失的可能性具体到几 个金融领域的各个方面的风险又有不同特点，又主要可分为从银行业的风险、金融证券 业的风险、保险业的风险因此，投资银行、证券公司、保险公司等金融机构为了增强自 身运作的风险管理能力，始终都在寻找合适风险度量工具这便引出了风险测度问题 关于风险度量的研究发展到今天已有上百年的历史了最早，学术界仅仅只研究金融 风险中的市场风险，通过考虑单一的市场波动因子与资产收益的关系，例如，期权的敏感 度衡量方法和利率的敏感度衡量方法等1 9 5 2 年，m a r k o w i t z 在自己的博士论文证券组 合选择理论【3 2 中首次提出用方差刻画偏离资产收益的风险，并且介绍了关于投资组合 的“均值方差”模型长期以来，人们都认为方差是度量风险的最佳工具也正由于均 值方差模型的学术地位被世界所公认，m a r k o w i t z 教授获得了1 9 9 0 年诺贝尔经济学奖但 由于使用方差作为风险度量工具，反映的仅仅只是资产收益的波动幅度，而不能给出金融 市场的具体风险暴露数值因此，m o r g a n 投资银行在1 9 9 4 年，提出了风险价值v a r ( v a l u ea t r i s k ) 3 4 】的概念，并将其作为风险度量工具，得到了国际金融界的一致认可，成为当时应用 最为广泛的市场风险的衡量方法 面对各种不同的风险测度工具，人们自然会思考究竟什么样的风险测度是好的 测度1 9 9 9 年，a r t z n e r , d e l b a e n ，e b e r , 和h e a t h 1 0 提出的“一致性风险测度( c o h e r e n t m e a s u r e so f r i s k ) 的概念所谓一致性风险测度，即认为风险测度需要满足四条公理：平 移不变性、单调性、正齐次性、次可加性从理论方面来说，风险价值v a r 作为风险度量 的工具，它只具有平移不变性、正齐次性和单调性为了克服风险价值v a r 不满足次可加性 的缺陷，a r t z n e r 【1 0 弓1 入了条件风险值c v a r ( c o n d i t i o n a lv a l u ea tr i s k ) ，其中c v a r 被定义为损 失超过v a r 部分的条件期望，并且证明了c v a r 满足一致性风险的四条公理而且，从某一个 方面来说，c v a r 比v a r 更确切地刻画了下滑风险此外，a c e r b i 和t a s c h e 【8 1 也从另外一个 角度对v a r 进行改良，提出了另一种新型风险测度“期望损失e x p e c t e ds h o r t f a l l ( e s ) ，可以 用它来估计v a r 的尾部风险 随着一致性风险测度的公理化定义的提出，许多学者都试图从公理化的角度给风险度 第1 页 上海师范大学硕士论文 量下定义2 0 0 2 年，h a n sf o l l m e r 和a l e x a n d e rs c h i e d 【2 0 将一致性风险测度中的正齐次性 和次可加性条件改为凸性条件，从而给出了凸风险度量( c o n v e xm e a s u r e so fr i s k ) 的概念 几乎在a r t z n e r 给出一致性风险测度公理的同一时间，w a n gs s 【3 7 等人也以公理化 定义的形式给出了一个与保险金密切相关的风险度量工具保险风险测度或畸变风险测 度( d i s t o r t i o nr i s km e a s u r e s ) 在一定条件下，保险风险测度也满足一致性风险测度的四条 公理许多传统的风险度量都可以通过构造一个畸变函数g ( x ) 来得到，例如v a r ，c v a r 等【3 8 】 