（基础数学专业论文）gt—等价关系下dae系统分类问题的研究.pdf

摘要 实际应用中，许多数学模型是微分代数系统( d a e ) 而d a e 系统在 奇点附近可能出现分岔现象，所以研究d a e 系统的奇点及有关的分类问 题具有一定的实用价值本文利用奇点理论和正规形思想方法，主要研 究了几类含两个实状态变量和一个分岔参数的二维d a e 系统在g t 一等价 关系下的分类问题g t 一等价关系不仅能保持等价系统轨道之间的对应关 系，而且能够保持轨道方向一致，因此，可通过等价系统的轨道及方向 了解原系统的轨道及方向，而等价系统的形式较简单且便于掌握 此外，利用微分拓扑学的理论和方法得到了几类特殊的二维d a e 系 统的解的一些性质例如在原点附近，系统的每个连通分支上都有解存 在，并且过每一连通分支上的每一点的轨道都是整个连通分支由于每 个连通分支有且仅有两个方向，从而可按连通分支的方向不同进行分 类分类结果包括：当代数部分第一投影形如) ，从1 + 1 + 最x 2 ，i 一且第二投影形 如y 2 2 七2 + 1 + 疋工，2 时，系统必强等价于( 岛，g ) ，( 掰2 ，g ) ( 其中g = 1 ) 四个系统之 一，以及当代数部分为其它几种形式时的几个分类定理 本文分为四章，第一章简述了研究背景和研究动态，以及本文的研究 内容和意义第二章介绍一些基本概念第三章介绍余维小于等于三的 一维d a e 系统的分类问题，第四章为本文的主要部分，主要研究了二维 d a e 系统的分类问题在g t 一等价关系下，当系统中的代数部分取几类 特殊形式时，本章给出了分类结果，并给出了定理的证明 关键词：奇点理论；d a e 系统；g t 一等价；分类 a b s t r a c t m a n vm a t h e m a t i c a lm o d e l sa r ed i f f c r e n t i a la l g e b r a i ce q u a t i o n s ( d a e ) i np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s i t m a yo c c u rb i f h r c a t i o np h e n o m e n o n l nt h e n e ig h b o r h o o do fas i n g u l a rp o i n t ，t h u s ，t h er e s e a r c ho ns i n g u l a rp o i n t sa n d c o n c e r n i n gc l a s s i f i c a t i o n s o fd a eh a sc e r t a i np r a c t i c a l v a l u e b yt h e s i n g u l a r i t yt h e o r y a n dn o r m a lt h e o r y ， t h i sp a p e rm a i n l y s t u d l e st h e c l a s s i f i c a t i o n so fd a ew h i c hc o n t a i n s t w or e a ls t a t ev a n a bi e sa n d a b i f u r c a t i o np a r a m e t e r ，u n d e rg t e q u i v a l e n c e g t e q u i v a l e n c en o to n l y c a nm a i n t a i nt h ec o r r e s p o n d i n gr e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h eo r b i t s o fg t e q u i v a l e n ts y s t e m s ，b u ta l s oc a nr e s e r v et h ed i r e c t i o n s a n dt h ef o r mg t e q u i v a l e n ts y s t e mi ss i m p l ea n de a s yt og r a s p m o r e o v e r ，u s i n gd i f f e r e n t i a lt o p o l o g i c a lt h e o r ya n dm e t h o d s ，t h i sp a p e r g e t ss o m ep r o p e r t i e sw i t ht h es o l u t i o n so fs e v e r a ls p e c i a lt w o 。