（应用数学专业论文）关于退化时滞微分系统稳定性的若干问题.pdf

摘要 摘要 近些年来，随着社会的发展和科学技术的进步，时滞微分方程( d e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ) 的具体模型广泛地存在于近代物理学，航天控制学，生态学，管理学，经 济学等许多科学与工程领域中由于常微分方程的经典模型往往是一种理想状态， 有时一些微小的时滞也会对系统造成重大的影响因此，时滞微分方程能够更加精 确地刻画事物的运动规律从而人们对微分系统中时滞现象的研究产生了很大的兴 趣，形成了世界性的浪潮时滞是自然界中广泛存在的一种物理现象，时滞的存在 使系统的稳定性分析变得更加困难动态系统理论中的一个重要问题就是系统的稳 定性分析，因为稳定性是一个动态系统的基本要求一切控制系统能正常运行的必 要前提是稳定 本文就时滞微分系统稳定性，渐近稳定性，以及广义时滞微分系统数值稳定性， 做了一些探讨给出了一些判定这几类稳定性问题的条件详细证实了这些条件的 可行性，同时给出了这几类稳定性问题的判定准则其结果对退化时滞微分系统解 的稳定性的研究与发展起到了_ 定的推动作用 本文的主要研究方法是利用l y a p u n o v 泛函( 简称v - 泛函) 和线性多步法，对 于般的自治退化时滞微分系统的稳定性给出其v - 芝函判定定理然后对一种特 殊的退化时滞微分系统，即差分微分系统与差分系统的混合系统，给出个具体的 v - 泛函和相应的定理对于线性多步法，本文主要证明求解此类微分系统的线性多 步法渐近稳定的充要条件是线性多步法是a 稳定的 此论文共由五章组成，主要讨论一类中立型时滞微分系统的渐近稳定性，时变 i 摘要 多时滞广义不确定系统的稳定性，时滞微分系统数值稳定性以及广义时滞微分系统 的渐近稳定性和数值分析 第一章叙述了问题产生的背景与意义及本文所做的主要工作 第二章讨论一类线性中立型时滞系统的渐近稳定性，通过线性矩阵不等式 ( l m i ) 和l y a p u n o v 泛函的应用，给出判定此类线性中立型时滞系统渐近稳定的充 要条件 第三章利用l y a p u n o v 泛函讨论一类时变多时滞广义不确定系统的稳定性， 并给出了相应的判定定理 第四章考虑了时滞微分系统的初值问题，分析了用线性多步法求解一类滞后 型微分系统数值解的稳定性问题，在一定的l s g r a n g e 插值条件下，给出并证明了求 解滞后型微分系统的线性多步法数值稳定的充要条件 第五章在第四章的基础上进一步讨论了广义时滞微分系统的渐近稳定性和 数值分析在一定的条件下给出并证明了求解广义滞后型微分系统的线性多步法数 值稳定的充要条件 关键词：退化时滞微分系统；中立型； v - 泛函；稳定性；渐近稳定 性；不确定系统；线性多步法 i i a b s t r a c t a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs o c i e t ya n dt h ep r o g r e s so fs c i e n c e a n dt e c h n o l o g y , t h es p e d t l cm o d e l so fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n se x t e n s i v e l ye x i s t i nm o d e m p h y s i c s ，s p a c ec o n t r o ls t u d y , e c o l o g y , m a n a g e m e n t ，e c o n o m i c sa n dm a n y o t h e rs c i e n t i f i ca n de n g i n e e r i n gn e l d s a so r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n su s u a l l y b ea ni d e a ls t a t eo ft h ec l a s s i c a lm o d e l ，s o m e t i m e st h es m a l ld e l a yw i l lh a v ea n y s i g n i f i c a n ti m p a c to i lt h es y s t e m t h e r e f o r e ，d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sd e p i c tt h e m o v e m e n t so ft h i n g sm o r ea c c u r a t e l y t h u s ，p e o p l ea r ei n t e r e s t e di nt h er e s e a r