（应用数学专业论文）一类连续混沌动力学系统的反馈控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 连续混沌动力学系统的反馈控制的研究是非线性科学中的重要课 题之一。本文以混沌控制研究为主线，利用线性反馈控制方法，通过 设线性反馈控制器，实现了对a r n e o d o 混沌系统的控制。在研究过程 中，提出了一种非自治反馈控制方法，该方法不需要原混沌系统或超 混沌的详细动力学行为，只要选取满足定理条件的矩阵占( ，) 和向量“口) ， 就可以实现其控制。并以a r n e o d o 混沌系统、能源供给需求模型、光 学非自治超混沌系统为例，通过设计非自治反馈控制器，成功地将混 沌系统或超混沌系统控制到稳定态，从而实现了对自治或非自治混沌 和超混沌系统的控制。 关键词：自治；非自治；李雅普诺夫函数；混沌；超混沌； 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t r e s e a r c h e so ff e e d b a c kc o n f f o lo f c o n t i n u o u sd y n a m i c a lc h a o t i c s y s t e mh a v eb e c o m ea l li m p o r t a n tt o p i ct a s ki nn o n l i n e a rs c i e n c e t h i s t h e s i sr e v o l v e sa r o u n dt h er e s e a r c ho f c o n t r o l l i n gc h a o s ，m a k i n gu s eo ft h e n o n l i n e a rf e e d b a c kc o n t r o l ，d e s i g n i n gaf e e d b a c kc o n t r o l l e r ；r e a l i z et h e c o n t r o lo fa m e o d oc h a o t i cs y s t e m i nw h i c h ，w ep u tf o r w a r das o r to f n o n a u t o n o m o u sf e e d b a c kc o n t r o lm e t h o d t h i sm e t h o dn e e d n t t h e p a r t i c u l a rd y n a m i c a lb e h a v i o ro ft h eo r i g i n a lc h a o t i co rh y p e r - c h a o t i c s y s t e m ，o n l yt oc h o o s eam a t r i xa n dav e c t o rs a t i s f i e dt h ec o n d i t i o no ft h e t h e o r e m i nt h i s p a p e r , t h e w r i t e ra d d e dn o n - a u t o n o m o u sf e e d b a c k c o n t r o l l e rt ot h ec h a o t i c s y s t e m ，s u c ha s ，a r n e o d oc h a o t i cs y s t e m ，t h e m o d e lo fe n e r g ys u p p l ya n dr e q u i r e m e n tw h i c hw a sn o t i c e db yp e o p l ea t l a r g e ，t h eo p t i c sn o n a u t o n o m o u sh y p e r - c h a o t i cs y s t e m ，w h i c hc a r lm a k e t h ec h a o t i cs y s t e mo rh y p e rc h a o t i cs y s t e mt ob es t a b l es u c c e s s f u l l y t h i s r e a c h e st h ea i mo fc o n t r o la u t o n o m o u so rn o n a u t o n o m o u sc h a o t i ca n d h y p e rc h a o t i cs y s t e m k e y w o r d s ：a u t o n o m o u s ；n o n - a u t o n o m o u s ；l y a p u n o vf u n c t i o n ；c h a o s ； h y p e r - c h a o s 儿 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景 非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学。