（数量经济学专业论文）我国国债利率期限结构实证研究.pdf

摘要 利率期限结构理论研究是金融研究中最具挑战的课题之一，也是目前固定收 益证券以及金融工程领域里一项十分重要的基础性研究工作。 本文首先回顾了利率期限结构理论近二十多年的发展历程，分别在广义均衡 框架和无套利框架下分析研究利率期限结构具有代表性的模型。对我国国债收益 率曲线的形状进行了静态拟合的实证分析，拟合出目前我国国债收益率曲线的大 致形状。然后对上交所公布的国债收益率曲线上不同主干点的到期收益率进行一 价差分后进行收益率曲线变动模式的动态主成分分析研究。从而得到有指导意义 的相关结论。 本文使用三次多项式模型得到我国2 0 0 7 年4 月上交所国债利率期限结构，实 证结论认为：( 一) 三次多项式模型在模拟我国国债利率期限结构方面具有很 强的实用性和有效性。( 二) 在分析我国国债收益率曲线形状、利率水平等特征 的基础上，得出我国国债收益率曲线扁平化，国债期限结构不合理，存在着诸如 国债长期收益率水平偏低、长短期收益率曲线利差偏小等问题，应引起相应重视。 ( 三) 研究我国国债收益率曲线的变动方式，实证结果表明交易所国债市场的有 效性不断提高。 目前，我国国债市场仍然存在很多不利于形成完善、合理的利率期限结构的 因素、这些问题是未来国债市场改革的重点，因此，在最后提出了几点完善我国 国债利率期限结构的建议。 关键词：霭馈，利率斯限结构三次多项式模型主成分分析 a b s t r a c t 1 h et l l e o r i e sa n dm o d e l s0 n “釉s n l l c t l j i co fi n t e r e s tr a t e sa r eo n eo f 也er n o s t c h a l l e n g i i l gw o f k si n 缸a n c er c s e a r c h 觚da ni m p o r t a n t 如n d a m e m a lb m c h i n 叙e d i n c o m es e c u r i t i e s 锄df i n a n c i a le n 酉n e 耐n gf i e l d 1 1 1 i sa r t i c l ef e v i e w sr e c e n tt w c n 妙y e 挪e 、，0 l v i n gp f o c e s so ft l l e o r i e so fi n t e r e s t r a t ef i r s t ，m e na n a l y z es e r i a lc l 嬲s i c a lm o d e l su n d e rg e n e r a le q u i l i b r i u m孤d n 0 一抽i 仃a g e 觑l m e s t h i sa r t i c l e 臼秒t 0f i tt 1 1 ey i e l dc u r v es h a p eo fc h i n a s 仃e a s u d ， b o n d su s i n gt l l es t a t i ce m p i r i c a la n a l y s i s 觚df i tt l l eg e n e m l 仃e ：嬲u d rb o n d sy i e l d c u es h 印e o p e r a t e 锄o r d e rd i 侬鹏n c et 0y i e l dc u r v et r i l i l ：kd i f f c r e n tp o 缸o ft h e y i e l dt o 删够o f t 1 1 es h a n 曲a is t o c ke x c h 锄g eg o v e m m tb o n d sa l l dn 1 s t u d y n l ey i e l dc u i 、，eo ft h ed y n 锄i cc h a n g e su s i i l gt h ei r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s ( p c a ) a n df m a l l yg e ts o m em e 越n g mc o n c l u s i o n s u s i l l gc l l b i cp o l y n o m i a lm o d e l ，t 1 1 ea 呼i c l eg e tt h et c m s t r u c t u r eo fi n t e r c s tr a t e s o f 仃e a s u r yb o n d si ns h 锄曲a is t o c ke x c h a n g eo fa p m2 0 0 7 a st l l er e s u l t ， ( a ) c u b i cp o l y n o m i a lm o d e lt os i m u l a t et h et e n ns 仇l c t u r eo fi n t e r e s tr a t e so ft