c h o fd e l a yi nd i f f e r e n t i a ls y s t e m s ，w h i c hb r i n gag l o b a lt i d e d e l a yi st h ew i d e s p r e a d p h y s i c a lp h e n o m e n o no fn a t u r e t h ee x j s t e n c eo fd e l a ym a k e st h es t a b i l i t ya n a l y s i s m o r ed i f f i c u l t t h es t a b i l i t ya n a l y mo fd y n a m i c a ls y s t e mt h e o r yi sa ni m p o r t a n t i s s u e ，b e c a u s ei ti sab a s i cr e q u i r e m e n ti nd y n a m i cs y s t e m t h es t a b i l i t yi st h e n e c e s s a r yp r e c o n d i t i o ni no r d e rt om a k ea l lc o n t r o ls y s t e m so p e r a t en o r m a l l y w ea l s op r o v i d e ds o m es u g g e s t i o n sa b o u tt h es t a b i l i t y , a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f d e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s ，a n da l s op r o v i d e ds u g g e s t i o n sa b o u tt h en u m e r i c a ls t a r b i l i t yo ft h eg e n e r a l i z e dd e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s f o rt h e s es t a b i l i t yi s s u e s ，ig a v e s o m ec h e c k a b l ec o n d i t i o n s ，a n dc o n f i r m e dt h ef e a s i b i l i t yo ft h e s ec o n d i t i o n si nd e - t a i l s ia l e og a v et h ec r i t e r i af o rd e t e r m i n i n gt h et y p e so fs t a b i l i t yp r o b l e m s i t h i n kt h er e s u l t sm i g h tp l a yac e r t a i nr o l ei np r o m o t i n gt h er e s e a r c ha n dd e v e l o p - m e n ti nt h ef i e l do fs t a b i l i t yo ft h es o l u t i o n so nd e g e n e r a t ed i f f e r e n t i a ld e l a ys y s t e m s i i i a b s t r a c t t h em a i nm e t h o d sa r el y a p u n o vf u n c t i o n a l ( v - f u n c t i o n a l ) a n dl i n e a rm u l t i s t e p m e t h o d s ig a v ev - f u n c t i o n a lc r i t e r i af o rt h es t a b i l i t yo fd e g e n e r a t ed e l a yd i f f e r e n - t i a ls y s t e m s t h e nf o ras p e c i a ld e g e n e r a t ed e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m - - t h em i x e d s y s t e mo fd i f f e r e n c ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hd i f f e r e n c es y s t