可以说，保险风险测度是一大类一致性风险度量的概括由于保险风险测度具有这种特殊 的性质，大量的学者对其展开了较深入的研究( 【1 5 ，2 5 ，3 9 】) 与保险风险测度类似，a c e r b i 【9 】也提出的一类一致性风险度量的概括_ 谱风险测 度( s p e c t r a lr i s km e a s u r e ) 谱风险测度在一致性风险测度的四个性质基础上，增加了规则不 变性和同单调可加性这两个性质这使得谱风险测度可以将资产组合损益分布的具体形状 与投资者的主观风险厌恶程度相结合，它的产生是来源于期望损失e s 的思想 从某种意义上讲，风险理论研究的出发点和落脚点都是为了做出合理的风险决策与管 理对于风险决策者而言，需要从数学建模的角度来处理风险控制问题 作为风险优化模型的研究起源，m a r k o w i t z 的均值方差模型具有里程碑的价值实际 上，均值方差模型是将投资组合的期望收益和风险损失作为为目标函数的双目标优化模 型在双目标优化模型的可行域中，较高的风险水平意味着在一定程度可以获得较高的 收益水平投资组合选择就是在均值方差的有效策略集中选出适合投资者风险偏好的投 资组合 由于双目标决策优化模型求解的复杂性，m a r k o w i t z 【3 2 首次明确的运用概率论和规 划论的数学方法，给出了两种均值方差模型一种是在一定风险水平的约束下以期望为 收益目标函数，根据不同比例投资多种证券，并求收益最大的投资；另一种是在一定的收 益水平下以方差为风险函数，求方差最小的投资组合的投资方法因此，均值一方差模型为 风险和收益的权衡提供了可行的定量分析的数学工具 沿着均值方差的思想方法，还产生了许多其他的风险优化的方法例如，大于均值期 望的超额收益是投资者所追求目标，可以将其看成是意外收获然而，在均值方差模型 中却将其看成了风险因此，下半方差可以说是更为准确的风险测度，下半方差实际上 就是均值的负偏差的平方的期望m a r k o w i t z 又提出了均值下半方差优化模型【3 3 】随 后，y a m a z a k i 和k o n n o 【2 4 通过期望绝对偏差作为风险度量，提出了均值绝对偏差模型 f i s h b u r n 【1 9 】用与计划给定的目标收益的某种负距离的期望值来度量风险 因为风险价值v a r 本质上就是在给定置信水平内最坏情况下的损失，一些学者使用风险 价值v a r 替代方差作为风险测度来进行风险优化( 【1 6 ，1 7 ，2 2 】) 但是由于风险价值v 报一般不 满足次可加性，这也意味着在某些情况下，风险价值v a r 不适合作为风险模型中的风险度 量基于这个理由，许多学者选择使用条件风险值c v a r 作为风险模型中的风险度量以上 所提到的的风险优化模型都属于收益风险( r e t u r n r i s k ) 型模型 第2 页 第一章前言 1 2 本文要解决的问题 金融市场的不确定性表现形式是多样的，因此金融风险的表现形式也是多样的之前， 大多数风险优化模型都建立在概率论的基础上，使用概率论与数理统计的方法来衡量收益 的风险，这种随机系统风险分析方法，需要取得系统的大量历史数据，因此对于一些难以取 得历史数据的系统来说则并不适用 扎德( z a d e h ) 在1 9 6 5 年通过隶属度函数创立了模糊集的概念 4 0 】，随着模糊理论的 发展，为了度量一个模糊事件，扎德在1 9 7 8 年提出了可能性测度【4 1 】但是，可能性测度并 不具备自对偶性( 概率测度满足自对偶性) 例如，如果一个模糊测度不满足对偶性，即一 个模糊事件的可能性测度为1 时，该事件也不一定发生 一个满足自对偶性的测度，无论在理论研究还是实际应用中都是必需的因 此，l i u 和l i u 在2 0 0 2 年提出了具有自对偶性的可信性测度1 