i e a s u 巧 b o n d sh a v eas 仃( m gp r a c t i c a l 锄de 行c c t i v e ( b ) 0 nm eb a s i so f 也e 觚a l y s i so ft l l e c h 跳l c t e i i s t i c so fg o v e 玎1 m c n tb o n d ss u c ha s 妒e l dc u r v es h 印e ，t 1 1 el e v e lo fi l l t e r e s t m 钯s ，s o m ep r o b l e m sm c ha s 仃e 硒u | 秒b o n d sy i e l dc en a t t e n ，i r r a t i o n a ls 仇1 c t u r eo f t h en a t i o m ld e b t ，t l l ee x i s t i m c eo f1 0 n g - t 锄g o v e m m 朗tb o n d sy i e l d sa r e1 0 w ，s h o r t 一 锄dl o n g - t c 肌y i e l dc u r v es p r e 锄弧t 0 0s m a n 印p e a r t h e p r o b l 锄ss h o u l db e 唧h a s i z e d ( c ) t 1 m d u g hm es t u d yo fm ec h a n g e si nm ey i e l dc u r v ef 0 rg o v 锄m e n t b o n d s ，e m p i r i c a lr e s u l t ss h o wt l l a tt l l eb o n dm a r k e te x c h 锄g e sc o n t i n u o u s l yi m p r o v e t h ee 妇c c t i v e n e s s a tp r e s e n t ，廿l e r ca r es t i l lal o to fn o tc o n d u c i v et ot l l ef 0 衄a t i o no fs 0 吼da n d r e 嬲o n a b l et a m 咖t m eo fi i l t e r e s tr a t e si nc h i n a sn e a s yb o n dm 疵t ，t h e s e i s 叭e sa r ef o c u so f 也e 如t u r er e f o 咖o ft l l eb o n dm a r k e t ，m e r e f b r e ，s o m es u g g e s t i o n t 0i m p r o v et 1 1 et e ms 仇l c t u r eo fi n t e r c s tr a t e so f 扛e a s u 巧b o n d sp r o p o s e d k e y w o r d s ：t r 昀s u r yb 0 n d s ，t e ms 仃u c t 眦co f h l t e r e s tr a t e ，c u b i cp o 驷0 m i a l m o d e l ，p i 证c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤叠盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名 签字隰叩年月缈日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨奎盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 舯 名民 b 导师签名：才努乞良导师签名：彳乃z ( 易 签字日期乒哕年乡月日 第一章绪论 1 1 选题背景 第一章绪论 利率期限结构是指在金融市场均衡状态下，无风险零息票国债的到期收益率 与到期期限之间的关系，以图形表示的利率期限结构称为收益率曲线。因为利率 期限结构反映了市场参与者对利率变化的预期，其中暗含的信息既是宏观经济、 金融管理的依据，又是众多金融衍生品定价的基础，因此可以说利率期限结构是 整个金融体系的基准，是资产定价的参照系，所以有关利率期限结构的研究与分 析一直都是金融学和经济学研究的重点和难点。 传统利率期限结构理论的研究重点，集中于讨论收益率曲线形状及其形成原 因，并用于解释三个重要经验事实：( 一) 不同期限国债利率随着时间一起变动； ( 二) 典型收益率曲线总是向上倾斜；( 三) 收益率曲线总是发生平行移动而非 扭动。在历史上有相关的三种理论，即纯预期理论、流动性偏好理论、市场分割 理论。 随着国际金融市场的蓬勃发展和证券衍生产品的问世，传统利率期限结构理 论已经不能满足日益发展的实践步伐，利率期限结构研究开始向用复杂的数理模 型描述利率运行轨迹的方向发展。