e m s ，ig a v eac o n c r e t e v - f u n c t i o n a la n dt h ec o r r e s p o n d i n gt h e o r e m f o rn n e a rm u l t i - s t e pm e t h o d s ，t h i s p a p e rp r o v e dt h a tl i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d si sa s y m p t o t i cs t a b i l i t yi fa n do n l yi fi t i 8a 一8 t a b l e t h i sp a p e rh a sf i v ec h a p t e r sw h i c hm a i n l yd i s c t l 蝴t h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t y o fan e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m ，t h es t a b i l i t yo fs i n g u l a ru n c e r t a i nd i f f e r e n - t i a ls y s t e mw i t hm u l t i p l et i m e - v a r y i n gd e l a y s ，n u m e r i c a ls t a b i l i t yo fl i n e a rm u l t i p l e m e t h o d sf o rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n da s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n dn u m e r i c a l a n a l y s i sf o rak i n do fs i n g u l a rd i f f e r e n t i a ld e l a ye q u a t i o n s c h a p t e r1d e s c r i b e dt h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo ft h ep r o b l e ma n dt h e w o r k w h a tt h ep a p e rd o n e c h a p t e r2 d i s c u s s e dt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fac l a s so fl i n e a rn e u t r a ls y s - t e m b yu s i n gl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sa n dc o n s t r u c t i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a l ，t h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fa s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea r eo b t a i n e d c h a p t e r3u s e dl y a p u n o vf u n c t i o n a ld i s c u s s e dt h es t a b i l i t yo fs i n g u l a ru n c e r - t a i nd i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hm u l t i p l et i m e - v a r y i n gd e l a y s ，t h e nac r i t e r i o nt h e o r e m w i l lb eg i v e n a b s t r a e t c h a p t e r4c o n s i d e r e dt h ei n i t i a lp r o b l e mo fd e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m a n a l y s i s e dt h es t a b i l i t yo fi t sn u m e r i c a ls o l u t i o n ，u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n