（应用数学专业论文）非线性耦合ginzburglandau方程组的相关研究.pdf

硕士学位论文 摘要 本学位论文采用经典的g a l e r k i n 逼近方法和能量方法，得到系数与时间有关 的一维及二维非线性耦合g i n z b u r g l a n d a u 方程组的整体解的存在性、唯一性及 整体吸引子的存在性，同时使用f 展开法得到常系数g i n z b u r g - l a n d a u 方程组的 周期波解 本论文由四章构成 第一章概述了g i n z b u r g - l a n d a u 方程及方程组的研究背景及研究意义，同时简 单介绍了本文的主要工作及所得的主要结果 第二章主要介绍了本文的基础知识和将使用到的记号，其中基础知识包括相关 概念及主要不等式 第三章首先讨论了一维非线性耦合g i n z b u r g - l a n d a u 方程组的整体吸引子存 在性通过运用经典的g a l e r k i n 逼近方法，我们得到了方程组在周期边界条件下的 整体解的存在性和唯一性，再利用能量方法证明了它的整体吸引子的存在性接着 研究了一维非线性耦合g i n z b u r g - l a n d a u 方程组的周期波解，采用f 展开法和其 他一些方法技巧，得到了用雅克比椭圆函数表示的周期波解 第四章讨论了二维非线性耦合g i n z b u r g - l a n d a u 方程组的整体吸引子的存在 性和周期波解类似第三章，运用g a l e r k i n 逼近方法得到方程组整体解的存在性及 唯一性，再利用能量方法证明了它的整体吸引子的存在性最后采用f 展开法得 到它的周期波解 关键词：耦合g i n z b u r g - l a n d a u 方程组；吸收集；整体吸引子；周期波解；能量 方法；f 展开法 硕士学位论文 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h es t u d i e so fg l o b a la t t r a c t o r sa n dp e r i o d i cw a v es 0 - l u t i o n so fb o t ho n ed i m e n s i o n a la n dt w od i m e n s i o n a ln o n l i n e a rc o u p l e dg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n sw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sb ym e a n so ft h ec l a s s i c a lg a l e r k i na p - p r o x i m a t i o nm e t h o d ，e n e r g ym e t h o da n dt h ef e x p a n s i o nm e t h o d t h ep a p e ri sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dm e a n i n go fg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n sa r ep r e s e n t e d m e a n w h i l e ，t h em a i nw o r k sa n dr e s u l t so ft h e p a p e ra r es i m p l yi n t r o d u c e di nt h i sp a r t i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t sa n dn o t a t i o n sw h i c h w i l lb ee m p l o y e di nt h i sp a p e r t h eb a s i cc o n c e p t sc o n c l u d et h er e l a t e dd e f i n i t i o n s a n ds o m ei m p o r t a n ti n e q u a l i t i e s 。 