2 0 世纪7 0 年代之后，西方大量研究工作表明， 在确定利率时，许多因素共同起作用，且各种利率的运动过程均表现出一定的随 机性，但同时还具有向一个均衡水平靠拢的均值回复行为，因此收益率曲线的形 状也会随着时间而改变。为描述利率的随机行为，利率期限结构研究中开始引入 随机微积分，用随机利率期限结构模型来刻画利率与期限之间的非确定性函数关 系及其变化特征。 同西方高度发达的金融市场实践与理论背景相比，我国金融市场并不发达， 利率市场化仍是我国金融市场发展的一大目标，为了更好地了解我国国债市场国 债长短期供求关系，揭示市场利率总体水平和变化方向，为中央银行制定货币政 策及投资者投资决策提供重要参考依据，需要根据利率期限结构理论对我国国债 利率期限结构进行研究。 然而，由于我国国债市场发展仍不完善，市场利率仍是人民银行管制背景下 局部市场化的结果，金融机构利率风险管理意识仍相当薄弱，所以我国对利率期 限结构理论的研究还停留在由简单介绍和定性分析向定量实证研究过渡的层面 上，特别是对国际先进的利率期限结构理论和实证方法在我国应用与改进的研 究，我国基本上仍处于起步阶段。 第一章绪论 综上所述，无论从理论研究角度，还是从实际应用角度，在我国进行利率期 限结构研究均具有重大意义，尤其需要探讨如何把国际上己有的理论方法与中国 实际情况相结合。 1 2 研究思路与方法 研究思路：关于国债利率期限结构的研究，国内外已取得相当丰富的研究成 果。该领域研究重点一般侧重于选择合适的利率期限结构模型，应用国债市场数 据进行实证研究，模拟出利率期限结构，进而分析利率期限结构变动特点，预测 市场未来利率水平，为宏观经济金融管理和投资者投资决策提供参考依据。 本文的研究思路是，通过对利率期限结构理论和模型的介绍，选择三次多项 式函数模型作为我国国债利率期限结构的实证模型，并对该模型的有效性和适用 性进行评价，之后根据模拟出的我国国债市场利率期限结构( 即期收益率曲线) ， 分析我国国债利率期限结构曲线在形状、利率水平、变动方式等方面的特征，并 讨论了影响我国国债利率期限结构变动的因素，对我国国债利率期限结构变动的 影响。最后根据实证结论，提出了几点完善我国国债市场、国债利率期限结构的 建议。 研究方法：本文在研究过程中主要运用了定性分析与定量分析相结合的方法 以及实证分析与对比分析等研究方法。定性分析与定量分析是贯串全文的研究方 法。本文对利率期限结构相关定义、理论模型的介绍，以及实证结果分析等均属 定性分析；运用实证方法，在实证数据基础上，得到了我国国债利率期限结构。 因此，定性分析既是定量分析的基础，也是对定量分析的进一步阐发。参照美国 等其他国债市场相对成熟的国家的经验数据时，使用对比分析的研究法分析了我 国利率期限结构变动特点和国债市场存在问题，为完善国债市场、国债利率期限 结构提供了依据。 研究用到的知识有：计量经济学、货币金融学、时间序列分析等。 数据处理工具为：e v i e w s 、s p s s 、e x c e l 。 1 3 本文基本框架及创新点 本文主要由五个部分组成： 第一章绪论。该部分主要介绍了选题背景，研究思路和方法以及基本框架。 第二章，首先介绍了利率期限结构相关概念，介绍了传统的利率期限结构理 论，并重点介绍国外成熟的利率期限结构理论体系，分析了其中几个重要的利率 第一章绪论 期限结构模型， 第三章，介绍了我国国债利率期限结构形成机制，以及国债收益率的相关概 念，并回顾了我国利率期限结构的实证方法和研究现状。 笫四章，实证研究部分。在对目前国际上比较成熟的模型对比之后，选择三 次多项式方法，根据我国上海证券交易所2 0 0 7 年4 月份国债基础数据，进行静态 模型构建，得到国债利率期限结构曲线。并运用主成分分析方法对我国国债利率 期限结构的形状特点、变动动因，以及变动方式进行研究分析。 第五章，结论部分。这部分总结了第四章的研究结果，得出结论，提出建 议。 创新点：对三次多项式模型在实际应用中待偿期限f 的界定进行了改进，使 之更加贴近实际情况。 第二章利率期限结构理论综述 第二章利率期限结构理论综述 收益率曲线是描述利率期限结构的重要工具。在图表上是指可观察到的不同 形状的收益率曲线。一般来说，收益率曲线形状大致有4 种情况，即向上倾斜的、 向下倾斜的、拱形的和平坦直线型的。利率期限结构理论就是要说明是什么因素 决定了收益率曲线的不同形状。严格来说，利率期限结构和收益率曲线还是有区 别的，但在零息票国债的情况下两者是相同的。利率期限结构理论的发展可以分 为两个阶段：传统的利率期限结构理论和现代的利率期限结构理论。利率期限结 构理论的最新发展主要表现在三方面：其一是对各利率期限结构理论之间关系的 阐述；其二是从实证研究角度对各利率期限结构理论进行检验；其三是出现了全 新的利率期限结构理论，或者说是一种新的建模方法，即随机过程分析方法。 2 1 传统利率期限结构理论 传统的利率期限结构理论1 1 指的是7 0 年代末实行利率市场化政策以前形成 的理论，主要是从定性的角度讨论市场上存在的利率期限结构的形状、它们的形 成原因以及所代表的含义。主要包括以下三种理论：无偏预期理论、流动性偏好 理论、市场分割理论。 