so fl a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n ，g a v et h en e ( 强了a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n dt h e i rp r o o f s c h a p t e r5f u r t h e r m o r e ，o nt h eb a s i so fc h a p t e r 4 ，w ec o n s i d e r e dt h ea s y m p - t o t i cs t a b i h t ya n dn u m e r i c a la n a l y s i sf o rak i n do fs i n g u l a rd i f f e r e n t i a ld e l a ye q u a ， t i o n s u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，g a v et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n d t h e i rp r o o f s k e y - w o r d s ：d e g e n e r a t ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hd e l a y ；n e u t r a l ；v - f u n c t i o n a l ； s t a b i l i t y ；a s y m p t o t i cs t a b i l i t y ；u n c e r t a i nd i f f e r e n t i a ls y s t e m s ；l i n e a rm u l t i s t e p m e t h o d s v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获蚴数专其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 靴黻饼群：易，毗样嗍：印钳月n 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完”呖毳之争关保留、使用学位论文的规定i 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阕和 借阅。本人授燃以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文 学位论文作者签名 签字日期：函旬年仁月，日 学位论文作者毕业去向：磊7 扩已 工作单位： 通讯地址： 授权书) 导师签名 签字日期： l 皂犬李 电话 邮编 嘲辱毕茂3 - e j 矗沁 第一章绪论 第一章绪论 1 1 背景与意义 稳定性概念的出现，有悠久的历史了，早在1 7 世纪就出现过托里斯利( t o r r i c e n i ) 原理但在动力学里面，对应于稳定运动的严格的解的选择原理却未建立 稳定性的概念也早被拉普拉斯( l a p l a c e ) ，拉格朗日( l a g r a n g e ) ，马克斯威尔( m a x - w e l l ) ，庞加莱( p o i n c a r e ) 等采用过，但都无精确的数学定义因此，可以说，在这之 前，稳定性的般理论，迟迟没有形成 1 8 9 2 年，俄国数学力学家李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 的博士论文。运动稳定性的一 般问题。才给出了运动稳定性的严格，精确的数学定义和一般方法，从而奠定了稳 定性理论的基础 同时人们也发现，系统的退化现象也是实际系统的普遍现象从6 0 年代开始到 现在，关于时滞微分系统的研究已有长足发展而关于退化微分系统则是从7 0 年 代以来才有所研究所得结果越来越精确地描述了现实世界中的动态系统在摘要 中我们曾经提到；动态系统理论中的个重要问题就是系统的稳定性分析，因为稳 定性是一个动态系统的基本要求一切控制系统能正常运行的必要前提是稳定因 此如果将二者有机地结合起来进行研究，那么我想它的研究空间还是很大的本文 的立文之本正是如此下面我们简要地介绍一下退化微分系统的背景； 首先提出研究退化动态系统问题的是i - i h r o s e n b r o c k ，他在讨论复杂的电网系 1 王晓佳。