（信息与通信工程专业论文）滑动dft算法研究.pdf

摘要 数字信号处理中标准的频谱分析方法是离散傅立叶变换( d f t ) ，典型的实现方法是 快速傅立口 变换( f f t ) 。但是在蹙实时谱分桥中，往往只需瓣n 点d f t 中的繁一中心频 率瓣避戆帮分藜谱，蘸露篓采较少麴诗算燕。鞠貌，本文讨论了一耱竣窭滔涟频率单元 速率等予输入数据遴率，计彝量较低的滑动d f t 簿法。 论文首先介绍了傅立叶变换的发展过程及其在数字信号处理领域重要的地位。第二 部分奔绻了港动d f t 鹣算法蘸理，包括滑萌d f t 躲算法推导，结蝓实觋敷及其m a t 。a b 傍寞， 滑动d f t 算法实现过程中的稳定性闽题，滑动d f t 的频谱泄漏效赢以及解谈办法，利蠲 6 0 e r t z e l 算法获得滑动d f t 的起始翦元值等。第三郏分介绍了滑动d f t 算法的效进，包括 多点滑鹚d f t 算法，织挟潜砖d f t 冀法舍入误釜传播的岛适应滑渤d f t 等。粲四潍分介绍了 淆瑟d f t a 方蚕弱琏蠲，露滂蚤d f t 在心电馐号箍疆方嚣懿瘟擂，淆动d f t 在f m 游啜恕路孛 的应阁，涛动d f t 在o f d m 中的应用蒋。 本课题研究的滑动d f t 算法魁一种高性能的算法，在对需要涟续输出计算，特别是计 羹蒸分颓谱懿塞融系统中，毙傣缝翦d f t 或f f t 受鸯效。 笑键谲：滑秘d f t ；颓谱分褥；g o e r t z e l 算法 囊适痤雾潦；m a t l a b 髂嶷 a b s t r a c t t h es t a n d a r dm e t h o df o rs p e c t r u ma n a l y s i si nd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n gi st h e d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ( d f t ) ，t y p i c a l l yi m p l e m e n t e du s i n gaf a s tf o u r i e r t r a n s f o r m ( f f t ) a l g o r i t h m h o w e v e r ，t h e r ea r er e a l t i m ea p p l i c a t i o n st h a tr e q u i r e s p e c t r u ma n a l y s i so n l yo v e ras u b s e to ft h enc e n t e rf r e q u e n c i e so fa nn - p o i n t d f t ，a n dr e q u i r ef e w e rc o m p u t a t i o n s a sar e s u l t ，t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e sa n e f f i c i e n ta l g o r i t h m t h es l i d i n gd f t a l g o r i t h mw h o s es p e c t r a lb i no u t p u tr a t ei s e q u a lt ot h ei n p u td a t ar a t e t h ef i r s tp a r ti n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n to ft h ed i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m ， a n dt h ei m p o r t a n c ei nd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n gt h e o r y t h es e c o n dp a r ti n t r o d u c e s t h et h e o r yo ft h es l i d i n gd f ta l g o r i t h m ，i n c l u d i n gt h ec a l c u l a t ew a yp r i n c i p l e ，t h e s t r u c t u r er e a l i z a t i o n ，m a t l a bs i m u l a t i o n ，t h es t a b i l i t yo ft h es l i d i n gd f t ，t h e s p e c t r a ll e a k a g