它是2 0 世纪6 0 年代以 来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合学科，被誉 为2 0 世纪自然科学的“第三次大革命”。一般认为非线性科学主体包括：混沌 ( c h a o s ) 、分形( f r a c t a l ) 和孤立子( s o l i r o n ) 。其中混沌的发现被认为是2 0 世纪 物理学三大成就之一，可以说“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想；量子 力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌消除了拉普拉斯关于决定 论式的可预测性的幻想”。正如混沌科学的倡导者之一h 1 s h l e s i n g e r 所说：“2 0 世 纪科学将永远铭记的只有三件事，那就是相对论、量子力学与混沌”。 自从混沌作为一个新的科学名词出现在科技文献中以来，关于混沌的研究已 迅速发展为一个内容丰富、应用广泛的研究领域，混沌动力学的许多概念和方法 逐步应用到自然科学、工程技术和社会科学的许多领域，它已经对自然界许多复 杂现象( 如水利、气候、地震、经济、生命现象等) 的研究产生了极大的影响作用。 近年来对于混沌的研究已经取得了一定的进展，混沌的应用已经初见端倪，并且 在天气预报、地震观测、生命现象等方面混沌理论的应用已经取得了令人瞩目的 研究成果。 1 2 研究现状 自从h u b e r 在1 9 8 9 年发表了第一篇混沌控制的文章后，在最近的十几年相继 有许多关于混沌控制的方法与文章出现。 从混沌的类型上，大体上可分为四大类：第一类只产生时间混沌，第二类只 产生空间混沌，第三类同时产生时间与空间混沌，第四类产生功能混沌。 混沌控制的目标主要有两个，一是稳定控制在混沌和超混沌吸引子中所期望 的不稳定周期轨道；二是通过控制达到新的动力学行为。目前，国内外已经提出 了许多不同的混沌控制方法，根据系统的特征，有些适用于离散系统，有些适用 于连续系统。从控制原理上总体可以分为反馈控制法和非反馈控制法。反馈控制 1 江苏大学硕士学位论文 的对象可以分为对系统参数、系统变量、外部参数等的反馈，根据不同的反馈对 象得到了不同的控制方法。反馈控制法主要应用混沌系统的本质特征，如对于初 始点的敏感依赖性等，来稳定已经存在于系统中的不稳定轨道。其优点在于，在 一般情况下，反馈控制不需要使用除系统输出或状态以外的任何有关给定被控系 统的信息，不改变被控系统的结构，具有良好的轨道跟踪能力和稳定性。但是要 求一个比较精确的数学模型和输入目标函数或轨道。和反馈控制方式相比，非反 馈控制主要利用一个小的外部扰动，如一个小驱动信号、噪声信号、常量偏置或 系统参数的强弱调制来控制混沌，在实现控制的时候与特定的轨道无关，因而当 系统达到控制的时候控制信号并不一定趋于零，这样就使得受控系统的动力学行 为可能与原系统有较大差异，也即产生了新的动力学行为。以o g y 控制为开端， 近年来掀起了混沌控制研究的热潮。特别是对以l o r e n z 系统为代表的三维系统 ( 如：c h e n 系统、l 讧系统等) 的研究取得了长足的发展，人们应用不同的方法研究 了混沌的控制问题。在研究混沌控制的同时，混沌同步的研究也取得了丰硕的成 果，并在保密通讯的应用中取得了初步成果。 1 3 研究内容及意义 本文以混沌控制研究为主线，在研究过程中，提出了一种非自治反馈控制方 法，该方法不需要原混沌系统或超混沌的详细动力学行为，只要选取满足定理条 件的矩阵b ( t ) 和向量“( r ) ，就可以实现其控制。文中分别以a r n e o d o 混沌系统、人 们普遍关注的大型系统江苏一西部能源需求供给模型、一光学非自治超混 沌系统为例，通过添加非自治反馈控制器，成功地将混沌系统或超混沌系统控制 到稳定态，从而实现了对自治或非自治混沌和超混沌系统的控制。 当然，截至目前，混沌应用还处于初级阶段，但人们的传统观念已经逐渐发 生改变，开始考虑利用混沌，应用混沌，所有这些都是一个良好的开端，必将促 进混沌研究的蓬勃发展。 2 江苏大学硕士学位论文 第二章混沌控制的基本理论与方法 2 1 混沌的概念 混沌作为当今举世瞩目的前沿课题及学术热点，它揭示了自然界及人类社会 中普遍存在的复杂性，同时揭示了有序与无序、确定性与随机性的统一，在自然 科学与社会科学等领域中覆盖面之大、跨学科之广、综合性之强，发展前景及影 响之深远都是空前的。 混沌是在确定性系统中出现的貌似随机的运动，其特征表现为对初值的敏感 性和对未来的不可预测性。