关于退化时滞微分系统稳定性的若干问题 统中，建立了退化的微分系统，并对此作了比较系统的研究接着，d g l u e n b e r g e r 发现动态投入产出系统是典型的退化系统近1 0 年来关于退化系统的研究，也有 很大的进展 s l c a m p b e l l 的专著s i n g l l l a rs y s t e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 和b o - y a r i n c h e v u e 的s o l u t i o no fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fd e g e n e r a t es y s t e m ，非 常系统地总结了退化微分系统方面的许多论文的主要成果，已经成为退化微分系统 的经典论著 可以说，关于时滞系统和退化系统的研究，近年来已有非常大的发展，但是这 两方面的研究尚有许多问题需要进一步讨论稳定性分析就是其中之一稳定性的 重要意义，特别是退化系统中稳定性的意义，正如我们上文所表述的那样，小到一 个具体的控制系统，大至个社会系统，金融系统，生态系统，总是在各种偶然的 或持续的干扰下运行的承受这种干扰之后，能否保持预定的运行或工作状态，而 不至于失控，摇摆不定，至关重要 2 第一章绪论 1 2 本文所做的工作 受【1 】的启发，本文首先研究了如下一类中立型方程的渐近稳定性问题 n 主( t ) 一g 未0 一r ) = a z ( t ) + b z ( t 一以) = 1 初始状态t z ( t o + 口) = 妒( 口) ， v 口【- f ，0 】， ( o o ，妒) r + x q 彳 这里。( t ) 舻为状态向量，f = 攫黑n q ) ，时滞lb 为未知常数- c k r = g ( 【_ r ，0 】，舻) 为将区间【一no 映射到r “具一致收敛拓扑的连续函数的b a n a c h 空 间c 中元素妒的范数可设计为m i 。= s u pi 妒“最后给出一个系统渐近稳定 - t s t s 0 的判定准则 文【2 】首先对于一般的自治退化时滞微分系统 e ( t ) = l ( x t ) 的稳定性给出其v 泛函判定定理然后对一种特殊的退化时滞微分系统，即差分 微分系统与差分系统的混合系统； i 童1 0 ) = a 1 2 1 ( t ) + b n z x ( t 一1 ) + b 1 2 2 2 ( t 一1 ) in 2 ( t ) = x 2 ( t ) + b 2 1 z , ( t 一1 ) + b 2 2 2 2 ( t 一1 ) 给出一个具体的v 泛函和相应的定理 本文第三章在文 2 】的基础上采用与其类似的方法讨论了一类具有多时滞的广 3 王晓佳r 关于退化时滞微分系统稳定性的若干问题 义不确定系统的稳定性问题 圣0 ) = ( a + a ( t ) 净( t ) + ( 甄+ 鼠( t ) ) z 0 一气( t ) ) n i f f i l + ( 屿+ 埘j ( t ) ) f # 一h a t ) ) ， i f l y ( t ) = ( c + a c c t ) ) x c t ) + ( d + d i ( t ) ) x c t 一曩( t ) ) n t - 1 + 暑( + 奶( 。) ) ” 一h i ( ) ) ， 得到了上述不确定系统稳定性的充要条件 文【3 】，【4 j 的作者采用线性多步法和r u n g e - k u t t a 方法分别研究了多延迟中立型 系统 鲫) = 幻。) + 墨f ( t 一勺) + 绯一制，t 芝o ，zj = 1 【口( t ) = 9 ( t ) ，t 0 与广义中立型系统 i 口( t ) = l y ( t ) + m y ( t ，) + n i ( t ，) ，t 20 ， i ( t ) = _ p o ) ，t s 0 的数值稳定性与数值分析，得出了判定上述两类系统数值稳定的充要条件本文受 【3 】，【4 】启发，结合文【5 】，【6 】， r l 中的方法，进一步研究了滞后型微分系统与广义滞后 型微分系统的数值稳定性和数值分析也即本文中第四，第五两章所述之内容 本文就退化时滞微分系统稳定性的相关问题做了一些探讨，得到了若干结果 至于退化时滞微分系统的一些基本理论，可参考文献 1 】一m 另外，在本文的写作 过程中，对文献【19 】一 3 6 1 中的一些相关知识点，也进行了参考 4 第二章一类中立型方程的渐近稳定性 第二章一类中立型方程的渐近稳定性 2 1 引言 随着现代科学技术的发展，中立型微分系统的模型广泛地运用在博弈论，细胞 中酶反应动力学，遗传问题，控制理论等学科，人们对中立型微分系统的研究越来 越感兴趣，特别是对具有时滞的中立型系统稳定性的研究方面，许多学者已经获得 了很多有意义的结论如( 【8 ， 9 】，1 1 9 ) 考虑系统s ( t ) 一c 玢o r ) = 血( t ) - i - b i x ( t b ) ( 2 1 1 ) i = 1 初始状态t 。