eo ft h es l i d i n gd f t ，g o e r t z e la l g o r i t h mf o ras i n g l ed f to u t p u t i nt h ef o l l o w i n gp a r t ，t h eo p t i m i z e da l g o r i t h m so fm u l t i p l e s a m p l es l i d i n gd f t a n da d a p t i v es l i d i n gd f ta r es t u d i e d t h ef o u r t hp a r te x t e n d ss o m ea p p l i c a t i o n o ft h es l i d i n gd ft - s u c ha st h ea p p l i c a t i o nt ot h ef i e l do fe l e c t r o c a r d i o g r a ms i g n a l a n a l y s i s ，af m n o i s es q u e l c hd e t e c t o rb ys l i d i n gd f ta l g o r i t h m ，t h ea p p l i c a t i o n t ot h ef i e l do f0 f d m t h es l i d i n gd f t a l g o r i t h mi s ah i g h p e r f o r m a n c ea l g o r i t h m ，i nar e a l t i m e o r i e n t e ds y s t e m ，t h es l i d i n gd f tp r o v i d e sc o m p u t a t i o n a la d v a n t a g e so v e rt h e t r a d i t i o n a ld f to ef f tf o r m a n ya p p l i c a t i o n sr e q u i r i n g s u c c e s s i v e o u t p u t c a l c u l a t i o n s ，e s p e c i a l l yw h e no n l yas u b s e to ft h ed f to u t p u tb i n sa r er e q u i r e d k e yw o r d s ：s l i d i n gd f t ；f r e q u e n c ys p e c t r a la n a l y s i s ；g o e r t z e la l g o r i t h m ； a d a p t i v ea l g o r i t h m ；m a t l a bs i m u l a t i o n i i 图表目录 逐点滑动d f t 原理图 滑动窗示意图 滑动d f t 单个频率单元结构图 滑动d f t 单个频率单元极零点图 滑动d f t m a t l a b 仿真图 稳定的滑动d f t 单个频率单元结构图 m 个周期实正弦波的n 点d f t 频率单元振幅响应图 四种窗函数图形 四种窗函数对应的幅度响应图 加窗后的滑动d f t 单个频率单元结构图 g o e r t z e l 算法单个频率单元结构图， 单音多点滑动d f t u 直接计算d f t 谱线比较图 单音逐点滑动d f t i 直接计算d f t 谱线比较图 l m s 谱分析结构图 输入模拟信号图 舍入精度b = 7 时的d f t 递归实现图 三种心电图采样信号图 正常窦性心律转为心室纤颤特征值变化图 室性心动过速特征值变化图 f m 数字化解调示意图 基于滑动d f t 的导频检测结构图 基于滑动d f t 的导频检测判决电路图， o f d m 系统实现框图 v o 5 一 墙 o b m 协 埽 加 ” ” 勰 凹 粥 卯 弛 弛 ， ， ， ， 东齑大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成聚。尽我 所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 聚，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位成证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本磅究所傲的任何贡献均已在论文中作了明确的说明_ 并表示了谢意。 