确定性系统对于给定的初值，从数学上来说，必将得 到一个确定的解或过程，但在一大类系统中这些解可能由于对初值极其微小的扰 动而产生很大的改变，也即系统对初值的依赖性十分“敏感”。从物理上看得到的 解似乎是随机过程。这种“假”随机过程是由确定系统固有的内在随机性引发的。 因此可以说，混沌是非线性动力系统所具有的内在随机性的一种表现。 最早发现混沌运动现象的是p o i n c a r e 。十九世纪末，他发现三体问题中的无 规则运动，在研究双曲点( 鞍点) 邻域内轨线的变化时，图案复杂得使人惊奇，甚 至都不想把它画出来，这种复杂的几何结构现在被称之为p o i n c a r e 栅栏；b i r k h o f f 于1 9 1 6 年研究了在平面变换的扭转映射中出现的吸引子，并证明了它不是j o r d a n 曲线，即r e m a r k a b lec u r v e 。后来，人们在具有强迫力的v a nd e rp o l 系统中找 到了这种曲线，其实就是今天所说的混沌现象。不幸的是这种理论与现象长期以 来没有引起人们的注意，直到二十世纪七十年代，混沌理论的研究才有了较大的 发展，在不同的学科领域引起了大批学者的关注。 1 9 6 3 年，f n l o r e n z 在研究大气对流时引进了l o r e n z 方程，数值研究的结 果表明，l o r e n z 方程的解在一定的参数范围内当f 斗0 0 时具有一个混沌解。在同 一时期tk o l m o g r o v a r n o l d m o s e r 于1 9 6 2 年前后建立了分析力学领域中的i ( a m 定理，该定理对近可积的h a m i l t o n i a n 系统的解的性质给出一些重要的结论，而 当这些定理条件不满足时h a m i l t o n i a n 系统将可能会出现混沌。k a m 定理与l o t e n z 模型一起标志着混沌理论新的开端，随后m e l i n k o v 在1 9 6 3 年提出了常微分方程 中判别混沌出现的一种分析方法，经h o l m e s 等人的补充和推广形成的m a r 。t l d 方 江苏大学硕士学位论文 法，现在已经成为判断混沌是否存在的一种重要的分析判别法。i 9 7 i 年r u e l l e 等为耗散系统引入奇异吸引子的概念；1 9 7 6 年生物数学家m a y 在一篇综述报告中 指出，生态学中一些非常简单的数学模型具有极其复杂的动态行为，包括分支序 列与混沌，该报告对数学界起了很大的促迸作用；1 9 7 9 年f e i g e n b a u m 和c o u l l e t 分别独立地发现倍周期分支现象的标度换算因子和普适常数：1 9 8 0 年，数学家 m a n d e l b r o t 利用高速计算机研究了复映射中的奇异吸引子。1 9 9 9 年，陈关荣等人 发现了一个与l o r e n z 吸引子类似但不完全拓扑同构的吸引子，现称为c h e n 吸引 子；2 0 0 2 年，吕金虎等人在研究混沌反控制问题时发现了另一个介于l o r e n z 吸引 子与c h e n 吸引子之问的吸引子，即l 讧吸引子。按照v a n e c e k 和c e i k o v s k y 的 划分原则，l o r e n z 吸引子满足条件a t 2 臼2 t 0 ，l 诅吸引子满足条件a 1 2 日2 l = 0 ， c h e n 吸引子则满足条件a 1 2 口2 1 0 1 嗵i n f p ( f ”( x ) ，f ”( y ) ) = 0 ! i m s u p p ( f “( 曲，f ”( 劫 0 n 一 4 v x ，少s ，z y v x ，y s 垤s ，v p p ( ) 江苏大学硕士学位论文 其中n ( ) 为厂的非游荡集，p ( 厂) 为厂的所有周期点集合，则称，为l i y o r k 意 义下的混沌。 ( 2 ) d e v a n e y 意义下的混沌 设( m ，p ) 为一度量空间，厂：m _ 吖为m 上的连续自映射，称离散动力系统 ( m ，) 为d e v a n e y 意义下的混沌，如果成立有 厂敏感地依赖于初值，即存在占 0 ，使得m 上任意一点z m 的任一邻 域u ，当y u 时存在 0 ，使得p ( f “( 工) ，厂”( ) ) d ； ，是拓扑可积的，即对m 的任意非空开子集u 和矿，存在k o ，使得 f ( n 矿矿；厂的周期点p ( 厂) 在膨上稠密。 则称，为d e v a n e y 意义下的混沌。 ( 3 ) m a r o t t o 意义下的混沌 设r “是行维欧氏空间，为r ”中的范数，f ：r “- - - r ”是r 上的一个连续映 射，若 存在一个正整数，使对每一个整数m n ，f 有周期为m 的点： 厂存在一个s c r a m b l e d 集s ，即若s 为一个不可数的非周期点集，则对 v n 0 ，有厂”( s ) c s ；v x ，y s ，x y ，有l i ms u p 0 厂“( x ) 一，“( 一) 8 0 ； j | 存在s 的一个不可数子集瓯，v x ，ye s 0 有憋i 1 1 f l l 厂”( 石) 一厂”( 力8 = 0 。 