3 0 】，它才是与概率测度平 行的一个重要概念随后，“u 在2 0 0 4 年建立了可信性理论的一套完备的公理化体系1 2 7 】， 包括模糊变量，隶属度函数，期望值，关键值，熵等一系列概念，使可信性理论成为了 研究模糊现象的数学分支可信性理论是根据可信性测度演绎出来的处理模糊性的一个全 新的公理化理论框架，是研究模糊事件的一个新型数学工具 随机性表示一种客观的不确定性，而模糊性表示一种主观的不确定性简单的来说，所 谓模糊性就是由于个人的主观因素对某种事物做出判断产生的不确定性也就是说，在数 学上一般认为模糊用于定义主观的不确定性，而随机用于定义客观的具有统计意义的不确 定性我们要研究的风险中，大量存在着这种主观不确定性，因此用公理化的可信性理论 来代替概率论去研究风险，是一个不错的选择 本文将以可信性理论为理论基础，根据风险分析决策问题本身的复杂性、不确定性的 特点，尝试通过使用模糊变量去描述金融风险中的不确定性因素，并建立相应的风险优 化模型，并通过构建混合智能算法来对模型进行求解本文共分为六部分，内容安排如下： 第一章前言部分介绍了有风险分析问题的研究背景及研究现状，并给出了本文主要的 研究工作； 第二章介绍了可信性理论和模糊规划的相关概念 第三章介绍和讨论了几类基于可信性理论的模糊风险测度，并讨论其相关性质； 第四章介绍并讨论了几类基于模糊规划的风险优化模型，然后构建了一种结合模糊模 拟、遗传算法、神经网络的混合智能算法； 第五章列举了几个模糊风险优化模型的数值实例，并进行求解； 第六章对本文进行了总结，并对进一步的研究工作进行了展望 第3 页 上海师范大学硕士论文 第二章可信性理论与模糊规划 2 1 可信性理论 可信性理论是由可信性测度演绎出来的处理模糊性事件的一套新的公理化体系框架 本小节主要介绍可信性测度、模糊变量、隶属度函数、可信性分布函数、期望值、方 差、独立性、乐观值与悲观值等概念这些概念将帮助我们更好理解的可信性理论 设e 为非空集合，p 是由e 的一些子集构成的幂集，p 中的元素称为事件为了介绍可 信性理论的公理化定义，有必要定义集函数，对每个事件a ，规定一个非负数c r a 表示事 件a 发生的可能性为了保证集函数c r a 具有人们直观上期望具备的某些数学性质，可以 考虑如下四条公理 2 8 】： 公理1 ) c r e = 1 ； 公理2 ) c r 是单调增加的，即：当acb 时有c r a c r b ) ； 公理3 ) c r 是自对偶的，即：对任意事件a ，有c r a + c r a 。) = 1 ； 公理4 ) 对任意可列个事件 a ) ，有c r u i h ) = s u p ic r a 定义2 1 1 1 2 8 】如果集函数c r 满足这四条公理，则称之为可信性测度 定义2 1 2 2 8 】设e 为非空集合，p 是由o 的一些子集构成的幂集，c r 为可信性测度，则三元 组( e ，p ，c r ) 称为可信性空间 正如随机变量被定义为概率空间到实数集上的可测函数，我们也可将模糊变量定义为 可信性空间到实数集上的函数 定义2 1 3 2 8 】一个模糊变量就是指从可信性空间( e ，p ，c r ) 到实数集中的可测函数 随机变量可以通过概率密度函数来刻画，为了描述模糊变量，需要引入隶属度函数 定义2 1 4 2 8 】令是定义在可信性空间( e ，p ，c r ) - - 的模糊变量则模糊变量具有隶属度 函数 p ( z ) = ( 2 c r = z ) ) al ，z 7 已 随机变量具有概率分布函数，模糊变量同样也具有可信性分布函数 定义2 1 5 2 8 】一个模糊变量f 的可信性分布函数西：跪_ 【0 ，1 】定义为 圣( z ) = c r 0 ei ( 口) z ) 为了刻画模糊变量的数字特征，可以给出期望值的概念 定义2 1 6 2 8 】设为模糊变量，如果下式右端两个积分至少有一个有限，则称 ，+ o o，i o e 【翻= c r r d r 一 c r r d r j 0j 一 第4 页 第。