d i m e n s i o n a l d a e s f o ri n s t a n c e ， i nt h en e i g h b o r h o o do fo r i g i n ， e a c hc o n n e c t e d c o m p o n e n t s e x i s t ss o l u t i o n ， a n dt h e c o n n e c t e dc o m p o n e n t i st h ew h o l e o r b i tp a s s i n ge v e r yp o i n to fe a c h c o n n e c t e dc o m p o n e n t f o re a c h c o n n e c t e dc o m p o n e n th a sa n do n l yh a st w od i r e c t i o n s ，t h e ni t c a nc l a s s l t y d a e sa c c o r d i n gt ot h ed i r e c t i o n so fc o n n e c t e dc o m p o n e n t s t h er e s u l t s i n c l u d e s ：w h e nt h ef i r s tp r o j e c t i o no ft h ea l g e b r a i cp a r ta sy 1 2 毛+ 1 + 4 石2 _ 1 a n dt h ef i r s tp r o j e c t i o no ft h ea l g e b r a i cp a r t a s j ，2 2 七2 + 吮x 厶， d a ei s c e r t a i n l yg t e q u i v a l e n tt oo n eo f ( 掰，g ) ，( 毹2 ，g ) ( 占= 1 ) ，a n dg l v e ss e v e r a l c l a s s i f i c a t i o nt h e o r i e sw h e nt h ea l g e b r a i cp a r th a ss o m eo t h e rt o r l 】【l s t h e r ea r ef o u rc h a p t e r si nt h i sp a p e r c h a p t e rlb r i e f l yi n t r o d u c e st h e r e s e a r c hb a c k g r o u n da n ds t a t u so fd a e ，t h ec o n t e n t sa n ds l g n l t l c a n c e so t t h i sp a p e r c h a p t e r2i n t r o d u c e sb a s i cc o n c e p t s c h a p t e r3 i n t r o d u c e st h e c l a s s i f i c a t i o n so fd a ew h i c ha l g e b r a i cc o d i m e n s i o ni se q u a lo rl e s st h a n3 u n d e rg t e q u i v a l e n c e ， a n dg i v e st h er e s u l t s o ft h ec l a s s i f i c a t i o n s c h a p t e r4i st h em a i np a r to ft h i sp a p e r ，s t u d i e so nt h ec l a s s i f i c a t i o n so f s e v e r a lk i n d so ft w o d i m e n s i o n a ld a eu n d e rg t e q u i v a l e n c e w h e nt h e a lg e b r a i cp a r to fd a eh a ss e v e r a ls p e c i a lf o r m s ， t h i sc h a p t e rg l v e st h e r e s u l t so ft h ec l a s s i f l c a t i o n sa n dp r o v e st h et h e o r i e s k e yw o r d s ： c l a s s i f i c a t i o n s i n g u l a r i t yt h e o r y ； d a e ss y s t e m ；g t - e q u i v a l e n c e ； i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：周葡日期：卅年岁月f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“ ) 