则称为m a r o t t o 意义下的混沌。 虽然直到现在还没有给出混沌严格的数学定义，但是并不影响人们对混沌的 研究。截至目前普遍认为混沌研究主要包括如下内容：产生混沌的机理和途径； 混沌的判据和统计特性；奇怪吸引子和吸引域的几何结构；混沌的控制和应用； 目前的焦点是混沌控制与同步问题。 2 2 混沌的判定方法 1 l y a p u n o v 指数 混沌运动的基本特点是运动对初始条件的极端敏感性，也即两个极靠近的初值 产生的轨道随时间的推移按指数方式分离。l y a p u n o v 指数是定量描述这一现象的 量。对于平衡点和周期运动，人们常用系统在平衡点的j a c o b i 矩阵的特征值实部 e 江苏大学硕士学位论文 以及周期运动微扰方程的特征指数实部来判断其稳定性。l y a p u n o v 指数是对上述 特征值及特征指数的一种推广，给出了对系统任意相邻轨线平均发散程度或平均 收敛程度的一种度量。因此，它可以用于包括平衡点、周期运动、概周期运动乃 至混沌运动的稳定性描述，是目前判断混沌最可靠的一种定量方法。 ( 1 ) 连续动力系统的l y a p u n o v 指数 设有连续动力系统西= f ( u ，) ，“r “，t r 1 ( 2 1 ) 其相轨线为百( ，) ，研究相邻轨线“( r ) 与玎( f ) 的距离随时间延迟的发散程度。 记 w ( f ) = u ( t ) 一盯0 ) w o = “( o ) 一万( 0 ) ( 2 2 ) 对于充分小的1 1 蚓1 ，w ( ，) 满足线性常微分方程 j 协，_ 、d ，( 订，) w ( 2 3 ) 【w ( o ) = w o 定义玎( f ) 与有初始距离w 0 的相邻轨线“( f ) 间的l y a p u n o v 指数为 屯咿熙h 错= 娩掣 池a ， 其实对于线性定常系统已经证明：l y a p u n o v 指数就是系统矩阵特征值的实部，对 于具有周期系数的线性系统，l y a p u n o v 指数与系统特征指数实部也相同，由此也 说明l y a p u n o v 指数是对系统特征值和特征指数的一种推广。 ( 2 ) 离散动力系统的l y a p u n o v 指数 考察映射序列 “j + l = p ( u j ) 4 j r ”，= 0 , 1 ，2 ( 2 5 ) 记 = “，一乃 j = 0 , 1 ，2 ( 2 6 ) 定义订，与有初始距离w o 的映射点的l y a p u n o v 指数为 椰o ) _ 燥专h 渊= 。i + ，, 1 1 眨， 对于充分小的8 有 w ，十1 = d p ( 矿j ) w s = 兀卿( 瓦) w o = a ( j ) w o ，- ，= 0 , 1 ，2 ( 2 8 ) 将矩阵4 ( j ) 的特征值五( ，) 按实部由大到小排列为五，五：，丸，记相应的特征向 江苏大学硕士学位论文 量为仍，妒2 ，。 定义映射“川= p ( u ，) 则沿特征向量吼的l y a p u n o v 指数为 ：l i 。掣 ，w ， ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 与连续动力系统类似可知，如果离散动力系统的最大l y a p u n o v 指数大于零， 则该系统也是混沌的。 l y a p u n o v 指数是用来度量运动对初值的敏感程度的量；通常系统的l y a p u n o v 指数的个数等于相空间的维数最大的l y a p u n o v 指数大于零是混沌存在的一个重 要判据 2 分维数 点为零维，线段为一维，面积为二维，体积为三维，等等，通常维数总是整 数，但在奇怪吸引子的结构中可以看到无穷层次的自相似几何结构，他们通常具 有非整数的空间维数。一般可以这样来理解吸引子的分数维：设相空间为肌维， 以边长为s 的m 维立方体来覆盖给定的吸引子，若最少需要n ( e ) 个立方体，则该 吸引子的维数为d ：。1 。l g t n ( e ) ”o 1 9 ( ( 2 1 1 ) 通常把吸引子的维数是非整数看成混沌出现的一个表征。但是必须注意到： 奇怪吸引子与具有分数维结构的吸引子之间没有必然的联系，也即奇怪吸引子可 能有分数维，但也不一定；反之，具有分数维的吸引子也不一定是奇怪吸引子。 3 m e n i k o v 方法 m e l n i k o v 方法实质上是通过测定过双曲不动点的稳定流形与不稳定流形是否 存在横截相交的同宿点来判断是否存在s m a l e 马蹄意义下的混沌的有效方法。 考虑方程 j = f ( x ) + e g ( x ，f ) ，0 0 ，“n 5 痧，如果m ( t o ) 总不为零，则”n 矿5 = 妒。 该定理表明：如果稳定流形。和不稳定流形矽”横截相交，则表明该映射具 有s m a l e 马蹄意义下的混沌。