( t o 十口) 2 妒( 口) ，v 口6 【一7 ，0 】， ( 2 1 2 ) ( t o ，冗+ c 彳 这里$ ( t ) i v 为状态向量， f = l m i “ n n 丑) ，时滞r ，以为未知常数 g ，3 c ( 【一r ，0 】，舻) 为将区间卜f ，o 】映射到酽具一致收敛拓扑的连续函数的b a n a c h 空 间c 中元素妒的范数可设计为| i 。= b u pi v ( t ) t 一f s t o ( 妒) o ) ，则称y ( 纠为定 正泛函( 定负泛函) 定正泛函和定负泛函通称为定号泛函 引理2 2 2 ( 【2 】) ：对于系统( 2 2 1 ) ，如果存在一个定号的v - 泛函，使得畋2 t 3 1 ) ( 妒) 为一个与y ( 妒) 符号相反的半定号泛函或恒等于零，则系统( 2 2 1 ) 的解是稳定的 。 引理2 2 3 ( 【2 j ) ：对于系统( 2 2 1 ) ，如果存在个定号的v - 泛函，使得磁23 1 ) ( 纠 为个与y ( 1 p ) 符号相反的定号泛函，则系统( 2 2 1 ) 的解是渐近稳定的 6 第二章一类中立型方程的渐近稳定性 对系统( 2 1 1 ) ，令 2 3 主要结论 v ( t ) = h ( t ) + ( t ) 这里 v a ( t ) = ( z ( 茚一c x ( t r ) ) t p ( x ( t ) 一c x ( t f ) ) + j = l z o + 口) f s l x ( t + e ) d o + 差，q 。( 件p ) 7 s 2 z ( t + o ) d e ，( 2 3 1 ) v 2 ( t ) = 萎厶山( ) r s s z ( o g 薯瑚 十置，墨j z ( ) r s 4 z ( ) d 口， 其中p ，最舻n 0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是正定矩阵，v ( t ) 是正定泛函从系统( 2 1 1 ) ，我们 得到； n ( t ) = 岳陋0 ) 一c z ( t r ) 】7 p k ( t ) 一c x ( t r ) 】 + p ( t ) 一o x ( t r ) 7 p 蛊k ( t ) 一c x ( t r ) 】 + z 7 ( t ) s l x ( t ) 一x r ( t r ) s l z ( t f ) + 曼$ 丁o ) 岛z ( t ) 一苎z r ( t r n ) s 2 z ( t r n ) ：( + 量b i ) z ( t ) + 量b i 量c x ( t f 一豫) 量鼠c z o 一下) t p ( d 如) ) + ( d z t ) t p ( 似+ 量鼠) 霉( t ) ( 2 。3 2 ) + e 磊eg z ( t f 一仇) 一鼠c z ( t f ) ) 一2 ( d z t ) r 唁鼠喜。血( 件+ 叠耋鼠础十口一z k ) d at 4 ie 2 12 j + z t ( t ) s l x ( t ) 一x t ( t r ) s l x ( t r ) + 艺z t ( t ) s 2 z ( t ) 一釜z t ( t r n ) s 2 z ( t r n ) ， ，( t ) ( s 1 + 岛) 。( 亡) = ( d 瓤) r ( s x + 岛) ( d 魂) + ( d z t ) r ( 毋+ s = ) c z ( t r ) + z 7 0 一r ) ( 尹( 研+ s z ) ( d x t ) + x t ( t t ) ( 尹( s l + s 2 ) c x ( t r ) ， 7 王晓佳，关于退化时滞微分系统稳定性的若干问题 ( d x ) t ( ( a + b ) t p + p ( a + 三b t ) ) ( d z ) = 霉t o ) ( a + 苎b ) t p ( d z t ) + ( d x t ) r p ( a + 三b d z ( t ) 一霉r ( t r ) ( a + 量s ) t p ( d ) 一( d x t ) t p ( a + 量b | f ) z r ( t r ) ， 接下来，我们估计积分项的界t 一2 ( d x t ) 7 p 耋最喜厶( ) + i 曼= lk 量= l 最z o + e - r k ) d e l t = = 1 ：一2 ( d 现) r p 量最妻q a z ( t + o ) 一2 ( d 观) 7 p ( 垂最) 2 ，耋q 。o + 口一亿) 甜 t 墨lk = l 。 4 = lr ；l 量量，。【( d 魂) t p 妻届a r f l a t ( 量鼠) r p ( d z t ) + z t + 目) r 1 z + 一) j 棚 i ；lk = l”=1 i = i + 耋塞厶【( d 引7 p ( 耋b i ) 2 筋1 ( 耋鼠) 7 呸n 岛) 7 p ( ) + 苎z r o + 口一) r 2 z ( t + 口一强) 谢 由此，我们得到。 