一章可信性理论与；笋规划 为模糊变量的期望值 方差描述了模糊变量取值分布与期望值偏离程度大小方差越小，表示模糊变量的取 值越集中在期望周围；方差越大，表明模糊变量的取值越分散于期望值 定义2 1 7 2 8 】设是具有有限期望值e 的一个模糊变量，则称 y 陶= e 【( 一e ) 2 】 为模糊变量的方差 为了比较模糊变量，可以给出两类关键值的定义 定义2 1 8 2 8 】设为模糊变量，且q ( 0 ，l 】，则 毛。p ( a ) = s u p rlo r 7 ) q ) 称为模糊变量的q 乐观值； 6 n r ( q ) = i n f ric r r ) q ) 称为模糊变量的q 悲观值 模糊变量也具有独立性的概念 定义2 1 9 1 3 1 对于实数集r 上的任意子集b 1 ，岛，模糊变量1 ，已，岛是相互独 立的模糊变量，当且仅当 rm、 c r n 已s d - ，m i nc r & 鼠) l i = l， 以下是几类具体的模糊变量的例子 例1 如果模糊变量有隶属度函数 则称为三角模糊变量，记为( o ，b ，c ) ，其中o b c 例2 如果模糊变量有隶属度函数 p ( z ) = - x - a ，若a 一 z 6 r 一由 z ( ， d 一口 1 ，若b x c 霉，若c z d_ 钼c z u c d 0 ，其它， 第5 页 6 q 一 一 z z 一 一 o b 靴 都 若i若蒜 ，、i-【 = 上海师范大学硕士论文 则称为梯形模糊变量，记为( o ，b ，c ，d ) ，其中n b 叩当且仅当e 旧 e m ，其中e 是模糊变量的期望值算子 ( 菇) 称 r 当且仅当对某个预先给定的置信水平q ( 0 ，1 】，我们有毛u p ( q ) r s u p ( q ) ，其 中p ( a ) 和仇u p ( q ) 分别是模糊变量和叩的q 一乐观值 ( i i i ) 称 叩当且仅当对某个预先给定的置信水平q ( 0 ，1 】，我们有6 n f ( q ) 协n f ( q ) ，其 中6 ( q ) 和哺n f ( q ) 分别是模糊变量和7 7 的q - 悲观值 ( i v ) 称 7 7 当且仅当c r f 矿) c r ，7 f ) 对某个预先给定的目标水平哥 通过这四种比较方法，可以构建三类主要的可信性规划模型：期望值模型、机会约束 规划模型和相关机会规划模型【2 6 】 期望值模型： 在期望约束成立下，使得目标函数的数学期望达到最优，即称为期望值模型( e v m ) im a x 引，( z ，) 】 满足： ( 2 1 ) l e b ( ，专) 】0 ，歹= 1 ，2 ，p 第6 页 第章可信性理论与；笋妒规划 其中z 为决策向量，为模糊变量，f ( x ，专) 表示目标函数，缈( z ，乏) ，j = 1 ，2 ，p 表示约束 函数，e 表示期望值算子 机会约束规划模型： 机会约束规划模型由c h a r n e s 和c o o p e r 提出，机会约束规划模型允许所作决策一定程 度上并不满足约束条件，但该决策使得约束条件成立的机会不小于给定的置信水平例 如，极小化目标函数的悲观值的模糊机会约束规划( c c p ) 模型可以通过下面的形式表示： m i n f 满足： c r ，( z ，毒) ) p ( 2 - 2 ) c r 仍( z ，毒) 0 ，j = l ，2 ，p ) q 其中q 和p 是给定的置信水平，为模糊变量，厂表示目标函数的p 悲观值 相关机会规划模型： 相关机会规划( d c p ) 