i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a la t t r a c t o ro fo n ed i m e n s i o n a l n o n l i n e a rc o u p l e dg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n si sc o n s i d e r e df i r s t l y b yu s i n gt h e c l a s s i c a lg a l e r k i na p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg l o b a l s o l u t i o n sa r eo b t a i n e d ，a n dt h u s ，t h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o ri so b t a i n e db y u s i n ge n e r g ym e t h o d s e c o n d l y w ea l s oo b t a i nt h ee x a c tp e r i o d i cw a v es o l u t i o n s o fo n ed i m e n s i o n a ln o n l i n e a rc o u p l e dg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n sw i t hc o n s t a n t c o e f f i c i e n t sb ym e a n so ff - e x p a n s i o nm e t h o da n ds o m eo t h e rs k i l l si nt h i sp a r t i nc h a p t e r4 ，t h eg l o b a la t t r a c t o ra n dp e r i o d i cw a v es o l u t i o n so ft w od i m e n - s i o n a ln o n l i n e a rc o u p l e dg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n sa r es t u d i e d s i m i l a rt ot h a t i nt h et h i r dc h a p t e r ，b yu s i n gc l a s s i c a lg a l e r k i na p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，w ep r o v e d t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg l o b a ls o l u t i o n s t h e n ，t h eg l o b a la t t r a c t o ri so b - t a i n e db ym e a n so fe n e r g ym e t h o d a tl a s t ，t h ee x a c tp e r i o d i cw a v es o l u t i o n si s a l s oo b t a i n e d k e yw o r d s ：c o u p l e dg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n s ；a b s o r b i n gs e t ；g l o b a l a t t r a c t o r ；p e r i o d i cw a v es o l u t i o n s ；e n e r g ym e t h o d ；f e x p a n s i o nm e t h o d f i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 际j 延萋，日期：o 年够月3 0 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“、”) 作者签名：融夕慧日期：凹年骋月刃日 导师签名：扬株日期：印年艿月3 0 日 硕。f ：学位论文 第1 章绪论一 1 1 本文研究问题的历史背景和意义 随着现代科学技术的发展，物理、化学、生物等许多领域中提出了大量的无穷 维动力系统问题g i n z b u r g - l a n d a u 方程作为非线性偏微分方程，也是无穷维动力 系统理论研究的热点之一，它描述了从非线性波到二阶相位变换的一连串物理现 象，如流体力学、位相传输、超导现象和b o s e - e i n s t e i n 凝聚等许多物理问题，它是 一类重要的数学物理方程( 见文献f 1 8 1 及其相关文献) 在近几十年内特别是2 0 世 纪8 0 年代以来得到了迅速的发展，很多物理学家和数学家对g i n z b u r g - l a n d a u 方程 表现出极大的兴趣和关注，对g i n z b u r 乎l a n