2 1 1 无偏预期理论 该理论首先由费雪( i f i s h e r ) 于1 8 9 6 年提出，并由希克斯( j r h i c k s ) 和 卢茨( f l u t z ) 等发展和完善起来，认为远期利率等于市场整体对未来短期利率 的预期。预期理论存在如下前提假设：金融市场是完善和有效的；投资者追求利 润最大化：金融资产可以替代，资金可以自由流动：市场对未来短期利率水平的 预期是一致的：没有税收和交易成本。 同时长期利率与短期利率存在如下关系： b = ( 1 + 吒) ( 1 + ) ( 1 + 吩) ( 1 + 名) 一l ( 2 - 1 ) 其中，疋为长期利率，刀为其年限，；为目前短期利率，、匕为将来 ( 从第2 年开始) 预期的每年短期利率。预期理论的长、短期国债可以相互替代 的观点为人们普遍接受，但其完善、确定的市场，完全自由流动的资金和一致性 预期的前提假设是不符合当前经济社会的现实，而且预期理论忽视了风险因素。 第二章利率期限结构理论综述 2 1 2 流动性偏好理论 该理论由凯恩斯( j m k e e s ) 最早提出，由希克斯( j h i c k s ) 加以完善， 认为风险避免因素将影响利率期限结构。随后，豪根( 凡a h a u g e n )、米凯塞 森( i b m i c h a s e l s e n ) 、考夫曼( g g i u f b l 锄) 等人又从不同角度发展了流动 性偏好理论。流动性偏好理论认为风险避免和预期是影响国债利率期限结构的两 大因素，米凯塞森认为应将预期和风险回避两因素结合起来，在流动性偏好利率 期限结构理论中，长期利率等于现在短期利率和预期未来短期利率及相关的流动 性报酬的几何平均数，即： ( 1 + 兄) ”= ( 1 + ，i ) ( 1 + 眨+ 厶) ( 1 + 吩+ 如) ( 1 + + t 一。) ( 2 - 2 ) 其中，厶t 一为未来各时期的流动性报酬。流动性偏好理论认为风险与收 益具有正相关，说明了短期国债利率和长期国债利率间的利差( 即流动性报酬) 是 风险和机会成本的补偿。流动性偏好理论的局限性在于：一是难以获得准确的流 动溢价；二是没有充分的理由认为流动溢价是固定不变的，而且流动溢价可能发 生种种影响混淆了试图从期限结构中抽象出预期值的尝试。 2 1 3 市场分割理论 市场分割假设的基本命题是：期限不同的债券市场是完全分离或独立的，每 一种债券的利率水平在各自的市场上，由对该债券的供求所决定的，不受其它不 同期限债券预期收益变动的影响。该假设中隐含着这样几个前提假设：( 1 ) 投 资者对不同期限的债券有较强的偏好，因此只关心他所偏好的那种期限的债券的 预期收益水平。( 2 ) 在期限相同的债券之间，投资者将根据预期收益水平的高 低决定取舍，即投资者是理性的。( 3 ) 理性的投资者对其投资组合的调整有一 定的局限性，许多客观因素使这种调整滞后于预期收益水平的变动。( 4 ) 期限 不同的债券不是完全替代的。这一假定和预期假设的假定正好相反。一般而言， 持有期较短的投资人宁愿持有短期债券，而持有期较长的投资人可能倾向于持有 长期债券。由于投资人对特定持有期的债券具有特殊的偏好，因而可以把债券的 不同期限搭配起来，使它等于期望的持有期，从而可以获得确定的无风险收益。 按照市场分割假设的解释，收益率曲线形状之所以不同，是由于对不同期限 债券的供给和需求不同。( 1 ) 收益率曲线向上倾斜表明，对短期债券的需求相 对高于对长期债券的需求，结果是短期债券具有较高的价格和较低的利率水平， 长期利率高于短期利率。( 2 ) 收益率曲线向下倾斜表明，对长期债券的需求相 对高于对短期债券的需求。结果是长期债券有较高的价格和较低的利率水平，短 期利率高于长期利率。( 3 ) 由于平均看来，大多数人通常宁愿持有短期债券而 第二章利率期限结构理论综述 非长期债券，因而收益率曲线通常向上倾斜。 市场分割理论也存在一定的缺陷。由于该理论认为期限不同的债券市场是完 全分割的，某种期限的债券收益率上升不会影响其它不同期限债券的收益率，因 而它不能解释期限不同的债券收益率倾向于一起变动的这种经验事实。 总之，由于传统的利率期限结构理论都仅是从定性的角度讨论市场上存在的 利率期限结构的形状、形成的原因以及所代表的含义，己不能适应金融市场的快 速发展，更不能用来分析金融市场的微观结构，指导衍生产品定价，规避利率风 险。现代的利率期限结构理论就是在这种背景下产生了。 2 2 现代利率期限结构理论 2 2 1 现代利率期限结构理论回顾 传统利率期限结构理论很大程度上停留在假说阶段，缺乏相关量化模型。而 现代利率期限结构研究，则注重用复杂的数理模型描述利率运行轨迹。现代利率 期限结构理论研究始于2 0 世纪7 0 年代末，其思想源头可以追溯到1 9 7 3 年 b k k - s c h o l e s ( b s ) 模型的建立，自此利率期限结构理论的发展可以大致分为 四个阶段： 第一阶段始于b l a c k s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 【2 】模型和m e 哟n ( 1 9 7 3 ) 【3 】模型的创立。 