（控制理论与控制工程专业论文）非线性系统h∞控制方法研究.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 佐实际的控制工程应用中，往往很难得到被控对象的精确模型，而且在控制系 统设计过程中，所采用的模型往往是经过一定的简化或近似的数学模型；这就造成 了被控对象的数学模型和实际对象之间存在一定的偏差。另外，模型参数也不能视 为不变或仅具有无穷小的扰动，系统工作环境的变化、非线性的线性化、测量信号 的误差都能使得建模模型出现不精确的可能。因此在设计过程中需要考虑被控对象 模型的误差以及控制器的鲁棒性。户可 本文尝试用近十几年发展起来且比较完善的日。控制理论对非线性系统设计具 有干扰抑制效果和鲁棒性能的控制器。文中首先对日。控制理论的提出、发展和成 熟的过程做了一个简单的介绍。然后对韭终：睦丕统h 。控制理论和应用进行了研究， 主要结果如下： ( 1 ) 针对仿射非线性系统，通过深入分析基于h a m i l t o n - j a c 燃方法的标准 e l 状态反馈控制器和输出反馈控制器设计方法，并和线性日。控制理论进行比较研 究，详细推导和描述了非线性标准日。控制器遂盐友鎏结果和线性日。设计方法结果 的关系和相似性。f 最后对一类特殊的非线性系统进行见，控制器设计，得到了更加 简单实用的结果。) ( 2 ) 针对不确定仿射非线性系统，采用h a m i l t o n - - j a c o b i 方程方法得到了鲁棒 j v 。输出反馈控制器设计方法。f 并把该结果与鲁棒线性正l 控制理论对比后，可知鲁 棒非线性日。控制器设计方法的结果是鲁棒线性日。控制器设计方法的一个扩展。然 后对一类特殊的不确定非线性系统，给出了鲁棒非线性日。控制器存在的一个充分 条件。r d 一 ( 3 ) 对非线性日。控制器设计方法的一些结果在一阶倒立摆上进行仿真应用，给 出了求解h a m i l t o n - j a c o b i 方程近似解的一种方法。( 与线性化系统的线性h 。控制器 的结果进行比较，得出了非线性乒l 控制器具有更广泛的应用范围的结论。卜6 一 塑垩查兰堡主兰垡笙苎 ! ! a b s t r a c t i ti sv e r yd i f f i c u l tt og e te x a c tm a t h e m a t i c a lm o d e l sf o rr e a li n d u s t r i a lp r o c e s si nt h e p r a c t i c a li n d u s t r i a la p p l i c a t i o n s u s u a l l y , t h ea d o p t e d m o d e li ss i m p l i f i e do ra p p r o x i m a t e i nt h ec o n t r o ls y s t e m sd e s i g n i n gp r o c e s s s o ，i tl e a d st ot h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h ea c t u a l c o n t r o l l e do b j e c ta n dt h em a t h e m a t i c a lm o d e lw eu s i n g i nf a c t ，t h em o d e lp a r a m e t e r s c a nn o tb ev i e w e da su n c h a n g i n go ri n f i n i t e l ys m a l ld i s t u r b a n c e ，u n c e r t a i n t i e si n c l u d e c h a n g e so fw o r k i n ge n v i r o n m e n ti ne x a c tm o d e l s ，a p p r o x i m a t i o nt h r o u g h l i n e a r i z a t i o no f n o n l i n e a r i t i e s ，e r r o ro ft h em e a s u r e ds i g n a l s ，a n ds oo n t h e r e f o r e ，w eh a v et oc o n s i d e r t h eu n c e r t a i n t yo f t h ec o n t r o l l e do b j e c ta n dt h er o b u s t n e s so f t h ec o n t r o l l e r b a s e do nt h er e c e n t l yd e v e l o p e da n dp e r f e c t h 。