其实，m e l n i k o v 方法是判断动力系统是否具有混沌 不变集的少数解析工具之一。但是一定要注意的是m e l n i k o v 方法的适用范围。 4 k a m 定理( m a r o t t o 定理) 对于所谓的近可积系统，1 9 3 5 年庞家莱( p o i n c a r e ) 和白克豪夫( b i r k h o f f ) 、 1 9 5 4 年柯尔莫格罗夫( k a l m o g o r o v ) 、1 9 6 3 年莫斯科大学的阿诺德( a r n o l d ) 阱及 1 9 6 7 年克朗研究所的莫塞( m o s e r ) 解答了这些问题，建立了由柯尔莫格罗夫首创， 由阿诺德和莫塞给出严格证明的k a m 定理和p o i n c a r e b i r k h o f f 定理。k a m 定 理可以称得上是2 0 世纪数学界收获最为深刻的成果之一。 k a m 定理设不可积h a m i l t o n 系统的h a m i l t o n 函数为 h ( j ，0 ) = 风( ，) + 掰。( ，0 ) 其中以。( 1 ，) 为h a m i l t o n 函数的系统是可积的， 0 0 ( 2 1 4 ) l i r ai n f f ”( p ) 一厂”( g ) j = 0 ( 2 1 5 ) ( b ) 坳s ，周期点q ，有l i r as u p f ”( p ) 一厂”( g ) i 0 ( 2 1 6 ) 该定理表明：周期3 意味着混沌。也就是说当一个映射有周期3 的点，则它 必定具有一切周期的点，其中包括非周期轨道，但反过来是不成立的。 其实判断系统的混沌性还有如下的一些方法：( a ) 利用数值计算结果去观察 运动轨线和奇怪吸引于结构的不规则性；( b ) 利用数值方法得到功率谱，如果有连 续功率谱，则认为混沌出现；( c ) 利用p o i n c a r e 映射，把连续动力系统化为离散 动力系统去研究如果p o i n c a r e 映射的结果不是有限点集或简单闭曲线，混沌就 可能存在；( d ) 测度墒或拓扑嫡是衡量系统的信息量在运动过程中变化的量如 果测度嫡或拓扑嫡大于零，就认为系统是混沌的这些嫡可以通过数值方法计算； ( e ) 符号动力系统法是一种研究混沌的严格方法，并可以通过数值计算来实现。 它根据移位不变集的存在去判断系统的混沌行为，目前已成功地用于由一维映射 或某些常微分方程描述的系统的混沌和吸引子特性的研究。 2 3 混沌控制的基本原理 目前，人们对混沌控制广义的认识是；人为并有效地影响混沌系统，使之发 展到实际需要的状态。在实现混沌控制的过程中，如何最大限度地利用混沌运动 的特性和优点，对于确定控制目标和选取控制方法具有重要的意义。由于混沌轨 道是一个非周期轨道，所以在变量空间中混沌吸引子具有比任何周期轨道大的维 数，但在混沌运动中系统在混沌吸引子上具有各态历经的特性，使得我们可以在 整个吸引子的大范围内来实现控制和选择控制目标态，使混沌控制具有很大的灵 江苏大学硕士学位论文 活性。另外，混沌运动具有对初值的极端敏感性，这一特性在混沌控制中有可能 成为一个重要的优点，即对系统施加极小的影响就可使系统运动产生重大变化， 从而人们可以使用精心选择的微小信号来控制系统的运动。混沌运动的另一个主 要特点是其丰富的信息，诸如各种周期态与非周期态等，于是从应用的角度人们 不难设想，使用很简单的非线性器件，就能产生各种复杂而有用的功能。例如我 们可以利用混沌现象在时间上、空间上及功能上的多样性作为特殊的信息源，用 于信息存储及通讯等目的，也可作为特殊信号发生器产生有用的周期信号。但是 混沌奇怪吸引子内的轨线是高度不稳定的，如不加以控制，根本无法使用。因此， 长期以来，在一般情况下，人们总是要设法消除或者削弱系统的混沌行为，尽量 避免混沌的出现。但是在有些情况下，人们又需要产生或者加强系统的混沌行为， 如在溶液混合的时候产生混沌现象，从而使得溶液的混合达到最佳状态，这些都 充分反映了控制混沌的重要意义。 2 4 混沌控制的基本方法 目前，混沌控制作为非线性科学研究的一个重要分支，受到了许多科学研究 人员的关注，经过十多年的发展已经得到了一些有效的控制方法。根据不同类型 的被控系统，分别设计出适应于各种不同系统的控制方法；从控制原理上可分为 微扰反馈控制及无反馈控制法。下面介绍一些常用的混沌控制方法。 ( 1 ) 参数微扰法一o g y 方法 1 9 9 0 年，美国马里兰大学的物理学家叽，g r e b b o g i 和y o r k e 在p h y s r e v 1 e t t 上发表了一篇题为“c o n t r o l l i n gc h a o s ”的文章，建议了一种控制混沌的有效方法， 现称之为o g y 方法。同年，该校的d it t o 、r o u s e o 、s p a n o 三人从实验的角度实现 了对于磁弹性体实现了周期l 的稳定控制，验证了o g y 方法的有效性。