研究生签名：垒：塞笙日期：碰 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中露科学技术售息研究所、国家銎书馆有权裸黧本人所送交学位论文的复印俘和 电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内 褰相一致。羧在保密期内豹保密论文外，允许论文被煮耀零借阅，可以公布( 包括硼登) 论文豹 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生虢蒸鲻导师始矩日期一泓 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 离散傅立叶变换( d f t ) 是数字信号处理领域中遇到的最常用，功能最强大的处理方法之 一，是数字信号处理的核心。利用d f t 变换，可以实现信号与系统的分析与综合。同时，许多 算法，如相关、滤波、谱估计等也可以转化为d f t 来实现，因此d f t 在许多工程领域都已获得了 许多应用。 离散傅立叶变换的目的是把信号由时域变换到频域，从而可以在频域分析处理信息“1 。同 时得到的结果也可以再由离散傅立叶逆变换到时域，其变换对的算法表达式为： d f t ： 彳( j i ) = x ( 珂) “，o j j n - i ( 1 1 ) i 叭 x ( ) = 寺x ( 七) 一，o 胛n - i ( 1 2 ) vi 卸 一，空 其中，帆= e ( i 3 ) 虽然离散傅立叶变换有着明确的物理意义，是确定时域序列的频率成分的最直接的数学过 程，也便于计算机进行处理，但它的运算效率非常低，对实时问题处理意义不大，因此长期以 来并没有得到真正广泛的应用。直到库利( c o o l e y ) 和图基( t u r k e y ) 提出了一个计算i ) f t 的 高效算法一快速傅立叶变换( f f t ) ，才使离散傅立叶变换由理论走向了实践，成为了数字信号 分析的强有力工具，被广泛应用于各种数字信号处理系统中。 继c o o l e y 和t u r k e y 之后，又有许多人致力于进一步减少d f t 的运算量，先后提出了一些改 进算法，如w i n o g r a d 算法”1 等。随着d f t 的发展，d f t 的应用领域还在扩大，因此研究d f t 的快速 算法有着极其重要的意义。 i 2 快速傅立叶变换算法介绍 从离散傅立叶变换公式可以看出，直接计算d f t 需要n 2 次复数乘法和n ( n - i ) 复数加法，而 1 次复数乘法要做4 次实数乘法和2 次实数加法，1 次复数加法要做2 次实数加法。直接计算d f f 的计算 量与变换区间长度n 的平方成正比，当n 较大时，计算量剧烈增加。因此，虽然离散傅立叶变换 物理意义巨大，但由于计算机处理速率的限制，直接进行离散傅立叶变换不太可能。 1 9 6 5 年，c o o l e y 和t u r k e y 发表了一篇关于计算d f t 的高效算法的论文，f f t 算法使得上千点 的d f t 运算由原来的只能在研究机构和大学的计算中心完成而变成了在家庭计算机上只用几秒 第一章绪论 钟就可以完成。f f t 算法将离散傅立叶变换的运算量由n 2 降为n l 0 9 2 n ，对于1 0 2 4 + 采样，运算复 杂度降低了两个数量级。使离散傅立叶变换在工程技术领域中真正得到了广泛的应用。 f f t 算法通常采用的类型有两种”1 。一种是针对n 等于2 的整数次幂的算法，如按时间抽取的 基2 、基4 算法、按频率抽取的基2 、基4 算法和分裂基算法等：另一种是n 不等于2 的整数次幂的 算法，如任意基n 算法、w i n o g r a d 算法等。 以时间抽取的基2 算法为例，设序列x ) 的长度n 为2 的整数次幂，即n = 2 。将式1 1 表 示成两个部分之和的形式，一部分是n 为偶数时的工( 胛) ，另一部分是n 为奇数时的z ( 珂) ，则 z ( _ j ) = x ( ) “ 兰一l生1 ：窆x ( 2 胛) 2 m + 艺x ( 2 稽+ 1 ) + 1 ) i 苎一l苎一1 ：芝x ( 2 ) 2 m + 窆x ( 2 珂+ 1 ) 2 “ ( 1 3 ) 因为n 为2 的整数次幂，为偶数，则 m ：。一，簪m ：。一，f 2 x ：时 ( 1 4 ) i 则式1 3 可表示为 苎一1旦一t x ( 七) ：窆x ( 2 打) “+ 至x ( 2 刀+ 1 ) “ ( 1 5 ) n = 0 2 n = 0 2 因此，式1 5 中x ( 七) 分成了不同的两+ n 2 点d f t 。一个n 点o f t 分解成两个n 2 点d f t ，其中一 个乘以因子后，两者再相加。我们知道，n 点d f t 需要n 2 次复数乘法和n ( n 一1 ) 复数加法， 则计算式1 5 中所需的复乘次数为： ( 2 y + ( 2 ) 2 + = 2 2 + n ( 1 6 ) 计算式1 5 中所需的复加次数为： 2 【( 2 ) 2 一n 2 + n = n 2 2 ( 1 7 ) 对于n 2 ，采用式1 5 计算d f t 的运算复杂度比直接计算要降低许多。