日期：叼年岁月日 日期：切哆年岁月形日 第一章绪论 本章简述了微分代数方程的研究背景和研究动态，主要介绍了前人 研究的研究方向和研究成果，以及利用奇点理论和正规形理论研究微分 代数方程的分类问题的基本思想，同时引入了本文的研究内容和意义 1 1 研究背景与研究动态 由常微分系统和代数系统构成的系统称为微分代数系统( 简称d a e ) d a e 系统在电网络分析、生态工程、计算机辅助设计与建模及经济学等 领域有着广泛的应用 关于d a e 的研究主要有数值分析和理论分析两个方面数值分析方 面，最早于l9 71 年，g e a r 【l 】提出b d f ( b a c k w a r dd i f f e r e n c ef o r m u l a r ) 法研 究d a e 数值解但b d f 方法对指数较高的d a e 系统不适用，目前关于 d a e 系统数值解主要集中于指标较低的相系统( 通常指标 3 ) b r e n a n ，c a m p e l l 和p e t z o l d 【2 l 总结了19 8 9 年以前关于d a e 数值解的 工作，比较系统地论述了d a e 的数值解其后，w a r n e r 和h a i r e r 利用 r u n g e k u t t a 法研究d a e 数值解另外，利用微分几何方面的理论来分析 d a e 系统的数值解逐渐成为一个重要的方向( 见文献【4 】) 理论分析方面，陈伯山、刘永清把微分代数系统归结为受限微分方 程，研究了微分代数系统的标准型和分支问题文献 6 】给出了利用非线性 函数的偏导数矩阵来判别非线性微分代数系统平衡稳定和不稳定的几个 判据文献 7 】从动力学角度研究微分代数系统，对一类d a e 系统的渐近 性作了较精细的讨论，推广和改进了h i r c h 等关于常微分方程的相关结果 针对隐式方程，化五z ) ：o ( a ) ，r a b i e f 和r e i c h 【。1 用不同的方法将( a ) 转化 为等价的o d e ，从而由o d e 的理论给出( a ) 的解的性态分析，但从本质上 来讲，d a e 和o d e 是不同的，在奇点附近系统( a ) 可能出现分岔情形，这 时他们提出的转化过程是不可行的，因此需要进一步研究d a e 系统在奇 点附近的性质r a b i e r ，r e i c h 和s o t o m a r y 【等分别利用分析和微分拓扑 的方法讨论了奇点的局部邻域内系统轨线的性质及等价形式z h i h u i y a n g ，y u nt a n g ，b i n gl i l 对拟线性微分代数方程钺厶力) ，= 6 ( f ，y ) 用代数几 何和微分拓扑学的方法进行了一些研究，提出了一种简化过程并得到简 化后方程的奇点的一些性质 d a e 系统与o d e 系统有着本质的不同，而这些不同绝大部分是由于 d a e 系统的奇点引起的在特定的运行状态下，d a e 系统在奇点附近将会 发生分岔现象，如鞍结分岔、h o p f 分岔、倍周期分俞、奇异诱导分岔等 多种分岔现象电力系统中，d o b o s o n 和c h ia n g 】发现电力系统的电压失 稳往往与鞍结分岔联系在一起r a j a g o p a l a n 和s a u e r 【1 3 1 等提出电力系统中 会出现h o p f 分俞a b e d 、k w a t n y 和w a ng f l 卜等人发现，即使对于简 单的电力系统模型仍可能出现分岔，如倍周期分俞引起的混沌行为此 外，v e n k a t a s u b r a m a i n a n 、b e a r d m o r e 和k w a t n v l 1 7 一l9 l 等人还研究了电力 系统中的奇异诱导分岔现象( 参见 2 0 儿2l 】【2 2 】) 电力系统中，奇点附近会出现诸如电压崩溃和功角失稳等导致电力 系统失稳现象，要使电力系统安全运行，就必须避免这些现象，因此， 分析d a e 系统在奇点附近的性态很重要v e n k a t a s u b r a m a i n a n 【2 3 】提出安 全可行域的概念。安全可行域的边界由鞍结分岔，h o p f 分岔以及奇异诱 导分岔等分岔集构成，d o b o s o n 和m a k a r o v 【2 t 2 5 1 利用向量法和平方函数 法计算这些分岔边界文献【2 6 】，采用更接近实际，能够描述大挠动下感 应电动机动态行为的w a l v e 综合负荷模型，对典型的三节点电力系统进 行了多参数分岔分析，分析结果表明多参数分岔分析更能揭示系统对电 力系统电压稳定性的影响文献【2 7 】，基于延拓原理，提出应用该方法直 接追踪动态电压稳定模型中的奇异性，鞍结点和霍普夫分岔的二维参数 边界 在奇点理论中，经常利用正规形法来研究非线性系统局部性态正规 形的思想就是在某种等价关系下，将原系统约化为更为简单且便于研究 的系统，而且在此等价关系下，系统解的大部分性质被保存下来或者存 在着某种对应关系( 