d a u 方程( 以下简称g l 方程) 的物理应 用和数学理论进行大量的深入研究，例如对于g l 方程长时间出现的不稳定和混沌 现象的分析和数值计算，g l 方程整体解和整体吸引子的存在性，惯性流形和近似 惯性流形的存在性及其维数的估计，吸引子水平集的h a u s d o r f f 测度估计等发表 了很多文章，取得了丰硕的成果【9 _ l 7 1 1 9 5 0 年，g i n z b u r g 和l a n d a u 在“流体”的二阶相变理论基础上，建立了超导 的宏观数学模型【圳1 9 5 4 年，在此基础上l a n d a u 和k h a l a t n i k o v 得出了自由场中最 简单的g i n z b u r g - l a n d a u 方程 1 9 】 ，o 1 7 兰署= i l ( 危v ) 2 妒+ 口砂一f 妒1 2 妒， “7 ， 其中妒表示波函数，y ，h ，q ，p 为参数 关于g l 方程的研究已有许多结果【1 8 2 5 1 郭柏灵于2 0 0 0 年在文献 2 0 】中对五 次g l 方程的同宿轨和异宿轨进行了研究，得到在一定条件下同宿轨的不变性的结 论，同时于2 0 0 2 年证明了一般g l 方程整体吸引子的存在性( 见文献【2 1 ) m a r u n o k 于2 0 0 5 年对离散的三次五次非线性复形g l 方程进行了研究，得到孤立子解以 及雅可比椭圆函数表示的周期解( 见文献1 2 2 ) 2 0 0 6 年，w a l z w a zm 在文献( 2 3 1 中首 先对一维三次、五次非线性g l 方程进行了研究，得到了它们的显式解和隐式解，同 时考虑方程非线性项阶数的一般情况( 从( 2 n + 1 ) 到( 4 n + 1 ) ) ，最后分别得出了它们 的显式解和隐式解李本图等在文献【2 4 1 中研究复值g l 方程，获得该方程周期边 界问题整体吸引子的存在性及它的h a u s d o r f 维数。戴正德等于2 0 0 8 年在文献1 2 5 1 中 用f 一展开法得出了二维g l 方程的精确同宿筒解和孤立子解，且证明当时间趋于无 穷时。该解趋于一个周期波解 1 9 5 7 年，b a r d a e n ，c o o p e r 和s c h r i e f f e r 建立了超导体的微观数学模型【2 6 】而g o r k o v 于1 9 5 9 年指出了在适当的情况下，g l 宏观模型可由b c s 微观模型导出矧，并 一l 一 非线性耦合g i n z b u r g l a 】1 da 1 1 方程组的相关研究 且g o r k o v 和e l i a s h b o r g 于1 9 6 8 年建立了如下发展型g l 方程组 2 8 】 f 叩警+ 叩尤痧妒+ ( 一_ 。iv a ) 2 砂一砂+ i 砂1 2 砂= 0 ， 【筹+ v + v v a = 一去( 砂+ v 妒一妒v 妒+ ) 一i 妒1 2 a + v ， 其中a 为实的磁势，日为外磁场，砂为复值函数( 在g l 理论中称之为序参量) ，妒+ 表 示砂的复数共轭，l 妒1 2 为超导载电体密度，k o 为g l 常数，为电位势，叩为物理 参数 2 0 世纪8 0 年代以来，g i n z b u r g - l a n d a u 方程得到了进一步推广，出现了不少 研究耦合g l 方程组的论文1 2 3 l j 郭柏灵刁= 1 9 9 8 年在文献 2 9 中证明了g i n z b u r g - l a n d a u - b b m 耦合方程组 r ， 0 t 0 0 在无界条件下最大吸引子的存在性，其中( z ，t ) 是复值函数，n ( x ，t ) 是数量函数 ，( 礼) 是非线性函数，r ，q ，6 ，y ，q l ，卢l 是实数，l 0 ，9 ( x ) 是给定实函数戴正德 于2 0 0 1 年在文献 3 0 】中证明了g i n z b u r 分l a n d a u - b b m 耦合方程组指数吸引子的存 在性s a k a g u c h ih 和m a l o m e db 于2 0 0 3 年在文献 3 1 】中证明了如下双核非线性 耦合g l 方程组 孤立子解的存在性，并通过数字模拟方法得到稳定孤立子解的参数取值范围，且 说明只要两个光子速率不是太小时，它们之间的碰撞即是弹性碰撞，其中u 、v 分 别表示双核系统中电磁波的波幅，z 表示时间或传播距离，z 表示平面波的横坐标， 7 2 0 为耗散系数，0 2 0 ，y 0 ，r l ，盯l ，x 都为实常数 近年来，结合雅克比椭圆函数利用f 展开法来求出周期波解的文献在国内外并 不少见【3 2 - 3 剐p a r k sej 等- 亍= 2 0 0 2 年在文献 3 2 1 中对非线性进化方程采用雅克比椭 圆函数方法找到了周期波解z h o uyb 等于2 0 0 3 