特别要指出的是，若n 为2 的整数次幂，则可以对结果中的两个n 2 点d f f 再做如式1 5 的处理，直至o f t 的长度为2 为止。 这样的递推算法，使得快速傅立叶变换复乘和复加次数变成了n l 0 9 2 ”，与直接计算比较，运算 次数降低了n l 0 9 2 。倍。 按时间抽取基4 算法、按频率抽取的基2 和基4 算法与按时问抽取基2 算法原理完全类似，基 2 第一章绪论 4 算法可以不用乘法而只用加法来实现，其比基2 算法更为有效。分裂基算法的原理同时采用了 基2 和基4 算法，其基本思路是对偶序号输出使用基2 算法，对奇序号输出使用基4 算法，由于分 裂基算法在目前已知的所有针对n = 2 ”的算法中具有最小的乘法次数和加法次数，并且具有 和c o o l e y t u k e y 算法同样好的结构，被认为是最好的快速傅里叶变换算法。研究表明，该算法最接 近理论上所需乘法次数的最小值“。 任意基n 算法，也称素因子算法，因为其n 不是2 的整数次幂，无法基2 或基4 分解，而 是将其n 因式分解 n = n l n 2 3 n t = n l 2 ， ( 1 7 ) 将输入序列分成n 一个长度为n 2 - 的序列，再将n ：- 分成n 2 个长度为n 。，的序列，以此类推，从而达 到降低计算量的目的。 w i n o g r a d 算法”1 是以数据寻址理论进行卷积运算为基础的一种算法，其复乘次数比f f t 少， 但控制复杂，对要求算法简单，模块性好的数字信号处理器来说，w i n o g r a d 算法并不一定比 f ft 快。快速傅立叶变换模块性好，在硬件实现上方便，目前普遍使用的仍然是f f t 算法。 上面提到的这些快速算法其着重点都是减少复乘、复加次数，降低计算的复杂度，数据的 传输是全局性的。以往的算法设计思想主要强调的是尽量少的乘法次数，但随着现代超大规模 技术的发展和并行计算技术的使用，不仅要求降低算法的计算复杂度，而且要提高算法的并行 度和使之模块化，减少模块间的耦合度，同时还要满足实时处理的要求。从这方面来讲，经典 的f f t 算法就有一定的缺点。相比较而言，某些用其他方式实现的d f t 算法( 如本文推导的滑 动d f t 算法) 具有数据传递简单，通信局部化，实时性强的优点。 1 3 论文的主要工作 本课题是对滑动d f t 算法进行全面的研究。本文从算法原理、系统的稳定性、频谱泄漏、多点 滑动、舍入误差传播以及其应用等方面进行了探讨，论文的内容共分为五章： 第一章介绍了离散傅立叶变换及其快速算法实现的发展过程。 第二章介绍了滑动d f t 算法的算法原理及结构实现，并讨论了系统的稳定性、频谱泄漏等 问题及解决办法。 第三章介绍了多点滑动d f t 算法，滑动d f t 算法递推实现过程中的舍入误差传播现象，并 针对舍入误差传播提出了自适应滑动d f t 的方法。 第四章介绍了滑动d f t 算法在实际中常见的应用。 第五章最后对滑动d f t 算法进行了总结。 第二章滑动d f t 算法原理 第二章滑动d f t 算法原理 本章介绍了滑动d f t 算法的算法原理。 2 1 滑动d f t 算法概述 在某些信号处理的应用领域，特别是在一些实时应用中，希望在频域上对离散信号进行 连续分析。分析不同时刻其输入样本对应的频谱，这就相当于用一个固定长度随时间滑动的 滑动窗口来选择样本，这种在一个滑动窗口内计算n 点d f t 的算法称为滑动d f t 算法。逐 点滑动d f t 原理图如图2 1 所示。 输入 数据 频率 分量 d f t k = 0 k = 1 k = 2k = n 一2k = n - 1 彳( t ) 图2 1逐点滑动d f t 原理图 + n 按照传统的f f t 算法，对于某一时刻，用f f t 计算出其所有频谱，如果要计算下一时 刻的频谱，则再进行一次f f t 运算，这两次f f t 运算是孤立进行的，它们之间没有任何关 系。而实际上，对于连续的两个时刻，我们会发现，其窗e l 中的样本有着很大的相似性，后 一个时刻的样本只是将前一个时刻的样本的第一个输入舍弃，而在最后添加一个新的样本。 如果两个时刻相距不远，则后一个时刻的样本只是将前一个时刻的样本的前几个输入舍弃， 而在最后添加几个新的样本。不同时刻的窗口中的样本只有一个或几个不同，其时域中的相 似性必然会使其频谱有着一定的联系。滑动d f t 算法正是基于这样的思想而进行的探讨， 对于两个连续时刻的频谱，已知前一时刻频谱，则可以通过简单的递推运算，得到后一时刻 的频谱，这在连续的实时谱分析中有着重要的实际意义。 