o g y 方法是 利用了混沌奇怪吸引子中存在着极其稠密的不稳定周期轨道这一特性。其任务是 设法把其中任一条所需的周期轨道挑选出来，并加以稳定控制，为此选择非线性 系统中实际上易于测量和可调节的一个参数，并认为所有的周期轨道都是该参数 的函数，而与其它参数无关，为了实现对某个特定的周期轨道( 或不动点) 的稳定 控制，必须在系统靠近该周期轨道或不动点时，对参数进行微扰，随时间适当调 节微扰量，经过多次反复调整，最终使所需的周期轨道或不动点达到稳定。其主 江苏大学硕士学位论文 要特点是：必须预先知道所研究系统的动力学模型；每次映射迭代所需的计算量 少；所需的参数变化很小；必须粗估所需的不稳定周期轨道或不动点的某些性质， 在特征值与特征向量测量不精确的情况下也可以实现混沌控制等。该方法不限于 有周期外力驱动的力学系统，可以拓广到由非线性映射表征的任何系统，也就是 说，它只适用于离散动力系统及可用庞加莱映射表征的连续动力系统，通常只能 控制低周期的轨道。 截至目前，针对o g y 方法的不足之处，已经提出了一些改进的o g y 方法。 ( 2 ) 连续反馈控制法 由于o g y 方法只适用于离散动力学系统以及可以用庞加莱映射描述的连续系 统，并且应用它时总要求预先用计算机对系统的混沌吸引子进行较为详细地分析， 弄清各种不动点的位置、参数等，这就使得该方法在实际应用中受到一定的限制， 使得它只能稳定那些特定的周期轨道。为了克服上述问题，1 9 9 3 年，德国学者 k p y r a g a s 提出了对非线性连续系统的自反馈连续控制法，并且分为两种：一种是 外力反馈控制法，另一种是延迟反馈控制法。 两种自反馈控制法的基本思想是：考虑非线性混沌系统的输出信号与输入信 号之间的自反馈耦合，或者从系统外部强迫输入一定的周期信号，或者直接把系 统本身的输出信号取出一部分经过时间延迟后再反馈到混沌系统中去，作为控制 信号，通过调节控制信号的大小或权重因子( 控制因子) 来达到稳定所期望周期轨 道或不动点。这两种方法都可实现对混沌吸引子的连续控制，并使不稳定周期轨 道或不动点稳定化。 ( 3 ) 外力反馈控制法 外力反馈控制法与o g y 控制法有一个显著的不同点，o g y 控制法在控制过程中 只能在系统的状态接近不动点附近才加上微扰，否则微扰不起作用。但是外力反 馈控制法则不同，它无需等待运动轨线接近不动点时才加入微扰，而可以在任意 时刻加入微扰起到控制作用。外力反馈控制法的缺点就是需要专门设计一个特殊 的外部信号发生器，这在技术上要求较高，且有一定的难度。 ( 4 ) 延迟反馈控制法 延迟反馈控制法的主要思想是：利用系统本身的输出信号的一部分经时间延 迟后，把其与原来的输出信号之差作为控制信号反馈到系统中去，此法的微扰形 江苏大学硕士学位论文 式是f ( t ) = k y ( t f ) 一y ( f ) 】= k d ( t ) ，即以y o r ) 取代外部输入信号y 。( t ) ，f 为延迟时间，其它做法与外力反馈控制法类似。不过这里的延迟时间f 的选取应与 所需的某个不稳定周期轨道的周期时间相同，通过调节足及d ( t ) 达到与外力反馈 控制法相同的控制效果。当y ( t r ) = y ( t ) 时有f ( t ) = 0 ，可见这种微扰并不改 变系统原来的解。 ( 5 ) 线性反馈控制法 连续自反馈及正比系统变量的反馈思想，实质上类似工程实践上常用的线性 反馈。不过这时的反馈信号或者来自于目标信号与输出混沌信号的差值，或者直 接利用系统本身的混沌输出信号乘以适当的线性反馈系数，实现在一些非线性系 统中的控制任务。其特点是：该方法可以对原系统中的任意解实现控制，如不动 点，不稳定周期轨道；该控制器结构简单，易于制造；它不受小参数变化的影响， 具有抗干扰性；但是对于存在许多系统变量相互作用的一些实际系统，该法的应 用有一定的困难。因此要进一步从工程应用角度作进一步的改进。 ( 6 ) 自适应控制法 从系统控制论知道，当人们对被控系统的参数的相关信息知晓不多时，利用 自适应控制的策略是适宜的。因为该方法可以通过调节控制律来减少未知参数的 影响，其优点就是允许只用系统参数的有限知识去达到满意的工作性能。其关键 是构造自适应控制系统的参考模型。控制模型主要有两类：一类是间接自适应控 制器，它利用系统参数的链接在线计算调节控制律；另一类是直接自适应控制器， 用以直接调节控制律，使得系统与模型的参考态之间的误差达到最小。 近年来国内外已把自适应控制原理用于混沌控制，不仅用于连续系统，而且 用于离散系统。该方法仍然属于反馈控制法的范畴，其关键问题是设计一个参考 模型，构成总体的动力学系统并不依赖于原系统的参数来获得自适应。自适应控 制器的构造可分为两步：先确定目标行为，使得它能与所观察的行为进行有效的 比较；再设法获得控制参数随时间演化的方程。自适应控制法的缺点是：主要适 应于低维系统的控制，而且要求对于给定的初始条件，系统方程的解总是有界的。 ( 7 ) 混沌控制的其它方法 除了上述的主要方法以外，从工程的角度还有如下的一些控制方法：偶然正 比反馈技术( o p v ) ；正比于系统变量的脉冲反馈法( p p s v ) ；传输和迁移控制方法及 1 2 江苏大学硕士学位论文 其改进法( e m c m ) ；频率主控法；动力学状态反馈法一倍周期分岔控制法；神经网 络控制法；外部噪声控制法；几何方法：“振荡吸收器”技术；直接利用“蝴蝶 效应”控制目标；参数共振微扰控制法及弱周期微扰控制法等。 江苏大学硕士学位论文 3 1 稳定性的定义 第三章稳定性理论 假设所考察的系统可用以下形式的微分方程来描述 d x _ ，! i ：i ( f ，x 1 ，x 2 ， d t 车= ( “：， d t 出。 出 x 。) - x 。) ( 3 1 ) 写成向量形式为 鲁叫懈) ( 3 2 ) 假定方程( 3 1 ) 满足解的唯一性条件，并且存在整体解。 考虑系统 警玎化幻( 3 3 ) 【x ( t o ) = x o 它有一个解z = o ( f ，x o ) ，所代表的运动称为末受干扰的运动。如果将初始值作一 微小的扰动，即取初始值为x ( t 。) = 五，而f i 。一x 。0 很小，则由 j 警_ f ( f ，柳( 34 ) 【x ( t 。) = x l 所确定的解x = 中( f ，x 。) 所对应的运动称为方程( 3 3 ) 受干扰的运动。 定义1 如果对于任意给定的f o ，存在万 o ，使得当j | j 。一x oj 0 ，当f 蜀l f o ，2 0 ，r - 。一l o ，a 。 0 。 ( 2 ) 非线性微分方程的零解的稳定性 线性近似判定法 如果一个系统可以表示为如下的非线性微分方程 掣：删+ 只( 上) ( 3 1 4 ) 其中a 是n 力的常数矩阵，r ( 0 ) = 0 且满足 l i r a + 。i i r ( x ) = 。 ( 3 15 ) 那么方程( 3 1 4 ) 零解的稳定性可由它的线性部分 孥：肛 ( 3 1 6 ) 础 、 的零解的稳定性来决定。 定理3 若a 没有零实部的特征根，则非线性方程组( 3 1 4 ) 的零解的稳定性与 其线性近似方程组( 3 1 6 ) 的零解的稳定性一致：当一的特征根均有负实部时，方 程组( 3 1 4 ) 的零解渐近稳定，当爿具有正实部的特征根时，其零解是不稳定的。 兰2 苎主旦主塑圭 。1 1 ：当爿的特征根均有负实部时，我们只能得到方程( 3 1 4 ) 的零解是局部渐 近? 芋篁i 。不能i i 方程( 3 1 4 ) 的零解是全局渐近稳定的，它的吸引域；磊三三 + ；。! 置耄! 具有零实部的特征根时，非线性微分方程组( 3 1 4 ) 的零解的稳定性 耋要紫曼竺竺# 似方程的稳定性决定，这种情形称为临界状态。如何来蒜姜蔷茹 状态非线性微分方程的零解的稳定性还有待于进一步研究。 。 警叫柳 限， 竺兰! 彳：光滑，( o ) = o ，则可利用，( z ) 在：o 的泰勒展开式将其表示为( 3 1 4 ) 的形式，其中 一 “ a 2 ( 口”) ，口。= ( 3 i 8 ) ” ，) 一，一a 1 2 也一a t n 吒 月( z ) ：，2 ( _ ，石2 ，) a 2 1 _ 一a 2 2 一啦。f l f n ( x l , d r 2 , x n ) 口。t 工。一吼：x ：_ n 。矗 则这种类型的方程组可以应用求解方程组 百2 衄+ 月) ( 3 2 0 ) 的方法解决。 l y a p u n o v 函数判定法 对于非线性自治微分方程组 警川柳 。， 其中z 。f 主1 ，f c 2 f 三鎏l | l x n ；7 ，假设，c 。，：。，且，。固 l 矗j 【( 一，) 。 。v 在区域g 2 ( 茗l ，j 。，) ：f 防。j 内有连续的偏导数。 定义4 假设为定义在区域盯内的个实值连续函数，：。 幽 江苏大学硕士学位论文 如果在此区域内恒有v ( x ) o ，则称函数v ( x ) 为常f 的。如果对一切x 0 都有 y ( z ) o ，且矿( o ) = 0 ，则称矿( z ) 为定正的。如果函数一矿( z ) 是定正( 常正) 的， 则称v ( x ) 为定负( 常负) 的。 以方程( 3 2 1 ) 的解代入，然后对，求导数，得 警l ，。喜筹鲁= 喜鼍州x w , x d 称为矿( 柳关于方程( 3 2 1 ) 的全导数。 定理4 对于方程( 3 2 1 ) ，如果存在一个定正的函数矿( ) ，其关于方程的全 导数婴为常负函数或恒等于零，则方程( 3 2 1 ) 的零解稳定。 定理5 对于方程( 3 2 1 ) ，如果存在一个定正的函数矿( x ) ，其关于方程的全 导数警为是定负的，则方程( 3 2 1 ) 的零解是渐近稳定的。 定理6 对于方程( 3 2 1 ) ，如果存在一个函数矿( x ) ，它关于方程的全导数d v 一 可以表示为警= 矿( z ) + ( z ) ，且当非负常数o 时，为定正函数或恒等 于零，o 时，w 为定正函数，又在= o 的任意小的邻域内都至少存在某个i 使矿( _ ) 0 ，那么方程( 3 2 1 ) 的零解是不稳定的。 