年在文献【3 3 】中对f 一展开法进行了 详细的描述，把它看做是雅克比椭圆函数的一般的形式，利用它求出了耦合k d v 方 程的周期波解，且在极限条件下，得出了耦合k d v 方程的孤立波解2 0 0 4 年，z h o u yb 采用f 一展开法，求出了一系列非线性偏微分方程包括d a v e y - s t e w a r t s o n 方程， z a k h a r o v 方程等的周期波解，并且同样在极限条件下可得出它们的孤立波解( 见文 2 一 n z ；渤小眶动z + r 0 l一“就汹也试 一叫件孔 一一；姬归她m 删锄叫埘巾 ” 一 十k d 吓 阱m 沪 圳纯 盯 卜 叽 慨 竹 + 十嚣+ r 一 = | i 毗 仇 硕 ：学位论文 献f 3 4 1 ) z h o n gph 于2 0 0 8 年在文献f 3 5 1 中将f 展开法用在了单个的2 dg i n z b u r g - l a n d a u 方程上，求出了它的周期波解，并且用图形描述了它解的一些特征 据本人所知，前面对g l 方程的相关研究只局限于讨论单个的g l 方程的吸引 子和周期波解，或者只是研究g i n z b u r g - l a n d a u b b m 方程组的吸引子，而更具有 理论和实际意义的变系数双核非线性耦合g l 方程组的整体吸引子及周期波解都 没有相关结果整体吸引子有效的刻画了解的长时间发展趋势，吸引子的结构分析 使人们对解的结构有着更清楚的认识，而方程的周期波解有着更深刻的物理意义 因此，研究非线性耦合g l 方程组的整体吸引子及其结构以及周期波解有着重要的 理论和实际意义 1 2 本文的主要工作及所得的主要结果 1 2 1 本文的主要工作 ( 1 ) 本文在第三章第一节主要研究一维非线性耦合g i i l z b u r 分l a n d a u 方程组 具有如下初始条件 ( 1 1 ) 让( z ，0 ) = 乱o ( z ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，z r ( 1 2 ) 和周期边界条件 u ( z + l ，t ) = u ( x ，t ) ，v ( x + l ，t ) = v ( x ，) ，z r ，t 0 ，l 0( 1 3 ) 下的整体解的存在性、唯一性及整体吸引子的存在性，其中u 、v 分别表示双核系统 中电磁波的波幅，t 表示时间或传播距离，z 表示平面波的横坐标，q ( ) ，p ( ) 是光滑 函数，为了方便，假设存在常数k 1 0 使得 q ( ) k l ，p ( ) 忌l ，t r + ( 1 4 ) 他 0 为耗散系数，a 2 0 ，y 0 ，r 0 ，0 1 ，x 都为实常数 ( 2 ) 在第三章第二节研究常系数一维非线性g i i l z b u r 哥l a n d a u 方程组 一3 一 ( 1 5 ) 钆 吨州 摹 d他 卜 + 州跏 “ 似 0 使得 0 1 ( ) k l ，p ( ) k l ，t r +( 1 9 ) 仇 0 为耗散系数，c r 2 0 ，y 0 ，f 1 ，o 1 ，x 都为实常数 ( 4 ) 在第四章第二节研究常系数二维非线性g l 方程组 t 正= ，y 乱+ ( q + 嘞) ( u 。+ t 正p ) + ( 仃1 一a r 2 ) l u l 2 t 正+ 锄，( “o ) 【v t = 一f v + ( p + i 仇) ( u 。+ u v 可) + i u ， 、7 的周期波解 1 2 2 本文的主要结果 ( 1 ) 在第三章3 1 节，利用g a l e r k e n 逼近方法、能量方法以及其他一些数学方 法技巧【3 6 4 7 1 ，我们得出了一维非线性耦合g l 方程组的解半群算子s ( t ) 在中 连续且存在有界吸收集，s ( t ) 在w 中是相对紧的，由此得出s ( t ) 在中整体吸引 子的存在性即得到了下面两个重要定理： 定理1 1 如果对于任意给定的常数c 0 ，有i i u o | | 2 + i i v o l l 2 c ，s ( t ) 表示 式( 1 1 ) 一( 1 4 ) 的解半群算子，则式( 1 1 ) 一( 1 4 ) 存在唯一整体解( 仳( z ，) ，v ( x ，) ) ，且满 足对vt 0 ，都有 ( u ( z ，) ，v ( x ，) ) c ( ( o ，t ) ；) n 酽( ( 0 ，t ) ；c 厂)( 1 1 1 ) 一4 一 硕一 ：学位论文 成立 定理1 2 如果对于任意给定的常数c 0 ，l l u o i | 24 - l i v o l l 2sc ，s ( ) 是 式( 1 1 ) 一( 1 4 ) 的解半群算子，则s ( t ) 在空间中存在整体吸引子 ( 2 ) 对于二维非线性g l 方程组，我们也得到了如下的两个结论： 定理1 3 如果对于任意给定的常数c