这些模型根据对基础资产的对数正态分布的假设，得到一个用累计正态分布密度 函数表示的解析解。服从对数正态分布的基础资产包括国债、即期利率、远期利 率和互换利率等。一般用b l a c k s c h o l e s 模型定价的利率产品可分为两大类一国 债产品和l i b o r 产品( 如利率上限、互换期权等) 。 早期b l a c k s c h o l e s 模型在应用于利率衍生品定价领域时，受到的主要批评 在于国债具有随到期日的临近市价逐渐回复到面值的现象，即国债价格的波动性 在接近到期日时会减少，这与b l a c k s c h o l e s 模型中假定常数波动率不符，这一 缺陷推动了收益率曲线模型的发展。 第二阶段的特征是提出了早期的收益率曲线模型【4 】。该阶段发现了利率过程 的随机性质，用随机游走模型来描述短期利率的运行轨迹，其特点是假定收益率 曲线只被一个变量短期利率r ( f ) 驱动，( ，) 可以用一个均值回复的随机过程 表示。由于只有一个不确定性来源，可以很容易的构造出无风险组合为其他衍生 产品定价。v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 【5 】首先提出了一个均值回复的期限结构模型，c o 】【， l n g e r s o l l 和i b s s ( 1 9 8 5 ) 【6 j 进一步把期限结构理论推广到一般均衡框架下的经济 环境中去。c 瓜模型保留了短期利率围绕均值变动的性质，但是与v 硒i c e k 模型 第二章利率期限结构理论综述 假设固定方差的做法不同，它允许短期利率的方差与短期利率的平方根成正比。 这两个模型都预先规定了利率动态变化的具体结构，然后描述期限结构基于经济 基础变量的系统变动。 一般把v a s i c e k 模型和c m 模型归于“均衡模型”一类，因为这些模型明确规 定了风险的市场价格，可以得到一个一般均衡的经济状态。许多学者进一步把这 两个模型扩展到期限结构的动态变化受多个因素影响的情况( 如瞬时短期利率、 长期利率的随机均值、短期利率的随机波动性等) ，即多因素模型。单因素和多 因素模型的参数都可以根据利率和国债价格的历史数据估计出来，可以用来给政 府国债和国债期权定价。但是在其它时点上，根据这些参数得出的国债价格往往 与市场价格不同，因此有助于国债投资者根据有关经济基础变量的模型假设，找 出国债可能存在的定价错误。但是在利率衍生品定价、曲线拟合与风险管理等领 域要求能够精确拟合收益率曲线的模型，此时均衡模型存在较大的局限性，因此 产生了套利模型。 第三阶段的标志是套利模型的出现，代表模型是b l a c k - d e m 觚t 0 y 模型 【7 1 h u l l w h i t e 模型8 删以及作为其特例的v 嬲i c e k 和c m 的扩展模型，他们的共同 特征是模型的均值回复项都是时变的，可以通过调整均值回复项拟合任意形状的 初始收益率曲线。 套利模型和均衡模型有着类似的结构，区别在于它们用不同的量来拟合模型 参数。均衡模型明确规定了风险的市场价格，并且假设模型参数与时间无关，因 此可以用历史数据统计得出。经济学家通常用均衡模型来理解利率期限结构的形 状，并对未来经济状况进行预测。交易商却更喜欢使用套利模型，因为这些模型 已经经过拟合，基础证券的模型价格与市场价格一致。 第四阶段为h 删模型【1 0 】类阶段。在实践中，利率衍生品定价要求从利率模 型中导出的国债价格与观察到的初始期限结构一致，以便对基础证券进行套期保 值。为避免套利机会，套期保值投资组合中的衍生品价格应该基于基础证券的市 场价格制定。出于这一目的，h o l e e 【l l 】最先提出用无套利条件来确定远期利率 漂移项和扩散项之间的关系。 h e a m ，j a 玎o w ，m o n o n ( 1 9 9 2 ) 【1 2 j 贝u 从初始市场收益率曲线出发，建立了整 个远期利率曲线演变的利率衍生品定价框架。 最早的h j m 方法可以追溯到1 9 8 7 年左右，但是由于h j m 类模型十分抽象， 数值计算困难，直到1 9 9 3 年到1 9 9 4 年间h j m 模型才开始应用于实践领域。在 砌m 类模型中，传统的求解析解、重合树等方法都已失效，代之以改进后的蒙 特卡罗技术。在克服了h 蹦模型拟合困难后，可以避开一些难以估计的变量， 如短期利率的回复水平、回复速度和波动率等，直接通过一些可交易产品表述未 第二章利率期限结构理论综述 来利率的各种特征。 下面将在均衡框架和套利框架下讨论典型的利率期限结构模型。 2 2 2 利率期限结构的均衡模型分析 均衡模型首先对经济变量的动态过程做出具体的假定，然后给出在这种假定 下利率期限结构所应遵循的变化方式。在均衡模型中风险的市场价格是外部确定 的。虽然在实务中较少直接使用均衡模型，但它能够提供利率变化的经济动因， 为套利模型打下理论基础。 根据均衡模型中所设定的影响因子的多少，可将其分为单因素均衡模型和多 因素均衡模型。 ( 一) m e r t o n 模型 m e r t o n 于1 9 7 3 年首先提出了一个最简单的单因素模型： 毋= 出+ 耐彬 ( 2 - 3 ) 其中，仃为常数，则风险的市场价格旯也为常数。 