4 第二章滑动d f t 算法原理 2 2 滑动d f t 算法推导 2 2 1 滑动d f t 算法推导司 为： 对于一个离散时问信号，其d f t 变换为： n - i 工( 后) = x ( n ) e 啊“” ( 2 1 ) 给定离散时间信号x ( 拧) ，则经过d f t 变换后可以得到此信号对应的n 点频谱x ( 七) 。 设时刻q ，滑动窗选中n 个样本的序列为： x ( g ) = x ( q - n + 1 ) ，x ( q 一+ 2 ) ，x ( q 1 ) ，x ( g ) ( 2 2 ) 根据傅立叶变换理论，时刻q ，在滑动窗中的n 点d f t 的第k 个频率单元，其频谱值 五( 七) = x ( n ) e 印“” ( 2 3 ) 通常，d f t 结果的索引是频域索引k ，但是在式2 3 中，d f t 结果的索引既有频域索日 k ，也有时域索引q ，因而( t ) 所表示的为q 时刻第k 个频率单元的值。例如，图2 2 为 2 0 删j o f t 的滑动窗，图2 2 ( a ) 为时刻为0 时的滑动窗口中的2 0 采样点，即为计算凰( 七) 的窗口，图2 2 ( b ) 则为时刻为1 时的滑动窗口中的2 0 采样点，即为计算x l ( k ) 的窗口， 以此类推。 0 j 一_ 、l ； ；、t ，| -：! 一 ii 图2 2 ( a )时刻为0 的2 0 点滑动窗 5 第二幸滑动d f t 算法原理 1 05 0 0 5 1 in 、 。、 1 ； 图2 2 ( b ) 时刻为1 的2 0 点滑动窗 图2 2 滑动窗示意图 为了推导的简化与清晰，将时间索引修改( g 取代g 一 ，+ 1 推导结束后再还原) ，n 个 样本序列可表示为： x ( g ) = 缸( g ) ，x ( g + 1 ) ，x ( q + n 一2 ) ，x ( q + n 一1 ) ( 2 4 ) 根据傅立叶变换理论，时刻q 在滑动窗中的n 点d f t 的第k 个频率单元，其频谱值为： ( 七) = x ( n + q ) e 川“ 根据式2 5 ，时刻q + l ，在滑动窗中的n 点d f t 的第k 个频率单元，其频谱值为 一1 以+ 1 ( 七) = x ( n + q + 1 ) e 2 ” 式( 2 6 ) 中，令p = n + 1 ，则 + l ( 七) = x ( p + q ) e 1 2 州川“ 口= i 改变求和号的上、下限，得 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) n - i l 爿j “( 七) = l x ( p + q ) e 叫2 。9 1 7 l x ( 口) p 2 - 1 “+ x ( g + ) p 一7 2 7 - 1 “ ( 2 8 ) i _ p - 0 j 则 x 。“c 七，= e 2 t ，“ 篓x c p + g ，e 2 4 女，” 一x c g ，+ x c g + ，e j 2 _ n ，” c ：， 即可得到滑动n 点d f t 的递推表达式： 6 第二章滑动d f t 算法原理 x 。+ ( _ j ) = 口，2 8 ”防。( 七) + x ( g + ) 一x ( g ) 】 ( 2 1 0 ) 也即x 9 ( 露) = e j 2 “l n 区口一1 ( 后) + z ( g l + ) 一x ( q 一1 ) 】 ( 2 1 1 ) 其中，k ( 七) 是g 时刻单个频率单元的结果，x 州( 女) 是g 一1 时刻单个频率单元的结 果。还原式2 1 1 中的时间索引，将时域中的g 还原为g 一+ 1 ，并且输入采样点和输出采 样点使用同样的索引n ，则得到滑动d f t 的时域差分方程： 爿j ( 七) = p 7 2 87 ”陋- 一l ( t ) + x ( 胛) 一x ( n 一) 】 ( 2 1 2 ) 从式2 1 2 可以看出，计算x 。( 的，只要通过前一个点j ，】( _ j ) 减去x ( n 一) ，加上现 在的工( 聍) ，再进行相移来计算。因此，滑动d f t 仅仅需要2 次实加和一次复乘( 4 次实乘) 就可以完成每个输出点的计算。 2 2 2 滑动d f i 算法与n 呵算法的比较 从上面的算法推导可知，滑动d f t 算法实现了关于连续对信号进行频谱分析问题的优 化解决。当对连续的不同时刻的信号进行n 点谱分析，f f t 算法对于每个时刻，都要产生 n l 0 9 2 ”次复乘运算，计算l o 个时刻的信号谱则需要1 0 n l 0 9 2 n 次复乘运算；而滑动d f t 算 法，只要知道了前一时刻的信号谱，下面每一时刻的复乘运算量仅为n 次，连续九个时刻 的信号谱的复乘运算量则为9 n 次，这与f f t 算法中9 个时刻的信号谱需要9 n i o 臣”次复乘 运算量相比，当n 取值较大时，计算量降低了许多。如n = 1 0 2 4 ，则降低了1 0 倍。