c o n t r o lt h e o r y , r o b u s tc o n t r o l l e r w i t hd i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o nf o rn o n l i n e a rs y s t e m si ss t u d i e dd e t a i l e d l y f i r s t ，ab r i e f r e v i e wo ft h e h 。c o n t r o lt h e o r y a n di t s d e v e l o p m e n tp r o d u c ea r eg i v e n t h e nw e p r e s e n th 。c o n t r o lt h e o r yf o rn o n l i n e a rs y s t e ma n di t sa p p l i c a t i o ni n t h ef o l l o w i n g a s p e c t s ： ( 1 ) b a s e d o nt h eh a m i l t o n j a c o b i e q u a t i o nm e t h o d s ，t h e s t a n d a r d h 。s t a t e f e e d b a c kc o n t r o l l e ra n do u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e rd e s i g n i n gm e t h o d st oa f f i n en o n l i n e a r s y s t e ma r ea n a l y z e d c o m p a r i n g 、v i t hl i n e a r 圩。c o n t r o lt h e o r y , i ti s c l e a rt h a tt h e n o n l i n e a rr e s u l t si n c l u d et h el i n e a rr e s u l t s i nt h ee n do ft h i s c h a p t e r , ap a r t i c u l a r n o n l i n e a r h 。o u t p u t f e e d b a c kc o n t r o l l e ri sd e s i g n e d ，a n di t sr e s u l ti sm u c h s i m p l e r ( 2 ) b a s e do nt h eh a m i l t o n j a c o b ie q u a t i o nm e t h o d s ，w eo b t a i nt h er o b u s th 。 o u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e rd e s i g n i n gm e t h o d st ou n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m s c o m p a r i n g w i t ht h el i n e a rr o b u s t h 。c o n t r o lt h e o r y , i t i sc l e a rt h a tt h en o n l i n e a rr o b u s t h 。 c o n t r o l l e rd e s i g n i n gm e t h o di st h en a t u r a le x t e n s i o no fl i n e a rr e s u l t s t h e n ，as i m p l e r r e s u l tt oac l a s so fu n c e r t a i nn o n l i n e a r s y s t e mi sg i v e n ( 3 ) f o r a 1 1i n v e r t e dp e n d u l u mp r o c e d u r e ，t h eo b t a i n e d n o n l i n e a r 日。d e s i g n a p p r o a c h e sa r eu s e dt od e s i g nn o n l i n e a rr o b u s th 。