该模型中，在给定时刻j ，s f 的信息集合时，时刻f 的短期利率服从正态分 布，即 ，( f ) l r ( 名) 一( r ( s ) + ( f j ) ，c o s ) ) 其中， r ( ) 是由生成的盯一代数，且如果o ，其条件均值将随时间f 的增加而增加。 由无套利第一定理【1 3 1 可推出零息债券曰( f ，丁) 在m e r t o n 模型下的价格方程为： 1 b o ) + 仃2 易一培+ 一名仃 所= o z 结合边界条件b ( 丁，r ) = l ，可以得到贴现债券的价格： 口( f ，r ) = e x p o 一丁) ，( f ) 一去( 丁一f ) 2 ( 一旯仃) + ( r f ) 3 仃2 】 ( 2 - 4 ) zd 又根据r ( f ，丁) ：一掣，可以得到贴现债券的收益率尺( f ，r ) 为： 一f 尺( f ，丁) = r o ) + 去( r 一，) ( 一无口) 一( 丁一，) 2 仃2 ( 2 5 ) zo 从该式中可以看出m e r t o n 模型下的收益率期限结构等于瞬时短期利率加上 一个关于自变量( 丁一力的开口向下的二次函数。由于，( f ) 是正态分布的，故r ( f ，r ) 也是正态分布的，其分布形式为：给定在s ，s f 的信息集合时，时刻f 的。 尺( f ，r f ) i i ( ) 一( 尺o ，丁一f ) + o s ) ，口2 0 j ) ) 从中可以看出，到期收益率的波动性，o s ) 独立于剩余期限( 丁一f ) ，说明 m e r t o n 模型下波动性的期限结构是一水平函数。 m e n o n 模型的主要缺陷有两点：首先，由于r ( f ) 对v f 0 固定时是一个均值 第二章利率期限结构理论综述 为r ( 0 ) + ，方差为f 仃2 的正态分布，由于任何正态分布的随机变量可以以正的 概率取负值，因此m e n o n 模型违反了市场对利率的非负性假定；其次，当0 时，- ( f ) 的均值是f 的单调增函数( o ) 或单调减函数( o ) ，此与利率具有的 均值回复性的波动方式不符。 ( 二) v a s i c e k 模型 v 酞i c c k 于1 9 7 7 年提出了一个满足均值回复性的利率方程，模型形式如下： 咖= 赳m 一，( f ) 】衍+ 仃( ，f ) d 形 ( 2 6 ) 其中，七，巩盯为常数，显然，( f ) 是围绕利率的长期均值脚上下波动，参数七 反映了利率回复到七的速度。 该模型中，在给定时刻s ，j f 的信息集合时，时刻f 的短期利率服从正态分 布，即 ，( f ) i r ( ) 一( ，( s ) + o s ) p - 卜”，兰_ ( 1 一p - 2 卜曲) ) z 庀 贴现债券b ( f ，丁) 在i c e k 模型下的价格方程为： b o ) + i 盯2 露一厂o ) b + 后秒一，o ) 一五秒】b ，= o 结合边界条件b ( r ，丁) = 1 和f = 丁一，并进行变量替换，可以得到贴现债券的 价格： 召( f ，丁) = e ) 【p 【么( f ) 一b ( f ) r ( f ) 】 ( 2 - 7 ) 其中， 肿) = 丢( 1 一) + 妻( 护一等一争( 1 可啾f ) b ( f ) = ( 1 一矿础) 同样，根据尺( f ，r ) ；一掣，可以得到贴现债券的收益率尺( f ，丁) 为： 蜘卜船一? 卅嘉”p 埘，+ 抄警一和一，协8 ， 一( 秒一竿一为f 在v 如i c e k 模型中，贴现债券的收益率和波动率分别是r ( f ) + 力盯( 1 一p 础7 ) 尼和 仃( 1 一p _ 7 ) 尼，在给定的风险市场价格力下，收益率和波动率随到期期限f 的增 加而非线性增加。 v b i c e k 模型存在的一个显著问题就是由于( h u s s 分布的对称性造成不能保 证，_ ( f ) 的非负性。当，( f ) 代表的是扣除通货膨胀后的实际利率时该非负性可以解 释，但当，( f ) 代表的是名义利率时，该非负性蕴涵着无风险的套利机会，因此是 十分危险的。所以从以上意义来讲，v a s i c e k 模型对，( f ) 的描述虽不能判定为错， 第二章利率期限结构理论综述 但由于对利率的绝大多数实证和实际操作都是基于名义利率，所以很大程度上造 成了不便和误解。 ( 三) c o x i n g e r s 0 1l r o s s 模型 c o x i n g e r s o l l r 0 s s 于1 9 8 5 年提出的c 限模型，是一个持续竞争经济的一般 均衡模型。该模型的基本假设是每个投资者都通过对单一商品的选取达到预期效 用的最大化，而这一商品是通过有限状态的技术生产出来的。因此，在最优选取 中通过最优消费水平，财富中投资于每个生产过程的最优比例，以及投资于各种 债券或衍生品的最优比例，来达到期望效用的最大化。