a 0 ，0 乱o i l 24 - l i 可o l l 2 c 1 ，( ) 表示 式( 1 6 ) 一( 1 9 ) 的解半群算子，则( 1 6 ) 一( 1 9 ) 存在唯一整体解( 让( z ，y ，) ，t ，( z ，y ，) ) ， 且满足对v 乃 0 ，都有 成立 ( u ( z ，y ，) ，v ( x ，y ，) ) c ( ( o ，矸) ；川) nl 2 ( ( o ，丑) ；u i )( 1 1 2 ) 定理1 4 如果对于任意给定的常数g 0 ，lu o l l 2 + i l 加1 1 2 c 1 ，s l ( t ) 是 式( 1 6 ) - ( 1 9 ) 的解半群算子，则s t ( ) 在空间m 中存在整体吸引子。 ( 3 ) 利用雅克比椭圆函数及f 一展开法，我们分别得到了一维非线性耦合g l 方 程组的周期波解 i u ( 州) = - ) - e 幻t - 眈2 ：z 7 驰丝g ( f ) ， ( 1 1 3 ) 【z ，( z ，) = 士p 一等) e 枷、案g ( f ) ， 及二维非线性耦合g l 方程组如下形式的周期波解 e i 4 _ e i , j t e f t ) ， 士( u 一等) e 砒屠g ( f ) 一5 ( 1 1 4 ) 非线性耦合g i i l z b u r g l a n d a u 方程组的相关研究 第2 章预备知识 为了叙述和阅读的方便，本章我们将给出本文所涉及到的一些相关概念及记 号，为了简便起见，所有结果只叙而不证 2 1 基本概念 首先给出一些相关定义： 半群算子定义【4 8 1设日为一度量空间，j 为日中的单位元，若对于算子s ( t ) 满足对vs ，t 0 ，有s ( + s ) = s ( ) s ( s ) ，且s ( o ) = ，及对于v t 0 ，s ( t ) 为日中 的连续算子，则称s ( t ) 为半群算子 不变集定义【4 8 】设日为一度量空间，若v t 0 ，半群算子s ( ) 满足s ( t ) x = x ， 则称集合xch 为函数不变集当半群算子s ( t ) 满足后向唯一性时，式子s ( t ) x = x 暗含v t 0 ，s ( 一t ) x = x 也成立那么函数不变集的定义就是：v t r ，有s ( t ) x = x 不变集的引理【4 8 】设日为一度量空间，s ( ) 为半群算子，u ( a ) = nus ( t ) a ， 8 0t s q ( a ) = n 口了f 研，若对h 中某些非空子集a 满足o 0 ，集合u 。os ( ) a 在 0 1 5 h 中是相对紧的，那么u ( a ) 是非空，紧的，不变的类似的，如果t 0 ，s ( ) _ 1 a 是 非空的，并且满足u 。 os ( ) 一1 a 在h 中是相对紧的，那么0 ( a ) 是非空，紧的，不变 的 吸引子定义 4 8 j 若集合ach 具备以下两个条件，则把a 称作吸引子 ( i ) a 是不变集( 即对于v t 0 ，有s ( t ) a = a ) ( i i ) a 有开领域p ，使得对v u o p ，当t 一时，有d ( s ( ) 札o ，a ) 一0 吸收集定义 4 8 】若p 是h 中的子集，p 是包含的开集，如果满足经过一段 时间后，p 中的任意有界集的轨道都进入p ，即：v 风c 肛，风有界，3 l ( 岛) 使得 对v t l ( 风) ，有s ( ) 岛cp ，则称p 在肛中是吸收的 整体吸引子定义 4 8 】若a 吸收何中的有界集，并且a 是紧的吸引子，则称ac h 为半群算子 s ( ) ) t o 的整体吸引子或最大吸引子 最大吸引子定理【4 8 】设h 是一个度量空间，若解半群算子s ( t ) 为一致紧的或 一6 一 硕士学位论文 有s ( ) = s l ( ) + ( ) 其中( ) 为一致紧算子而( ) 满足：对于有界集cc ， 有( ) = s u pi 岛( ) 妒i ，_ 0 ，( t _ + ) 并且存在一个开集u 和一个u 的有界 c 集b ，使得b 为u 中的吸引集，则b 的u 极限集合u ( b ) 是u 中的最大吸引子 序列弱收敛定义【4 9 】 设x 为线性赋范空间，x 为x 的共轭空间，z ，x n ( n = 1 ，2 ) x ，若对于v ，x + ，都有。骂，( z n ) = ， ) ，则称序列 z n ) 弱收敛 于z 序列弱+ 收敛定义 4 9 】 设x 为线性赋范空间，x + 为x 的共轭空间， ( n = l ，2 ) x + ，若对z x ，都有l i m 厶 ) = ， ) ，则称序列厶弱收敛于，。 