c o n t r o l l e ra n dt h es i m u l a t i o nr e s u l t s o ft h ec l o s e d l o o ps y s t e ms h o wt h a tt h en o n l i n e a r h 。c o n t r o l l e ra r em o r es u i t a b l et o g e n e r a ls y s t e m s 第一章绪论 1 1 玩控制理论概述 经典控制理论并不要求被控对象的精确数学模型，其主要基于现场测得的被控 对象的频率特性来设计串并联补偿器的参数，然后通过现场反复调试使系统满足设 计指标。目前工程实际中应用最为广泛的p i d 控制器也是如此，这种根据误差来设 定增益的控制器参数并不依赖于被控对象的数学模型。 6 0 年代前后发展起来的以l q g ( 线性二次高斯) 最优控制理论为代表的近代线性 系统理论，则完全依赖于描述被控对象动态特性的数学模型。用这种理论设计的系 统只对数学模型保证预期的性能指标，而这种设计指标在实际的被控对象上是否能 得到实现则完全取决于所采用的数学模型的精确程度。数学模型成为联接理论世界 和工程实际的关键桥梁。但是，由于客观实际中不可避免地存在着各种不满足理想 假设条件的不确定因素，因此想获得精确的数学模型几乎是不可能的。事实上，近 代控制理论一直得不到广泛的工程应用正是由于这种原因。 弥补近代控制理论这种不足的有效手段是在系统的设计阶段考虑被控对象中存 在的各种不确定因素，即，基于不确定性的非精确模型设计控制器。其实在六七十 年代近代控制理论向严谨化、数学化发展的鼎盛时期，以r o s e n b r o c k ，m a c f a r l a n e ， p o s t l e t h w a i t e 等人为代表的英国学者一直主张完善和扩展经典的基于频域特性的设 计理论，以改变控制理论过于数学化而脱离实际的现象。但是明确地提出在设计阶 段考虑数学模型和实际对象之间误差的也许是加拿大学者z a m e s ，从工程应用的观 点提出了日。控制观点，以及美国学者d o y l e 完善了上l 状态空间方法。 日。控制理论是在日。空间( 即h a r d y 空间) 通过某些性能指标的无穷范数优化而 获得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论。日。空间是在开右半平面解析且有界 的矩阵函数空间，其范数定义为 j f f ( j ) j 。：= s u p 于 f o ) 】= s u p 歹 f ( j c o ) 】 r d s b on ，e r 即矩阵函数f ( s ) 在开右半平面的最大奇异值的上界。h 。函数的物理意义是它代表 系统获得的最大能量增益。 h ，控制理论的实质是为多输入多输出( m i m o ) 且具有模型摄动的系统提供了 一种频域的鲁棒控制器设计方法。控制理论很好地解决了常规频域理论不适于 m i m o 系统设计及l q o 理论不适于模型摄动情况两个难题，其计算复杂的缺点己 浙江大学硕士学位论文 因计算机技术的飞速发展及标准软件开发工具箱的出现得到克服，故近十年来已成 为控制理论热点研究领域，并取得了大量的实际应用成果。 控制界将。控制理论的发展分为两个阶段，分别以加拿大学者z a m e s 和美国 学者d o y l e 6 1 发表的两篇著名论文为标志。称前一阶段的理论为经典日。控制理论， 称后一阶段的理论为状态空间j v 。控制理论。从1 9 8 8 年d o y l e 等人发表著名的d g k f 论文【6 1 ，至今已整整十二年了，这是h 。控制理论从发展到成熟的十二年，也是取得 大量引人瞩目的研究成果的十二年。 下面我们将士控制理论的发展过程按照时间顺序进行细述： 一准备阶段( 六十年代中期至1 9 8 0 年) 实践是理论产生的根本原因和条件，同时也是引导理论发展和完善的直接动力 和最终目的。在这一阶段里，以l q g 反馈系统设计方法为代表的现代控制理论占 统治地位，但它无法处理被控过程数学模型有误差或摄动情况下的控制器求解问 题，而这恰恰是工程实际经常遇到并迫切需要解决的课题。3 0 年代发展起来的经典 频域设计理论，通过一定的增益和相角裕度使系统满足要求的性能并具有一定的鲁 棒稳定性，但不适用于m i m 0 系统。正是这种实际需要加上此阶段泛函分析和算子 理论等的完善，为日控制理论的提出做好了准备。 二诞生阶段( 1 9 8 1 年至1 9 8 7 年) 1 9 8 1 年，加拿大著名学者z a m e s 在其论文中引入日。范数作为目标函数进行 优化设计，标志着日。控制理论的诞生。