见文献 2 8 】【2 9 儿3 0 】【3l 】【3 2 】) t h o m 在2 0 世纪7 0 年代关于余维数不大于5 的函数芽的分类定理是这种思想的一个重要体 现李伟固【3 2 1 比较详细地讨论了解析向量场的正规形问题g 0 1 u b i t s k y ， s c h a e f f e r 和李养成【3 3 圳l 讨论了在给定等价关系下静态分俞问题的识别和 开折 由于微分代数方程牵涉到向量场和代数方程两个方面，因此关于微 分代数方程的分类和正规形理论的研究很复杂，目前涉及此问题的文章 并不多2 0 0 2 年杨志辉【4 0 】利用奇点理论对d a e 系统： 忙关宝 - ， ( 其中x ，y r ，厂，g ：( r r ，0 ) 寸r c 。，原点是系统的孤立平衡点) 引入 了g t 一等价关系，并给出了较低余维( 3 ) 情形下的分类唐云1 引进 奇点理论方法研究含参数的d a e 系统： 2 z = 厂“j ，“)( 1 2 ) i o = g ( x ，y ，“) ( 其中( 厂，g ) ：( r ”r 4 r p ，0 ) 寸r ”r ”c 7 ，1 ) 奇异诱导分岔( si b ) ，包 括其分类问题，但这个分类是不全面的，仅给出了低余维情形可能出现 的几种形式 1 2 本文研究的问题和意义 分类问题是分支理论中的一个非常重要的研究课题在实际应用中， 许多数学模型是微分代数系统d a e 系统在奇点附近可能出现分岔现象， 从而可能导致系统的不稳定，要使系统正常运行，就要避免这样的现象 因此，研究d a e 系统的分类问题很重要 本文利用奇点理论和正规形思想方法，研究d a e 系统在g t 一等价关 系下的分类问题正规形法不仅具有理论意义，它的实际应用意义也很 明显，例如在电力系统稳定性研究中，要判断出是系统是否安全通常需 要了解当前状态的稳定域边界，而如果利用正规形思想，不求出边界， 只要判断当前状态是否在稳定域里也可达到目的，具体说来，在等价变 换下，两个等价系统的稳定域内的点是一一对应的，如果等价系统的状 态点到达稳定域的边界，原系统的状态点也达到边界( 参见 39 】) g t 一等 价关系最大优点在于它不仅能保持等价系统轨道之间的对应关系，而且 能够保持轨道方向一致因此，在g t 一等价关下，可通过等价系统的轨 道及方向了解原系统的轨道及方向，而等价系统的形式较简单且便于研 究 在电力系统中，常需要研究含有多变量或多参数的d a e 系统( 见 【4 2 儿4 3 】) ，但当变量的个数增加后情况会复杂得多受到 4 0 】中的分类工 作的启发，本文在g t 一等价关系下，主要研究含两个实状态变量y ，y ：和 一个分岔参数工的二维d a e 系统： 岳竺涮 ( 其中厂：( r 1 r 2 ，0 ) 寸r 1 c 。，g ：( r 1 r 2 ，o ) 一r 2 c 。，原点是系统的孤立平 衡点) 当系统中的代数部分取几类特殊形式时，本文给出了系统的分类 结果，丰富和发展了文献 4 0 】关于d a e 系统的分类问题的研究 3 第二章预备知识 这一章介绍以后各章要用到的一些基本概念，包括d a e 系统关于奇 点理论、分支理论和微分代数系统的一些基本概念，以及g t 一等价的定 义 由于只讨论d a e 系统在原点的局部性态，为书写简单我们常用( r “，o ) 表示r ”中含原点的某个开邻域如果讨论中涉及到几个不同的开邻域时， ( r ”，o ) 理解成是通过适当选取的，含于这些邻域之交的一个开邻域 2 1光滑函数芽 设u 是r ”中的开集，刀元实值函数厂：u r 叫做无穷次可微的，如果 对于u 中的每一点x ，厂在点工处的各阶偏导数都连续u 上的无穷次可 微函数又叫做光滑函数或c 。函数 定义2 1 1c ”函数在点o r “处的芽是c 。函数尹：u 斗r ( u 为点。的 开邻域) 的一个等价类，其等价关系规定如下：两个c ”函数厂：u r 和 量：u 专r 是等价的，当且仅当存在点o 的开邻域矿cun 矿，使得 歹i 形= 季i 形以上述歹( 或季) 为代表的c 。函数芽歹：( r ”，o ) 一r c 。函数芽 又叫做光滑函数芽 将c 。函数芽在o r ”处的芽组成之集记为占( r i m 或简记为g 。容易验证 占。对加法和乘法做成一个具有单位元的可换环 设厂：u 专r p 为映射，其中u 是r “中的开子集，厂用分量表示为 厂= ( 石，兀) 如果每个z ：u r ( 江1 ，p ) 都是u 上的c 。函数，则称厂 为u 上的c 。映射 定义2 1 2c 。映射厂：( r ”，0 ) 寸r p 指的是c 。可微映射g ：( r ”，o ) 一r p 的 一个等价类，这里u 为0 r ”的开邻域，等价类“规定如下： ( g ：u r p ) ( ：yjr p ) 存在o r ”的开邻域c un 矿，使得 gi = j i li 矿等价类厂所含的任意成员g 叫做厂的一个代表 记，为从( r ”r ”，o ) 到r ”的自变最为x 和y 的c 。