t 一十【，u 相对紧集定义【4 9 】 设m 是度量空间x 中一集合，“是x 中任一族覆盖了m 的 开集，如果从p 中选出有限个开集后仍然覆盖m ，则称m 为x 中一紧集并且如 果m 是度量空间x 中一子集合，丽是x 中一紧集，则称m 为x 中的相对紧集 弱紧性定理 4 9 】若x 表示自反b a n a c h 空间，序列 u k 嫠lcx 是有界的，那 么存在子序列 u b ) 器1c u ) 芒1 且t i x 使得u b u j a c o b i 椭圆函数定义【5 0 】把第一类椭圆积分 l t 2 ，0 的反函数，记为s 礼缸，在有必要指明参数时，写成s n ( u ，七) 其中常数良称为肌函数 的参数另外 c r t u = 们丽瓦， d n u = v 1 - k 2 s n 2 u 则s n u = s n ( u ，七) ，c t t f t = m ( u ，七) ，d n u = d n ( u ，k ) 都称为j a c o b i 椭圆函数 下面给出一些相关不等式： g r o n w a l l 不等式 4 8 】若非负函数g ( ) c o ，卅，且对v 【o ，明，y 卣d a d t ( t ) c g ( ) + f ( ) ，其中f ( t ) 为 0 ，卅上可积函数，则有 印) z e 1 帆丁) 打+ g ( 。) e d - - 致g r o n w a l l 不等式【4 8 】设9 ( ) ，h ( t ) 和y ( ) 为三个定义在【t o ，+ o 。) 上的 非负函数，且对v t t o ，9 ( t ) ，h ( t ) 和秒( ) 在 t o ，+ 。) 上可积若y ( ) 在【t o ，+ o 。】也 一7 一 非线件耦合g i n z b u r g l a n d a u 方程组的相关研究 局部可积且满足 d 出y 夕( 坝t ) + ，( v 龇 并且上件g ( s ) d s o l ，打h ( s ) d s n 2 ，+ ry ( s ) d s a 3 , v t t o ，其中7 ，口1 ，n 2 ， a 3 为正常数，则有 可( hr ) ( 孚+ n 2 ) 一，v 2 “ 嵌入不等式 4 8 】设p l ，m 1 为正整数，qcr n 为一开集且充分光滑，即 边界至少具有( m + 1 ) 阶连续导数， ( i ) 若；一署 0 ，则有”p ( q ) cl q ( q ) ，其中；= ；一署，同时嵌入是连续的， 满足 i i u 0 l 。( n ) c ( m ，几，p ，a ) 1 u l l w m ，( n ) ( i i ) 若：一r 。n = 0 ，则w ”，p ( q ) cl ( q ) ，即对任何q 的有界子集m ，任意9 满 足1 q 0 0 ，则 j l 乱i i l 。( ，) sc ( m ，n ，m ，q ) i i u | i h ，m ，( n ) ( i i i ) 若；1 一署 1 ，；1 + ；1 = 1 ，驴k ，6 】，g l q 【o ，6 】，那 么f ( t ) g ( t ) 在 a ，6 l 上l 可积，并且 一 i f ( t ) g ( t ) l d t 1 1 1 1 1 p i l 9 l l 。 ，a 成立 一8 一 c ： n 毛卜 ，i h 一2 日 u u n c ： p 学 三2 日 j h u u c c ，、l 0 ( 3 3 ) 下整体吸引子的存在性，必须先证明空间和u 中吸收集的存在性即证明如下 引理3 1 一引理3 3 其中u 、勘分别表示双核系统中电磁波的波幅，t 表示时间或 传播距离，z 表示平面波的横坐标，q ( ) ，卢( ) 是光滑函数，为了方便，假设存在常 数惫1 0 使得 q ( t ) k l ，p ( ) k l ，t r +( 3 4 ) 仇 0 为耗散系数，0 2 0 ，y 0 ，i 、 0 ，盯l ，x 都为实常数 3 1 1w 中吸收集的存在性 引理3 1 如果对于任意给定的常数c 0 ，有i l u o l l 2 + i i v o f l 2 c ，s ( t ) 表示 式( 3 1 ) ( 3 4 ) 的解半群算子，则在彤中存在吸收集，即存在i f 3 0 w 及有界集b ( w o ，r ) = w 训一w o l l w r ) ，使得对任意解( u ，钌) w ，都存在t 0 ，且当t t 时， 有s ( ) ( u ，钉) cb ( w o ，r ) 一1 0 一 协气 m 咱川鼍季 d他 卜 + 州诎 + 卜 弘一 l | = 毗 仇 硕士学位论文 证明 由( 3 1 ) 的第一个方程与u 在h 中作内积得 ( 饥，u ) = 7 ( u ，u ) + ( q ( ) + i 他) ( u 。，u ) + ( i a l 0 2 ) ( 1 u 1 2 t ，让) + ( i v ，u ) 在上式两端取实部有 丢习di u i l 2 = 7 2 一邮) i l u 川2 0 2 f o l 川4 如+ 剐地u ) ( 3 5 ) 又因为 2s 半+ 三，ve o ， ( 3 6 ) 所以，从( 3 5 ) 可得 三d l l u i l 2 纠l u i l 2 - ( c ) 忆。 