在此阶段，人们把在控制器集合中寻求使 传递函数矩阵的日。范数最小化解的问题，通过稳定化控制器的y o u l a 参数变换成 模型匹配和一般距离问题，然后再将其变换为n e h a r i 问题求解。寻求满足h 。范数 指标的解的早期方法，大都基于输入输出系统框架并包含解析函数m e v a n l i n n a p i c k 插值) 和算予理论的方法，导致了算子理论学者和控制工程学者富有成果的合作| 8 】。 但遗憾的是，最初的正l 控制理论的标准频域方法在处理m i m o 系统时，在数学上 和计算上显得无能为力。直到1 9 8 4 年，d o y l e 用状态空间方法解决了m i m o 的 l 最优控制问题，过程包括函数阵的状态空间内外及互质分解，然后降低成一个状态 空间方法可解的n e h a r i h a n k e l 范数问题。这一阶段提出的日。设计问题的解法，所 用的数学工具非常繁琐，计算工作量大，并不像控制问题本身那样具有明确的工程 意义。 三发展、完善及推广阶段( 1 9 8 8 年至1 9 9 5 年) 1 9 8 8 年，d o y l e 等人在全美控制年会上发表的d g k f 论文1 6 j ，首先提出了简化 的状态空间日。控制器求解公式，仅需解两个r i c c a t i 方程便可求得只。优化控制器， 其阶次等于广义对象( 被控对象和加权函数) 的阶次。d o y l e 和g l o v e r 9 1 ， k h a r g o n e “m 1 0 l 等人进一步给出更简单的l 控制器的求解方法，提出状态反馈。 控制问题可通过求解一个代数r i c c a t i 方程来获得。此类方法不仅设计过程简单，计 算量小，而且所求得的控制器阶次较低，结构特征明显。这一阶段也是计算机技术 发展的重要时期，具有高主频、大内存、彩色显示器、快光驱、w i n d o w s 标准用户 浙江大学硕士学位论文 图形界面及多媒体技术的计算机不断涌现，为研制h 。控制器设计软件包提供了基 本条件。许多软件包相继面世，如美国m a t hw o r k s 公司开发的m a t l a b 软件中鲁棒 控制工具箱；m u s y n 公司开发的一t o o l s 软件包；i n t e g r a t e ds y s t e m s 公司开发 的m a t r i x 软件包及x m a t h 软件包等。这些软件包的研制成功，使。控制理论成为 真正实用的工程设计理论。 在这一阶段，日。控制理论继续深入发展。研究发现，h 。范数优化能有效地处 理非结构不确定性( 通常是指随频率变化的不确定因素，如高频段的非建模动态和低 频段的对象干扰等，与标称对象的关系可以是加性、乘性或互质因子摄动形式) 问题， 而对于结构型不确定性( 由对象参数变化引起) 问题则可能产生保守性。为了得到更 好的控制器，发展了两种新方法，即回路成形方法和( 结构奇异值) 分析方法。分 析方法是d o y l e 给出的解决当模型存在结构不确定性时估计鲁棒性能的一种有效的 分析工具【l ”，其基本思路是将一个具有回路多点独立的有界范数摄动化为一块对角 摄动结构，然后给出判断系统鲁棒稳定性的充要条件，因而在理论上是不保守的。 b a l a s 等人于1 9 9 1 年开发出“分析软件包【l 。回路成形方法是通过选择权函数改善 开环奇异值频率特性，以实现系统的闭环性能，并在鲁棒性能指标和鲁棒稳定性之 间进行折中。m a e f a r l a n e 等人于1 9 9 2 年给出其设计步骤l l ”。 这一阶段，f 控制问题和其他控制问题也建立起联系，如w h i t t l e 的临界敏感 控制【1 4 i ，b a s a r 等人的微分策略【1 5 】，g r e e n 的j 无损分解 1 6 】，d y m 等人的最大熵方法 7 1 ，g e o r g i o u 的g a p 测度 i s 】。从控制方式来看，已经从反馈控制向双自由度控制、 自适应控制及分散控制等多种方式发展。状态空间日。控制理论也己推广到其他系 统，从连续系统到离散系统，从时不变系统到时变系统，从有限维到无限维( 分布参 数系统) ，甚至推广到一些非线性系统。 有关日。控制理论应用研究的报导很多，如d o y l e 等人对航天飞机重返大气层 的侧轴飞行控制系统设计【l9 1 ，s a f o n o v 对飞行俯仰轴控制系统和对大型空间站结构 的控制系统设计【2 0 】，l i m e b e e r 等人对同步涡轮发电机的控制【2 l 】，d a l e 对火箭穿越 大气层时的稳定控制设计【2 2 1 ，g u e s a l a g a 等人对环境试验箱温湿度的控制【2 3 】等。在 船舶运动控制领域，将日。