模型通常可以表示为： m a x c r 饥( z ，) 0 ，k = 1 ，2 ，口) 满足：( 2 3 ) 缈( 茁，) 0 ，歹= 1 ，2 ，p 其中z 为决策向量，毒为模糊变量，f ( x ，专) 表示目标函数，h k ( x ，) 0 ，k = 1 ，2 ，g 表示 事件，不确定环境f l j g j ( = ，乏) 0 ，j = 1 ，2 ，p 刻划 第7 页 上海师范大学硕士论文 第三章基于可信性理论的模糊风险测度 近年来，随着金融市场飞速发展，涌现出大量的风险测度对于如何定义风险测度，有许 多种不同的理解( 【1 2 ，1 5 ，3 9 】) 在m a r k o w i t z 的均值方差模型中，方差提供了模糊变量取值分布与期望值的聚散程度， 因此方差可以与期望联合作为一种风险优化平衡度量标准一般来说，风险测度实际上 就是在不确定环境下建立一个规则，使得在该环境下任何一个可能的风险都对应一个数 值，即风险测度值 正如前面所提到的，金融风险系统中包含的不确定环境极其复杂，这就使得我们首先必 须了解不确定性包括哪几类，以及如何在不确定环境下定义风险测度金融风险系统中存 在大量的客观不确定性与主观不确定性对于客观不确定性，即随机性，因此，一些学者 则运用概率论与数理统计的方法来研究客观不确定性下的模糊风险测度本文从研究主观 不确定性，即模糊性的角度出发，运用可信性理论来研究主观不确定性下的风险测度 接下来，我们在模糊环境下基于可信性理论，定义几种模糊风险测度 3 1 一致性模糊风险测度 对于可信性空间( e ，p ，c r ) ，可以通过模糊变量) 来表示一个金融资产的不确定 收益，其中u o 令口为所有风险变量所组成的集合，实际上，d 就是定义在可信性空 间( e ，p ，c r ) 上的一些实值函数的集合因此，在口中，我们可以先给出一致性模糊风险测度 的公理化定义 定义3 1 1 【3 5 】映射p ：d _ 用际为一致性模糊风险测度，如果p 满足以下四条性质： ( 1 ) 平移不变性：对任意的模糊风险资产，有p ( + b ) = j d ( ) + b ，其中b r ； ( 2 ) 单调性：对任意的模糊风险资产和7 7 ，如果荨叩，有p ( ) p ( ? 7 ) ； ( 3 ) 独立次可加性：对任意的模糊风险资产f 和7 7 ，如果f 和叼相互独立，有p ( f + 7 ) p ( ) + p ( 叩) ； ( 4 ) 正齐次性：如果c 0 ，对任意的模糊风险资产f ，有尸( ) = 印( ) 这四条性质使得一致性模糊风险测度具有重要的金融意义 在这里，我们可以容易看出，所谓平移不变性是指，如果给一个模糊风险资产的收益 增加b ，那么模糊风险资产f + b 的风险就应该相应的增 j h b ；然而，单调性是指，如果给一个 模糊风险资产f 的收益小于或等于另一个模糊风险资产叩的收益，那么模糊风险资产的风 险也应该小于或等另一个模糊风险资产7 7 的风险；独立次可加性，即是指任何独立的模糊风 险资产组合的总风险应该小于或等于该组合中各种模糊风险资产分别计量的风险的总和， 也就是说，可以通过模糊风险资产的投资组合来减少风险；正齐次性是指，模糊风险资产 的收益扩大或缩小c 倍，那么风险资产的风险也应该增加或减少c 倍 第8 页 第三章基于可信性理论i ? 