当然， 以上的运算量的比较是针对连续的不同时刻而言的，当要对两个非连续时刻的信号进行谱分 析时，如果两个非连续时刻所间隔的采样点数为m ，则只要m 小于l 0 9 2 n ，则滑动d f t 算法 仍然比f f t 算法优越，如果两个非连续时刻所间隔的采样点数m 大于i o g , , n 时，则需要采用 另一种方法来解决，本文3 1 节会进行专门的讨论。 另外，滑动d f t 算法的另一优点是实现了信号谱输出的可选择性。砰t 算法只能一下 子计算出全部的信号频谱，不管你需要与否。而滑动d f t 算法，采用的是单个频率单元的 独立谱线计算，可以计算出全部n 点谱线，也可以根据实际需要计算出所需要的频率范围 的部分谱线或单独一根谱线，这极大的提高了谱分析的灵活性。同时，所需要计算的谱线越 少，滑动d f t 算法的运算量也成比例减少。 7 第二章滑动d f t 算法原理 2 3 滑动d f t 算法的结构实现 根据式2 1 2 ，。( 七) = e j 2 “l n 阮一l ( 七) + x ( ) 一x ( n 一) 】，则可以得到滑动d f t 单 个频率单元的实现结构如图2 3 所示。 图2 3滑动d f t 单个频率单元结构 从图2 3 可知，滑动d f t 算法单个频率单元的实现是由一个梳状滤波器( 图左半部分) 和一个复谐振器( 图右半部分) 组合而成。如果要计算所有n 点频谱成分，则需要n 个复 谐振器即可。对( 2 】2 ) 式进行z 变换，得： 以( z ) = p j 2 。k l n b x 。( z ) + x ( z ) 一z 一”x ( 。) j ( 2 1 3 ) 因此，图2 3 结构的传输函数h ( z ) 为： 酢，= 鬻= 篱 眩 从式2 1 4 可知，分母有n 个在z 域单位圆内间距相同的0 值，分子有一个单极点 z = e j 2 别”，与一个零点相抵消。滑动d f t 算法单个频率单元的极零点图如图2 4 所示。 其中k - - 2 ，n - - 2 0 。 ，一”“、。，k-；：20n2 0 ，i鼠、= 冀! j! p 妒争川 夕 、，一 0 、。i 。 图2 4 滑动d f t 单个频率单元极零点图 8 第二章滑动d f t 算法原理 2 4 滑动d f t 的i l a t i a b 仿真 设连续滑动窗中1 6 点输入信号序列如图2 5 ( a ) 所示，经m a t l a b 仿真。“，直接通 过f f t 运算得到的1 6 点幅度谱序列如图2 5 ( b ) 所示，经滑动d f t 运算得到的1 6 点幅度 谱序列如图2 5 ( c ) 所示，f f t 运算得到的1 6 点相位谱序列如图2 3 ( d ) 所示，运用滑动 d f t 运算得到的1 6 点相位谱序列如图2 5 ( e ) 所示，运用滑动d f t 运算得到的6 点部分频 率单元的幅度谱线如图2 5 ( f ) 所示，运用滑动d f t 运算得到的单个频率单元的幅度谱线 如图2 5 ( g ) 所示。从图2 5 ( b ) 、( c ) 、( d ) 、( e ) 可以看出，滑动d f t 运算得到的谱序列 与f f t 运算得到的谱序列，无论是幅度谱还是相仿谱都完全相同，但对于1 6 点谱分析，f f t 运算需要6 4 次复乘运算，而滑动d f t 运算只需1 6 次复乘运算，若n 值很大，则运算量会 大为减少。图2 5 ( f ) 中，仍采用的是滑动d f t 算法，但只计算了其中所需要的的6 点谱 线输出，因此只需要6 次复乘运算。如果只需要计算单一频率谱线，则可以如图2 5 ( g ) 一 样，单独计算其中的一根谱线就可以了，当然，也只需要一次复乘运算。以上的滑动d f t 运算量是基于两个连续时刻的谱分析的计算。从以上的分析可以看出，在进行连续时刻的谱 分析时，滑动d f t 运算可以根据实际需要有选择的计算输入序列的部分频谱或单个谱线， 比只能计算全部频谱的f f t 运算更加经济有效。 输入信号序列 图2 5 ( a )1 6 点输入信号序列 9 第二章滑动d f t 算法原理 f f t 幅度谱序列 f 7 i 。f 2468，0 21 41 6 图2 5 ( b ) 1 6 点f f t 幅度谱序列 滑动d f t 幅度谱序列 圳? f fi 。i i f l 2幸6b1 0住1 46 图2 5 ( c )1 6 点滑动d f t 幅度谱序列 1 0 第= 章滑动d f t 算法原理 3 2 2 f f t 相位谱序列 024681 01 2，年1 6 图2 5 ( d )1 6 点f f t 相位谱序列 滑动d f t 晤位谱序列 图2 5 ( e )1 6 点滑动d f t 相位谱序列 苎三兰塑垫旦坚竺鲨璺堡 滑动d f t 部分频率单元幅度谱序列 图2 5 ( f ) 滑动d f t 部分频率( 6 点) 幅度谱序列 滑动d f t 单一频率单元幅度谱序列 图2 5 ( g ) 滑动d f t 单个频率单元幅度谱序列 图2 5 滑动d f t m a t l a b 仿真 第二章滑动d f t 算法原理 2 5 滑动d f t 的稳定性 从图2 4 的极零点图可以看出，滑动d f t 滤波器的极点位于z 域单位圆上，面对于滤 波器来说，滤波器系数是有限位数的，这必然会引起舍入误差。