控制理论应用于船舶自动舵，国外己进行过一些工作 2 4 , 2 5 ，但属于仿真研究，实际的海上试验研究尚未见报导。大连海事大学的贾欣乐、 张显库等在将厅。控制理论应用于船舶运动控制系统方面做了有益的尝试，并给出 一批实际应用结果1 2 6 , 2 7 1 。 四成熟及应用阶段( 1 9 9 6 年至今) z h o u 等人的专著鲁棒及最优控制 2 8 1 , s k o g e s t a d 和p o s t l e t h w a i t e 的专著多 变量反馈控制 2 9 j ，标志着以，控制理论已基本成熟。与此同时，应用研究也由计 算机仿真走向实际的可行性试验和实时控制实现p 。最近几年，时变系统，非线性 系统，分布参数系统及离散系统的日。控制理论的研究也在进一步发展。 日。控制理论具有以下几个特点：1 将经典频域设计理论具有一定的鲁棒性和 现代控制理论状态空间方法适于m i m o 系统的两个优点融合在一起，系统地给出了 浙江大学硕士学位论文 在频域中进行回路成形的技术和手段。2 给出了鲁棒控制系统的设计方法，并充分 考虑了系统不确定性的影响，不仅能保证控制系统的鲁棒稳定性，而且能优化某些 性能指标。3 采用状态空间方法，具有时域方法精确计算和最优化的优点。4 多 种控制问题均可变换为h 。控制理论的标准问题，具有一般性，并适用于实际工程 应用。 日。控制理论的标准问题不论从理论上还是算法实现上都已基本成熟，其难点 在于指标的设定和权函数的选取。不同对象，不同设计指标需要不同的权函数，但 相互并没有特定的规律可循，更多的是依赖于设计者的经验。故基于经验的提取变 成专家系统的规则，进而形成工程上可用的确定加权函数的软件包或专家系统软 件，将是研究的一个方向。l t m d s t r o m 等人【3 l l 和p o s t l e t h a i t e 等人m 1 给出了日。权函 数选择的方法，但是性能指标和每个控制器参数之间的关系仍是含糊的，而通过迭 代调整日。权函数时，这个关系是非常重要的。吴旭东和谢学书给出了h 。权函数选 择的方法【3 3 1 ，提出在频域内选择加权阵，再转化成在时间域进行优化设计计算。此 方法比较简单，y a n g 针对d c 伺服电机用矩阵试验选择日。权函数p ，证明结果与 曲线重合。此方法的主要缺点是被控对象一变，需重复进行矩阵实验。 回路成形设计方法对s l s o 系统非常有效，且盯( 工) = l l i ；而对于m i m o 系统， 回路成形设计方法只适用于有统一的控制性能和鲁棒性能指标的情况，不适用于每 个通道有不同的指标及不同的不确定性特性的场合。再者，满足k 稳定的上很难找 出，如果p 是非最小相位的或不稳定的情况则更难。此外，若考虑闭环系统的稳定 性要求，回路成形方法则要复杂的多，因为这种情况下要考虑对象的相位特性，成 形时对权函数的选择也会因此而受到限制。因此，解决这些问题的完善的回路成形 方法是研究的一个方向。 下面介绍一下当初提出e 。控制理论的一些基本思路： 图1 1 反馈系统方块图 反馈控制系统的方块图如图1 1 所示。其中p ( j ) 为被控对象的传递函数，k ( s ) 为 控制器；y 为系统输出信号，“为控制输入，为参考输入，d 为干扰输入，e 为控 制误差信号。假设所有信号均为标量。该系统的开环和闭环频率特性分别为 浙江大学硕士学位论文 g 。( ) = p ( j a o x ( j c o ) g 。( j c o ) = 雨p ( 面j c o ) 丽k ( j c 而o ) 根据经典控制理论，我们可以通过设计控制器彪来调整系统的开环频率特性 g 。，使得闭环传递函数g 。满足设定的性能指标a 如果我们设计时所使用的模型p 0 ( s ) 具有不确定的误差p ( s ) ，即实际对象为 p ( s ) = p o ( j ) + j d ( j ) 那么，相应的开环和闭环频率特性也具有误差 a g 女( ，国) = g i ( j c o ) 一g o ( j c o ) a g 口( j c o ) = g 口( ) 一g 日o ( j c o ) 其中， g 。( j c o ) = 岛( ，国) k ( ，) g m ( j c o ) = 雨p o 而( j c o ) 永k ( j 丽c o ) 分别为开环系统和闭环系统频率特性的标称函数。显然，即使设计时没能精确考虑 模型误差a p 引起的开环频率特性的偏差g 。，但是如果由此引起的闭环特性的偏 差g 。足够小，那么实际系统的闭环性能就不会受到a p 的影响。简单推导可得到 a g 日( j c o ) 1 a g i ( j c o ) g 。( )1 + p o ( j ) k ( j w ) g ( j c o ) 上式表明，传递函数 s ( s ) = 1 + p o ( j ) 世( 】 ) 】- 体现了开环特性的相对偏差g 。