映射芽所成之集，则 系统( 1 1 ) 可以表示为( 厂，g ) 占埘s 埘，x ，y r 类似地，系统( ) 可以表示 为( 厂，g ) g y s 矗y ， z r ，y = ( y l ，y 2 ) r 2 2 2分支问题 2 2 1 分支问题的定义 4 将函数芽厂：( r r ，o ) 一r 组成的集合记为占w ，其中y 是状态变量，x 为 分支参数，那么占训自然地构成环 定义2 2 1 设g g 训，如果满足g ( o ，0 ) = g y ( o ，o ) = o ，则称g 是一个分支 问题 2 2 2 等价和强等价 定义2 2 2 称c 。函数芽g ( x ，j ，) ，厅( x ，少) s 删等价，若存在c 。函数s ( x ，y ) ， y ( x ，y ) 和人( 砷在原点的小邻域内有 g ( x ，) ，) = s ( x ，y ) | l ( 人( x ) ，y ( x ，y ) ) 其中s ( x ，y ) 0 d ，y ( x ，y ) o ， y ( o ，0 ) = o ， d ，人( z ) o 若人( 石) 墨石，则称上述等价为强等价 2 2 3 切空间及余维数 定义2 2 3 对于函数芽g ( 石，j ，) 占驯的切空间定义为形如 略( z ，y ) + 曙y ( 工，y ) + w 苫。( x ，y ) 的芽之全体，其中甜( 石，y ) ，y ( 工，y ) 占删， w 占， 定义2 2 4 称g 占删余维有限，是指丁( g ) 在占埘中的余维数有限，即 r ( g ) 看成实向量空间在占m 中的补空间是有限维的实向量空间， 一 ， c d d i m g 2 d i m 6 g ) 2 3 微分代数系统的一些基本概念 定义2 3 1 若光滑映射伊：，专( r 3 ，o ) c 。，缈( f ) = ( 仍( f ) ，妒2 ( f ) ，仍( f ) ) ( ，cr 为 r 开区间) 满足 仍2 厂。缈( f ) ，则称妒( f ) 是系统( 木) 的一个解( 也称之为系统( 木) 的 【o = g 。缈( f ) 一条轨线或积分曲线) 定义2 3 2 设点尸( x ，m ，j ，2 ) ( r 3 ，o ) ，若系统( ) 的解缈( f ) 满足以o ) = k m ，奶) ， 则称伊( f ) 为过p 点的解，记为缈( f ，尸) 系统( 幸) 过p 的一切解的存在区间之并 称为过p 的解存在的最大区间，记为，p = 化，f + ) ，其中n ，f + ) 为r 上包含0 的 开区间显然，p 与函数厂，g 的定义域有关 定义2 3 3 集合= 劬( f ，p ) ；f j p ) 称为系统( ) 过p 点的轨道 定义2 3 4 集合 氏力僻囝l 如力= o ) 和集合 仁咒，咒) 噼9 i 酏咒，咒) = o ) 均为g 的零点集，记为s 2 4 g t 一等价的定义 定义2 4 1 【4 0 】称系统( 厂，g ) 与系统( 7 ，季) g t 一等价，若存在局部微分 同胚 候柑p 篙鬻篇高； 使得( 1 ) 将系统( 厂，g ) 的轨道映为系统( 夕，季) 的轨道且保留时间的方向； ( 2 ) 存在c 。非奇异矩阵函数s ：( r ”r ”，0 ) _ r “”满足 g ( 工，y ) = s ( 工，j ，) 喜( 孝( 石) ，7 7 ( x ，y ) ) 其中d e d ，孝( 力 0 ，d e t d 。刁( 五少) o ，对任j 蠹的( 毛y ) ( r ”x r ”，0 ) 记( ，g ) ( 歹，季) 为系统( 厂，g ) g t 一等价于系统( 夕，季) 若其中孝( x ) = x ，则称系 统( 厂，g ) 强g t 一等价于系统( 歹，季) ，记为( 厂，g ) s ( 歹，喜) g t 一等价继承了【3 4 】中的等价与 35 】中轨道等价的某些特点，可以将 等价系统轨道的某些性质较好地保留下来 6 第三章一维d ae 的分类 本章介绍余维小于等于三的一维d a e 系统的分类问题，在g t 等 价关系下，我们给出了分类结果 3 1 引言 由于微分代数方程牵涉到向量场和代数方程两个方面，因此d a e 系 统的分类问题的研究很复杂，在不同的等价关系下，得到的分类结果也 不一样就代数方程而言，通常只是考虑低阶代数方程的正规形，类似于 【35 】中的等价关系，讨论了如下隐式微分方程的正规形 缈c x ，三三：君 ( 3 1 ) ( 其中厂r ”_ r ”，j i l ，国r ”jr c 。) ，但是m e d v e d 给出的等价关系并 不能反映等价系统的轨道对应关系此外，系统( 3 1 ) 的第二个方程实际上 由第一个微分方程确定，对( 3 1 ) 中的微分方程性质并无影响j a k u b c z y k 和t c h o n 研究了彩( 工) = 1 且具有两个输出函数的情形s o t o m a y o r 则分别讨 论了在三类障碍点小邻域内，轨道c 石一等价作用下，形如： 彳( x ) x = ，( x )( 3 2 ) 的o d e 的光滑局部正规形，其中s o t o m a y o r 给出的轨道c 置一等价实际上 是拓扑等价的一种特殊情形 以下我们将在平衡点的小邻域内讨论d a e 系统： r j x = 厂( x ，j ，)( 3 3 ) l o = g ( x ，j ，) ( 其中x ，y r ，厂，g ：( r r ，o ) r c 。) 