簧 ：i 风险测度 一致性模糊风险测度给出了满足这四条公理的模糊风险公理化定义，因此，面对各种 具体的模糊风险测度，我们都需要考虑它是否满足一致性模糊风险测度的四条性质 3 2 模糊v a r 风险测度 所谓模糊v a r ( v a l u ea tr i s k ) 就是指风险价值在市场正常波动下，在一定的风险置信水 平下，模糊风险资产在未来特定的一段时间内的最大可能损失其数学定义如下： 定义3 2 1 1 3 5 】设为模糊变量，口( 0 ，1 】为一定的风险置信水平，则模糊v a r n , 险测度为 妇( a ) = i n f x l c r ( z ) q ， 由上述定义，可以得到模糊v a r 风险测度具有如下性质 3 5 1 ： 性质3 2 1 ( 平移不变性) 设为模糊变量，且o t ( 0 ，1 1 ，有( 4 - 6 ) 呲( a ) = v a r ( a ) 4 - b 性质3 2 2 ( 单调性) 设和? 7 为模糊变量，且o ( 0 ，l 】，如果叼，有毒v a r ( 0 1 ) 7 7 v 砜( q ) 性质3 2 3 ( 正齐次性) 设为模糊变量，且o ( 0 ，1 】，如果c 0 ，有( ) 呲( q ) = c 知m ( a ) 性质3 2 4 ( 独立次可加性) 设f 和叩为模糊变量，且q ( 0 ，1 】，如果f 和7 7 相互独立，有 ( 4 - 卵) 呲( q ) ( ) 眦( q ) 4 - ( 7 7 ) 呲( q ) 因此，模糊v a r 风险测度也属于一致性模糊风险测度，下面的定理给出了证明 定理3 2 1 模糊变量的模糊v a r n , 险测度满足平移不变性、单调性、平移不变性、独立次 可加性，它属于一致性模糊风险测度 证明：下面证明模糊变量f 的模糊v a r 又i , 险测度满足一致性模糊风险测度的四条性质 1 ) 若专r ，即v 入a ，有f ( 入) 7 7 ( 入) 由模糊v 根风险测度的定义有 知m ( a )= i n f z l c r z ) a ) i n f x l c r r z ) 口) = 帆r ( a ) 即单调性满足 2 ) c 0 ，由模糊v a l t 风险测度的定义可知 ( c ) v a r ( 0 )= i n f x l c r c z 】乜) = c i n f z c l c r ( x c a ) = 妯( q ) 第9 页 上海师范大学硕士论文 即满足正齐次性 3 ) 由模糊v a r 风险测度的定义可知 + b ) w r ( a )= i n f x o r + b z ) 仅) = i n f x l e r z 一6 ) q ) = i n f t c r f 亡) q ) + b = 知m ( q ) + b 即满足平移不变性 4 ) f 和? 7 为相互独立的模糊变量，比 0 ，有 c r + 刀( q ) + r i n f ( q ) + ) c r ( a ) + 2 ) n 叩r t v 狃( a ) + 2 ) ) = c r f 氟r ( a ) + 6 2 ac r 0 7 r t v a ( a ) + e 2 ) o l 即 ( + 叩) v 狃( a ) ( ) i n f ( q ) + ( n ) v a r ( 0 c ) + e 令_ 0 ，则有 ( + ? 7 ) v 汛( q ) ( ) v a r ( q ) + ( r ) v 执( a ) 即满足独立次可加性 对于前面提到的几类三角模糊变量，梯形模糊变量和正态模糊变量，可以求出其模 糊v a r 风险测度的显式表达式 例如，令= ( a ，b ，c ) ，三角模糊变量的v 状风险测度为 = k a - - 2 郇2 a ( a _ c ) - - b 一) c 蓦慧 令= ( a ，b ，c ，回，梯形模糊变量0 9 v r 风险测度为 如r c a ，= 。2 ：a b 2 - ，c ( + 2 a 。