晓( t ) = ( d z t ) 7 ( & + a t p + p a i ) ( d x t ) + ( d 观) t s l c z ( t f ) + x t ( t 一r ) c t s i ( d z c t ) + a ，0 一r ) c r s l c z ( t r ) + x t ( t r ) ( 7 t ( a + 量鼠) r p ( d x t ) + ( d z t ) t p a l c 互。一r ) + 釜z t ( t f 一亿) c t ( 壹b i ) t p ( d x t ) 一$ t ( t f ) 矿( 苎b i ) t p ( d z t ) 一( d z t ) t p 垂b t c x ( t f ) + ( d z t ) 7 ，登晟妻c x ( t r 一亿) 一7 ( t r ) 毋z 0 一r ) ( 2 3 3 ) + 量z t ( t ) s 2 z ( t ) 一妻x t ( t r 一矗) s 2 z ( t r 一矗) + 苎亿( d 观) t p 量鼠a 兄f 1 a ，( 曼b i ) t p ( d z t ) + 壹亿( d z t ) 7 p ( 萎段) 2 j i l ( 曼鼠) t ( 量b i ) t p ( d z t ) + 妻。，( t + o ) r 1 z ( t + 口) 硼 + 妻。z t ( t + e n ) r 2 x ( t + 口一n ) 埘 由( 2 3 1 ) 我们可以得到t 蜘) = 鸯矿( f ) 噼) 一鸯厶，o 枷( t 枷矽 ( 2 3 4 ) i = l t = 1 i z 4 i + 登几z t ( t ) s 4 z o ) 一苎s o _ 矗x t ( t + e 一矗) 最z ( t + 口一几) 甜 、。 第二章类中立鍪 方程的渐近稳定性 最后，令r i = 岛，恐= s 4 从上文我们有 令 并且 v ( ”= m ( 力+ v 2 ( t ) ( d 妞) t ( 研+ ( a + 量b ) r p + p ( a + 垂晟) ) ( d 规) + ( d 茁t ) t s l c 。p r ) + 口了p t ) c t s , ( d z t ) + z r o r ) c r & c z ( t r ) + z r o f ) g r ( a + 量b i ) t p ( d x t ) + ( d 2 t ) r p ( a + 墨b d c z ( t r ) + ，壹z r ( t - - t - - 靠) c t ( 萎b i ) t p ( d z t ) 一z r ( t 一力c 叮( 量b i ) t p ( d z t ) 月= l = 1t = 1 一( d 瓯) 丁p 量b t c x ( t r ) + ( d x t ) r p 登鼠苎c x ( t r 一亿) 一x r ( t n & ( t r ) + 曼z t ( t ) s 2 z ( t ) 一量z r ( t r 一乃) 5 岛卫p r 一吒) + 量( d 规) r p 苎b , a s f l a t nb i ) t p ( d x t ) + 量亿( d 砚) r p ( 量最) 2 蜀1 ( 壹b f ) 7 ( 曼b 3 r p ( d z d + 量( d 规) 7 几( 岛+ s 4 ) ( d z t ) + 萎。t ( t r ) c r 几( 岛+ s 4 ) ( d z t ) + 量( d 以) t 以( 岛+ 最) c z 一于) + 量x r ( t 一一c 才气( 岛+ 黩) c k p 一力 ( 2 3 5 ) 我们定义 皿l l = 似+ 墨b i ) t p + p ( a + 墨b 0 + 岛+ 岛+ r t ( 岛+ 瓯) 皿2 2 = r ( s l + ) c s i + r c t ( 岛+ 瓯) g ， 皿3 3 = 一岛，皿“= 一r + 岛，田5 5 = - - t & ， m 1 2 = f s l + 岛+ r + ( s + 瓯) 】g + p a c , 皿1 3 = p ( 登b d c , a 4 = r + p ( 最) a ， i 5 = r p ( 且) 2 雪= 皿l l 皿1 2 皿1 3 雪毛雪2 2 0 霍品0 霍鼬 霍矗0 0 皿五0 0 9 皿1 4 皿1 5 00 00 皿“0 0 雪5 5 王晓佳t 关于退化时滞微分系统稳定性的若干问题 有 r = ( ( d 视) t ，z 7 ( t f ) ，z 7 ( t f n ) ，( 9 z d t , ( d x t ) 7 ) 矿r 7 皿r 0 为常数，妒( t ) 为已知向量函数受此启发，本章讨论 用线性多步法求解如下不同于系统( 4 1 1 ) 的滞后型微分系统( 4 1 2 ) 数值解的渐近 稳定性，将证明求解此类滞后型系统的线性多步法渐近稳定的充分必要条件是线性 多步法是a 一稳定的 鬻协卜吐甚 b m ， 其中a ，b c d x d , 妒( t ) ，z ( t ) = ( x l ( t ) ，z 2 ( t ) ，跏( t ) ) r 当t 0 时为未知函效， r 0 为常数 第四章时滞微分方程数值稳定性 4 2 理论解的渐近稳定性 定义4 2 1 ：时滞微分系统( 4 1 2 ) 称为是渐近稳定的，如果对于任意连续可微 初始函数妒( t ) 和时滞r 0 ，系统( 4 1 2 ) 的理论解。