的正规形，即假设( o ，o ) = g ( o ，o ) = o 且原点为( r r ，o ) 中的孤立平衡点结合【34 】中的等价和 35 】中的轨道等 价，我们引入g t 一等价 ( g o l u b i t s k ye q u i v a l e n c e 和 t o p o l o g i c a l e q u i v a l e n c e ) 来讨论系统在原点邻域内的分类问题g t 一等价继承了这两 类等价的特点，可以将等价系统轨道的某些性质较好地保留下来根据 7 g o l u b i t s k y 关于一维代数方程的分类定理，可以相应地给出低余维( 3 ) 情形下形如( 3 3 ) 的系统的分类 3 2 一维d a e 系统的代数部分和解的性质 定理3 2 1 设g ( o ，o ) = g ，( o ，0 ) = o ，x ，y r 若c d d i m g 3 ，则g 强等价于 表中所列的分岔问题之一( g ，万= 1 ) 表3 1 d i m g 3 的奇点的正规形 n o r m a lf o r mc o d i mn o m e n c l a t u r e ( 1 ) 砂2 + 蠡 ol i m i tp o i n t ( 2 ) s ( y 2 一x 2 ) l s i m p l e b if u r c a t i o n ( 3 ) 占( y 2 + x 2 ) 1 i s o l ac e n t e r ( 4 ) 砂3 + 苏 l h y s t e r e s i s ( 5 ) 砂2 + 蠡3 2 a s y m m e t r i c ( 6 ) 砂3 + 劬 2 c u s p ( 7 ) 砂4 + 国 2 p i t c h f o r k ( 8 ) 砂2 + 国4 3 q u a r t i cf o l d ( 9 ) 砂3 + 国2 3 ( 1o ) 砂4 + 却3 w i n g e dc u s p ( 1 1 ) 砂5 + 融 3 根据定理3 2 1 ，系统( 3 3 ) 在g t 一等价作用下可以有较简译的形式， 换句话说，系统( 3 3 ) 的代数方程在强g t 一等价作用下可以变为表3 1 中 的一种形式，而且原点为系统的孤立平衡点 命题3 2 1 设g ( z ，y ) 占驯满足g ( o ，o ) = g y ( o ，0 ) = o ， x ，y r 若c d d i m g 3 ， 则在原点的小邻域内，系统( 3 3 ) 的代数方程中的g ( x ，y ) ，在强g t 一等价 作用下具有表3 2 的形式之一( 万= 1 ) 8 表3 2 d i i i l gs3 的奇点的正规形 n o r m a lf o r mc o d i mn o m e n c l a t u r e ( 1 ) y 2 + 苏 o l i m i tp o i n t ( 2 ) y 2 一x 2 l s i m p l e b i f u r c a t i o n ( 3 ) j ，2 + x 2 l i s o l ac e n t e r ( 4 ) y 3 + 国 l h y s t e r e s i s ( 5 ) j ，2 + 舻 2 a s y m m e t r i c ( 6 ) y 3 + 劬 2 c u s p ( 7 ) j ，4 + 厮 2 p i t c h f o r k ( 8 ) j ，2 + & 4 3 q u a r t i cf o l d ( 9 ) y 3 + 出2 3 ( 1o ) 广+ 劬 3 w i n g e dc u s p ( 11 ) y 5 + 盘3 命题3 2 2 设系统( 3 3 ) 的代数方程中的g ( x ，j ，) 取表3 2 中的任何一个 函数芽，对任意的( ，) ，o ) ( sn ( r r ，o ) ) o ) ，系统( 3 3 ) 存在定义于，上的 解x ( f ) ，y ( f ) 满足：x ( f o ) = ，y ( 岛) = ，f o ，其中，cr 为开区间 定理3 2 2 设原点( o ，o ) 为系统( 3 3 ) 的孤立平衡点，且d i m g 3 ，记 ( sn ( r r ，o ) ) o ) 的连通分支数为以，则系统( 3 3 ) 在强g t 一等价关系下至 多有2 “个正规形，并且可以从中选取最简单形式的系统作为正规形 3 3 余维小于等于3 的一维d a e 的分类 以下总用疗表示连通分支( sn ( r r ，o ) ) o ) 的个数，s = 1 ，万= 1 定理3 3 1 设原点( o ，o ) 为系统( 3 3 ) 的孤立平衡点，且d i