在一般均衡条件下，可得 到一个平方根过程： c 咖= 后【口一，o ) 】衍+ c r ，( f ) d 彬 ( 2 - 9 ) 其中，七，秒，仃为常数，r ( f ) 是围绕利率的长期平均值9 上下波动的，参数后 反映了利率回复到护的速度，短期利率变化的方差与利率水平的平方根成正比。 ( 1 ) 短期利率，( f ) 的分布 给定在时刻s 的信息集合，在时刻f ，s f ，r ( f ) 服从z 2 分布，其均值和方差 为： 廓( ，o ) i ，( ) ) = 口+ ( ，( f ) 一口) p 一“卜d 怫( ，( f ) l ，( ) ) = ，( s ) 军( e 叫一p 训h ) + 口( 要) ( 1 一p 州细) 2 ( 2 1 0 ) 托二， 均值为短期利率的当前值和无条件均值秒的加权平均，权重为正，并且总和 等于1 ，反映了短期利率的均值回复性。 当f 哼o o 时，方差趋近于常数，且逐渐变得独立于时刻s 时的信息集， 驻m 廓( ，( f ) i f ( ) ) = o 2 ( 2 1 1 ) 娥( ，( f ) l ，( ) ) = 秒( 斧 ( 2 ) c i r 模型的评述 1 c i r 模型中的利率过程r ( f ) 具有非负性，由公式可知，当r ( f ) 专0 时，漂 移项恒为正数，而扩散系数仃，( f ) 也以利率平方根的速度趋近于零，这表明利 率的波动性也趋近于零，从整体来看预期的利率变化咖( f ) 为正数，保证了利率 不会降到零以下。 2 c m 模型中的利率过程r ( f ) 具有均值回复性，回复速度为后。 3 与m e r t o n 和v a s i c e k 模型不同的是，c m 模型下风险的市场价格不再是 常数，而是取决于短期利率水平，此时兄( ，) = 九以肛。 4 c 瓜模型可以产生的收益率曲线的形状比较有限，不及其他单因素模型 丰富。 ( 3 ) c i r 模型下的债券定价方程 第二章利率期限结构理论综述 贴现债券b ( f ，r ) 在c m 模型下的价格方程为： b o ，r ) = e x p 【钺f ) 一b ( f ) ，o ) 】 ( 2 - 1 2 ) 其中，彳( f ) ：掣l n c r 。 竺 弦2 y c 。s 弦+ 三s i n h 芦川咿| - 毒 可以看出贴现债券价格对数与短期利率，( f ) 呈线性关系。 又根据尺( f ，丁) = 一= l - l n b ( f ，丁) 和f = 丁一f ，可以得到贴现债券的收益率 r ( f ，丁) 为： 啪) = 专即m 沪号半即 ( 2 1 3 ) 其中，r ( f ，) = _ ，表明c 瓜模型的长期利率收敛于正常数。 k 七 o + y 在原概率尸下，贴现债券的收益率和波动率分别是，( f ) ( 1 + 力盯召( f ) ) 足和 ( f ) 仃b ( f ) 。如果风险市场价格旯( f ) 为正，收益率和波动率随到期期限f 的增 加而单调增加，当到期日f 趋近于o 。时，分别达到极限值，( f ) ( 1 + 2 允卅( 七+ 7 ) ) 和 厂) ( 七一彳) ，其中七= 七一元仃。 贴现债券的收益率r ( f ，丁) 的表达式表明其是短期利率和无穷到期日收益率 的加权组合，权重严格为正。在相同模型参数的条件下，基于c m 模型的利率 通常比基于v a s i c e k 模型的利率更低，这是因为在c m 模型中短期利率的瞬时波 动率与短期利率的平方根成正比。 通过对b ( f ，丁) 和尺( f ，丁) 的分析可以看出，b ( f ，r ) 是t 的减函数，还是短期利 率的递减的凸函数，这是符合实际的。同时b ( f ，丁) 还是利率方差的递增凸函数， c o x 等人对此的解释是：当方差较大时，未来的生产机会与消费有较大的不确定 性，风险厌恶型的投资者就会对债券提出较高的定价。 2 2 3 利率期限结构的无套利模型分析 无套利模型就是以市场债券价格( 即当前的利率期限结构) 作为输入变量， 并相应为利率衍生产品定价的一种方法，因此这一类模型不能发现基础债券定价 的错误。但是就像股票期权定价中的b l a c k s c h o l e s 模型一样，基础资产的定价 错误不会影响对衍生产品的定价。 均衡分析的着眼点常常在均衡的存在性和均衡的变动情况上，而无套利定价 方法是对金融市场中的某项头寸进行估值和定价，分析的基本方法是将这些头寸 与市场中其他金融资产的头寸组合起来，构筑起一个在市场均衡时不能产生无风 险利润的组合头寸，由此推算出该项头寸在市场均衡时的价值，即均衡价格。 第二章利率期限结构理论综述 当市场处于不均衡状态时，价格偏离了由供求关系所决定的价值，此时就出 现了套利的机会。而套利力量将会推动市场重建均衡，市场一旦回复均衡，套利 机会就会消失。市场的效率越高，重建均衡的速度越快。无套利分析的意义在于 认识到虽然在金融市场中各个市场参与者想法各异，尤其是各人的风险偏好很不 一样，但是只要出现套利机会，所有的市场参与者就都会抓住机会去套取无风险 利润。而套利机会消除后所确定的均衡价格，就与市场参与者的风险偏好无关。 因此，无套利分析的思路是非常巧妙的，它抓住了金融市场均衡的最为本质的特 性。 由市场供需关系所主导的市场价格均衡，一旦价格失衡，就会有许多参与者 只对自己的供需状况做有限的调整。