如果舍入误差较小，极零点 没有移出z 域单位圆，则滤波器输出是稳定的；如果舍入误差使极零点出现在单位圆外，则 需要加入衰减因子r 保证滤波器的稳定。即将输入信号乘以衰减因子r ( r ( 1 但接近于1 ) 。 加入衰减因子后，滑动d f t 的单个频率单元则变为 一l 瓦( 玑l = x ( n ) r e 川“” 其对应的滑动d f t 的差分方程为： x 。( 七) = ”j 2 i n i x 一。( 后) + x ( 胛) 一，“x ( 行一) j 相应的稳定的滤波器结构如图2 6 所示。 图2 6 稳定的滑动d f t 单个频率单元结构 则相应的滤波器的传输函数修改为： 日( z ) = 1 ( 1 - 磊r n z 可- n ) e j 2 a m ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 加入了衰减因子，就不再是精确的输入序列的n 点的d f t ，而是将信号稍稍衰减后的信 号的n 点的d f t 。因此，衰减因子r 要近可能的接近1 。这样误差越小。实际应用时，应该 对设计好的滑动d f t 结构作实际的测试与观察，如对于所要处理的信号无不稳定现象，则不 需要加入衰减因子，如有不稳定现象，则渐渐减小r 的值，直至符合要求。 第二章滑动d f t 算法原理 2 6 滑动d v i 的频谱泄漏效应 2 6 1 频谱泄漏的原因 n 点d f t 是对一个采样率为f s 、采样长度为n 的有限长的输入离散信号进行变换，得 到n 点的变换结果。此n 点的变换结果对应着n 个分析频率 “= 等 七= o ，1 ，2 ，舻1( 2 1 8 ) 对于输入信号，只有当输入信号所包含的所有频率成分精确的等于式2 1 8 的分析频率， 即为基频f j n 的整数倍时，d f t 的输出才完全正确的反映了实际输入信号的所有频率成分 的频谱。如果输入信号的某一频率成分不等于任何一个分析频率，则此频率成分就会分散分 布在n 个分析频率上，即此频率成分出现在d f t 的所有输出频率单元中。当然绝大部分的 能量一定集中在最靠近此频率成分的一个或几个分析频率上。这种输入信号在单个频率上的 能量“泄漏”到整个频率范围，称为频谱泄漏效应。 究竟是何原因导致了频谱泄漏呢? 为了简单起见，设输入信号为一任意实正弦波的采样 信号，从理论上讲，对此正弦波做完全精确的谱分析，应该用到此信号的全体时间上的采样 信号，可是我们只能在有限时宽内对信号进行采样，也就是人为的给输入正弦波加了一个矩 形窗，窗外的采样信号均认为为0 ，窗中有n 点采样信号，对其进行n 点d y t 变换。矩形 函数的d f t 为s i n c 函数，设n 点采样信号中有m 个周期的实正弦波，其n 点d f t 的频率 单元振幅响应近似等于s i n c 函数，如式2 1 9 所示1 6 1 。 z(七)：坐一sinz(m-k) ( 2 1 9 )、 2 万沏一后) 。 其图形如图2 7 所示。 i 7 7 l l 一 一 厂j m - 3 m - 2m - lm + 1 m + 2m + 3 图2 7 m 个周期实正弦波n 点d f t 频率单元振幅响应 1 4 室k 第二章滑动d f t 算法原理 从图2 7 可跌j 霉出，m 个羼勰的实至弦波，其n 点d f t 为采样翦的债号的连续滋的采 样，当d f t 输入序列正好等于整数n l 倍捌期时，n 点d f t 的输出点正好在如图2 ，7 所承的 黑点处，d f t 只有在k = m 处有输出，其落点处恰好处于s i n c 函数的零点。频谱没有泄漏。 但如果d f t 输入序列不是燕好等于整数m 经周期黠，n 赢d f t 静输出焱( 小黑点) 鬟会偏 离，d f t 输出在所有k 取德处均有输出，频谱发生了泄漏。 采样频率确定了，点数n 确定了，基频，n 也就确定了。而实际倍母，我们很难保证 褒有的频率成分缘为基频蟾熬数售，囚茈，频谣发生淫潺怒必然存在的。只是采取赞么襻的 方法尽量去减少频谱泄漏，从而使d f t 谱输出更接近理想值。 频谱泄漏对输出振幅较低的频率成分导致的误差较大。因为输出振幅较高的频率成分发 生频谱澄潺痿，由于其输出援经较寒，箕旁瓣翦频谱灌演戏分熬振幅大小辘可能与目撵簇率 成分的输出振幅较低豹信号的振幅大小相比拟，从而导致输出振幅较低的频率成分误麓较 大。 2 6 2 翱肖技术 解决频谱泄漏的办法邋常是加窗，使s i n e 函数的旁瓣幅度最小来减少d f t 的泄漏。