1 - 一1 ) 2 a q ，d 萋三妻三：5 令f 为期望值e ，方差盯2 的正态模糊变量v 抿风险测度为 f e 一以轴三- 1 ) 若q 0 5 同样，我们也可以通过模糊模拟的方法来求得模糊v a r 风险测度，下面简要的介绍计算 模糊v a r 风险测度的方法 第1 0 页 第三章基于可信性理论? ：0 发 二：风险测度 计算模糊v a r 风险测度： 要计算模糊v 抿风险测度，即使得不等式c r ，( z ，专) ) a 成立，求最小的z 首先，在可信性空间( e ，p ，c r ) 上均匀产生( p l ，如，“) ，且硌= ( 2 c r o k ) 八1 ，k = 1 ，2 ，令 1 l 。主( ，m s 虑a s x v k l f ( x , 七) r ) + ，s m 虑i s n “ 1 一v k l f ( x , 毒七) r ) ) 可以找到满足l ( r ) q 的最小值7 ，这个最小值7 可以作为厂的估计 这个过程可由如下算法表述： 步骤1 ：分别从可信性空间( e ，p ，c r ) 中均匀产生巩，记硌= ( 2 c r 0 k ) 八1 ，且& = f ( 巩) ， k = 1 ，2 ，； 步骤2 ：找到满足l ( r ) q 的最小值r ； 步骤3 ：返回7 3 3 模糊c v a r 风险测度 如果当损失一旦超过这个给定的风险置信水平，这就超出了模糊v a r 风险测度的最大 可能损失范围的情形即表明模糊v a r 风险测度对风险损失的尾部并没有进行研究然而， c v a r ( c o n d i t i o n a lv a l u ea tr i s k ) 是指在一定的置信水平下，损失超过v a r 的尾部事件的期 望值，它反映的是当损失超过v a r 值时可能遭受的潜在平均损失的大小其数学定义为 定义3 3 1 1 3 5 】设为模糊变量，口( 0 ，1 ) 为一定的置信水平，则模糊c v a r 风险测度为 1，1 r ( q ) 2 击上妇( p ) d e 上一q ， 由上述定义，同样可以验证模糊c v a r 风险测度也是满足一致性模糊风险测度的四条性 质【3 5 】 性质3 3 1 ( 平移不变性) f 为模糊变量，且a ( 0 ，1 ) ，有( + 6 ) c v m ( 0 f ) = f c v m ( 口) + b 性质3 3 2 ( 单调性) 和7 7 为模糊变量，且q ( 0 ，1 ) ，如果协有c v a r ( q ) 7 7 i ：v a r ( 口) 性质3 3 3 ( i e 齐次性) 为模糊变量，且q ( 0 ，1 ) ，如果c 0 ，有( ) c v a r ( q ) = c 缸v m ( q ) 性质3 3 4 ( 独立次可加性) 如果和叩为相互独立的模糊变量，且q ( 0 ，1 ) ，有 + , 7 ) c v a ( - ) ) c 、，a r ( q ) + ( 7 7 ) c l 皿( 口) 可见，模糊c v a r 风险测度满足平移不变性、单调性、平移不变性、次可加性，它也属 于一致性模糊风险测度 我们同样可以求出几类特殊的模糊变量的模糊c v a r 风险测度的显式表达式 第ll 页 上海师范大学硕士论文 例如，令= ( n ，b ，c ) ，三角模糊变m 篚j ca r 风险测度为 令f = ( a ，b ，c ，d ) ，梯形模糊变且的c v a r 风险测度为 我们也可以通过模糊模拟的方法来求解模糊c v a r 风险测度，下面简要的介绍计算模 糊c v a l r 风险测度的方法 计算模糊c v a r 风险测度： 这个过程可由如下算法表述： 步骤1 ：置e = 0 ； 步骤2 ：在区间( q ，1 ) ，均匀产生q = q + 斋( 1 一a ) ，i = 1 ，2 ，； 步骤3 ：找到满足l ( r i ) o t i 的最小值r i ； 步骤4 ：置e = e + n 啦； 步骤5 ：重复步骤2 至步骤5 共n 次； 步骤6 ：返回e = 3 4 第一型模糊风险测度 第一型模糊风险测度是一大类一致性模糊风险的概括，例如前面所提到的v a r ，c v 凰 等，都可以通过构造一个第一型转换函数夕( 。) 