( t ) 满足 恕z ( t ) 2 0 为了求得系统( 4 1 2 ) 的特征方程，观察其指数形式的解 z ( t ) = e ( 4 2 1 ) 其中= ( 。1 ，；9 2 ，z d ) 丁c d 为特征向量把( 4 2 1 ) 代入( 4 1 2 ) 得到； ( 一a b e 一打如= 0 为使( 4 1 2 ) 有非平凡指数解，得如下特征方程， p ( a ，e 一1 7 ) = d e t x i a b e 一打) = 0 “2 2 ) 按m i r a m k e r 1 目理论，若 p ( a ，e 一1 ) = 0 = f k ( a ) 一r 0 ， 那么系统( 4 1 2 ) 是渐近稳定的，其中r 丑 引理4 2 1 ( 1 剐) ：系统( 4 1 2 ) 渐近稳定的一个充分条件是存在正常数g 和( ，使 得( 4 1 2 ) 过任意的p ，妒) 的解都满足 f z o ，妒) i g l ee e - 山( t 一町，t 仃 ( 4 2 3 ) 2 5 王晓佳r 关于退化时滞微分系统稳定性的若干问题 定理4 2 1 ：系统( 4 1 2 ) 的零解为渐近稳定的充分条件是( 4 2 2 ) 的所有根皆具 负实都 简证；由引理4 2 1 成立，可以看出( 4 2 3 ) 式成立即( 4 1 2 ) 的零解渐近稳定 引理4 2 2 ：系统( 4 1 2 ) 是渐近稳定的，如果其系数矩阵满足条件 觑 a + 口) 0 对一切吲s1 , j = 1 ，2 ，d 成立其中九( r ) ，r e 九( r ) 分别表示矩阵r 的第个特 征值和矩阵r 的第i 个特征值的实部 证明：由于 p o ，f ) = d e t a j a f b ) = d b a j 一( a + e b ) ) 从而 p ( a ：f ) ；0 铮d e t a l 一( a + b ) ) = 0 如果( 4 2 2 ) 有个零点知满足m ( 知) 0 ，令如= e - - 沁7 ，有i 岛 s 1 ，则p ( a o ，如) = 0 ， 这与条件矛盾从而p ( a ，e - h ) = 0 辛r e ( a ) 一r 0 即系统( 4 1 2 ) 是渐近稳定 的引理4 2 2 得证 第四章时滞微分方程数值稳定性 4 3 线性多步法的渐近稳定性 考察线性多步法 kk q z 。钾= 岛， j ， ( 4 3 1 ) j = oj = o 这里，岛0 = 0 ，l 2 ) 为常系数，且a 3 + 席0 将线性多步法用于线性常微 分方程组( t ) = a z ( t ) ，这里a c d d 为常矩阵，z ( t ) 为未知向量函数，有 k ( q ，一 撕) 。州= 0 j = o 令n ( ；) ：p ( ：) j 一舫( ：) a ，其中p ( z ) ：圭z j ，一( z ) ：圭岛，显然，有， j = o3 = 0 引理4 3 1 ：线性多步法是a 一稳定的当且仅当对任意满足a 万( a ) ，觑( a ) 0 有 熙z n 2 0 引进多项式7 ( 毛= 壹岛( 5 ) 矿相其中z e ，6 【0 ，1 ) 岛( 由( 4 3 3 ) 给出 p = 一口 引理4 3 2 ( 1 6 1 1 1 7 1 ) ： 成立； i ) i ，y ( z ，6 ) i 茎1 成立的充要条件是关系式q rsg + 2 ，= 1 和0 j 0 ，q r q + 2 ，= 1 ，0 6 1 成立，则7 ( z ，6 ) = 1 成 立的充要条件是# = 1 定理4 3 1 ：假设引理4 2 2 条件满足，并且qsrsq + 2 ，那么求解时滞微分系 统( 4 1 2 ) 的线性多步法是渐近稳定的，当且仅当线性多步法是a 一稳定的 证明t 设线性多步法是a 一稳定的，为了证明是渐近稳定的，只须证明对任意 的j 【0 ，1 ) ，特征方程( 4 3 5 ) 的根满足 1 事实上，假设( 4 3 5 ) 的某个根i 对某一个6 0 ，1 ) 有吲1 满足 如t a - 岛( 才+ 百e ( - ，6 ) ) 】- j ) = 如t p 口) j 一口( _ ) 日) = 0 其中h = a + b 8 ，此时有 d 酣 p ( i ) j 一口( ) 日) = 0 即p ( i ) ，一口( - ) 日是奇异的由1 e p ，6 ) j 1 和引理4 2 2 知h 的特征值满足觑( a ( 日( - ) ) ) 0 ，系统( 5 1 1 ) 的理论解z 0 ) 满足 n m 。= ( 02 0 为了求得系统( 5 1 1 ) 的特征方程，观察其指数形式的