套利则不然，一旦出现套利机会，每一位套 利者都会尽可能大的构筑套利头寸。从理论上讲，因为金融市场允许卖空，所以 只需要少数几位( 在理论上甚至只需一位) 套利者就可能重构市场均衡，因此无 套利均衡比供需均衡所产生的市场推动力要强的多，重建市场均衡的速度也要快 的多。这就是金融市场的效率为什么要比其他的商品市场和服务市场高的多的原 因。 从对金融市场的无套利均衡分析角度出发，国外学者构建了大量的套利模 型，下面介绍几个主要的模型。 ( 一) h o l e e 模型 h o 和l e e 认识到在，0 ) 以随机游走方式运动时，只需允许，( f ) 的漂移量可 以随时间改变就能够拟合任意一种形式的初始期限结构，这一发现为利率模型的 拟合研究提供了新的建模途径，下面对离散形式的h o l e e 模型进行简单介绍。 假定b ( o ，丁) 是初始的期限结构，它来自于市场上所有不同期限的零息债券 的观测值。对于自然数刀，b ( ，z ，丁) 为第刀期的价格。假定在每一期仅有两个可变 的状态：和d ，则b ( 以，丁) 满足 b ( 刀，丁) ：黧办( 刀，磊，丁) ( 2 1 4 ) 一7 b ( 刀一l ，z ) 一”7 7 其中，磊是一列独立的随机变量，当乞= 时，表明状态发生；当磊= d 时表明状态d 发生。设p 己= = 只，尸 己= d _ 1 一只，由于无套利条件的限制， 只的选取不是任意的，必须满足 e ( b ( r ) b ( ”一1 ，r ) ) = 尝睾鲁三圭等 ( 2 一1 5 ) 即办( 以，j r t ) + ( 1 一只) 办( 聆，d ，r ) = 1 ，为计算方便，假定e 是与”无关的常数， 设= 万，则上式变为 万办( 玎，) + ( 1 一万) 厅( ，们= 1 其中，j i l ( 胛，磊，丁) 称为扰动函数，且形式不唯一。h o 和l e e 给出了| l l ( 玎，磊，r ) 第二章利率期限结构理论综述 的一种简单函数形式： 办( 刀，) 2 二斋而( 刀，d ) 2 二南 其中，0 f 时，远期利率曲线的随机漂移项，w 为定义q 在上的样 本点； q ( f ，丁，叻：随机波动函数i ，i _ l ，n ，这里丁 f ，w 为定义q 在上的样本点。 对于给定的初始远期利率曲线( 0 ，丁) ，远期利率的演变过程可以用( 2 - 2 8 ) 式的 积分形式表示： 第二章利率期限结构理论综述 o ，丁) = ，( o ，丁) + p ( y ，r ，渺+ 芝i ( ，r ，w ) d 形( ，) ( 2 2 8 ) o uo 由( 2 2 8 ) 式可以推导出即期利率，( f ) 如下式： ，( f ) = ( o ，f ) + p ( u 丁，啪+ 羔i ( 1 ，丁，w 矽形( 1 ，) ( 2 - 2 9 ) o oo 无套利条件对波动项的漂移做了约束，即所谓的远期利率漂移条件： ” r h 口( f ，r ，w ) = q ( f ，丁，奶q ( f ，1 ，w ) 咖一q ( f ，r ，w ) 乃( f ) ( 2 - 3 0 ) ，- l f j = l 由于上式中，a 必须独立于债券的到期日，因此以等于零变换。因此，根据等鞅 ( e q u i v a l e mn 埘位i g “e ) 【1 8 1 测度，漂移约束可以表示为： 口( f ，r ，w ) = q o ，r ，w ) f 五o ，啪 ( 2 - 3 1 ) f = 1 ， 将远期利率的动态漂移项代入到( 2 2 8 ) 式，即推导出在等鞅测度下的远期利率 的随机过程。该随机过程可以表示为： 矽o ，丁) 寻f 主q o ，丁，叫k o ，1 ，叻咖l 加+ 主q 以r ，喇矿以) ( 2 3 2 ) “ f 。5 1 ( 2 3 2 ) 式中，矿，( f ) 是基于等鞅测度的维纳过程。如上式我们知道，在等鞅 测度下，风险的市场价格已经消失，远期利率的动态机制只是远期利率波动率的 唯一函数。由此可见，对于m 模型，不同的波动率函数导致不同的h 似模型。 例如对于单因素的m m 模型，如果波动率是常数，即仃( f ，丁) = 仃，我们就得到 了h o l e e 模型( 1 9 8 6 ) 。如果波动率是指数衰减型，即仃( f ，丁) = 仃e x p ( 一兄( r f ) ) ， 我们就得到了扩展v a s i c e kh u l l w h 慨模型( 1 9 9 3 ) 。其他的短期利率模型也可以 从单因素砌m 模型中衍生出来。 对于到期日为t 的零息票债券，时刻f 的价格，p ( f ，丁) 是由远期利率的期限 机构决定的。远期利率也可以表示为零息票债券价格的函数。如下式表示： rt、 p o ，丁) = e x p l i 厂o ，z ，) 砌i ( 2 3 3 ) l? 厂o ，乃：一掣 ( 2 - 3 4 ) 对于h 删模型，货币市场帐户作为计价单位，具有重要的作用。假设初始 时间0 时刻，单位货币市场帐户的价格表示为b ( f ) ，则货币市场帐户的价格可以 表示为即期利率的函数，如下式： 厂，、 b ( f ) = e x p | i r ( “) 幽i ( 2 3 5 )