g 。到闭环特性相对偏差a g b g 。的增益。因此， 如果在设计控制器足时，能够使s 的增益足够小，即 1i l s ( 国) l = - 1 + p o ( j 1 ) k ( j c u ) 0 ，设计控制器k 使 得闭环系统稳定且满足j 0 的丌右半乎曲内何界： i f ( j ) i 0 则这个有界的上确界定义为f ( s ) 的h 。范数，用公式表示如下 f i f ( s ) l l 。= s u p f ( s ) f ：r e ( s ) 0 按最大模定理，用虚轴s = j o ) 来代替开右半平面 i i f ( s ：) l l 。= s u p f ( j c o ) l ：曲er 这个h 。范数就标志着频率特性的最大模。 若设计g ( s ) 为稳定的从系统的干扰输入信号到被控输出信号的传递函数，如粜 能设计控制器使i i g ( j ) i i 达到最小值，那么，具有有限功率谱的干扰对系统的控制输 出的影响就可能降到最低限度。从物理意义上晚，如果系统的输入是有限能量谱化i 号，则系统的输出也是有限能量谱信号。h 。范数的几何意义反映在n y q u i s t 曲线f ： 为原点到曲线上的最大距离，反映在b o d e 图上为横坐标到曲线的最大距离。 h 。标准问题是：选择一个实正则的控制器k ( s ) ，以确保在用控制器k ( s ) 内部 稳定广义被控对象g ( s ) 的约束条件下，使由干扰输入w 到被控输出z 的传递函数 中( j ) 的日。范数满足约束条件：中( 5 ) 的h 。范数小于给定的正实数y 。 。标准问题的结构方块图如图2 1 3 所示。其标准问题的系统结构描述如卜： 篙q222。(s)k卜u(s)=gjly(s) g 斟jl g 2 t ( 5 ) “。 l h ( s ) j 显然有 ( j ) = g li ( j ) + g 1 2 ( j ) k ( 5 ) u g 2 2 ( s ) k ( s ) 厂g ：i ( s ) = 、y 、w 和“分别是控制输出、测量输出、干扰输入以及控制输入。控制输阳 量z 通常包括误差信号和加权控制输出，干扰输入向量w 通常包括于扰、噪声和指 令，测量输出向量y 通常包括可测的并且可用于反馈的所有信号，控制输入向量“通 塑坚盔兰塑! 兰些堡墨上 z 图2 1 3h 。标准问题 常指可以改变系统行为的所有信号。 定义2 1 1 向量范教 。向量x r ”的范数( 记为i i x l l ) 是指满足下列条件的非负实数： 1 正定性：对v x r “，且x 0 ，有 0 ，当且仅当x = 0 ，有l i x l i = 0 ： 2 齐次性：对v k r ，z r ”，有| | h l f = i k i l n l ： 3 三角不等式：；n v x ，y r ”，有忙+ y 8 f i x l f + 。 定义2 1 2 矩阵范敷 。矩阵a r 的范数( i g n 恻 ) 是指满足下列条件的非负实 数： 1 正定性：对v 4 r ，且a 0 ，有i i a i l 0 ； 2 齐次性：对v k r ，a r ，有| | 朋i l = 爿 3 三角不等式：对v a ，b r ，有怕+ b 0 曼恻1 + i i b l l 。 2 2 风控制理论基础 连续系统的日。控制理论在最近的十几年中得到了迅猛的发展，各种有效的数 学方法如状态空间理论、算子理论、插值理论等为h 。理论的发展提供了解决问题 的有效工具。一方面，由于连续系统h 。控制理论的发展分支较多，另方面，由 于本文所述的非线性h 。控制方法和线性系统日。控制理论中的状态空问方法有着 密切的联系，所以这里只着重叙述h 。控制理论中的状态空百j 实现。频域实现理沦 的成熟是以文献f r a n c i s 8 0 1 为标志的。虽然它的处理思路：h 。标准问题_ 模型匹配 问题_ n e h a r i 空间逼近问题颇有借鉴价值，并且频率域处理概念清晰，f h 由j 崭要 过多的问题转化过程，因而算法实现和数值计算相当困难。文献d o y l e e t a l1 6 1 丰，j ；忠 着状态空间实现理论的成熟。它通过采用h a m i l t o n 矩阵描述工具，将h 。标准问题 最终归结为两个r i c c a t i 方程的解。该状态空间实现算法简捷明了，但它要求增一后 的控制系统具有过于苛刻的约束，需要繁杂的约束简化过程，作为实际工程应用的 浙江大学顾j 学位论艾 软件包的实现算法有些不太合适。最后，需要强调的是：本节是在。标准问题的 基础上进行处理的。所介绍的连续系统的。控制理论算法适合于解决次优。汕j 题。对于最优h 。控制问题，它们都会出现数值计算困难的问题，如矩阵求逆时， 出现该矩阵接近奇异或该矩阵奇异的情况。 