1 2 - - 0 2 ( 2 + 竿+ 剐伯，u ) ( 3 7 ) 由( 3 1 ) 的第二个方程与v 在h 中作内积得 ( 仇，v ) = - r ( v ，v ) 一( i x 秽，v ) + ( p ( ) + z 1 ，2 ) ( z k ，秒) + ( i u ，可) ， 上式两端取实部有 丢d l f 可| 1 2 = 一r l l v f i 2 一卢( ) l l v , 1 1 2 + 冗e ( i 牡， ) ( 3 8 ) 由( 3 7 ) 和( 3 8 ) 可得 爰( 1 | u | 1 2 + i l v i l 2 ) + q ( ) i i 札。l | 2 + z ( t ) l l v 。1 1 2 ( 一y a r 2 e ) i i 1 1 2 一r l f v l l 2 + 皿4 + r e ( i v ，u ) + r e ( i u ，v ) ( 3 9 ) 因为( i v ，u ) 与( i u ，口) 是共轭的，所以有 r e ( i v ，缸) + r e ( i u ，口) = 0 ，( 3 1 0 ) 结合( 3 t o ) ，( 3 9 ) 可化为 ；岳( 1 l u l l 2 + l l 勘j j 2 ) ( 7 一c r 2 e ) i l u l l 2 一r i l u | 1 2 一q ( ) | i 缸。1 1 2 - z ( t ) i i 0 2 + 地4 ( 7 一a r 2 e ) 0 u i l 2 一r l l v l l 2 + 虫也4 一p ( 1 l t | 1 1 2 + i i u i l 2 ) + 丑4 ， ( 3 1 1 ) 其中e 为常数且满足e 暑，p = r a i n a 2 ( 一7 ，r ) 因此，由( 3 1 1 ) ，我们知道 d ( 1 l u n 2 ) 一2 p ( i f u i i 2 + | i u 惝+ t 0 2 e 2 l ( 3 1 2 ) 非线性耦合g i n z l ) 1 l r g l a n d a l l 方程组的相关研究 利用g r o n w a l l 个，昔瓦，田( 3 1 2 ) 知， l i u ( ) 1 1 2 + i i 口( ) 1 1 2 e 一2 m ( i i u 。1 1 2 + i l u 。1 1 2 ) + ! 堑三警 因此有 1 1 , 4 ) 1 1 2 + | i 酬1 2 百a 2 e 2 l ，一十。 令r 垡2 p 三墨，则由( 3 1 3 ) 可知，对于v ( u o ，v o ) w ， 了t 去n 訾警， 当t t 时可知 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 叫1 2 + 1 2 = i i s ( t ) ( u o ，v o ) l l , e 一2 p t ( 1 l ( u 。， 。) l i 知) + a 2 e 2 l ( 1 i - e - 一2 p t ) z 口 志羔( f | 渤川孙百a 2 e 2 l蒜( ，训衫) + 百 = r 因此存在w o ew 及有界集b ( w o ，r ) = w ll l w 一伽0 1 1 w r ) ，使得对任意 解( u ，v ) ew ，都存在t 0 ，且当t t 时，有 | | s ( ) ( u ，秽) 一叫o l l w r ， 所以s ( ) ( 仳，口) cb ( w o ，兄) ，这样我们证明了中的吸收集的存在性证毕_ 引理3 2 如果对于任意给定的常数c 0 ，有i i , z o l l 2 + i i v o l l 2 c ，s ( t ) 表示 式( 3 1 ) ( 3 4 ) 的解半群算子，则对于任意固定的r 0 ，有 ，+ r ( i l u ( s ) 1 1 2 + i i v ( s ) 1 1 2 ) d s k ， v t 0 ， ( 3 1 5 ) j t 其中k 为常数 证明 1 ：1 ：1 ( 3 i i ) 有 丢面d ( i l u i l 2 + l i u i l 2 ) + q 1 2 + 肌川洲i i 刊i i 。+ i i u i i ：) + 丁a 2 e 2 l ， 一1 2 硕士学位论文 三。+ 7d ( 1 l “1 1 2 + i i 口1 1 2 ) + + ( q ( ) 1 1 札，1 1 2 + ( ) l l v 。1 1 2 ) d s 厂7(11uii。+iiuii。+ta2e2lr-p ， u 2 + u2 ) d s + _ ， ， 1 因此有 + 7d ( 1 l 札1 1 2 + i i u i l 2 ) + 2 。+ ”( q ( ) 1 1 u 。1 1 2 + p ( ) l l v 1 1 2 ) d 5 一厂件(1lull2+ilvll。)