m g = o ， g ( x ，y ) = y 2 + 盘，则系统( 3 3 ) 在原点的小邻域内强g t 一等价于下列正规形 之一 9 陋兹叭或者融 定理3 3 2 设原点( o ，o ) 为系统( 3 3 ) 的孤立平衡点，且d i m g = 1 ，则 系统( 3 3 ) 在原点的小邻域内强g t 一等价于表3 3 中的正规形之一 表3 3 d i m g = 1 的奇点的正规形 a l g e b r a i c 刀n o r m a lf o r mofd if f e r e n t ia l e q u a t i o np a r t y 2 + x 2 i s o l ac e n t e r y 2 一x 2 4 x = z 2 ，x = x ， x = j ， x = 砂，x = ( y 土石) 石2 】 y 3 + 融 2 x = x 2 ， 工= x 注3 3 2 当g ( x ，y ) = y 2 + x 2 时， g ( x ，j ，) = o ，那么x = y = 0 ， 原点为系统 的唯一解 定理3 3 3 设原点( o ，o ) 为系统( 3 3 ) 的孤立平衡点，且d i m g = 2 ，则 系统( 3 3 ) 在原点的小邻域内强g t 一等价于表3 4 中的正规形之一 表3 4c d d i m g = 2 的奇点的正规形 a l g e b r a i c 刀 n o r m a lf o r mo fd if f e r e n t i a l e q u a t i o np a r t y 2 + 出3 2 x = y ， x = x 工= z ，工= x y 3 + 的 4 x = ( y + x ) ，工= ( j ，一石) z = ( y 一工2 ) ，工= ( y + z 2 ) 石= ( y 2 一工3 ) ，x = ( 工6 一y 4 ) y 4 + 国 2 x = ( j ，+ x ) ，x = ( y 一功 l o 定理3 3 4 设原点( 0 ，0 ) 为系统( 3 3 ) 的孤立平衡点，且d i m g = 3 ，则 系统( 3 3 ) 在原点的小邻域内强g t 一等价于表3 5 中的正规形之一 表3 5c d d i m g = 3 的奇点的正规形 a lg e b r a i c刀n o r m a lf o r mo fd i f f c r e n t i a l e q u a t i o np a r t y 2 + x 4 i s o l ac e n t e r y 2 一工4 4石= x 2 ， x = x ， x = y 工= 砂，x = 【( y 石2 ) x 3 】 j ，3 + 舐2 2 石= x ，x = j ， x = x 。，x = x z = ( y 3 + 蠡) x 2 】 y 4 + 脚 4 工= 虹( y 3 + 苏) x 2 】 工= ( y 3 + 苏) 2 一万4 】 x = 虹( y 3 + 反) 2 一x 4 】 y s + 2 x = 石2 ， x = x 注3 3 4 当g ( x ，y ) = y 2 + 石4 时，g ( x ，y ) = o ，那么x = y = o ，原点为系统 的唯一解 文献【4 0 】，仅给出了定理3 3 1 、定理3 3 3 ，即c d d i m g = 0 ，2 ，这里 补充了c d d i m g = 1 ，3 的情况，分类结果如表3 3 和3 5 所示对任意非负实 数f ，用 明表示f 的整数部分下面给出定理3 3 2 、定理3 3 4 的证明 定理3 3 2 的证明 ( 1 ) g ( z ，夕) = y 2 + 石2 时，g ( x ，y ) = o ，那么x = y = o ，原点为系统的唯一解 ( 2 ) g ( 工，少) = j ，2 一石2 时，( sn ( r r ，o ) ) o ) 有四个连通分支 厶： ( z ，y ) ( r 2 ，o ) iy ：( 一1 ) ，一i x ，( 一1 ) i 】x o ) ，f ：l ，2 ，3 ，4 j l 夕 7 图3 1 由命题3 2 2 知，( sn ( r r ，o ) ) o ) 的每个连通分支上都有解类似第四章 4 3 节的几个引理的证明可知，每一连通分支都恰好是系统在原点小邻域 内的一个解分支，且每一个连通分支可以有+ 、一两个方向，又由定理3 2 2 知，至多有l6 种正规形下面按连通分支的方向分情况讨论 结论3 1 1 当厶o = l ，2 ，3 ，4 ) 的方向分别为+ ，+ ，+ ，+ ( 或一，一，一，一) 时， ( 厂，g ) s ( 髓2 ，g ) ，其中占= 1 或一1 由于u ，g ) s ( 一x 2 ，g ) 与u ，g ) s0 2 ，g ) 证明过程类似，下证( 厂，g ) s “2 ，g ) 1 ) 取( 善，7 7 ) 为恒同映射，s k y ) = l ，则有善( x ) = x ，q 孝( x ) = l 0 ， d e t q 叩( x ，j ，) = l