也 莸是对输入壤弓静起蠢帮终轰兹采撑焦进行平涛，傻其拔近一令共嗣戆擞摇簦来实瑗。 前面已经提到，由于对信号处理一定慰有限时宽的，就相当于不得不给信号加了一个矩 形窗，而矩形窗在0 和1 之间的突变造成了s i n c 函数产生了旁瓣，因而造成了频谱泄漏。 强瑟，不蠲麓形窑，改溺合适豹其它密来躐少旁瓣簌揠翔避薅决菝谱灌漾静办法。 常用的窗有：矩形窗、三角窗、汉宁窗、汉明窗等，其窗函数分别为： 矩形密：似忍) = 1 三角衡： 碳拧) = 1 葡n 万 , = 0 ，1 ，乏，n 一1 拧= 0 12 ，n - 1 汉宁黼：呱彬= o 5 - 0 5 c o s ( 2 n n n 一1 ) n = o ，l ，2 ，- 1 汉弱整：露) = o 5 4 - 0 4 6 c o s ( 2 , - m ! n - i )雄= 0 , 1 ，2 ，n l 其6 4 点甯函数图形如圈2 8 所示。 1 5 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 第二章精动d f t 算法原理 图2 8 ( a )矩形窃函数图形嘲2 8 ( b )兰角窗函数图形 翻2 8 ( e )汉宁密函数图澎潮2 ，8 ( d )汉鞠窑蠡数蓬形 图2 8四种窗函数图形 4 季孛鬻薮羧对盎爨瞩泼薅瘟魏图2 9 掰暴。其中2 9 ( 8 ) 为线性荔l 袭曩示露窑丞数攘度 响应，2 9 ( b ) 为对数袤g 度驻示的窗函数蟠度响应。 0 。n2 , l 强4 , | 鹣 图2 9c a )线性刻度显示的窗函数幅度响应 1 6 蕞事 第二章滑动d f t 算法原理 0 | mm | 。n 圈2 ，9 ( b )对数袤4 瘦显示的鬻函数幅度响应 频率 从2 9c a ) 可以看到，3 个窗函数对威于矩形窗来说旁瓣的水平减小了，但同时，3 个 窗函数主瓣的峰值与矩形窗相比也减小了，遮通常被称为衡损失。为了便于比较，对窗的掇 槎耱应雩# 舞一强处理，霉到魏图2 9 ( b ) 熬对数麴度显示豹窑丞数疆度蟾癌。 从2 9 ( b ) 可以看到，矩形窗振幅响应的主瓣宽度摄窄，但其第一旁瓣水平较高，纛角 宙、汉宁窗、汉明窗的第一旁瓣与矩形窗相比，降低了许多，但它们的主瓣宽度却比矩形窗 塞不步，也藏燕 筵翔塞在改簿频谱灌瀑豹瓣瓣傻d f t 瓣羰谱势辫辜降糅了。汉宁窑、汉鞠 窗与三角窗相比，各方面的饿能要比三角窗优越。汉宁窗与汉明窗相比，汉明窗第一旁瓣下 降陡度大，但它的旁瓣下降趋势与汉宁窗相比，变化要馒。因此，应根据襄际需要合理选择 密黪粪鳖。 2 6 3 频域加窗 一般正常露维，船窑蘩瘸豹帮是辩城麴密，鄄将窑邈数与输入售每相象，然岳蔫避符器 种变换。实际上也可以先进彳亍d f t 变换，孵对d f t 结果进行频域加窗。 以汉宁键、汉鹎密为例，已知，汉宁整鲍表达式为吠撵) = o 5 - o 5 c o s ( 2 n n n 1 ) ， 汉明窗的表达式为叫弹) = o 5 4 - 0 4 6 c o s ( 2 n n n - 1 ) ，阁一个统一的余弦函数表达式研表 示为： 露) = 搿- p c o s ( 2 n n n )群。0 , 1 ，2 ，n - i ( 2 2 4 ) 则此余弦酾数的频率响应为： 1 7 第二章滑动d f t 算法原理 n l ( t ) = k - f l c o s ( 2 n n n ) e 卅” 行= o ，1 ，2 ，n 一1 根撇拉斌州2 册) = 竿+ t e - j 2 n n n ，2 2 5 可瓢 缈( 七) ：罗n - i 粥川枷w 一旦箩p 止m ，”p 掣“w 一曼箩e - j 2 n n h e - 2 础，” 缈( 七) = n = 0 粥1 2 枷“一詈n = 0p 止“”e 1 2 “一詈n = 0 础“ -z一 由前面提到的矩形函数的d f t 可知，式2 2 6 时三个s i n e 函数在频域的叠加，三个s i n e 函数的振幅分别为n ，p 2 ，b 陀，其中第二项、第三项的s i n e 函数分别是第一项的s i n e 函数 前移和后移一个采样点。 如果未加窗的输入信号d f t 后的结果是x ( 七) ，根据卷积定理，加窗后的d f t 输出结果 为： j ( ) = 晓( | i ) 一- x ( _ j 一1 ) 一- x ( 七+ 1 ) ( 2 2 7 ) 2 6 4 滑动d f t 的频谱泄漏处理 同样，滑动d f t 肯定也具有频谱泄漏效应，也需要通过加窗技术来减小频谱泄漏。如 果直接采用时域加窗，会破坏滑动d f t 实时计算的简捷性，所以应选择频域加窗。加窗后 的滑动d f t 单个频率单元的表达式为： 以( 后) = 一譬以( 七一1 ) + 线( j i ) 一譬以( j i + 1 ) 加窗后的滑动d f t 单个频率单元结构如图2 1 0 所示。 2 图2 1 0 加窗后的滑动d f t 单