定理7 如果存在定正函数矿( ) ，关于方程( 3 2 1 ) 的全导数华为常负，但 使譬：o 的点x 中，除零解并：o 外，并不包含方程( 3 2 1 ) 的其它解，那么方 盯r一。 程( 3 2 1 ) 的零解渐近稳定。 3 3 非自治微分方程的稳定性 对于非线性非自治微分方程组 警叫帆删) - o e d 洲 ( 3 2 2 ) 如果该方程组能写成 z 2 魃+ 月( ，) ( 3 2 3 ) 则可用a 的特征值来判定其零解的稳定性。 江苏大学硕士学位论文 设，= 岛，+ 。o ) ，u 是r ”中包含闭球眈= 扛互h l l 的一个邻域，y ( ，爿) 是 ，u 上定义的连续可微函数，w ( x ) 是u 上定义的连续可微函数。 定义5 若有正定( 负定) 函数( _ ) ，使得v ( t ，) ( x ) ( 矿( r ，x ) 一( 爿) ) 在 i x u 成立，且矿( ，o ) = 0 ，则称矿( f ，爿) 是， ，上的正定( 负定) 函数。若 v ( t ，x ) o ( v ( t ，z ) 0 ) ，则称v ( t ，) 是半正定函数( 半负定函数) 。 定义6 若w ( x ) 是r ”上的正定函数，且耳mw ( x ) = + o o ，则称w ( x ) 是r ”上 i 1 w 的无穷大正定函数。 定义7 若有正定函数职( z ) ，4 吏 ! 导l v ( t ，z ) l ( x ) ，则称g ( t ，) 具有无穷 小上界；若有无穷大正定函数( j ) ，使得v ( t ，z ) ( j ) ，则称矿( f ，) 具有无 穷大下界。 定义8 设妒( ，) 是r + 斗r + 的连续函数r + = 争卜o ，且妒( o ) = 0 ，妒( r ) 严格 单调递增，则称妒( ，) 是k 类函数，记为伊( ，) k 。若妒( r ) 还满足l i mp ( r ) = o 。，则 称妒( ，) 为无穷大女类函数。 定理8 ( 1 ) 若有正定函数矿( r ，卫) ，使得矿( f ，z ) 半负定，则孥：，( f ，盖) ，f ( f ，o ) ：0 的 c l t 零解稳定。 ( 2 )若v ( t ，x ) 正定且有无穷小上界， 矿( f ，工) 半负定， 则 _ d x ：f ( f ，) ，f ( f ，o ) ：o 的零解一致稳定； d f ( 3 ) 若矿( f ，z ) 正定且有无穷小上界，矿( f ，z ) 负定，则警= f ( f ，) ，( f 聊= o 的零解一致渐近稳定。 定理9 若矿( f ，x ) 有无穷小上界，旷( r ，x ) 正定( 负定) ，且对一切t 0 有任意 小的牙使得y ( j ) o ( 0 的区域，矿( ，x ) = 2 v ( t ，z ) + w ( t ，z ) ，其中五 0 ，w ( t ，) 0 则 江苏大学硕士学位论丈 _ d x ：f ( f ，x ) ，f g ，o ) ：0 的零解是不稳定的。 甜f 定理1 1设在i u 内存在连续可微的函数矿( r ，x ) ，它满足下列条件 ( 1 ) 对任意大的r ，在原点的任何邻域内都存在使v ( t ，x ) 0 的区域； ( 2 ) 在v ( t ，x ) 0 的区域内v ( t ，x ) 有界； ( 3 ) 有k 类函数妒( r ) 使得矿o ，x ) 妒( 矿o ，五) ) ； 则孥：f ( f ，z ) ，f ( t ，o ) ：0 的零解是不稳定的。 江苏大学硕士学位论丈 第四章连续混沌动力学系统的自治反馈控制 41a r n e o d o 混沌系统的动力学行为分析 我们研究的a r n e o d o 系统，其微分方程的表不式为 娶+ 地娶一a 9 + ：埘3 ( 4 1 ) 万+ “2 万+ “1 瓦+ x = 埘。 。4 t1 其中“ 0 为系统参数，状态空间方程的表示式为 i 毫= x ： 受= x 3 ( 4 2 ) i 毫= 一“。x l 一“f 屯一“2 屯+ 比才 式中= - 5 5 ，“i = 3 5 ，地= 1 ，“= 一1 ，此时系统的最大l y a p u n o v 指数约为0 2 2 4 。 并g _ v v = 要+ 拿+ 要= 一“： 0 ，从而d ( o ，o ，0 ) 为系统( 4 2 ) 的不稳定平衡点。 对于平衡点s = ( 悟= 2 3 4 5 2 , 0 , 0 _ ( _ 再：- 2 3 4 5 2 , 0 , 0 ) ， 2 1 江苏大学硕士学位论文 线性近似矩阵山 o o 一+ 3 坠 “ 10 o1 - - t 2 1- - u 2 r0 1 0 ool 1 2 2 3 5 1 j 其特征根为： = 2 1 4 6 0 ，五：一1 5 7 3 + 2 7 8 8 7 i ，五= - 1 5 7 3 - 2 7 8 8 7 i ，此时，五，冯 为一对具有负实部的共轭复根，但 o ，故& = ( 、鱼= 2 3 4 5 2