来得到 下面我们首先给出第一型转换函数的定义 定义3 4 1 如果g ：【0 ，1 】【o ，1 】，且满足 ( 1 ) g 是一个增函数，且为一个凹函数； ( 2 ) g ( o ) = 0 且g ( 1 ) = 1 ， 则称g 为第一型转换函数由第一型转换函数，可以构造得到第一型模糊风险测度 定义3 4 2 设是一个模糊变量，其可信性分布为圣( z ) ，则关于的第一型模糊风险测度，可 以定义为： ，+ f 0 “陈】= 夕( 1 一西( z ) ) d z 一( 1 一夕( 1 一西( z ) ) ) d z - ，0，一0 0 其中夕为第一型转换函数 由如下定理，可以说明第一型模糊风险测度属于一致性模糊风险测度 第1 2 页 5 & a n 靴靴 0 一 一 口 口 + 一 ，、一， = q 5 & 0 n 靴靴 卅h “一 + 0 6 口 ，、_， i | 妇 第三章基于可信性理论：0i 簧靓j 风险测度 定理3 4 1 模糊变量的第一型模糊风险测度属于一致性模糊风险测度 证明：下面证明第一型模糊风险测度满足一致性模糊风险测度的四条性质 1 ) 设、叼的可信性分布分别为圣( z ) 、里( z ) 若r l ，由可信性分布的单调性有 圣( z ) 皿( z ) ，则第一型模糊风险测度i 【刳“m 即单调性满足 2 ) c 0 ，的可信性分布为西( z c ) 由定义可知 ，+ ，o 。嘶【蚓= 夕( 1 一西( z c ) ) d z 一( 1 一夕( 1 一圣( z c ) ) d z ，0- ，一 ，+ o o，o = c 9 ( 1 一垂( z ) ) d z c ( 1 一夕( 1 一西( z ) ) 如 j 0j 一 = 嘶旧 即满足正开次性 3 ) 由于+ b 的可信性分布为西( z 一6 ) 由定义可知 r + o or 0 以k + 6 】= 夕( 1 一m ( z b ) ) d x 一( 1 一夕( 1 一西( z 一6 ) ) 血 j 0j 一 ，+ o o 一0 = 夕( 1 一圣( 乱) ) d 让一( 1 一夕( 1 一西( 钍) ) d 牡 ，一6，一 = 以f 刳一夕( 1 一圣( z ) ) d z 一( 1 一夕( 1 一圣( z ) ) ( k ，一6- ，一6 即满足平移不变性 4 ) 和叼为相互独立的模糊变量，且又由于函数g 是凹函数，根据期望值的线性性 知e 陈+ 纠= e 陈】+ e m ，所以 以落+ 明以陈】+ 以 纠 即满足独立次可加性 定理3 4 2 设为模糊燹量，硐 以【刳e 旧 其中等号在第一型转换函数g ( u ) = u 时取得 证明：根据期望值和可信性分布的性质，可以得到： ，+ r 0 以陈】= 夕( 1 一圣( z ) ) 妇一( 1 9 ( 1 一西( z ) ) ) 血 j 0 j 一” = 厂9 ( 1 叫圳血+ m 1 叫圳- 1 ) d x 门1 叫瑚血+ 吣) 出 笛1 3 面 上海师范大学硕士论文 ，+ ，0 = c r r d r 一 c r 【毒r d r ，0j 一 = e 卧 另外，选取特殊的第一型转换函数9 ，可得到几类具体的模糊风险测度 例如，如果 夕( u ；a ) = 0 , 老：u 0 ，的可信性分布的逆为_ 1 ( z ) = c m - 1 0 ) 由定义可知 ，1 “【】_ c 圣_ 1 ( z ) j d ( z ) 血= c 形蝌 ，0 即满足正齐次性 3 ) 由于- i - b 的可信性分布的逆为- 1 ( q ) = 圣- 1 ( n ) 一b 由定义可知 ，1 吃陈+ 6 】= ( 西一1 ( z ) 一b ) p ( x ) d x = 坛【目一b - ，0 第1 4 页 第三章基