o ，g “y ) = s 阮夕) g “少) 易见( 善，7 7 ) ：( r r ，0 ) j ( r r ，0 ) 是微分 同胚 2 ) 下证( 孝，7 ) 将系统( 厂，g ) 的轨道映为系统( z ，g ) 的轨道且保留时间方 向 类似结论4 1 1 的证明可证( 孝，7 ) 将系统( 厂，g ) 的任一轨道映为系统 ( z ，g ) 的一条轨道下面证明( 善，叩) 保持系统轨道的时间方向注意到此时 厶( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 的方向分别为+ ，+ ，+ ，+ ，即系统，g ) 过厶o = l ，2 ，3 ，4 ) 上任一点的 轨道方向为正系统 2 ，g ) 在厶( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 上有，x = 厂( x ，y ) = x 2 o ，即系统 0 2 ，g ) 过厶o = l ，2 ，3 ，4 ) 上任一点的轨道方向为正，故( 孝，刁) 保持系统轨道的时 间方向综上可知，g ，7 ) 将系统( 厂，g ) 的轨道映为系统( x ，g ) 的轨道且保留 时间方向 由上述1 ) 、2 ) 及定义2 4 1 可知，( 厂，g ) s0 2 ，g ) 类似可证以下结论： 结论3 1 2 当三，o = l ，2 ，3 ，4 ) 的方向分别为+ ，一，一，+ ( 或一，+ ，+ ，一) 时， ( 厂，g ) s ( 翻，g ) 结论3 1 3 ( ，g ) s ( 砂，g ) 结论3 1 4 ( 厂，g ) s ( 缈，g ) 结论3 1 5 当厶( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 的方向分别为+ ，+ ，一，一( 或一，一，+ ，+ ) 时， 当厶o = l ，2 ，3 ，4 ) 的方向分别为+ ，一，+ ，一( 或一，+ ，一，+ ) 时， 当厶o = l ，2 ，3 ，4 ) 的方向分别为+ ，+ ，一，+ ( 或一，一，+ ，一) 时， 1 2 ( 厂，g ) s ( ，g ) ， 结论3 1 6 ( 厂，g ) s ( 厂，g ) ， 结论3 1 7 ( 厂，g ) s ( 厂，g ) ， 结论3 1 8 ( 厂，g ) s ( 厂，g ) ， 其中取g ( y + x + 工2 ) 当= 1 ，2 ，3 ，4 ) 的方向分别为+ ，一，一，一( 或一，+ ，+ ，+ ) 时， 其中歹取s ( y + x z 2 ) 当= 1 ，2 ，3 ，4 ) 的方向分别为+ ，+ ，+ ，一( 或一，一，一，+ ) 时， 其中取占( y x + z 2 ) 当厶o = l ，2 ，3 ，4 ) 的方向分别为一，+ ，一，一( 或+ ，一，+ ，+ ) 时， 其中歹取s ( j ，一z 一工2 ) ( 3 ) g ( x ，y ) = y 3 + 蠡时，( sn ( r r ，o ) ) o ) 有两个连通分支 厶： ( 五y ) ( r 2 ，o ) iy ：( 一蠡) ；，( 一1 ) ；】x o ，f ：l ，2 jl y 厂。 。 i y 、l ( 7 、- ，_ - _ 一 ( 万= 一1 时)( 万= 1 时) 图3 2 类似( 2 ) 的证明可证以下结论： 结论3 2 1 当厶o = 1 ，2 ) 的方向分别为+ ，+ ，( 或一，一) 时，( 厂，g ) s ( 默2 ，g ) 结论3 2 2 当厶( 待1 ，2 ) 的方向分别为+ ，一，( 或一，一) 时，( 厂，g ) s ( 岛，g ) 定理3 3 4 的证明 ( 1 ) g ( x ，j ，) = 少2 + 工4 时，g ( x ，y ) = o ，那么x = y = o ， 原点为系统的唯一 解 ( 2 ) g ( 工，y ) = y 2 一石4 时，pn ( r r ，o ) ) o ) 有四个连通分支 厶： o ，f ：1 ，2 ，3 ，4 j l y k。 ( 。l 、7 图3 3 类似定理3 3 2 的证明可证以下结论： 1 3 结论3 3 1 当厶( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 的方向分别为+ ，+ ，+ ，+ ( 或一，一，一，一) ( 厂，g ) s ( 岛2 ，g ) 结论3 3 2 当l ，( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 的方向分别为+ ，一，一，+ ( 或一，+ ，+ ，一) ( 厂，g ) s ( 戤，g ) 结论3 3 3 当厶( 扣l ，2 ，3 ，4 ) 的方向分别为+ ，+ ，一，一( 或一，一，+ ，+ ) ( 厂，g ) s ( 砂，g ) 结论3 3 4 当厶( 扛1 ，2 ，3 ，4 ) 的方向分别为+ ，一，+ ，一( 或一，+ ，一，+ ) ( 厂，g ) s ( 印，g ) 结论3 3 5 当厶o = l