蚺下g2e2lr2p 一 2 + 2 ) d s + _ r 一 j t 从而 l i ( u ，u ) 1 1 2 w 1 8 。：= 。t + + 2 ( q ( ) l l 札。1 1 2 + ( ) l i u 。1 1 2 ) d s ，c 十r ( 3 1 6 ) 又由 一2 p ( i u l | 2 + 1 1 1 j | 1 2 ) d s 0 ， l i ( u ，v ) i i 衫0 ， 所以由( 3 1 6 ) 得 厂件( q ( 5 ) i i u 茹2 +1 1 2 i i ( u ( t ) ，删慨+ 下a 2 e 2 l r 2 i iz ( s ) l l v z l l ) d s( 3 1 7 )( q ( 5u 茹2 +2，口( ) ) l i 乱+ f ( 3 1 7 ) ，t - 考虑( 3 4 ) ，有： 件( 1 1 洲i i + i i 啪i id s 0 ，有f ( u or f 2 + f f 口o f f 2 c ，s ( t ) 表示 式( 3 1 ) 一( 3 4 ) 的解半群算子，则在u 中存在吸收集，即存在加o u 及有界集b 7 ( 叫o ， 彤) = wll l w w o u r + ，使得对任意解( 仳，口) u ，都存在t 0 ，且 当t t 时，有s ( ) ( 札，v ) cb 7 ( 叫o ，r + ) 证明 因为( 扎。) = 一；爱| i 札。f f 2 i( “，让。) = - i l u 。| 1 2 故由( 3 1 ) 的第一个方 程与札z z 在h 中作内积并取实部，得 丢五d 川2 = 7 川2 一q ( 驯l 让一1 2 一r e ( 衍。一c r 2 ) z l 2 “玩。如一m ( 砒u 。a ( 3 1 8 ) 又因为 而 “2 “k 如= o l 川2 u 觑 = 嘛 也1 ) 寺一瓦d ( 让2 西) = 0 一( 2 瓦( u u z _ ) + 也2 磁玩) 如 = 一2 z l 2 i 吲2 如一：0 0 l u 2 出， 尺e ( i a l - - 砚) l 瓶孙 c a u c h y - s c h w a r z 不等式有 因此由( 3 1 9 ) 和( 3 2 0 ) 可得 f l u ：碡d x l j o 小咖z o l j 札j 2j u 。1 2 如， ( 3 1 9 ) z l i 札2 舢， ( 3 2 0 ) 一r e ( i 0 1 一c r 2 ) 片l u l 2 u 砚。d x = r e ( i a l 一a r 2 ) ( 2 竹l u l 2 l u 。1 2 d x + 舒u 2 霹d z ) 冬2 口2 l ；l u 2l u 。1 2 d x + 知：汗可譬 = ( 2 c r 2 + 再可) 譬阡u 。1 2 d x 将上式代入( 3 1 8 ) 得 三翱u 川2 训札。i i - - o r 忆洲一船( i v , u = x ) + ( 1 4 i u l 2l u z l 2 如 e d d 2 坪 u 2 u l z 力 仃2 + 硕士学位论文 又因为 li u | 2 l u 坪如剑u 幢圳础， 由n i r e n b e r ga g m o n 不等式有 i l 二c il i a z i 乱喊 0 u 。l fs 岛i i u 。l u 幢 再由y o u n g 不等式和( 3 1 4 ) 可得 ， i 乱1 2 l u 。1 2 d x c ；谚i l u 。善向四q 2 e l l u 。1 1 2 + 岛， ( 3 2 2 ) - ，o 其中e ，c 1 ，c 2 ，c 3 为正常数 在( 3 2 2 ) 中令c = 刁番犏， y 怖f h ( 3 2 1 ) 和( 3 2 2 ) n - - 得 丢d l l u 酽纠2 一掣j 1 2 一觑( i v ，u x z ) + c 4 ， 其中c 4 为一常数 同理将( 3 1 ) 的第二个方程与v z 。在h 中作内积并取实部，有 三丢i i 1 1 2 = 一1 1 | | i | 2 一p ( ) o 。l f 2 一r e ( i u ，。) 由f 3 2 3 ) i f l ( 3 2 4 ) ，得 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 三翱“川2 圳础) + 掣慨f 1 2 州) | 2 7 i i u 霉1 1 2 一r l l v 。1 1 2 一r e ( i v ，u ) 一r e ( i u ，。) + c 4 ( 3 2 5 ) 因为 ( i v ，u z z ) = z o li v 砚。如= f o l i v 搋= t 钉砚悟一if o l 砚如， 又由周期性条件可知厩皤= 0 ，因此 ( i v , u z z ) = 一i 0 l v z 砚如= 一( i ，u ) 同理可得 (