2 2 1 系统的范数 设p 为线性定常系统。则系统的响应特性可以由频域的传递函数p 【l i ) 或8 , - t 、，域 的单位脉冲响应函数p ( t ) 来描述，即，对于任意输入信号“，输出信i jj - j 以农小 为 y ( t ) = p ( t ) “( r ) = ip ( ，一r ) u ( r ) d r 或者 】，( s ) ；p ( s ) u ( s ) 如果我们考虑脉冲响应收敛的系统，即p ) 。，那么，p ( s ) 在s 闭右半平面 解析且满足 s u pf p ( j ) i 0 0 r c i l z 0 对于传递函数来讲，上式对应于 s u p 盯。 j d ( s ) 0 0 ( 2 2 1 ) r e f j ) a o 所谓日。空间就是指在s 闭右半平面解析且满足式( 2 2 1 ) 的复变雨数阵的炎 合。它实际上是p = 0 0 时的h a r d y 赋范空间，范数的定义为 l i p ( s ) l l 。= s u pj 一 j d ( s ) ) r c ( 3 1 2 u 由复变函数最大模定理，上式实际上等价于 j ) 忆= s u p ( r ( p ( j c o ) ) m 对于标量系统，上式右端等于幅频特性的极大值。 应该指出，如果考虑线性定常系统，那么j d ( s ) 为有理函数阵。如前所述，系统 可以看作是输入信号空间到输出信号空间的算子。正是满足某种特性的系统算 子的集合。容易证明，对于属于h 。范数的系统有如下定理成立 定理2 2 1 设p h 。，p ( t ) = l “ j d ( s ) 。则 1 y ( t ) = p ( t ) + u ( t ) l 2 ( 一0 0 ，+ ) ，v u l ! ( 一o 。，+ 。) ； 2 y ( s ) = p ( s ) u ( s ) 2 ，v u l 2 ： 3 y ( t ) = p ( t ) + u ( t ) 2 o ，+ ) ，v “2 o ，+ 。) ； 4 y ( s ) = p ( s ) u ( s ) h 2 o ，+ ) ，v u h 2 系统的增益是描述系统传递函数特性非常有用的概念。例如，古典控制理论中， 系统的增益表示相应频率正弦输入信号下的稳态响应的振幅增益。现在我们考虑的 塑兰型墅型登堕旦生坐 是一个输入信号空间，算子的诱导范数的概念正是体现了输入信号范数与输出信弓 范数的增益。 设输入信号空间为l 2 ( o 。，+ ) ，p h 。，由定理2 2 1 可知输出信号宅恻为 ：( 一。0 ，+ m ) 。根据算子的诱导范数概念，定义系统( 算子) j p 的范数为 2 鬻粉2 i 删p ( 矿岬) _ l ： 或者等价地 i i j d l l = 船躁气s u ：p 引限批) i i 。 定理2 2 2 设p 日。，“2 ( 一。，+ o 。) 。贝0 俐= 哿铑一s 磐j 砌训刮酬i 。 上式的工程意义在于，系统传递函数阵的h 。实际上反映了输入输出信号! 范数的 最大增益。 2 2 2 。范数的计算 先考虑传递函数g ( s ) 的。范数计算问题。给定传递函数 g c s ，= 1 ：；1 c 2 2 2 ， 其中a 矩阵的所有特征值均在左半平面。 原理上，蚓i 。可由其定义的蚓l 。= s u p 孑 g ( 珊) 】来计算。即：设一系列稠密的 频率点扫，：，。 ，则通过搜索可以得到蚓i 。的估计值如下： m 。a ；x 。| | g ( j c o 洮 这种方法虽然概念清晰，但是需要冗长的漫无边际的搜索过程，并且仅仅得到 i 0 和r e ( s ) 0 ，定义h a m i l t o n 矩阵形式如下： h = 匕ac7 荆 引理2 2 1 ：下述四个条件是等价的。 l i l g l 。 0 ) 。 该引理提供了下述计算h 。范数的方法：选择一个正实数y ，通过计算h 的特 征值来检查条件蚓l 0 。如果对于任意的t 0 ，系统( 2 2 i o ) 的输入输出 信号满足 ，s y l l w l l ，v w l 2 o ，卅 ( 2 2l i ) 则称该系统的三：增益小于等于y ，其中： o ，t 】表示平方町积 满足 f w ”( t ) w ( t ) d tc 。的所有信号w 的集合，l w l l ，= fw 7 ( f ) w ( ，) 以 。 定义2 2 3 ；令系统( 2 2 1 0 ) 的初始状态为x ( o ) = x 。如果对f 任意i m ，定 存在t 和w ( t ) 使得 浙江太学硕士学位论文 则称系统在状态是能达的( r e a c h a b l e ) ，其中甲( ，l ，0 ，z 。，w ) 是方程( 2 2 1 0 ) 对应t 初始值x 。和“的解。 定义2 2 4z